Trong nghiên cứu này, tác giả đã đưa ra phương pháp tiếp cận dựa trên LMI để thiết kế điều khiển phản hồi theo sự kiện cho hệ điều khiển tuyến tính.tính.Cụ thể:Trong chương 1, tác giả đã điểm lại một số định nghĩa và các kết quảtrong Đại số tuyến tính và Lý thuyết phương trình vi phân liên quan đếnđề tài cũng như các khái niệm cơ bản của hệ điều khiển và điều khiển phảnhồi. Hơn nữa, cuối chương này tác giả cũng chỉ ra mối liên hệ giữa bất đẳngthức ma trận tuyến tính (LMI) và sự ổn định của hệ điều khiển.Trong chương 2, tác giả đã trình bày chi tiết nội dung chính của khoáluận, đó là việc thiết kế điều khiển phản hồi theo sự kiện cho hệ điều khiểntuyến tính. Cùng với đó, tác giả đã chứng minh rằng đối với cơ chế kích hoạtsự kiện (ETM) đã đưa ra thì Zenobehavior không xảy ra.Trong chương 3, tác giả đã thử nghiệm số bằng phần mềm Matlab chohai ví dụ. Từ đó cho thấy việc thiết kế điều khiển phản hồi theo sự kiện chohệ điều khiển tuyến tính là hoàn toàn khả thi.
Một số kết quả trong Đại số tuyến tính
Bổ đề 1.1 Cho A∈R n×n , P ∈R n×n và A đối xứng Khi đó:
(ii) Nếu P khả nghịch và P ⊤ AP >0 thì A >0.
(ii) Giả sử P khả nghịch với nghịch đảo là P −1 và P ⊤ AP >0.
Theo (i) ta có P ⊤ AP >0 thì (P −1 ) ⊤ P ⊤ AP P −1 >0 hay A >0.
Bổ đề 1.2 Cho P ∈ R n×n là ma trận đối xứng Khi đó P > 0 khi và chỉ khi giá trị riêng của P đều dương.
Chứng minh "⇒" Giả sửP > 0 Đầu tiên ta sẽ chứng minh mọi giá trị riêng của P đều là số thực.
Giả sử λ là một giá trị riêng của P, ta sẽ chứng minh λ=λ.
Thật vậy, doλ là một giá trị riêng của P nên tồn tại x∈C n , x̸= 0 sao cho
Kết hợp (1.1) và (1.2) ta có x ⊤ λx=λx ⊤ x hay λx ⊤ x=λx ⊤ x.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh λ >0bằng phương pháp phản chứng.
Thật vậy, giả sửλ≤0 khi đó với x∈R n là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ thì P x=λx
⇒x ⊤ P x=x ⊤ λx=λx ⊤ x. Điều này vô lý vì
Do đó điều giả sử là sai Vậyλ >0.
"⇐" Giả sử các giá trị riêng của P đều dương.
Do P đối xứng nên tồn tại một ma trận trực giao C∈R n×n ([4]) sao cho
D=C ⊤ P C, với D=diag(λ 1 , , λ k ), λ i (i= 1, , k) là các giá trị riêng của P.
Hiển nhiênD >0 nên theo Bổ đề 1.1 ta có P >0.
Bổ đề 1.3 Cho P ∈R n×n , P > 0 Khi đó (I−P −1 ) 2 ≥0.
Chứng minh Giả sử P có các giá trị riêng là λ1, , λ k
Khi đóP −1 có các giá trị riêng là 1 λ 1 , , 1 λ k
Vậy định lý có thể phát biểu lại tương đương là "NếuP >0thì(I−P) 2 ≥0".
Do P >0 nên tồn tại một ma trận trực giao C ∈R n×n ([4]) sao cho
D=C ⊤ P C, với D=diag(λ 1 , , λ k ), λ i (i= 1, , k) là các giá trị riêng của P.
