MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy kỹ thuật song chiếu kết hợp với công thức tính nhanh khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mang lại nhiều ưu điểm và hiệu quả rõ rệt Kỹ năng này không chỉ thu hút sự hứng thú của học sinh mà còn giúp các em dễ dàng tính toán khoảng cách giữa hai đường thẳng, từ đó tìm ra lời giải cho bài toán Mặc dù đây là một nội dung nhỏ và kinh nghiệm của tôi còn hạn chế, nhưng tôi tự tin coi đây là đề tài SKKN mang tên “Thêm một giải pháp để xử lý nhanh các bài toán liên quan đến khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian” Đề tài này đã được trình bày trước tổ chuyên môn và áp dụng trong các lớp ôn thi HSG, THPTQG, cũng như nhóm học sinh đại trà, đem lại hiệu quả rõ nét.
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Dựa trên lý thuyết trong sách giáo khoa, chúng ta có thể hiểu khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Từ những kiến thức này, có thể xây dựng công thức tính nhanh cho các loại khoảng cách trong không gian.
- Ngoài ra, tôi đã sử dụng các phương pháp sau để hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này:
+ Phương pháp điều tra, khảo sát trực triếp.
+ Phương pháp thống kê, xử lí số liệu.
+ Phương pháp nêu vấn đề.
NỘI DUNG SKKN 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN
Khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau ,a b Độ dài đoạn vuông góc chung MN của a và b được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b.
Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Cho điểm M và một đường thẳng ∆
Trong mp M( , )∆ gọi Hlà hình chiếu vuông góc của M trên ∆ Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến ∆:
Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng 2.1.4 Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng 2.1.5 Một số kết quả cần ghi nhớ 333 2.2.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN
Cho mặt phẳng ( )α và một điểmM
Gọi H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng ( )α
Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( )α :
2.1.4 Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng:
Cho đường thẳng ∆ và mặt phẳng ( )α song song, khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên ∆ đến mặt phẳng ( )α được xác định là khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng ( )α Ký hiệu khoảng cách này là d(∆, ( )α) = d(M, ( )α), với M thuộc ∆.
- Nếu ∆cắt ( )α hoặc D nằm trong ( )α thì:
2.1.5.Một số kết quả cần ghi nhớ:
- Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng ( ) α tại H Khi đó: Nếu A, B là hai điểm trên ∆ thì ta luôn có: d A d B ( ,( )) ( ,( )) α α = AH BH
- Cho 3a 3 vuông tại A, đường cao AH Ta có:
- Định lý Ta-let: Cho 3a 3 , A 1 ∈ AB B , 1 ∈ AC :
- Hai tam giác đồng dạng: ∆ ABC : ∆ MNP ⇔ AB = AC = BC AB , = MN ,
MN MP NP AC MP
Cho tam giác ABC Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB
Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi:
2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN.
- Như đã nói ở trên, khi gặp bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ ∆ 1 , 2 , học sinh thường giải quyết theo một trong 3 hướng:
+) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của ∆ ∆1, 2.
+) Dựng (tìm) mặt phẳng ( )α chứa ∆ 1 và song song ∆ 2 Khi đó:
Để tính toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hệ tọa độ (Oxyz), trước tiên cần chọn một hệ trục tọa độ hợp lý Sau đó, xác định tọa độ các điểm cần thiết và áp dụng công thức tính khoảng cách giữa chúng.
Các hướng giải đều gặp nhiều khó khăn, và qua khảo sát trực tiếp, tôi nhận thấy rằng các em học sinh thường cảm thấy bế tắc trong việc tìm ra phương án giải quyết, hoặc dễ mắc sai sót do phải thực hiện nhiều phép tính với các biểu thức phức tạp.
