CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ
Một số khái niệm cơ bản
Tenxơ là một trường hợp đặc biệt trong hệ thống phần tử, trong đó các thành phần của hệ được xác định bởi hằng số hoặc hàm số trong một hệ cơ sở nhất định Qua phép biến đổi tuyến tính của hệ cơ sở, các thành phần này sẽ thay đổi theo một quy luật rõ ràng.
Các kí hiệu trong hệ thống đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số trên và dưới
Theo quy ước, các chỉ số được ký hiệu bằng chữ Latin với giá trị từ 1 đến 3 Cụ thể, ký hiệu 𝑎𝑖 đại diện cho một trong ba phần tử 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 Tương tự, ký hiệu 𝑎𝑖𝑗 biểu thị một trong chín phần tử.
Hạng của tensor được xác định bởi số lượng chỉ số trong ký hiệu tensor Hệ thống hạng 1, như a_i, phụ thuộc vào một chỉ số và bao gồm 3 hạng tử Trong khi đó, hệ thống hạng 2, như a_ij, phụ thuộc vào hai chỉ số (i, j) và bao gồm 3^2 = 9 phần tử.
Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm 3 𝑛 phần tử
Quy ƣớc về chỉ số
Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ước rằng nếu một chỉ số lặp lại hai lần trong một biểu thức, nó biểu thị tổng từ 1 đến 3 Chỉ số này được gọi là chỉ số câm và có thể được thay thế bằng một ký hiệu khác.
Xét hệ thống hạng hai𝑎 𝑖𝑗
Nếu hai chỉ số trong hệ thống 𝑎 𝑖𝑗 được hoán đổi mà các thành phần của hệ thống không thay đổi dấu giá trị, thì hệ thống này được gọi là hệ thống đối xứng.
Nếu hoán đổi vị trí của hai chỉ số trong hệ thống, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu mà không làm thay đổi giá trị tuyệt đối, thì hệ thống 𝑎 𝑖𝑗 được gọi là hệ thống phản đối xứng.
Ví dụ hệ thống Kronecker
0 , nếu 𝑖 = 𝑗 nếu 𝑖 ≠ 𝑗 là hệ thống đối xứng
Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số
Hệ thống đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau
Ví dụ: Nếu hệ thống 𝑎 𝑖𝑗𝑘 đối xứng theo 2 chỉ số ( 𝑖, 𝑗 ) thì
Hệ thống Levi-Civita là một hệ thống phản đối xứng hạng 3
−1, khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau khi 𝑖, 𝑗, 𝑘 là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3 khi 𝑖, 𝑗, 𝑘 là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3
Cách thành phần còn lại của 𝑒 𝑖𝑗𝑘 = 0
Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) đƣợc xác định bởi vị trí của chỉ số
Hệ thống hạng hai𝑎 𝑖𝑗 gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai
Hệ thống hạng hai𝑎 𝑖𝑗 gọi là tenxơ phản biến hạng hai
Hệ thống hạng hai𝑎 𝑗 𝑖 gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai
Phép biến đổi tọa độ
Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc
𝑦 1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 với véc tơ cơ sở 𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 (Hình 1)
𝑅 = 𝑅 (𝑦 1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 ) là véctơ bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác
Véc tơ 𝑅 được biểu diễn dưới dạng
𝑅 = 𝑦 1 𝑒 1 + 𝑦 2 𝑒 2 + 𝑦 3 𝑒 3 = 𝑦 𝑖 𝑒 𝑖 𝑖 = 1,2,3 (1.1) Xét điểm Q là lân cận của điểm P
𝑑𝑠 2 là độ dài bình phương vô cùng nhỏ của 𝑃𝑄
Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở 𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 là các véctơ đơn vị và trực giao nên tích vô hướng𝑒 𝑖 𝑒 𝑗 =0 nếu 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑒 𝑖 𝑒 𝑗 = 1 nếu 𝑖 = 𝑗 nên 𝑒 𝑖 𝑒 𝑗 = 𝛿 𝑖𝑗 Suy ra:
𝑑𝑠 2 = 𝑒 𝑖 𝑒 𝑗 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 = 𝛿 𝑖𝑗 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 = 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑖 = 𝑑𝑦 1 2 + 𝑑𝑦 2 2 + 𝑑𝑦 3 2 a Các phép tính đối với tenxơ hạng nhất ( vectơ)
Xét một hệ thống𝑎 có các thành phần 𝑎 𝑖 trong hệ cơ sở 𝑒 𝑖
= 𝑎 1 𝑏 2 𝑐 3 + 𝑎 2 𝑏 3 𝑐 1 + 𝑎 3 𝑏 1 𝑐 2 − 𝑎 1 𝑏 3 𝑐 2 − 𝑎 2 𝑏 1 𝑐 3 − 𝑎 3 𝑏 2 𝑐 1 Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là ⊗)
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các phép tính đối với tenxơ hạng hai và hạng cao, tương tự như tenxơ hạng nhất Cụ thể, biểu thức tổng quát cho tenxơ hạng hai có dạng: \( a_1 b_1 e_1 \otimes e_1 + a_1 b_2 e_1 \otimes e_2 + a_1 b_3 e_1 \otimes e_3 + a_2 b_1 e_2 \otimes e_1 + a_2 b_2 e_2 \otimes e_2 + a_2 b_3 e_2 \otimes e_3 + a_3 b_1 e_3 \otimes e_1 + a_3 b_2 e_3 \otimes e_2 + a_3 b_3 e_3 \otimes e_3 \) Các phép tính này cho phép chúng ta xử lý và phân tích các tenxơ phức tạp hơn một cách hiệu quả.
Phép tính cộng và trừ chỉ có thể thực hiện với các tenxơ cùng hạng và cùng loại, trong khi phép nhân có thể áp dụng cho hai tenxơ có hạng bất kỳ.
Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : 𝔸 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑒 𝑖 𝑒 𝑗
Phép nhân (tích tensor) của các tensor tạo ra tensor hạng cao hơn Khi thực hiện các phép cộng và nhân tensor, cần lưu ý rằng chỉ số dưới vẫn giữ nguyên là chỉ số dưới, trong khi chỉ số trên vẫn giữ nguyên là chỉ số trên Cụ thể, khi nhân hai tensor \( a_{ij} \) và \( b_{kl} \), kết quả là tensor mới \( a_{ij} b_{kl} e_{ij} \otimes e_{kl} \), dẫn đến \( a_{ij} b_{kl} e_{ij} e_{kl} \).
