Đại số Lie
Trong lý thuyết đại số, một K-đại số Lie được định nghĩa là một không gian vector L trên trường K, trong đó L được trang bị thêm một phép nhân gọi là tích Lie (hay móc Lie).
[., ] : L×L → L (x, y) 7→ [x, y] được gọi là tích Lie của x và y nếu thỏa mãn các tiên đề sau: i) (L 1 ) : [., ] song tuyến tính ii) (L 2 ) : [., ] phản xứng: [x, x] = 0,∀x∈ L iii) (L3) : [., ] thỏa mãn đồng nhất Jacobi:
Trong bất kỳ không gian vector K nào, đại số Lie L có thể được trang bị tích Lie tầm thường [x, y] = 0 cho mọi x, y thuộc L, từ đó tạo thành một đại số Lie giao hoán Điều này có nghĩa là mọi phần tử trong L sẽ giao hoán với nhau, dẫn đến việc tổng quát hóa khái niệm đại số Lie trong bối cảnh không gian vector.
- Trên cùng một K− KGVT L ta có thể trang bị nhiều hay vô số đại số Lie khác nhau khi thay đổi các tích Lie khác nhau.
- Mỗi đại số Lie là mỗi KGVT nên số chiều của đại số Lie là số chiều của KGVT.
Cho L là một không gian hữu hạn chiều trên trường K Giả sử số chiều của
L là n Cấu trúc đại số Lie trên L có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp vector thuộc cơ sở {e 1 , e 2 , , e n } đã chọn trước trên L như sau:
Các hệ số c k ij ,1 ≤ i < j ≤ n được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie L trong cơ sở được chọn.
Không gian R^n với móc Lie tầm thường [x, y] ≡ 0 là một đại số Lie, được gọi là đại số Lie giao hoán Không gian R^3 với tích có hướng thông thường cũng là một đại số Lie thực 3 chiều Đối với đại số kết hợp ℑ trên trường C, định nghĩa [x, y] = xy−yx cho mọi cặp (x, y) ∈ ℑ biến ℑ thành một đại số Lie Cụ thể, đại số Lie Mat(n,C) của các ma trận vuông cấp n trên C cũng là một đại số Lie với móc Lie [A, B] = AB −BA cho mọi A, B ∈ Mat(n,C).
Phương trình đạo hàm riêng cấp 1
Phương trình đạo hàm riêng (PTĐHR) được định nghĩa là một mối quan hệ giữa các biến độc lập x1, x2, , xn và các hàm u1(x1, x2, , xn), , uN(x1, x2, , xn) cùng với các đạo hàm riêng của các hàm này.
Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng của các ẩn hàm u1, u2, , uN đối với các biến độc lập: x 1 , x 2 , , xn là
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình Xn i=1 ki = k, với F là một hàm nhiều biến Định nghĩa cấp của phương trình (1.1) được xác định là cấp cao nhất của các đạo hàm có trong phương trình này Nếu một phương trình không chứa các đạo hàm riêng, thì nó không được coi là một phương trình đạo hàm riêng.
Phương trình đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của ẩn hàm u đối với hai biến x, y có dạng:
Phương trình (1.1) được coi là tuyến tính nếu hàm F là một hàm tuyến tính liên quan đến các hàm u1, u2, , uN và các đạo hàm riêng của chúng Ngược lại, nếu F không thỏa mãn điều kiện này, phương trình sẽ được gọi là phi tuyến Trong trường hợp F chỉ tuyến tính đối với các đạo hàm riêng cấp cao nhất, phương trình (1.1) sẽ được phân loại là phương trình á tuyến tính.
∂y + x 2 +y 2 u= 0, là phương trình tuyến tính cấp hai hai của u đối với hai biến x, y. x∂ 2 u
Phương trình á tuyến tính ∂y 2 + (x+y)u 2 = 0 có hệ nghiệm (u1, u2, , uN) được định nghĩa là nghiệm của phương trình nếu khi thay thế hệ này vào phương trình, ta nhận được một đồng nhất thức của các biến độc lập.
Ví dụ 1.4. u 2 xx + (uxx−2)uxy −u 2 yy = 0 có nghiệm là u(x, y) =x 2 +y 2 Định nghĩa 1.6 Phương trình tuyến tính cấp một của ẩn hàm u đối với x1, x2, , xn là phương trình có dạng:
= f (x 1 , x 2 , , xn, u) (1.4) trong đó Xi, i = 1, n, và f là các hàm của x 1 , x 2 , , xn và u.
= 0 (1.5) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất.
