“ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHCHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀTÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC” 10600767

Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống hóa chi tiết các vấn đề lý thuyết về số phức.

Xây dựng một hệ thống bài toán và bài tập ứng dụng sẽ giúp người học nhận thấy tính thiết thực của số phức trong việc giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các bài toán giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có liên quan đến số phức.

Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc giáo trình, tài liệu tham khảo để hệ thống hóa, phân dạng các bài toán.

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm là việc tích lũy và nghiên cứu sâu sắc những kinh nghiệm từ bản thân, thầy cô, bạn bè và anh chị khóa trước Điều này giúp nâng cao hiểu biết và kỹ năng, từ đó phát triển bản thân một cách hiệu quả hơn.

- Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia: hỏi trực tiếp thầy cô hướng dẫn các kiến thức có liên quan đến đề tài.

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC

Dạng đại số của số phức

- Số phức (dạng đại số) có dạng z   a bi với a b;  .

 agọi là phần thực của số phức z, kí hiệu là Re(z)

 bgọi là phần ảo của số phức z, kí hiệu là Im(z)

 ilà đơn vị ảo của số phức z, vớii 2 = –1.

- Tập hợp các số phức được kí hiệu là , có nghĩa là:

- Mọi số thực a cũng được xem là một số phức a  0 i , tức là   .

1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức:

Mỗi số phức z = a + bi tương ứng với một điểm M(a; b) hoặc một véc tơ u = (a; b) trong mặt phẳng (Oxy) Có mối quan hệ 1-1 giữa tập hợp các số phức và các điểm trong mặt phẳng (Oxy), cũng như với không gian véc tơ hai chiều Vì lý do này, mặt phẳng (Oxy) được gọi là mặt phẳng phức.

Các phép toán đối với số phức

Cho hai số phức z 1  a 1  b i 1 và z 2  a 2  b i 2 ,  a b a b 1; ; ;1 2 2   .

1.2.1 Phép cộng hai số phức:

Tính chất của phép cộng:

(3) Tồn tại phần tử không:

(4) Mọi số phức z   a bi đều tồn tại số đối      z a bi  và

1.2.2 Phép nhân hai số phức:

 Tính chất của phép nhân:

(3) Tồn tại phần tử đơn vị:

(4) Mọi số phức z  a bi  0 đều tồn tại số phức nghịch đảo, kí hiệu là: z 1 1 z 2 2 a 2 2 b 2 i z z a b a b

1.2.3 Phép chia hai số phức:

1.2.4 Căn bậc hai của số phức:

Số phức w  x yi là căn bậc hai của số phức z   a bi khi và chỉ khi w 2  z 

1.2.5 Số phức liên hợp: a) Định nghĩa: Cho số phức z   a bi với a,b   Số phức z  a bi được gọi là số phức liên hợp của z. b) Định lý:

Dạng lượng giác của số phức

Với mỗi số phức z   a bi với a,b   luôn luôn được biểu diễn dưới dạng: z  r cos    i sin  

 Với r  a 2 b 2 được gọi là môđun của số phức z , kí hiệu là z

Góc được xác định bởi a = r cos(φ) và b = r sin(φ) được gọi là argument của số phức z, ký hiệu là Arg(z) Các argument của số phức z khác không được xác định khác nhau bởi một bội nguyên của 2π.

Khi đó z  r cos    i sin  được gọi là dạng lượng giác của số phức z.

1.3.2 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.

Cho hai số phức z 1 r cos 1   1 i sin 1  ,z 2 r cos 2   2 i sin 2  Khi đó:

2 2 cos( ) sin( ) z r z  r    i   . Đặc biệt: z 1     cos      i sin        ; z  0

  , n  N *  Đặc biệt: cosisin  n cosnisinn.

Dạng mũ của số phức

Cho số phức z  r cos    i sin   (1).

Sử dụng công thức Euler ta có: e i   cos  i sin 

Khi đó (1) trở thành: z  re i  được gọi là dạng mũ của số phức z.

Phép khai căn số phức

1.5.1 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.

