Bài tập Đại số ĐH Mỏ Địa chất TRƢỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT BỘ MÔN TOÁN HƢỚNG DẪN ÔN TẬP ĐẠI SỐ Tài liệu lưu hành nội bộ, không được sao chép 2019 2020 2 3 MỤC LỤC CHƢƠNG 1 SỐ PHỨC 4 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 4 VÍ DỤ MẪU 5 BÀI TẬP 7 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 9 CHƢƠNG 2 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC 14 VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 14 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 14 VÍ DỤ MẪU 19 BÀI TẬP 29 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 35 CHƢƠNG 3 KHÔNG GIAN VÉC TƠ 39 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 39 VÍ DỤ MẪU 43 BÀI TẬP 48 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 53 CHƢƠNG 4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH[.]
SỐ PHỨC
+ Dạng chính tắc: , trong đó a b , R , là đơn vị ảo thỏa mãn
+ Dạng hình học: Số phức được biểu diễn bởi véc tơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ hoặc bởi điểm trong mặt phẳng
+ Dạng lượng giác: , trong đó | | √ là Module, và ̂ là Argument
Tập các số phức được ký hiệu là
Phép toán dạng chính tắc: ̅̅̅̅̅̅̅̅
Phép toán dạng lượng giác: nếu thì
Căn bậc n: Số phức có n căn bậc n như sau
Ví dụ 1.1 Biểu diễn hình học số phức thỏa mãn
Lời giải Giả sử Bất phương trình tương đương
Miền của thỏa mãn giả thiết là miền gạch sọc có kể biên
Ví dụ 1.2 Tìm căn bậc 3 của số phức
Lời giải Từ các đẳng thức
Do đó, có 3 căn bậc 3 như sau
Ví dụ 1.3 Tìm căn bậc 2 của số phức
Lời giải Giả sử căn bậc hai của có dạng Khi đó
Vậy có 2 căn bậc 2 là và )
Ví dụ 1.4 Giải phương trình ̅
Lời giải Giả sử Phương trình trở thành
Từ (2), hoặc Thế vào (1), ta có
{ hoặc { Vậy phương trình có 3 nghiệm hoặc
Ví dụ 1.5 Biểu diễn , theo và
Lời giải Áp dụng công thức Moivre
Khai triển vế trái theo nhị thức Newton
So sánh với vế phải ta có
1.1 Biểu diễn hình học các số phức thỏa mãn a) | | b) | | c) | | d) | | ̅ e) ̅ f) (1/ ̅ ) g) z 2 z 2 h) (2z i)( z) R. i) 2z i z z 2 i k) z 4 i z 4 i 10.
1.2 Đưa về dạng lượng giác các số phức a) b) c) √ √ √ √
1.3 Tìm phần thực, phần ảo, căn bậc 3, bậc 4 của các số phức a) √ b) √
1.4 Tìm số phức z thỏa mãn: a) z (2 i ) 10 và z z 25. b) z 1 2i z 3 4 i c) z 1 1 z i
e) z 2 2 z z z 2 8 và z z 2. g) z 1 và z 2 z 2 3, với z có phần thực dương, phần ảo âm h) 5 i 3 1 0 z z
1.5 Tìm căn bậc 2 của các số phức a) b) c)
1.8 Cho là các nghiệm của , tính
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
1.1 a) Hình tròn tâm 0 bán kính 2, không kể biên b) Hình tròn tâm I(1,0), bán kính R=1, có kể biên c) Hình tròn tâm I(1,1), bán kính R=1, không kể biên
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z tạo thành miền bên trong đường tròn có tâm I(0; -1) và bán kính 2, nằm phía trên trục hoành, không bao gồm biên Đồng thời, tập hợp các điểm này cũng hình thành một hyperbol với phương trình xác định.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z tạo thành miền ngoài hình tròn có tâm I(1/2,0) và bán kính R=1/2, không bao gồm biên Ngoài ra, các điểm biểu diễn số phức z nằm bên phải trục 0y, không kể trục này Đường thẳng x + 2y - 2 = 0 cũng là một phần của tập hợp này, cùng với parabol y = x² / 4 Cuối cùng, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z còn bao gồm Ellipse (E) với hai tiêu điểm (0, 4) và (0, -4), có trục lớn dài 10 và trục nhỏ dài 6.
Số phức z có 3 căn bậc 3 sau đây: 1 k 6
Số phức z có 4 căn bậc 4 sau đây : 1 k 8
Số phức z có 3 căn bậc 3 sau đây: 2
Số phức z có 4 căn bậc 4 sau đây: 2
1.5 a) z có 2 căn bậc hai là - 2 + i và 2 - i b) z có 2 căn bậc hai là 1 – 2i và -1 + 2i c) z có 2 căn bậc hai là 1 + 3i và -1 – 3i
1.11 a) cos5xcos x 10cos x sin x 5 3 2 5cos x sin x 4 sin 5x5cos x sin x 10cos x sin x 4 2 3 sin x 5 b)
MA TRẬN, ĐỊNH THỨC
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.1 Ma trận và phép toán
Ma trận cỡ là một bảng số gồm hàng và cột:
+ Nếu thì là ma trận vuông cấp
+ Nếu thì là ma trận chữ nhật hàng, cột
+ Ký hiệu là tập các ma trận cỡ và là tập các ma trận vuông cấp
Một số ma trận cơ bản:
+ Ma trận cột là ma trận chỉ có 1 cột
+ Ma trận hàng là ma trận chỉ có 1 hàng
+ Ma trận đường chéo: với
+ Ma trận đơn vị cấp n: với và + Ma trận tam giác trên: với
+ Ma trận tam giác dưới: với
+ Ma trận bậc thang là ma trận có phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng dưới nằm phía bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của hàng trên
+ Phép nhân với mộthằng số thực hoặc phức:
+ Phép nhân ma trận với ma trận: , trong đó,
+ Phép chuyển vị: [ ] trong đó
Tính chất phép nhân ma trận với ma trận: Giả sử các phép nhân ma trận dưới đây là thực hiện được Khi đó,
+ Phép nhân nói chung không giao hoán
+ Phép nhân có tính kết hợp:
+ Phép nhân có tính phân phối:
+ Nhân với ma trận đơn vị, ma trận không:
Trong hoán vị, nghịch thế được định nghĩa là một cặp số mà số bên trái lớn hơn số bên phải Số lượng nghịch thế trong một hoán vị thường được ký hiệu bằng một ký hiệu đặc biệt.
Định thức: Cho Định thức của A được cho bởi
| | ∑ tổng ở trên lấy theo tất cả các hoán vị của { }
Định lý Laplace khẳng định rằng, với ma trận A, khi bỏ đi hàng i và cột j, ta thu được ma trận con, gọi là phần bù đại số của phần tử.
+ Khai triển định thức theo hàng i:
+ Khai triển định thức theo cột j:
+ Định thức không đổi khi chuyển vị ma trận
+ Đinh thức đổi dấu khi đổi chỗ 2 hàng (cột)
+ Định thức bằng 0 khi có 1 hàng (cột) bằng 0
+ Định thức nhân thêm k khi nhân 1 hàng (cột) với k
+ Định thức bằng 0 khi có 2 hàng (cột) giống nhau
+ Định thức bằng 0 khi có 2 hàng (cột) tỉ lệ
+ Có thể tách định thức thành tổng theo từng hàng (cột)
+ Định thức không đổi khi cộng 1 hàng (cột) với k lần hàng (cột) khác
+ Định thức ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính
+ Định thức của tích bằng tích các định thức
Tính định thức bằng biến đổi sơ cấp:
Các phép biến đổi sơ cấp bao gồm việc đổi chỗ hai hàng (cột), nhân một hàng (cột) với một số, và cộng k lần một hàng (cột) vào một hàng (cột) khác Nguyên tắc tính định thức dựa vào việc sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để chuyển ma trận đã cho thành ma trận tam giác.
