Vấn đề phân bậc gauge trong mô hình chuẩn
Mô hình chuẩn với nhóm đối xứng SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y mô tả chính xác các tương tác mạnh, yếu và điện từ, ngoại trừ hấp dẫn, cho đến thang khoảng cách nhỏ nhất hiện nay Tuy nhiên, mô hình này chỉ là một mô hình hiệu dụng của một lý thuyết cơ bản hơn ở thang khoảng cách rất nhỏ Lý thuyết mới này được kỳ vọng sẽ có hiệu lực từ một thang năng lượng khoảng 10^14 GeV trở lên.
Dù vật lý mới có thể ra sao, chúng ta luôn cần một lý thuyết mới ở thang Planck, nơi mà các hiệu ứng hấp dẫn trở nên quan trọng Một câu hỏi đặt ra là có những đối tượng vật lý nào giữa thang điện-yếu khoảng 10² GeV và thang Planck? Mô hình chuẩn cho thấy rằng chỉ có các boson yếu, top quark và hạt Higgs tồn tại trong khoảng này Nếu không có gì mới dưới thang 10¹⁹ GeV, thì một dải năng lượng rộng lớn sẽ trở thành "hoang mạc cằn cỗi" của vật lý, dẫn đến một vấn đề nghiêm trọng về mặt lý thuyết.
Mô hình chuẩn là một mô hình nhạy cảm với năng lượng lớn, thể hiện qua sự xuất hiện của các phân kỳ bậc hai trong các tích phân xung lượng khi tính bổ chính vòng cho khối lượng của hạt vô hướng Higgs, đặc biệt trong trường hợp bổ chính vòng do fermion gây ra Thế Higgs trong mô hình chuẩn được mô tả dưới dạng cụ thể.
Để đạt được sự phá vỡ đối xứng tự phát trong mô hình Higgs, thế Higgs cần phải bị chặn dưới và có cực tiểu địa phương tại giá trị khác 0 của trường Higgs Điều này yêu cầu các tham số trong phương trình V = à 2 H H 2 + λH 4 cần thỏa mãn điều kiện λ > 0 và à 2 H < 0 Sự bổ sung này là cần thiết để đảm bảo tính ổn định cho hàm truyền của trường Higgs.
Hình 1.1: Bổ chính vòng cho hàm truyền của Higgs trong mô hình chuẩn gây bởi fermionf.
Higgs cú chứa phân kỳ bậc hai theo xung lượng cắt ΛU V, do đó tham số àH phys được điều chỉnh liên hệ với tham số àH ban đầu thông qua công thức: à 2 H phys = à 2 H + αΛ 2 U V + (1.2).
Xung lượng cắt ΛU V được xem là giới hạn năng lượng tối đa mà mô hình chuẩn có thể áp dụng để mô tả các hạt và tương tác của chúng Cụ thể, ΛU V có thể tương ứng với thang thống nhất lớn MGUT khoảng 10^16 GeV, nơi mà lý thuyết thống nhất chi phối vật lý ở năng lượng cao hơn, hoặc thang Planck MP khoảng 10^19 GeV, nơi mà các hiệu ứng hấp dẫn lượng tử bắt đầu có ảnh hưởng.
Yêu cầu từ thực nghiệm về trung bình chân không của trường Higgs và độ lớn của hằng số tương tác vô hướng bậc bốn λ cần phải nằm trong giới hạn của lý thuyết nhiễu loạn, dẫn đến giá trị của |àH phys| phải vào cỡ thang điện-yếu Để đạt được giá trị tham số à 2 H phys ∼(10 2 GeV) 2, chúng ta cần tinh chỉnh à 2 H một cách chính xác để gần như triệt tiêu đại lượng phân kỳ Λ 2 U V ∼(10 19 GeV) 2 trong bổ chính lượng tử Điều này cho thấy trong lý thuyết của chúng ta tồn tại một đại lượng khụng thứ nguyên vụ cựng bộ à Λ 2 H 2 phys.
Giá trị của tham số trong lý thuyết không làm tăng thêm tính đối xứng khi tiến đến 0, điều này trái ngược với nguyên lý về tính tự nhiên do G t'Hooft đề xuất Theo nguyên lý này, sự tồn tại của một tham số vô cùng bé chỉ được coi là tự nhiên nếu việc đặt tham số này bằng 0 dẫn đến sự xuất hiện của các đối xứng mới trong lý thuyết.
Siêu đối xứng
Lời giải cho vấn đề phân bậc gauge
Một giải pháp thu hút sự chú ý cho vấn đề phân bậc gauge là siêu đối xứng, một loại đối xứng đặc biệt liên kết fermion và boson Các hạt này xuất hiện theo cặp như thành phần của một siêu đa tuyến và có thể biến đổi lẫn nhau thông qua phép biến đổi siêu đối xứng Khi tương tác với các trường khác, các cặp hạt này có cùng hằng số tương tác, tương ứng với hằng số tương tác của siêu đa tuyến chứa chúng.
Hình 1.2: Bổ chính vòng cho hàm truyền của Higgs trong mô hình chuẩn siêu đối xứng gây bởi fermionf và vô hướng f.˜
Trong lý thuyết siêu đối xứng, việc tính toán bổ chính vòng cho số hạng khối lượng trong thế Higgs không chỉ bao gồm các vòng fermion mà còn cần xem xét đóng góp từ các hạt boson đồng hành Các tính toán cho thấy các đại lượng phân kỳ bậc hai từ các cặp hạt đồng hành có độ lớn bằng nhau nhưng ngược dấu, dẫn đến việc chúng tự động triệt tiêu lẫn nhau Nhờ đó, lý thuyết siêu đối xứng loại bỏ được các phân kỳ bậc hai nguy hiểm, giải quyết vấn đề phân bậc gauge.
Siêu đại số
Siêu đối xứng là một khái niệm quan trọng trong vật lý, thể hiện sự đối xứng giữa fermion và boson Dưới tác động của phép biến đổi siêu đối xứng, fermion có thể chuyển đổi thành boson và ngược lại, tạo ra mối liên hệ sâu sắc giữa hai loại hạt này.