Phương trình tuyến tính thuần nhất
Xét phương trình tuyến tính thuần nhất (1.5), giả sử các hàm Xi, với i = 1 đến n, là các hàm liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của điểm X0 = (x01, x02, , x0n), đồng thời không đồng thời bằng không tại X0.
Rõ ràng, C (với C là hằng số) là nghiệm hiển nhiên của phương trình (1.5) Chúng ta sẽ chứng minh rằng, dưới những giả thiết thích hợp, phương trình (1.5) có vô số nghiệm không tầm thường.
Tương ứng với (1.5), ta xét hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng: dx1
(1.7) gọi là hệ đối xứng tương ứng với (1.5).
Nếu với giả thiết (1.6) thì trong một lân cận nào đó của X 0 hệ (1.7) tương đương với một hệ dạng chuẩn tắc sau đây:
Hàm ϕ(x₁, x₂, , xₙ) được gọi là tích phân của hệ (1.7) hoặc (1.8) nếu nó khả vi liên tục và không đồng nhất bằng hằng số, và trở thành đồng nhất bằng hằng số khi thay thế x₁, x₂, , xₙ₋₁ bằng bất kỳ nghiệm riêng nào của (1.7) hoặc (1.8).
Giả sử ϕ(x1, x2, , xn) là tích phân của (1.8) và (x1, x2, , xn), trong đó x i = x i (x n ), i = 1, n −1 là một nghiệm riêng của (1.7) Khi đó ta có: dϕ = C, C là hằng số hay dϕXn i=1
X i = 0 (1.9) Định lý 1.1 1 Nếu hàm số ϕ(x 1 , x 2 , , xn) là tích phân khả vi liên tục của hệ (1.7) thì u = ϕ(x 1 , x 2 , , xn) là nghiệm của phương trình (1.5).
2 Ngược lại, nếu u= ϕ(x 1 , x 2 , , xn) khác hằng số là nghiệm của (1.5) thì ϕ(x 1 , x 2 , , xn) là tích phân của (1.7).
1 Theo giả thiết và (1.9) ta suy ra u =ϕ(x 1 , x 2 , , x n ) là nghiệm của (1.5).
2 Giả sử u= ϕ(x1, x2, , xn) là nghiệm của (1.5) Ta có: dϕ Xn i=1
Với xi = xi(xn), i = 1, n, thỏa mãn (1.8) nên dϕ n − 1
X i = 0 theo định nghĩa, ϕ(x 1 , x 2 , , xn) chính là tích phân của (1.7).
Việc tìm nghiệm của phương trình (1.5) tương đương với việc tính phân của hệ (1.7) Dưới giả thiết (1.6), hệ (1.7) tương đương với hệ (1.8) trong một lân cận nào đó X₀ = x₀₁, x₀₂, , x₀ₙ Trong lân cận này, hệ (1.8) có (n−1) tích phân độc lập ϕ₁(x₁, x₂, , xₙ), ϕ₂(x₁, x₂, , xₙ), , ϕₙ₋₁(x₁, x₂, , xₙ).
Khi đó, u= Φ(ϕ 1 , ϕ 2 , , ϕ n − 1 ) (1.10) với Φ là một hàm khả vi liên tục bất kì, sẽ là một tích phân của (1.8) Vậy u = Φ(ϕ 1 , ϕ 2 , , ϕ n − 1 ) là nghiệm của (1.5).
Ví dụ 1.5 Xét phương trình x∂u
Hệ đối xứng tương ứng dx x = dy y = dz z (1.12)
Dễ thấy ϕ1(x, y) = y x, ϕ2(x, y) = z x; (x 6= 0) là hai tích phân độc lập của hệ (1.12) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.11) là u = Φy x, z x
, với Φ là một hàm khả vi liên tục bất kì.
Phương trình tuyến tính không thuần nhất
Giả sử rằng các hàm Xi, 1, n và f là liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một trong một lân cận của điểm Xe 0 = (x 0 1, x 0 2, , x 0 n, u 0), đồng thời điều kiện Xn(Xe 0) không bằng 0 Chúng ta sẽ chứng minh rằng nghiệm của phương trình (1.4) có dạng ẩn.
V (x 1 , x 2 , , xn, u) = 0 (1.13) trong đó V là hàm khả vi liên tục và thỏa mãn điều kiện: ∂V
Thật vậy, theo định lí hàm ẩn, hàm u xác định từ (1.13) khả vi và:
Như vậy V (x 1 , x 2 , , xn, u) = 0là nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất (1.14).
