(SKKN mới NHẤT) PHÂN DẠNG và ĐỊNH HƯỚNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI lớp các bài TOÁN LIÊN QUAN đến tỉ số THỂ TÍCH của các KHỐI đa DIỆN

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG

Trường THPT Cửa Lò có vị trí thuận lợi cho phát triển kinh tế và giáo dục, nhưng kết quả học tập của học sinh chưa đạt yêu cầu cao, không tương xứng với uy tín của trường Nguyên nhân một phần là do học sinh chưa có đam mê nghiên cứu và tìm tòi, cũng như chưa chú trọng vào việc phát triển năng lực định hướng giải quyết các bài toán đặc trưng của môn học.

Trước khi áp dụng các nghiên cứu trong giảng dạy, học sinh thường thụ động trong việc giải quyết bài toán về tỉ lệ thể tích Các em thường chỉ làm theo kiến thức mà giáo viên cung cấp, ít có sự tìm tòi sáng tạo và phân loại các dạng toán này.

Theo khảo sát tại thị xã Cửa Lò, chỉ có 10% học sinh thể hiện sự hứng thú với nội dung tỉ số thể tích.

KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA

Sau khi áp dụng kết quả nghiên cứu, khảo sát cho thấy hơn 80% học sinh có hứng thú với bài học, trong đó 50% biết cách tìm tòi và xây dựng kiến thức.

Trong các kỳ thi thử THPT quốc gia, 90% học sinh từ các lớp dạy thử nghiệm có khả năng giải quyết các bài toán liên quan đến tỉ lệ thể tích của các khối đa diện.

KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ

Đề tài này cung cấp tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc gia Nó cũng có thể được áp dụng để phát triển các dạng bài toán khác cho giáo viên Toán tại trường THPT Hơn nữa, đề tài còn mở ra cơ hội phát triển mô hình sách tham khảo phục vụ cho việc học tập và giảng dạy môn Toán, đáp ứng nhu cầu của cả học sinh và giáo viên.

CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI

4.1 CÁC TÍNH CHẤT TỈ LỆ TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN

Tính chất 1: Cho hai hình chóp

V có hai đa giác đáy cùng nằm trên mặt phẳng   P a) Nếu SS '    P thì 1 2 1 2

Tính chất 2:Cho tứ diệnABCD

 dlà khoảng cách 2 đường AB CD;

 và  là góc tạo bởi hai đường AB CD;

Tính chất 3: Cho tam giác ABC, gọi M N P, , lần lượt là các điểm trên các cạnh ABC

Khi đó: M N P, , thẳng hàng khi và chỉ khi AM BN CN 1

Tính chất 4: Cho hình đa diện   H , giả sử   H được phân chia thành hai hình  H 1  , H 2  thì      

Tính chất 5: Cho hình chóp S ABC Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của SA SB SC, , Khi đó

Trong tứ diện ABCD, các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc các đường thẳng AC, AD, DB, CB Để đảm bảo M, N, P, Q đồng phẳng, điều kiện cần và đủ là AM, CQ, BP, DN phải đồng quy.

Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với tâm O Mặt phẳng P cắt các cạnh SA, SB, SC, SD, SO tại các điểm lần lượt là A, B, C, D', O'.

SA SC SB SD SO

SA  SC  SB  SD  SO b) Đặt , , ,

Tính chất 8: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' '

Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh bên AA, CC, BB của khối đa diện Thể tích của khối đa diện chứa các đỉnh A, B, C, M, N, P được ký hiệu là V1, trong khi V là thể tích của khối lăng trụ ABC A B C.

Tính chất 9:Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Mặt phẳng    cắt các cạnhAA BB CC DD', ', ', ' lần lượt tại

Tính chất 10: Nếu hai khối đa diện   H và  H '  đồng dạng với nhau theo tỉ số đồng dạng là k thì  

Tính chất 11: Cho A B I, , là 3 điểm phân biệt thẳng hàng và M là một điểm tùy ý

Tính chất 12: a) Cho hình hộpABCD A B C D ' ' ' '

Khi đó: V ABCD A B C D ' ' ' '    AA 'AB AD 

V A A BD '  1 6    AA '  AB AB  b) Cho các vecto , ,a b c   bất kỳ

4.2 CÁC BÀI TOÁN GỐC ĐƯỢC SỬ DỤNG ĐỂ TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH BẰNG P HƯƠNG PHÁP VÉC TƠ

Các tính chất, phép toán véc tơ và hình thành công thức tính tỷ số thể tích bằng phương pháp véc tơ