Q|bosoni=|fermioni, (1.3) với Q là tích siêu đối xứng (supercharge) Vì boson và fermion có thứ nguyên lần lượt là 1 và 3 2 , nên Q có thứ nguyên là 1 2
Cấu trúc nhóm của siêu đối xứng được thể hiện qua siêu đại số (superalge- bra) như sau [126]:
(1.4) trong đó α, α˙ là các chỉ số spinor Q¯α ˙ là liên hợp Hermitian của Qα.
Hình thức luận siêu trường
Để phát triển lý thuyết siêu đối xứng một cách có hệ thống, A Salam và J Strathdee đã giới thiệu khái niệm siêu trường trong siêu không gian, sau đó được mở rộng bởi S Ferrara, J Wess và B Zumino Siêu trường là một hàm của tọa độ trong siêu không gian, bao gồm các tọa độ thông thường của không-thời gian 4 chiều cùng với 4 tọa độ Grassmann phản giao hoán (θ 1, θ 2, θ¯ ˙1, θ¯ ˙2), trong đó các tọa độ spinor có thứ nguyên − 1/2.
Các siêu trường đóng vai trò quan trọng trong việc đơn giản hóa các phép tính và hỗ trợ hiệu quả trong việc xây dựng Lagrangian Trong siêu không gian, phép biến đổi siêu đối xứng được xác định một cách rõ ràng.
Tích của phép biến đổi (1.5) với một phép biến đổi vô cùng bé với các tham số Grassmann (ξ, ξ):¯
Siờu trường tổng quỏtF(x à , θ,θ)¯ biến đổi dưới tỏc dụng của phộp biến đổi siờu đối xứng vô cùng bé như sau:
Từ đõy, chỳng ta cú thể diễn tả cỏc toỏn tử P à , Q α và Q¯ α ˙ dưới dạng sau:
Salam và Strathdee đã mô tả siêu trường như là hàm của tọa độ x và spinor Majorana phản giao hoán 4 thành phần trong công trình đầu tiên của họ Tiếp theo, Ferrara, Wess và Zumino đã phát triển ý tưởng này để xây dựng siêu trường dựa trên tọa độ x và các spinor Weyl 2 thành phần.
Đạo hàm theo các siêu tọa độ Grassmann của siêu trường không biến đổi tương tự như siêu trường, do đó, các đạo hàm hiệp biến đã được đưa vào để đảm bảo tính chính xác và nhất quán trong các phép toán.
D¯ α ˙ = −∂¯ α ˙ −iθ α σ α à α ˙ ∂ à (1.13) Khi đó, đạo hàm hiệp biến của siêu trường cũng chính là một siêu trường.
Bằng cách khai triển theo các tọa độ Grassmann, ta luôn có thể thu được các trường thành phần từ các siêu trường:
Các trường thành phần này chính là các trường vật lý và phụ trợ (auxiliary) trong không-thời gian Minkowski thông thường. b Siêu trường chiral
Siêu trường chiral là siêu trường thỏa mãn điều kiện sau:
Siêu trường phản chiral, ký hiệu là Φ †, thỏa mãn điều kiện D α Φ † = 0 Từ điều kiện này, chúng ta có thể diễn đạt siêu trường chiral dưới dạng một hàm phụ thuộc vào biến x à + iθσ à θ¯ và θ.
= 0, và D¯α ˙θ= 0 (1.16) Dạng khai triển của siêu trường chiral: Φ = φ(y) +√
Siêu trường vector được định nghĩa như là siêu trường thực (Hermitian) thỏa mãn điều kiện:
Biểu thức khai triển của siêu trường vector:
Siêu trường này có chứa trường vector như là một trường thành phần.
Siêu trường vector thường được sử dụng để mô tả trường chuẩn, xuất hiện trong Lagrangian dưới dạng 2gV Khi thực hiện phép biến đổi chuẩn (gauge transformation), số hạng này biến đổi theo công thức e 2gV → e − 2igΛ † e 2gV e 2igΛ, trong đó g là hằng số tương tác và Λ là siêu trường chiral, đóng vai trò như tham số của phép biến đổi Đối với nhóm chuẩn không Abelian, V và Λ được biểu diễn dưới dạng các ma trận.
V =V a T a , Λ = Λ a T a , (1.21) vớiT a là vi tử của nhóm chuẩn này Trong trường hợp nhóm chuẩn là Abelian, phép biến đổi chuẩn (1.20) rút về dạng đơn giản hơn:
Sử dụng Wess-Zumino gauge, siêu trường vector trở thành:
Do tính phản giao hoán của các tọa độ Grassmann, ta được:
Cấu trúc cơ bản của Lagrangian siêu đối xứng bao gồm [129, 55, 126]:
L= K|D+ (W|F +h.c.) +L gauge kinetic +L F I , (1.26) trong đó K, W là thế K¨ahler và siêu thế; các ký hiệu |D = R dθ 2 dθ¯ 2 và
|F =R dθ 2 dùng để tách lấy các hệ số của θ 2 θ¯ 2 (D-term) và θ 2 (F-term).
* Thế K¨ahler được xác định bởi:
K = Φ † e 2gV Φ, với Φ là siêu trường vật chất chiral Dưới tác động của phép biến đổi chuẩn, Φ biến đổi thành e − 2igΛ Φ, cho thấy thế Kähler là bất biến chuẩn Biểu thức khai triển của K|D theo các trường thành phần sẽ cung cấp số hạng động năng của các trường vật chất và số hạng tương tác của chúng với trường chuẩn.
* Siêu thếW là một hàm giải tích (holomorphic) của các siêu trường chiral, do đó bản thân W cũng là một siêu trường chiral Siêu thế thường có dạng:
Trong Lagrangian, siêu thế được sử dụng để mô tả tương tác Yukawa và các thành phần khối lượng Để đảm bảo tính bất biến chuẩn của siêu thế, các siêu trường chiral cần phải thực hiện các biểu diễn thích hợp của nhóm chuẩn.