Do C là ma trận trực giao nên C ⊤ =C −1
Hiển nhiênA ≥0nên theo Bổ đề 1.1 ta cóCAC ⊤ ≥0.
Bổ đề 1.4 ([17]) (Bổ đề Schur) Giả sử X là ma trận thực, đối xứng cho bởi
trong đó A∈R p×p , B ∈R p×q , C ∈R q×q là các ma trận đối xứng.
(i) Nếu A khả nghịch thì X xác định dương khi và chỉ khi A và A đều xác định dương (A=C−B ⊤ A −1 B là phần bù Schur của A).
(ii) Nếu A là xác định dương thì X nửa xác định dương khi và chỉ khi A nửa xác định dương.
(iii) Nếu C khả nghịch thì X xác định dương khi và chỉ khi C vàC đều xác định dương (C =A−BC −1 B ⊤ là phần bù Schur của C).
(iv) Nếu C là xác định dương thì X nửa xác định dương khi và chỉ khi C nửa xác định dương.
Chứng minh Giả sử C khả nghịch.
Ta có phân tích củaX là
, nên theo Bổ đề1.1, ta thu được:
⇐⇒ C và C =A−BC −1 B ⊤ xác định dương.
Vậy bổ đề được chứng minh cho trường hợp (iii) Các trường hợp còn lại hoàn toàn tương tự.
Lý thuyết phương trình vi phân
Bài toán giá trị ban đầu
Định nghĩa 1.5 [14] Xét phương trình vi phân: ˙ x(t) = f(t, x(t)) với t∈[t 0 , t 1 ], f(t, x) = (f 1 (t, x), f 2 (t, x), , f n (t, x)) ⊤ ∈R n , x(t) = (x 1 (t), x 2 (t), , x n (t)) ⊤ ∈R n
Hàm số x(t) được định nghĩa trên khoảng [t₀, t₁] và được xem là nghiệm của phương trình vi phân nếu x(t) khả vi trên khoảng này, đồ thị của x(t) là tập con của D (tập các giá trị của f(t, x(t))), và x(t) thỏa mãn điều kiện x(t) = f(t, x(t)) với mọi t thuộc [t₀, t₁] Theo Định lý 1.6, trong bài toán giá trị ban đầu với phương trình vi phân x'(t) = f(t, x(t)), nếu x(t₀) = x₀ thuộc Rⁿ, thì tồn tại và duy nhất một nghiệm x(t) = (x₁(t), x₂(t), , xₙ(t))⊤ thuộc Rⁿ cho mọi t trong khoảng [t₀, t₁].
Giả sử f(t, x(t)) liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschit [1] theo x với hằng số Lipschitx L >0, có nghĩa là
∥f(t, x)−f(t, y)∥ ≤L∥x−y∥, ∀x, y ∈R n Khi đó bài toán tồn tại và duy nhất nghiệm thoả mãn.
Lý thuyết ổn định
Bài toán giá trị ban đầu (1.3) luôn có nghiệm duy nhất x(t) phụ thuộc vào điều kiện đầu x(t0) = x0, được ký hiệu là x(t, t0, x0) Điểm cân bằng x* ∈ Rn của (1.3) được định nghĩa là điểm mà f(t, x*) = 0 với mọi t ≥ t0.
Ví dụ 1.8 Xét chuyển động của con lắc đơn: M R 2
θ+M gRsinθ = 0 (M là khối lượng con lắc, R là chiều dài còn lắc, b là hệ số ma sát).
Hình 1.1: Con lắc đơn. Đặt x 1 =θ, x 2 = ˙θ ta có
Rsinx 1 = 0 ta tìm được các điểm cân bằng là (kπ; 0), k∈Z.
Chuyển động của con lắc đơn có nhiều điểm cân bằng Theo định nghĩa 1.9, điểm cân bằng x ∗ = 0 được coi là ổn định theo Lyapunov nếu với bất kỳ R > 0, luôn tồn tại r = r(R, t0) để thỏa mãn điều kiện ổn định.