Số phức z r(cos isin ) , (r > 0) có hai căn bậc hai là:

1.5.2 Căn bậc n của số phức:

Số phức z r(cos isin ) (r > 0) cóncăn bậcnlà:

ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Sử dụng căn bậc n của số phức để giải hệ phương trình

Cho số phức z  r cosisin ;  r  0  Khi đó các căn bậc n của số phức z là:

 Các căn bậc hai của số phức z  r cosisin ;  r  0  là:

 Các căn bậc ba của số phức z  r cosisin ;  r  0  là:

Một phương trình nghiệm phức f z( ) 0 với z  x yi x y  ;  ta có thể biến đổi về dạng:

Sử dụng các hằng đẳng thức trong số phức để giải hệ phương trình

phương trình: Đặt z  x yi x y  ;   và sử dụng các hằng đẳng thức sau:

( ) z x yi z x y xyi z x xy x y y i z x x y y x y xy i x yi z x yi x y i i x yi xi y z x y x y

Bằng cách biến đổi các phương trình trong hệ, ta có thể nhân một trong hai phương trình với i và sau đó cộng hoặc trừ hợp lý các phương trình với nhau, từ đó thu được các nhân tử z1, z2, z3,

Một phương trình nghiệm phức f z( ) 0 với z  x yi x y  ;  ta có thể biến đổi về dạng:

 để tìm ra các cặp nghiệm   x y; của hệ phương trình ban đầu.

Bài toán 1:Giải hệ phương trình:

Khi gặp bài toán này, nhiều người thường nhầm lẫn rằng hệ phương trình là hệ đối xứng loại 2 Nếu nhận diện hệ có vế trái bậc 3, chúng ta sẽ gặp khó khăn vì phương trình bậc 3 không có nghiệm hữu tỉ Đặc biệt, vế phải của hệ phương trình có giá trị 1, 1, trong khi vế trái là bậc 3 Để giải quyết vấn đề, ta nhân phương trình (2) với i và sau đó cộng hai phương trình lại, bắt đầu từ số phức 1 + i.

Dạng lượng giác của số phức z   1 i là:

    . Vậy ta tìm được các căn bậc ba của số phức z là:

Từ đây, ta đã tìm được nghiệm của hệ phương trình

Bài toán 2: (Tạp chí Kvant) Giải hệ phương trình:

Cách 1: Sử dụng phương pháp giải đại số: Điều kiện: x 2 y 2  0.

Vì x  0;y  0 không là nghiệm của hệ trên nên ta viết lại hệ dưới dạng:

Khi đó lấy phương trình (3) + (4) ta thu được kết quả: 2xy 1 3y

  vào phương trình (2) ta được: 2

Vậy ta tìm được nghiệm của hệ ban đầu là 2

Cách 2: Sử dụng phương pháp số phức hóa: Điều kiện: x 2  y 2  0.

Nhận thấy x 2  y 2 là bình phương mô đun số phức x yi Đặt

0 z  x iy  , nhân phương trình thứ hai với i và cộng vế theo vế với phương trình thứ nhất ta được:

3 3 0 (do 0). x y x y i x yi x y x yi i x yi x yi x y i x yi x yi x y z i z z z i z z z z zz i z

Ta có     3 4 i   1 2  i  2 Do đó phương trình trên có hai nghiệm là: 1 2 2

Bài toán 3:Xét hai số phức 1 1 2

Hãy lập một hệ phương trình từ hai số phức z z 1 ; 2

Khi đó z z 1 ; 2 là nghiệm của phương trình bậc hai:

Giả sử z  u vi u v  ; , phương trình được viết lại thành:

           Bằng cách đặt u  x v ;  y ta được hệ phương trình:

(i) Đối với bài toán 1, ta có thể thấy mối liên hệ giữa số phức với hệ phương trình từ đó sáng tạo thêm một phương pháp giải hệ mới.

Việc ứng dụng số phức trong bài toán 2 mang lại sự thuận tiện rõ rệt khi giải hệ phương trình, đồng thời cho ra lời giải gọn gàng hơn so với phương pháp giải đại số truyền thống.

Đối với bài toán 3, chúng ta có thể xác định dạng đặc trưng của hệ, từ đó giải quyết một loạt các bài toán tương tự bằng cách sử dụng số phức, mang lại sự đơn giản và hiệu quả hơn.

Khi nghiệm của hệ phương trình là nghiệm lẻ, việc rút x theo y (hoặc y theo x) để đưa về một phương trình bậc cao không hiệu quả bằng việc sử dụng số phức z = x + yi Phương pháp này cho phép chúng ta tìm được nghiệm của z và từ đó suy ra nghiệm (x, y) của hệ phương trình đã cho Qua ba bài toán đã giải, chúng ta có thể phát triển một phương pháp mới để giải quyết các bài toán tương tự trong tương lai.