* Số hạng động năng của trường chuẩn có dạng:
2 Tr(W α Wα)|F +h.c (1.30) trong đó siêu trường spinor chiral Wα được xác định bởi:
Dưới tác dụng của phép biến đổi chuẩn, siêu trường spinor biến đổi như sau:
Trong Lagrangian siêu đối xứng, ngoài các số hạng đã đề cập, còn có số hạng Fayet-Iliopoulos liên quan đến nhóm chuẩn U(1) Giả sử V A là siêu trường vector của nhóm chuẩn Abelian U(1) với hằng số tương tác g A, và D A là trường thành phần có thứ nguyên cao nhất trong khai triển của siêu trường vector này, nằm trong số hạng tỷ lệ với θ 2 θ¯ 2 Số hạng Fayet-Iliopoulos có thể được biểu diễn dưới dạng cụ thể.
D =gAξ A D A (1.33) trong đó ξ A là hằng số.
Thế vô hướng trong Lagrangian (1.26) chỉ phụ thuộc vào trường vô hướng mà không liên quan đến đạo hàm của nó Nó đóng vai trò quan trọng trong việc xác định ma trận khối lượng cho các sfermion và sự phá vỡ siêu đối xứng tự phát Biểu thức của thế vô hướng được xác định một cách rõ ràng.
(D a ) 2 ≥0, (1.34) trong đó F,D a lần lượt là các trường thành phần tương ứng với bậc cao nhất của trong biểu thức khai triển của siêu trường chiral và siêu trường vector
V Sau khi sử dụng phương trình chuyển động, các trường phụ trợ này được xác định như sau:
Phá vỡ siêu đối xứng tự phát
Nếu lý thuyết gauge siêu đối xứng là lý thuyết của vật lý năng lượng cao, thì cả siêu đối xứng và đối xứng chuẩn cần phải bị phá vỡ tự phát Việc phá vỡ tự phát đối xứng chuẩn liên quan đến cơ chế Higgs, điều này cần thiết để tạo ra khối lượng cho các hạt Nguyên nhân của sự phá vỡ tự phát siêu đối xứng sẽ được làm rõ trong các mục tiếp theo của chương này.
Từ hệ thức đầu tiên của siêu đại số (1.4), biểu thức của Hamiltonian được xác định như sau:
Năng lượng của một trạng thái bất kỳ |Ψi luôn không âm, tức là hΨ|H|Ψi ≥ 0 Điều này dẫn đến việc các trạng thái có năng lượng bằng 0 được xác định là trạng thái nền (ground state) |0i trong lý thuyết Những trạng thái này bảo toàn siêu đối xứng, thể hiện qua công thức h0|H|0i= 0 ⇔ Q|0i= ¯Q|0i= 0.
Trong trường hợp năng lượng của trạng thái nền dương \( |0\rangle \), siêu đối xứng sẽ bị phá vỡ tự phát, với năng lượng này được xem là tham số điều kiện cho sự phá vỡ siêu đối xứng tự phát Điều kiện cho sự phá vỡ tự phát siêu đối xứng khác với sự phá vỡ đối xứng chuẩn Để minh họa, xét một trường vô hướng \( \phi \) biến đổi theo một biểu diễn không phải đơn tuyến của nhóm chuẩn \( G \), với thế năng là \( V(\phi) \) Ký hiệu \( \langle \phi \rangle \) là giá trị của \( \phi \) tại điểm cực tiểu của \( V(\phi) \), chính là trung bình chân không của trường \( \phi \) Vì không phụ thuộc vào tham số không-thời gian, \( \langle \phi \rangle \) cũng làm động năng đạt cực tiểu (bằng 0), do đó năng lượng trạng thái nền là \( V(\langle \phi \rangle) \) Sự khác biệt giữa điều kiện phá vỡ tự phát siêu đối xứng và đối xứng chuẩn thể hiện qua bốn khả năng khác nhau.
• hφi= 0 và V(hφi) = 0: cả đối xứng chuẩn và siêu đối xứng đều được bảo toàn (không đối xứng nào bị phá vỡ).
• hφi= 0 và V(hφi)6= 0: đối xứng chuẩn được bảo toàn, còn siêu đối xứng bị phá vỡ một cách tự phát.
• hφi 6= 0 và V(hφi) = 0: đối xứng chuẩn bị phá vỡ tự phát, còn siêu đối xứng được bảo toàn.
Khi hφi 6= 0 và V(hφi) 6= 0, cả đối xứng chuẩn và siêu đối xứng đều bị phá vỡ tự phát Trong một mô hình siêu đối xứng cụ thể, sự phá vỡ này thể hiện qua việc điều kiện thế vô hướng bằng 0 không có nghiệm Biểu thức (1.34) cho thấy rằng giá trị của thế vô hướng luôn không âm và chỉ bằng 0 khi trung bình chân không của cả hai số hạng F-term và D-term đều bằng 0, lúc này siêu đối xứng được bảo toàn Do đó, siêu đối xứng sẽ bị phá vỡ tự phát khi trung bình chân không của ít nhất một trong hai số hạng F-term hoặc D-term khác 0 Nếu hDi 6= 0, ta có cơ chế Fayet-Iliopoulos.
[54] Còn trường hợphFi 6= 0 được gọi là cơ chế O’Raifeartaigh [101].
Mô hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu
Cấu trúc hạt
Chúng ta đã biết rằng mô hình chuẩn là lý thuyết chuẩn của nhóm đối xứng
Lý thuyết chuẩn siêu đối xứng được xây dựng dựa trên sự phá vỡ tự phát của nhóm SU(3)C×SU(2)L×U(1)Y, với cấu trúc hạt được mô tả trong Bảng 1.2 Trong đó, chỉ số i đại diện cho thế hệ hạt, và L, R chỉ các thành phần trái và phải của fermion Mỗi trường chuẩn được xếp vào một siêu trường vector, bao gồm một boson chuẩn và một Weyl fermion (gaugino), trong khi mỗi trường vật chất được xếp vào một siêu trường chiral, bao gồm một Weyl fermion và một vô hướng phức Các siêu trường vector biến đổi theo biểu diễn phó của nhóm chuẩn, trong khi siêu trường chiral có khả năng thực hiện bất kỳ biểu diễn nào.
