TIỂU LUẬN CHUYÊN đề PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG

Lý thuyết

Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Vecto khác có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆ gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng ∆

Từ định nghĩa đó, ta suy ra:

+ Mỗi đường thẳng có nhiều vecto chỉ phương, chúng cùng phương với nhau.

+ Một đường thẳng được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một vecto chỉ phương của nó.

2 Phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương sẽ có điều kiện cần và đủ để điểm nằm trên đường thẳng đó là vecto của điểm phải cùng phương với vecto chỉ phương Điều này có nghĩa là tồn tại một số thực sao cho vecto của điểm có thể biểu diễn dưới dạng bội số của vecto chỉ phương.

Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ , với tham số t.

1) Với mỗi giá trị của tham số t, ta tính đƣợc x và y từ công thức (1), và đƣợc điểm nằm trên ∆ Ngƣợc lại, nếu điểm M nằm trên ∆ thì phải có một số t sao cho tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ phương trình (1).

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

2) Nếu cho trước hệ phương trình dạng (1) thì có duy nhất một đường thẳng nhận hệ đó làm phương trình tham số Đó chính là đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương

3 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Nếu trong phương trình (1), các hệ số a và b đều khác 0 thì bằng cách khử t từ hai phương trình của (1), ta được phương trình:

(2) Phương trình (2) gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng.

Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d đi qua hai điểm A(1,2) và B(3,-4) Để xác định phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d, ta cần tính toán dựa trên tọa độ của hai điểm này Tiếp theo, ta tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho khoảng cách OM bằng 5 Cuối cùng, để tìm tọa độ điểm H nằm trên đường thẳng AB sao cho OH vuông góc với AB, ta sẽ áp dụng các phương pháp hình học và đại số phù hợp.

Giải: a) Vì = (2,-6) nên =(1,-3) là một vecto chỉ phương của đường thẳng d Vậy d có phương trình tham số là:

{ và có phương trình chính tắc là b) Điểm M nằm trên d nên có tọa độ x M =1+ t, y M = 2 − 3t Vì OM = 5 nên hay

Khi , ta đƣợc điểm M (3,-4) c) Điểm H nằm trên đường thẳng AB nên ta có tọa độ của đó, ta có:

4 Phương trình của tia và đoạn thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khi cho hai điểm phân biệt A và B, đường thẳng AB đi qua điểm A và có vecto chỉ phương, do đó có thể được biểu diễn bằng phương trình tham số.

Tia AB là tia có điểm M thỏa mãn điều kiện nhất định, với gốc là A và chứa điểm B Tia này cùng phương với vecto, được gọi là vecto chỉ phương của tia AB Do đó, phương trình của tia AB có thể được xác định bởi đoạn thẳng AB, bao gồm những điểm M thoả mãn điều kiện cụ thể.

Vậy phương trình của đoạn thẳng AB là: {

Trong bài toán cho tam giác ABC với các đỉnh A (3,1), B (6,4), C (0,5), chúng ta cần viết phương trình tham số của tia phân giác trong góc A Để thực hiện điều này, trước tiên ta xác định tọa độ các đỉnh và sau đó áp dụng công thức để tìm phương trình tham số cho tia phân giác.

Tia phân giác trong của góc A là tia có gốc A và vecto chỉ phương là

Vậy tia phân giác trong của góc A có phương trình tham số là: b) Đường phân giác ngoài của góc A có vecto chỉ phương là

AI Phương trình tổng quát của đường thẳng:

Vecto khác có giá vuông góc với đường thẳng ∆ gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng ∆

Từ định nghĩa đó, ta suy ra đƣợc:

Phương trình tổng quát của đường thẳng

+ Vecto pháp tuyến và vecto chỉ phương của một đường thẳng luôn vuông góc với nhau.

+ Một đường thẳng được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một vecto pháp tuyến của nó.

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ đi qua điểm vecto pháp tuyến đường thẳng

Phương trình (1) gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng rằng điểm M nằm trên

Ta chứng minh điều ngược lại: Mọi phương trình dạng lấy cặp số qua điểm của d chính là phương trình (1).

