NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Cơ sở khoa học
2.1.1 Cơ sở lý luận a Khái niệm về năng lực
Trong chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, năng lực được định nghĩa là thuộc tính cá nhân hình thành và phát triển từ tố chất sẵn có cùng quá trình học tập, rèn luyện Năng lực cho phép con người huy động kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân như hứng thú, niềm tin, và ý chí để thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong các điều kiện cụ thể Đặc biệt, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển toàn diện của học sinh.
Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong chương trình giáo dục phổ thông, đặc biệt ở cấp trung học phổ thông, được định nghĩa là khả năng phân tích, đánh giá và đưa ra giải pháp cho các tình huống thực tiễn Chương trình tổng thể nhấn mạnh tầm quan trọng của việc phát triển tư duy sáng tạo và kỹ năng giải quyết vấn đề, giúp học sinh trang bị kiến thức và kỹ năng cần thiết để đối mặt với những thách thức trong cuộc sống.
Nhận diện và làm rõ thông tin từ nhiều nguồn khác nhau là điều quan trọng để phát hiện ý tưởng mới Việc phân tích độc lập các nguồn thông tin giúp đánh giá khuynh hướng và độ tin cậy của những ý tưởng phức tạp.
Phát hiện và làm rõ vấn đề là bước quan trọng trong việc phân tích tình huống học tập và cuộc sống Người học cần nhận diện và nêu rõ các tình huống có vấn đề, từ đó tìm ra giải pháp phù hợp Việc này không chỉ giúp cải thiện kỹ năng tư duy phản biện mà còn nâng cao khả năng giải quyết vấn đề trong thực tiễn.
Hình thành và triển khai ý tưởng mới là quá trình phát triển nhiều ý tưởng sáng tạo trong học tập và cuộc sống, khuyến khích tư duy không theo lối mòn Điều này bao gồm việc tạo ra yếu tố mới dựa trên sự kết hợp của các ý tưởng khác nhau, cũng như nghiên cứu để điều chỉnh giải pháp phù hợp với bối cảnh thay đổi Đánh giá rủi ro và chuẩn bị các phương án dự phòng là những yếu tố quan trọng để đảm bảo sự thành công của các ý tưởng này.
Để đề xuất giải pháp hiệu quả, cần thu thập và làm rõ thông tin liên quan đến vấn đề Sau đó, phân tích và đề xuất một số giải pháp khả thi, từ đó lựa chọn giải pháp phù hợp nhất để giải quyết vấn đề một cách tối ưu.
Để thiết kế và tổ chức hoạt động hiệu quả, cần lập kế hoạch với mục tiêu rõ ràng, nội dung phù hợp và hình thức hoạt động thích hợp Việc tập hợp và điều phối nguồn lực cần thiết là rất quan trọng, đồng thời cũng cần linh hoạt điều chỉnh kế hoạch và phương pháp giải quyết vấn đề theo hoàn cảnh thực tế Cuối cùng, đánh giá hiệu quả của các giải pháp và hoạt động sẽ giúp nâng cao chất lượng và hiệu suất công việc.
Tư duy độc lập là khả năng đặt ra nhiều câu hỏi giá trị và không chấp nhận thông tin một chiều một cách dễ dàng Người có tư duy độc lập không có thành kiến khi đánh giá vấn đề, chú trọng đến các lập luận và minh chứng thuyết phục Họ cũng sẵn sàng xem xét và đánh giá lại các vấn đề một cách khách quan.
Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên khoảng a b ; (có thể a là
+ Nếu tồn tại số h0 sao cho f x( ) f x( 0 ) với mọi x x 0h x; 0h và x x 0 thì ta nói hàm số f x( ) đạt cực đại tại x 0
+ Nếu tồn tại số h0 sao cho f x( ) f x( 0 ) với mọi x x 0h x; 0h và x x 0 thì ta nói hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại x 0
- Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí: Giả sử hàm số y f x liên tục trên khoảng K x 0h x; 0h và có đạo hàm trên Khoặc trên K \ x 0 , với h0.
