Phương trình khuếch tán
Các quá trình phân bổ nhiệt hoặc khuếch tán hạt trong một môi trường được mô tả bằng phương trình khuếch tán sau đây: ρ∂u
∂t = div(ρgrad(u)) −qu+F(x, t), (1.1) ở đây các toán tử div và grad(u) được xác định bởi: div(ρgrad(u)) n
Để xây dựng phương trình truyền nhiệt, ta ký hiệu u(x, t) là nhiệt độ tại vị trí x vào thời điểm t Môi trường được giả định là đẳng hướng, với ρ(x), c(x) và k(x) lần lượt là mật độ, nhiệt rung riêng và hệ số dẫn nhiệt tại thời điểm x và t Lượng nhiệt trong thể tích V được coi là cân bằng, và n là hướng truyền nhiệt qua mặt S vào V, theo định luật Fourier.
Khi đó lượng nhiệt sinh ra trong V là:
F(x, t)dx∆t, (1.4) nhiệt độ trong V sau khoảng thời gian (t, t+ ∆t) là: u(x, t+ ∆t)−u(x, t) ∼= ∂u
Nhiệt độ trong V thay đổi là:
Do V có thể lấy tùy ý nên ta nhận được phương trình truyền nhiệt: cρ∂u
∂t = div(kgrad(u)) +F(x, t) (1.6) nếu môi trường là thuần nhất thì c, ρ, k là các hằng số Khi đó (1.6) viết được dưới dạng:
∂t = a 2 ∆u+ f, (1.7) với a 2 = cρ k , f = cρ F ,∆u = P ∂x ∂ 2 2 i Khi đó, phương trình (1.7) được gọi là phương trình truyền nhiệt.
Bài toán điều kiện đầu cho phương trình truyền nhiệt
Bài toán điều kiện đầu (hay còn gọi là bài toán Cauchy với điều kiện đầu) cho phương trình truyền nhiệt nằm ở việc xác định hàm u(x, t) ∈
Giá trị max và min nghiệm của phương trình thuần nhất 7
trình thuần nhất Định lý 1.1 Nếu hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt thuần nhất ∂u
∂x 2 = 0 (1.10) trong miền Gl,T = (−l, l)×(0, T) và liên tục trong G¯l,T = (−l, l)×[0, T], thì nó nhận giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên phần biên S l,T , được cấu thành từ đoạn [−l, l] trên trục Ox và {x = −l,0 ≤t ≤ T} ∪ {x = l,0≤ t ≤T}.
Ký hiệu M là giá trị lớn nhất của u(x, t) trên Gl,T, trong khi m là giá trị nhỏ nhất của u(x, t) trên Sl,T Các giá trị này tồn tại khi u(x, t) liên tục trên Gl,T Nếu M > m, thì sẽ tồn tại một điểm (x0, t0) sao cho u(x0, t0) = M với x0 ∈ (−l, l).
Ta đưa vào hàm sau đây: v(x, t) =u(x, t) + M −m
24l 2 (x−x0) 2 , và tiến hành xem xét giá trị của v(x, t) trên Sl,T: v | S l,T ≤ m+ M −m
Trong trường hợp v(x0, t0) = u(x0, t0) = M, hàm v(x, t) không đạt giá trị lớn nhất trong G¯ l,T trên S l,T Giả sử giá trị lớn nhất của hàm v(x, t) xảy ra tại điểm (x1, t1) với x1 thuộc (-l, l) và 0 < t1 < T Điểm (x1, t1) với t1 < T là điểm cực đại địa phương của hàm v(x, t).
∂t ≥ 0, như vậy tại điểm này
Phương trình (1.10) tại điểm (x1, t1) không thỏa mãn, điều này chứng tỏ rằng M = m Tương tự, chúng ta cũng có thể chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của hàm u(x, t) được nhận trên biên S l,T.
Định lý duy nhất nghiệm của bài toán đầu
đầu Định lý 1.2 Nghiệm của bài toán đầu trong lớp hàm hữu hạn với −∞ < x < +∞ và t > 0 là duy nhất.