Gọi ϕ 1 (x 1 , x 2 , , x n ), ϕ 2 (x 1 , x 2 , , x n ), , ϕ n − 1 (x 1 , x 2 , , x n ) là n tích phân độc lập của hệ đối xứng tương ứng với (1.14): dx1
= du f Khi đó nghiệm tổng quát (1.14) có dạng:
V = Φ(ϕ 1 , ϕ 2 , , ϕ n ). trong đó Φ là một hàm khả vi liên tục bất kì Vậy nghiệm của (1.4) có dạng
Nghiệm của bài toán Cauchy
Xét bài toán Cauchy sau đây:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một hàm khả vi liên tục Φ với các biến x1, x2, , xn-1, và các biến Xi (i = 1, n) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong lân cận của điểm X0 = (x01, x02, , x0n) Cụ thể, công thức (1.15) mô tả mối quan hệ giữa các biến này và hàm Φ, cho thấy sự liên kết chặt chẽ giữa các yếu tố trong nghiên cứu toán học.
Gọi ϕ1, ϕ2, , ϕn − 1 là n− 1 tích phân độc lập của hệ vi phân (1.7) tương ứng với (1.5). Đặt
Giải từ hệ này ta được các xi, i = 1, n−1, trong lân cận của điểm X 0 :
Hàm số u = ϕ(ψ1(ϕ1, , ϕn − 1), , ψn − 1(ϕ1, , ϕn − 1)) là nghiệm của bài toán (1.5) - (1.15).
Thật vậy, theo (1.10), u thỏa mãn phương trình (1.5) Mặt khác, u| x n =x 0 n = ϕ(ψ 1 (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ n − 1 ), , ψ n − 1 (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ n − 1 )) = ϕ(x 1 , x n − 1 )
Ví dụ 1.6 Tìm nghiệm của bài toán Cauchy sau đây:
Hệ vi phân tương ứng: dx x = dy y+x 2 = dz z , có hai tích phân độc lập ϕ 1 (x, y) = y−x 2 x , ϕ 2 (x, z) = z x Thế x = 2 vào các tích phân độc lập và xét hệ:
Suy ra ϕ 2 = ϕ 1 , tức là: y−x 2 x = z x.Vậy z = y−x 2 là nghiệm của bài toán trên.
SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE
CHO BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ĐẠI
Giới thiệu sơ bộ về Maple
Maple là phần mềm toán học hàng đầu, tích hợp công cụ toán học mạnh mẽ với giao diện thân thiện, giúp người dùng phân tích, khám phá, hình dung và giải quyết các vấn đề toán học một cách dễ dàng.
Maple là phần mềm mạnh mẽ có khả năng giải quyết hầu hết các nhánh của toán học và các lĩnh vực liên quan, bao gồm tích phân, đại số, phương trình vi phân, thống kê, thiết kế điều khiển, đại số tuyến tính, vật lý và tối ưu hóa.
Các tính năng của Maple
- Tính toán nhanh, chính xác với những số lên tới 20.000.000 chữ số.
- Có thể vẽ đồ thị, tính toán ngay trên cả đồ thị
- Tuyệt hơn là vẽ đồ thị 3D, xoay hình, kiểm tra dễ dàng.
- Giải phương trình, hệ phương trình nhanh chóng, gần chính xác.
- Phân tích thành nhân tử, biến đổi biểu thức, rút gọn nhanh chóng, khai triển, tính thương và dư của đa thức,
- Kiểm tra số đó có phải là nguyên tố không
- Phân tích một số nguyên ra thừa số nguyên tố
- Tính toán với số phức
- Tính tổng nhanh chóng, thuận tiện, nhất là khi cần tính công thức tính tổng quát của một biểu thức
- Và một số tính năng khác
Một số hàm thông dụng trong Maple
Thừa số
Maple biết cách phân tích các đa thức trên nhiều miền: miền nguyên, các trường hữu hạn, và các trường số đại số.
Tham số thứ hai trong factor chỉ miền mở rộng đại số, có thể là các căn thức hoặc một nghiệm số Ví dụ, RootOf(x**4-2) biểu thị một nghiệm của phương trình x^4 − 2 Để định nghĩa ký hiệu alpha, lệnh alias được sử dụng.
