Content Contents Content 1 I INTRODUCTION 2 II BINOMIAL FORMULA AND AN EXTENDED NUMBER 4 1 Combination symbol 4 1 1 Binomial coefficient 4 1 2 Combiniatoric formula 4 2 Pascals triangle and the formation of Newtons binomial formula 5 2 1 The formation of the binomial formula 5 2 2 Newton’s binomial story 6 2 3 Pascal Triangle 9 2 4 Prove the general formula 13 2 5 Prove Newton’s binomial formula 14 3 Some basic properties 15 3 1 Recalling Newtons binomial expansion 15 3 2 Signs of problems us.
INTRODUCTION
Mathematics holds a crucial role in high school education, serving as the foundation for numerous other subjects Its abstract nature captivates many students, allowing them to explore and uncover new concepts as they engage with the material.
Toán học đóng vai trò quan trọng trong chương trình giáo dục phổ thông, là nền tảng cho nhiều môn học khác Môn học này thu hút nhiều học sinh nhờ vào khả năng phát triển tư duy trừu tượng, tạo điều kiện cho các em khám phá những điều mới mẻ trong quá trình học tập.
The binomial expansion theorem, commonly known as the binomial theorem, is a fundamental principle in mathematics that describes the exponential expansion of sums Independently discovered by Isaac Newton in 1665 and James Gregory in 1670, this theorem is also referred to as Newton's formula Mastery of the binomial theorem is essential for high school students, forming a core part of the Algebra and Calculus curriculum The diverse applications of Newton's binomial theorem not only enhance students' mathematical understanding but also support innovative teaching methods aimed at fostering creativity and critical thinking By ensuring students grasp binomial concepts, educators lay a solid foundation for further mathematical learning and interdisciplinary studies, making the improvement of teaching quality in this area a crucial objective.
Định lý khai triển nhị thức, hay còn gọi là định lý nhị thức, là một định lý quan trọng trong toán học liên quan đến việc mở rộng cấp số nhân của các tổng, được phát hiện độc lập bởi Isaac Newton vào năm 1665 và James Gregory vào năm 1670 Công thức này, còn được gọi là Công thức Newton, là kiến thức cơ bản trong chương trình toán THPT Các bài toán về nhị thức Newton không chỉ phong phú, đa dạng mà còn rất quan trọng cho học sinh, giúp phát triển tư duy và trí tuệ Việc nắm vững kiến thức về nhị thức là nền tảng cho việc học tập hiệu quả trong môn Toán và các môn học khác Do đó, giáo viên cần chú trọng nâng cao chất lượng dạy học phân môn nhị thức để đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh và cải tiến phương pháp dạy học toán tại trường phổ thông.
The binomial formula serves to both review and systematize mathematical knowledge while demonstrating its practical applications By engaging with this formula, students not only master essential mathematical concepts but also enhance their problem-solving abilities and apply mathematical knowledge in real-world scenarios, thereby fostering their mathematical thinking This essay explores the topic of "The Binomial Formula and Extended Numbers," focusing on the knowledge system, fundamental mathematical forms, advanced applications, and the skills developed through Newton's binomial expansion formula.
Việc áp dụng công thức nhị thức không chỉ giúp ôn tập và hệ thống hóa kiến thức mà còn khẳng định tính thiết thực của nó trong học tập Thực hành giải các dạng toán liên quan đến công thức này giúp học sinh nắm vững hệ thống kiến thức toán học, rèn luyện năng lực giải toán và kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, đồng thời phát triển tư duy toán học Bài tiểu luận của nhóm em sẽ trình bày chủ đề "Công thức nhị thức và một số mở rộng", tập trung nghiên cứu hệ thống kiến thức, các dạng toán cơ bản, ứng dụng nâng cao và kỹ năng giải toán thông qua công thức khai triển nhị thức Newton.
Despite our group's extensive efforts, we acknowledge that time and resource constraints have led to certain shortcomings in our essay We welcome your constructive feedback to help us enhance our work Thank you for your understanding and support!
Chúng tôi rất trân trọng những nỗ lực đã bỏ ra, tuy nhiên, do thời gian và năng lực có hạn, nên bài tiểu luận vẫn còn những thiếu sót Chúng tôi mong nhận được ý kiến đóng góp từ các bạn để hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn!