Ví dụ 1.10 Xét phương trình vi phân x(t) = 0˙ với điểm cân bằng x ∗ = 0. Phương trình vi phân trên có nghiệm x(t) =x 0
Với R >0 bất kỳ, tồn tại r=R sao cho
Điểm cân bằng x ∗ = 0 được coi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov nếu nó duy trì tính ổn định và tồn tại một khoảng r = r(t 0) được chọn phù hợp.
Ví dụ 1.12 Xét phương trình vi phân x(t) =˙ − 1
1 +tx(t)với điểm cân bằng x ∗ = 0 (nghiệm tầm thường).
Hệ trên có nghiệm x(t) = x 0 t+ 1. Với R >0 bất kỳ, tồn tại r=R >0 sao cho
Vậy điểm cân bằng x ∗ = 0 là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 1.13 Xét phương trình vi phân x(t) =˙ −x(t) với điểm cân bằng x ∗ = 0.
Phương trình vi phân trên có nghiệm x(t) =x0e −t , x(0) =x0 ̸= 0.
Với R >0 bất kỳ, tồn tại r=R >0 sao cho
Như vậy điểm cân bằng x ∗ = 0 là ổn định tiệm cận.
Ta có lim t→+∞x0e −t =x0 ̸= 0 nên điểm cân bằng x ∗ = 0 là ổn định nhưng không ổn định tiệm cận.
Hình 1.2, Hình 1.3 và Hình 1.4 dưới đây thể hiện ý nghĩa hình học về tính ổn định tiệm cận, ổn định và không ổn định, tương ứng.
Hình 1.2: Hệ ổn định tiệm cận.
Hình 1.4: Hệ không ổn định.
Nhà Toán học người Nga A.M Lyapunov đã phát triển phương pháp Lyapunov thứ hai để xác định điều kiện đủ cho sự ổn định của điểm cân bằng trong hệ phương trình vi phân, bên cạnh việc sử dụng định nghĩa để chứng minh sự ổn định.
Hàm Lyapunov
Định lý 1.14 khẳng định rằng cho phương trình vi phân x(t) = f(x(t)), với điểm cân bằng x* = 0, có hai trường hợp ổn định Thứ nhất, nếu tồn tại hàm V(x) xác định dương trên miền D và V˙(x) nửa xác định âm trên D, thì x* = 0 là ổn định Thứ hai, nếu hàm V(x) không chỉ xác định dương mà còn khả vi liên tục trên D và V˙(x) xác định âm trên D, thì x* = 0 là ổn định tiệm cận.
Chứng minh i) VớiR >0 bất kỳ, ta chọn R0∈(0;R] sao cho
V(x). Lấy β ∈(0;α) và đặt Ω β ={x∈ B R |V(x)≤ β} Ta có Ω β thuộc phần trong của B R o Thật vậy, nếu tồn tại x ∗ thuộc vào giao của Ω β và biên của B R 0 thì V(x ∗ )≥α > β (Vô lý).
Suy ra tập Ω β có tính chất: Tất cả các quỹ đạo xuất phát trong Ω β phải nằm trong Ω β
Ta có V(x) liên tục và V(0) = 0 nên tồn tại r sao cho∥x∥< r⇒V(x)< β.
Như vậy ∥x(0)∥< r ⇒ ∥x(t)∥ < R 0 ≤R, t ≥0 Điều này chứng tỏ điểm cân bằngx ∗ = 0 là ổn định. ii) Giả sử điểm cân bằng x ∗ = 0 là ổn định nhưng không ổn định tiệm cận.
Từ giả thuyết ta có V(x) là hàm xác định dương, liên tục và là hàm giảm nên lim t→+∞V(x) = c >0. Đặt Ω τ ={x∈B R , V(x)≤c}.