+ Nếu f x'( )0 trên khoảng x 0h x; 0 và f x'( )0 trên khoảng
x 0 ;x 0h thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số f x( ).
+ Nếu f x'( )0 trên khoảng x 0h x; 0 và f x'( )0 trên khoảng
x 0 ;x 0h thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x( ).
- Quy tắc tìm cực trị
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính f x'( ) Tìm các điểm tại đó f x'( )0 hoặc f x'( ) không xác định
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị d Đồ thị hàm số y f x ( )
Ta có y f x là hàm số chẵn,
Từ đó suy ra đồ thị hàm số y f x gồm hai phần
Phần 1: Lấy phần đồ thị hàm số y f x nằm bên phải trục tung C 1
Phần 2: Lấy đối xứng C 1 qua trục tung
Từ đo suy ra số điểm cực trị của hàm số y f x Đồ thị hàm số y f x Đồ thị hàm số y f x
2.1.2 Cơ sở thực tiễn a Thực tế giảng dạy
Qua quá trình dạy học tại đơn vị chúng tôi nhận thấy:
Nhiều học sinh yếu môn toán thường gặp phải vấn đề hổng kiến thức từ các lớp dưới, dẫn đến việc mất niềm tin và sự tự tin khi học toán ở trung học phổ thông Điều này khiến các em ít tư duy và không chăm chỉ suy nghĩ khi đối mặt với các bài toán.
Trong quá trình học tập, học sinh thường chỉ áp dụng máy móc và rập khuôn theo các bài mẫu, dẫn đến việc thiếu sự liên kết, suy luận và sáng tạo Điều này thể hiện sự thiếu tích cực trong việc tiếp cận kiến thức.
Nhiều học sinh hiện nay thường sử dụng mẹo, công thức tính nhanh và máy tính để giải các bài tập trắc nghiệm, điều này dẫn đến việc họ dần mất khả năng lập luận logic và sự tìm tòi cần thiết khi giải quyết bài toán Việc này ảnh hưởng tiêu cực đến khả năng phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sự sáng tạo của bản thân.
Trong quá trình tìm kiếm tài liệu tự học, học sinh thường chỉ chú trọng vào các bài toán cụ thể mà chưa chú ý đến phương pháp giải cho các dạng toán tổng quát Hơn nữa, các em cũng chưa được tiếp cận với hệ thống bài tập được phân loại theo cấp độ tư duy.
Trong quá trình dạy học, một số giáo viên vẫn còn áp dụng phương pháp truyền thụ kiến thức theo lối thụ động, chỉ tập trung vào việc nêu bài tập và hướng dẫn cách giải mà không khuyến khích sự sáng tạo và khai thác các bài toán mới Điều này dẫn đến việc học sinh không có hứng thú và không phát huy được khả năng sáng tạo của mình Để khảo sát tình hình học tập của học sinh, chúng tôi đã phát phiếu khảo sát cho 80 học sinh ở hai lớp 12A1 và 12A2 nhằm thu thập ý kiến của các em về các nội dung liên quan đến việc học.
Họ và tên học sinh: ……… ……… Lớp 12 …… Trường THPT… ……… ……
Em hãy trả lời các câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô trống của câu hỏi tương ứng