Ma trận khả nghịch được định nghĩa là ma trận tồn tại nghịch đảo, ký hiệu là Nếu ma trận có nghịch đảo, nó sẽ được gọi là ma trận khả nghịch hoặc khả đảo.
+ Nếu (tức suy biến) thì không khả nghịch
+ Nếu (tức không suy biến) thì khả nghịch và có duy nhất một ma trận nghịch đảo là ới
+ Định thức của 1 ma trận con vuông (gồm các phần tử giao trên k hàng và k cột của , với { }) được gọi là 1 định thức con của ma trận A
+ Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của A được gọi là hạng của , ký hiệu
+ Nếu thì khi và chỉ khi
Phương pháp tìm hạng: Biến đối sơ cấp ma trận về ma trận bậc thang Khi đó, số hàng khác không của ma trận bậc thang đúng bằng
2.5 Hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính là hệ gồm phương trình và ẩn
Dạng ma trận: Hệ (I) trở thành phương trình ma trận
Giải hệ (I) tương đương với việc tìm ma trận của phương trình (II)
+ Hệ là hệ Cramer nếu vuông, không suy biến và B là véc tơ cột
+ Hệ Cramer có duy nhất nghiệm Hơn nữa, nếu là ma trận thu được từ khi thay cột bởi cột thì ̅̅̅̅̅
+ Phương pháp Gauss - Jordan giải hệ Cramer: Biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận hệ số mở rộng ̅ | về dạng |
Khi đó, nghiệm của hệ là
+ Hệ quả (phương pháp Gauss - Jordan tìm ma trận nghịch đảo): Nếu khả nghịch thì ta có thể biến đổi sơ cấp trên hàng ma trận | về dạng |
Phương pháp Gauss là một kỹ thuật hiệu quả để giải hệ phương trình tổng quát bằng cách biến đổi sơ cấp ma trận về dạng bậc thang Sau khi đạt được dạng này, ta có thể giải hệ phương trình tương đương từ dưới lên trên.
+ Biện luận số nghiệm của (I)
Nếu ̅ thì hệ có duy nhất nghiệm
Nếu ̅ thì hệ có vô số nghiệm
Nếu ̅ thì hệ vô nghiệm
+ Hệ thuần nhất là hệ có dạng
+ Hệ thuần nhất luôn có nghiệm tầm thường
+ Hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường
+ Hệ thuần nhất với ma trận vuông có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi
Ví dụ 2.1 Chứng minh rằng
Biến đổi vế trái, tách định thức theo cột, chú ý các định thức có 2 cột giống nhau bằng 0, đổi chỗ 2 cột khi cần thiết
Ví dụ 2.2 Tìm số thực thỏa mãn đẳng thức sau
Lời giải Đổi chỗ h2 cho h4, c3 cho c4 (hai lần đổi dấu), rồi biến đổi sơ cấp định thức theo hàng
Ví dụ 2.3 Tính định thức cấp cao
Nhân cột đầu, hàng đầu với , sau đó, cộng tất cả các hàng khác vào hàng đầu
Ví dụ 2.4 Tìm ma trận nghịch đảo bằng 2 cách
(i) Dùng phần bù đại số để tính, ta có, , nên
+ (ii) Biến đổi Gauss - Jordan
Ví dụ 2.5 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau
(i) Cách 1: Sử dụng phần bù đại số,
(i) Cách 2: Sử dụng phương pháp khử Gauss – Jordan
Ví dụ 2.6 Biện luận theo số thực hạng của ma trận sau
Lời giải Đổi chỗ h1 cho h2, h2 cho h3, h3 cho h4 (thao tác này chuyển h1 xuống dưới cùng), tiếp tục đổi chỗ c2 cho c4 rồi biến đổi sơ cấp
Do vậy, với thì ; với thì
Ví dụ 2.7 Biện luận hạng của ma trận sau theo tham số thực
Sử dụng các biến đổi sơ cấp ta có:
Ví dụ 2.8 Giải và biện luận hệ phương trình
(i) Cách 1: (Phương pháp Cramer) Các ma trận của hệ là
Nếu , tức là, và thì hệ là hệ Cramer, có duy nhất nghiệm
Nếu hệ chỉ còn lại một phương trình , bài toán có vô số nghiệm
Nếu thì | | Mặt khác, là ma trận con của ̅;
(ii) Cách 2: (Phương pháp Gauss) Viết ma trận hệ số mở rộng, cộng các hàng vào hàng đầu, biến đổi sơ cấp theo hàng ̅ (
Nếu thì ̅ , hệ có duy nhất nghiệm Khi đó,
Nếu thì hệ chỉ còn một phương trình , bài toán có vô số nghiệm
Nếu , cộng 3 phương trình của hệ ta có (vô lý), hệ vô nghiệm
Ví dụ 2.9.Tìm điều kiện để hệ vô nghiệm, có duy nhất nghiệm, và vô số nghiệm
Lời giải Viết ma trận hệ số mở rộng, và biến đổi sơ cấp theo hàng ̅ | (
Có thể chuyển đổi bậc thang từ c2 sang c3 mà không thay đổi cột trong quá trình giải hệ phương trình Nếu điều kiện được thỏa mãn, hệ phương trình sẽ có duy nhất nghiệm.
Nếu thì ̅ , hệ có vô số nghiệm Nếu thì ̅ , hệ vô nghiệm
Ví dụ 2.10 Giải phương trình
Ví dụ 2.11 Giải phương trình
+ (ii) Cách 2: Sử dụng phương pháp Gauss – Jordan
Ví dụ 2.12.Cho ma trận (
) và hàm số (i) Chứng minh rằng
(ii) Từ đẳng thức thay bởi ma trận , sử dụng kết quả phần (i), ta có
Chú ý Có thể chứng minh ( ) bằng phương pháp qui nạp
30 a) Tính , b) Cho , tính c) Tính và
2.2 Thực hiện các phép tính a)( ) b) ( ) c) ( ) d) (
Tích của các ma trận đường chéo luôn tạo ra một ma trận đường chéo Ngoài ra, khi nhân hai ma trận tam giác trên, kết quả cũng là một ma trận tam giác trên Tương tự, tích của các ma trận tam giác dưới sẽ cho ra một ma trận tam giác dưới.
