Định nghĩa LCT
Biến đổi chính tắc tuyến tính(LCT) được định nghĩa như sau:
Do tính chất của LCT được mô tả bằng ma trận2 × 2nên các tham số {a, b, c, d} của LCT là ma trận 2 × 2
Một số trường hợp đặc biệt của LCT
Biến đổi Fourier ( F T )
Khi {a, b, c, d} = {0, 1, −1, 0}, biến đổi LCT trở thành F T
Biến đổi Fourier phân thứ ( F RF T )
Khi {a, b, c, d} = {cos α, sin α, − sin α, cos α} thì LCT trở thành F RF T được định nghĩa như sau
O F (cos α,sin α,− sin α,cosα) (f (t)) = r 1 2π sin α e (i/2)(cos α/ sin α).u 2 ×
Biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) là biến đổi tổng quát của biến đổi Fourier (FT) Biến đổi Fourier phân thứ thỏa mãn tính chất cộng tính
Biến đổi Fourier phân thứ với hiệu số pha không đổi
Biến đổi Fresnel
Biến đổi Fresnel là phép toán biểu diễn việc truyền ánh sáng đơn sắc qua môi trường trong suốt Biến đổi Fresnel được định nghĩa như sau
Công thức (1.7) mô tả hàm phân bố của nguồn ánh sáng đơn sắc f(x, y), với λ là bước sóng và z là khoảng cách Công thức này có thể được diễn đạt lại dưới dạng sự tổ hợp của hai biến đổi Fresnel.
Khi {a, b, c, d} = {1, zλ/2π, 0, 1} LCT trở thành biến đổi Fresnel 1−D:
Ta tìm được biến đổi Fresnel1−D là trường hợp đặc biệt củaLCT khi{a, b, c, d} = {1, b, 0, 1} với hiệu số pha không đổi
Hệ thức liên hệ giữa tham số b và khoảng cách z là b = zλ2π
Phép toán co giãn
Phép toán co giãn là trường hợp đặc biệt của LCT khi{a, b, c, d} = {σ −1 , 0, 0, σ}:
Vì vậy, biến đổi FT, biến đổi FRFT, biến đổi Fresnel và phép toán co giãn là trường hợp đặc biệt của LCT.
Hàm riêng của biến đổi Fourier phân thứ
Biến đổi Fourier phân thứ F RF T có hàm riêng φ m (t) = 1 p2 m m! √ π e −t 2 /2 H m (t) m ∈ [0, 1, 2, 3, ] (1.12) ở đây H m (t) là hàm Hermite cấp m:
(1.13) và giá trị riêng tương ứng của φ m (t) là exp(−imα)
Hàm riêng của FRFT có tính chất trực giao
Khi α/2π không phải là số hữu tỷ, hàm (1.12) trở thành hàm riêng nhỏ nhất của phép biến đổi Fourier phân đoạn (FRFT) Ngược lại, nếu α/2π là số hữu tỷ, FRFT sẽ có nhiều hàm riêng khác Chẳng hạn, với α = 0, FRFT trở thành phép toán đồng nhất và tất cả các hàm đều là hàm riêng Tương tự, khi α = π, FRFT chuyển thành phép toán nghịch đảo, trong đó cả hàm chẵn và hàm lẻ đều là hàm riêng Cuối cùng, khi α = ±π/2, FRFT trở thành phép biến đổi Fourier nghịch đảo, với các hàm cụ thể là hàm riêng của FRFT.
Trong nhiều tài liệu (như [21] và [22]) trong trường hợp khi α = 2πN M trong đó
N, M là số nguyên thì FRFT cũng có hàm riêng khác (1.12).
Hàm riêng của FRFT, hay còn gọi là hàm Fourier phân thứ, đóng vai trò quan trọng trong phân tích hệ quang học và sự lan truyền sóng Nó đặc biệt hữu ích trong việc phân tích hiện tượng tự tạo ảnh và hiện tượng cộng hưởng.
Ta cũng chỉ ra rằng, phép biến đổi Fourier (F RF T) là một loại phép biến đổi tuyến tính (LCT) với tham số {cos α, sin α, −sin α, cos α}, được nhân với hệ số (e^(iα))^(1/2) Phép biến đổi này cũng có hàm riêng tương tự như (1.12), nhưng giá trị riêng của nó là (e^(−iα))^(1/2) exp(−imα).
Tổng hợp hàm riêng của LCT
Trong [12] hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT) với tham số {a, b, c, d} φ m (t) = 1 pσ.2 m m! √ π exp
H m t σ m = 0, 1, 2, 3 (1.14) trong đó H m (t) là hàm Hermite, và giá trị riêng tương ứng là λ m = exp(−iαm + ε α ) (1.15) ε α là hằng số phụ thuộc vào α và giá trị của σ, τ, α lần lượt là σ 2 = 2b p4 − (a + d) 2
Tham số ban đầu có thể biểu diễn bởi {a, b, c, d} biểu diễn bởi {σ, τ, α} a = cos α + τ sin α, b = σ 2 sin α c = −(τ 2 + 1) sin α σ 2 , d = cos α − τ sin α.