Do V liên tục và V(0) = 0 ta tìm được 0< r sao cho B r ⊂Ω τ
Vì lim t→+∞V(x) =c >0 nên quỹ đạo x(t) nằm ngoài hình cầu B r
Ta có −β V(x(0)) β thì V(x(T))0, V˙(x)0 và m >0, khi đó ∃n :n > m thỏa mãn xn > y−ε.
Một tính chất của lim sup là nếu zn ≤xn với mỗi n= 1,2 thì lim sup n→∞ zn ≤lim sup n→∞ xn Từ đó, ta thấy nếu |v(t + h) − v(t)| h ≤g(t, h),
∀h ∈(0, b] và lim h→0 + g(t, h) = g 0 thì D + v(t)≤g 0 (t). Xét phương trình vi phân: ˙ z =f(t, z) +λ, z(t0) =u0, (1.4) trong đó λ là hằng số dương.
∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho nếu λ < δ thì (1.4) có nghiệm duy nhất z(t, λ) xác định trên [t 0 , t 1 ]và
Thật vậy, nếu kết quả này không đúng thì sẽ tồn tạia, b∈(t0, t1] sao cho v(a) =z(a, λ) và v(t)> z(t, λ) với a < t ≤b Khi đó v(t)−v(a)> z(t, λ)−z(a, λ), ∀t∈(a, b] hay
D + v(t)≥z(a, λ) =˙ f(a, z(a, λ)) +λ > f(a, v(a)). Điều này mâu thuẫn với D + v(t)≤f(t, v(t).
Tương tự, ta giả sử phản chứng rằng ∃a ∈ (t 0 , t 1 ] sao cho v(a) > u(a) Đặt ε= v(a)−u(a)
2 và kết hợp với (1.5), ta có v(a)−z(a, λ) = v(a)−u(a) +u(a)−z(a, λ)≥ε
⇐⇒v(a)≥z(a, λ) +ε. Điều này mâu thuẫn với kết quả 1.
Do đó, v(t)≤ u(t) với mọi t ≥ t 0 Điều này đúng vì bất đẳng thức trên đúng với mọi tập compact, và do đó nó cũng đúng với mọi thời điểm t ≥ t 0 Nếu ngược lại, giả sử t = T < ∞ là lúc bất đẳng thức bị vi phạm, thì v(t) ≤ u(t) với mọi t ∈ [t 0 , T) và v(T) = u(T), điều này mâu thuẫn với giả định ban đầu.
Kết quả cho thấy rằng chúng ta có thể mở rộng bất đẳng thức trong khoảng [T, T + ∆] với ∆ > 0, điều này mâu thuẫn với việc t = T là thời điểm đầu tiên mà bất đẳng thức bị vi phạm.
Hệ điều khiển tuyến tính
Điều khiển và điều khiển phản hồi
Xét hệ điều khiển tuyến tính ˙ x(t) =Ax(t) +Bu(t), x(0) =x 0 ∈R n ,
(1.6) trong đó x(t) ∈R n là véc tơ trạng thái, u(t)∈R m là véc tơ điều khiển đầu vào, A∈R n×n , B ∈R n×m
Bằng phương pháp biến thiên hằng số, ta có nghiệm của hệ (1.6) là x(t, x 0 ) = e At x 0 + t
Hệ (1.6) được coi là điều khiển được nếu có ít nhất một tín hiệu điều khiển có thể đưa hệ từ trạng thái ban đầu x₀ về gốc tọa độ 0 trong thời gian hữu hạn Theo định lý Kalman, điều kiện cần và đủ để hệ này điều khiển được là thứ hạng của ma trận B A B A^(n-1) B phải đạt yêu cầu nhất định.
Định lý này có thể được chứng minh một cách dễ dàng qua nhiều tài liệu, đặc biệt là tài liệu tham khảo [5], nơi đã cung cấp chứng minh chi tiết dựa trên định lý Cayley-Hamilton [4].