2.6 Tính các định thức sau
) Đặt và Hãy tính và
2.10.Tìm số thực x sao cho (
2.12 Cho ma trận thỏa mãn | | Tính | | và | |
2.13 Cho ma trận thỏa mãn | | Tính | | | | và | |
2.15* Tính các định thức cấp cao a) ||
2.16* Chứng minh định thức Vandermonde
2.17 Áp dụng định thức Vandermonde a) Tính |
2.18 Xác định để các tích sau là thành phần của định thức mà có dấu tương ứng được cho trong ngoặc
2.20 Các ma trận sau có khả đảo không, nếu có, hãy tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp phần bù đại số a) (
2.21 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss-Jordan a) (
2.22 Tìm nghịch đảo (nếu có) của các ma trận a)
2.24 Tìm hạng của các ma trận sau :
2.25 Biện luận theo hạng của các ma trận sau : a (
2.26 Tìm ma trận thỏa mãn a)(
2.27 Giải các hệ phương trình
2.28 Giải và biện luận theo các hệ phương trình
2.29 Tìm điều kiện của và để hệ sau có vô số nghiệm
2.30 Tìm để hệ sau có nghiệm không tầm thường
2.31: Tìm để hệ sau có nghiệm duy nhất:
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
2.3 Gợi ý: áp dụng bài 2.2.b Đáp số: 186 155
2.15 a) (n 1)! b) n! c) 2 n 1 1.d) Kết quả là 1 nếu n chẵn, là 0 nếu n lẻ e) n(n 1) n! x
2.16 Gợi ý: theo thứ tự lấy rồi khai triển theo hàng 1 đưa về một biểu thức chứa
2.28 a) Nếu m 0 thì hệ vô nghiệm
Nếu m 0 thì hệ có duy nhất nghiệm x 11/ 4 y 5 / 4 z 1 / 2
b) Nếu m 0 thì hệ vô nghiệm
Nếu m 0 thì hệ có duy nhất nghiệm x (2 m) / 4 y (3m 2) / 4m z 2 m
KHÔNG GIAN VÉC TƠ
3.1 Khái niệm không gian véc tơ
Cho tập và 2 phép toán trên :
+ Phép cộng hai phần tử của nếu x, yV , thì x y V
+ Phép nhân một phần tử của với một số thực (hoặc phức):
Tập với hai phép toán trên được gọi là một không gian véc tơ trên (hoặc ) nếu với mọi và (hoặc ta có
(3) Tồn tại phần tử sao cho
(4) Với , tồn tại phần tử sao cho
3.2 Không gian con và hệ sinh
+ Cho là không gian véc tơ và Nếu cùng với hai phép toán của tạo thành một không gian véc tơ thì được gọi là không gian con của
+ Định lý: Cho và Khi đó là không gian con của khi và chỉ khi đóng với hai phép toán trong , nói cách khác
+Cho hệ véc tơ { } , một tổ hợp tuyến tính của là véc tơ có dạng
+ Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của được gọi là bao đóng tuyến tính của , ký hiệu
+ Span(S) là không gian véc tơ con
+Tập { } được gọi là hệ sinh của không gian con nếu mọi phần tử của đều là tổ hợp tuyến tính của , tức là
3.3 Cơ sở và số chiều
Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính:
+ Hệ { } được gọi là độc lập tuyến tính nếu
+ Hệ { } được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại bộ số không đồng thời bằng 0 sao cho
Cơ sở và số chiều:
+ Hệ { } được gọi là một cơ sở của nếu là một hệ sinh độc lập tuyến tính của
Nếu không gian V có một cơ sở với số lượng hữu hạn véc tơ, thì mọi cơ sở của V sẽ có số véc tơ bằng nhau Số véc tơ này được gọi là số chiều của không gian V, ký hiệu là dim(V).
+ Định lý: Hệ { } là một cơ sở của khi và chỉ khi mọi véc tơ đều có biểu diễn duy nhất
Một số không gian cơ bản:
Cơ sở chính tắc { ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅}: trong đó nếu ( và +Không gian
+ Không gian nghiệm hệ thuần nhất có số chiều
3.4 Tọa độ của véc tơ
+ Giả sử { } là một cơ sở của Với mọi véc tơ , có biểu diễnduy nhất dưới dạng Khi đó, tọa độ của theo , được ký hiệu:
+ Nếu là cơ sở chính tắc thì [ ] được gọi là tọa độ chính tắc Tọa độ chính tắc thường được viết là [ ]
+ Cho { } { } là hai cơ sở của Nếu
+ thì được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ sang + Tính chất: a) khả nghịch và là ma trận chuyển cơ sở từ sang b) Với thì [ ] [ ] và [ ] [ ]
3.5 Hạng của hệ véc tơ
Hạng của hệ véc tơ:
+ Cho hệ véc tơ { } Số chiều của được gọi là hạng của , ký hiệu là
+ Tính chất: khi và chỉ khi hệ phụ thuộc tuyến tính Hơn nữa, khi và chỉ khi hệ độc lập tuyến tính
Bài toán tìm hạng của hệ véc tơ:
Hệ véc tơ { } có ma trận tọa độ được định nghĩa là ma trận ghép cột các tọa độ theo cơ sở chính tắc Theo định lý, nếu ma trận tọa độ của hệ véc tơ được xác định, thì nó sẽ mang những đặc điểm nhất định liên quan đến cấu trúc của hệ véc tơ đó.
Ví dụ 3.1 Chứng minh rằng tập cùng với hai phép toán sau là không gian véc tơ (KGVT) trên
Lời giải Ta kiểm tra các tiên đề của KGVT như sau:
Phép cộng trong KGVT có tính chất giao hoán và kết hợp, với phần tử trung hòa là 0 và mỗi phần tử đều có phần tử đối là -a.
Tương tự, có thể kiểm tra các tính chất khác của KGVT
Như vậy, với hai phép toán đã cho là một không gian véctơ trên trên
Ví dụ 3.2 Tập , với phép cộng thông thường và phép nhân với một số thực xác định bởi: có là không gian véc tơ hay không
Lời giải Với thì Vậy, không phải là một không gian véctơ trên R
Ví dụ 3.3 Các tập sau có là không gian con của hay không a) { } b) { }
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét hai phép toán quan trọng Đầu tiên, rõ ràng rằng không gian véc tơ con của một tập hợp đã cho là cần thiết để phân tích Thứ hai, mặc dù có một số điều kiện nhất định, nhưng không gian véc tơ không phải là không gian con của tập hợp đó.
Ví dụ 3.4.Trong , cho các véc tơ
Véc tơ có thuộc không gian con của hay không?