Hệ tọa độ cong 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 với hệ véc tơ cơ sở 𝑔 1 , 𝑔 2 , 𝑔 3 (Hình 2)
𝑅 = 𝑅 (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) là véctơ bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ cong
Biểu diễn véc tơ𝑅 dưới dạng :
𝑅 = 𝑥 1 𝑔 1 + 𝑥 2 𝑔 2 + 𝑥 3 𝑔 3 = 𝑥 𝑖 𝑔 𝑖 (1.2) Lấy điểm 𝑄 𝑥 𝑖 + 𝑑𝑥 𝑖 là lân cận của điểm 𝑃 𝑥 𝑖
Hình 2 Độ dài bình phương của véc tơ vô cùng nhỏ𝑃𝑄 được xác định bằng
Phép tính đối với vectơ
1.2.3 Phép biến đổi tọa độ
Bán kính𝑅 của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác 𝑂, 𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 biểu diễn dưới dạng:
𝑂𝑃 = 𝑅 = 𝑦 𝑖 𝑒 𝑖 = 𝑦 1 𝑒 1 + 𝑦 2 𝑒 2 + 𝑦 3 𝑒 3 Với các véc tơ cơ sở 𝑒 𝑖 là không đổi
Trong hệ tọa độ cong 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, các biến 𝑥𝑖 được liên kết với tọa độ Đề các 𝑦𝑖 trong miền nghiên cứu thông qua phép biến đổi liên tục vi phân thuận nghịch và đơn trị.
𝑥 𝑖 = 𝑓 𝑖 𝑦 1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 và 𝑦 𝑖 = 𝜑 𝑖 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không
𝜕𝑦 𝑗 là nghịch đảo của nhau
𝜕𝑥 𝑗 = 𝑅 ,𝑗 (1.3) Các véctơ 𝑔 𝑗 = 𝑔 𝑗 𝑃 = 𝑔 𝑗 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong Trong đó
𝑔 1 là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ 𝑥 1 ;
𝑔 2 là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ 𝑥 2 ;
𝑔 3 là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ 𝑥 3
Cùng với hệ véctơ cơ sở𝑔 𝑖 , ta đƣa vào hệ véctơ cơ sở phản biến𝑔 𝑖 liên hệ theo hệ thức sau
Khi xem xét một lân cận rất nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, sự chuyển dịch nhỏ từ điểm 𝑃 𝑥 𝑖 đến điểm 𝑄 𝑥 𝑖 + 𝑑𝑥 𝑖 sẽ tạo ra vi phân nhỏ của véc tơ bán kính 𝑅 tại điểm 𝑃.
𝜕𝑥 3 𝑑𝑥 3 = 𝑔 1 𝑑𝑥 1 + 𝑔 2 𝑑𝑥 2 + 𝑔 3 𝑑𝑥 3 = 𝑔 𝑖 𝑑𝑥 𝑖 Vậy véctơ 𝑅 được biểu diễn dưới dạng: 𝑅 = 𝑥 𝑖 𝑔 𝑖
Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân đƣợc từ hệ tọa độ cong này 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 sang hệ tọa độ cong khác 𝑥 ′ 1 ; 𝑥 ′ 2 ; 𝑥 ′ 3
Ta kí hiệu𝑔 𝑖 là các rêpe địa phương trong hệ tọa độ cong 𝑥 ′ 1 ; 𝑥 ′ 2 ; 𝑥 ′ 3 Do đó 𝑔 𝑖 sẽ đƣợc xác định từ biểu thức:
Thay 𝑔 𝑗 ở (1.3) vào ( 1.6), biểu thức trở thành:
Khai triển cụ thể sẽ đƣợc kết quả:
𝜕𝑥 ′ 3 ∙ 𝑔 3 Ngƣợc lại, nếu biến đổi từ hệ tọa độ cong 𝑥 ′ 1 ; 𝑥 ′ 2 ; 𝑥 ′ 3 sang hệ tọa độ cong
3 Xét một véctơ (tenxơ hạng nhất) bất kỳ𝑎 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 Có thể biểu diễn véc tơ𝑎 dưới dạng:
𝑎 = 𝑎 𝑖 𝑔 𝑖 = 𝑎 𝑗 𝑔 𝑗 Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác, véctơ𝑎 không đổi Biểu diễn𝑎 với các thành phần phản biến
𝜕𝑥 𝑚 ∙ (1.11) Khai triển (1.11) cho biểu thức sau:
𝜕𝑥 3 𝑎 3 ∙ Biểu diễn 𝑎 với các thành phần hiệp biến
𝜕𝑥 ′ 𝑖 ∙ (1.14) Biểu diễn cụ thể (1.14) nhƣ sau
𝜕𝑥 ′ 3 𝑎 3 Đối với tenxơ hạng hai
Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:
𝔸 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑗 𝑖 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 Trong đó 𝑎 𝑖𝑗 là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ
𝑎 𝑖𝑗 là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ
𝑎 𝑗 𝑖 là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ
Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở
3 tenxơ hạng 2 sẽ đƣợc biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành phần 2 lần phản biến nhƣ sau:
Ví dụ nếu khai triển chi tiết thành phần 𝑎 ′ 11 ta sẽ đƣợc
𝜕𝑥 3 𝑎 23 Tƣợng tự với 8 thành phần còn lại của𝑎 ′ 𝑖𝑗 với chú ý là𝑎 ′ 12 = 𝑎 ′ 21 ; 𝑎 ′ 13 𝑎 ′ 31 ; 𝑎 ′ 23 = 𝑎 ′ 32
Nếu biểu diễn dưới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2 sẽ có dạng:
Hệ thống𝑎 ′ 𝑖𝑗 gồm có 9 phần tử𝑎 ′ 11 , 𝑎 ′ 12 , 𝑎 ′ 13 , 𝑎 ′ 21 , 𝑎 ′ 22 , 𝑎 ′ 23 , 𝑎 ′ 31 , 𝑎 ′ 32 , 𝑎 ′ 33 trong đó𝑎 ′ 12 = 𝑎 ′ 21 ; 𝑎 ′ 13 = 𝑎 ′ 31 ; 𝑎 ′ 23 = 𝑎 ′ 32
Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ đƣợc:
𝜕𝑥 ′ 2 𝑎 23 Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến:
𝜕𝑥 ′ 𝑗 (1.18) Tương tự đối với tenxơ hạng cao ta có:
Do các véc tơ 𝑔 𝑖 ; 𝑔 𝑗 đều là các véctơ cơ sở nên véctơ𝑔 𝑖 có thể biểu diễn thông qua hệ véctơ cơ sở 𝑔 𝑗 và ngƣợc lại
Nhân cả hai vế của (1.19) với 𝑔 1 ta đƣợc
𝑔 11 = 𝛼 1 Làm tương tự, ta nhân hai vế của ( 1.19) với𝑔 2
Thay các 𝛼 1 ; 𝛼 2 ; 𝛼 3 vào ( 1.19) suy ra