Phân tích tính ổn định và điều khiển cho hệ thống động lực là một chủ đề được nghiên cứu rộng rãi do những ứng dụng thực tiễn của nó trong các lĩnh vực như hệ thống điện, sản xuất và quy trình hóa học Các hệ thống này thường hoạt động trên nền tảng kỹ thuật số, nơi bộ điều khiển tương tác thông qua một kênh kỹ thuật số chung Thông tin từ hệ thống được lấy mẫu và truyền đến bộ điều khiển, với kỹ thuật điều khiển kỹ thuật số truyền thống là lấy mẫu định kỳ Kỹ thuật này cho phép thiết kế và phân tích hiệu suất của bộ điều khiển dựa trên lý thuyết lấy mẫu dữ liệu của hệ thống.
Hệ (1.6) có điểm cân bằng x ∗ = 0 Nếu hệ không ổn định và có khả năng điều khiển, chúng ta cần tác động vào véc tơ điều khiển u(t) để đưa hệ trở về trạng thái ổn định.
Nếu u = f(x), thì hệ thống (1.6) được xem là hệ điều khiển phản hồi Đặc biệt, khi u = Kx, hệ thống này được gọi là hệ điều khiển phản hồi theo trạng thái tĩnh, với K ∈ R m×n được thiết kế để đảm bảo hệ thống đóng ổn định với phương trình ˙ x(t) = Ax(t) + Bu(t).
Việc thiết kế K sao cho hệ đóng (1.7) ổn định sẽ được thảo luận chi tiết trong mục 1.3.2.
Hình 1.5: Hệ đóng với điều khiển phản hồi u(t).
Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI)
Định nghĩa 1.21 ([7]) LMI là bất đẳng thức ma trận tuyến tính có dạng:
X i=1 x i F i >0, (1.8) trong đóx= (x1, x2, xm)∈R m là biến vàFi∈R n×n (i= 1, , m)là các ma trận đối xứng cho trước.
Lưu ý rằng nếu F(x) > 0, thì −F(x) < 0, cho thấy mối quan hệ giữa các giá trị dương và âm Bài viết này sẽ làm rõ mối liên hệ giữa LMI (Điều kiện Matrices tuyến tính) và sự ổn định của phương trình vi phân cũng như hệ điều khiển.
Xét phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng ˙ x(t) = Ax(t), x∈R n , A ∈R n×n , x(0) =x 0 ∈R n
Ta chọn hàm Lyapunov là
Khi đó, đạo hàm củaV(x) là
Ta có P >0 nên V(t) =x T P x >0 với mọi x∈R n \{0}, V(0) = 0.
Do đó hệ ổn định khi V˙(x)≤0 hay x ⊤ (A ⊤ P +P A)x≤0, ∀x∈R n Điều này có nghĩa là nếu ta tìm được P >0 sao cho
Lưu ý: Nếu ta tìm được P >0 sao cho
Q=A ⊤ P +P A 0 nên x ⊤ P x >0 với mọi x∈R n \{0}, V(0) = 0.
Do đó hệ điều khiển ổn định khiV˙(x)≤0 hay x ⊤ (A ⊤ P +P A+K ⊤ B ⊤ P +P BK)x≤0, ∀x∈R n Điều này có nghĩa là nếu ta thiết kế đượcK sao cho tồn tạiP >0thỏa mãn
Q=A ⊤ P +P A+K ⊤ B ⊤ P +P BK ≤0 (1.11) thì hệ điều khiển ổn định.
Lưu ý: Nếu ta bỏ đi dấu "=" trong bất đằng thức ma trận (1.11) thì ta có hệ điều khiển ổn định tiệm cận.
Nhận xét 1.23 Bất đẳng thức ma trận (1.11) không tuyến tính Do vậy ta biến đổi (1.11) về LMI như sau: Đặt X =P −1 Vì P >0 nên X =P −1 >0.