Lời giải Giả sử Khi đó
Định thức của ma trận hệ số khác không, nên hệ có nghiệm Từ đó,
Ví dụ 3.5 Cho hệ véc tơ { } độc lập tuyến tính Chứng minh rằng, hệ véc tơ sau cũng độc lập tuyến tính
Vì { } độc lập tuyến tính nên hệ thức này xảy ra khi và chỉ khi
Do định thức của hệ khác 0 nên hệ phương trình này chỉ có nghiệm tầm thường Vậy hệ { } độc lập tuyến tính
Ví dụ 3.6.Trong , tìm một cơ sở của không gian con
Ta có, thì Nếu đặt thì
Do đó, { } là một hệ sinh của Dễ kiểm tra { } độc lập tuyến tính nên nó cũng là 1 cơ sở của F
Ví dụ 3.7 Tìm theo số chiều của không gian con của sinh bởi hệ véctơ:
Lời giải Lập ma trận tọa độ của hệ véc tơ rồi biến đổi sơ cấptheo hàng:
Chứng minh W là không gian véc tơ con của không gian các ma trận vuông cấp 2 Tìm số chiều và một cơ sở của W
1 0 1 2 Vậy W là không gian véc tơ con
Dễ thấy hai ma trận 1 1 , 0 1
1 0 1 2 là độc lập tuyến tính nên hệ gồm hai ma trận này là một cơ sở của W, dimW = 2
Chú ý: Có thể chứng minh W là không gian véc tơ con như sau: Xét hai phần tử bất kỳ của W là 1 1 1 1
1 1 1 a a b a a b w ; w a b 2b a b 2b Với mọi số thực , , ta có
Vậy w 1 w 1 W, , 1 R, w, w 1 W Từ đó W là không gian véc tơ con
Ví dụ 3.9 Các véc tơ sau có sinh ra không
Lời giải Ma trận của hệ véc tơ { } là
Biến đổi sơ cấp theo cột, đưa về dạng bậc thang theo cột
Do đó, ( ) Hệ không sinh ra
Ví dụ 3.10 Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ trong
Lời giải Ma trận của hệ véc tơ { } là
Biến đổi sơ cấp theo cột, đưa về dạng bậc thang
Do đó, nhỏ hơn số véc tơ trong Vậy hệ phụ thuộc tuyến tính
Ví dụ 3.11.Các véc tơ sau có là cơ sở của không a) b) c)
Lời giải a) Không, vì số véc tơ của hệ là 2 khác số chiều của là 3 b) Ma trận tọa độ của hệ véc tơ { } là
Hệ phụ thuộc tuyến tính, không là cơ sở của c) Ma trận tọa độ của hệ véc tơ { } là
Hệ độc lập tuyến tính, do đó là cơ sở của
Ví dụ 3.12 Trong không gian , tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở
Giả sử có biểu diễn và , khi đó
Vậy ma trận chuyển từ cơ sở sang cơ sở là (
3.1 Tập cùng với 2 phép toán sau có là không gian véc tơ không a) Phép cộng thông thường: Phép nhân thông thường: b) Phép cộng:
3.2 Tập nào trong các tập sau là không gian con của a) { | ̅̅̅̅̅} b) { | } c) { | } d) { | } e) { | }
3.3.Tập nào trong các tập sau là không gian con của a) {(
3.4.Tập nào trong các tập sau là không gian con của : a) { | } b) { | } c) { | }
3.5 Hệ sau có sinh ra không gian tương ứng không a) { } trong b) { } trong c) {(
3.6 Xác định không gian con sinh bởi các véc tơ sau a) trong
3.7 Cho hệ véc tơ trong : Tìm biểu diễn tuyến tính nếu có của véc tơ theo hệ trên, nếu a) b)
3.8* Trong , hãy kiểm tra mệnh đề nếu a) b)
3.9 Xét sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các hệ véc tơ a) { } trong b) { trong c) { } d) { }trong e) {( ) ( ) (
3.10.Tìm m để hệ sau độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính trong a) b)
3.11 Tìm điều kiện của để các ma trận sau phụ thuộc tuyến tính trong
3.12.Chỉ ra rằng các hệ sau không là cơ sở của không gian tương ứng a) { }trong b) { } trong c) { } trong d) {( ) ( ) ( ) ( )} trong
3.13.Tìm số chiều và một cơ sở cho không gian nghiệm hệ phương trình a) b) { c) { d){ e) (
3.14 Gọi là tập hợp các ma trận thỏa mãn phương trình
Chứng minh là một không gian véc tơ thực.Tìm số chiều và một cơ sở của
3.15 Cho tập hợp { | } Chứng minh rằng là không gian con của Tìm cơ sở và số chiều của
) } Chứng minh là không gian con của Tìm cơ sở và số chiều
3.17 Trong không gian cho tập gồm các đa thức thỏa mãn
Chứng minh là không gian con của Tìm số chiều và một cơ sở của
3.18 Giả sử hệ là cơ sở của không gian véc tơ Cho hệ véc tơ
Hệ có là cơ sở của không gian véc tơ không? Tại sao?
3.19.Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi a) { } trong b) { } trong
3.20 Trong không gian cho hệ véc tơ { } Chứng minh là cơ sở của và tìm tọa độ của véc tơ theo
3.21 Trong không gian , cho hệ gồm các véc tơ
) Chứng minh là cơ sở của và tìm tọa độ của véc tơ theo , biết
3.22 Trong không gian , cho hệ { }
Chứng minh là cơ sở của và tìm tọa độ của đa thức theo
3.23 Trong cho hai hệ véc tơ { } và S { }, trong đó
; a) Chứng minh các hệ véc tơ và là các cơ sở của b) Tìm ma trận chuyển từ
3.24.Tìm ma trận chuyển từ cơ sở sang trong các trường hợp
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
3.2 a) A không là không gian con của R n b) B là không gian con của R n c) C không là không gian con của R n d) D là không gian con của R n e) E là không gian con của R n
3.3 a) F là không gian con của M 2 b) G không là không gian con của M 2 c) H là không gian con của M 2
3.4 a) I là không gian con của P (x) 3 b) J là không gian con của P (x) 3 c) K không là không gian con của P (x) 3
3.6 a) Gọi u={u , u , u 1 2 3 } Ta có cơ sở của Span(u) là : a=(1,2,3) và b=(1,1,1) ; dim Span(u)=2;
54 c) Gọi P{p ,p ,p } 1 2 3 Cơ sở của span(P) là : a=1+xvà b x x 2
1 1 2 2 1 2 span(P){t= ( )x+ x , , R}. d) Gọi f {m ,m ,m ,m } 1 2 3 4 Cơ sở của span(f) là :
Trong toán học, khái niệm phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính là rất quan trọng Phụ thuộc tuyến tính xảy ra khi một vector có thể được biểu diễn như là tổ hợp tuyến tính của các vector khác Ngược lại, độc lập tuyến tính chỉ ra rằng không vector nào trong một tập hợp có thể được biểu diễn như tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại Hiểu rõ sự khác biệt giữa hai khái niệm này giúp nâng cao kiến thức về không gian vector và các ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực.
3.10 a) Hệ phụ thuộc tuyến tính với mọi m b) m& thì hệ phụ thuộc tuyến tính, m 26 thì hệ độc lập tuyến tính
Họ S không phải là cơ sở vì số véc tơ của họ không tương ứng với số chiều của không gian Cụ thể, nếu số véc tơ là 3 mà không bằng dimR 2, thì họ S không thể là cơ sở Tương tự, khi họ S phụ thuộc tuyến tính, điều này cũng chứng tỏ họ S không phải là cơ sở Ngoài ra, nếu số véc tơ là 4 mà không bằng dimR 3, thì họ S cũng không thể là cơ sở Do đó, sự phụ thuộc tuyến tính của họ S khẳng định rằng họ S không phải là cơ sở.
3.13 a) Số chiều là 2; cơ sở {u,v} với u=(3,1,0) và v=(1,0,1) b) Số chiều là 2; cơ sở {u,v} với u=( 1, 1,1, 0
c) Số chiều là 1; cơ sở u=(-4,3,1) d) Số chiều là 2; cơ sở {u,v} với u=(-2,-1,1,0) và v=(-1,-2,0,1) c) Số chiều là 1; cơ sở u=(3,1,-5,1)
3.18 Hệ {x ,x , x }có là cơ sở của không gian vectơ V 1 2 3
3.19 a) Cơ sở {a,b,c} với a=(1,3,1); b=(0,-1,-1); c=(0,0,2); số chiều là 3
( Không gian con sinh bởi họ véc tơ chính là R 3 ) b) Họ véc tơ đã cho chính là cơ sở của P (x) ; số chiều là 4 3
( Không gian con sinh bởi họ véc tơ chính là P (x) ) 3
3.23.Ma trận chuyển từ S sang S’ là:
3.24 a) Ma trận chuyển từ S sang S’ là: 2 1
b) Ma trận chuyển từ S sang S’ là:
56 c) Ma trận chuyển từ S sang S’ là:
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH,
GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG
Định nghĩa: Cho là hai không gian véc tơ cùng trên (hoặc ) Ánh xạ được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu và (hoặc ) thì
+ Giả sử { } là một cơ sở của và { } là một cơ sở của Nếu
+ thì được gọi là ma trận của theo cặp cơ sở + Tính chất: Với thì [ ] [ ]
+ Ma trận của ánh xạ tuyến tính theo cặp cơ sở được gọi là ma trận của theo cơ sở
Định lý về ánh xạ tuyến tính cho biết rằng nếu có một ánh xạ tuyến tính, thì ma trận của ánh xạ này theo cơ sở nhất định sẽ được xác định bởi ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở này sang cơ sở khác.