𝑔 1 = 𝑔 11 𝑔 1 + 𝑔 12 𝑔 2 + 𝑔 13 𝑔 3 ⇒ 𝑔 𝑖 = 𝑔 𝑖𝑚 𝑔 𝑚 ( 1.22) Ngƣợc lại véc tơ 𝑔 𝑖 có thể biểu diễn qua các cơ sở𝑔 𝑗 Ví dụ
𝑔 1 = 𝛽 1 𝑔 1 + 𝛽 2 𝑔 2 + 𝛽 3 𝑔 3 ( 1.23) Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với𝑔 1 sẽ đƣợc
Thực hiện tương tự, nhân hai vế của ( 1.23) với𝑔 2 sẽ có
Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số nhƣ sau:
1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide a Tenxơ mêtric hiệp biến
Xét trong hệ tọa độ Đềcác Gọi 𝑑𝑠 2 là độ dài bình phương của véctơ vô cùng nhỏ là
𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑅 𝑑𝑅 = 𝑒 𝑑𝑦 𝑖 𝑖 𝑒 𝑑𝑦 𝑗 𝑗 = 𝑒 𝑒 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 = 𝛿 𝑖𝑗 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 1.25 = 𝑑𝑦 1 2 + 𝑑𝑦 2 2 + 𝑑𝑦 3 2 Xét trong tọa độ cong 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3
𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑅 𝑑𝑅 = 𝑔 𝑖 𝑑𝑥 𝑖 𝑔 𝑗 𝑑𝑥 𝑗 = 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 = 𝑔 𝑖𝑗 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 ( 1.26) Trong đó 𝑔 𝑖𝑗 = 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong
Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi
𝜕𝑥 𝑗 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 ( 1.27) Đồng nhất (1.26) với (1.27) nhận đƣợc
Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến nhƣ sau
𝜕𝑥 3 b Xác định tenxơ mêtric phản biến
Hệ véctơ cơ sở phản biến 𝑔 𝑖 liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức
𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝛿 𝑗 𝑖 - tenxơ Kronecker Với hệ cơ sở 𝑔 𝑖 , 𝑔 𝑖 , 𝑔 𝑖 đã biết ta xác định đƣợc
𝑔 Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao (𝑔 1 ⊥ 𝑔 2 , 𝑔 3 ; 𝑔 1 ⊥ 𝑔 2 ; 𝑔 3 ), các véc tơ cơ sở 𝑔 𝑖 , 𝑔 𝑖 trùng nhau về hướng nhưng độ lớn khác nhau
Thật vậy, ta có 𝑔 1 × 𝑔 2 = 𝑘𝑔 3 mà
𝑔 Suy ra : 𝑔 3 , 𝑔 3 cùng hướng, khác nhau về độ lớn
Tương tự các cặp 𝑔 1 , 𝑔 1 ; 𝑔 2 , 𝑔 2 cũng cùng chiều và khác độ lớn
Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính𝑔 11 𝑔 11 ta đƣợc:
𝑔 11 Thực hiện tương tự ta cũng nhận được
𝑔 𝑖𝑖 = 𝑔 𝑖 𝑔 𝑖 = 𝑔 𝑖 2 ⇒ 𝑔 𝑖 = 𝑔 𝑖𝑖 Giống nhƣ trên ta có thể suy ra𝑔 𝑖 = 𝑔 𝑖𝑖
Hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu là hai hệ tọa độ cong trực giao Ta đi xác định tenxơ metric trong hai hệ tọa độ này
Phép biến đổi tọa độ
𝜕𝑧 = 1 Suy ra từ công thức (1.31)
𝑔 3 = 0,0,1 Thay (1.31) vào (1.29) ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ trụ
Thay (1.32) vào (1.30) ta sẽ thu đƣợc các thành phần của tenxơ metric phản biến trong hệ tọa độ trụ
Trong hệ tọa độ cầu (Hình 4)
𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 𝑟 , 𝜃 , 𝜑 Phép biến đổi tọa độ:
Ta tính đƣợc các đạo hàm riêng
𝑔 3 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 , 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 , −𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 Thay (1.33) vào (1.29) ta có các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cầu
Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong tọa độ cong
Thành phần vật lý của tenxơ
Xét véctơ 𝑎 ( tenxơ hạng nhất )
𝑎 = 𝑎 𝑖 𝑔 = 𝑎 𝑖 𝑖 𝑔 𝑖 Gọi các véc tơ 𝑒 , 𝑒 𝑖∗ 𝑖 ∗ là các véctơ phản biến và hiệp biến đơn vị
Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao, 𝑔 , 𝑔 𝑖 𝑖 trùng nhau về hướng, khác nhau về độ lớn nên các véc tơ 𝑒 , 𝑒 𝑖∗ 𝑖 ∗ trùng nhau Vậy 𝑎 𝑖 𝑔 𝑖𝑖 = 𝑎 𝑖 𝑔 𝑖𝑖 = 𝑎 𝑖 ∗
Ta gọi 𝑎 𝑖 ∗ là thành phần vật lý của tenxơ hạng nhất
𝐴 𝑖 gọi là hệ số Lamé Thành phần vật lý của véctơ 𝑎 có dạng :
Một tenxơ hạng 2 bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:
𝑎 𝑖𝑗 ∗ là thành phần vật lý của tenxơ hạng hai
Tương tự như trên ta có thể xác định được thành phần vật lý của tenxơ hạng bất kỳ
𝑎 32 ∗ = 𝑎 32 𝐴 2 𝐴 3 Áp dụng đối với hệ tọa độ trụ 𝑟, 𝜑, 𝑧
𝐴 1 = 1 , 𝐴 2 = 𝑟 , 𝐴 3 = 1 Đối với hệ tọa độ cầu 𝑟, 𝜑, 𝜃
Tổng kết lại ta có bảng giá trị sau:
Tọa độ trụ 𝒓, 𝝋, 𝒛 (Hình 3) Tọa độ cầu 𝒓, 𝜽, 𝝋 (Hình 4)
Đạo hàm hiệp biến
1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở
Sử dụng công thức (1.3) thu đƣợc đạo hàm hiệp biến của véctơ cơ sở
Ta biểu thị 𝑔 𝑖,𝑗 qua các véctơ cơ sở nhƣ sau :
Các đại lượng Γ 𝑖𝑗 𝑟 và Γ 𝑖𝑗𝑠 là các hệ số liên quan đến Christoffel loại 1 và loại 2 Để xác định các thành phần của Christoffel, chúng ta sử dụng công thức biến đổi hệ vectơ cơ sở.
Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc 𝑂𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3 với hệ véctơ cơ sở 𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3
𝜕𝑦 1 𝑔 3 = 𝛼𝑔 1 + 𝛽𝑔 2 + 𝛾𝑔 3 (1.41) Nhân 2 vế của (1.41) với𝑔 1 Do hệ cong trực giao nên𝑔 1 𝑔 2 = 𝑔 1 𝑔 3 = 0, nên
𝜕𝑥 1 , Tiến hành tương tự, ta nhân lần lượt hai vế của (1.41) với𝑔 2 , 𝑔 3 sẽ thu được
𝜕𝑥 3 𝑔 3 ∙ Công thức tổng quát là
Kí hiệu Christoffel xuất hiện trong biểu thức (1.39) và trong mục này, chúng ta sẽ xác định các thành phần của kí hiệu này thông qua tenxơ mêtríc và đạo hàm của véctơ cơ sở.
Ta đồng nhất (1.45) và (1.39) rút ra đƣợc: Γ 𝑖𝑗𝑠 = 𝜕 2 𝑦 𝑟
𝜕𝑥 𝑠 (1.46) a Xác định biểu thức Γ 𝑖𝑗𝑠 qua tenxơ mêtríc 𝑔 𝑖𝑗
𝜕𝑥 𝑖 Tương tự ta tính được :
2 𝑔 𝑖𝑠,𝑗 + 𝑔 𝑗𝑠 ,𝑖 − 𝑔 𝑖𝑗 ,𝑠 (1.47) Đạo hàm véctơ cơ sở phản biến Để xác định đạo hàm véctơ cở sở phản biến ta xuất phát từ biểu thức (1.22):
𝜕𝑥 𝑗 𝑔 𝑚𝑠 = 𝑔 𝑚𝑠 ,𝑗 (1.52) Thay (1.52) vào (1.51) cho kết quả
Thay (1.53) vào (1.50) ta nhận đƣợc:
Biểu thức (1.54) xác định các thành phần của đạo hàm véctơ cơ sở phản biến, đồng thời thể hiện mối liên hệ giữa các thành phần Γ và đạo hàm của véctơ cơ sở.
Do ta đã xác định đƣợc biểu thức
𝜕𝑥 𝑠 = Γ 𝑖𝑗𝑠 = Γ 𝑗𝑖𝑠 Để xét𝑔 𝑖,𝑗 𝑔 𝑟 ta thay𝑔 𝑖,𝑗 ở biểu thức (1.45) vào tích 𝑔 𝑟 𝑔 𝑖,𝑗 sẽ có
𝜕𝑥 𝑠 𝑔 𝑖𝑗 = 𝑔 𝑖𝑗 ,𝑠 Vậy tổng hợp 3 biểu thức trên ta đƣợc kết quả nhƣ sau: Γ 𝑖𝑗𝑠 = Γ 𝑗𝑖𝑠 = 𝑔 𝑖,𝑗 𝑔 𝑠 = 𝑔 𝑗 ,𝑖 𝑔 𝑠 , Γ 𝑖𝑗 𝑟 = Γ 𝑗𝑖 𝑟 = 𝑔 𝑟 𝑔 𝑖,𝑗 = 𝑔 𝑟 𝑔 𝑗 ,𝑖 , 1.55 Γ 𝑖𝑠𝑗 + Γ 𝑗𝑠𝑖 = 𝑔 𝑖𝑗 ,𝑠 Trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc các véctơ cơ sở𝑒 𝑖 không đổi,𝑦 𝑖 ≡ 𝑥 𝑖
Trong hệ tọa độ cong trực giao, với 𝑖 ≠ 𝑗 ≠ 𝑠 thì 𝑔 𝑖 ⊥ 𝑔 𝑗 ⊥ 𝑔 𝑠
Thay vào công thức (1.47) suy ra: Γ 𝑖𝑗𝑠 = 0 𝑖 ≠ 𝑗 ≠ 𝑠 ≠ 𝑖 (1.57)
ThayΓ 𝑖𝑗𝑠 = 0 vào biểu thức (1.40) suy raΓ 𝑖𝑗 𝑠 = 0 𝑖 ≠ 𝑗 ≠ 𝑠 ≠ 𝑖
Sử dụng biểu thức (1.47) tính đƣợc các hạng tử Γ 𝑖𝑖𝑠 =1
Để tính các thành phần của ký hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và cầu, chúng ta sử dụng bảng giá trị \( g_{ij} \) ở bảng 1 Từ đó, ta tính ra các \( g_{ij,s} \) và \( g_{i,j} \), sau đó thay vào công thức (1.58) để có được kết quả cuối cùng.