Hàm riêng của LCT tương tự như hàm riêng của F RF T, nhưng có sự khác biệt trong phép co giãn và phép nhân Ba tham số {σ, τ, α} đại diện cho ba biến tự do của LCT, trong khi LCT có bốn tham số {a, b, c, d} với ràng buộc ad − bc = 1, dẫn đến bậc tự do.
Tham số σ và τ xác định hàm riêng, trong khi tham số α xác định giá trị riêng Tuy nhiên, hàm riêng của LCT theo công thức (1.14) và (1.15) chưa đầy đủ khi |a + d| < 2 Ở chương tiếp theo, chúng ta sẽ xây dựng hàm riêng để biến đổi LCT trong trường hợp này.
Hình 1.1: 7 trường hợp để thảo luận hàm riêng của LCT.
Hàm riêng của LCT cho trường hợp
Tính chất
Trước khi khám phá các hàm riêng của LCT, cần xem xét hai tính chất quan trọng Hai tính chất này đóng vai trò nền tảng trong việc xác định các hàm riêng của LCT.
Tính chất 2.1.1 Giả sử ad − bc = a 1 d 1 − b 1 c 1 = a 2 d 2 − b 2 c 2 = 1 và
Tính chất 2.1.2 Giả sử {a, b, c, d}, {a 1 , b 1 , c 1 , d 1 } và {a 2 , b 2 , c 2 , d 2 } thỏa mãn công thức (2.1) và ad − bc = a 1 d 1 − b 1 c 1 = a 2 d 2 − b 2 c 2 = 1 LCT với tham số {a, b, c, d} có thể được tách rời như sau:
Nếu ta biết e(t) là hàm riêng của LCT với tham số{a 2 , b 2 , c 2 , d 2 } và giá trị riêng tương ứng là
O F (a 1 ,b 1 ,c 1 ,d 1 ) (e(t)) sẽ là hàm riêng của LCT với tham số {a, b, c, d}, và giá trị riêng tương ứng cũng là λ:
Thay vì xây dựng hàm riêng của LCT cho bộ tham số {a, b, c, d} bất kỳ, chúng ta chỉ cần xây dựng hàm riêng với bộ tham số {a², b², c², d²} Các tham số {a², b², c², d²} được lựa chọn để hàm riêng của LCT tương ứng dễ dàng hơn trong việc xây dựng Do đó, để tìm hàm riêng của LCT trong các trường hợp được xem xét trong luận văn, chúng ta sẽ dựa trên hai tính chất quan trọng này.
Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a |a |a + + + d| d| d| < < < 2 2 2
Do −2 ≤ 2 cos α ≤ 2, từ tính chất (2.1), ta có thể chỉ ra rằng khi |a + d| < 2, các tham số {a, b, c, d} có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau
Ta có a + d = cos α + cos α, do vậy, α = cos −1 a+d 2
Khi |a + d| < 2, LCT có thể được phân tích
Phép phân tích này kết hợp F RF T và LCT với các tham số {a 1 , b 1 , c 1 , d 1 } và {d 1 , −b 1 , −c 1 , a 1 } Từ tính chất (2.2), LCT có hàm riêng được biểu diễn dưới dạng tập hợp {O (a F 1 ,b 1 ,c 1 ,d 1 ) (φ m (t)), m = 0, 1, 2, }, trong đó φ m (t) là hàm riêng của FRFT, được định nghĩa bởi φ m (t) = 1 p2 m m! √ π e −t 2 /2 H m (t) với m ∈ [0, 1, 2, 3, ], và H m (t) là hàm Hermite cấp m.
, và giá trị riêng tương ứng của φ m (t) là exp(−imα)
Có một số lựa chọn cho tham số {a 1 , b 1 , c 1 , d 1 } Chẳng hạn:
LCT là sự kết hợp của biến đổi từ phép toán co giãn và phép nhân, với các tham số quan trọng Theo định nghĩa của LCT khi b = 0, ta có thể rút ra các kết luận cụ thể.
Từ đó, hàm riêng của LCT trường hợp |a + d| < 2 là φ (σ,τ) m (t) = O F (a 1 ,b 1 ,c 1 ,d 1 ) (φ m (t))
(2.7) trong đóH m (t)là hàm Hermite có giá trị riêng tương ứng giống giá trị riêng của LCT với tham số {cosα, sinα, −sinα, cosα} a + d
Khi đó, các giá trị cụ thể của {σ, τ, α} là σ 2 = |b| sin α = 2|b| p4 − (a + d) 2 , τ = sgn(b).(a − d) p4 − (a + d) 2 α = cos −1 ( a + d
Phương trình (2.7), (2.8) và (2.10) thể hiện hàm riêng và giá trị riêng của LCT khi điều kiện |a + d| < 2 được thỏa mãn Đặc biệt, hàm riêng của LCT trong trường hợp này cho thấy tính chất trực giao tương tự như trường hợp F RF T.