+ Hai ma trận được gọi là đồng dạng (ký hiệu nếu tồn tại ma trận khả nghịch thỏa mãn
4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa: Cho là ánh xạ tuyến tính
Nhân của là tập { | } Ảnh của là tập { | }
+ là không gian con của ; [ ] được gọi là số khuyết của
+ là không gian con của ; [ ] được gọi là hạng của ký hiệu là
+ Nếu { } là cơ sở của V thì
+ Mối liên hệ số chiều:
4.3 Giá trị riêng và véc tơ riêng
Cho Nếu tồn tại , , sao cho thì được gọi là giá trị riêng của , và được gọi là véc tơ riêng của ứng với giá trị riêng
Đa thức được gọi là đa thức đặc trưng của
Cách tìm giá trị riêng: là giá trị riêng của khi và chỉ khi là nghiệm thực của phương trình đặc trưng
Để tìm véc tơ riêng, ta giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng với mỗi giá trị riêng λ Mỗi nghiệm khác không của hệ này sẽ tạo thành một véc tơ riêng Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ được gọi là không gian riêng tương ứng với giá trị riêng λ.
Một ma trận được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một ma trận đường chéo tương đương với nó, tức là ma trận đó đồng dạng với một ma trận đường chéo Ma trận này được gọi là ma trận làm chéo hóa.
Các vấn đề về chéo hóa:
+ chéo hóa được khi và chỉ khi có véc tơ riêng độc lập tuyến tính
+ Họ các véc tơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính
+ Hệ quả: nếu có giá trị riêng khác nhau thì chéo hóa được
+ Tìm các giá trị riêng (có thể bằng nhau)
+ Tìm n véc tơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng
+ + Lập ma trận và kết luận làm chéo hóa Khi đó
Ứng dụng chéo hóa ma trận: cho , nếu tìm được ma trận làm chéo thì có thể tính được với bất kỳ như sau
Trong ví dụ 4.1, ta có hai hệ véc tơ { } và { } trong không gian với ánh xạ xác định bởi Đầu tiên, cần chứng minh rằng các véc tơ này là cơ sở của không gian Tiếp theo, ta tìm ma trận chuyển cơ sở từ hệ véc tơ này sang hệ véc tơ khác Sau đó, cho véc tơ , ta tính tọa độ của nó theo cơ sở Tiếp tục, ta sẽ tính tọa độ của véc tơ này bằng cách sử dụng ma trận chuyển cơ sở đã tìm được Cuối cùng, cần chứng minh rằng ánh xạ là tuyến tính và tìm ma trận của ánh xạ này theo cặp cơ sở đã cho, cũng như tính tọa độ của véc tơ theo cơ sở
Lời giải a) Lập các ma trận tọa độ của và , chỉ ra các định thức của chúng khác 0 b) Giả sử [ ] ( +
+ Vậy ma trận chuyển cơ sở từ sang là
[ ] ( + d) Tọa độ của theo là
Nên là ánh xạ tuyến tính f) Giả sử
Vậy, ma trận của theo cặp cơ sở là
Ví dụ 4.2 Cho ánh xạ tuyến tính xác định bởi
Tìm số chiều và một cơ sở của
{ Đây là hệ thuần nhất có ma trận hệ số là ma trận chính tắc của ánh xạ , ta có
Do đó, là không gian 1 chiều và nhận { } là một cơ sở
(ii) Tìm : cơ sở chính tắc của gồm
Để tìm hệ véc tơ sinh bởi một hệ { }, ta cần xem xét ma trận tọa độ tương ứng của hệ này Cần lưu ý rằng ma trận này chính là ma trận chính tắc A của ánh xạ tuyến tính Thực hiện biến đổi sơ cấp theo cột, chúng ta sẽ thu được kết quả cần thiết.
Do đó, sinh bởi 2 véc tơ Dễ thấy { } độc lập tuyến tính Vậy, là không gian 2 chiều và nhận { } là một cơ sở
Ví dụ 4.3 Cho ánh xạ tuyến tính xác định bởi
Viết ma trận chính tắc Tìm số chiều và một cơ sở của và
Lời giải Ma trận chính tắc của là
(i) Tìm : giả sử Khi đó,
(1) Giải hệ bằng cách biến đổi sơ cấp theo hàng
Do đó, là không gian một chiều nhận { } là một cơ sở
(ii) Tìm : Từ ma trận chính tắc, biến đổi sơ cấp theo cột
Khi đó sinh bởi hai đa thức có tọa độ chính tắc là ( + và (
Do đó, là không gian 2 chiều, nhận một cơ sở là { }
Ví dụ 4.4 Cho ánh xạ có ma trận chính tắc là
Viết biểu thức của Tìm và
Lời giải Biểu thức của là
Để giải hệ trên, biến đổi sơ cấp theo hàng ma trận
) Vậy, sinh bởi 2 véc tơ độc lập tuyến tính là
Do đó, là không gian 2 chiều và nhận một cơ sở là { }
(ii) Tìm Biến đổi sơ cấp (xem ví dụ 3.13) theo cột ta có
Khi đó, sinh bởi các ma trận có tọa độ chính tắc là các cột
Do đó, là không gian 2 chiều nhận một cơ sở là {(
Ví dụ 4.5 Tìm ánh xạ tuyến tính thỏa mãn
Lời giải Giả sử ma trận chính tắc của là
Ta biết rằng với thì [ ] [ ] nên
+ ( + Kết hợp lại ta có:
+ Đây là phương trình ma trận, ta tìm được
Do đó, ánh xạ tuyến tính cần tìm có dạng biểu thức
Ví dụ 4.6 Cho ánh xạ tuyến tính xác định bởi
(i) Tìm để có số chiều là 1
(ii) Với ở trên, tìm để chứa phần tử
(i) Hệ phương trình tìm nhận ma trận chính tắc làm ma trận hệ số
Số chiều của bằng số chiều của không gian nghiệm
Bài toán qui về tìm để Do đó, Với , dễ thấy (thỏa mãn)
(ii) Để chứa phần tử thì để Tức là hệ sau có nghiệm
Biến đổi sơ cấp ma trận hệ số mở rộng theo hàng
+ Để hệ có nghiệm thì ̅ nên
Ví dụ 4.7 Cho ma trận sau
+ (i) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của
(ii) Chéo hóa ma trận
(i) Giải phương trình đặc trưng
Vậy có 3 giá trị riêng là
+ Với , nếu là véc tơ riêng thì
Giải hệ bằng biến đổi sơ cấp
Vậy mọi véc tơ riêng ứng với có dạng
+ Với , nếu là véc tơ riêng thì
Giải hệ bằng biến đổi sơ cấp
Vậy mọi véc tơ riêng ứng với có dạng
+ Với , nếu là véc tơ riêng thì
Giải hệ bằng biến đổi sơ cấp
Vậy mọi véc tơ riêng ứng với có dạng
(ii) Lập ma trận là ma trận ghép cột của các véc tơ riêng tìm được trong phần (i)
Khi đó, là ma trận làm chéo , và ma trận đường chéo nhận được là
(iii) Hướng dẫn: Đặt , từ đó
+ (Việc tính ra kết quả cuối cùng coi như là một bài tập với sinh viên)
Ví dụ 4.8 Chứng minh rằng hai ma trận đồng dạng có cùng giá trị riêng
Giả sử và , khi đó, tồn tại sao cho
Do đó có cùng đa thức đặc trưng, nên và có cùng giá trị riêng
Ví dụ 4.9 Giả sử λ là giá trị riêng của Chứng minh rằng
(i) là giá trị riêng của
(ii) Nếu không suy biến thì là giá trị riêng của
(i) Vì λ là giá trị riêng của nên để
Giả sử đã có , thì ( ) ( ) Theo qui nạp, Do đó, là giá trị riêng của (ii) Ta có nên Do đó, là giá trị riêng của
Ánh xạ tuyến tính là một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính Để viết ma trận chính tắc của ánh xạ, chúng ta cần xác định các thành phần chính xác của nó Tiếp theo, việc tìm ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở mới là cần thiết để hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các không gian Cuối cùng, việc xác định ma trận trong cơ sở mới sẽ giúp chúng ta áp dụng các phương pháp phân tích hiệu quả hơn trong các bài toán liên quan đến ánh xạ tuyến tính.