>alias(alpha=RootOf(y**2-2)): >factor(x**4-2,alpha);
Chú ý: Nếu ta dùng tên các biến theo các tên mẫu tự: alpha, beta, delta,gamma, eta, , Maple sẽ hiển thị các mẫu tự tương ứng: α, β, δ, γ, η,
Các con số trong Maple
Maple tiến hành các phép toán số học là chính xác đối với các dạng hữu tỷ:>1/2+1/3+2/7;
4742 và các tính toán bảo đảm số chữ số cần thiết theo yêu cầu:
Trong Maple, các hằng số có thể được xấp xỉ bằng số chấm động với số chữ số thập phân tùy ý, có thể điều chỉnh thông qua lệnh Digits (mặc định là 10) Để nhận giá trị số, bạn có thể sử dụng lệnh evalf.
Nếu các số nhập vào cho dạng số chấm động, kết quả tự động ở dạng tương ứng.>1/2.0+1/3.0+2/7.0;
Các hàm lượng giác tính theo radian:
Maple có thể phân tích thànhthừa số nguyên tố, hoặckiểm tra số nguyên tố:>p:=2**(2**6)+1; p := 18446744073709551617
(67280421310721)∗(274177) Ngoài ra Maple còn biết nhiều số đặc biệt khác như các hệ số nhị thức, các số Bernoulli, Euler, Fibonacci, Bell, Stirling
Các ví dụ trong Giải tích
Trong Maple, để thực hiện việc lấy đạo hàm, bạn sử dụng lệnh diff Tham số đầu tiên là biểu thức cần lấy đạo hàm, trong khi tham số thứ hai là biến mà bạn sẽ lấy đạo hàm theo.
>diff(sin(x)*cos(x),x); cos(x) 2 −sin(x) 2
>diff(sin(x)*x**(x**x),x); cos (x)x x x + sin (x)x x x x x (ln (x) + 1) ln (x) + x x x
Muốn biết dạng hàm erf(x) ra sao, ta vẽ đồ thị của nó cùng với cả đồ thị đạo hàm của nó:
>plot(erf(x),diff(erf(x),x),x=-5 5); Đạo hàm cấp cao:
504x 6 + 630x 4 −60x 2 + 30 b) Các hàm số toán học
Trong Maple, việc định nghĩa các hàm toán học với một hoặc nhiều biến diễn ra rất tự nhiên Các hàm này có khả năng nhận các biến dưới dạng số hoặc ký hiệu.
Các hàm có thể được đạo hàm bằng toán tử D, kết quả sẽ được một hàm khác:
Toán tử D còn có thể dùng để tính đạo hàm riêng.D[i](h) tương ứng với đạo hàm của h theo biến thứ i
Một khả năng quan trọng của Maple là việc tính các tích phân giải tích, bằng cách xử dụng int, cú pháp tương tự như lệnh diff
2(x+ 3) 2 Lưu ý, tương tự như lệnh Diff là một toán tử hình thức, ta cũng có lệnh Int
Một khi Maple không thể tìm được một đáp số kín cho một tích phân, bất định hay xác định, nó trả trở về dạng đã nhập vào:
Trong ví dụ sau đây, ta sẽ tính chuỗi Taylor của hàm kết quả
Ngoài ra, Maple có lệnh tính tổng, cú pháp tương tự như lệnh tính tích phân int: >sum(i,i=0 n-1);
Maple có thể tính giới hạn của một biểu thức khi một biến nào đó tiến đến một giá trị đặc biệt:
Các ví dụ về đại số tuyến tính
Maple cung cấp nhiều thư viện chuyên biệt cho các lĩnh vực toán học, được gọi là Package Một ví dụ tiêu biểu là package "linalg", chuyên về các tính toán trong đại số tuyến tính Để sử dụng thư viện này, người dùng chỉ cần thực hiện một lệnh đơn giản.
The article covers a range of mathematical concepts and operations related to matrices and vectors, including BlockDiagonal, LU decomposition, QR decomposition, and Cholesky methods It explores various matrix properties such as eigenvalues, eigenvectors, and determinants, as well as operations like addition, multiplication, and transposition Key terms like Gram-Schmidt, Jordan blocks, and the Wronskian are highlighted, along with techniques for solving linear equations and analyzing vector spaces The content emphasizes the importance of concepts such as rank, null space, and orthogonality in linear algebra, providing a comprehensive overview for students and professionals alike.
Hàm lệnh "with" sẽ nạp thư viện linalg, cho phép người dùng sử dụng các hàm đã được liệt kê, bao gồm các khai báo và tính toán liên quan.