GIẢI PHÁP
Để giúp học sinh giải quyết các khó khăn trên, tôi xin đưa ra giải pháp sau:
2.3.1 Xây dựng công thức tính nhanh khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hình chóp tam giác S ABC( hiển nhiên SA và BC chéo nhau) Gọi
H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC), I là hình chiếu vuông góc củaA trên BC Gỉa sử AH ∩ BC = K Ký hiệu:
( , ) d d SA BC= , p AI= , h SH= , AH k = AK Khi đó ta luôn có:
Dựng hình bình hành ACBD ⇒ BC / / AD ⇒ BC / /( SAD )
( , ) ( ,( )) ( ,( )) AK ( ,( )) d d SA BC d BC SAD d K SAD d H SAD
Kẻ HO ⊥ AD ⇒ AD ⊥ ( SHO ) ⇒ ∆ SHO vuông tại H
Kẻ HP SO HP ( SAD ) d H SAD ( ,( )) HP HO HS 2 2
Kẻ KM / / HO HO AH HO AH KM AH ( , d K AD ) k d I AD ( , )
* Trong trường hợp AH / / BC thì ta dễ thấy ngay AI ⊥ ( SAH ) ⇒ AI ⊥ SA Nghĩa là AI là đường vuông góc chung của SA và BC nên d = p
Vậy công thức ( pkh ) được chứng minh.
Công thức (pkh) mang lại lợi ích lớn cho học sinh, giúp các em nhanh chóng xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thông qua việc tính toán nhanh chóng ba đại lượng cần thiết.
, , h k p mà không cần dựng khoảng cách giữa chúng Để tìm được 3 đại lượng h k p , , ta cần thực hiện 2 phép chiếu vuông góc mà tôi gọi là kỹ thuật song chiếu.
2.3.2 Mô hình của kỹ thuật song chiếu
Trong mô hình hình học, việc sắp xếp thứ tự của hai đường thẳng chéo nhau và các điểm là rất quan trọng Điều cốt yếu là phải tìm hình chiếu của một trong bốn điểm trên mặt phẳng được tạo bởi ba điểm còn lại Để thực hiện điều này một cách hiệu quả, cần đọc kỹ đề bài và các giả thiết, chú ý đặc biệt đến các yếu tố vuông góc như đường vuông góc với mặt, đường cao của hình chóp, lăng trụ và hình chiếu vuông góc.
Sau khi xác định hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng chứa ba điểm A, B, C, chúng ta sẽ thực hiện theo ba bước cụ thể.
Tìm hình chiếu của chiếu của
Tìm hình chiếu của chiếu của
( , ) d d SA BC = SA BC , h = SH p AI =
( ( Sắp xếp 2 đường thẳng, thứ tự 2 điểm Sắp xếp 2 đường thẳng, thứ tự 2 điểm S,A hợp lý sao cho việc tìm hình chiếu
S,A hợp lý sao cho việc tìm hình chiếu của điểm thứ nhất của điểm thứ nhất (giả sử là (giả sử là S S) ) trên trên mp mp chứa 3 điểm còn lại - chứa 3 điểm còn lại - (ABC) (ABC) dễ thấy nhất dễ thấy nhất) )
Bước đầu tiên, gọi hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là H và ký hiệu chiều cao SH = h Cần tiến hành tính toán SH, chú ý đến giả thiết liên quan, vì h SH thường gắn liền với chiều cao của hình chóp hoặc lăng trụ.
+)Bước 2 : Nối A với H: AH ∩ BC = K Ký hiệu k AH
Để tính giá trị k, cần chú ý đến các tính chất hình học như tính song song (Ta-let), thẳng hàng (Menelaus), và tam giác đồng dạng Việc thiết lập các tỉ số liên quan đến k là rất quan trọng Nếu AH song song với BC, chỉ cần tính p ở bước 3 để kết luận rằng d SA BC ( , ) = = d p.
Để tìm hình chiếu của điểm A trên đoạn thẳng BC, ta cần kẻ đường thẳng AI vuông góc với BC, với I thuộc BC Ký hiệu p là độ dài AI Trong quá trình tính toán độ dài AI, cần chú ý đến các hệ thức lượng trong tam giác Cuối cùng, áp dụng công thức pkh để hoàn thành bài toán.