70 a) Chứng minh là ánh xạ tuyến tính b) Tìm ma trận chính tắc của c) Tìm ma trận của theo cơ sở gồm
4.3 Cho ánh xạ có ma trận theo cơ sở { } là
+ a) Tìm ma trận của theo cơ sở { } b) Tính
4.4 Cho ( ) Xét ánh xạ xác định bởi
a) Chứng minh là ánh xạ tuyến tính b) Tìm ma trận chính tắc của
4.5 Ma trận của ánh xạ tuyến tính theo cơ sở là
Ma trận của ánh xạ tuyến tính theo cơ sở là trong đó
( ); ( ) a) Tìm ma trận theo cơ sở b) Tìm ma trận theo cơ sở
4.6 Cho ánh xạ tuyến tính Giả sử là ba véc tơ thuộc thỏa mãn a) Chứng minh { } là độc lập tuyến tính b) Biểu diễn véc tơ qua , biết
4.7 Cho { } là cơ sở của Ánh xạ tuyến tính có ma trận theo cơ sở là
+ a) Tìm biểu thức của b) Gọi là ma trận của theo cơ sở
4.8 Cho ánh xạ , a) Chứng minh rằng là ánh xạ tuyến tính b) Biết hệ { } là cơ sở của
Tìm ma trận của ánh xạ theo cặp: cơ sở và cơ sở chính tắc của
4.9 Cho ánh xạ tuyến tính Viết ma trận chính tắc Tìm và
4.10 Cho ánh xạ tuyến tính có ma trận chính tắc
4.11 Cho ánh xạ tuyến tính ; Viết ma trận chính tắc Tìm và
4.12 Cho ánh xạ tuyến tính xác định bởi
( ) ( ) Viết ma trận chính tắc Tìm và
4.13 Trong cho hệ cơ sở gồm
72 Ánh xạ trong thỏa mãn
a) Tìm biểu thức của b) Tìm và
4.14 Ánh xạ tuyến tính có ma trận chính tắc là
4.15 Cho ánh xạ , với là hằng số thực a) Chứng minh rằng là ánh xạ tuyến tính với b) Tùy theo giá trị của , hãy tính số chiều của
4.16 Cho ánh xạ tuyến tính xác định bởi
Viết ma trận chính tắc Tìm và
4.17 Cho ánh xạ tuyến tính a) Tìm ma trận của theo cơ sở gồm b) Tìm và
4.18 Cho ánh xạ tuyến tính Tìm và
4.19 Cho ánh xạ tuyến tính thỏa mãn a) Tìm số chiều của
4.20 Chứng minh các ma trận sau chéo hóa được và chéo hóa chúng
4.21 Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của các ma trận sau
4.22 Tìm ma trận sao cho là ma trận đường chéo biết
4.23 Chứng minh rằng ma trận A không đồng dạng với ma trận B nếu
+ a) Hãy chéo hóa ma trận và b) Tính và
4.25 Tìm trong các trường hợp sau đây
4.26 Tìm một cơ sở của gồm các véc tơ riêng của
4.27 Chứng minh rằng là giá trị riêng của khi và chỉ khi suy biến
4.28 Cho là ma trận vuông có các phần tử đều thực, chứng minh rằng nếu không có giá trị riêng thực thì
4.29 Chứng minh rằng nếu thì giá trị riêng duy nhất của là 0
4.30 Cho ma trận có tổng các phần tử trên mỗi cột (hoặc hàng) là , chứng minh rằng là một giá trị riêng của
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
4.3 a) Ma trận chính tắc của là (
4.7 a) Ma trận của theo cơ sở chính tắc là: (
+ nên biểu thức của là: b) Vì với là ma trận chuyển cơ sở từ sang , mà nên
4.9 Ma trận chính tắc là (
4.12 Ma trận chính tắc là (
4.13 a) Gọi ma trận chính tắc của là Khi đó,
Vậy biểu thức của là b) ( )
4.16 Ma trận chính tắc của là (
4.23 a) Các giá trị riêng của là:
Các giá trị riêng của là: b) Các giá trị riêng của là:
Các giá trị riêng của là:
4.24.a) Các giá trị riêng của A là
( ) ( ) Các giá trị riêng của B là
4.25.a) Các giá trị riêng của A là
+ b) Các giá trị riêng của B là
CHƯƠNG V KHÔNG GIAN EUCLIDE, DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG
5.1 Không gian véc tơ Euclid
V là một không gian véc tơ trên trường số thực
Tích vô hướng trên không gian véc tơ thực
Ánh xạ :T V V được gọi là một dạng song tuyến tính nếu T tuyến tính đối với từng biến
Dạng song tuyến tính T trên V được gọi là đối xứng nếu
T x y T y x với mọi x y V, ; gọi là dương nếu
T x x với mọi x V và gọi là xác định nếu
Một dạng song tuyến tính đối xứng, xác định dương trên không gian véc tơ V gọi là một tích vô hướng trên V Kí hiệu
không gian véc tơ V với một tích vô hướng trên V gọi là không gian véc tơ Euclid
5.2 Phương pháp trực chuẩn hóa
Trực giao và trực chuẩn
Các định nghĩa: V là không gian véc tơ Euclid
Hai véc tơ , của V gọi là trực giao nếu , 0
Chuẩn của véc tơ là số ( được kí hiệu )
Cơ sở u u 1 , 2 , , u n của V gọi là một cơ sở trực chuẩn nếu u u i , j ij
(u i trực giao với u j nếu u u i , j 0 khi i j và u i 2 1 với mọi i j, 1, 2, ,n )
Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakopski:
Với hai véc tơ , V có:
Góc của hai véc tơ
Nếu V và 0 k , k được gọi là một hướng( một chiều) trường V Khi đó với hai hướng
, ta xác định số thực
: gọi là số đo góc xác định bởi hai hướng ,
, trực giao thì góc của hai véc tơ , là
Không gian vec tơ Euclid hữu hạn chiều luôn có cơ sở trực chuẩn
Cho e e e 1 , 2 , , e n là một cơ sở tùy ý của không gian véc tơ V
Biến cơ sở e thành một cơ sử trực chuẩn
Bước 1: Chuyển e thành cơ sở trực giao Đặt u' 1 e 1
Vậy u' 1 trực giao với u' 2 Tiếp tục như vậy:
Ta được cơ sở u' , ' , , ' 1 u 2 u n từng cặp trực giao với nhau của V ( Trực giao hóa Gram-Smit)
Bước 2: Chuyển cơ sở u' , ' , , ' 1 u 2 u n thành cơ sở trực chuẩn
Ta được cơ sở u u 1 , 2 , , u n là cơ sở trực chuẩn của V ( Trực chuẩn hóa Gram –Smit)
Không gian véc tơ con trực giao
Các định nghĩa: Cho V là không gian véc tơ Euclid,
Véc tơ V gọi là trực giao với không gian véc tơ con
W của V nếu trực giao với mọi véc tơ của W và kí hiệu
Không gian véc tơ con W và Z của V được gọi là trực giao nếu mọi véc tơ trong không gian W đều trực giao với mọi véc tơ trong không gian Z Ký hiệu cho tính chất này là W ⊥ Z.