Trong trường hợp |a + d| < 2, ngoài hàm riêng φ(σ,τ)m đã trình bày, cần xem xét liệu có tồn tại hàm riêng nào khác và mối quan hệ giữa các hàm riêng này Bài viết sẽ thảo luận chi tiết về vấn đề này.
Từ tính chất (2.1), (2.2) ta có a + d = a 2 + d 2 và hàm riêng của LCT với tham số
{a 2 , b 2 , c 2 , d 2 }như ta đã chỉ ra là{cos α, sin α, − sin α, cos α}vớiα = cos −1 a + d
Để xác định hàm riêng khác của LCT khi |a + d| < 2, cần tìm các giá trị mới cho {a1, b1, c1, d1} sao cho chúng thỏa mãn điều kiện (2.3) và khác với (2.5) Những giá trị này, với điều kiện a1d1 - b1c1 = 1, có thể được phân tích thành ma trận 2 × 2, với {σ, τ} được xác định theo (2.10).
(2.11) trong đó a 3 d 3 − b 3 c 3 = 1 Khi đó, ta tìm ra a 3 = cos β, b 3 = sin β, c 3 = − sin β, d 3 = cos β. với β là số thực bất kỳ Do vậy
Từ tính chất (2.2), và giá trị của tham số {a 1 , b 1 , c 1 , d 1 } đã chỉ ra, thì hàm riêng của LCT là hàm riêngφ m (t) của F RF T
Nếu không xem xét sự khác biệt của hằng số pha, thì (2.13) và (2.7) tương đương nhau, dẫn đến việc không tìm thấy hàm riêng mới Trong nhiều trường hợp, (2.7) là hàm riêng duy nhất của LCT khi |a + d| < 2 Tuy nhiên, trong trường hợp α là số thực, α = cos −1(a + d) thì có những điều kiện khác cần xem xét.
Ta có thể tìm ra hàm riêng khác của LCT, khi (2.14) thỏa mãn
X k=1 c k φ (σ,τ) s+N k (t) với φ σ,τ m (t) thỏa mãn (2.7) Và giá trị riêng tương ứng là (e −iα ) −( 1 2 ) exp(−iα.s)
Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a |a |a + + + d| d| d| = 2 = 2 = 2
Trường hợp a a a + + + d d d = 2 = 2 = 2 và b b b = 0 = 0 = 0
Từ ad − bc = 1, trong trường hợp a + d = 2 và b = 0, tham số {a, b, c, d} của
Trong trường hợp này LCT trở thành phép nhân
Hàm riêng của phép toán nhân có dạng ϕ(t) =
|A n | 2 Nếu s n thỏa mãn điều kiện ã ã ã = e (i/2)c.s 2 −1 = e (i/2)c.s 2 0 = e (i/2)c.s 2 1 = e (i/2)c.s 2 2 = ã ã ã , thì
Do đó, ta kết luận hàm riêng của LCT trong trường hợp a + d = 2 và b = 0 có dạng φ c,h B (t) =
, với giá trị riêng tương ứng là λ c,h = exp ich 2
Trường hợp a a a + + + d d d = = = −2 −2 −2 và b b b = 0 = 0 = 0
Trong trường hợp này ta có tham số {a, b, c, d} có dạng sau
. Khi đó, công thức của LCT trong trường hợp này trở thành
(1,0,c,1) 2 Đây là sự tổ hợp của phép nhân và phép nghịch đảo Hàm riêng trong trường hợp này là đối xứng hoặc phản đối xứng φ c,h C (t) =
|A n | 2 , với giá trị riêng tương ứng cho công thức (2.17) và (2.18) lần lượt là λ c,h = (−1) 1/2 exp ich 2
Hàm riêng của LCT khi {a, b, c, d} {a, b, c, d} {a, b, c, d} = = = {±1, b, {±1, b, {±1, b, 0, 0, 0, ±1} ±1} ±1}
Biến đổi 1-D Fresnel với tham số {a, b, c, d} mô tả sự truyền ánh sáng đơn sắc qua môi trường trong suốt Theo lý thuyết hiệu ứng Talbot, nếu ánh sáng đầu vào là hàm tuần hoàn f(x, 0), thì sau khi đi qua môi trường trong suốt, cường độ ánh sáng ở khoảng cách N.z sẽ tương tự như cường độ ánh sáng ban đầu, tức là f(x, 0) = f(x + q, 0).
|f (x, N.z)| = |f(x, 0)|, z = 2q 2 λ khoảng cách Talbot, N là số nguyên.
Kết hợp công thức (1.7) và (1.8), ta có thể khẳng định rằng e(t) có tính tuần hoàn với chu kỳ q Đồng thời, hàm riêng của LCT với tham số {1, N q π 2 , 0, 1}, trong đó N là số nguyên, sẽ có dạng cụ thể.