Trong Maple, vector được biểu diễn bằng mảng một chiều, và có thể tạo ra bằng lệnh khai báo vector (của thư viện linalg), hoặc array:
Tính góc giữa hai vector u và v:
Ma trận được biểu diễn bằng mảng hai chiều, các phần tử được liệt kê từng dòng, chú ý các cú pháp trong khai báo (các móc vuông):
(x−z) x 2 +zx−2y 2 Các phần tử có thể liệt kê trong một móc vuông nếu kích thước ma trận được khai báo rõ:
Tính các giá trị riêng của ma trận b, sử dụng lệnh eigenvals:
Hoặc cũng có thể tính các giá trị riêng này theo từng bước thông qua đa thức đặc trưng:
Hoặc có thể tính giá trị số của các giá trị riêng của ma trận b:
Các ví dụ sau ta tính mũ của ma trận , trong toán học có thể dùng để giải một hệ các phương trình vi phân tuyến tính:
Maple còn biết nhiều loại ma trận đặc biệt, chẳng hạn các ma trận Van- dermonde và ma trận Hilbert:
Một ví dụ khác, thư việnlinalg còn cho ta hàm jacobian để tính Jacobian của một hàm vector:
(sin (x+y)) 2 sin (x−y) sin (x+y) − cos (x−y) cos (x+y)
(sin (x+y)) 2 sin (x+y) sin (x−y) + cos (x−y) cos (x+y)
(sin (x−y)) 2 sin (x+y) sin (x−y) − cos (x−y) cos (x+y)
Các ví dụ giải phương trình đại số
Hàm solve trong Maple có khả năng giải quyết nhiều loại phương trình khác nhau, từ các phương trình đơn giản với các hàm sơ cấp phổ biến đến các hệ phương trình tuyến tính và phương trình đa thức phức tạp.
Ví dụ, ta tìm tất cả các nghiệm của một phương trình đa thức:
Ví dụ khác, ta có một hệ 4 phương trình tuyến tính 4 ẩn số:
Sử dụng lệnhsubs, ta có thể thay các giá trị lời giảir, s, t, u trở lại phương trình ban đầu để kiểm tra tính đúng đắn của lời giải:
{−2 = −2,1 = 1,2 = 2,7 = 7}Các phương trình còn có thể có các hệ số là các tham số:
Ví dụ sau về giải hệ phương trình đa thức:
Các ví dụ giải phương trình vi phân
Hàm lệnh solve được sử dụng để giải các phương trình đại số, trong khi hàm dsolve chuyên giải các phương trình vi phân, và hàm pdsolve được áp dụng để giải các phương trình đạo hàm riêng.
Ta có thể cho các điều kiện đầu cho các phương trình vi phân:
3 e t − 1 −2Giải hệ phương trình vi phân:
>sys:=diff(y(x),x)=z(x)-y(x)-x,diff(z(x),x)=y(x); sys := d dxy(x) =z(x)−y(x)−x, d dxz(x) =y(x)
Giải phương trình đạo hàm riêng.
Phần mềm Maple cho bài toán tích phân đại số ma trận
Bài toán tích phân đại số ma trận 22 2.4.2 Phần mềm Maple cho bài toán tích phân đại số ma trận 32
Có thể phân loại các bề mặt đồng nhất bằng cách áp dụng kỹ thuật của phương trình chính tắc và ma trận Lie, theo mô hình được mô tả trong tài liệu [1]-[2] Trong không gian C^3, tọa độ phức được ký hiệu là z1, z2 và w, trong đó phần thực và phần ảo được phân biệt với u = Re(w) và v = Im(w).
Xem xét một siêu diện thực giải tíchM dạng ống trong không gian C 3 , cho bởi phương trình v = F(z,z, u) =¯ |z1| 2 +|z2| 2 + 1
Fklm(z, z, u), (2.1) trong đó cặp (ε 1 , ε 2 ) số thực không âm là một affine bất biến của bề mặt M.
F klm - là một đa thức bậc k đối với biến z = (z 1 , z 2 ), bậc l đối với biến ¯ z = (¯z 1 ,z¯ 2 ) ,bậc m theo biến u.
Trọng lượng của đa thức Fklm(z, z, u) được xác định bởi tổng k+l+2m Chúng tôi tiếp tục phân tích từ bậc sang trọng lượng, và thay vì phương trình (2.1), chúng ta có thể thảo luận về phương trình dưới dạng: v = |z1|² + |z2|² +
Cũng có thể đơn giản hóa trong phương trình (2.2) số hạng bậc hai (hoặc trọng lượng hai), tức là phương trình có dạng: v = 2(x 2 1 +x 2 2 ) +X k ≥ 3
Trong bài viết này, chúng ta xem xét đa thức F3(z, z, u) được định nghĩa trong phương trình (2.2), với các hệ số được ký hiệu bằng fklmnr cho các đơn thức dạng z1k z2l zm1 zn2 ur Đặc biệt, các hệ số của đa thức F3 và F4 sẽ được biểu thị bằng ký hiệu đặc biệt để dễ dàng theo dõi và phân tích.