4.2.1 Bổ đề 1 Thiết lập hệ thức véc tơ tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

Trong không gian cho 2 điểm S S, 'và mặt phẳng ABC  sao cho SS '   ABC   M

SS  '  xSA   ySB   zSC   SS  '   x   y z SM  

Từ kết quả bài toán 1 ta có: SS' x y z

Ta có: SS  '  xSA   ySB   zSC    x   y z SA    y AB   z AC   y AB   z AC 

Gọi điểm M thỏa mãn: xMA yMAzMA 0

SS  x y z SM xMA yMBzMC x y z SM

Do đó SS '   ABC   M và SS  '   x   y z SM  

Nhận xét: Từ hệ thức vectơ SS  '   x   y z SM   cho ta biết vị trí giao điểm của mặt phẳng  ABC với đường thẳng  SS'

4.2.2 Bổ đề 2 Thiết lập phép toán véc tơ tính tỉ số thể tích của hai khối tứ diện

Cho tứ diện A BCD Giả sử các điểm A B C D'; '; '; ' bất kỳ trong không gian thỏa mãn:

Khi đó tỷ số thể tích: ' ' ' '

A B  A C  x AB y AC z AD  x AB y AC z AD

 x y 1 2 x y 2 1  AB AC  y z 1 2 y z 2 1  AC AD  z x 1 3 z x AD 3 1  AB

  z x 1 3  z x y 3 1  3    AD  AB AC    x y 1 2  x y z 2 1  3    AB  AC AD 

Theo tính chất của tích có hướng ( Tính chất 12.b)

   AC  AD AB      AD  AB AC      AB  AC AD 

Mặt khác: V A B C D ' ' ' '     A B ' '  A C AD ' '  ' và V ABCD     AB  AC AD 

Theo tính chất 15 suy ra ' ' ' '

NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

Kỳ thi thử THPT quốc gia thường có nhiều câu hỏi toán học liên quan đến tỉ số thể tích của các khối đa diện, nhằm đánh giá năng lực toán học của thí sinh ở các mức độ khác nhau, từ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng thấp và vận dụng cao.

Vi dụ 1: [Câu 46 đề liên trường nghệ an năm 2021 – 2022]

Cho lăng trụ tam giác ABC với thể tích 324 Mặt phẳng P đi qua trọng tâm G của tam giác ABA' và song song với AB' và BC' chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Cần tính thể tích của khối đa diện chứa đỉnh A.

Vi dụ 2 [Câu 47 đề THPT năm 2020 – mã đề 101]

Cho hình chóp đều S ABCD với cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a, O là tâm của đáy Các điểm M, N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA Điểm S' là điểm đối xứng với S qua O Thể tích của khối chóp S MNPQ' được tính theo công thức cụ thể.

Vi dụ 3 [Câu 43 đề THPT Đô Lương 1 năm 2022 – mã đề 101]

Cho hình chóp đều S ABCD có S ABCD là hình thoi và có thể tích bằng 2 Gọi M N, lần lượt là các điểm trên cạnh SB SD, sao SM SN

 AMN  cắt cạnh SCtại Q Tìm giá trị của k để thể tích khối chóp S AMQN. bằng 2

A 2 k  3 B 1 k 8 C 1 k  4 D 2 k  4 Trong quá trình giảng dạy, trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp, tương tác với học sinh ở nội dung tỉ số thể tích nhiều giáo viên đều định hướng theo các cách, phân chia, lắp gép khối đa diện, sử dụng các kết quả đặc biết ở các bài toán cơ bản Ít giáo viên đề cập công cụ vectơ và gặp khó khăn khi khái quát bài toán, phân dạng, định hướng phương pháp giải

Dưới đây là phương pháp áp dụng công cụ véc tơ để giải quyết bài toán tỉ số thể tích của hai khối đa diện, giúp phân loại và định hướng lời giải cho các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích.

5.1 SỬ DỤNG BỔ ĐỀ 1 VÀ BỔ ĐỀ 2 TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA HAI KHỐI ĐA DIỆN

5.1.1 MỘT SỐ VÍ DỤ SỬ DỤNG BỔ ĐỀ 2 ĐỂ TÍNH TỶ SỐ THỂ TÍCH

Bài toán 1: Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D    có thể tích là V Gọi M là trung điểm của cạnh AB, gọi P N, lần lượt thuộc các cạnh BB', BC sao cho

BP BB BN  BC, tính tỉ số D MNP '

BD BABC BB  BM  BN  BP

Gọi I  BD '   MNP  Áp dụng Bổ đề 1 suy ra ' 2 5 4 55

 Có thể xác định tỉ lệ

ID theo cách dựng hình

Sử dụng bổ đề 1 giúp chuyển đổi bài toán tính tỷ số thể tích thành việc tính tỷ số hai đoạn thẳng một cách hiệu quả Ví dụ dưới đây minh họa rõ ràng cho phương pháp này.