HIỆU QUẢ CỦA SKKN TRONG GIẢI TOÁN
Để minh chứng cho ưu điểm của công thức (pkh) và hiệu quả trong việc giải toán liên quan đến khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, bài viết sẽ trình bày một số ví dụ chọn lọc trong ba phần cụ thể.
Trong phần 1, chúng tôi sẽ trình bày các phương pháp giải từ bài 1 đến bài 3, trong đó đặc biệt phân tích kỹ lưỡng bước 1 của kỹ thuật song chiếu với công thức pkh Điều này nhằm giúp quý thầy cô và các em học sinh dễ dàng so sánh và nhận thấy sự đa dạng trong cách giải quyết một bài toán hóa học kinh điển.
+) Phần 2: Các bài chỉ trình bày cách giải 3 bước kỹ thuật song chiếu kết hợp công thức pkh để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Trong phần 3 của bài viết, chúng tôi sẽ trình bày cách giải các bài toán liên quan đến khoảng cách sử dụng công thức Pkh, tập trung vào việc tính thể tích các khối lăng trụ và khối chóp, trong đó chiều cao thường bị “dấu” đi Bằng cách áp dụng kỹ thuật song chiếu cùng với công thức Pkh, chúng ta có thể xác định chiều cao của các khối này Để làm rõ hơn ưu điểm của giải pháp này, phần phụ lục sẽ cung cấp thêm các ví dụ minh họa, bao gồm các bài toán từ đề thi KSCL HSG và thi thử TN THPT QG trên toàn quốc.
2.4.1 Các ví dụ minh họa phần 1:
Bài 1 ( KSCL Khối 12- Lần 1- 2021- THPT Hậu Lộc 2- Thanh Hóa):
Cho hình lăng trụ đều ABC A B C ' ' ' có tất cả các cạnh đều bằng 2a Tính khoảng cách dgiữa hai đường thằng CM và A B ' , với M là trung điểm AB.
Lời giải 1 (Phương pháp truyền thống – đáp án của đề):
Gọi N là trung điểm AA′ Suy ra MN / / A B ′
Khi đó: d A B CM ( ′ , ) = d A B CMN ( ′ , ( ) ) = d A CMN ( ′ , ( ) ) = d A CMN ( , ( ) )
Kẻ AH ⊥ MN với H MN ∈ Do CM ⊥ ( AMN ) ⇒ CM ⊥ AH Suy ra AH ⊥ ( CMN )
Vậy d A B CM ( ' , ) = d A CMN ( ,( )) = AH Xét ∆ AMN vuông tại A ta có:
Lời giải 2 (Phương pháp tọa độ) :
Trong tam giác ABC ta có 2 3 3
CM = a = a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với
A B ′ = − uuur , CM uuuur = ( 0; 3;0 ) , BM uuuur = − ( 1;0;0 )
Suy ra A B CM ′ ; = ( 2 3; 0; 2 3 ) ⇒ A B CM BM ′ ; = − 2 3 uuur uuuur uuur uuuur uuuur và
uuur uuuur uuuur uuur uuuur
Lời giải 3 (Sử dụng kỹ thuật song chiếu với công thức pkh):
*Phân tích: Bài toán yêu cầu tính khoảng cách giữa CM A B, ' Trong 4 điểm C,
M, A’, B ta dễ dàng nhận thấy hình chiếu của A’ trên mặt phẳng chứa 3 điểm còn lại B, C, M (mặt phẳng (ABC)) là A Do đó ta sắp xếp lại là A B CM ' , vì việc tìm hình chiếu của A ' trên (BCM)là dễ dàng và có sẵn (do A A ' ⊥(ABC))
Ta ký hiệu: d CM A B ( , ' ) = d A B CM ( ' , ) = d
+) Hình chiếu của A’ trên (BCM) là A⇒ = h A A ' = 2 a
+) Hình chiếu của B trên CM là M ⇒ = p BM = a
+) Ưu điểm rõ rệt của cách giải thứ 3 là không nặng về tính toán và dựng hình.