Bảng 1.2: Cấu trúc hạt của mô hình chuẩn (i= 1,2,3).
Trong mô hình chuẩn, không có hạt fermion vật chất nào thực hiện biểu diễn phó của nhóm chuẩn, dẫn đến việc siêu đối xứng hóa mô hình này yêu cầu bổ sung các hạt fermion đồng hành siêu đối xứng cho mỗi boson chuẩn Bảng 1.2 cho thấy hạt Higgs không thể là bạn đồng hành của lepton hay quark do sự khác biệt trong số lượng lepton và baryon, cũng như các biểu diễn khác nhau của nhóm SU(3)C Do đó, mô hình MSSM cần bổ sung các hạt đồng hành mới cho từng hạt trong mô hình chuẩn.
Trong mô hình chuẩn, tương tác Yukawa được xây dựng dựa trên lưỡng tuyến H và "liên hợp" của nó H˜ =iσ2H †, nhằm xác định khối lượng cho các quark up-type, quark down-type và lepton Trong khi đó, mô hình MSSM sử dụng siêu thế để mô tả các tương tác này.
Trong Lagrangian, hàm Yukawa không thể chứa H do nó là hàm giải tích của các siêu trường chiral Khi thực hiện siêu đối xứng cho mô hình chuẩn, cần bổ sung một lưỡng tuyến fermionic (Higgsino) với biểu diễn (1,2, 1/2) của nhóm chuẩn SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y, dẫn đến sự xuất hiện của các dị thường trong lý thuyết, bao gồm dị thường Witten và dị thường U(1) Để các dị thường tự khử lẫn nhau, mô hình chuẩn siêu đối xứng yêu cầu hai lưỡng tuyến Higgs siêu đối xứng H_u và H_d với siêu tích yếu trái dấu nhau, khác với mô hình chuẩn chỉ có một lưỡng tuyến Higgs.
Cấu trúc hạt của mô hình MSSM được tóm tắt trong Bảng 1.3 Do tính giải tích của siêu thế đối với các siêu trường chiral, thay vì sử dụng các hạt tay phải như trong mô hình chuẩn, chúng ta sẽ áp dụng các phản hạt tay trái để xây dựng các siêu trường chiral tương ứng.
Bảng 1.3: Cấu trúc hạt của mô hình MSSM (B, L là các số baryon và lepton).
Các siêu trường SU(3) C ×SU(2) L ×U(1) Y B L
Lagrangian
Vật lý của mô hình MSSM được mô tả thông qua Lagrangian có dạng sau:
Lagrangian tổng quát được biểu diễn dưới dạng L = L SUSY + L soft, trong đó L SUSY là phần bất biến siêu đối xứng và L soft là phần dẫn đến sự phá vỡ siêu đối xứng Phần phá vỡ siêu đối xứng là cần thiết và sẽ được giải thích trong các phần sau Cấu trúc của phần siêu đối xứng trong Lagrangian tương tự như cấu trúc đã trình bày ở (1.26).
Lagrangian siêu đối xứng được cho bởi:
Số hạng đầu tiên của (1.40) biểu thị thế Kähler của các siêu trường vật chất, trong khi số hạng thứ hai đại diện cho động năng của các trường chuẩn thuộc nhóm SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y, tương ứng với các giá trị N = 1, 2, 3 Cuối cùng, số hạng còn lại là siêu thế.
Từ cấu trúc hạt của mô hình MSSM, biểu thức tổng quát nhất của siêu thế có dạng:
W = λ ij u Q i HuU¯ j +λ ij d Q i HdD¯ j +λ ij e L i HdE¯ j +àHuHd+
Dòng đầu tiên của (1.41) mô tả sự mở rộng siêu đối xứng của tương tác Yukawa trong mụ hỡnh chuẩn, bao gồm các số hạng của hai lưỡng tuyến Higgs Trong khi đó, dũng thứ hai chứa các số hạng bất biến chuẩn nhưng vi phạm các số lượng tử baryon và lepton, điều này không phù hợp với thực nghiệm Để bảo toàn các số lượng tử này, cần đưa vào đối xứng toàn cục U(1)R, hay còn gọi là đối xứng R Đối xứng R là phép quay pha của θ(¯θ) với R-charge bằng 1(−1), trong khi siêu trường chiral có R-charge bằng RΦ và siêu trường vector bất biến với phép biến đổi này.
Theo định nghĩa này, thế Kähler là bất biến dưới nhóm U(1) R Bằng cách phân tích các biểu thức khai triển của các siêu trường (1.17) và (1.23), ta có thể xác định R-charge cho các trường thành phần như được trình bày trong Bảng (1.4).
Bảng 1.4: R-charge của các trường thành phần
Trong mô hình MSSM, chúng ta thiết lập R-charge cho các siêu trường Higgs là 1 và cho các siêu trường chiral khác (Q, U, D̅, L, E̅) là -1/2 Điều này dẫn đến việc chỉ có các số hạng ở dòng đầu tiên trong biểu thức (1.41) cung cấp cho chúng ta biểu thức của siêu thế, được biểu diễn dưới dạng ma trận.
W = ¯UY u H u Q + ¯DY d H d Q + ¯EY e H d L + àH u H d, sao cho W|F bất biến với nhóm đối xứng U(1) R, đồng thời bảo toàn số baryon và lepton Phần phá vỡ siêu đối xứng mềm của Lagrangian là một yếu tố quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết hạt cơ bản.
Siêu đối xứng được áp dụng để giải quyết bài toán phân bậc gauge, nhưng không thể là một đối xứng chính xác của tự nhiên do sự thiếu hụt các hạt đồng hành siêu đối xứng trong thực nghiệm Theo lý thuyết siêu đối xứng, các hạt trong mô hình chuẩn và hạt đồng hành của chúng được xếp vào cùng một siêu đa tuyến, dẫn đến việc chúng có cùng khối lượng Tuy nhiên, thực tế hiện nay không phát hiện được bất kỳ siêu hạt đồng hành nào, điều này gợi ý rằng nếu siêu đối xứng tồn tại, nó phải bị phá vỡ theo một cách nào đó.