Trong hệ tọa độ trụ,cầu có 27 thành phần Γ nhƣng do tính chất Γ 𝑖𝑗𝑠 = Γ 𝑗𝑖𝑠 ; Γ 𝑖𝑗 𝑟 Γ 𝑗𝑖 𝑟 (9 cặp) nên ta chỉ cần tính 18 thành phần Christoffel
Trong hệ tọa độ trụ ( Christoffel loại haiΓ 𝑖𝑗 𝑟 )
Vậy trong hệ tọa độ trụ chỉ có 3 thành phần của kí hiệu Christoffel khác không Γ 12 2 ; Γ 21 2 ; Γ 22 1 Γ 1 = −𝑟, Γ 2 = Γ 2 =1
Trong hệ tọa độ cầu (Christoffel loại 2 Γ 𝑖𝑗 𝑟 )
2𝑟 2 ∙ 2𝑟 2 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑 = −𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑 , Các thành phần khác bằng 0
1.4.3 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất
Trong hệ tọa độ cong𝑥 𝑖 với các véctơ cơ sở𝑔 𝑖 tạo thành rêpe địa phương thay đổi tại từng điểm
Xét véctơ 𝑎 có các thành phần phản biến𝑎 𝑖 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3
𝑎 = 𝑎 𝑖 𝑔 𝑖 Lấy vi phân biểu thức của véctơ 𝑎
Sử dụng biểu thức𝑔 𝑖,𝑗 = Γ 𝑖𝑗 𝑟 𝑔 𝑟 suy ra
𝑑𝑔 𝑖 = Γ 𝑖𝑗 𝑟 𝑔 𝑟 𝑑𝑥 𝑗 (1.60) Thay (1.60) vào (1.59), biểu thức (1.59) trở thành
Biểu thức (1.63) là đạo hàm hiệp biến của tenxơ phản biến hạng nhất𝑎 𝑖 đối với biến số𝑥 𝑘 trong hệ tọa độ cong
𝐷𝑎 𝑖 gọi là vi phân tuyệt đối của thành phần 𝑎 𝑖 của véctơ 𝑎
Trong trường hợp rêpe cố định 𝑑𝑔 𝑖 = 0, ⇒ Γ 𝑗𝑘 𝑖 = 0 suy ra∇ 𝑘 𝑎 𝑖 = 𝑎 𝑖 ,𝑘
Xét véctơ 𝑎 với các thành phần hiệp biến 𝑎 𝑖
𝑎 = 𝑎 𝑖 𝑔 𝑖 Lấy vi phân hai vế của véctơ 𝑎
= 𝑔 𝑖 𝑎 𝑖,𝑘 + 𝑎 𝑖 Γ 𝑘𝑖 𝑗 𝑑𝑥 𝑘 (1.65) Đặt: ∇ 𝑘 𝑎 𝑖 = 𝑎 𝑖,𝑘 + 𝑎 𝑖 Γ 𝑘𝑖 𝑗 (1.66) là đạo hàm biệp biến của ten xơ hạng nhất a 𝑖
1.4.4 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai
Xét đạo hàm hiệp biến của các thành phần phản biến của tenxơ hạng hai 𝔸
𝔸 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 (1.68) Lấy vi phân hai vế biểu thức (1.68)
𝑑𝔸 = 𝑑 𝑎 𝑖𝑗 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑑 𝑎 𝑖𝑗 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 + 𝑎 𝑖𝑗 𝑑𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 + 𝑎 𝑖𝑗 𝑔 𝑖 𝑑𝑔 𝑗 , (1.69) ở số hạng thứ 2: 𝑎 𝑖𝑗 𝑑𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 , ta thế 𝑑𝑔 𝑖 ở biểu thứ (1.60) và thay 𝑖 = 𝑚 ; 𝑗 𝑘 ; 𝑟 = 𝑖 thì số hạng thứ 2 trở thành:
𝑎 𝑖𝑗 𝑑𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑚𝑗 𝑔 𝑗 Γ 𝑚𝑘 𝑖 𝑔 𝑖 𝑑𝑥 𝑘 = 𝑎 𝑚𝑗 Γ 𝑚𝑘 𝑖 𝑑𝑥 𝑘 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 , ở số hạng thứ 3, sử dụng biểu thức (1.60) và thay các chỉ số 𝑟 = 𝑗; 𝑖 = 𝑘; 𝑗 = 𝑚 thì số hạng thứ 3 trở thành:
𝑎 𝑖𝑗 𝑔 𝑖 𝑑𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑖𝑚 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 Γ 𝑚𝑘 𝑗 𝑑𝑥 𝑘 , Thay các số hạng số 2,3 vừa biểu diễn ở trên vào biểu thức (1.69) nhận đƣợc
𝑑𝔸 = 𝑑𝑎 𝑖𝑗 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 + 𝑎 𝑚𝑗 Γ 𝑚𝑘 𝑖 𝑑𝑥 𝑘 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 + 𝑎 𝑖𝑚 Γ 𝑚𝑘 𝑗 𝑑𝑥 𝑘 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑑𝑎 𝑖𝑗 + 𝑎 𝑚𝑗 Γ 𝑚𝑘 𝑖 𝑑𝑥 𝑘 + 𝑎 𝑖𝑚 Γ 𝑚𝑘 𝑗 𝑑𝑥 𝑘 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 (1.70) Vậy vi phân tuyệt đối của các thành phần 𝑎 𝑖𝑗 của tenxơ 𝔸 có dạng
Và đạo hàm hiệp biến
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ
Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động
Bài luận văn này trình bày việc áp dụng kết quả từ véctơ ứng suất, công thức Ostrogradsky-Gauss, định lý động lượng và các thành phần vật lý của tenxơ để phân tích vấn đề nghiên cứu.
Giả sử tại thời điểm 𝑡 ta xét một vật có thể tích 𝑉 giới hạn bởi mặt 𝑆 của môi trường liên tục chuyển động
Vật chuyển động với vận tốc 𝑣 chịu tác động của lực khối 𝐾, và tại một điểm bất kỳ trên mặt 𝑆, lực này tạo ra véctơ ứng suất 𝑇 𝑛 = 𝑇 ∗ 𝑖 𝑛 𝑖 Động lượng tổng cộng của môi trường trong khối lượng 𝑉 được ký hiệu là 𝑄 và được xác định theo một biểu thức cụ thể.