Bài 2 ( KSCL Đội tuyển HSG 12- Lần 2 - 2021 -THPT Đông Sơn I- Thanh
Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAD là tam giác đều và vuông góc với đáy ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh đáy AB Cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CM.
Lời giải 1 ( Phương pháp truyền thống – đáp án của đề):
Gọi H là trung điểm AD
Tam giác SAD đều cạnh a nên SH ⊥ AD và 3
SAD ABCD AD SH ABCD
Gọi N là trung điểm SB , ta có: SA MN // ⇒ SA // ( MNC )
Mặt khác thể tích khối tứ diện AMNC là:
V = d A MNC S ∆ và V AMNC = 1 3 d N AMC S ( , ( ) ) ∆ AMC
Do N là trung điểm SB nên:
( , ) ( , ( ) ) d N AMC = d N ABCD = 1 2 d S ABCD ( , ( )) = SH 2 ⇒ d N AMC ( , ( )) = a 4 3
S ∆ = S = a Xét tam giác MNC ta có 1
MC = BC + MB = a Có: SH ( ABCD )
Lời giải 2(Sử dụng kỹ thuật song chiếu với công thức pkh ):
Bài toán yêu cầu tính khoảng cách giữa SA và CM Dựa vào giả thiết SAD và tính chất vuông góc với mặt phẳng ABCD, chúng ta có thể dễ dàng xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng chứa ba điểm A, C, M.
Vậy ta giữ nguyên thứ tự và ký hiệu: d SA CM ( , ) = d
+) Gọi H là trung điểm AD ⇒ SH ⊥ ( ACM ) 3
(Do hai tam giác vuông ∆ AKM = ∆ BCM ⇒ AK = BC = 2 AH )
+) Gọi I là hình chiếu của A trên CM
*) Nhận xét: So với lời giải 1, lời giải 2 thực sự ngắn gọn và rất dễ hiểu, dễ thực hành cho học sinh
Bài 3 ( KSCL Đội tuyển HSG 12- Lần 1- 2021- THPT Vĩnh Lộc - Thanh Hóa):
Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD là hình vuông có cạnh dài 3 Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt phẳng đáy, trong khi góc giữa đoạn thẳng SB và mặt phẳng đáy là 60° Điểm M nằm trên cạnh BC và điểm N nằm trên cạnh CD, với tỷ lệ BM = 2MC và CN = 2ND Nhiệm vụ là tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DM và SN.
Lời giải 1(Phương pháp truyền thống – đáp án của đề):
- Vì hai mặt phẳng ( SAB )và( SAC )cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên
⇒ SBA = ° là góc giữa SB và mặt phẳng đáy⇒ SA AB = tan 60 ° = 3 3.
- Trong mặt phẳng ( ABCD ) dựng NE // DM cắt BC tại E , cắt AC tại J
Gọi I là giao điểm của DM và AC
Ta có: DM // NE ⇒ DM // ( SNE ) ⇒ d DM SN ( ; ) = d DM SNE ( ; ( )) = d I SNE ( ; ( )).
- Xột tam giỏc DAN và tam giỏc CDM cú: DA CD = , DN CM = , ã ADN = ã DCM = ° 90
⇒ ∆ = ∆ (c.g.c) ⇒ ã DAN CDM = ã ⇒ DAN ADM ã + ã = CDM ã + ã ADM = ° 90
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ NE ⊥ ( SAN ) ( ⇒ SNE ) ( ⊥ SAN ) (có giao tuyến là SN ).
- Dựng AH ⊥ SN tại H ⇒ AH ⊥ ( SNE ) ⇒ AH = d A SNE ( ; ( ))
- Ta có: SA = 3 3, AN = AD 2 + DN 2 = 10.