Có hai khả năng cho sự phá vỡ siêu đối xứng: một là phá vỡ tường minh và hai là tự phát Mặc dù sự phá vỡ siêu đối xứng tự phát trong mô hình MSSM có sức hấp dẫn lý thuyết, nhưng khi phân tích các ma trận khối lượng của squark, phát hiện rằng khả năng này dẫn đến sự tồn tại của các hạt vô hướng tích điện có khối lượng nhỏ hơn khối lượng của các quark cùng điện tích Điều này không phù hợp với thực nghiệm, do đó, sự phá vỡ siêu đối xứng tự phát không thể tồn tại trong mô hình MSSM.
Để đảm bảo lý thuyết không tái xuất hiện các phân kỳ bậc hai, cần đưa vào Lagrangian các số hạng phá vỡ siêu đối xứng một cách tường minh Các số hạng này được gọi là số hạng mềm (soft terms), bao gồm khối lượng gaugino, khối lượng vô hướng, và các tương tác vô hướng bậc hai và bậc ba (scalar quadratic and trilinear interaction).
Do đó, phần phá vỡ siêu đối xứng mềm được xác định như sau:
A ij u Y u ij u˜¯ i HuQ˜ j +A ij d Y d ij d˜¯ i HdQ˜ j +A ij e Y e ij e˜¯ i HdL˜ j +h.c.
.(1.46)Các số hạng mềm này cũng đồng thời phá vỡ đối xứngU(1)R thành nhóm con
Z2, và gọi là R-parity (2) Dưới tác dụng của R-parity, tọa độ spinor và các siêu trường vật lý biến đổi như sau [37]: θ → −θ, (Hu, Hd) → (Hu, Hd), (Q i ,U¯ i ,D¯ i , L i ,E¯ i ) → −(Q i ,U¯ i ,D¯ i , L i ,E¯ i ),
(1.47) hay nói theo ngôn ngữ các trường thành phần:
(Trường thông thường) → (Trường thông thường), (Trường siêu đồng hành) → −(Trường siêu đồng hành) (1.48)
Trong mô hình MSSM, R-parity là một đối xứng quan trọng, ngăn chặn sự trộn lẫn giữa các hạt thông thường và hạt siêu đồng hành Mỗi đỉnh tương tác chỉ cho phép chứa một số chẵn các hạt sparticle với PR=−1, dẫn đến ba hệ quả quan trọng về mặt hiện tượng luận.
Hạt siêu đồng hành nhẹ nhất (LSP) với PR = -1 phải là hạt bền và nếu nó trung hòa về điện, nó sẽ tương tác rất yếu với vật chất thông thường, khiến nó trở thành ứng cử viên lý tưởng cho vật chất tối.
Mỗi hạt sparticle, sau một thời gian tồn tại, không phải là LSP mà sẽ rã thành một trạng thái chứa một số lẻ các hạt LSP, thường chỉ là một.
Trong các thí nghiệm va chạm, sparticle được sinh ra với số lượng chẵn, thường là hai hạt cùng một lúc, do các hạt vật chất thông thường tham gia vào va chạm trước đó.
Phần Lagrangian với các số hạng mềm ở trên đã đưa thêm vào trong lý thuyết một lượng lớn các tham số mới mà không phải toàn bộ không gian
R-parity là một nhóm con Z2 của tích giữa nhóm đối xứng U(1)R và các nhóm đối xứng liên quan đến số baryon và lepton Nó được định nghĩa tổng quát bởi công thức P_R = (−1)^(3(B−L)+2s) Các tham số này đều tương thích với thực nghiệm Hơn nữa, các tham số trong Lagrangian bị ràng buộc chặt chẽ bởi các điều kiện liên quan đến dòng trung hòa thay đổi hương vị (FCNC) và vi phạm CP, đặc biệt là các số hạng ngoài đường chéo của ma trận bình phương khối lượng vô hướng cùng với tương tác bậc ba vô hướng.
Tất cả các hiệu ứng nguy hiểm từ dòng FCNC và vi phạm CP có thể được ngăn chặn nếu chúng ta giả định rằng các số hạng mềm này có tính chất phổ quát ở một mức độ nhất định.
Phương trình nhóm tái chuẩn hóa
Trong nhiều trường hợp, các mô hình siêu đối xứng dựa trên MSSM có số lượng tham số tự do giảm đáng kể so với mô hình MSSM ban đầu Những tham số này thường được đưa vào ở thang năng lượng rất lớn Để có được các tiên đoán vật lý ở thang năng lượng thông thường, chúng ta cần hiểu sự tiến hóa của các tham số trong Lagrangian thông qua các phương trình nhóm tái chuẩn hóa.
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày các hàm β ở mức một vòng cho tham số của mô hình MSSM Bắt đầu với các hằng số tương tác chuẩn, chúng ta có phương trình dgl/dt = -1.
16π 2 blg l 3 , (1.51) trong đót=lnΛvà l= 1,2,3, tương ứng với nhóm chuẩn SU(3)C×SU(2)L× U(1) Y của mô hình chuẩn Các hệ số trong (1.51) được xác định như sau: b1 = − 3 5 −2ng , b2 = 5−2ng , b 3 = 9−2n g ,
(1.52) với ng là số thế hệ (ng = 3 trong mô hình chuẩn).
Trong lý thuyết bất biến siêu đối xứng, định lý không tái chuẩn hóa siêu đối xứng quy định hình thức của các phương trình nhóm tái chuẩn hóa Định lý này khẳng định rằng siêu thế không bị tái chuẩn hóa trong lý thuyết nhiễu loạn, tức là siêu thế chính xác ở mức cây Điều này chỉ ra rằng các đóng góp phân kỳ logarithm cho một quá trình cụ thể có thể được biểu diễn dưới dạng các hệ số tái chuẩn hóa hàm sóng mà không cần đến hệ số tái chuẩn hóa đỉnh.