BINOMIAL FORMULA AND AN EXTENDED NUMBER
Combination symbol
The symbol binomial coefficient is ( n k )the coefficient of x n in the binomial expansion.
Hệ số nhị thức ký hiệu là ( n k ) là hệ số của trong khai triển của nhị thức
Combinatorics in mathematics involves selecting elements from a larger set without regard to the order of selection For instance, when considering three fruits—an apple, an orange, and a pear—there are three distinct combinations of two fruits: apple and pear, apple and orange, and pear and orange Formally, the selection of k distinct elements from a set S of n elements is termed a subset, and the total number of combinations can be calculated using the binomial coefficient.
Trong Toán học, tổ hợp là phương pháp chọn lựa các phần tử từ một tập hợp lớn hơn mà không cần quan tâm đến thứ tự Đối với những trường hợp nhỏ, số lượng tổ hợp có thể được đếm dễ dàng Chẳng hạn, với ba loại quả như táo, cam và lê, có ba cách kết hợp hai loại quả: táo và lê, táo và cam, hoặc lê và cam Theo định nghĩa, tổ hợp chập k của n phần tử là tập con gồm k phần tử khác nhau từ tập hợp n phần tử S, và không có thứ tự Số lượng tổ hợp chập k của n phần tử được tính bằng hệ số nhị thức.
In where k ≤ n , if k>n then the result is 0 Pay attention here n!=1.2…n and convention 0!=1.
2 Tam giác Pascal và sự hình thành của công thức nhị thức Newton.
Pascal's triangle and the formation of Newton's binomial formula
2.1 The formation of the binomial formula.
2.1.Sự hình thành của công thức nhị thức.
The binomial theorem has roots tracing back to the 4th century BC, when Euclid noted a special case for the exponent of 2 Ancient Indian mathematicians, particularly in the Chandahsastra by Pingala around 200 BC, explored binomial coefficients, which represent the number of ways to choose k objects from a set The 10th-century commentator Halayudha utilized Pascal's triangle to elucidate this method By the 6th century AD, Indian scholars, as documented in Bhaskara's Lilavati, expressed binomial coefficients using the formula (n k) = n! / (k!(n-k)!) Al-Karaji, in his work referenced by Al-Samaw'al in "al-Bahir," provided the first formal binomial theorem and a table of coefficients, employing mathematical induction for proofs The binomial expansion for polynomials was also recognized in the 13th century by Chinese mathematicians Yang Hui and Chu Shih-Chieh The term "binomial coefficients" was introduced by Michael Stifel in 1544, who demonstrated their application in representing (1 + a)^n.
The expression (1 + a)^n - 1 can be analyzed using Pascal's triangle, which highlights the significance of the binomial theorem Although many mathematicians contributed to this theorem, it is named after Newton due to his groundbreaking application of the formula to exponents of all types: positive, negative, integer, and fractional This innovative approach greatly advanced mathematical development and led to widespread applications in algebra and analysis However, it is important to note that the binomial formula was not Newton's sole contribution; he also played a pivotal role in the emergence of advanced mathematics, particularly in the calculations involving infinitesimal quantities, earning him recognition as the founder of mathematical analysis.
Định lý nhị thức đã được biết đến từ thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên, khi Euclid đề cập đến trường hợp đặc biệt cho số mũ 2 Các hệ số nhị thức, biểu thị số cách chọn k đối tượng trong số n mà không thay thế, đã thu hút sự quan tâm của các nhà toán học Ấn Độ cổ đại Tài liệu tham khảo sớm nhất về vấn đề này là Chandahsastra của nhà thơ Pingala (khoảng năm).
Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, đã xuất hiện một phương pháp giải quyết vấn đề toán học, được nhắc đến bởi nhà bình luận Halayudha vào thế kỷ thứ 10 sau Công nguyên, người đã giải thích phương pháp này thông qua tam giác Pascal Đến thế kỷ thứ 6 sau Công nguyên, các nhà toán học Ấn Độ đã biểu thị giá trị của hệ số nhị thức bằng công thức (nk n !).