. Đa thức đặc trưng của A det(A − λE 2 ) =
= (λ − 1) 2 Đa thức có đủ nghiệm thực λ 1 = λ 2 = 1 Khi đó, phương trình trên có thể viết lại như sau
Kết quả trên tìm được từ hiệu ứng Talbot, và có thể được tổng quát như sau:
Giả sử g(t) = g(t + q) và g 0 (v ) là LCT của g(t) với tham số {1, q πM 2 N , 0.1}, chu kỳ ánh sáng đơn sắc qua khoảng cách z T M N , trong đó z T là khoảng cách Talbot, khi đó [26] g 0 (v ) = O (1,(q
X n=0 e i(2π/M)(pn−N n 2 ) (2.22)Trong đó g 0 (v) là tổ hợp tuyến tính của g(v − M pq ) Đây được gọi là hiệu ứngTalbot phân thứ (fractional Talbot effect) [26]-[28] Hiệu ứng Talbot điểm là
Từ công thức (2.22), ta có thể tổng quát kết quả trong công thức (2.20) và (2.21) Giả sử [1, a 1 , a 2 , ã ã ã , a M ] T là vộc tơ riờng cuả ma trận sau
X n=0 e i(2π/M)(pn−N n 2 ) , (2.23) với giá trị riêng tương ứng là λ.
Hàm g(x) được xác định là hàm riêng của LCT{1, N q πM 2 , 0, 1} với giá trị riêng tương ứng là λ Dù không có biểu thức đơn giản cho véc tơ riêng của ma trận trong công thức (2.23), giá trị riêng có thể được biểu diễn dưới dạng λ k = exp.
Trong công thức (2.21) ta tìm được hàm riêng với chu kỳ q = q|b|π
N là hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1} Ở đây, ta cũng chỉ ra hàm với chu kỳ q = r|η|πM
N cũng là hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1} nếu thỏa mãn ràng buộc đối xứng.
Trên thực tế,LCT với tham số{1, b, 0, 1}và biến đổi Fresnel cũng có một số hàm riêng không tuần hoàn
Ta áp dụng hàm riêng của LCT với tham số {1, 0, c, 1}, từ tính chất (2.1.1) và (2.1.2) để suy ra hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1} Từ đó
Từ tính chất (2.1.2), chúng ta áp dụng biến đổi Fourier cho hàm riêng của LCT với tham số {1, 0, −b, 1}, và nhận thấy rằng nó cũng là hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1} Theo công thức (2.15), LCT với tham số {1, b, 0, 1} có hàm riêng được biểu diễn dưới dạng ψ b,h (t) = FT φ −b,h B (t).
, (2.25) với giá trị riêng tương ứng cũng là giá trị riêng của LCT với tham số {1, 0, −b, 1} λ b,h = exp
Phương trình (2.26) là tổng quát của hàm riêng LCT với tham số {1, b, 0, 1}. Phương trình (2.24) không tuần hoàn và gọi là hàm hầu tuần hoàn.
Biến đổi Fresnel có thể được hiểu là biến đổi LCT với tham số {1, zλ 2π , 0, 1}, kết hợp với hiệu số pha không đổi Theo công thức (2.26), hàm riêng tổng quát của biến đổi Fresnel được biểu diễn bằng ψ b,h (t) = r 1 2πE.
, (2.27) ở đây 06 h < 8π zλ 2 , A n , B m tùy ý,E xác định bởi công thức (2.24) với giá trị riêng tương ứng là λ z,h = exp iπ.z λ − izλh
, z là khoảng cách truyền ánh sáng.
Dựa vào định lý của hiệu ứng Talbot và hiệu ứng Talbot phân thứ, ta nhận thấy rằng hàm tuần hoàn là hàm riêng của biến đổi Fresnel Tuy nhiên, từ công thức (2.27), có thể xác định một số hàm hầu tuần hoàn cũng là hàm riêng của biến đổi Fresnel Hàm không tuần hoàn sẽ giải thích hiện tượng tạo ảnh qua môi trường trong suốt Hiệu ứng Talbot được xem là trường hợp đặc biệt của công thức (2.27) khi h = 0, A n = B m = 0, với n, m không bằng N^2, trong đó N là số nguyên.
Sau đó, ta sẽ thảo luận hàm riêng của LCT với tham số {−1, b, 0, −1} Tương tự như trên, ta có thể áp dụng hàm riêng của LCT với tham số {−1, 0, c, −1}.
, kết quả biến đổi của FT cho hàm riêng của LCT với tham số {−1, 0, −b, −1} là hàm riêng của LCT với tham số {−1, b, 0, −1} lần lượt là à b,h (t) = FT φ −b,h C (t)
Phương trình (2.28) được gọi là hàm đối xứng hầu tuần hoàn, trong khi phương trình (2.29) được gọi là hàm phản đối xứng hầu tuần hoàn Giá trị riêng tương ứng với công thức (2.28) và (2.29) lần lượt là λ b,h = (−1) 1/2 exp.