Theo định lý về động lƣợng: biến thiên động lƣợng của miền nào đấy trong môi trường liên tục bằng tổng các lực tác dụng lên môi trường đó
(2.1) Áp dụng công thức Ostrogradsky- Gauss, ta đƣa biểu thức tích phân mặt trong (2.1) thành biểu thức tích phân thể tích
(2.2) Xét vế trái của (2.1), ta sử dụng công thức tính đạo hàm vật chất của tích phân khối
Theo định luật bảo toàn khối lượng : khối lượng của phần môi trường vật chất giữ nguyên, không đổi trong quá trình chuyển động Do đó
Thể tích 𝑉 đƣợc chọn tùy ý nên
(2.3) Thay (2.2), (2.3) vào (2.1) thu đƣợc biểu thức
Do thể tích V là tùy ý nên biểu thức (2.4) tương đương
Phương trình (2.5) mô tả chuyển động của môi trường liên tục, với 𝑑𝑡 = 𝜌𝑤 Trong đó, 𝑇 ∗ 𝑖 được xác định bởi công thức 𝜎 𝑖𝑗 𝑔 𝑗 Bằng cách áp dụng biểu thức đạo hàm hiệp biến cho tenxơ hạng hai, chúng ta có thể biểu diễn các mối quan hệ này một cách rõ ràng hơn.
𝜕𝑡 + 𝑣 𝑘 ∇ 𝑘 𝑣 𝑗 , nên (2.5) đƣợc viết nhƣ sau
∇ 𝑖 𝜎 𝑖𝑗 𝑔 𝑗 + 𝜌𝐾 = 𝜌𝑤 Viết dưới dạng toàn phần
∇ 𝑖 𝜎 𝑖𝑗 𝑔 𝑗 + 𝜌𝐾 𝑗 𝑔 𝑗 = 𝜌𝑤 𝑗 𝑔 𝑗 ⇔ ∇ 𝑖 𝜎 𝑖𝑗 + 𝜌𝐾 𝑗 = 𝜌𝑤 𝑗 (2.6) Các phương trình ở (2.6) là các phương trình chuển động của môi trường liên tục khi chiếu lên các trục tọa độ
Biểu thức (2.6) có thể biểu diễn chi tiết bởi 3 phương trình
∇ 1 𝜎 13 + ∇ 2 𝜎 23 + ∇ 3 𝜎 33 + 𝜌𝐾 3 = 𝜌𝑤 3 Nếu vận tốc của vật thể bằng không thì 𝑤 = 0 phương trình (2.5) có dạng
∇ 𝑖 𝜎 𝑖𝑗 𝑔 𝑗 + 𝜌𝐾 = 0 (2.7) Phương trình (2.7) là phương trình cân bằng của môi trường liên tục
Xác định phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ 𝑟, 𝜃, 𝑧
𝜎 33 ∗ = 𝜎 𝑧𝑧 Áp dụng biểu thức đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng hai (1.72) ta có
𝜕𝑥 𝑖 + Γ 𝑚𝑖 𝑖 𝜎 𝑚𝑗 + Γ 𝑚𝑖 𝑗 𝜎 𝑖𝑚 (2.8) Trong hệ tọa độ trụ chỉ có 3 thành phần Christoffel (Γ 22 1 = −𝑟, Γ 12 2 = Γ 21 2 = 1
𝑟 ) là khác không, còn lại là bằng không
Ta sử dụng kết quả đã thống kê trong bảng 1: 𝐴 1 = 1; 𝐴 2 = 𝑟 ; 𝐴 3 = 1
Từ đó ta thay i,j=1 vào (2.8) với lưu ý 𝜎 𝑖𝑚 = 𝜎 𝑚𝑖 , Γ 𝑚𝑖 𝑗 = Γ 𝑖𝑚 𝑗 sẽ thu được
𝜕𝑥 1 + 2 Γ 11 1 𝜎 11 + Γ 21 1 𝜎 12 + Γ 31 1 𝜎 13 Áp dụng thành phần vật lý của tenxơ hạng hai:
𝜕𝑟 , Thay i=2, j=1 vào (2.8) và thay thành phần vật lý của tenxơ hạng hai nhƣ trên ta có
𝜕𝑟 , Áp dụng tương tự ta tính được các giá trị còn lại
Thay thế các giá trị của ∇𝑖𝜎𝑖1 vào phương trình đầu tiên của (2.6), tiếp theo thay các giá trị ∇𝑖𝜎𝑖2 vào phương trình thứ hai và cuối cùng thay các giá trị ∇𝑖𝜎𝑖3 vào phương trình thứ ba, chúng ta sẽ thu được kết quả mong muốn.
𝜕𝑧 + 𝜌𝐾 𝑧 = 𝜌𝑤 𝑧 Vậy phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ được biểu diễn bởi các phương trình
𝜕𝑧 + 𝜌𝐾 𝑧 = 𝜌𝑤 𝑧 Với cách làm tương tự như trên ta có thể viết được phương trình chuyển động trong hệ tọa độ cầu 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 𝑟, 𝜃, 𝜑
Trong hệ tọa độ cầu có 𝐴 1 = 1; 𝐴 2 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 ; 𝐴 3 = 𝑟
Có 9 thành phần của ký hiệu ChristoffelΓ 𝑖𝑗 𝑘 khác không, còn lại bằng không Γ 22 1 = −𝑟𝑠𝑖𝑛 2 𝜑 Γ 33 1 = −𝑟 Γ 12 2 = Γ 21 2 =1
Ta cũng áp dụng biểu thức (2.8) tính đƣợc
Ta thay các ∇ 𝑖 𝜎 𝑖𝑗 lần lượt vào các phương trình của (2.6) như sau
= ρ𝑤 𝜑 Vậy ta xác định được các phương trình chuyển động trong hệ tọa đồ cầu
Qua các phép tính toán, chúng ta đã xác định được các phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ và cầu, tương ứng với các phương trình đã nêu ở (2.9) và (2.10).
Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị
Tenxơbiến dạng nhỏ trong hệ tọa độ cong bất kỳ đƣợc cho bởi biểu thức
2 ∇ 𝑖 𝑢 𝑗 + ∇ 𝑗 𝑢 𝑖 (2.11) Thay biểu thức đạo hàm đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất (1.60) vào (2.11) ta thu đƣợc
2 𝑢 𝑖,𝑗 + 𝑢 𝑗 ,𝑖 − Γ 𝑗𝑖 𝑘 𝑢 𝑘 (2.12) Trong hệ trực giao, áp dụng biểu thức (1.58)ở chương 1 vào (2.12) để thiết lập các thành phần vật lý của tenxơ biến dạng
Với 𝑒 11 ta thay 𝑖 = 1, 𝑗 = 1, 𝑘 = 1, 2, 3 vào (2.12) biểu thức trở thành
Với 𝑒 22 ta thay 𝑖 = 2, 𝑗 = 2, 𝑘 = 1,2, 3 (Γ 22 2 = 0) vào (2.12) thu đƣợc
𝜕𝑥 3 (2.14) Với 𝑒 33 ta thay 𝑖 = 3, 𝑗 = 3, 𝑘 = 1, 2,3(Γ 33 3 = 0)vào (2.12) có biểu thức
𝜕𝑥 2 ∙ (2.15) Với 𝑒 12 ta thay 𝑖 = 1, 𝑗 = 2, 𝑘 = 1, 2 (vì hệ trực giao nên Γ 12 3 = 0) vào (2.12) nhận đƣợc
𝐴 1 (2.16) Với 𝑒 13 , 𝑒 23 ta thay 𝑖 = 1; 2, 𝑗 = 3, 𝑘 = 1, 3; 2, 3 vào (1.30), chú ý vì hệ trực giao nên Γ 13 2 = Γ 23 1 = 0 và làm tương tự 𝑒 12 ta có
Tổng hợp các công thức (2.13)-(2.18) thu đƣợc các thành phần vật lý của tenxơ biến dạng
Xét trong hệ tọa độ trụ 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 𝑟, 𝜑, 𝑧
𝜀 13 ∗ = 𝜀 𝑧𝑟 , Theo bảng 1 ở chương 1, ta có
Ta thay các giá trị 𝑢 𝑖 ∗ , 𝜀 𝑖𝑗 ∗ , 𝐴 𝑖 tương ứng vào biểu thức (2.19) sẽ được
𝜕𝑟 Các tenxơ trên là các tenxơ biến dạng trong hệ tọa độ trụ, ta có thể viết gọn lại nhƣ sau
𝜕𝑟 Với cách tính nhƣ trong hệ tọa trụ, ta hoàn toàn có thể áp dụng đƣợc đối với hệ tọa độ cầu
Xét trong hệ tọa độ cầu 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 𝑟, 𝜃, 𝜑
𝜀 13 ∗ = 𝜀 𝑟𝜑 Theo bảng 1 ở chương 1, ta có
Ta thay các giá trị 𝑢 𝑖 ∗ , 𝜀 𝑖𝑗 ∗ , 𝐴 𝑖 tương ứng vào biểu thức (2.19) sẽ được
Tổng hợp các biểu thức trên ta đƣợc các thành phần của tenxơ biến dạng trong hệ tọa độ cầu
Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng
2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi
Vỏ mỏng là vật thể giới hạn bởi hai mặt cong, độ dày của vỏ nhỏ so với các kích thước khác
Mặt giữa là mặt chia đôi độ dày của vỏ, và dựa vào hình dạng của mặt giữa, chúng ta có thể phân loại các loại vỏ như vỏ cầu, vỏ nón, v.v Bài viết này chỉ tập trung vào các loại vỏ có độ dày không đổi.
Vectơ bán kính điểm 𝑟 = 𝑂𝑃 của mặt giữa là hàm𝑟 𝜉 1 , 𝜉 2 Trong đó 𝜉 1 , 𝜉 2 là hai thông số tạo thành hệ tọa độ cong của các điểm trên mặt Ta có
Khi đó phần tử đường được xác định bởi công thức
2.3.2 Thành phần biến dạng của vỏ mỏng
Vỏ mỏng đàn hồi tuân theo giả thiết rằng đoạn thẳng vật chất giao với mặt giữa trước khi biến dạng sẽ giữ nguyên tính thẳng và trực giao với mặt giữa sau khi biến dạng, theo giả thiết pháp tuyến thẳng của Kirchhoff.
Thành phần ứng suất theo pháp tuyến với mặt giữa nhỏ so với các thành phần ứng suất khác nên có thể bỏ qua
Chọn hệ trục tọa độ nhƣ sau trục
𝑧 = 𝑥 3 trực giao với mặt giữa, trục
𝑥 1 = 𝜉 1 , 𝑥 2 = 𝜉 2 hướng theo đường chính khúc ( đường có tiếp tuyến tại mỗi điểm trùng với phương chính) của mặt giữa( Hình 6)
Ta sử dụng công thức (2.19) để xác định thành phần biến dạng của vỏ mỏng
Vỏ có độ dày nhỏ nên
𝑢 3 ∗ ≡ 𝑢 𝑧 ≈ 𝑢 𝑧 0 Trong đó 𝑢 𝜉 0 1 , 𝑢 𝜉 0 2 là chuyển dịch của điểm trên mặt giữa, tức là với 𝑧 = 0
Theo giả thuyết đầu tiên, đoạn thẳng vật chất sẽ giữ nguyên tính chất trực giao với mặt giữa trước và sau khi biến dạng, từ đó dẫn đến hiện tượng biến dạng trượt.