AH = SA + AN = + = ⇒ = ( ; ) 10 1 3 3 d DM SN AH 370
Lời giải 2(Sử dụng kỹ thuật song chiếu và công thức pkh ):
Trong bốn điểm D, M, S, N, chỉ có điểm S dễ dàng xác định hình chiếu trên mặt phẳng chứa ba điểm N, D, M Hình chiếu của S trên mặt phẳng này, ký hiệu là mf(ABCD), chính là điểm A.
Do vậy, ta đổi thứ tự và ký hiệu: d DM SN ( , ) = d SN DM ( , ) = d
Mặt khỏc từ gt ta cũng dễ cú AN ⊥ DM SBA , ã = 60 0
+) Hình chiếu của S trên (DMN) là A ⇒ = h SA AB = tan 60 0 = 3 3
KN DN DK AN AK NK k NA
+) Hình chiếu của N trên DM chính là K 1 p NK 10
2.4.2 Các ví dụ minh họa phần 2:
Bài 1( KSCL Đội tuyển HSG 12- Lần 4- 2021- THPT Ba Đình- Thanh Hóa):
Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và I là trung điểm của
Hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng ABC là trung điểm của đoạn thẳng CI Góc giữa đoạn thẳng SA và mặt phẳng đáy là 30 độ Câu hỏi đặt ra là khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CI là bao nhiêu?
+) Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC) ⇒ = h SH Gọi M là trung điểm BC
⇒ ⊥ ⇒ = = IM ∩ AH = P Dễ thấy tứ giác AIPC là hình bình hành ( )
CP CI AH HP CH CP a
+) Hình chiếu của A trên CI là I ⇒ = p AI = a
Bài 2 ( KSCL Đội tuyển HSG 12- Lần 4- 2021- THPT Như Xuân- Thanh Hóa):
Hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, với M và N là trung điểm của SA và BC Góc giữa đoạn thẳng MN và mặt phẳng ABC là 45 độ.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và DM là:
Thay đổi thứ tự và ký hiệu: d DM BC ( , ) = d MD BC ( , ) = d
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) (Do S ABCD là chóp tứ giác đều)
+)Gọi H là trung điểm của AO⇒ MH ⊥ ( ABCD ) ⇒ = h MH = NH tan 45 0 = NH Áp dụng định lí cô sin trong ∆ CHN , ta có
HN = CH + CN − CH CN ° = ÷ ÷ ÷ + − = =
∩ = ⇒ = DK Ta có HDA HKC HK HC 3 DK DH 3
+)Hình chiếu của D trên BC chính là C ⇒ = p DC a =
Bài 3 ( KSCL Đội tuyển HSG 12- Lần 1- 2021- THPT Hàm Rồng- Thanh Hóa):
Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3 , a có SH ⊥ ( ABC ) với
H thuộc cạnh AB sao cho AB = 3 AH Góc giữa SA và mặt phẳng ( ABC ) bằng
60 0 Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là:
+) Hình chiếu của S trên (ABC) là H ã ã 0
+) Hình chiếu của A trên BC là trung điểm I của BC 3 3
Bài 4 ( KSCL Đội tuyển HSG 12- Lần 1- 2021- THPT Tĩnh Gia 1- Thanh
Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình chữ nhật có kích thước AB = a và BC = 2a Đỉnh S có hình chiếu vuông góc trên đáy tại trọng tâm tam giác ABD Góc giữa đoạn thẳng SC và mặt đáy là 60 độ Gọi M là trung điểm của đoạn BC Cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SB.
Ký hiệu: d AM SB ( , ) = d SB AM ( , ) = d Gọi O = AC ∩ BD
+) Gọi H là trọng tâm ∆ ABD ⇒ SH ⊥ ( BAM ) ⇒ = h SH
Và ⇒ ( ã SC ABCD ,( )) ( = ã SC HC , ) 60 = 0
AC = AB + BC = a ⇒ HC = AC = a
Gọi N = AM ∩ BD ⇒N là trọng tâm / / / / 1
KH HN OH ABC HN AB DC
+) Hình chiếu của B trên AM là I 2 2 2
BA BM a p AI BA BM a a
2.4.3 Các ví dụ minh họa phần 3:
Bài 1 ( Đề Minh Họa HSG cấp THPT- Thanh Hóa- 2021):
Trong hình hộp ABCD A' B' C' D', cạnh AB có độ dài a, và diện tích tứ giác A B C D' là 2a² Mặt phẳng A B C D' tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 độ Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và CD là 3√2.