Hàm riêng của LCT với tham số {±1, b, 0, ±1} đã được xác định, từ đó chúng ta có thể suy ra hàm riêng của LCT cho các trường hợp khác.
Trường hợp a a a + + + d d d = 2 = 2 = 2 và b b b 6= 0 6= 0 6= 0
Trong trường hợp này, áp dụng Tính chất (2.1.1) với a 2 + d 2 = 0 và Tính chất (2.1.2) để tìm hàm riêng của LCT với tham số {a 2 , b 2 , c 2 , d 2 } là cần thiết Cụ thể, ta thay thế {1, η, 0, 1} bằng {a 2 , b 2 , c 2 , d 2 } trong công thức (2.1).
Nghiệm tổng quát của phương trình trên là a 1 , d 1 tùy ý, a 1 6= 0 thỏa mãn η = b a 2 1 , c 1 = d − a
Khi a ≠ d, công thức 2b a 1 , b 1 = 2b(d 1 − a −1 1 ) d − a được áp dụng Trong trường hợp a = d, giá trị của {a, b, c, d} sẽ là {1, b, 0, 1}, và vấn đề này sẽ được thảo luận trong phần sau Theo Tính chất (2.1.2), khi a + d = 2 và b ≠ 0, nếu f(t) là hàm riêng của LCT với tham số {1, a b 2 , 0, 1}, chúng ta có thể rút ra kết luận quan trọng.
Khi đó, LCT với tham số {a, b, c, d} sẽ là hàm riêng φ D (t) = O a 1 ,2b(d 1 −a
F (f(t)), (2.32) ở đâya 1 , d 1 tùy ý với giá trị riêng tương ứng cũng là λ Khi đó, f(t) là hàm tuần hoàn như f(t) = r 1 2πE
06 h < 4πa |b| 2 1 ,A n , B m tùy ý,E xác định bởi công thức (2.25) và giá trị riêng tương ứng xác định bởi công thức (2.31) là λ = exp(−ibh/2a 2 1 ).
Từ công thức (2.30) ta có
Vì thế, công thức (2.31) có thể viết lại như sau φ D (t) = 1 pi2πa 2 1 b 1 e i((d−a)/4b)t 2
Khi đó, ta được hàm mới g(t) và định nghĩa một tham số mới ρ như sau g(t) = 1
Dựa trên kết quả đã trình bày, chúng ta có thể xác định tham số a1 là bất biến Do a1 và d1 có thể được chọn tùy ý, nếu thay thế a1 và d1 bằng tham số ρ, thì ρ cũng sẽ là tùy ý Kết quả từ các công thức (2.31) đến (2.33) có thể được đơn giản hóa như sau.
Nếu g(t) là hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1} g(t) = r 1 2πS
(|C n | 2 + |D n | 2 ), (2.35) khi đó LCT với tham số {a, b, c, d} trong trường hợp a + d = 2 và b 6= 0 sẽ là hàm riêng như φ (b,ρ) D (t) = 1
−∞ e i((t−x) 2 /2ρ) g(x)dx, (2.36) ở đây ρ được chọn tự do (nhưng khi a = d ta phải chọn ρ = 0) Giá trị riêng tương ứng là λ b,h = exp
Kết luận rằng khi a + d = 2 và b ≠ 0, hàm riêng của LCT là phép nhân của một hàm hầu tuần hoàn Đặc biệt, có thể chọn ρ = 0, do đó lim ρ→0.
= δ(x 1 − x 2 ), (2.38) ta có thể đơn giản hàm riêng của LCT khi a + d = 2 và b 6= 0 , khi đó φ (b,ρ) D (t) = e i((d−a)/4b)t 2 g(t).
Trường hợp a a a + + + d d d = = = −2 −2 −2 và b b b 6= 0 6= 0 6= 0
Trong trường hợp này ta chọn {a 2 , b 2 , c 2 , d 2 } bằng {−1, η, 0, −1} và công thức (2.1) trở thành
Khi a không bằng d, nghiệm của tập hợp {a1, b1, c1, d1} và η tuân theo công thức (2.30) Nếu a bằng d, giá trị của {a, b, c, d} phải là {−1, b, 0, 1}, như đã thảo luận trong (2.27) Dựa vào tính chất (2.1.2) và công thức (2.39), chúng ta có thể rút ra kết luận quan trọng.
F (g(t)) = λ.g(t), a 1 tùy ý g(t) là hàm riêng của LCT với tham số {−1, a b 2
F g(t), d 1 tùy ý sẽ là hàm riêng của LCT khi a + d = 2 và b 6= 0 với giá trị riêng tương ứng cũng là λ.
Kết quả có thể được đơn giản hóa trong trường hợp a + d = 2 và b ≠ 0 Theo công thức (2.40)-(2.43), ta thu được kết quả như sau Nếu a + d = −2, b ≠ 0 và g(t) là hàm riêng của LCT với tham số {−1, b, 0, −1}, thì g(t) thỏa mãn điều kiện g(t) = r 1 / (2πS) từ công thức (2.28) và (2.29).