Cho tam giác ABC với các đỉnh A(1,2), B(-2,3), C(0,4) Để viết phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường cao AA’ từ đỉnh A, trước tiên ta cần xác định tọa độ của điểm A’ trên cạnh BC Sau đó, tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC bằng cách tính giao điểm của các đường cao Đường cao AA’ sẽ đi qua điểm A và điểm A’ trên cạnh BC.

Vậy AA’ có phương trình tổng quát là:

Vecto chỉ phương tuyến của đường cao AA’ là { b) Trực tâm H của tam giác ABC phải nằm trên đường cao AA’ nên H có tọa độ là

Mặt khác, ta có hay

3 Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng

- Đường thẳng vuông góc với trục Ox.

- Đường thẳng vuông góc với trục Oy.

- Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O.

Xét đường thẳng trình đường thẳng có thể viết dưới dạng:

Phương trình (1) gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

4 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một điểm M nằm trên hai đường thẳng khi và chỉ khi tọa độ của nó là nghiệm của hệ hai phương trình tương ứng.

(1) Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi | |

(3) Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi | | | | | | .

Khoảng cách và góc

(4) Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi biệt, khi

5 Chùm đường thẳng Định nghĩa: Tập hợp các đường thẳng cùng đi qua một điểm cố định gọi là chùm đường thẳng, điểm cố định đó gọi là tâm của chùm đường thẳng. Định lý: Giả sử hai đường thẳng phân biệt của một chùm có phương trình

Khi đó, điều kiện cần và đủ để một đường thẳng thuộc chùm là phương trình có dạng:

Ví dụ: Cho tam giác ABC biết rằng các đường thẳng AB, BC, AC lần lượt có phương trình trình đường cao AH của tam giác đó.

Viết phương Đường cao AH thuộc chùm đường thẳng tâm A xác định bởi 2 đường thẳng AB và AC nên ta có phương trình:

Ta cần tìm và sao cho AH vuông góc với BC.

Ta lại có vecto pháp tuyến của BC là và vecto pháp tuyến của AH là

Mặt khác, nên ta có:

Cho , ta được phương trình của AH có dạ ng:

BI Khoảng cách và góc:

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Hãy tìm khoảng cách d ( M , ∆) từ điểm M tới ∆ Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M

x = x + at và vuông góc v i ∆ có phương trình: 

Giao điểm H của ∆ và ∆ có tọa độ thỏa mãn (1) và (2), tức là H ứng với giá trị thỏa mãn phương trình: a ( x 0 + at ) + b( y 0 + bt ) + c = 0 Suy ra

Khoảng cách d ( M , ∆) cần tìm chính là độ dài đoạn thẳng MH, tức là:

Hai đường thẳng cắt nhau tạo bốn góc, và các tia phân giác của những góc này tạo thành hai đường thẳng vuông góc với nhau, được gọi là hai đường phân giác của các góc tạo bởi ∆ và ∆ Điểm M có khoảng cách đến ∆ và ∆ bằng nhau.

√ Khi đó, (*) chính là phương trình đường phân giác của các góc tạo thành bởi ∆ và

Ví dụ: Cho tam giác ABC với 3 đường thẳng AB, BC, CA lần lượt có phương trình là:

Viết phương trình đường thẳng chứa đường phân giác trong góc A.

Góc A của tam giác ABC được hình thành bởi hai đường thẳng AB và CA Hai đường phân giác của các góc này có phương trình cụ thể, phản ánh mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác.

Ta phải xét xem trong hai đường thẳng (*) và (**), đường nào là đường phân giác trong của góc A.

Thay tọa độ B vào vế trái của (*), ta đƣợc (

Tương tự, thay tọa độ C vào vế trái của (*), ta được

B và C có cùng dấu, cho thấy chúng nằm cùng phía so với đường thẳng (*) Điều này chứng tỏ rằng (*) là đường phân giác ngoài Do đó, đường thẳng (**) chính là đường cần tìm.

3 Góc giữa hai đường thẳng Định nghĩa : Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc Số đo nhỏ nhất trong các số đo của bốn góc đó là góc giữa hai đường thẳng a,b (hay góc hợp bởi hai đường thẳng a và b).