Do đó, các hàmβ cho tham số trong siêu thế được xác định thông qua các hệ số tái chuẩn hóa hàm sóng, và có dạng: dY u,d,e dt = 1
Hàm beta cho mỗi tham số siêu đối xứng tỷ lệ thuận với chính tham số đó, điều này phản ánh hệ quả của định lý không tái chuẩn hóa siêu đối xứng.
Hàmβ cho các số hạng mềm được xác định như sau: dA ij e dt = 1
(Y eY † eY e) ij + 2(A km e |Y e km | 2 + 3A km d |Y d km | 2 )−6
+ (A ik d −A ij d )(Y † uY u) kj Y d ik
Y d ij + 2(Y dY † u) ik A kj u Y u kj
Y d ij + 2(A km e |Y e km | 2 + 3A km d |Y d km | 2 )
+ (A ik u −A ij u )(Y † dY d) kj Y u ik
Trong trường hợp không có sự trộn giữa các thế hệ sfermion do các số hạng bình phương khối lượng mềm gây ra, phương trình nhóm tái chuẩn hóa cho các khối lượng mềm được biểu diễn bằng công thức: dm²Hₘ/dt = 1.
Phương trình nhóm tái chuẩn hóa một vòng cho các khối lượng gaugino trong mô hình MSSM được xác định bởi các hệ số bl tương tự như trong phương trình nhóm tái chuẩn hóa cho các hằng số tương tác chuẩn Cụ thể, phương trình này có dạng: dlnMl/dt = −1.
8π 2 b l g l 2 (1.65) hay tương đương: dMl dt =− 1
Trong mô hình MSSM, ba tỷ số Ml/g l 2 đều là hằng số không phụ thuộc vào thang tái chuẩn hóa, đạt được ở mức gần đúng một vòng Các hằng số tương tác gặp nhau tại thang năng lượng Λ = MGUT ≈ 2×10^16 GeV, do đó thường giả thiết rằng các khối lượng gaugino cũng bằng nhau tại thang này, được ký hiệu là m 1/2 Trong lý thuyết thống nhất lớn, các hằng số tương tác và khối lượng gaugino tự động thống nhất ở tất cả các thang năng lượng Λ ≥ MGUT, vì lúc này các gaugino thuộc về cùng một biểu diễn của nhóm chuẩn thống nhất lớn Nếu giả thiết này được thỏa mãn, sẽ có mối quan hệ cụ thể giữa các tham số của Lagrangian.
M1 g 1 2 = M2 g 2 2 = M3 g 2 3 = m 1/2 g u 2 , (1.67) đúng với mọi giá trị của thang tái chuẩn hóa Ở đây,gu là giá trị của các hằng số tương tác khi chúng gặp nhau ởΛ =MGUT.
Các tham số phá vỡ siêu đối xứng mềm không xuất hiện trong các phương trình nhóm tái chuẩn hóa cho tham số siêu đối xứng, điều này chứng tỏ rằng sự tồn tại của chúng không ảnh hưởng đến sự tiến hóa theo phương trình nhóm tái chuẩn hóa của các tham số siêu đối xứng Tuy nhiên, các tham số siêu đối xứng lại giữ vai trò quan trọng trong phương trình nhóm tái chuẩn hóa cho các tham số mềm.
Phá vỡ đối xứng điện-yếu SU (2) L × U(1) Y
Sự phá vỡ đối xứng chuẩn liên quan chặt chẽ đến biểu thức thế vô hướng và cực tiểu của nó, bao gồm cả các trường Higgs, squark và slepton Nếu squark hay slepton có trung bình chân không khác 0, sẽ xảy ra sự phá vỡ tự phát của đối xứng màu và điện tích Tương tự, nếu trung bình chân không của sneutrino khác 0, sẽ dẫn đến sự phá vỡ tự phát của đối xứng R-parity Những khả năng này cần được loại trừ, tạo ra các ràng buộc cho không gian tham số của các mô hình siêu đối xứng Giả sử các ràng buộc này được thỏa mãn, sự phá vỡ tự phát đối xứng điện-yếu SU(2)L×U(1)Y chỉ phụ thuộc vào giá trị trung bình chân không của các trường Higgs, với thế Higgs ở mức cây được xác định rõ ràng.
(1.68) trong đó, các lưỡng tuyến Higgs được cho bởi:
Có thể chứng minh rằng cực tiểu của thế Higgs (1.68) dẫn đến hH u ± i H d ± = 0, cho thấy điện tích được bảo toàn trong Higgs sector Tiếp theo, chúng ta sẽ tập trung vào các trường Higgs trung hòa Ở gần cực tiểu thế Higgs, ta có thể đặt H u + = H d − = 0, từ đó thế vô hướng của các trường Higgs trung hòa được xác định.
. Để cho đối xứng điện-yếu bị phá vỡ một cách tự phát trong Higgs sector, các tham số của thế Higgs cần thỏa mãn hai điều kiện sau:
1 Điều kiện ổn định: Thế Higgs cần phải đảm bảo tính ổn định (nghĩa là bị chặn dưới) theo tất cả các hướng Chú ý rằng phần có chứa hằng số tương tác trong (1.71) sẽ triệt tiêu khi |H u 0 |=|H d 0 | Dọc theo hướng này (gọi là "D-flat direction", vì hướng này làm cho số hạng D-term trong thế vô hướng bằng 0), chọn H u 0 =H d 0 ∗ e iϕ Khi đó [25]:
|H d 0 | 2 Thế Higgs núi trờn ổn định khi à 2 +m 2 H u
Do ϕ là pha tùy ý, nên điều kiện ổn định dẫn đến: à 2 +m 2 H u
2 Điều kiện trung bình chân không khác không: Để phá vỡ đối xứng chuẩn, trung bình chân không của trường Higgs phải khác không Nói cách khác, bình phương khối lượng của một tổ hợp tuyến tính nào đó của các trường Higgs phải âm Về mặt toán học, yêu cầu này có nghĩa là:
MGUT Đối với một mô hình thống nhất lớn cụ thể, việc giải các phương trình nhóm tái chuẩn hóa là cần thiết.