Nếu w , w , , w 1 2 k là một cơ sở của W thì véc tơ V trực giao với W khi và chỉ khi trực giao với cơ sở đó, tức là w i 0, i 1, 2, , k
Nếu không gian véc tơ con W trực giao với không gian véc tơ con Z thì Z cũng trực giao với W và Z W 0
Cho V là không gian véc tơ Euclid hữu hạn chiều, W là không gian con của V thì W V , W gọi là phần bù trực giaocủa W
1 W là không gian con của V;
5.3 Dạng song tuyến tính đối xứng và dạng toàn phương
Cho không gian véc tơ V
Giả sử :V V là dạng song tuyến tính
Khi đó được gọi là đối xứng nếu
H , với mọi V gọi là dạng toàn phương trên V ứng với dạng song tuyến tính đối xứng
Cho cơ sở e e 1 , 2 , , e n của không gian véc tơ V và dạng song tuyến tính
Khi đó ma trân A a ij 1 , i j n gọi là ma trận của dạng song tuyến tính đối với cơ sở e e 1 , 2 , , e n
Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương H ứng với là:
Ma trận A cũng được gọi là ma trận của dạng toàn phương H
5.4 Đưa dạng toàn phương về dạng dạng chính tắc Nhận dạng đường và mặt bậc hai
Ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối xứng trên
không gian véc tơ V trong các cơ sở khác nhau
Giả sử là dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian véc tơ V Trong V cho hai cơ sở e e 1 , 2 , , e n và
C c ij là ma trận đổi cơ sở Nếu A là ma trân của trong cơ sở đầu, A' là ma trận của trong cơ sở sau thì 'A C AC t
Biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phương
Nếu trong không gian véc tơ V có cơ sở u u 1 , 2 , , u n mà
thì ma trận A của trong cơ sở đó có
84 dạng chéo Dạng toàn phương H ứng với trong cơ sở trên có biểu thức tọa độ dạng:
Cơ sở đó gọi là cơ sở trực giao Biểu thức tọa độ đó gọi là biểu thức tọa độ dạng chính tắc của H
Đưa biểu thức tọa độ dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp đổi biến trực giao ( hay phương pháp chéo hóa trực giao)
Cho dạng toàn phương H trên không gian Euclid n chiều V
Việc xác định cơ sở trực chuẩn của V giúp H chuyển đổi thành dạng chính tắc trực giao, được gọi là phép chính tắc hóa trực giao H.
Thuật toán chính tắc hóa trực giao được áp dụng cho dạng toàn phương H trong không gian Euclid n chiều V, với A là ma trận đối xứng của H trong một cơ sở trực chuẩn của V Các bước thực hiện thuật toán này sẽ giúp tối ưu hóa và chuẩn hóa cấu trúc hình học của không gian.
Bước 1: Lập đa thức đặc trưng của A: det A I n
Bước 2: Giải phương trình đặc trưng det A I n 0 để tìm các giá trị riêng của A
Bước 3: Đối với mỗi giá trị riêng i, xác định cơ sở của không gian con riêng tương ứng Sử dụng thuật toán Gram-Schmidt để tìm cơ sở trực chuẩn của không gian con đó Tạo ma trận C, chứa các cột tọa độ của các vector trong các cơ sở trực chuẩn Ma trận C sẽ là ma trận trực giao để chéo hóa A, và C AC t sẽ tạo ra ma trận chéo với các phần tử đường chéo là các giá trị riêng tương ứng.
Đưa biểu thức tọa độ dạng toàn phương về dạng chính tắc ( phương pháp Lagrange)
Cho không gian véc tơ V, dạng toàn phương H trong một cơ sở e e 1 , 2 , , e n nào đó có biểu thức tọa độ
( bằng cách đổi cơ sở)
Giả sử tồn tại a ii 0 Không mất tổng quát giả sử a 11 0
Nếu a ii 0 i thì tồn tại ít nhất một số hạng 2a x x ij i j với ij 0. a Không mất tổng quát đặt a 12 0 Đổi cơ sở bằng cách đặt:
Vậy hệ số của x' 1 2 khác 0, a 11 ' 2a 12 0
Tiếp tục làm như trường hợp 1
Ví dụ 5.1 Xét không gian véc tơ C a b , trên , gồm các hàm thực liên tục trên a b , Xét một ánh xạ , :C a b , C a b , xác định bởi
, b f g a f x g x dx với mọi f g , a b , Chứng minh ánh xạ , là một tích vô hướng
Ta chứng minh ánh xạ , là dạng song tuyến tính đối xứng
Ta chứng minh , xác định dương
Hơn nữa do hàm f liên tục trên đoạn a b , nên ta có:
Vậy ánh xạ , là một tích vô hướng Khi đó không gian véc tơ C a b , cùng với tích vô hướng trên là một không gian Euclid
Ví dụ 5.2 Trực chuẩn hóa cơ sở
1 1,1,1 , 2 1,1,0 , 3 1,0,0 trong không gian Euclid 3 với tích vô hướng chính tắc
Bước 1: Chuyển cơ sở 1 1,1,1 , 2 1,1,0 , 3 1,0,0 thành cơ sở trực giao Đặt u'111,1,1
Cơ sở u ' , ' , ' 1 u 2 u 3 là cơ sở trực giao của 3
Bước 2: Chuyển cơ sở u ' , ' , ' 1 u 2 u 3 thành cơ sở trực giao của 3
Vậy là cơ sở trực chuẩn của 3
Ví dụ 5.3 Trong không gian vector Euclid 3 cho dạng toàn phương xác định bởi:
Dùng phương pháp Lagrange đưa biểu thức tọa đó về dạng chính tăc Viết ma trận của mỗi dạng toàn phương trước và sau khi đổi biến
Vậy ma trận của dạng toàn phương ban đầu là:
Vậy ma trận của dạng toàn phương sau khi đổi biến
Ví dụ 5.4 Trên không gian Euclid P 3 cho dạng toàn phương
Hãy đưa H về dạng chính tắc trực giao
Trong cơ sở chính tắc của P 3 ma trặn của H là:
Đa thức đặc trưng của A là: 1 1 1 1 1 2 2
Do đó A có các giá trị riêng là 2, 1
Tại 2 Xét hệ phương trình tìm vector riêng ứng với 2
Ta biến đổi ma trận:
Không gian riêng ứng với giá trị riêng 2là P 2 1,1,1 và cơ sở trực chuẩn là 1 1 1
Khi 1 Xét hệ phương trình tìm vector riêng ứng với 1
Vậy không gian riêng ứng với giá trị riêng 1là
Dùng thuật toán Gram-smit tìm cơ sở trực chuẩn của P 1 Đặt u'10,1, 1
Ta được cơ sở trực giao 0,1, 1 , 1, 1, 1
Trực chuẩn hóa ta được cơ sở trực chuẩn
thì dạng song tuyến tính H có dạng chính tắc trực giao:
Trong đó tạo độ của x ứng với cơ sở là x x 1 ' , 2 ' , x 3 '
BÀI TẬP 5.1 Xét các ánh xạ 2 2 với x y , x y , như sau: a x y, x y 1 1 x y 2 2 ; b x y, 3x y 1 2 3x y 2 1 ; c x y, 3x y 1 2 6x y 2 2 d x y, 2x 1 2 y 1 2 x 2 2 2y 2 2
Trong đó x x x 1, 2 , y y y 1, 2 2 Ánh xạ nào trong chúng là tích vô hướng trên 2
5.2 Chứng minh ánh xạ 2 x 2 x xác định bởi
a 0 a x 1 a x b 2 2 , 0 b x b x 1 2 2 a b 0 0 a b 1 1 a b 2 2 là một tích vô hướng trên 2 x
Chứng minh rằng các công thức sau không phải là tích vô hướng trong không gian véc tơ đã cho: a Công thức \( (a, b)(c, d) = ac - bd \) không phải là tích vô hướng trên \(\mathbb{R}^2\); b Công thức \( A \cdot B = \text{tr}(A + B) \) không phải là tích vô hướng trên không gian ma trận; c Công thức \( f \cdot g = \int_0^1 f'(t) g(t) dt \) không phải là tích vô hướng trên các đa thức.