Bài toán 4:Giải hệ phương trình:

Nhân hai vế của phương trình (2) với i rồi cộng với (1) ta được:

5 2 2 x xy x y y i i x xy x y y i i x x yi xy i y i i x yi i

      Đến đây, ta thấy rằng x yi là một căn bậc ba của số phức 5 1 3

Xét số phức 5 1 3 5 cos sin

Khi đó ta tìm được các căn bậc ba của số phức z là:

Do vậy, nghiệm của hệ phương trình là:

Bài toán 5:(Korean Mathematical Olympiad) Giải hệ phương trình:

Để giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 4, ta nhận thấy vế trái của hệ phương trình và vế phải có các hệ số 3,1 Bằng cách nhân cả hai vế của phương trình thứ hai trong hệ với 4, chúng ta có thể tìm ra lời giải cho bài toán này.

Ta tìm số phức w   x yi x y , ,     sao cho w 4  3  i

Như vậy x y; là phần thực và phần ảo của số phức w.

Mặt khác w là căn bậc bốn của số phức: 3 2 cos sin

Hệ phương trình có 4 nghiệm là:

Bài toán 6:Giải hệ phương trình:

Cách 1: Sử dụng phương pháp giải đại số:

Hệ phương trình đã cho được viết về dạng:    

Trường hợp 1:Nếu 2 ( xy x  1) 0    x 0 hoặc y  0 hoặc x  1.

 Nếu x  0 hệ phương trình trở thành:

 Nếu y  0 hệ phương trình trở thành:

 Nếu x  1 hệ phương trình trở thành: 2  

Trường hợp 2:Nếu 2 (xy x 1) 0 , khi đó chia vế theo vế hai phương trình trong hệ ta được:

   (loại vì không thỏa mãn điều kiện 2 ( xy x  1) 0  ).

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:    x y;  1;0 ;(1;0);(1;1)

Cách 2: Sử dụng phương pháp số phức hóa:

Bằng cách đặt z  x yi x y  ;  sẽ cho ta 2 kết quả sau:

Viết lại hệ phương trình đã cho dưới dạng:

Cộng vế theo vế của hai phương trình trong hệ ta được:

(1 ) 1 0 x xy x x xy y i y x y y x xy y x xy x y y i x y xyi xy i x y x i y x xy x y y i i x y xyi x yi i z i z z i

Vậy hệ phương trình có nghiệm    x y;  1;0 ; 1;0 ; 1;1    .

Bài toán 7:Giải hệ phương trình:

Nhận thấy rằng x  0;y  0 là một nghiệm của hệ phương trình. Xét x 2  y 2  0, hệ phương trình được viết lại dưới dạng:

Khi đó, viết lại hệ phương trình dưới dạng:

Khi đó phương trình (1) trở thành:

Giải phương trình trên ta thu được hai nghiệm là

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là         x y;  0;0 ; 2;1 ; 4;2

Bài toán 8:Giải hệ phương trình:

Nhân phương trình đầu với 2i rồi cộng vế theo vế hai phương trình trong hệ ta được phương trình sau:

Bằng cách đặt z  x yi x y  ; thì  * trở thành:

2 2 5 2 21 4 0 z   i z   i  Giải phương trình bậc hai trên ta thu được hai số phức:

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:

Bài toán 9:Giải hệ phương trình:

Từ hệ phương trình ta có:

          Đặt z   x yi x y  ;   ta được phương trình:

2 (1 ) 2 2 0. z  i z   i  Giải phương trình trên ta có: z      2 z 1 i

Từ đó suy ra hệ phương trình có nghiệm:

Bài toán 10:Giải hệ phương trình:

Từ hệ phương trình ta có:

 Đặt z   x yi x y  ;   ta được phương trình: 78 i 20 15 z i

Ta có  (169 )i 2 nên phương trình có nghiệm:

2 3 18 12 z   i z   i.Vậy hệ phương trình có nghiệm   2;3 ; 18;12.

Bài toán 11.(Đề thi VMO 1996) Giải hệ phương trình:

Trước hết, ta nhận thấy điều kiện cho x y; là x 0,y 0. Đặt x   u 0, y   v 0.