Khi áp dụng khối lượng gaugino ở đầu vào, chúng ta có thể xác định các tham số mềm tại thang thống nhất lớn Tiếp theo, chúng ta giải các phương trình nhóm tái chuẩn hóa của mô hình MSSM để thu được các tham số mềm ở thang năng lượng thấp Phương trình nhóm tái chuẩn hóa một vòng cho các tham số mềm trong mô hình thống nhất lớn được mô tả bởi công thức dα U dt =−b U.
Trong phương trình !αU π M, αU đại diện cho hằng số tương tác thống nhất, bU là hệ số hàm β, M là khối lượng gaugino chạy, còn m là khối lượng chạy của trường vô hướng trong biểu diễn R của nhóm chuẩn thống nhất lớn Thêm vào đó, C2 là giá trị quadratic Casimir.
Từ điều kiện biên của cơ chế truyền gaugino
M(Mc) =MG 6= 0, m 2 (Mc) = 0, A(Mc) = 0, (2.9) chúng ta có thể tìm được nghiệm như sau: αU(à) − 1 =αU(Mc) − 1 + b U
Áp dụng lời giải cho mô hình SU(5) tối thiểu với cấu trúc hạt được trình bày trong Bảng 2.1, chúng ta có hệ số hàm beta là bU = 3 Từ đó, ta có thể tính toán như sau: αU(MGUT) − 1 = αU(Mc) − 1 + 3.
Khối lượng gaugino chung ở thang thống nhất lớn được ký hiệu là m1/2 = M(MGUT) Mặc dù khối lượng các sfermion tại thang thống nhất lớn không mang tính phổ quát, nhưng các mối quan hệ giữa các khối lượng mềm của các trường thuộc các biểu diễn khác nhau được xác định thông qua C 2.
Theo mô hình SU(5) tối thiểu, bức tranh phá vỡ đối xứng cho thấy sự tiến hóa khác nhau của các hằng số tương tác và khối lượng, phụ thuộc vào các vùng giá trị khác nhau của thang tái chuẩn hóa.
Ví dụ, sự tiến hóa của các hằng số tương tác chuẩn được trình bày trong Hình 2.3.
Sự tiến hóa của các hằng số tương tác chuẩn
Hình 2.3: Các hằng số tương tác chạy trong lý thuyết thống nhất lớn SU(5)(các đường từ dưới lên trên tương ứng vớiα − 3 1 ,α − 2 1 và α − 1 1 ).
Phổ khối lượng của mô hình thống nhất lớn siêu đối xứng SU (5) 53
Lời giải cho vấn đề τ ˜ -LSP
Ở trên thang thống nhất lớn, nhóm chuẩn thông thường của mô hình MSSM
SU(3)C ×SU(2)L×U(1)Y thống nhất với nhau thành một nhóm chuẩn duy nhất SU(5) Khi đó, các gaugino cũng sẽ có chung khối lượng ở vùng năng
Hình 2.4 minh họa sự phụ thuộc vào Mc của khối lượng stau nhẹ và neutralino nhẹ nhất, cũng như tỷ số khối lượng giữa chúng trong mô hình thống nhất lớn SU(5) tối thiểu khi Mc > MGUT, với các tham số m1/2 = 400 GeV, tanβ = 10 và signà = +1 Khi áp dụng cơ chế truyền gaugino để phá vỡ siêu đối xứng, số lượng tham số tự do còn lại bao gồm m1/2, Mc, tanβ, và signà.
Hình 2.5 minh họa sự phụ thuộc của khối lượng stau nhẹ và neutralino nhẹ nhất, cùng với tỷ số khối lượng giữa chúng trong mô hình thống nhất lớn SU(5) tối thiểu Điều này xảy ra khi Mc > MGUT và m1/2 = 400 GeV.
Trong Hình 2.4, khối lượng của stau và neutralino được thể hiện như một hàm của thang compact hóa Mc Hình 2.4a cho thấy rằng khi Mc đạt khoảng 10^16.5 GeV, stau nặng hơn neutralino, dẫn đến neutralino trở thành LSP Việc đưa vào quá trình tiến hóa của các tham số ở thang thống nhất lớn với một nhóm đối xứng thống nhất đã giải quyết hoàn toàn vấn đề LSP Hình 2.4b thể hiện sự phụ thuộc của tỷ lệ khối lượng giữa các hạt này vào thang compact hóa, cho thấy rằng khi tăng Mc, tỷ lệ khối lượng cũng thay đổi.
M c , không chỉ neutralino trở thành LSP, mà cả sự khác nhau về khối lượng giữa LSP và hạt nhẹ kế tiếp nó (ở đây là stau) cũng cũng tăng theo.
Cần lưu ý rằng giá trị của tanβ không thể quá lớn khi cố định m1/2 và Mc, nếu không lý thuyết sẽ gặp phải vấn đề ˜τ-LSP Ví dụ, với m1/2 = 400 GeV, Mc = 10^18 GeV và signà = +1, tanβ phải nhỏ hơn 44 Điều này chỉ ra rằng với các giá trị đã cho của m1/2 và Mc, có một giới hạn trên cho tanβ.
Khối lượng của các sfermion
Chúng ta thực hiện các tính toán tương tự để phân tích ảnh hưởng của từng tham số lên khối lượng các sparticle bằng cách thay đổi một tham số trong ba tham số đầu vào và giữ nguyên các tham số còn lại Hình 2.6 minh họa sự phụ thuộc của khối lượng các hạt trong thế hệ thứ nhất vào các tham số đầu vào, trong khi Hình 2.7 thể hiện sự phụ thuộc này đối với các hạt thế hệ thứ ba Do thế hệ thứ hai hầu như suy biến với thế hệ thứ nhất, sự phụ thuộc tham số của các sparticle trong thế hệ này cũng được trình bày trong Hình 2.6.