2 , khi đó LCT với tham số {a, b, c, d} sẽ là hàm riêng φ (b,ρ) E (t) = 1
−∞ e i((t−x) 2 /2ρ) g(x)dx, (2.42) ở đây ρ tùy ý nhưng khi a = d ta phải chọn ρ = 0 Giá tri riêng tương ứng cho công thức (2.40) và (2.41) lần lượt là λ (b,h) = (−1) 1/2 exp
Phương trình (2.42)-(2.44) thể hiện hàm riêng và giá trị riêng của LCT khi a + d = −2 và b 6= 0 Dựa vào công thức (2.40)-(2.42), ta có thể kết luận rằng hàm riêng của LCT là phép nhân của hàm hầu tuần hoàn đối xứng hoặc phản đối xứng trong điều kiện này Để đơn giản hóa công thức (2.42), ta chọn ρ = 0, dẫn đến việc công thức này trở thành φ (b,ρ) E (t) = e i((d−a)/4b)t 2 g(t).
Hàm riêng của LCT khi a + d = −2 và b 6= 0 có thể được đơn giản hóa thành tích của hàm tuần hoàn đối xứng hoặc hàm hầu tuần hoàn phản đối xứng.
Hàm riêng Giá trị riêng
(e −iα ) 1/2 exp(−iα.m), (|a + d| < 2) với H m là hàm Hermite với α = cos −1 a+d 2 σ 2 = |b| sin α = 2|b| p 4 − (a + d) 2 , τ = sgn(b).(a − d) p 4 − (a + d) 2
Bảng 2.1: Hàm riêng của LCT cho các trường hợp
Chương 3 Ứng dụng của LCT trong bài toán tạo ảnh
Trên cơ sở tìm hiểu về các hàm riêng của F RF T, ta sẽ tìm hiểu ba ứng dụng sau:
1 Bài toán tạo ảnh (self-imaging problem) ;
Trong chương này, chúng ta sẽ khám phá cách sử dụng hàm riêng của LCT để giải quyết bài toán tạo ảnh Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm hiểu cách biểu diễn hệ quang học thông qua hàm riêng của LCT và nêu ra một số tính chất quan trọng liên quan đến ứng dụng của nó.
Quan hệ giữa biến đổi LCT và hệ quang học
Biến đổi LCT có liên quan chặt chẽ đến quang học, vì nhiều phép toán trong sự lan truyền sóng có thể được coi là các trường hợp đặc biệt của LCT Ví dụ, từ công thức (1.7), chúng ta áp dụng hàm riêng của LCT với tham số.
{a, b, c, d}bằng {1, zλ 2π , 0, 1}để mô tả ánh sáng đơn sắc qua môi trường trong suốt với khoảng cách z.
Bên cạnh đó, ánh sáng đơn sắc với bước sóng λ xuyên qua thấu kính có tiêu cự tiêu cự f có thể biểu diễn được như sau
O lens f g(x) = e i(π/λ)n∆ e −i(π/f.λ)x 2 g(x), n : chiết suất, ∆ : độ dày thấu kính.
Công thức trên tương ứng với biến đổi LCT với tham số {1, 0, −2π f λ , 1}
Dựa trên công thức (1.7) và (3.1), hệ quang học có thể được biểu diễn bằng ma trận abcd, cho phép sử dụng biến đổi LCT để mô tả các thành phần quang học trong môi trường trong suốt và nhiều thấu kính Chẳng hạn, trong trường hợp một hệ quang học với một thấu kính có tiêu cự f và khoảng cách z qua môi trường trong suốt, chúng ta có thể áp dụng các công thức này để phân tích và tính toán các đặc tính quang học của hệ thống.
Chúng ta sử dụng biến đổi LCT với tham số {1 − z f, zλ 2π, −2π f λ, 1} để biểu diễn hệ quang học Để hiểu rõ hơn về hiện tượng tạo ảnh trong hệ quang học, chúng ta cần xem xét các tính chất liên quan.
Tính chất 3.1.1 (Điều kiện để haiLCT tương đương trong hệ quang học [29]).
2 , kết quả biến đổi LCT với tham số {a 1 , b 1 , c 1 , d 1 , } và {a 2 , b 2 , c 2 , d 2 }, tương ứng thỏa mãn hệ thức sau
Hai LCT được coi là tương đương khi cường độ của chúng bằng nhau, tức là a1 = a2 và b1 = b2 Nếu không tính đến hiệu số co giãn, hai LCT tương đương khi tỷ lệ giữa các cường độ là giống nhau, cụ thể là a1 : b1 = a2 : b2 và c1 : d1 = c2 : d2 Trong trường hợp chỉ xét cường độ mà bỏ qua hiệu số co giãn, hai LCT vẫn được xem là tương đương nếu a1 : b1 = a2 : b2.