Chứng minh Ta giả sử điều ngược lại: giả sử u1(x, t) và u2(x, t) là hai nghiệm hữu hạn khác nhau của bài toán (1.8) - (1.9) Khi đó |u 1 (x, t)| ≤
|u(x, t)| = |u 1 (x, t)−u 2 (x, t)| ≤ |u 1 (x, t)| +|u 2 (x, t)| ≤ 2M Chứng tỏ u(x, t) hữu hạn khi −∞ < x < +∞;t > 0 và thỏa mãn phương trình (1.10) (Do u 1 (x, t)| t=0 = u 0 (x), u 2 (x, t)| t=0 = u 0 (x) ⇒ u(x, t) = 0).
Sử dụng định lý về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cho nghiệm của bài toán truyền nhiệt trong miền hữu hạn Gl,T với điều kiện |x| ≤ l và 0 ≤ t ≤ T, trong đó l > 0 và T > 0, ta xét hàm v(x, t) = 4M l² x².
Chứng tỏ rằng v(x, t) là nghiệm của bài toán truyền nhiệt Thật vậy:
2 = 2M, như vậy v(x,0) ≥ u(x,0) và v(±l, t) ≥ 2M ≥ u(±l, t). Áp dụng định lý về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cho hiệu của các hàm v(x, t) và ±u(x, t) trong miền G l,T , ta nhận được: v(x,0) ≥ |u(x,0)|,|v(±l, t)| ≥ |u(±l, t)|.
Khi cố định x = x0 và t = t0 > 0, ta chọn l đủ lớn trong (1.11), từ đó nhận được |u(x0, t0)| ≥ ε với mọi ε > 0 Điều này chứng tỏ rằng u(x0, t0) = 0 Vì x0 ∈ (−∞, +∞) và t0 > 0 là tùy ý, ta suy ra rằng u(x, t) = 0, hay u1(x, t) = u2(x, t) với t > 0.
Nghiệm tổng quát của bài toán truyền nhiệt thuần nhất 9
Xét phương trình sau đây:
Trước tiên ta đi tìm nghiệm của phương trình đã cho dưới dạng: u(x, t) =X(x)T(t) (1.13) Đặt (1.13) vào (1.12) và tiến hành tách biến, ta nhận được:
Phương trình (1.14) cho ta: T(t) = Ce −λ 2 a 2 t Bây giờ ta xem xét phương trình (1.15):
Phương trình đặc trưng (1.15) có dạng 2 + λ² = 0 với nghiệm là ±iλ Từ đó, ta xác định nghiệm X(x) dưới dạng X(x) = A(λ) cos(λx) + B(λ) sin(λx) Kết hợp lại, ta có nghiệm u(x, t) = (A(λ) cos(λx) + B(λ) sin(λx)) e^(-a²λ²t), là nghiệm của phương trình (1.12) với λ tùy ý.
Do tính chất tuyến tính và thuần nhất của phương trình truyền nhiệt, mọi biểu diễn tuyến tính PC λ u λ đều là nghiệm của phương trình này.
Như vậy, ta có thể giả sử rằng
−∞ u λ dλ cũng sẽ là nghiệm của phương trình truyền nhiệt Do đó ta có thể xác định nó như sau: u(x, t) Z (A(λ) cosλx+B(λ) sinλx)e −a 2 λ 2 t dλ (1.16)
Nếu tích phân (1.16) hội tụ đều và cho phép thực hiện phép tính vi phân dưới dấu tích phân một lần theo t và hai lần theo x, thì (1.16) sẽ là nghiệm của phương trình (1.12) Điều này dẫn đến sự quan tâm đến tích phân Fourier.
Tích phân Fourier
Cho trước hàm f(x) với −∞ < x < +∞, xét hàm đã cho trên đoạn [−l, l] và viết nó dưới dạng chuỗi Fourier tương ứng: f(x) = a 0
2 + X(a k cosnπ l x+b k sinnπ l x). Ở đây các hệ số ak,bk được tính theo công thức: a k = 1 l l
Giả sử hàm đã cho là khả tích tuyệt đối trên toàn bộ trục số, như vậy
|f(y)|dy < ∞ Ta tiến hành đánh giá a0 khi l → ∞:
|f(y)|dy l→∞ → 0. Đặt: kπ l = λ k , k = 1,2, và ký hiệu:
∆ k = λ k+1 −λ k = (k + 1)π l − kπ l = π l. Khi đó ta có thể viết: a k = 1 l l
Chuyển qua giới hạn biểu thức cuối cùng khi l → ∞ Khi l → ∞ ta có
∆→ 0, do đó tổng nhận được có thể xem xét như tích phân theo λ và khi đó ta viết: f(x) = lim l→∞
−∞ f(y) cosλ(x−y)dydλ. Như vậy ta đã biểu diễn được hàm f(x) dưới dạng tích phân bội Fourier: f(x) = 1
Ta viết lại biểu thức cuối như sau: f(x) = 1
[α λ cosλx+β λ sinλx]dλ,với các hàm α λ và β λ được gọi lần lượt là các biến đổi cos và sin Fourier.