5.4 Trong không gian Euclid n với tích vô hướng chính tắc: , : n n với x y , x y , xác định như sau:
Tìm độ dài của các vector ,x y , tích vô hướng của ,x y và góc giữa chúng: a x 1, 2,3 ; y 3,0, 4 ; n 3; b x1, 3,0, 2 ; y0, 5, 12, 0 ; n4; c x 4, 2, 1, 2 ; y 1, 3, 5, 1 ; n 4
Trong không gian 4 chiều với tích vô hướng chính tắc, các hệ vector sau đây được chứng minh là trực giao và bổ sung để tạo thành các cơ sở trực giao của không gian: a \( (1, 2, 0, 1), (0, 1, 0, 2) \); b \( (3, 1, 1, 1), (-1, -1, 1, 1) \); c \( (2, 2, 1, 0), (2, 3, 2, 4) \); d \( (1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 1) \).
5.6 Dùng thuật toán Gram-Smit trực chuẩn hóa vector sau đây: a 1, 2,3 , 0, 2,0 , 0,0,3 ; b 1,0,0 , 0,1, 1 , 1,1,1 ; c 1, 2, 2, 1 , 1,1, 5,3 , 3, 2,8, 7
5.7 Trong không gian 2 cho dạng song tuyến tính đối xứng xác định bởi:
Chứng minh 2 , là một không gian vector Euclid Hãy trực chuẩn hóa Gram-smit cơ sở chính tắc của 2 d
5.8 Trong không gian vector Euclid 3 cho các dạng toàn phương a H x x 1 2 5 x 2 2 4 x 3 2 2 x x 1 2 4 x x 1 3 ; b H x x x 1 2 4 x x 1 3 x x 2 3 ;
Sử dụng phương pháp Lagrange, chúng ta có thể chuyển đổi các biểu thức tọa độ về dạng chính tắc Điều này bao gồm việc viết công thức đổi biến và xây dựng ma trận cho từng dạng toàn phương trước và sau khi thực hiện đổi biến.
5.9 Tìm dạng chính tắc của mỗi dạng toàn phương sau: a x 1 2 x 2 2 3x 3 2 4x x 1 2 2x x 1 3 2x x 2 3 ; b x 1 2 2x 2 2 x 3 2 2x x 1 2 4x x 1 3 2x x 2 3 ; c x 1 2 3x 3 2 2x x 1 2 2x x 1 3 6x x 2 3
5.10 Nhận dạng và vẽ các mặt bậc hai sau: a 2x 1 2 2x x 1 3 2x 2 2 2x x 2 3 3x 3 2 16; b 2xy2xz2yz6x6y4z0; c 7x 2 7y 2 10z 2 2xy4xz4yz12x12y60z24; d 2xy6x10y z 310;
PHỤ LỤC: GIỚI THIỆUĐỀ THI
Thời gian làm mỗi đề thi là 60 phút ĐỀ SỐ 1 Câu 1 Tìm dạng lượng giác của số phức z 3 i 15 1 i 20
Câu 2 Tìm a, b để hệ sau có nghiệm duy nhất: {
Câu 3 Tìm tất cả các giá trị của để vec tơ là tổ hợp tuyến tính của các vec tơ (1, 1, -2) ; (2, 7, 1) ; (-3, -8, cos )
Câu 4 Chứng minh ánh xạ f : R 2 P (x) 2 , f : (a, b) a (a b)x2bx2, là ánh xạ tuyến tính
Câu 5 Trong hệ tọa độ Oxyz, chứng minh rằng tập các điểm M sao cho véc tơ OM vuông góc với đường thẳng d :x 1 y 3 z
là một không gian véc tơ Tìm một cơ sở và số chiều của không gian véc tơ đó
Câu 1 Tìm dạng lượng giác của số phức z i 3 1 25 i 1 12
Câu 3 Tìm tất cả các giá trị của để véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ (-1, 1, 3) ; (4, 7, -1) ; (-2, -5, cos )
Câu 4 Chứng minh ánh xạ f : R 2 M 2 là ánh xạ tuyến tính biết a b 0 f :(a, b) b 2a
Trong hệ tọa độ Oxyz, ta cần chứng minh rằng tập hợp các điểm M sao cho véc tơ OM song song với mặt phẳng (P) : 3x - y + 4z - 2 = 0 tạo thành một không gian véc tơ Để làm điều này, ta xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (3, -1, 4) và sử dụng điều kiện song song để tìm các véc tơ OM Không gian véc tơ này có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ độc lập, do đó, cơ sở của không gian véc tơ này là hai véc tơ độc lập và số chiều của nó là 2.
Câu 2 Tìm a, b để hệ sau có nghiệm duy nhất: {
Câu 1 Tìm dạng chính tắc của số phức
Câu 2 Tìm a, b để hệ sau có nghiệm duy nhất: {
Câu 3 Tìm tất cả các giá trị của để véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ (1, 2, -3) ; (-2, -3, 4) ; (3, 1, 1)
Câu 4 Tìm nhân của ánh xạ tuyến tính f :R 3 P (x), 1 biết f :(a, b,c) (a b) (a b c)x.
Câu 5 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : 2x 3y 0 Với mỗi điểm M ta giả sử M’ là hình chiếu vuông góc của M trên d Xét ánh xạ
2 2 f : R R mà f M M ' Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính và tìm nhân của f
Câu 1 Tìm dạng chính tắc của số phức
Câu 2 Tìm giá trị của m để hạng của ma trận sau bé nhất:
Câu 3 Tìm tất cả các giá trị của để véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ (-1, 2, 4) ; (2, 3,- 1) ; (1, 4, 2)
Câu 4 Tìm nhân của ánh xạ tuyến tính f :R 3 M 2 biết b c 0 f : (a, b,c)
Câu 5 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : x4y0 Với mỗi điểm M ta giả sử M’ là hình chiếu vuông góc của M trên d Xét ánh xạ
2 2 f : R R mà f M M ' Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính và tìm nhân của f
97 ĐỀ SỐ 5 Câu 1 Tìm căn bậc bốn của số phức √
Câu 2 Tìm a, b để hệ sau có nghiệm duy nhất: {
Câu 3 Tìm tất cả các giá trị của , để hệ véc tơ sau lập thành một cơ sở trong không gian : (1,- 2, 4, 1) ; (3, -5, 1, 0) ; (2, -5, -10,-1) ;
Câu 4 Tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính f :R 3 P (x), 2 biết f : (a, b,c) c(bc)xbx 2
Câu 5 Trong mặt phẳng Oxy, với mỗi điểm M, gọi M’ là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 60 độ Xét ánh xạ f : R 2 R , 2 f M M '
Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính Tìm ma trận chính tắc của f.