7 a Tính V ABCD A B C D ' ' ' ' biết hình chiếu của điểm
A xuống mặt phẳng đáy ( ABCD ) thuộc miền giữa hai đường thẳng AB và CD đồng thời khoảng cách giữa AB và CD nhỏ hơn 4a
*) Xây dựng công thức tính d AA CD ( ', ) = d A A CD ( ' , )
+)Gọi H là hình chiếu của A ' trên ( ACD ) ( tức là trên đáy (ABCD)) ⇒ = h A H '
+)Gọi I là hình chiếu của A trên CD ⇒ = p AI Bây giờ ta đi tìm p, k, h:
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, CD ⇒ H E F , , thẳng hàng
Dễ thấy EF EF ⊥ ⊥ CD AB ⇒ A F ' ⊥ CD ⇒ ( ã ( ' ' A B CD ),( ABCD ) ) = ( ã A F HF ' , ) = 60 0
Đặt EF = x (0 < < x 4 ) a ⇒ HE x a x a = − ( > ⇒ ) AI = EF = = x p Ta có
HK EH a AK HA a AK x AH x a
HA FH x a HA x a AH x a AK x
Thay vào công thức pkh ta có :
Vậy V ABCD A B C D ' ' ' ' = S ABCD ' A H = AI AB A H ' = 3 a a a 3 3 = a 3 3.
Bài 2 ( ĐỀ HSG 2012- SỞ GD&ĐT THANH HÓA):
Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a và BC = 2a Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, trong khi các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một góc bằng nhau Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là 2.
Giải: Ta cần xây dựng công thức tính d SA BD ( , ) để tìm chiều cao hình chóp.
+) Trong ∆ SAB , kẻ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ = h SH
Trong ( ABCD ) , kẻ MH / / AD M CD ( ∈ ) ã ã 2
SMH SBH α HM HB a HA a
+) Gọi I là hình chiếu của A trên BD
Từ công thức pkh ta có:
Bài 3 ( ĐỀ THAM KHẢO HSG Lần 1- 2021- STRONG TEAM TOÁN VD-
Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = 3 a ,
Hình chiếu của điểm A' xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Gọi E và F lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AA' và AB Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và BC được biết là a Dựa vào các thông tin trên, có thể tính được thể tích của lăng trụ.
Giải: Ta cần xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và BC để tìm các đại lượng h, k, p.
+) Gọi G là trọng tâm ∆ ABC , M, H lần lượt là trung điểm của BC, AG
EH ABC h EH GA EH h
∩ = ⇒ = FK Áp dụng Menelaus cho∆ AMB với 3 điểm thẳng hàng
HM KB FA = ⇒ KB = ⇒ = ⇒ = Áp dụng Menelaus cho∆ KMH với 3 điểm thẳng hàng B, A, F ta có
BK AM FH FH FH
BM AH FK = ⇒ FK = ⇒ FK = ⇒ = k
+) Hình chiếu của F trên BC chính là B 3
⇒ = p FB = = Theo đề d EF BC ( , ) = = d a nên từ công thức pkh :
Phương pháp sử dụng kỹ thuật song chiếu kết hợp công thức pkh đã thể hiện rõ ưu điểm nổi bật qua các ví dụ khảo sát Khi yêu cầu học sinh giải bài toán bằng phương pháp truyền thống, hầu hết các em gặp khó khăn trong việc dựng hình, chỉ một số ít em khá, giỏi mới thành công Ngược lại, khi được hướng dẫn giải theo phương pháp này, kết quả đạt được rất khả quan.