Nghiệm của bài toán đầu cho phương trình truyền nhiệt 13
Ta quay trở lại bài toán:
Nghiệm của phương trình (1.17) theo giả thiết u 0 (x) hữu hạn và liên tục trên toàn bộ trục số: −∞ < x < +∞, có thể viết được dưới dạng: u(x, t) ∞
Chuyển qua giới hạn khi t →0 + ta nhận được: u(x, t)| t=0 ∞
Theo giả thiết ta có:u(x, t)| t=0 = u 0 (x) và nếu đặt:
−∞ u 0 (y) sinλydy, thì u 0 (x) được biểu diễn dưới dạng: u 0 (x) = 1
Sử dụng các biểu thức nhận được đối với A(λ) và B(λ) ta viết được
Ta tiến hành đi tính tích phân trong dấu ngoặc móc Ký hiệu:a 2 t p, x−y = q và xét:J(p, q) ∞
∂λe −pλ 2 sinλqdλ, và sau khi tiến hành thực hiện phép tính tích phân từng phần ta nhận được:
Việc xác định J(p, q) chuyển về việc tìm nghiệm của phương trình vi phân:
Từ đây ta nhận được: lnJ = − 1
Tiếp theo ta đi tính I.
Tích phân cuối cùng được lấy trên toàn bộ mặt phẳng {x, y}, chuyển qua tọa độ cực nhận được:
C(p) rπ p. Cuối cùng ta nhận được:
Trở lại với phép đặt ban đầu:a 2 t = p, x−y = q, ta nhận được:
−∞ e −a 2 λ 2 t cos(y −x)dλ r π a 2 te − (y−x)2 4a 2 t Đặt giá trị vừa nhận được vào công thức của u(x, t) cho ta: u(x, t) = 1
−∞ e − (y−x)2 4a 2 t u 0 (y)dy (1.21) Trong công thức (1.21), đặt x−y = ξ ⇒ dy = −dξ ta nhận được: u(x, t) = 1
Ta chứng minh rằng tích phân (1.22) tồn tại Thật vậy, từ điều kiện:
Tiếp theo ta chứng tỏ hàm số: u(x, t) = 1
−∞ e − (x−y)2 4a 2 t u 0 (y)dy là nghiệm của bài toán (1.17) - (1.18) Ta có:
Khi đó ta nhận được:
Như vậy hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình thuần nhất (1.17) Tiếp theo ta chứng tỏ hàm u(x, t) thỏa mãn điều kiện (1.18) Để thực hiện điều này trước tiên ta xét hàm:
Thật vậy, sau khi đổi biến và tiến hành tính toán, ta nhận được:
Ta chuyển qua chứng minh đẳng thức sau đây:lim t→0u(x, t) = u0(x)Từ (1.22), (1.23) và ∀t > 0 cho ta:
Ta tiến hành đánh giá J 2 và J 3 Do |u 0 (x)| ≤ M ∀x nên:
Do tính hội tụ của tích phân cuối cùng nên ta chọn được N0 = N0(ε), sao cho với N ≥N 0 ta nhận được J 2 ≤ ε 2 ,∀x,∀t > 0 Cố địnhN và xem xét
J 3 Theo điều kiện ban đầu hàm u 0 (x) là liên tục, như vậy ∀(ε > 0)∃(δ > 0)∀(∆x : |∆x| < 0) |u 0 (x+ ∆x)−u 0 (x)| < ε 2 Lấy ∆x = −2a√ tη và chọn t > 0 đủ nhỏ, sao cho |∆x| = −2a√ t|η| ≤ 2a√ tN < δ khi mà
Do đó khi t →0 + ta nhận được:
Công thức Poisson
Trong mục này ta tiến hành nghiên cứu bài toán sau đây:
Trước tiên ta tiến hành xem xét bài toán:
Lặp lại cách trình bày trong mục 1.7 ta có được nghiệm của bài toán (1.26) - (1.27) là hàm: υ(x, t, τ) = 1
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm cho bài toán không thuần nhất với điều kiện biên thuần nhất, chúng ta xem xét hàm u(x, t) = (x−y)² / (4a²(t−τ)) dy, với điều kiện t > τ.