Hệ phương trình đã cho trở thành: 2 2

U 2 + v 2 là bình phương mô đun của số phức u + vi Đặt z = u + iv, khi nhân phương trình với i và cộng vế theo vế với phương trình đầu tiên, ta sẽ có những kết quả quan trọng trong việc phân tích số phức.

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm:

Bài toán 12: (Đề thi VMO 2006)Giải hệ phương trình:

Trước hết, ta nhận thấy điều kiện cho x y; là x 0,y 0. Đặt u  3 x  0; v  y  0.

Hệ phương trình trở thành: 2 2

U 2 + v 2 là bình phương mô đun của số phức u + vi Đặt z = u + iv, nếu nhân phương trình với i và cộng vế theo vế với phương trình đầu tiên, ta sẽ có kết quả mới.

Xét số phức z  u vi u (  0;v  0) Khi đó phương trình (3) được viết lại dưới dạng:

Giải phương trình (4) ta thu được hai nghiệm:

Vậy hệ đã cho có nghiệm 4 2 3

Bài toán 13: Giải hệ phương trình:

Bài toán 14: Giải hệ phương trình:

Bài toán 15: Giải hệ phương trình: 2 2

Bài toán 16: Giải hệ phương trình:

ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC

Phương pháp chung

Để áp dụng số phức vào các bất đẳng thức, chúng ta cần chú ý đến mối quan hệ giữa các số thực Việc sử dụng mođun của số phức là rất quan trọng trong quá trình này.

Cho số phức z  a bi thì mođun của số phức z là z  a 2 b 2

Cho số phức z 1 a 1 b i z 1 ; 2  a 2 b i 2 thì mođun của các số phức z z 1 ; 2 lần lượt là: z 1  a 1 2 b z 1 2 ; 2  a 2 2 b 2 2

Tổng quát : Cho n số phức z z 1 ; ; ; 2 z n ta luôn có bất đẳng thức:

1 2 n 1 2 n z z  z  z  z   z Trong mặt phẳng phức, nếu A z     1 ;B z 2 thì AB  z 2 z 1 do đó AB 2  z 2 z 1 2  z 2 z 1   z 2 z 1  z 2z 1   z 2 z 1 

Nếu O là gốc tọa độ thì OA  z OB 1 ;  z 2

Một số bài toán

Bài toán 17:Cho các số thực a b c, ,  0 Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ab b  b bc  c  c ca  a  a b c Lời giải:

Cách 1: Lời giải thường gặp

Tương tự với a b c, ,  0, ta có:

Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:

   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a   b c

Cách 2: Lời giải có ứng dụng số phức:

      Áp dụng bất đẳng thức | z 1 |  | z 2 |  | z 3 |  | z 1  z 2  z 3 | ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi a   b c

Trong các bài toán bất đẳng thức, không tồn tại phương pháp chung cho tất cả, gây khó khăn cho người giải Để chứng minh bất đẳng thức, cần áp dụng các kỹ thuật và chiến lược cụ thể cho từng trường hợp.

4 a b a  ab b    a b  không phải dễ dàng ta có thể suy nghĩ được.

(ii)Với cách thứ 2, chúng ta đã sử dụng kiến thức số phức để giải Lời giải tự nhiên hơn và dễ dàng hơn

Bài toán 18:Cho a b c, , là các số thực dương thoả mãn a  b c 3 Chứng minh rằng:

Cách 1: Lời giải thường gặp

Cộng vế theo vế của (1); (2); (3) ta được:

Cách 2: Lời giải có ứng dụng số phức:

Xét biểu thức S  a 2  ab b  2  b 2  bc  c 2  c 2  ca  a 2 ta luôn có:

4 4 z z z  a  b c  a b c  a  b c Áp dụng bất đẳng thức | z 1 |  | z 2 |  | z 3 |  | z 1  z 2  z 3 | ta có:

S  a  b c  S  Đẳng thức xảy ra khi a   b c 1.