Câu Nội dung Có Không
1 Em có biết cách vẽ đồ thị hàm số y f x( ) không?
2 Em có biết cách tìm cực trị của hàm số y f u x( ( ) ) không?
3 Em có gặp khó khăn khi giải các bài toán cực trị của hàm số y f u x( ( ) ) chứa tham số không?
4 Em có hứng thú khi học chủ đề hàm số lớp 12 không?
5 Em thấy môn toán có giúp em phát triển năng lực sáng tạo không?
6 Em có thích học bộ môn toán không?
(Ngoài những câu hỏi trên em có thể đề xuất thêm khó khăn cần được hỗ trợ thêm khi học chủ đề hàm số của lớp 12)
Qua việc khảo sát và tìm hiểu thực tiễn chúng tôi thu được một số vấn đề như sau:
- Đa phần các em chưa biết hoặc còn gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến hàm hợp y f u x( ( ) ) và các bài toán có chứa tham số
- Nhiều em đang còn thụ động trong việc tiếp nhận kiến thức trong học tập dẫn đến không có hứng thú khi học bộ môn toán
Cách dạy học truyền thống của một số giáo viên không khuyến khích sự sáng tạo của học sinh, từ đó hạn chế khả năng giải quyết vấn đề và phát triển tư duy sáng tạo trong quá trình học tập Việc kiểm tra, đánh giá và thu thập số liệu thực tế là cần thiết trước khi áp dụng các sáng kiến kinh nghiệm trong giáo dục.
Nhiều học sinh hiện nay vẫn gặp khó khăn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hàm hợp, điều này đã được chúng tôi ghi nhận qua thực tế giảng dạy.
2021, khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, chúng tôi cho học sinh các lớp 12A1, 12A2 làm bài khảo sát, kết quả như sau:
HS Điểm 9 - 10 Điểm 7 - 8 Điểm 5 - 6 Điểm < 5
SL TL % SL TL % SL TL % SL TL %
Các giải pháp thực hiện
Từ những cơ sở thực tiễn trên chúng tôi đã khai thác bài toán tìm cực trị hàm số
y f x và giúp học sinh phát triển và sáng tạo thành các bài toán cực trị hàm số
Để nâng cao tính tích cực và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, chúng tôi tập trung vào việc định hướng học sinh khám phá và phát hiện nhiều phương pháp giải khác nhau Qua đó, chúng tôi khuyến khích học sinh đặt ra các tình huống mới cho bài toán, từ đó sáng tạo ra nhiều bài toán mới, góp phần vào quá trình học tập hiệu quả hơn.
2.2.1 Khai thác và phát triển các bài toán từ bài toán gốc
Bài toán 1: (Bài toán cơ bản) Cho biết cực trị của hàm số y f x Tìm cực trị của hàm số y f x
Phân tích: Giáo viên cần tổ chức để
Để tìm số điểm cực trị của một hàm số, học sinh cần xem xét đồ thị của hàm hoặc phân tích dấu của đạo hàm hàm số đó.
- Học sinh thu thập và làm rõ thông tin:
Để xác định cực trị của hàm số y = f(x), có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau Một trong những cách là phân tích đồ thị của hàm số để tìm điểm cực trị Ngoài ra, bảng biến thiên cũng là công cụ hữu ích để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến, từ đó suy ra vị trí của cực trị Nếu biết hàm số f'(x), ta có thể tìm cực trị thông qua việc giải phương trình f'(x) = 0 Cuối cùng, việc lập bảng xét dấu của f'(x) cũng giúp xác định các điểm cực trị bằng cách kiểm tra sự chuyển đổi dấu của đạo hàm.
+ Chúng ta có thể vẽ được đồ thị của hàm số y f x , hoặc lập được bảng biến thiên của hàm số y f x không?
- Học sinh thực hiện giải quyết vấn đề: Định hướng 1: Dùng phép biến đổi đồ thị hoặc bảng biến thiên
Ta có y f x là hàm số chẵn,
Từ đó suy ra đồ thị hàm số y f x gồm hai phần
Phần 1: Lấy phần đồ thị hàm số y f x nằm bên phải trục tung C 1
Phần 2: Lấy đối xứng C 1 qua trục tung ta được đồ thị của hàm số
Từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm số y f x
Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số này, cộng thêm điểm x = 0 Để xác định cực trị của hàm số, cần áp dụng điều kiện đủ cho hàm số có cực trị.