Khi a và b song song hoặc trùng nhau, ta nói góc giữa hai đường thẳng đó bằng

Từ định nghĩa đã nêu, ta có thể rút ra rằng góc giữa hai đường thẳng có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất Nếu hai đường thẳng có vector chỉ phương lần lượt là u và v, chúng ta có thể xác định mối quan hệ giữa chúng thông qua các phép toán hình học.

Cho tam giác ABC với các đỉnh A(5,6) và B(1,2), đường phân giác trong của góc A song song với trục tung, đồng nghĩa với việc góc C cũng có đặc điểm tương tự Do đó, phương trình của đường thẳng phân giác trong góc A sẽ được xác định dựa trên tính chất này.

Gọi là điểm đối xứng của B qua đường thẳng nằm trên tia

Khi đó, phương trình đường thẳng

Các dạng bài tập thường gặp

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua và có VTCP

Để viết phương trình tham số của đường thẳng ∆, ta xem xét các trường hợp sau: a) Đường thẳng đi qua một điểm cho trước; b) Đường thẳng đi qua hai điểm và có vectơ chỉ phương; c) Đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng khác.

. d) Đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng

. a) Đường thẳng ∆ đi qua trình tham số là: b) Đường thẳng

Phương trình tham số của ∆ là: { c) Đường thẳng d có VTCP

Mặt khác, ∆ đi qua điểm

Bài 2: Cho đường thẳng : thẳng đối xứng với d qua M.

Ta có đường thẳng nhất và thứ ba (qua gốc tọa độ O).

Gọi K là điểm đối xứng của O qua M, ta có:

Gọilà đường thẳng đối xứng với d qua M Vậy đường thẳng

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm và có VTPT

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆, chúng ta cần xem xét các trường hợp khác nhau Trường hợp đầu tiên, nếu đường thẳng ∆ đi qua một điểm cụ thể, chúng ta sẽ xác định phương trình dựa trên tọa độ của điểm đó Trong trường hợp thứ hai, nếu đường thẳng ∆ đi qua một điểm khác, phương trình cũng sẽ được điều chỉnh tương ứng Cuối cùng, nếu đường thẳng ∆ đi qua một điểm thứ ba, phương trình tổng quát sẽ được xác định dựa trên vị trí của điểm này.

∆ vuông góc với d nên ∆ nhận VTCP của d làm VTPT ∆ c) Đường thẳng ∆ đi qua trình tổng quát là: ∆:

Để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm P và Q, trước tiên cần xác định tọa độ của hai điểm này Sau đó, sử dụng công thức tính hệ số góc và phương trình đường thẳng Tiếp theo, để viết phương trình đường thẳng trung trực của đoạn thẳng PQ, cần tìm trung điểm của đoạn thẳng PQ và tính hệ số góc vuông với đoạn thẳng PQ Cuối cùng, từ các thông tin này, có thể thiết lập phương trình cho cả hai đường thẳng.

Vậy VTPT của đường thẳng PQ là

Gọi d là đường thẳng qua

Vậy : b) Gọi I là trung điểm của PQ

Gọi ∆ là đường trung trực của PQ.

∆ đi qua I và có VTPT

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x 0, y 0 ) khi biết hệ số góc k cho trước.

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau: a) (d) đi qua M(-1;5) và có hệ số góc k = -2 b) (d) đi qua M’(2;-3) và tạo với chiều dương trục Ox ở một góc 45 0

Giải: a) (d) có hệ số góc k = -2, nên u d = (1; -2)

Ta có (d) đi qua M (-1; 5) và VTCP u d = (1; -2) , nên (d) có phương trình là:

(d): { (t b) Gỉa sử đường thẳng đã cho có hệ số góc là k. k = tan 45 0 = 1

Vậy phương trình đường thẳng (d) đi qua M’ (2;-3) và có VTCP u d = (1, 1) là:

Bài 2: Cho ∆ phương trình trung tuyến AM của tam giác ABC.