Bài toán 19:Cho các số thực a b c, ,  0 thoả mãn ab bc   ca  abc Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 3 ab bc ca

Từ giả thiết, ta có: ab bc   ca  abc 1 1 1 1 a b c

   Sau đó ta chọn các số phức thích hợp z z z 1 ; ; 2 3 và áp dụng bất đẳng thức:

Từ đó ta có lời giải sau: Đặt u 1 , v 1 ; w 1 a b c

Ta phải chứng minh u 2  2 w 2  v 2  2 u 2  w 2  2 v 2  3 (1) Xét các số phức z 1   u w 2 ; i z 2   v u 2 ; i z 3   w v 2 i

Ta có: z 1 z 2 z 3 (u  v w) ( u  v w) 2i  1 2i. Áp dụng |z 1 ||z 2 ||z 3 ||z 1 z 2 z 3 | cho ba số phức z z z 1 ; ; 2 3 ta có:

Vậy (1) luôn đúng Ta được điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 1 3 u  v w  3    a b c

Bài toán 20: (Đề thi Olympic 30-4).Chứng minh với mọi a, b ta luôn có:

2 2 2 2 z  a   b i  z  a   b  Áp dụng bất đẳng thức: | z 1 |  | z 2 |  | z 1  z 2 | ta có:

1 2 1 2 2 2 2 z  z  z z   i  Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi 2 a  b 2

Bài toán 21: Chứng minh rằng 2 cos x  sin x  cos x  1.

Lời giải: Để vận dụng số phức chứng minh bất đẳng thức trên, chúng ta biến đổi:

2 cosx  sinx cosx  cos x cos x  (sinx cos )x Đặt z 1  cosx icos ;x z 2  sinx cosx.

2 2 cos cos cos cos 2 cos sin cos (sin cos ) z x i x x x x z x x x x

2 cos sin cos sin cos sin cos 1. z z x x x z z x i x x x

       Áp dụng bất đẳng thức | z 1 |  | z 2 | |  z 1  z 2 | ta có:

2 cosx  sinx cosx 1. Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi cos 0 , x   x 2 k k .

Bài toán 22:Cho các số a b, thực tuỳ ý Chứng minh rằng:

  Áp dụng bất đẳng thức: | z 1 |  | z 2 |  | z 3 |  | z 1  z 2  z 3 | ta có:

         Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi 18 a  13 và 6 b  5

Bài toán 23:Cho các số thực dương x y z , , thoả mãn x   y z 1.

         Áp dụng bất đẳng thức |z 1 ||z 2 ||z 3 |  |z 1 z 2 z 3 | cho ba số phức z z z 1 , , 2 3 ta có:

              Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương x y z, , ta có:

Từ những điều trên ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 x   y z 3.

Nhận xét.Mấu chốt của bài toán ở đây chính là đưa được ra nhận xét:

            Nhờ phép đặt các số phức:

      , ta đã đưa được về nhận xét đó.

Bài toán 24:Cho x y; là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Cách 1: Lời giải thường gặp:

Ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức sau:

(1) a b c d  ac bd (luôn đúng theo bất đẳng thức

Bunhiacopxki). Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi ad bc  0. Áp dụng (1) ta có:

          Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi 1    x x 1 x 0.

 Nếu y 2 khi đó f y ( )  2 1  y 2   2 y ta có:.

Lập bảng biến thiên của hàm số f y ( ) trên (  ;2) ta thấy:

 Nếu y 2 khi đó f y ( )  2 1  y 2  2 1 2  2   2 3. Như vậy cả 2 trường hợp trên ta luôn có A   2 3, x y,  .

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2  3 khi  ; 0; 1 x y   3.

Cách 2: Lời giải có sử dụng số phức

Suy ra z 1  (1x) 2 y 2 ; z 2  (1x) 2 y 2 Áp dụng bất đẳng thức | z 1 |  | z 2 | |  z 1  z 2 | ta có:

 Nếu y 2 khi đó f y( ) 2 1y 2  2 y ta có:

Lập bảng biến thiên của hàm số f y( ) trên (;2) ta thấy:

Như vậy cả 2 trường hợp trên ta luôn có A   2 3, x y,  .

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 3 khi  ; 0; 1 x y   3

Nhận xét: Với lời giải thường gặp, ta phải sử dụng thêm bất đẳng thức phụ

Để chứng minh bất đẳng thức \( a + b + c + d \geq a + c + b + d \), chúng ta đã áp dụng kiến thức về số phức Việc này giúp chúng ta rút gọn và đơn giản hóa biểu thức thành \( A \geq 2 + y^2 - y^2 \), mang lại một cách tiếp cận ngắn gọn và hiệu quả hơn so với phương pháp ban đầu.