Số điểm cực trị của hàm số y f x bằng số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình f '( )x 0và x0 Định hướng 3: Sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên
Lập bảng biến thiên của hàm số y f x kết hợp với hàm số u x
(Ghép bảng biến thiên của hai hàm số u x và y f u )
Học sinh đánh giá rằng số điểm cực trị của hàm số y = f(x) có mối liên hệ với số điểm cực trị của hàm số y = f(x) Cụ thể, nếu hàm số y = f(x) có a điểm cực trị dương, thì hàm số y = f(x) sẽ có 2a + 1 điểm cực trị.
Học sinh có thể khám phá các phương pháp mới để tìm số điểm cực trị của hàm số y = f(x) + a Điều này bao gồm việc nghiên cứu các hàm số có chứa tham số và các hàm số hợp với dấu giá trị tuyệt đối, vốn phức tạp hơn.
Từ những phân tích đó, bằng cách thay đổi giả thiết và cách phát biểu khác nhau ta có được các dạng toán như sau:
Dạng 1: Cho biết đồ thị hàm số y f x , tìm cực trị của hàm số y f x
Bài 1.1: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị C như hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x
Cách 1: Sử dụng phép biến đổi đồ thị
Từ đồ thị hàm số y f x ta vẽ đồ thị hàm số y f x như sau
+ Giữ nguyên phần đồ thị nằm bên phải trục tung và bỏ phần đồ thị bên trái trụng tung
+ Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị bên phải trục tung
Ta thu được đồ thị hàm số y f x
Từ đồ thị suy ra hàm số y f x có 3 điểm cực trị
Cách 2: Sử dụng điều kiện đủ đề hàm số có cực trị
y'0 và không xác định tại
Ta có bảng xét dấu đạo hàm
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số y f x có 3 điển cực trị
Cách 3: Sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên Đặt u x ' x u x
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số y f x có 3 điển cực trị
Để tìm số điểm cực trị của hàm số dạng y = f(x) + a, chúng ta có thể biến đổi đồ thị để thực hiện việc này một cách nhanh chóng và trực quan Với giả thiết bài toán, học sinh có thể nhớ lại các phép biến đổi đồ thị Trong trường hợp này, việc sử dụng đồ thị hàm số y = f(x) là phương pháp chính, giúp chúng ta dễ dàng suy diễn ra đồ thị của hàm số y = f(x) + a thông qua việc tịnh tiến đồ thị.
y f x lên ađơn vị theo trục tung nếu a0, xuống ađơn vị nếu a0
Số điểm cực trị của hàm số y f x a bằng số điểm cực trị của hàm số
Cho học sinh làm một ví dụ như sau:
Bài 1.2: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x 2.
Nhận xét: Thay đổi giả thiết của bài toán bằng cách cho bảng biến thiên chúng ta được bài toán mới
Dạng 2: Cho biết bảng biến thiên của hàm số y f x , tìm cực trị của hàm số y f x
Bài 1.3: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ x 1 3
Số điểm cực trị của hàm số y f x bằng
Phân tích: Hàm số y f x là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung
Lời giải: Từ bảng biến thiên của hàm số y f x ta vẽ được bảng biến thiên của hàm số y f x như sau x 3 0 3
Do đó trên hàm số y f x có 3 điểm cực trị
Nhận xét: Thay đổi giả thiết của bài toán bằng cách cho f ' x của hàm số
y f x ta được bài toán mới như sau
Dạng 3: Cho biết đạo hàm của hàm số y f x , tìm cực trị của hàm số
Bài 1.4: Cho hàm số y f x có đạo hàmf x'( )x x 3 ( 1)(x2), x
Số điểm cực trị của hàm số y f x là
Để xác định cực trị của hàm số, ta cần áp dụng điều kiện đủ cho đạo hàm Cụ thể, nếu đạo hàm f'(x) đổi dấu khi đi qua điểm x = 0, thì hàm số sẽ có điểm cực trị tại x = 0.