Giải: a) Phương trình đường cao AH:

Ta có nên đường cao AH nhân = (4; -1) là VTPT

Vậy khi đó AH đi qua và có VTPT có phương trì nh là :

(AH): – – – – b) Phương trình đường trung tuyến AM (

Ta có AM là đường trung tuyến và ( có tọa độ là: {

Vậy khi đó phương trình đường trung tuyến AM đi qua A(1; 2) và có VTCP

Dạng 4: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 1: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau: a) – – b) :

Giải: a) Số giao điểm của D 1 và D 2 là số nghiệm của hệ phương trình:

Vậy D 1 và D 2 cắt nhau tại một điểm b) Từ phương trình đường thẳng D 4 ta thay : { vào phương trình D – 3 ta được:

D 3 và D 4 không có điểm chung Hay hai đường thẳng đã cho song song với nhau. c) Tương tự câu b Từ phương trình của D 6 trình đường thẳng D 5 ta được:

(luôn đúng Vậy D 5 và D 6 trùng nhau

Dạng 5: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Bài 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: a) b) –

Giải: a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) là: d =

Vậy b) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) là: d =

Bài 2: Cho đường thẳng ∆, chứng minh rằng hai điểm A và O nằm cùng phía đối với đường thẳng này Tiếp theo, tìm điểm O’ đối xứng với O qua ∆ Cuối cùng, xác định điểm M trên ∆ sao cho độ dài đoạn gấp khúc OMA đạt giá trị ngắn nhất.

A và O nằm cùng phía đối với đường thẳng ∆ b) Giả sử là hình chiếu của O lên đường thẳng ∆.

Viết phương trình (d) đi qua O và vuông góc ∆ tại H, nhận (2; 1) là VTPT:

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

Khi đó, tọa độ điểm H sẽ là nghiệm của hệ phương trình: {

Ta có O’ là điểm đối xứng của O qua đường thẳng ∆

Nên H là trung điểm của O’O

Khi đó tọa độ điểm O’ là: {

O’( ) c) Ta có OM + MA = O’M + MA Độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất

• Viết phương trình đường thẳng

( là VTCP => VTPT của Đường thẳng trình tổng quát của nó là:

Bài 1: Trong hệ tọa độ , cho hai đường thẳng 1: – – và 2 :

– Giả sử d 1 , d 2 cắt nhau tại Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng đã cho lần lượt tại hai điểm sao

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com đi qua cho

Ta có d 1 và d 2 cắt nhau tại I Nên tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

+ TH 1 : (-6;6) đi qua và nhận là VTCP Có phương trình tham số là:

( đi qua và nhận là VTCP Có phương trình tham số là:

Bài 2: Cho tam giác là , diện tích tam giác

Nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình : {

Do là trọng tâm tam giác

Ta lại có SABC + Gọi

Bài 3: Trong hệ tọa độ

– , diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnh có hoành độ âm.

Theo tính chất hình thoi ta có :

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com hoặc

Bài 4: Trong hệ tọa độ và

| đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi là trung điểm của

Vì vậy | trên dường thẳng Đường thẳng

Khi đó tọa độ điểm

Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ thẳng 1 : ; 2 : phương trình đường thẳng đi qua tạo với và có diện tích bằng

, cho điểm và hai đường

1và 2một tam giác vuông cân tại

Gọi ∆ 1 và ∆ 2 lần lượt là các đường phân giác của các góc tạo bởi

Khi đó phương trình của ∆1:

Theo đề bài ta có 3 tạo với

Ta lại có: 3đi qua

Mặc khác diện tích ta giác đã cho là

Bài 6: đường phân giác A: giác

+ Viết phương trình đường thẳng BC:

+ Viết phương trình đường thẳng AB:

Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình: {

Gọi Đường phân giác nhận

Phương trình đường thẳng đi qua

Gọi là giao điểm của

+ Viết phương trình đường thẳng AC:

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com đi qua và có VTCP = Nên phương trình của nó là:

Để viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng, chúng ta xem xét các trường hợp sau: a) Đường thẳng đi qua một điểm nhất định và có vectơ chỉ phương (VTCP) cho trước; b) Đường thẳng đi qua gốc tọa độ với vectơ chỉ phương xác định; c) Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng đã cho.