Định lý nhị thức được ghi nhận lần đầu trong tài liệu Lilavati của Bhaskara vào thế kỷ 12, với công thức đầu tiên và bảng các hệ số nhị thức được Al-Karaji mô tả và Al-Samaw’al trích dẫn trong tác phẩm "al-Bahir" Al-Karaji đã chứng minh định lý nhị thức và tam giác Pascal bằng phương pháp quy nạp toán học Vào thế kỷ 13, các nhà toán học Trung Quốc như Yang Hui và Chu Shih-Chieh đã nghiên cứu khai triển nhị thức với đa thức bậc nhỏ Năm 1544, Michael Stifel giới thiệu thuật ngữ "hệ số nhị thức" và áp dụng tam giác Pascal để biểu diễn (1 + a)ⁿ Mặc dù nhiều nhà toán học đã nghiên cứu định lý này, nó vẫn mang tên Newton, người đã mở rộng công thức cho các số mũ bất kỳ, bao gồm số dương, âm, nguyên và phân số, đóng góp lớn cho sự phát triển của toán học Công thức nhị thức Newton được áp dụng rộng rãi trong đại số và giải tích, nhưng không phải là đóng góp lớn nhất của Newton, vì ông còn nổi bật trong việc phát triển các phép tính đối với các đại lượng vô cùng bé, được coi là người sáng lập ngành Giải tích toán học.
2.2 Câu chuyện về nhị thức Newton.
To remember the merits of Isaac Newton (1642 - 1727) in finding the following binomial expansion formula, which is called Newton's binomial.
Newton's tombstone at Westminster Abbey features his image alongside the binomial theorem, prompting the question of whether humanity was unaware of the binomial expansion before his time However, historical texts indicate that as early as 200 BC, Indian mathematicians had knowledge of an arithmetical triangular table Additionally, a work by the Chinese mathematician Zhou Sheng, dated 1303, contains a similar table of numbers, suggesting that the understanding of binomial concepts predates Newton.
Nguyen Minh Tuan explores the coefficients of Newton's binomial expansion from order 0 to level 8, noting that while the mathematician did not provide a general formula for these coefficients, a tabular method allows for easy identification of rules for writing new rows In the 15th century, the Arabic mathematician Jem Sitt-Jaxedin Casi introduced an arithmetic triangle that clearly defined binomial coefficients and provided instructions for generating successive rows, marking the first written statement of Newton's binomial theorem This concept was later rediscovered in Europe by the German mathematician Stiffel M in 1544, who also presented binomial coefficients up to the 17th order, with English mathematicians independently contributing to the development of the theorem a century later.
(1624), French mathematician Fermat (1636) and French mathematician Pascal
In 1654, Blaise Pascal developed a significant formula related to the coefficients of the binomial theorem, detailing the properties of these coefficients in his 1665 work, "Thesis on the Arithmetical Triangle." This led to the widespread use of what is now known as Pascal's Triangle However, it is important to note that many Asian mathematicians had explored the arithmetical triangle before Pascal Isaac Newton's contribution to the binomial formula emerged in 1676 when he communicated his findings to Oden Hiaro, the President of the Royal Academy of England In his letters, Newton presented his formula, which he had discovered at the age of 22 in 1665, but did not provide a proof initially Despite this, his work did not introduce any new concepts to his contemporaries, yet it remains a vital part of mathematical history, commemorating Newton's legacy in the development of the binomial theorem.
Trên bia mộ của Newton tại tu viện Westminster, nơi an nghỉ của nhiều nhân vật nổi tiếng, có khắc họa hình ảnh ông cùng với nhị thức Newton Tuy nhiên, trước khi Newton công bố phát minh của mình, nhân loại đã có kiến thức về công thức khai triển nhị thức Các tài liệu lịch sử cho thấy, từ 200 năm trước Công nguyên, các nhà toán học Ấn Độ đã biết đến bảng tam giác số học Thêm vào đó, trong tác phẩm của nhà toán học Trung Quốc Chu Sinh viết vào năm 1303, cũng đã tìm thấy bảng số tương tự.