Hàm số y' bằng 0 và không xác định tại
Ta có bảng xét dấu của y'
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số y f x có 5 điểm cực trị
Bài 1.5: (Trích đề thi thử trường THPT Lê Lợi - Thanh Hoá 2021) Cho hàm số y f x có đạo hàm f x'( )x x 2 ( 1)(x 2 2mx m 1)với x
Có bao nhiêu số nguyên m 10 để hàm số g x ( ) f x có 5 điểm cực trị ?
Hàm số g x ( ) f x là hàm số chẵn nên g x( ) có 5 điểm cực trị khi f x( ) có đúng 2 điểm cực trị dương, hay phương trình x x 2 ( 1)(x 2 2mx m 1) 0 (1) có đúng 2 nghiệm bội lẻ dương
Yêu cầu bài toán (* ) có hai nghiệm phân biệt và chỉ có 1 nghiệm dương khác 1
Vậy với m 1 thì g x( ) có 5 điểm cực trị
Vì m 10và m nên m 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1 , có 9 giá trị m thoả mãn
Bài 1.6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
Lời giải: Xét hàm số f x( )x 3 (2m1)x 2 3mx5
Để hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị, cần có 2 điểm cực trị trong đó có đúng 1 điểm cực trị dương Điều này tương đương với việc phương trình f'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và chỉ có 1 nghiệm dương Hàm số f'(x) được xác định bởi biểu thức 3x² - 2(2m + 1)x + 3m.
Vậy với m0 thì hàm số y x 3 (2m1)x 2 3m x 5 có 3 điểm cực trị
Nhận xét: Bằng cách thay đổi yêu cầu của bài toán hàm số y f x sang hàm số y f x a ta có bài toán mới sau
Bài toán 2: Cho biết cực trị của hàm số y f x Tìm cực trị của hàm số
Phân tích: Giáo viên cần tổ chức để
- Học sinh phát hiện vấn đề:
+ Chúng ta có thể vẽ đồ thị của hàm số y f x a không?
+ Chúng ta có thể lập được bảng xét dấu của đạo hàm của hàm số
- Học sinh thu thập và làm rõ thông tin:
+ Giả thiết bài toán cho biết cực trị của hàm số y f x bằng cách nào? Cho biết đồ thị hàm số y f x
Cho biết bảng biến thiên của hàm số y f x
Cho bảng xét dấu đạo hàm
Cho công thức đạo hàm
- Học sinh thực hiện giải quyết vấn đề: Định hướng 1: Sử dụng phép biến đổi đồ thị
+ Vẽ đồ thị hàm số y f x a : Từ đồ thị hàm số y f x , ta tịnh tiến sang trái ađơn vị nếu a0, sang phải ađơn vị nếu a0 ta được (C 1 )
Giữ nguyên phần bên phải trục tung của đồ thị (C 1) và loại bỏ phần bên trái, sau đó thực hiện phép đối xứng qua trục tung, ta sẽ thu được đồ thị của hàm số.
Từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm số y f x a Định hướng 2: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Số điểm cực trị của hàm số y f x a bằng số nghiệm của phương trình
' 0 f x a và điểm x0 Định hướng 3: Sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên
Kết hợp hai bảng biến thiên của hàm số u x a và hàm số y f u( ) trên cùng một bảng.
- Học sinh đánh giá và kết luận: Số điểm cực trị của hàm số y f x a bằng số điểm cực trị của hàm số y f x
- Học sinh đưa ra ý tưởng mới: Nếu thay đổi yêu cầu của bài toán thành hàm số y f u x ( ) hoặc y f u x ( ) a chúng ta có làm được như trên không?