Trong hệ quang học, hiệu số pha và hiệu số co giãn thường bị bỏ qua, dẫn đến việc giải thích hiện tượng tạo ảnh không rõ ràng Hầu hết các hệ quang học đều có sự khác biệt giữa hàm được đưa vào và hiện tượng tự tạo ảnh Để làm sáng tỏ vấn đề này, chúng ta sẽ xem xét một trường hợp cụ thể.
3.2 Giải thích bài toán tạo ảnh
Mối quan hệ giữa LCT và hệ quang học cho phép giải thích hiện tượng tạo ảnh thông qua hàm riêng của LCT Mỗi hệ quang học, được cấu thành từ nhiều thấu kính và môi trường trong suốt, có thể được biểu diễn bằng LCT với các tham số {a 1 , b 1 , c 1 , d 1} Khi ánh sáng đầu vào có phân bố tương tự như hàm riêng của biến đổi LCT với các tham số này, chúng ta có thể hiểu rõ nguyên nhân tạo ảnh trong hệ quang học.
Trong hệ quang học, cường độ ánh sáng được xem xét mà không tính đến hiệu số co giãn Từ Tính chất 3.1.1, tất cả hàm riêng của LCT với tham số {a, b, c, d} đều thỏa mãn tỉ lệ a1:b1 = a2:b2, điều này giúp giải thích hiện tượng tạo ảnh Do đó, để giải thích hiện tượng tạo ảnh trong hệ quang học, chúng ta sẽ áp dụng một thuật toán cụ thể.
1 Tìm tham số {a 1 , b 1 , c 1 , d 1 , } của LCT từ biểu diễn hệ quang học.
2 Nếu xét hiệu số co giãn thì i) Chọn a = a 1 , b = b 1
Do đó, tất cả các tham số {a, b, c, d, } của LCT thỏa mãn a = a 1 , b = b 1 có thể tìm được Từ đó, ta có thể giải thích hiện tượng tạo ảnh.
Nếu bỏ qua hiệu số co giãn, ta có thể chọn a = a σ 1 và b = b σ 1 Đối với d thuộc khoảng (-∞, +∞), c được xác định là ad^(-1) b, từ đó tìm tất cả hàm riêng của LCT với tham số {a, b, c, d} thỏa mãn điều kiện a = a σ 1 và b = b σ 1 Cuối cùng, σ cũng thuộc khoảng (-∞, +∞) và ta sẽ thực hiện lại các bước i) và ii).
Chúng ta có thể xác định tất cả các tham số {a, b, c, d} của LCT sao cho tỉ lệ a : b tương đương với tỉ lệ a1 : b1 Hàm riêng của LCT với các tham số này giúp giải thích hiện tượng tạo ảnh khi loại bỏ hiệu số co giãn và tỷ số co giãn Tỷ số σ thỏa mãn điều kiện |f0(t)| = τ.|fi(σ.t)|, trong đó fi(t) là đầu vào và f0(t) là đầu ra, dẫn đến mối quan hệ σ = a1/a = b1/b.
Ta đưa ra ví dụ sau Cho hệ quang học gồm hai thấu kính
Hình 3.1: Hệ quang học với hai thấu kính và một môi trường trong suốt.
Ma trận biểu diễn hệ bởi biến đổi LCT với tham số như sau:
Khi đó, tất cả hàm riêng của LCT với tham số {a, b, c, d, } a : b = 1 − z f 1 : zλ2π , sẽ giải thích hiện tượng tạo ảnh trong quang học với tỷ số co giãn là σ = 1 − f z
2π , (3.2) thì σ = 1 và hàm riêng của LCT trong trường hợp này sẽ giải hiện tượng tạo ảnh bỏ qua hiệu số co giãn.
Sau đây ta sẽ thảo luận trường hợp σ = 1 và bỏ qua hiệu số co giãn Trước tiên ta chọn a và b như công thức (3.2).
Giá trị của a + d xác định từ hàm riêng của biến đổi LCT Từ đó d có thể là giá trị bất kỳ và a + d = 1 − z f 1
Giá trị d có thể nằm trong khoảng từ âm vô cực đến dương vô cực, và chúng ta có thể xác định đầu vào hợp lý để giải thích hiện tượng tạo ảnh trong hệ quang học, đồng thời bỏ qua hiệu số co giãn.
1 , (a + d = −2) (giả sử z 6= 2f 1) Trong trường hợp này, để giải thích hiện tượng tạo ảnh, ta xác định hàm φ(t) như sau φ(t) = e i.π((−2+z/f 1 )/zλ)t 2
! , với ρ và C n tùy ý, 06 h < zλ 2 Ta có thể chọn ρ = 0 φ(t) = A.e i.π((−2+z/f 1 )/zλ)t 2 g(t).