Bài toán 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có thể tích là V , gọi M P, lần thỏa mãn

, gọi N là trung điểm của đoạn '

BC Mặt phẳng  MNP chia lăng trụ thành hai đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích là V A Tính tỉ số V A

Lời giải: Đặt: m     BM n,  BN p,  BP

3 3 3 3 3 p BC BA  BC BA BB

(4), kết hợp (4) với (1), suy ra

Gọi I  BB '   MNP  , Áp dụng Bổ đề 1, suy ra ' 1 8 2 5

Gọi J  CC '   MNP , từ kết quả (*) và định lý Talet suy ra 2

Gọi K  AA '   MNP  , từ kết quả (*) và định lý Talet suy ra 1

Trong bài toán này, ba điểm M, N, P được chọn trên các mặt bên của hình lăng trụ, gây khó khăn trong việc tìm giao điểm của các cạnh với mặt phẳng MNP khi tiếp cận theo hướng dựng thiết diện Tuy nhiên, bằng cách áp dụng bổ đề 1, việc xác định các giao điểm của các cạnh với mặt phẳng MNP trở nên đơn giản và dễ dàng hơn.

Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M N P Q, , , lần lượt trên các cạnh

AB BC CD DA sao cho : 1 1 1 1

AM  MB BN  NC   Gọi

O O O O lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AN DM CQ BP, , , Tính tỷ số O O O O 1 2 3 4

AO AN  AB AC AB AC AD

AO  AM  AD  AB AC AD

AO  AQ AC  AB AC AD

AO  ABAP  AB AC AD

O O   AO  AO   AB AC AD

O O  AO AO   AB AC AD

O O  AO  AO  AB  AC  AD

Áp dụng Bổ đề 2 ta được: O O O O 1 2 3 4  1 2  3 54 3 18 1

Bài toán 3 là sự tổng quát của bài toán ví dụ 2, trong đó chúng ta đã áp dụng bổ đề 2 để giải quyết Để tính tỷ số thể tích của hai khối tứ diện bất kỳ trong không gian, có thể áp dụng một phương pháp cụ thể.

5.1.2 CÁC BƯỚC SỬ DỤNG BỔ ĐỀ 2 ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TỨ DIỆN

Giá sử ta cần tính tỷ số thể tích ' ' ' '

V ta có thể thực hiện theo các bước:

Bước 1: phân tích các véc tơ   A B A C A D' ', ' ', ' ' theo các véc tơ   AB AC AD, ,

Giả sử A B' ' x AB 1  y AC 1  z AD 1 

Bước 2: Đặt: a1  x y z 1; ;1 1 ;a2  x y z 2; 2; 2 ;a3  x y z 3; ;3 3  và tính giá trị k   a    1  a 2  a 3

Sử dụng bổ đề 2 một cách hiệu quả yêu cầu người dùng phải thành thạo kỹ năng phân tích véc tơ Trong một số bài toán đặc biệt, việc áp dụng các tính chất có thể mang lại kết quả nhanh chóng.

Cần phân loại bài tập và xác định phương pháp giải phù hợp, đồng thời kết hợp các tính chất cùng với Bổ đề 1 và Bổ đề 2 để tìm ra lời giải cho bài toán.

5.2 PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO LỚP BÀI TOÁN TỈ SỐ THỂ TÍCH HAI KHỐI ĐA DIỆN

Khi giải các bài toán về tỷ số thể tích của các khối đa diện, chúng ta thường gặp một số tình huống quan trọng Đầu tiên, ta cần tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được phân chia từ một đa diện ban đầu Thứ hai, tỷ số thể tích có thể được xác định khi các đỉnh của một đa diện nằm trên cạnh hoặc mặt của đa diện khác Cuối cùng, tỷ số thể tích cũng có thể được tính khi các đỉnh của một khối đa diện là hình ảnh của một số đỉnh của khối đa diện khác thông qua phép đối xứng tâm hoặc vị tự.

Sau đây là cách phân chia, khái quát hóa, định hướng lời giải cho dạng toán tỷ số thể tích

V TRONG ĐÓ  H 2  CẮT RA TỪ HÌNH   H BỞI MẶT

SƠ ĐỒ MINH HỌA Định hướng: Giải sử   H được phân chia thành hai hình đa diện  H 1  và

Bước 1: Xác định vị trí của các giao điểm của cạnh đa diện   H với   

Hướng 1: Vẽ thiết diện, sử dụng các định lý talet xác định các giao điểm của cạnh đa diện   H với    trên từng cạnh

Hướng 2: Sử dụng bổ đề 1 để xác định các giao điểm của cạnh đa diện

Bước 2: Chọn một đỉnh bất kỳ trong thiết diện (giả sử là điểm I) và tiến hành phân chia hình đa diện H1 thành các hình chóp có cùng đỉnh I, với mặt đáy của các hình chóp này nằm trên các mặt của H.