⇔XA ⊤ P X +XP AX +XK ⊤ B ⊤ P X +XP BKX ≤0
⇔XA ⊤ +AX+Y ⊤ B ⊤ +BY ≤0 (với Y =KX) (1.12)
Giải LMI (1.12) ta tìm được X và Y.
Khi đó điều khiển phản hồi u = Kx = Y X −1 x làm cho hệ điều khiển ổn định. Điều khiển phản hồi theo sự kiện cho hệ điều khiển tuyến tính
Điều khiển phản hồi theo sự kiện
Phương pháp lấy mẫu kích hoạt định kỳ thường tiêu tốn nhiều tài nguyên, trong khi những tài nguyên này có thể được sử dụng cho các nhiệm vụ khác Để khắc phục điều này, phương pháp điều khiển kích hoạt theo sự kiện đã ra đời, cho phép cập nhật dữ liệu chỉ khi có sự kiện xảy ra, giúp tiết kiệm băng thông và tài nguyên Phương pháp này đã được áp dụng để giải quyết các vấn đề quan trọng như tính ổn định, theo dõi và điều tiết đầu ra Nhiều nghiên cứu hiện nay tập trung vào phát triển các kỹ thuật hệ thống nhằm thiết kế các cơ chế kích hoạt sự kiện (ETM).
Trong bài viết này, tác giả phân tích cơ chế kích hoạt sự kiện nhằm thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái ổn định cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số hằng Nghiên cứu này đóng góp những hiểu biết quan trọng về việc tối ưu hóa hiệu suất của các hệ thống điều khiển.
Đề xuất một phương pháp tiếp cận dựa trên LMI nhằm thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái Phương pháp này sử dụng điều kiện kích hoạt theo sự kiện để đảm bảo tính ổn định của hệ thống.
(2) Chứng minh rằng đối với điều kiện kích hoạt sự kiện trong nghiên cứu này thì Zeno behavior không xảy ra.
Các kết quả chính
Xét hệ điều khiển tuyến tính ˙ x(t) = Ax+Bu, t≥0, x(0) =x 0 ∈R n
Trong chương này, chúng ta sẽ cập nhật trạng thái x(t) tại các thời điểm x k, với k thuộc N và t0 = 0, theo phương pháp điều khiển kích hoạt sự kiện Véc tơ trạng thái x(t) thuộc R n, và véc tơ điều khiển đầu vào u(t) thuộc R m Chúng ta sẽ thiết kế bộ điều khiển phản hồi dưới dạng u = Kx(t k) cho t thuộc khoảng [t k, t k+1) Ma trận K sẽ được thiết kế để đảm bảo hệ thống đóng sau ổn định tiệm cận theo tiêu chuẩn Lyapunov, với phương trình động lực học là ˙x(t) = (A + BK)x(t) + BKe(t), trong đó e(t) là sai số giữa trạng thái tại thời điểm k và trạng thái thực tế, được xác định bởi e(t) = x(t k) - x(t) trong khoảng thời gian [t k, t k+1).
Cơ chế kích hoạt sự kiện được mô tả như sau: t 0 = 0, t k+1 = inf{t > t k |e ⊤ (t)e(t)≥αx ⊤ (t)x(t)}, (2.1) trong đó α là hằng số thực dương được thiết kế.
Theo cơ chế đã nêu, bất đẳng thức e ⊤ (t)e(t) ≤ αx ⊤ (t)x(t) luôn đúng với mọi t > 0 Định lý 2.1 chứng minh rằng trong hệ thống ETM (2.1), hiện tượng Zeno không xảy ra Cụ thể, khoảng thời gian giữa hai sự kiện liên tiếp t k+1 − t k được giới hạn bởi hằng số dương τ = 1 a − b ln a + a√α a + b√α Điều này có nghĩa là với mọi k ∈ N, t k−1 − t k ≥ τ, trong đó a = ∥A + BK∥ và b = ∥BK∥ Chứng minh cho thấy rằng đạo hàm ˙ x(t) = (A + BK)x + BKe.