Công thức khai triển nhị thức Newton từ cấp 0 đến cấp 8 đã được ghi nhận, mặc dù không có thông tin về các hệ số tiếp theo Tuy nhiên, thông qua bảng biểu của ông, quy luật để viết các hàng mới có thể được tìm ra Vào nửa đầu thế kỉ XV, nhà toán học Xamacan, Giêm Xit-Giaxedin Casi, đã giới thiệu tam giác số học và chỉ dẫn cách thành lập các hàng nhị thức, đánh dấu sự phát biểu đầu tiên về định lý nhị thức Newton Tại châu Âu, tam giác số học được phát hiện bởi Stiffel M vào năm 1544, với hệ số nhị thức đến cấp 17 Gần một thế kỷ sau, các nhà toán học như Bô-rit-gôn, Fermat, và Pascal đã hoàn thiện công thức này Đặc biệt, Pascal đã công bố "Luận văn về tam giác số học" vào năm 1665, làm nổi bật tính chất của các hệ số và đưa tên gọi tam giác Pascal vào sử dụng Mặc dù tam giác số học đã được nghiên cứu bởi các nhà toán học Á Đông trước đó, vai trò của Newton trong việc hình thành công thức nhị thức Newton được thể hiện qua bức thư gửi Viện Hàn Lâm vào năm 1676, nơi ông trình bày công thức mà không kèm theo chứng minh Newton đã phát hiện ra công thức này từ năm 1665 khi mới 22 tuổi, nhưng không tạo ra điều gì mới cho các nhà toán học đương thời.
Pascal's triangle begins with the top row, designated as n=0, containing a single entry of 1 Each subsequent row is formed by adding the two numbers directly above it, with any missing entries treated as zero For instance, the first number in the first row is 1, derived from the sum of 0 and 1 In the third row, the numbers 1 and 3 combine to create the number 4 in the fourth row, illustrating the triangle's construction method.
•In the first row, we write a number 1.
•In the next row, we write two numbers 1.
•Continue to the next row,
1 the first and last digit is always 1,
2 and each number inside is equal to the sum of the two numbers in the row above.
We have the following diagram n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1
Consider: i) Consider the first row, we have 1=( 1 0 ) ,1= ( 1 1 ) ii) In the second row, we have 1=( 3 0 ) , 2= ( 2 1 ) , 1= ( 2 2 ) iii) In the third row, we have 1=( 3 0 ) , 2= ( 3 1 ) , 3= ( 3 2 ) ,1= ( 3 3 )
So the numbers in the nth row of Pascal's triangle consist of (n+1) number
We use Pascal's triangle to expand the expressions( x + y ) n ∧( x− y ) n :
Pascal's triangle is organized by numbering each row sequentially, starting from row 0, followed by row 1, row 2, and continuing onward Within each row, the numbers are arranged in order, beginning with the 0th number, then the 1st, and so forth The second digit in this arrangement is referred to as pn,k This structured approach leads to the formula used to construct Pascal's triangle effectively.
We have the following diagram n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1
We have the general formula P n , k is P n , k =¿ ( n n ) = k ! (n−k n! ) !
Tam giác Pascal là một cấu trúc toán học hình tam giác chứa các hệ số nhị thức, được đặt theo tên nhà toán học Pháp Blaise Pascal Tuy nhiên, nghiên cứu về tam giác này đã bắt đầu từ nhiều thế kỷ trước tại Ấn Độ, Ba Tư, Trung Quốc, Đức và Ý Các hàng trong tam giác Pascal được đánh số theo quy ước, bắt đầu từ hàng n=0 ở phía trên cùng.
Các mục trong mỗi hàng của tam giác được đánh số từ trái sang phải, bắt đầu từ k=0 và thường được sắp xếp so le với các hàng liền kề Tam giác này được xây dựng với hàng đầu tiên có một số duy nhất là 1 Các số trong các hàng tiếp theo được tính bằng cách cộng số ở trên bên trái với số ở trên bên phải, coi các mục trống là 0 Ví dụ, số 1 trong hàng đầu tiên (tổng của 0 và 1) và các số 1 và 3 trong hàng thứ ba sẽ tạo ra số 4 ở hàng thứ tư.
•Ở hàng đầu tiên, chúng ta viết một con số 1.
•Ở hàng tiếp theo, chúng ta viết hai con số 1.