Từ những phân tích trên ta có thể xây dựng một số dạng toán như sau
Dạng 1: Cho đồ thị hàm số y f x Tìm số cực trị của hàm số
Bài 2.1: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ
Hàm số y f x 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
Phân tích: Bài toán cho đồ thị hàm số y f x nên ta chọn cách suy đồ thị để tìm cực trị hàm số y f x 1
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x sang phải 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số
+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x 1 và lấy đối xứng nó qua trục tung ta được đồ thị hàm số y f x 1
Từ đồ thị suy ra hàm số y f x 1 có 5 điểm cực trị
Nhận xét: Nếu thay đổi giả thiết của Bài 2.1 bằng cách cho bảng biến thiên của hàm số y f x ta được dạng toán khác như sau
Dạng 2: Cho bảng biến thiên của hàm số y f x Tìm số cực trị của hàm số y f x a
Bài 2.2: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ x 1 3
Số điểm cực trị của hàm số y f x 3 là
Bài toán này chỉ ra rõ ràng các điểm cực trị của hàm số y = f(x), từ đó giúp chúng ta xác định cụ thể điểm cực trị của hàm số y = f(x + 3).
Cách 1: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Vậy hàm số có 1 điểm cực trị là x0 (Chọn đáp án A)
Cách 2: Vẽ bảng biến thiên của hàm số y f x 3 bằng phép biến đổi đồ thị
+ Từ bảng biến thiên của hàm số y f x ta vẽ được bảng biến thiên của hàm số y f x 3 như sau x 4 0
+ Từ bảng biến thiên của hàm số y f x 3 ta vẽ được bảng biến thiên của hàm số y f x 3 như sau x 0
Từ đó suy ra hàm số y f x 3 có 1 điểm cực trị
Dạng 3: Cho hàm số y f x , biết f x '( ) Tìm cực trị của hàm số
Bài 2.3: Cho hàm số y f x liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau x 2 0 3
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y f x m có 7 điểm cực trị
Phân tích: Bài toán cho biết nghiệm của f x'( ) nên ta sử dụng điều kiện cần để hàm số có cực trị
Hàm số y f x m có 7 điểm cực trị y'0 có 6 nghiệm phân biệt và khác 0 m 2 0 m 2.
Vậy với m 2 thì đồ thị hàm số y f x m có 7 điểm cực trị
Bài 2.4: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x'( )x x 2 ( 1)(x2) 3 , x Hàm số y f x 2 có bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có bảng xét dấu x 4 1 0 1 4 ' y 0 0 0 0
Vậy hàm số y f x 2 có 5 điểm cực trị
Nhận xét: Nếu thay đổi yêu cầu của bài toán 1 bằng cách thay hàm số
y f x bởi hàm số y f x a ta có bài toán mới như sau
Bài toán 3: Cho biết cực trị của hàm số y f x Tìm cực trị của hàm số
Phân tích: Giáo viên tổ chức hướng dẫn để
Học sinh cần xác định cực trị của hàm số y = f(x + a) Để làm điều này, họ có thể vẽ đồ thị của hàm số hoặc lập bảng xét dấu đạo hàm của hàm số y = f(x + a) Việc này giúp hiểu rõ hơn về các điểm cực trị và tính chất của hàm số.
Học sinh cần thu thập và làm rõ thông tin để phân tích giả thiết của bài toán liên quan đến cực trị của hàm số y = f(x) Việc xác định cực trị có thể được thực hiện thông qua ba phương pháp chính: sử dụng đồ thị, bảng biến thiên, và công thức đạo hàm của hàm số Từ đó, học sinh sẽ tìm ra cách xác định cực trị của hàm số y = f(x + a) một cách hiệu quả.
- Học sinh thực hiện giải quyết vấn đề: Định hướng 1: Sử dụng phép biến đổi đồ thị
+ Từ đồ thị hàm số y f x ta suy ra đồ thị hàm số y f x
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x theo trục hoành sang trái ađơn vị nếu 0 a , sang phải a đơn vị nếu a0 Ta được đồ thị hàm số y f x a
Vậy số điểm cực trị của hàm số bằng số y f x a điểm cực trị của hàm số y f x Định hướng 2: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị
với x a Định hướng 3: Sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên
Kết hợp hai bảng biến thiên của hàm số u x a và hàm số y f u( ) trên cùng một bảng.