∥x∥ =√ α thì x(t) sẽ cập nhập trạng thái từ x(t k ) sang x(t k+1 ).
Ta có y≤ϕ(t, ϕ 0 ) với ϕ(t, ϕ 0 )là nghiệm của phương trình vi phân ϕ˙ =a+ (a+b)ϕ+bϕ 2 thỏa mãnϕ(0, ϕ 0 ) = ϕ 0
Theo Bổ đề 1.18ta có t k+1 −t k ≥τ với τ thỏa mãn ϕ(τ,0) =√ α. ϕ˙ =a+ (a+b)ϕ+bϕ 2
Suy ra ln ϕ+ 1 a+bϕ a−b =t+ ln ϕ 0 + 1 a+bϕ0 a−b Mặt khác ϕ(τ,0) =√ α
Do ta luôn thiết kế được K để ∥A+BK∥ ̸=∥BK∥ nên a̸=b.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bây giờ ta sẽ đưa ra định lý cho việc đảm bảo tính ổn định của hệ đóng: ˙ x(t) = (A+BK)x(t) +BKe(t), x(0) =x 0 ∈R m , e(t) = x(t k)−x(t), t ∈[t k , t k+1 ),
Sử dụng ETM, với t0 = 0 và tk+1 = inf{t > tk | e⊤(t)e(t) ≥ αx⊤(t)x(t)}, trong đó α ∈ R+ Định lý 2.2 chỉ ra rằng, nếu σ là đại lượng vô hướng dương, hệ thống đóng (2.3) sẽ ổn định tiệm cận toàn cục nếu tồn tại ma trận P > 0 và ma trận Y có kích thước phù hợp, thỏa mãn điều kiện LMI.
Ω 11 =AP −1 +P −1 A ⊤ +BY +Y ⊤ B ⊤ Hơn nữa, ta có điều khiển u(t) như sau u(t) =Y P x(t k ), t∈[t k , t k+1 ).
Chứng minh Ta chọn hàm Lyapunov là
Khi đó đạo hàm củaV(t) là
≤σ −1 x ⊤ P BKK ⊤ B ⊤ P x+σe ⊤ e(theo bất đẳng thức Cauchy)
V˙(t)≤x ⊤ (t)Ωx(t), t≥0, trong đó Ω =P A+P BK+A ⊤ P +K ⊤ B ⊤ P +σ −1 P BKK ⊤ B ⊤ P +σαI. Mặt khác, theo Bổ đề 1.3 ta có
< 0 (2.5) Áp dụng Bổ đề1.4 cho (2.5) với A= Ω 11 ,B P −1 BY
Do đó LMI (2.4)⇐⇒ ϕ 0, Re(λ 2 )>0 nên hệ không ổn định.
Sau đây, ta sẽ thiết kế điều khiển kích hoạt theo sự kiệnu(t)để ổn định hóa hệ điều khiển.
Sử dụng Định lý 2.2 cho σ = 0.5, α= 0.5, LMI(2.4) được thỏa mãn với
Y = [ −0.0543 −0.6407 ], ETM được sử dụng là t0 = 0, t k+1 = inf{t > t k |e ⊤ (t)e(t)>0.5x ⊤ (t)x(t)} (3.1) và điều khiển phản hồi là u(t) = Y P x(t k )
Khi đó ta có mô phỏng sau
Hình 3.1: Mô phỏng các mốc thời gian t k , khi sử dụng ETM(3.1).
Hình 3.2: Mô phỏng khoảng thời gian giữa các sự kiện kích hoạt liên tiếptk+1−tk. Các khoảng này đều dương, chứng tỏ Zeno-behavior không xảy ra.