•Tiếp tục các hàng tiếp theo,
1 Con số đầu tiên và con số cuối cùng bao giờ cũng là 1,
2 Còn mỗi con số ở bên trong thì bằng tổng của hai con số đứng ngay ở hàng phía trên.
Nhận xét. i) Xét hang thứ nhất , ta có 1== ( 1 0 ) ,1= ( 1 1 ) ii)Xét hang thứ hai, ta có 1= ( 3 0 ) , 2= ( 2 1 ) , 1= ( 2 2 ) iii) Xét hang thứ ba, ta có 1= ( 3 0 ) , 2= ( 3 1 ) , 3= ( 3 2 ) ,1= ( 3 3 )
Như vậy các số ở hang thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm (n+1) số
Chúng ta dung tam giác số Pascal để khai triển các biểu thức ( x + y ) n ∧( x− y ) n :
Tam giác Pascal được đánh số theo hàng bắt đầu từ 0, với hàng số 0, 1, 2, và tiếp tục như vậy Trong mỗi hàng, các con số cũng được đánh số từ 0, 1, 2, v.v Chúng ta định nghĩa con số thứ k ở hàng thứ n là (P n, k) Từ định nghĩa này, ta có thể suy ra công thức để xây dựng tam giác Pascal.
2.4 Chứng minh công thức tổng quát P n , k
Now we will prove by induction on variable n the following formula
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo biến số n công thức sau đây
Mathematical forms related to Newton's Binomial
5 Các dạng toán liên quan tới nhị thức Newton
5.1 The problem of binomial expansion and the proof of fundamental equality.
5.1 Bài toán khai triển nhị thức và chứng minh đẳng thức cơ bản.
First, we will learn a fast expansion algorithm for Newton (a+ b+c ) n as follows. Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm hiểu một thuật toán khai triển nhanh (a + b+c ) n như sau.
Step 1: Write Pascal's triangle to the nth line, to get the coefficient of the binomial Newton (a+ b) n
Step 1: Viết tam thức Pascal xuống dòng thứ, để nhận hệ số của nhị thức Newton
Step 2: At the beginning of the line, we write the monomial as Newton binomial
Step 2: Ở đầu dòng, ta viết đơn thức là nhị thức Newton (a+ 1) n expansion.
Step 3: Multiply the mononomials at the beginning of each column by the remaining mononomials on each row and then add the results together, we get the expansion result and have the following:
Bước 3: Nhân các đơn thức ở đầu mỗi cột với các đơn thức còn lại trên mỗi hàng, sau đó cộng tất cả các kết quả lại với nhau để thu được kết quả khai triển.
Therefore:(a+ b+c ) n with 0 ≤ q ≤ p ≤ n , (p+1) th term in the expansion we have:
Now let's take a look at some illustrative examples
Bây giờ ta sẽ cùng đi tìm hiểu các ví dụ minh họa
Finding the coefficient of the term containing x in the expansion P(x)= 4 (3x
Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển P (x) =(3x 2 +x+1) 10
With 0 ≤ q ≤ p ≤ 10 , the general term of the expansion (Px) = (3x 2 +x+1) 10 is :
We get : p - q +20 -2p = 4 ⇔ p + q = 16 Because 0 ≤ q ≤ p ≤ 10 ,we have :
So the coefficient of x 4 in the expansion P(x) = (3x 2 + x + 1 ) 10 is :
Question 2 :Finding terms containing x 13 in the polynomial expansion of (x+x 2 +x 3 ) 10 ?
Câu 2: Tìm các số hạng chứa x13 trong khai triển đa thức của (x+x 2 +x 3 ) 10 ?
With 0 ≤ q ≤ p ≤ 10 , the general term of the expansion (Px) = (x+x 2 +x 3 ) 10 is :
Follow the consider, we have 10 + p + q = 13 ⇔ p + q = 3 ,because 0 ≤ q ≤ p ≤ 10 so (p;q) ∈ {(2;1) ; (3;0)}.