Rõ ràng rằng đa thức F 3 (1) (z,z)¯ từ số hạng thứ hai trong tổng này có thể được biểu diễn dưới dạng
F 3 (1) = (α 1 z 1 +α 2 z 2 ) + (α 1 z 1 +α 1 z 2 ) với α 1 , α 2 là các hệ số phức nào đó Đa thức khác không F 3 (0) (z,z)¯ có thể biểu diễn ở dạng tổng
F 3 (0) = F 3¯0 +F 2¯1 +F 1¯2 +F 0¯3 , trong đó F 1¯2 và F 0¯3 là những đa thức liên hợp với các đa thức F 2¯1 và F 3¯0
F 2¯1 = (g 20 z 1 2 +g 11 z 1 z 2 +g 02 z 2 2 )z 1 + (h 20 z 1 2 +h 11 z 1 z 2 +h 02 z 2 2 )z 2 (2.4) với f kl , g kl , h kl là các hệ số phức nào đó.
Trong trường hợp mà siêu diện này là đồng nhất affine thì đại số trường vectơ có dạng như sau, trong đó (Ak, Bk, a, b, c, p, s, q là hằng số phức)
∂w (2.5) trường vectơ tuyến tính này tiếp xúc với bề mặt, có số chiều không nhỏ hơn
5.Bên cạnh đó, đối với mỗi trường như thế thỏa mãn điều kiện tiếp xúc với bề mặt M
Trong bài viết này, chúng tôi xem xét hàm xác định bề mặt M được biểu diễn bởi công thức ReZ(Φ) | M = 0 (2.6), trong đó Φ = −v + F(z, z, u) Chúng tôi sẽ phân biệt các phần thực và phần ảo của các biến z1 và z2, với x1 = Re z1, y1 = Im z1, x2 = Re z2, và y2 = Im z2 Do đó, hàm F(z, z, u) sẽ được viết lại dưới dạng F(x1, y1, x2, y2, u).
Nghiên cứu phương trình (2.5) dựa vào các hệ số của phương trình ban đầu (2.2) giúp chúng ta tạo ra nhiều đại số khác nhau Để tiện lợi, đại số trường vectơ affine dạng (2.5) sẽ được biểu diễn dưới dạng "ma trận".
Do vậy dấu ngoặc ma trận (hoán tử) tương ứng với dấu ngoặc của các trường vectơ
[Z 1 , Z 2 ] = Z 1 Z 2 −Z 2 Z 1 , và số chiều của đại số được bảo toàn.
Mệnh đề 2.1 [3] Cho M là một bề mặt đồng nhất affine dạng ống trong
C 3 với đại số 5 chiều g(M) Khi đó, các thành phần của đa thức F 3 (0) trong phương trình chính tắc của nó có thể được biểu diễn dưới dạng sau:
F 2¯1 = ((3t 1 −4α 1 +it 2 )z 1 2 + (2δ−2α 2 +it 7 )z 1 z 2 + (ζ−2α 1 +i(t 4 −t 8 ))z 2 2 )¯z 1 + +(δ−2α2+i(t3 −t7))z 1 2 + (2ζ −2α1 +it8)z1z2 + (3t5 −4α2+it6)z 2 2 )¯z2 δ, ζ, t 1 , t 2 , , t 8 là các tham số thực.
Từ điệu kiện tiếp xúc (2.6) suy ra: a= 2i(2p1+iα1q), p1 = Rep; b = 2i(2s1+iα2q), s1 = Res; c =Rec+i(iα 1 p−iα 1 p+iα 2 s−iα 2 s+ 2λq)
Tương tự cũng từ điều kiện tiếp xúc (2.6), ta có
A 3 = ϕ(p, s, q, Re(c), A 21 ), B 3 = ϕ(p, s, q, Re(c), A 21 ) Mặt khác từ (2.7) và (2.8) suy ra
Tương tự từ điều kiện tiếp xúc khi xem xét một số thành phần khác của trọng lượng 2 chúng ta sẽ thu được:
Gọi f30 = t1 +it2;f21 = δ+it3;f12 =ζ +it4;f03 = t5 +it6.