Bước 3: Sử dụng tính chất 1 và tính chất 2, tính tỉ số thể tích của các chóp với thể tích khối   H

5.2.1.1 Bài toán cho biết vị trí của tất cả các đỉnh thiết diện trên các cạnh của đa diện   H

Thiết diện bài toán được áp dụng trực tiếp trong các trường hợp phân chia đơn giản, thường gặp trong các dạng toán nhận biết và thông hiểu các tính chất đã có.

Bài toán 4: Cho hình chóp S ABC Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của SA SB SC, , Tỉ số thể tích

Bài toán 5 Cho hình chóp S ABCD Gọi A,B,C,D theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S A B C D     và

Bài toán 6 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có thể tích bằng V Các điểm M ,

N , P lần lượt thuộc các cạnh AA' , BB' , CC' sao cho 1

BB CC  Tính thể tích V' của khối đa diện ABC MNP .

5.2.1.2 Bài toán cho biết 3 đỉnh của thiết diện a Trường hợp 1 3 điểm thuộc 3 cạnh của đa diện đa diện   H

Bài toán 7 Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D     có thể tích bằng 2110 Biết

A M MA; DN 3ND và CP 2C P Mặt phẳng  MNP  chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Tính thể tích khối đa diện nhỏ hơn

Gọi Q   MNP   B B ', Theo tính chất 9.b

Bài toán 8 yêu cầu tính tỉ số giữa hai phần thể tích V1 và V2 của hình lập phương ABCD A B C D, trong đó N là trung điểm của cạnh CC’ Mặt phẳng α đi qua AN và cắt các cạnh BB' và DD' tại các điểm M và P Điều kiện đặt ra là V1 < V2.

Bài toán 9 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành GọiM là trung điểm SB, điểm P thuộc cạnh SD sao cho SP2PD Mặt phẳng

 AMP  cắt SC tại N Tính tỷ số

 Sủ dụng tính chất của tỉ lệ ta tính được 5

V tương tự ví dụ trên.

SA SC SB SD SC SC

SA SN  SM  SP   SN    SN 

Dựa trên bài toán đã nêu và hướng giải quyết, chúng ta có thể phát triển các bài toán tương tự liên quan đến giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của tỉ số thể tích.

Bài toán 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Mặt phẳng    thay đổi luôn đi qua B, trung điểm I của SO và cắt các cạnh ,

SA SC và SD lần lượt tại M N, và P Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỷ số

Lời giải Đặt SA ,SC , 1 x y x y

SA SC SB SD SO

SM  SN  SB SP  SI 

V đạt GTNN, GTLN lần lượt là

Bài toán 11 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB a Trên đường thẳng qua

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Tiến hành thực nghiệm sư phạm tại trường phổ thông nhằm đánh giá hiệu quả của phương pháp đổi mới hoạt động khởi động bài học trong chương II phần hình học không gian lớp 12 Mục tiêu là phát triển tư duy cho học sinh ở trường THPT và so sánh kết quả của lớp thực nghiệm với lớp đối chứng để đánh giá khả năng áp dụng biện pháp đã đề xuất vào quá trình dạy học chủ đề thể tích khối đa diện.

NỘI DUNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Hệ thống bài tập trắc nghiệm hình học giúp đánh giá mức độ tiếp thu kiến thức của học sinh, từ đó phát triển năng lực giải quyết vấn đề, tư duy logic và khả năng sáng tạo.

PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Tôi chọn tiến hành thực nghiệm sư phạm tại 2 lớp 12A2 và 12A3 năm học

2021 - 2022 vì 2 lớp này tương đương nhau về các mặt:

+ Chất lượng học tập bộ môn Toán học khá như nhau

+ Cùng 1 giáo viên từng giảng dạy, riêng lớp 12A2 tôi đã theo dạy 2 năm (lớp

Cụ thể tình hình 2 lớp chọn trước khi thực nghiệm sư phạm là như sau: a Đặc điểm về học lực học kỳ 1

Yếu 2 (5,7%) 2 (8,1%) b Đặc điểm về chất lượng môn Toán học kỳ 1

Tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm theo phương pháp đối chứng:

- Lớp 12A2, phân loại và định hướng phương pháp giải các bài toán liên quan đến tỉ số thể tíchh; lớp 12A3, tôi sẽ giảng dạy thông thường

Ban đầu tôi sẽ kiểm tra trước thực nghiệm để xem xét học lực của hai lớp để kiểm tra hai lớp có tương đương nhau hay không

Tiến hành giảng dạy và kiểm tra các bài học tập trung vào việc rèn luyện tư duy tương tự hóa và sáng tạo, trong khi áp dụng phương pháp giảng dạy truyền thống cho lớp đối chứng.

KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM

4.1 XỬ LÝ SỐ LIỆU TRƯỚC THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Sau khi thực hiện kiểm tra trước thực nghiệm sư phạm, kết quả kiểm tra đóng vai trò quan trọng trong việc xác nhận tính tương đương giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng Dưới đây là bảng số liệu thể hiện kết quả bài kiểm tra của các lớp.

Bảng 1: Bảng phân phối của bài kiểm tra trước khi thực nghiệm

Số học sinh đạt điểm

Bảng 2: Điểm trung bình của bài kiểm tra trước thực nghiệm

Lớp Điểm Trung Bình Đối chứng (12A3) 6,14

Sử dụng phương pháp kiểm định Student để xác định giả thuyết về sự khác biệt điểm kiểm tra giữa hai lớp học sinh, cho thấy sự khác nhau giữa trung bình cộng của hai lớp này không có ý nghĩa thống kê Điều này có nghĩa là hai lớp học sinh được chọn để thực nghiệm là tương đương nhau về mặt học tập.

4.2 XỦ LÝ SỐ LIỆU SAU THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM a Kết quả:

Trên cơ sở kiểm tra lần một mà tôi lập bảng phân phối kết quả như sau:

Bảng 3: Bảng phân phối sau khi thực nghiệm Điểm số X i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bảng 4: Điểm trung bình của bài kiểm tra sau thực nghiệm

Lớp Điểm Trung Bình Đối chứng (12A3) 6,37

+ Khá – Giỏi: Từ 7 điểm trở lên

+ Trung bình: Từ 5 tới 6 điểm

Qua đó ta có bảng phân phối chất lượng học sinh như sau:

Bảng 4: Bảng phân phối chất lượng học sinh

Lớp Khá – Giỏi Trung bình Yếu Đối chứng (12A3) 22 10 3

Để trực quan hóa số liệu từ bảng phân phối, tôi đã biểu diễn chúng bằng đồ thị đường lũy tích, giúp người đọc dễ dàng nắm bắt thông tin hơn.

Nguyên tắc xác định đường:

+ Cột biểu diễn % số HS đạt điểm Xi

+ Hàng biểu diễn số điểm Xi

+ Nếu đường lũy tích ứng với đơn vị nào càng ở bên phải thì đơn vị đó có chất lượng tốt hơn Đồ thị phân bố điểm kiểm tra

4.3 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VỚI HỌC SINH, ĐỒNG NGHIỆP, BẢN THÂN, NHÀ TRƯỜNG

Từ những số liệu thực nghiệm thu được của lần kiểm tra Qua xử lý bằng toán học thống kê ta có những nhận xét sau:

+ Giá trị trung bình X thực nghiệm lớn hơn X đối chứng Cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm 12A2 cao hơn của lớp đối chứng 12A3

Đường lũy tích của lớp 12A2 nằm chủ yếu ở phía bên phải lớp 12A3, cho thấy chất lượng học tập của lớp thực nghiệm vượt trội hơn so với lớp đối chứng, đặc biệt là ở những đoạn điểm từ 8 trở lên.

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng hệ thống bài tập đã giúp học sinh vận dụng linh hoạt phương pháp giải vào các bài toán từ đơn giản đến phức tạp Học sinh không còn e ngại khi gặp các bài toán này, và hiệu quả áp dụng tương đối cao, với bài giải trở nên sáng sủa và ngắn gọn Hầu hết học sinh đều vận dụng tốt và giải quyết nhanh chóng các câu hỏi trắc nghiệm loại này.

Sau khi đọc tài liệu này, học sinh của tôi đã cảm thấy bớt sợ hãi khi tiếp cận các bài toán tỉ số thể tích Những em có năng lực tốt và đam mê tìm tòi đã bắt đầu khám phá các bài toán hình học khác để áp dụng vào các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích.

Mặc dù phương pháp học tập mang lại nhiều lợi ích, nhưng vẫn có một số học sinh do kiến thức còn hạn chế chưa nhận ra được điểm mạnh của nó và chưa áp dụng một cách linh hoạt trong các tình huống khác nhau.