Ta chứng minh hàm u(x, t) được xác định như trên là nghiệm của phương trình (1.24) khi t > 0 Ta có:
Từ đây, chúng ta giả định rằng hàm f(x, t) bị chặn với mọi x và t > 0, đồng thời khả vi hai lần theo x và một lần theo t ≥ 0 Nhiệm vụ còn lại là chứng minh rằng giới hạn khi t tiến tới 0 của u(x, t) là 0.
Ta đánh giá u(x, t) với mọi t >0:
Từ điều kiện bị chặn của hàm f(x, t) : |f(x, t)| ≤ M với mọi (x, t) ta có:
Hệ thức cuối cho ta lim t→0 + u(x, t) = 0.
Như vậy nghiệm của bài toán (1.8) - (1.9):
∂x 2 = f(x, t), u| t=0 = u 0 (x). sẽ là tổng các nghiệm của bài toán (1.24) - (1.25) và (1.17) - (1.18): u(x, t) t
(1.28) Công thức trên có tên là công thức Poisson Trong công thức Poisson nhận được thì số hạng thứ hai:
−∞ e − (x−y)2 4a 2 t u 0 (y)dy, được gọi là thế vị nhiệt bề mặt, còn số hạng thứ nhất: t
dτ được gọi là thế vị nhiệt thể tích Các thuật ngữ trên sẽ được sử dụng thường xuyên trong chương tiếp theo.
Ví dụ 1.1 Tìm nghiệm của bài toán sau đây:
Lời giải Ta có: f(x, t) = 2t 2 (khuyết x),u| t=0 = cosx, a = 1. Áp dụng công thức Poisson ta có: Thế vị nhiệt bề mặt:
Tiến hành biến đổi biểu thức 4iyt+(x−y) 4t 2 và −4iyt+(x−y) 2
Ta tiến hành tính toán đối với thế vị nhiệt thể tích:
−∞ e −ξ 2 dξ = 2τ 2 Cuối cùng thế vị nhiệt thể tích nhận được: υ t
3 Vậy nghiệm của bài toán đã cho là: u = I 1 +υ = e −t cosx+ 2t 3
Ta đưa vào ký hiệu sau đây:
Khi đó công thức (1.28) trong trường hợp n = 1(không gian một chiều) viết được dưới dạng: u(x, t) t
(1.29) Công thức (1.29) trong trường hợp n chiều (không gian n chiều) có dạng: u(x 1 , x 2 , , x n , t) t
G(a, x−y, t−s)u 0 (y 1 , y 2 , , y n )dy 1 dy 2 dy n , trong đó,
Phần mềm Mathematica cho bài toán truyền nhiệt
Nghiệm của phương trình truyền nhiệt trong R 1
Bước 1: Trong Mathematica ta nhập hàm thực hiện G bằng cú pháp: G=(1/(2∗#1√ π ∗#3))∗Exp [#2 2 /(-4#1 2 #3)] &;
Bước 2: Thực hiện tổ hợp phím Shift + Enter ta nhận được:
Nhập G[a, x, t] và thực hiện tổ hợp phím Shift + Enter ta nhận được: In[2]:=G[a, x, t]
Bước 3: Ta đưa vào các hàm sau đây:
[G[a, y, s]∗f[x−y, t−s],{y,−∞,∞}],0< s < t&&x ∈ Reals] In[7]:=woi[a_, f_]:=Simplify[ Intergrate
[G[a, x−y, s]∗f[y, t−s],{y,−∞,∞}],0< s < t&&x ∈ Reals] In[8]:=woo[a_, f_]:=Simplify[ Intergrate
In[13]:=uio[a_, f_]:=ints[wio[a, f]]; Để tiến hành kiểm tra các hàm vừa nhận được, ta nhập:
2a√ π ds Để kiểm ta nghiệm ta có thể sử dụng các hàm sau:
In[18]:=l1:=Simplify[(D[#4, t]-#1 2 ∗(D[#4, x1, x1]+D[#4, x2, x2]+ D[#4, x3, x3])-#2),t > 0&&x1 ∈ Reals; x2∈ Reals; x3 ∈ Reals] l0:=Simplify[(Limit[#4, t → 0, Direction → −1]-#3), x1∈ Reals; x2∈ Reals ; x3 ∈ Reals]] & l:={l1[#1,#2,#3,#4],l0[#1,#2,#3,#4]} &
Ví dụ 2.1 Tìm nghiệm của bài toán sau đây:
In[19]:1[x_, t_]=Exp[−t]; {nghĩa là ta có f(x, t) = e −t }
In[20]:=u0211[x_]=Exp[−2x]; {nghĩa là ta có u| t=0 = e −2x }
In[21]:11=1;{nghĩa là ta có a = 1}
Nghiệm của bài toán có dạng:
Thực hiện lệnh kiểm tra:
Out[26]:={0,0} Đồ thị nghiệm của bài toán có dạng (chọn x ∈ (0,−2π), t ∈ (0,5)):
Hình 2.1: Đồ thị hàm số u(x, t) = 1−e −t +e 4t−2x
Ví dụ 2.2 Quay trở lại ví dụ đã trình bày ở chương 1, ta thử so sánh khối lượng công việc tính toán và đáp số của bài toán:
Nghiệm của bài toán có dạng:
Thực hiện lệnh kiểm tra:
Out[34]:={0,0} Đồ thị nghiệm của bài toán có dạng (chọn x ∈ (−2π,2π), t ∈ (−15,15)):
Hình 2.2: Đồ thị hàm số u(x, t) = 2t 3 3 +e −t cosx.
Ví dụ 2.3 Tìm nghiệm và vẽ đồ thị nghiệm của bài toán đầu sau đây (n=1):
Thực hiện lệnh kiểm tra:
Out[42]:={0,0} Đồ thị nghiệm của bài toán có dạng (chọn x ∈ (−2π,2π), t ∈ (−15,15)):
Hình 2.3: Đồ thị hàm số u(x, t) = 8t+ 2t 3 3 + x 2
Ví dụ 2.4 Tìm nghiệm và vẽ đồ thị của bài toán đầu sau đây:
∂x 2 = tsinx;u| t=0 = e x cosx Trong Mathematica cho ta:
Rút gọn biểu thức trên bằng câu lệnh:
2e x Sin[2t+x]Sin[2(2t+x)] +i(− 1 2 e x Sin[2t+x]− 1 2 e x Sin[2t+x]Cos[2(2t+ x)] + 1 2 e x Cos[2t+x]Sin[2(2t+ x)])
Bằng cách đó ta xác định được thế vị nhiệt bề mặt:
In[49]:=v0214[x_, t_]=Simplify[PowerExpand[ 1 2 e x Cos[2t+x]+ 1 2 e x Cos[2t+ x]Cos[2(2t + x)] + 1 2 e x Sin[2t + x]Sin[2(2t + x)] + i(− 1 2 e x Sin[2t + x] −
Sử dụng các hàm thực hiện wio và woi để so sánh việc tính toán thế vị nhiệt thể tích:
Cũng có thể sử dụng (cho thế vị nhiệt thể tích) các hàm thực hiện uio và uoi:
Việc tính toán hàm uio(wio) cho thấy sự phù hợp vượt trội khi không cần thực hiện các phép toán bổ sung để rút gọn hàm số.
Thực hiện lệnh kiểm tra:
Out[56]:={0,0} Đồ thị nghiệm của bài toán có dạng (chọn x ∈ (−2π,2π), t ∈ (−15,15)):
Hình 2.4: Đồ thị hàm số u(x, t) = e x cos(2t+x) + (−1 +e −t +t) sinx.
Ví dụ 2.5 Tìm nghiệm và vẽ đồ thị của hàm số sau (n=1):
8 Trong Mathematica nhập các hàm thực hiện:
In[57]:5[x_, t_](Exp[-t]*Exp[-2t])*Exp[x]*Cos[x];
In[59]:15= √ 1 2 ; Để tìm thế vị nhiệt bề mặt ta sử dụng hai hàm thực hiện là vo và vi: In[60]:=vo[ √ 1 2 ,u0215]
Trong trường hợp này, chúng ta chọn hàm thực hiện thứ nhất vì nó không chứa các hàm đặc thù như Erf và Erfi Sau đó, chúng ta tiến hành rút gọn hàm này.