Sử dụng các hệ phương trình (2.9),(2.10),(2.11), ta có:
⇔ 4α 1 −3t 1 −3it 2 + 2Reg 20 + 2iImg 20 −Reg 20 +iImg 20 = 0
⇔ 4α2 −3t5 −3it6+ 2Reh02+ 2iImh02−Reh02+iImh02 = 0
Reg 11 +iImg 11 −Reh 20 +iImh 20 −δ −it 3 = 0
2δ+ 2it 3 −2Reh 20 −2iImh 20 −Reg 11 −iImg 11 +Reg 11 −iImg 11 −4α 2 = 0
Reh 11 +iImh 11 −Reg 02 +iImg 02 −ζ −it 4 = 0
2ζ + 2it 4 −2Reg 02 −2iImg 02 −Reh 11 −iImh 11 +Reh 11 −iImh 11 −4α 1 = 0
Như vậy, ta thu được g20 = 3t1 −4α1 +it2; h20 = δ−2α2 +i(t3 −t7); g 11 = 2δ−2α 2 +it 7 ; h 11 = 2ζ −2α 1 +it 8 ; g 02 = ζ −2α 1 +i(t 4 −t 8 ); h 02 = 3t 5 −4α 2 +it 6
Như vậy mệnh đề 2.1 đã được chứng minh.
Bây giờ ta tìm các ma trận E 1 , E 2 , E 3 , E 4 , E 5 ở dạng tổng quát.
Vậy cơ sở của đại số g(M) có dạng:
, với m 1 , m 2 , m 3 , m 4 , m 5 , n 1 , n 2 , n 3 , n 4 , n 5 và, A3k, B3k (k = 1 5) - là các số phức.
Trong luận văn này tôi chỉ xét một trường hợp của cơ sở trên.
Bài toán: Tìm phương trình của bề mặt dạng ống giải tích trong C 3 với các trường vectơ E 1 , E 2 , E 3 , E 4 , E 5 ở dạng đơn giản sau:
2.4.2 Phần mềm Maple cho bài toán tích phân đại số ma trận
Trong phần này, chúng tôi sẽ xác định phương trình bề mặt đồng nhất tương ứng với cơ sở ban đầu (2.13) thông qua việc thực hiện tích phân đại số các ma trận, với sự hỗ trợ của phần mềm Maple.
Trong Maple ta lần lượt nhập các ma trận E1, E2, E3, E4, E5 bằng các lệnh sau:>with(LinearAlgebra):
Nhấn phím Enter ta thu được các cơ sở như (2.13).
Tiếp theo, ta xét quan hệ giao hoán trong đại số (2.13) có dạng: Để tính [E 1 ,E 2 ] ta nhập lệnh sau:
Tương tự ta thu các ma trận sau:
Để giảm bớt độ phức tạp của hệ phương trình từ ma trận (2.13), chúng ta cần đơn giản hóa quá trình tích phân các hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng Một cách hiệu quả là chuyển đổi về một họ các đại số tương đương như ban đầu Hiện tại, chúng ta sẽ xem xét ma trận đồng dạng mới.
bao gồm các hàm riêng của ma trận E 3
Với ma trận đồng dạng như trên, các ma trận của cơ sở (2.13) có dạng đơn giản hơn:
Trong Maple ta thực hiện như sau:
Chúng ta thực hiện chuyển đổi các ma trận cơ sở sang các cơ sở mới D ∗ 1, D ∗ 2, D 3 ∗, D 4 ∗ và D 5 ∗ Mỗi ma trận D ∗ k trong cơ sở mới được tạo thành từ tổ hợp tuyến tính của các ma trận cơ sở cũ, với các hệ số thực.
Sử dụng Maple ta được kết quả tương ứng như sau:
Các ma trận D ∗ 1 , D 2 ∗ , D 3 ∗ , D 4 ∗ , D ∗ 5 có dạng ma trân tam giác trên bây giờ ta chuyển qua ma trận tam giác dưới để thuận lợi cho việc tính toán.
Ta tiếp tục xét ma trận đồng dạng sau đây:
Trong Maple, để tính các ma trận cơ sở mới E1*, E2*, E3*, E4*, E5* từ ma trận đồng dạng S, bạn cần nhập các lệnh tương tự như khi tính D1*, D2*, D3*, D4*, D5* Kết quả sẽ được thu được như mong đợi.
Ma trận E 1 ∗ −E 5 ∗ tương ứng với các trường vecto sau:
∂w Tương ứng với E 1 ∗ , E 2 ∗ , E 3 ∗ , E 4 ∗ , E 5 ∗ ta sẽ thu được hệ phương trình thỏa mãn điều kiện tiếp xúc:
= 0 Đơn giản hệ, ta có:
Chúng ta sẽ giải hệ trên theo thứ tự, từng bước sẽ giảm số lượng các phương trình và số lượng các biến trong hệ.