Therefore, the coefficient x 13 in the expansion is
Question 3 : Finding the coefficient of x 8 in the polynomial expansion of
Câu 3 : Tìm hệ số của x 8 trong khai triển đa thức của
So we have the coefficient of x 8 that satisfies :
Hence, the coefficient in the expansion of x 8 is
We see that x 8 exists only in terms:
Hence, the coeficient equivalent to A 8 = ( 8 3 )( 8 4 ) + ( 8 4 )( 4 0 ) = 238.
Question 4 : With n being a positive interger and x ≠ 0 , consider the expression
( x 8 + x 3 + x 1 2 + 1 x 7 ) n How many n ≤ 2018 are there such that the expansion of the above epression has a free term of 0 ?
Câu 4: Với n là một liên số dương và x ≠ 0, xét biểu thức ( x 8 + x 3 + x 1 2 + 1 x 7 ) n Có bao nhiêu n ≤ 2018 sao cho khai triển của biểu thức trên có số hạng tự do bằng 0?
So the general term of the above expansion is :
This term is a free term when 3n + 5k - 10h = 0 ⇔ 3n = 5(2h - k).
If n is not divisible by 5, the expansion will have no free terms, resulting in a free term of 0 Conversely, when n is divisible by 5, with h = 2n/5 and k = n/5, the free term becomes (n k)(n h) ≠ 0, indicating that it does not meet the required conditions.
Question 5 : Find the coefficient of x6 in the expansion (2 x+1) 6 ( x 2 + x + 1 4 ) 4 into the polynomial?
Câu 5: Tìm hệ số của x6 trong khai triển (2 x+1) 6 ( x 2 + x + 1 4 ) 4 thành đa thức?
We consider expansion ( 2 x+ 1) 6 =( 1+2 x ) 6 = ∑ k=0 n ( 6 k ) 1 6−k ( 2 x ) k = ∑ k=0 n ( 6 k ) 2 k x k and expansion
The term of the expansion contains x 6 when j+k=6 We denote [ x 6 ] as the coefficient of x6, noting that
Then we consider the following cases
So, the coefficient [ x 6 ] in the expansion (2 x+1) 6 ( x 2 + x + 1 4 ) 4 into the polynomial is
Question 6 : Let's expand ( 1+2 x) n =a 0 + a 1 x +a 2 x 2 + …+ a n x n ,n> 1 Find the number of integer values of n with n ≤ 2018 such that there exists k ( 0 ≤ k ≤ n−1) satisfying a k =a k + 1
Câu 6: Hãy khai triển (1 +2 x) n =a 0 + a 1 x +a 2 x 2 + …+a n x n ,n> 1 Tìm số giá trị nguyên của n với n≤2018 sao cho tồn tại k (0≤k≤n-1) thỏa mãn a k =a k + 1
Solution: The first, we have: (1+ 2 x) n = ∑ k=0 n
When we infer a k = ( n k ) 2 k with k=0,1,2,3,…,n So
1 If n=3m, m ∈ N, then k= ( 2.3 m−1 3 ) = ¿ 2m- ( 1 3 )not belong to N.
5.2 The problem of the largest coefficient.
5.2 Bài toán về hệ số lớn nhất.
To solve problems that involve finding the largest coefficient \( a_k \) in the expansion of the binomial \( (ax + b)^n \) into a polynomial, we will utilize a systematic approach.
(ax +b) n thành đa thức ta làm theo cách sau
To solve the system of inequalities \( a_k \geq a_{k-1} \) and \( a_k \geq a_{k+1} \), first establish the inequalities Next, determine the integer values of \( k \) that satisfy these conditions by solving the inequalities Finally, substitute the identified values of \( k \) to calculate the maximum coefficient.
Here are the illustrative problems.
Câu 1: Khai triển đa thức
Proof: Set a k is the largest coefficient of the expansion, we have:
From here we have the system of equations:
Question 2: For expansion ( x +3 ¿ ¿ n = a 0 + a 1x + a 2x +…+ a n x n , inside n ϵ N ¿ and a0, a1, a2, , an are real numbers Let S be the set containing the natural numbers n so that a10 is the largest of the numbers in a a0, a1, a2, , an What is the sum of the values of the elements of S?