In[62]:="vo[ √ 1 2 ,u0215]" → PowerExpand[Simplify[ComplexExpand[ vo[ √ 1 2 ,u0215]],t > 0]]
Tiến hành giản ước biểu thức trên mũ của hàm e:
In[63]:=FullSimplify[− 31t 2 +960x 32t(4+t) 2 −256tx 2 − 15(t 2 16(4t+t −32x 2 +8tx 2 ) 2 ) , t > 0, x ∈ Reals]
Cuối cùng ta nhận được thế vị nhiệt bề mặt có dạng:
√4 +t Để tìm được thế vị nhiệt thể tích ta tiến hành tính toán đối với hai hàm thực hiện woi và wio:
Ta chọn và tiến hành biến đổi phần thực và phần ảo của hàm woi:
In[67]:=wio → PowerExpand[ComplexExpand[woi[ √ 1
Phần ảo của biểu thức nhận được có giá trị bằng 0, thật vậy: In[68]:=Im[wio]→FullSimplify[ 1 2 e −2s+x Cos[s+ t+x]Cos[2s]+
Ta đi tìm phần thực Re[woi] của biểu thức trên:
In[69]:=Re[woi]→Collect[ 1 2 e −2s+x Cos[2s]Cos[s+ t+x]+
Out[69]:=Re[woi] →e −2s+x ( 1 2 Cos[2s]Cos[s+ t+x]+
Như vậy ta nhận được biểu thức cho woi bằng cách:
In[70]:=woi[x_, s_, t_] e −2s+x *FullSimplify[ 1 2 Cos[2s]Cos[s+ t+ x] + 1 2 Cos[2(t+ x)]Cos[s +t+ x] + 1 2 Sin[2s]Sin[s+t+x] + 1 2 Sin[2(t+x)]Sin[s+t+x],Trig]+ e −s+x *FullSimplify[ 1 2 Cos[2s]Cos[s+t+x] + 1 2 Cos[2(t+x)]Cos[s+t+x] +
2Sin[2s]Sin[s+t+ x] + 1 2 Sin[2s]Sin[s+ t+x],Trig]
Từ đây ta suy ra công thức thế vị nhiệt thể tích:
Out[71]:= 10 1 e −2t+x (−(4 + 5e t )Cos[x] + 9e 2t e t+x − 2Sin[x] − 5e t Sin[x] + 7e 2t Sin[t+x])
Cuối cùng nghiệm của bài toán tìm được dưới dạng:
5e t Sin[x] + 7e 2t Sin[t+ x]) Đồ thị nghiệm của bài toán có dạng (chọn x ∈ (−2π,2π), t ∈ (−0,20)):
Hình 2.5: Đồ thị hàm sốu(x, t) = 22e
Nghiệm của phương trình truyền nhiệt trong R 2
Trong Mathematica ta nhập hàm thực hiện G bằng cú pháp:
Thực hiện tổ hợp phím Shift + Enter ta nhận được:
Nhập G[a, x, t] và thực hiện tổ hợp phím Shift + Enter ta nhận được: In[2]:=G[a, x, t]
The article discusses various mathematical functions defined using integrals and the Gaussian function G[a, x, t] These functions, such as voo, voi, vio, and vii, involve integrating products of Gaussian functions and another function u over infinite limits, specifically under the condition that time t is greater than zero Additional functions like wooo, wooi, woio, and woii incorporate a second variable and a time-dependent function f, integrating over a range of time s, constrained between zero and t The functions wioo, wioi, wiio, and wiii follow a similar structure, focusing on different combinations of variables and the Gaussian function Finally, the function ints simplifies the integration of a function w over the interval from zero to t, again under the condition that t is positive.