Hình 3.3: Dáng điệu của x(t) x 1 (t) x 2 (t) ⊤ khi sử dụng ETM (3.1) TừHình 3.3 ta thấy hệ ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2
Xét hệ điều khiển phản hồi ˙ x=Ax+Bu, x(0) =x 0 Trong đó:
Nhận xét rằng nếu u(t) = 0 thì hệ trở thành ˙ x=Ax, x(0) =x 0
A có các giá trị riêng λ 1 = 0.1983 + 0.9912i λ 2 = 0.1983−0.9912i λ 3 =−1.9966.
Re(λ 1 )>0, Re(λ 2 )>0 nên hệ không ổn định.
Sau đây, ta sẽ thiết kế điều khiển kích hoạt theo sự kiệnu(t)để ổn định hóa hệ điều khiển.
Sử dụng Định lý 2.2 cho σ = 0.5, α= 0.5, LMI(2.4) được thỏa mãn với
Y = [ −0.0544 −0.0074 −0.1682 ], ETM được sử dụng là t0 = 0, t k+1 = inf{t > t k |e ⊤ (t)e(t)>0.5x ⊤ (t)x(t)} (3.2) và điều khiển phản hồi là u(t) =Y P x(t k )
Khi đó ta có mô phỏng sau
Hình 3.4: Mô phỏng các mốc thời gian t k , khi sử dụng ETM (3.2).
Hình 3.5: Mô phỏng khoảng thời gian giữa các sự kiện kích hoạt liên tiếptk+1−tk.Các khoảng này đều dương, chứng tỏ Zeno-behavior không xảy ra.
Hình 3.6: Dáng điệu củax(t) x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) ⊤ khi sử dụng ETM (3.2).
Từ Hình 3.6 ta thấy hệ ổn định tiệm cận.
Trong khóa luận này, tác giả trình bày phương pháp tiếp cận dựa trên LMI nhằm thiết kế điều khiển phản hồi theo sự kiện cho hệ điều khiển tuyến tính được mô tả bởi phương trình ˙ x=Ax+Bu, với điều kiện ban đầu x(0) =x 0.
Trong chương 1, tác giả tổng hợp các định nghĩa và kết quả quan trọng trong Đại số tuyến tính và Lý thuyết phương trình vi phân, liên quan đến hệ điều khiển và điều khiển phản hồi Chương này cũng làm nổi bật mối liên hệ giữa bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) và sự ổn định của hệ điều khiển, cung cấp nền tảng lý thuyết cho các nghiên cứu tiếp theo.
Trong chương 2, tác giả trình bày chi tiết về thiết kế điều khiển phản hồi theo sự kiện cho hệ điều khiển tuyến tính Tác giả cũng chứng minh rằng cơ chế kích hoạt sự kiện (ETM) được đề xuất không dẫn đến hiện tượng Zeno-behavior.
Trong chương 3, tác giả đã sử dụng phần mềm Matlab để thử nghiệm số cho hai ví dụ, chứng minh rằng thiết kế điều khiển phản hồi theo sự kiện cho hệ điều khiển tuyến tính là khả thi.
Do thời gian hạn chế và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học còn ít, tác giả chỉ tập trung vào hệ điều khiển tuyến tính trong khoá luận này Trong tương lai, tác giả dự định sẽ mở rộng nghiên cứu sang hệ điều khiển phi tuyến và các yếu tố nhiễu.
[1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long,Giáo trình Hàm thực và Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội (2001).
[2] Trần Vũ Hoàng Đảo, Lý thuyến ổn định Lyapunov và một số ứng dụng, Luận văn thạc sĩ Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, TP.HCM (2013).
[3] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyến ổn định, NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội (2014).
[4] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia
Hà Nội, tái bản lần thứ ba, Hà Nội (2019).
[5] Nguyễn Doãn Phước, Lý thuyết điều khiển tuyến tính, NXB Khoa học và kỹ thuật, tái bản lần thứ tư, Hà Nội (2009).
[6] K.J Astrom and B Wittenmark, Computer Controlled Systems (Prentice Hall, Upper Saddle River, 1977).
[7] S Boyd, L E Ghaoui and E Feron, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory (2017).