Cho khai triển \( (x + 3)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n \), trong đó \( n \in \mathbb{N} \) và \( a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n \) là các số thực Gọi \( S \) là tập hợp chứa các số tự nhiên \( n \) sao cho \( a_{10} \) là số lớn nhất trong các số \( a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n \) Cần tìm tổng các giá trị của các phần tử trong tập hợp \( S \).
The general term of the expansion is Tk = ( n k ) x k 3 n−k , so the coefficient of Tk is a10 =
( n k ) x k 3 n−k For a 10 to be the largest of the numbers a0 , a1, a2, , an , then:
Therefore S = { 39 ; 40 ; 41; 42; 43 } The sum of the values of the elements of S is T 39 +40 +41 +42 + 43 = 205.
5.3 Chứng minh các đẳng thức.
5.3.1 Các đẳng thức cơ bản
The problems here are simply applying properties of combinatorial formulas.
Các bài toán ở đây chỉ đơn giản là áp dụng các tính chất của công thức tổ hợp.
+ Symmetry Identity: for all positive numbers m,n such that 0 ≤ n ≤m , then we have ( m n ) = ( m−n m ) , this property is called symmetry Identity.
+ Nhận dạng đối xứng: với mọi số dương m, n sao cho 0 ≤n≤m thì ta có (m¦n) = (m¦ (m-n)), tính chất này được gọi là nhận dạng đối xứng.
Question 1 : With m ∈ Q and n is positive integers, then we have:
With n is natural numbers we get n! = n (n - 1)! Then:
In other face we have:
+Absorption Identity : For any positive integer n , k such that 0
≤ n ≤m , then ( m n ) = ( m−1 n−1 ) This property is called the "absorption" rule - Absorption.
+ Nhận dạng hấp thụ: Với bất kỳ số nguyên dương n, k sao cho 0
≤ n ≤m , thì ( m n ) = ( m−1 n−1 ) Tính chất này được gọi là quy luật “hấp thụ” - Absorb.
Proof The proof of this property is very simple, we just need to apply the factorial formula We have:
Bằng chứng Việc chứng minh tính chất này rất đơn giản, chúng ta chỉ cần áp dụng công thức giai thừa Chúng ta có:
+Trinomial Revision :For numbers m ∈Q , a ∈ N and i ∈ N satisfying i≥ a we have
( m i )( a i ) = ( m a )( m−a i−a ) This property is called a subset of a subset.
+ Sửa lại tam thức: Với các số m∈Q, a∈ N và i∈ N thỏa mãn i ≥a ta có ( m i )( a i ) = ( m a )( m−a i −a ) Thuộc tính này được gọi là một tập hợp con của một tập hợp con.
Proof : Similar to the above property, we also use the transformations from the factorial formula We have
Chứng minh: Tương tự như tính chất đã nêu, chúng ta áp dụng các phép biến đổi dựa trên công thức giai thừa.
Example: Prove that with n ∈ N*,0 ≤ k ≤ n−3 Proof:
5.3.2 Application of some special equality properties.
5.3.2 Ứng dụng một số tính chất đẳng thức đặc biệt.
In this article, we will explore the challenges of proving equality through various lemmas and examine the special properties discussed previously Additionally, we will delve into important equivalences and fundamental formulas that are essential for understanding these concepts.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các bài toán chứng minh đẳng thức thông qua các bổ đề và tính chất đặc biệt đã đề cập trước đó Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu một số phép tương đương và các công thức cơ bản khác Câu hỏi 1: Chứng minh rằng.
1 We use Pascal's triangle and the difference method to transform, we get:
1 Chúng ta sử dụng tam giác Pascal và phương pháp sai phân để biến đổi, chúng ta nhận được:
People call this property the column sum, we can take the following example:
2 Applying the column sum rule and the symmetry rule, we have:
2 Áp dụng quy tắc tổng cột và quy tắc đối xứng, ta có:
We call this property the sum along the main diagonal, we can take the following example:
Chúng tôi gọi thuộc tính này là tổng dọc theo đường chéo chính, chúng tôi có thể lấy ví dụ sau:
We can see this way like the column sum.
Chúng ta có thể xem theo cách này giống như tổng cột.
5.4 Application of derivatives in the proof of combinatorial equality.
5.4 Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh đẳng thức tổ hợp.