Trong cả hai hình vẽ, sự phân bậc khối lượng giữa squark và slepton được duy trì, với squark luôn nhẹ hơn slepton Đối với squark, sự tách khối lượng ở thế hệ thứ ba lớn hơn so với hai thế hệ đầu, nhờ vào hằng số tương tác Yukawa Ngoại trừ Hình 2.6b, nơi khối lượng sfermion của hai thế hệ đầu gần như không thay đổi theo tanβ, khối lượng sparticle có sự biến đổi theo thang compact hóa Mc và tanβ như thể hiện trong Hình 2.6a, 2.7a và 2.7b Đồng thời, ảnh hưởng của tham số tự do còn lại, khối lượng gaugino tại thang thống nhất lớn m1/2, cũng trở nên rõ rệt hơn Hình 2.6c và 2.7c cho thấy rằng khi m1/2 tăng, khối lượng các sparticle cũng tăng đáng kể.
Hình 2.6 trình bày khối lượng của các sparticle thế thứ nhất và thứ hai dưới dạng hàm số của các tham số khác nhau Cụ thể, (a) thể hiện mối quan hệ giữa thang compact hóa Mc với m1/2 = 400 GeV và tanβ = 10, (b) cho thấy ảnh hưởng của tanβ khi m1/2 = 400 GeV và Mc = 10^18 GeV, và (c) minh họa sự thay đổi của m1/2 với Mc = 10^18 GeV và tanβ = 10 Trong tất cả các hình vẽ, các đường biểu diễn từ dưới lên trên tương ứng với các khối lượng me ˜ 2, mν ˜ e, me ˜ 1, md ˜ 2, mu ˜ 2, mu ˜ 1 và md ˜ 1.
Hình 2.7 thể hiện khối lượng của các sparticle thế hệ thứ ba phụ thuộc vào các yếu tố như thang compact hóa Mc và tanβ Cụ thể, (a) khối lượng được biểu diễn theo Mc với m1/2 = 400 GeV và tanβ = 10; (b) khối lượng theo tanβ với m1/2 = 400 GeV và Mc = 10^18 GeV; (c) khối lượng theo m1/2 với Mc = 10^18 GeV và tanβ = 10 Trong các biểu đồ, tại m1/2 = 400 GeV, các đường từ dưới lên trên tương ứng với các sparticle mτ ˜ 2, mν ˜ τ, mτ ˜ 1, m˜ t 2, m˜ b 2, m˜ b 1 và m˜ t 1.
Khối lượng của các hạt trong gauge-Higgs sector
Nghiên cứu về mô hình chuẩn đã cung cấp thông tin về khối lượng của các boson chuẩn, vì vậy bài viết này tập trung vào các hạt trong lĩnh vực gauge-Higgs, bao gồm gluino, chargino, neutralino và các hạt Higgs Khối lượng của các hạt này được tính bằng cách chéo hóa ma trận khối lượng để thu được các trạng thái riêng khối lượng Trong luận án này, chúng tôi luôn chọn dấu dương cho tham số và cố định hai trong ba tham số đầu vào, sau đó thay đổi tham số còn lại để nghiên cứu ảnh hưởng của nó đến khối lượng các hạt.
Trong Hình 2.8, khối lượng các neutralino được thể hiện như một hàm của các tham số tự do, với Hình 2.8a và 2.8b cho thấy khối lượng này hầu như không thay đổi khi điều chỉnh thang compact hóa Mc và tanβ Sự phụ thuộc này xuất phát từ việc các đóng góp chính cho hai neutralino đầu là bino và wino, trong khi khối lượng của hai neutralino còn lại chủ yếu đến từ số hạng khối lượng Higgs siêu đối xứng àH Điều này cũng lý giải tại sao khối lượng neutralino phụ thuộc mạnh vào khối lượng gaugino chung ở thang thống nhất lớn m1/2, như thể hiện trong Hình 2.8c Tương tự, Hình 2.9 cho thấy khối lượng gluino và chargino cũng có sự phụ thuộc tương tự vào các tham số tự do, với khối lượng chargino chủ yếu được đóng góp bởi wino và khối lượng Higgs siêu đối xứng, trong khi gluino là gaugino tương ứng với nhóm chuẩn SU(3)C.
Khối lượng của các hạt Higgs được biểu diễn dưới dạng hàm của các tham số tự do, cho thấy rằng khối lượng của hạt Higgs nhẹ với CP chẵn hầu như không thay đổi khi các tham số đầu vào biến đổi Ngược lại, khối lượng của các hạt Higgs nặng với CP chẵn có sự biến đổi đáng kể.
CP lẻ) và các hạt Higgs mang điện thay đổi tương đối ít đối với thang compact hóa Mc, thay đổi rất nhiều đối với tanβ và m1/2.
Hình 2.8: Khối lượng của các neutralino như là hàm của: (a) thang compact hóa Mc với m1/2 = 400 GeV và tanβ = 10, (b) tanβ với m1/2 = 400 GeV và
Mc = 10 18 GeV, (c) m1/2 với Mc = 10 18 GeV vàtanβ = 10 Trong các hình vẽ, từ dưới lên trên, các đường tương ứng vớim χ ˜ 0 1 ,m χ ˜ 0 2 ,m χ ˜ 0 3 và m χ ˜ 0 4
Hình 2.9: Khối lượng của gluino và chargino như là hàm của: (a) thang compact hóa Mc với m1/2 = 400 GeV và tanβ = 10, (b) tanβ với m1/2 = 400 GeV và
Mc = 10 18 GeV, (c) m1/2 với Mc = 10 18 GeV vàtanβ = 10 Trong các hình vẽ, từ dưới lên trên, các đường tương ứng vớim χ ˜ ± , m χ ˜ ± và m˜ g.
Hình 2.10: Khối lượng của các hạt Higgs như là hàm của: (a) thang compact hóa Mc với m1/2 = 400 GeV và tanβ = 10, (b) tanβ với m1/2 = 400 GeV và
Mc = 10 18 GeV, (c) m1/2 với Mc = 10 18 GeV vàtanβ = 10 Trong các hình vẽ, từ dưới lên trên, các đường tương ứng vớimh 0 , mH 0 (mA 0 ) và mH ±