Giải phương trình thứ nhất của (2.14) y 1 ∂F
Trong Maple ta nhập câu lệnh:
F (x1, x2,y1, y2, u) =−x1u y1 +F1 (x1, x2, y1, y2) Vậy nghiệm tổng quát của nó có dạng:
F =−x 1 y1 u+G(x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ) (2.15) trong đó G là một hàm tùy ý phụ thuộc vào bốn biến x1, x2, y1, y2.
∂u =−x 1 y 1 Thay vào phương trình thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm của (2.14) với các kết quả thu được, ta được hệ phương trình sau:
Giải phương trình thứ nhất của (2.16) x 1 ∂G
∂t 3 Thay vào phương trình thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm của (2.16) với các kết quả trên, ta thu được
Trong hệ phương trình (2.17) ta thấy phương trình thứ hai đơn giản nhất nên ta tiếp tục giải phương trình thứ hai:
Thay vào phương trình thứ nhất và thứ ba (2.17) ta được:
Giải phương trình thứ nhất của (2.18) u 2 ∂M
.K(v 1 ), với v 1 =u 1 Phương trình thứ hai của (2.18) trở thành
Trở về tọa độ ban đầu với tất cả các thay thế mà ta đã dùng, chúng ta sẽ thu được phương trình của bề mặt ban đầu:
Thật vậy ta xét hai vế của (2.19),
Nhân cả hai vế của phương trình trên cho y 2 1 , ta được: y 1 v(y 1 y 2 +x 1 x 2 ) +x 1 u(y 1 y 2 +x 1 x 2 ) =C(x 2 1 +y 1 2 )
⇔Re(z 1 w).Re(z 1 z 2 ) =C|z 1 | 2 Vậy, chúng ta được phương trình bề mặt cần tìm là
Mục tiêu của luận văn này là phát triển những ví dụ mới về bề mặt đồng nhất trong không gian phức ba chiều Bài viết sẽ trình bày các bề mặt này, những vấn đề liên quan vẫn chưa được giải quyết một cách thỏa đáng.
Trong luận văn này, tôi sử dụng phần mềm Maple để tính tích phân các đại số trường vector và giải các hệ phương trình đạo hàm riêng tương ứng Với kích thước lớn của bài toán, bao gồm các hàm phụ thuộc vào 3 hoặc 6 biến phức, việc thực hiện các phép tính "bằng tay" trở nên không khả thi để đạt được kết quả chính xác Do đó, việc nghiên cứu và áp dụng phần mềm toán học Maple đã mang lại kết quả chính xác và rõ ràng về các siêu diện thực đồng nhất Affine trong không gian phức 3 chiều.
[1] Loboda A.V (2003), AS Khodarev On a family of affine-homogeneous real hypersurrfaces of 3-dimendsional compex space, New UW- Call.Mathematics, No 10.Pp 38-50.
[2] Loboda A.V (2009), Affine-homogeneous real hypersurrfaces of 3- dimendsional compex space AV Loboda, Bulletin of VSU Ser Physics. Mathematics, vol 2 Pp 71-90.
[3] Loboda A V., Nguyễn T T D (2012), On the affine homogeneity of tubular type surfaces in C 3 , Proceedings of the Steklov Institute of Math- ematics, December 2012, V.279, Issue 1, pp 93–109) (ISI).
[4] E Cartan (1932), Sur la geometriepseudoconforme des hypersurfaces de deux variables complexes, Ann Math.PuraAppl, (4) 11 p.17-90 (Oeuvre- sII,2, 1231-1304).
[5] Lawrence C.Evans (1998), Partial Differential Equations,American Mathematical Society.
[6] James E Humphreys (1980),Introduction to Lie algebras and representa- tion theory, Springer- Verlag New York Heidelberg Berlin, Third printing, revised.
[7] Andreas Cap (2009), Lie algebras and Representation theory, Spring Term.
[8] Duong M.T (2008), A new invariant of quadratic Lie algebras and quadratic Lie superalgebras,Thèse de L’Université de Bourgogne, Dijon, France.
[9] Nguyễn Phi Long và Dương Minh Thành, “Mở rộng T* của các đại số Lie giải được 3 chiều” gửi đăng tạp chí Khoa học Tự nhiên Trường ĐHSP TP.HCM
[10] Nguyễn Mạnh Hùng (2009), Phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
[11] Nguyễn Thừa Hợp (2001), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, Đại học Quốc Gia.