- Học sinh đánh giá và kết luận: Vậy số điểm cực trị của hàm số
y f x a bằng 2 lần số điểm cực trị dương của hàm số y f x cộng thêm điểm x a
- Học sinh đưa ra ý tưởng mới: Chúng ta có thể thay bằng hàm số
Nhận xét: Từ những định hướng đó chúng ta xây dựng được các dạng toán sau đây
Dạng 1: Cho hàm số y f x , biết đồ thị y f x Tìm cực trị của hàm số
Bài 3.1: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ
Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x 3
Đối với dạng toán này, việc hướng dẫn học sinh giải bằng hai cách sẽ giúp họ vừa có cái nhìn trực quan vừa phát triển khả năng suy luận logic, từ đó nắm bắt bản chất của vấn đề một cách hiệu quả hơn.
Để vẽ đồ thị hàm số y = f(x), ta giữ nguyên phần bên phải trục tung, loại bỏ phần bên trái và thực hiện phép đối xứng phần bên phải qua trục tung.
+ Từ đồ thị hàm số y f x ta vẽ đồ thị hàm số y f x 3 , bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y f x theo trục hoành sang phải 3 đơn vị
Từ đồ thị suy ra hàm số y f x 3 có 3 điểm cực trị
Ta có bảng xét dấu x 2 3 4
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số y f x 3 có 3 điểm cực trị
+ Nếu bài toán yêu cầu trắc nghiệm khách quan thì ta chọn cách 1 để trả lời nhanh
+ Nếu thay giả thiết bài toán băng cách cho bảng biến thiên của hàm số
y f x ta có dạng toán mới như sau
Dạng 2: Cho hàm số y f x , biết bảng biến thiên của hàm số y f x
Tìm cực trị của hàm số y f x a
Bài 3.2: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x 2 2
Hàm số y f x 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
Phân tích: Bài toán cho bảng biên thiên, biết các điểm cực trị cụ thể và yêu cầu tự luận nên ta chọn cách 2 để trình bày
Ta có bảng xét dâu x 3 1 1
Vậy hàm số có 3 điểm cực trị
Nhận xét: Nếu thay đổi giả thiết của bài toán bằng cách cho f x'( ), ta được dạng toán mới sau:
Dạng 3: Cho hàm số y f x , biết đạo hàm f ' x Tìm cực trị của hàm số
Bài 3.3: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x x 2 ( 1)( x 2 9), với
x Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x 1
Ta có bảng xét dấu x 4 2 1 0 2 ' y 0 0 0 0
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số y f x 1 có 5 điểm cực trị
Nhận xét: sử dụng cách 2 ta có thể tìm cực trị cho các hàm số có dạng
Bài 3.4: Cho hàm số bậc ba y f x có bảng xét dấu f x'( ) như sau: x 1 2
( ) f x 0 0 Hàm số y f 1 2 x có bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có bảng xét dấu x 1
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 5 điểm cực trị
Bài 3.5: Cho hàm số bậc ba y f x có bảng xét dấu f x'( ) như sau: x 1 2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x ( ) f x 2 2 x m có 9 điểm cực trị?
Ta tìm các điểm làm cho g x'( )0, hoặc g x'( ) không xác định
Hàm số g x ( ) f x 2 2 x m có 9 điểm cực trị Hệ (*) có 9 nghiệm đơn hoặc bội lẻ
Ta có bảng biến thiên x 0
Hệ (*) có 9 nghiệm đơn hoặc bội lẻ 1 1
Vì m m1, ta chọn đáp án B
Nhận xét: Bằng cách thay đổi yêu cầu của bài toán 3 với hàm số
y f x a b ta có bài toán mới như sau:
Bài toán 4: Cho biết cực trị của hàm số y f x Tìm cực trị của hàm số
Phân tích: Giáo viên tổ chức hướng dẫn để