– d) Đi qua 2 điểm ĐS: a) PTTS:

Bài 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau: a) { b) { c) { ĐS: a) Hai đường thẳng song song b) Hai đường thẳng cắt nhau tại c) Hai đường thẳng trùng nhau

Bài 3: Cho điểm và đường thẳng : – Viết phương trình đường thẳng: a) Đi qua và song song với

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com b) Đi qua và vuông góc với ĐS: a) { b)

2 cạnh còn lại và đường cao thứ 3. ĐS: Đường thẳng đường thẳng Đường thẳng đường thẳng Đường cao đường thẳng

Bài 5: Trong mặt phẳng đi qua điểm và cắt 2 đường thẳng d 1 : lần lƣợt tại ĐS:

Bài 6: Trong mặt phẳng thẳng đi qua lần lƣợt tại ĐS:

Cạnh là trung điểm của cạnh dương Đường thẳng đi qua ĐS:

Bài 8 yêu cầu viết phương trình đường thẳng cho các trường hợp cụ thể Trường hợp a) là đường thẳng đi qua một điểm và cắt trục tại một tam giác vuông cân Trường hợp b) là đường thẳng đi qua một điểm và cắt trục tại trung điểm của đoạn thẳng Các phương trình cần được xác định rõ ràng để đảm bảo tính chính xác trong toán học.

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2,1) Lập phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích S = 4. ĐS: –

Giải các bài sau a) Tính bán kính đườ ng tròn tâm và tiếp xúc với đường thẳng

(d1): b) Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng

1: và 2 : c) Tìm phương trình tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng:

∆ 1 : d) Viết phương trình đường thẳng đi qua ĐS: a) b) c) d)

Bài 11: Trong mặt phẳng lần hoành độ là một số nguyên Xác định tọa độ của các đỉnh tam giác ĐS:

Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ

Bài 13: Trong mặt phẳng hệ toạ độ

Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cạnh là lƣợt là ĐS: và

Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ phương trình biết rằng ĐS:

Bài 16: Trong mặt phẳng tọa độ lần lƣợt thuộc cạnh và Trực tâm của tam giác

Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông thẳng ĐS:

Gọi lần lƣợt là trung điểm của và Điểm chữ nhật biết

Bài 17: Trong mặt phẳng đường tròn ngoại tiếp tam giác góc ̂ là

Bài 18: Trong mặt phẳng tâm là giao điểm của đường thẳng

Trung điểm của một cạnh là giao điểm của 1 của hình chữ nhật. ĐS:

Bài 19: Trong mặt phẳng giác trong của góc

Xác định tọa độ đỉnh ĐS:

Bài 20: Cho hình thang cân của hai đường chéo

Biết phương trình đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng biết điểm có hoành độ dương.

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm và có VTPT

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong các trường hợp khác nhau, ta cần xác định các điểm mà đường thẳng đi qua Cụ thể, nếu đường thẳng ∆ đi qua một điểm A, B hoặc C, ta sẽ áp dụng công thức phù hợp để xác định phương trình của nó Phương trình tổng quát cho đường thẳng ∆ sẽ được xây dựng dựa trên tọa độ của các điểm này.

∆ vuông góc với d nên ∆ nhận VTCP của d làm VTPT ∆ c) Đường thẳng ∆ đi qua trình tổng quát là: ∆:

Bài 2: Cho hai điểm P và Q, hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P và Q Bên cạnh đó, cần xác định phương trình đường thẳng trung trực của đoạn thẳng PQ Phương trình đường thẳng PQ sẽ được xác định dựa trên tọa độ của hai điểm này.

Vậy VTPT của đường thẳng PQ là

Gọi d là đường thẳng qua

Vậy : b) Gọi I là trung điểm của PQ

Gọi ∆ là đường trung trực của PQ.

∆ đi qua I và có VTPT

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x 0, y 0 ) khi biết hệ số góc k cho trước.