1 , (−2 < a + d < 2) Trong trường hợp này, từ mục 2.2, ta chỉ ra hàm φ(t) như sau: φ (σ,τ) m (t) = exp −(iτ + 1)t 2
Trong trường hợp này, để giải thích hiện tượng tạo ảnh, ta xác định hàm sau φ(t) = e i(π/f 1 λ)t 2
Ta có thể chọn ρ = 0 khi đó φ(t) = e i.π.t 2 /f 1 λ g(t).
Để giải thích hiện tượng tạo ảnh trong hệ quang học với nhiều ảnh đầu vào, cần lưu ý rằng thấu kính (tiêu cự f2) không ảnh hưởng đến hiện tượng này Chúng ta có thể áp dụng phương pháp tương tự như trước, đồng thời điều chỉnh giá trị b và d trong khoảng (−∞, +∞) để xác định đầu vào có thể giải thích hiện tượng tạo ảnh khi xem xét hiệu số co giãn.
Luận văn đã giải quyết được các công việc chính sau:
Biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT) là một công cụ quan trọng trong toán học và kỹ thuật, cho phép chuyển đổi các tín hiệu và hình ảnh Biến đổi Fourier là một loại LCT phổ biến, giúp phân tích tín hiệu theo tần số Biến đổi Fourier phân thứ mở rộng khái niệm này, cho phép xử lý các tín hiệu phức tạp hơn Biến đổi Fresnel, một dạng đặc biệt của biến đổi Fourier, thường được sử dụng trong quang học để mô tả sự lan truyền của sóng Nghiên cứu về các hàm riêng của LCT đã dẫn đến nhiều kết quả quan trọng, cung cấp cái nhìn sâu sắc về tính chất của các biến đổi này trong các ứng dụng thực tiễn.
• Chỉ ra các hàm riêng và giá trị riêng của biến đổi LCT trong trường hợp
• Giải thích hiện tượng tạo ảnh trong quang học dựa trên cơ sở các kết quả thu được từ hàm riêng của biến đổi LCT.
Mặc dù thời gian thực hiện luận văn có hạn và kiến thức của em còn chưa đầy đủ, nhưng em hy vọng nhận được sự góp ý từ thầy cô và bạn đọc để hoàn thiện luận văn này hơn nữa.
[1] K B Wolf, Integral transforms in science and engineering, in Canonical Transform New York: Plenum, 1979, ch.9.
[2] S Abe and J T Sheridan, Optical operations on wave functions as the Abelian subgroups of the special affine Fourier transformation, Opt.Lett, vol 19, no 22, pp 1801-1803, 1994.
[3] L M Bernardo, ABCD matrix formalism of fractional Fourier optics, Opt. Eng., vol 35, no 3, pp 732-740 Mar 1996.
[4] S Abe and J T Sheridan, Almost Fourier and almost Fresnel transforma- tion,Opt.Commun.,vol.113, pp 385-388, 1995.
[5] M Moshinsky and C Quesne, Linear canonical transformations and their unitary representation, J Math Phys., vol 12, no 8, pp 1772-1783, Aug. 1971.
[6] S A Collins, Lens-system diffraction integral written in terms of matric optics, J Opt Soc Amer., vol 60, pp 1168-1177, Sept 1970.
[7] V Namias, The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics, J.Inst Math Appl., vol 25, pp 241-265, 1980.
[8] L B Almeida, The fractional Fourier transform and time-frequency rep- resentations, IEES Trans Signal Processing, vol 42, pp 3084-3091, Nov.1994.
[9] H M Ozaktas, M A Kutay, and Z Zalevsky,The fractional Fourier trans- form with applications in optics and processing, New York: Wiley, 2000.
[10] J W Goodman,Introduction to Fourier optics, 2nd ed New York: McGraw- Hill, 1988.
[11] S C Pei and J J Ding Eigenfuntions of the canonical transform and self- imaging problems in optical system, in Proc IEE Int Conf Acoust., Speech, Signal Process., Istanbul, Turkey, June 2000, pp 73-76.
[12] D F V James and G S Agarwal, The generalized Fresnel transform and its applications to optics, Opt Commun., vol 126, pp 207-212, May, 1996.
[13] M J Bastiaans, Wigner distribution funtion and its application to first- order optics, J Opt Soc Amer., vol 69, pp 1710-1716, 1979.
[14] M Nazarathy and J Shamir, First-order optics–A canonical operator rep- resentation: Lossless system, J Opt Soc Amer., vol 72, pp 356-364, 1982.
[15] M J Bastiaans, Propagation laws for the second-order moments of the Wigner distribution funtion in first-order optical systems, Optik, vol 82, pp 173-181, 1989.
[16] J T Winthrop and C R Worthington,Theory of Fresenel images 1 Plane periodic objects in monochromatic light, J Opt Soc Amer., vol 55, pp 373-
[17] K Paiorski, The self-imaging phenomenon and its applications, in Progess in optics, E Wolf, Ed Amsterdam, The Netherlands: North-Holland, 1989, pt 1, vol 27.
[18] W Zhao and R M Rao, Discrete-time, continuous-dilation construction of self-similar signals and linear scale-invariant systems, to be published.