The first-order derivative is applicable when the coefficient in front of a combination changes sequentially from 1 to n or from n to 1 This occurs in terms structured as k(n k) or k(n k)a^(n-k)b^(k-1), allowing us to utilize the first derivative for calculations.
Using the derivative of both sides with respect to x we get:
Sử dụng đạo hàm của cả hai vế đối với x, chúng ta nhận được:
The coefficient before the combination decreases from 2008,2007, ,1 so we use the derivative :
Hệ số trước khi kết hợp giảm từ 2008,2007, , 1 nên chúng ta sử dụng đạo hàm: if the derivative takes the derivative, it only gets 2007 ( 2007 0 ) x 2006 while it refers to
In 2008, we need to multiply by x in the given equation before applying the derivative Taking the derivative results in 2007 multiplied by x raised to the power of 2006, simplifying the expression accordingly.
2008 vì vậy chúng ta phải nhân với x để đẳng thức trên trước khi sử dụng đạo hàm, chúng ta nhận được:
Substituting x = 1 in we get the sum of 2009.22006
Thay x = 1 vào ta được tổng của 2009.22006
5.5 Application of integrals in the proof of combinatorial equality.
5.5 Ứng dụng tích phân trong chứng minh đẳng thức tổ hợp.
The idea of this method is based on the relation:
From here it is easy to find the sign to use this method that the term of the sum has the form a k +1 K −b +1 k+1 ( n k ) Specifically consider the integral I = ∫ a b
(c +dx ) n dx we can solve with 2 base
Từ đây có thể dễ dàng tìm ra dấu để sử dụng phương pháp này rằng số hạng của tổng có dạng a k+1 K −b +1 k+1 ( n k ) Cụ thể xét tích phân I = ∫ a b
(c + dx ) n dx ta giải được với 2 cơ số.
Cơ sở 1: Tính toán trực tiếp
Cơ sở 2: Tính gián tiếp
The above two bases are the same, so from there we get
Hai cơ sở trên giống nhau nên từ đó ta được
To solve various problems effectively, we select suitable coefficients a, b, c, and d It's important to note that when the total combination sequence includes fractions such as 1, 1/2, 1/3, 1/4, , 1/n, and the denominators are organized in a specific increasing or decreasing order, we should consider utilizing integrals Subsequently, we can follow a structured approach to achieve the desired results.
Tùy thuộc vào từng bài toán, cần lựa chọn các hệ số a, b, c, d phù hợp Để nhận biết dễ dàng, nếu trong dãy tổ hợp tổng xuất hiện các phân số như 1, 1/2, 1/3, 1/4, và các mẫu số sắp xếp theo quy luật nhất định, chúng ta nên xem xét việc sử dụng tích phân Sau đó, tiến hành thực hiện các bước cần thiết.
Step 1: Find the function to integrate with the appropriate bounds.
Bước 1: Tìm chức năng tích hợp với các giới hạn thích hợp.
Step 2: Integrate both sides: the unexpanded Newton binomial side and the expanded side.
Bước 2: Tích cả hai vế: vế của nhị thức Newton chưa khai triển và vế đã khai triển.
Step 3: Give two equal results and conclude.
Bước 3: Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận.
The integral equations to remember
The left side features fractions with denominators organized in a sequential order of increasing units, prompting the consideration of integrals By interpreting the function as an integral, we can substitute bounds and numbers for the variable Notably, the final term includes a coefficient of \(2n + 1 - 1\) divided by \(n + 1\), which helps establish the bounds.
1 to 2 and the sum is unsigned so we use : ∫
Self practice exercises
Exercises 1: In the ( x + √ 2 x ) 6 expansion, the coefficient of x 3 (x>0).
Exercises 2: Let n be a natural number satisfying
Knowing that the third term in the Newtonian expansion of ( x 2 − 3 x ) n is equal to 81 2 n. Then the value of x is equal to…
Exercises 4: In the expansion of ( x +a) 3 ( x−b) 6 , the coefficient x 7 is -9 and there are no terms containing x 8 Find a and b.
Exercises 5: Polynomial expansion: P(x) = (1+ 2 x) 12 =a 0 + a 1 x +…+ a 12 x 12 Find max ( a 0 , a 1 , a 2 , … , a 12 ¿.