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau: a) (d) đi qua M(-1;5) và có hệ số góc k = -2 b) (d) đi qua M’(2;-3) và tạo với chiều dương trục Ox ở một góc 45 0

Giải: a) (d) có hệ số góc k = -2, nên u d = (1; -2)

Ta có (d) đi qua M (-1; 5) và VTCP u d = (1; -2) , nên (d) có phương trình là:

(d): { (t b) Gỉa sử đường thẳng đã cho có hệ số góc là k. k = tan 45 0 = 1

Vậy phương trình đường thẳng (d) đi qua M’ (2;-3) và có VTCP u d = (1, 1) là:

Bài 2: Cho ∆ phương trình trung tuyến AM của tam giác ABC.

Giải: a) Phương trình đường cao AH:

Ta có nên đường cao AH nhân = (4; -1) là VTPT

Vậy khi đó AH đi qua và có VTPT có phương trì nh là :

(AH): – – – – b) Phương trình đường trung tuyến AM (

Ta có AM là đường trung tuyến và ( có tọa độ là: {

Vậy khi đó phương trình đường trung tuyến AM đi qua A(1; 2) và có VTCP

Dạng 4: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Dạng 5: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Bài 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: a) b) –

Giải: a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) là: d =

Vậy b) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) là: d =

Bài 2: Cho đường thẳng ∆, chứng minh rằng hai điểm A và O nằm cùng phía đối với đường thẳng này Tiếp theo, xác định điểm O’ đối xứng với O qua ∆ Cuối cùng, tìm điểm M trên ∆ sao cho độ dài đoạn gấp khúc OMA là ngắn nhất.

A và O nằm cùng phía đối với đường thẳng ∆ b) Giả sử là hình chiếu của O lên đường thẳng ∆.

Viết phương trình (d) đi qua O và vuông góc ∆ tại H, nhận (2; 1) là VTPT:

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

Khi đó, tọa độ điểm H sẽ là nghiệm của hệ phương trình: {

Ta có O’ là điểm đối xứng của O qua đường thẳng ∆

Nên H là trung điểm của O’O

Khi đó tọa độ điểm O’ là: {

O’( ) c) Ta có OM + MA = O’M + MA Độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất

• Viết phương trình đường thẳng

( là VTCP => VTPT của Đường thẳng trình tổng quát của nó là:

Để viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng, cần xem xét các trường hợp cụ thể Đầu tiên, khi đường thẳng đi qua một điểm nhất định và có vectơ chỉ phương (VTCP) cho trước, ta có thể xác định phương trình tham số dựa trên điểm đó và vectơ Thứ hai, nếu đường thẳng đi qua gốc tọa độ và có vectơ chỉ phương xác định, phương trình chính tắc sẽ được xây dựng từ gốc tọa độ và vectơ đó Cuối cùng, đối với trường hợp đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng khác, ta cần sử dụng điều kiện vuông góc để xác định vectơ chỉ phương và từ đó viết phương trình tham số và chính tắc tương ứng.

Bài 8 yêu cầu viết phương trình đường thẳng cho các trường hợp cụ thể Trường hợp a) là đường thẳng đi qua và cắt trục, tạo thành tam giác vuông cân Trường hợp b) là đường thẳng đi qua một điểm và cắt trục tại trung điểm của đoạn thẳng, với các điểm lần lượt là và sao cho tam giác và sao cho là đường thẳng.

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài tập nâng cao

Bài tập tự luyện

Bài 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng trong các trường hợp sau: a) Đi qua điểm và có VTCP = b) Đi qua gốc tọa độ và có VTCP c) Đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng

Bài 8: Viết phương trình đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: a) Đi qua và cắt trục là tam giác vuông cân. b) Đi qua điểm và cắt trục trung điểm của đoạn thẳng lần lƣợt tại và lần lƣợt tại sao cho tam giác và sao cho là ĐS: a) : – – b) : – –

Tiêu đề	Phương Trình Đường Thẳng
Tác giả	Nguyễn Bích Trâm, Trần Ngọc Duy, Khánh Võ Phong Phú, Lê Hoài Phong, Khuất Thị Lan Hương
Trường học	Trường Đại Học
Thể loại	tiểu luận

Định dạng
Số trang	35
Dung lượng	241,74 KB