Thay các giá trị 𝑢 1 ∗ , 𝑢 2 ∗ , 𝑢 3 ∗ ở công thức (2.34) vào các giá trị 𝑒 13 ∗ , 𝑒 23 ∗ trong (2.19 ) ta suy ra
Hệ số nhân biến đổi của mặt song song và cách mặt giữa một khoảng 𝑧 có dạng
Trong đó: 𝛼 1 , 𝛼 2 là hệ số nhân biến đổi tọa độ trong biểu thức phần tử đường mặt giữa
𝑅 1 , 𝑅 2 là bán kính chính khúc
Sử dụng công thức (2.37) thay vào công thức (2.36) và cho 𝑧 = 0 ta xác định đƣợc
Thay các giá trị ở (2.38) vào (2.34) ta nhận đƣợc thành phần chuyển dịch theo các hướng 𝜉 1 , 𝜉 2
Do 𝑧 ≪ 𝑅 1 , 𝑅 2 nên bỏ qua số hạng nhỏ 𝑧
𝑅 2 , thay (2.39) và (2.37) vào (2.19 ) với chú ý 𝑒 13 ∗ = 𝑒 23 ∗ = 𝑒 33 ∗ = 0
Có thể viết dưới dạng đơn giản
𝜕𝜉 1 Trong đó 𝑢 𝜉 0 1 , 𝑢 𝜉 0 2 , 𝑢 𝑧 là chuyển dịch mặt giữa,
𝑒 11 0 , 𝑒 22 0 , 𝑒 12 0 biểu thị biến dạng mặt giữa,
𝜒 1 , 𝜒 2 , 𝜒 12 là biến thiên của độ cong mặt giữa,
𝛼 1 , 𝛼 2 là hệ số nhân biến đổi tọa độ trong biểu thức phần tử đường của mặt giữa,
𝑅 1 , 𝑅 2 là bán kính chính khúc
2.3.3 Phương trình cân bằng Để khảo sát các thành phần cân bằng, ta khảo sát các thành phần lực tác dụng vào phần tử vỏ lấy trục 𝑂𝑥, 𝑂𝑦 hướng theo tiếp tuyến với các đường cong tọa độ 𝜉 1 , 𝜉 2 Tổng các lực theo trục 𝑂𝑥 = 0
𝑅 1 + 𝑝 1 𝛼 1 𝛼 2 = 0 (2.42) Tổng các lực theo trục 𝑂𝑦 = 0
𝑅 2 + 𝑝 2 𝛼 1 𝛼 2 = 0 (2.43) Tổng các lực theo trục 𝑂𝑧 = 0
2.3.4Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu a Vỏ trụ Đối với vỏ trụ tròn ta chọn hệ tọa độ nhƣ sau ( Hình 7)
Chọn đường tọa độ 𝜉 1 trùng với đường sinh của trụ tròn và đường 𝜉 2 trùng với đường tròn trong mặt phẳng thẳng góc với trục Bán kính của trụ tròn là 𝑎, do đó phần tử đường có dạng.
𝑅 2 = 𝑎 (2.47) Các thành phần biến dạng của vỏ trụ xác định theo công thức (2.40)
Thay các đại lƣợng ở (2.47) vào công thức (2.41) ta thu đƣợc kết quả sau x ds 𝜃 a
𝜕𝑥 Vậy ta có các thành phần biến dạng của vỏ trụ
𝜕𝑥 Phương trình cân bằng của vỏ trụ tròn được xác định theo các công thức (2.42)- (2.46)
Thay các đại lƣợng ở (2.47) vào các công thức (2.42)-(2.46) và chú ý 𝑁 1 𝑁 𝑥 , 𝑁 2 = 𝑁 𝜃 , 𝑁 12 = 𝑁 𝑥𝜃 , 𝑄 1 = 𝑄 𝑥 , 𝑄 2 = 𝑄 𝜃
Chọn hệ trục tọa độ nhƣ sau (Hình 8)
Trục 𝑂𝑥 là tiếp truyến với đường cong tọa độ 𝜃
Trục 𝑂𝑦 là tiếp tuyến của đường cong tọa độ 𝜑
Bán kính vỏ cầu 𝑅, khi đó phần tử đường có dạng
𝑅 2 = 𝑅 (2.51) Các thành phần biến dạng của vỏ cầu đƣợc xác định theo công thức (2.40) Ta thay các đại lƣợng ở (2.51) vào (2.41) thu đƣợc
𝜕𝜃 Vậy các thành phần tenxơ biến dạng của hệ tọa độ cầu
𝜕𝜃 Các phương trình cân bằng của vỏ cầu mỏng được xác định theo công thức (2.42)- (2.46) với chú ý 𝑁 1 = 𝑁 𝜃 , 𝑁 2 = 𝑁 𝜑 , 𝑁 12 = 𝑁 𝜃𝜑 , 𝑄 1 = 𝑄 𝜃 , 𝑄 2 = 𝑄 𝜑 , 𝑀 1 = 𝑀 𝜃 ,
Mômen đối với trục 𝑂𝑧 là đại lƣợng nhỏ bậc cao nên bỏ qua
Bài viết trình bày các khái niệm và phép tính cơ bản liên quan đến tenxơ, đồng thời áp dụng các phép tính này để xác định các phương trình liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị, cũng như các phương trình cân bằng và chuyển động trong hệ tọa độ cong bất kỳ Qua quá trình biến đổi, bài viết đã thu được các phương trình tính biến dạng - chuyển vị, cùng với hệ phương trình cân bằng trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu.
Luận văn đã đạt đƣợc một số kết quả sau: i Trình bày các phép biến đổi để thu đƣợc
- Các véctơ cơ sở hiệp biến, phản biến của hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu
- Các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu
- Các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu
- Các hệ số Lamé trong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu
- Dẫn ra đƣợc các biểu thức liên hệ giữa các thành phần Christoffel và đạo hàm của véctơ cơ sở
- Xác định đƣợc các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu
Bài viết trình bày các khái niệm quan trọng về đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất và hạng hai Nó cũng trình bày phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu Ngoài ra, bài viết còn hướng dẫn cách tính các thành phần của tenxơ biến dạng trong hai hệ tọa độ này Cuối cùng, các phép tính cơ sở của tenxơ được áp dụng vào bài toán vỏ trụ tròn và vỏ cầu, giúp người đọc hiểu rõ hơn về ứng dụng thực tiễn của lý thuyết tenxơ trong cơ học.
Những hướng nghiên cứu tiếp theo bao gồm việc giải gần đúng bằng phương pháp số cho một số bài toán đặt tải đơn giản của vỏ trụ và vỏ cầu theo các phương pháp đã được thiết lập Ngoài ra, nghiên cứu cũng sẽ tập trung vào việc giải gần đúng cho các bài toán đàn hồi của bản chữ nhật và bản tròn dựa trên các phương trình đã được xác định.