Bài toán 25:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P  x  y  y  x trong đó x y, là các số dương thay đổi thoả mãn 1 1 2 x  y

Xét các số phức z 1  x 3  3 , y i z 2 2  y 3  3 x i 2 Áp dụng bất đẳng thức |z 1 ||z 2 ||z 1 z 2 | ta có:

Vậy Min P =4 đạt được khi x   y z 1.

Bài toán 26:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P  x   y   z  trong đó x y z, , là các số dương thoả mãn xyz  8.

Lời giải: Đặt z 1  log 2 x  i ; z 2  log 2 y  i ; z 3  log 2 z  2 i

Khi đó áp dụng bất đẳng thức | | | | | | z 1  z 2  z 3  |z 1  z 2 z 3 | ta có:

Như vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 khi chỉ khi:

Bài toán 27:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ta có P  (x 1) 2  1 (x 1) 2 1 khi đó: Đặt z 1 (x  1) i; z 2  (1 x)i.

Pz z  x   x   z z   i  Như vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 2 khi chỉ khi x  0.

Bài toán 28:Cho cặp số   x y; thỏa mãn 3x 4y  26 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Khi đó z 1  ( x  2) 2  ( y  1) ; 2 z 2  ( x  10) 2  ( y  5) 2 Áp dụng bất đẳng thức:|z 1 ||z 2 |  |z 1 z 2 | ta được:

P  z  z   i    ; Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi x 2 5 y   y 1 10  x 

Từ (1) và (3) ta có hệ 3 4 26

   Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 10 khi và chỉ khi     x y;  6;2

Bài toán 29:Cho cặp số   x y; thỏa mãn điều kiện:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Khi đó z 1  (x8) 2 (y 6) ; 2 z 2  (x 2) 2 (y 10) 2 Áp dụng bất đẳng thức z 1  z 2  z 1  z 2

Như vậy từ (2) ta có P  z 1 +z 2  104i  2 29.

Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 29. Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi: 8x10y   x 2   y6.

Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình:

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài toán 30:Cho các số thực dươnga b c, , thoả mãn a    b c abc

Bài toán 31:Cho các số thực dươnga b c, , thoả mãn ab bc   ca  1.

Bài toán 32:Cho các số thực a b, Chứng minh rằng:

Bài toán 33:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài toán 34:Cho các số thực x y z , , Chứng minh rằng:

Bài toán 35:Cho các số thực dươnga b c, , Chứng minh rằng:

Đề tài “Ứng dụng số phức để giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức” đã đạt được mục tiêu đề ra, bao gồm việc giải quyết hiệu quả các vấn đề liên quan đến hệ phương trình, chứng minh các bất đẳng thức và xác định giá trị nhỏ nhất của các biểu thức toán học.

1 Củng cố và hệ thống lại một số kiến thức về số phức.

2 Tìm hiểu mối liên hệ giữa các số phức và hệ phương trình, áp dụng số phức vào giải một số dạng bài toán hệ phương trình.

3 Tìm hiểu mối liên hệ giữa số phức và bất đẳng thức, áp dụng số phức vào chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Đề tài đã phát hiện được thế mạnh của số phức trong việc giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.So với phương pháp thường gặp thì phương pháp ứng dụng số phức mà đề tài đưa ra đạt những ưu điểm:

- Có định hướng nhận dạng bài toán tìm cách giải và quy trình giải rõ ràng.

- Các bài toán giải một cách tự nhiên, phù hợp với tư duy toán học.

- Giải được lớp bài toán rộng hơn, hơn nữa nó áp dụng cho một số lớp bài toán mới.

Đề tài này nhằm gây hứng thú học tập cho học sinh, giúp các em tự tin hơn khi giải quyết các dạng toán Nội dung bao gồm 25 bài toán, trong đó có 12 bài toán hệ phương trình và 13 bài toán liên quan đến chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Ngoài ra, đề tài còn cung cấp 10 bài tập đề nghị, bao gồm 4 bài toán giải hệ phương trình và 6 bài toán chứng minh bất đẳng thức cùng tìm giá trị nhỏ nhất Tài liệu này rất hữu ích cho học sinh trung học phổ thông, sinh viên và giáo viên trong quá trình học tập và giảng dạy.

Trong khuôn khổ luận văn tốt nghiệp và do hạn chế về thời gian, đề tài chỉ đạt được một mức độ nhất định Chúng tôi hy vọng nội dung của đề tài sẽ được tiếp tục hoàn thiện và mở rộng trong tương lai.