Cho chương trình này chạy để xác định thử một vài hàm thực hiện: voo[a,f]
The following symbols are defined for use in calculations: uooo[a_, f_]:=ints[wooo[a,f]], uooi[a_, f_]:=ints[wooi[a,f]], uoio[a_, f_]:=ints[woio[a,f]], uoii[a_, f_]:=ints[woii[a,f]], uioo[a_, f_]:=ints[wioo[a,f]], uioi[a_, f_]:=ints[wioi[a,f]], uiio[a_, f_]:=ints[wiio[a,f]], and uiii[a_, f_]:=ints[wiii[a,f]] To verify the obtained solutions, we utilize the following function: l1 is defined as (D[#4, t]-#1^2*(D[#4,x1,x1]+D[#4,x2,x2]+D[#4,x3,x3])-#2) and l0 as (Limit[#4,t→0,Direction→−1]-#3) The final result is simplified using l:=Simplify[{l1[#1,#2,#3,#4],l0[#1,#2,#3,#4]}].
Ví dụ 2.6 Tìm nghiệm của bài toán sau đây (n = 2):
Ta có: f221[x1_, x2_, t_]:=(x1+x2)*Exp[t]; u0221[x1_, x2_]:=Cos[x1]*Sin[x2]; a221=2; Để tính thế vị nhiệt bề mặt ta có thể sử dụng một trong các hàm thực hiện voo, voi, vio, vii voo[a221,u0221]
2ie −8t−ix2 (1 +e 2ix2 )Cos[x1] vii[a221,u0221] e −8t Cos[x1]Sin[x2]
Chúng ta có thể chọn thế vị nhiệt bề mặt là vii mà không cần rút gọn thêm Kết quả là v0221[x1_, x2_, t_]=e −8t Cos[x1]Sin[x2] Để xác định thế vị nhiệt thể tích, ta sử dụng các hàm uooo hoặc uiii, và trong trường hợp này, ta thu được cùng một kết quả: uooo[a221,f221].
Do đó thế vị nhiệt thể tích của bài toán đã cho tìm được dưới dạng: v1221[x1_, x2_, t_]=(−1 +e t )(x1 +x2)
Vậy nghiệm của bài toán đã cho là: u221[x1_, x2_, t_]=(v0221[x1,x2,t]+v1221[x1,x2,t]) / {x1 →x, x2→ y}
{0,0} Đồ thị nghiệm của bài toán có dạng (chọn x ∈ (−π, π), y ∈ (−20,20)),chọn t = 1:
Hình 2.6: Đồ thị hàm sốu(t, x, y) = (−1 +e t )(x+y) +e −8t cosxsiny(t = 1)
Ví dụ 2.7 Tìm nghiệm của bài toán sau đây (n = 2):
Ta đưa vào trong Mathematica các hàm sau đây: f222[x1_, x2_, t_]:=t*Exp[t]; u0222[x1_, x2_]:=x1*x2*Cos[x2]; a222=2;
Với các hàm thực hiện voo, vio và vii ta nhận được kết quả cho thế vị nhiệt bề mặt: voo[a222,u0222] e 4t+x2 x1(8t+x2) voi[a222,u0222] e 4t+x2 x1(8t+x2)
Như vậy thế vị nhiệt bề mặt của bài toán đã cho là: v0222[x1_, x2_, t_]=e 4t+x2 x1(8t+ x2) Để xác định thế vị nhiệt thể tích ta đưa vào hàm thực hiện: uooo[a222,f222]
Ta cũng nhận được kết quả tương tự khi thực hiện: uiii[a222,f222]
Như vậy thế vị nhiệt thể tích tìm được là: v1222[x1_, x2_, t_]=1 +e t (−1 +t)
Cuối cùng nghiệm của bài toán tìm được: u222[x_, y_, t_]=(v0222[x1,x2,t]+v1222[x1,x2,t])/.{x1 → x, x2 → y}
{0,0} Đồ thị nghiệm của bài toán có dạng (chọn x ∈ (−π, π), y ∈ (−20,20)), chọn t = 3):
Hình 2.7: Đồ thị hàm số u(t, x, y) = 1 +e t (−1 +t) +e 4t+x x(8t+y)(t = 3)
Ví dụ 2.8 Tìm nghiệm của bài toán sau:
5e t− x 2 + y 4 (7x−5y)t; u| t→0 + = (x−y) 2 Với bài toán đã cho ta có được các dữ kiện sau đây: f223[x1_, x2_, t_]=− 10 1 *Exp[t-x1/2-x2/4]*(7*x1-5*x2)*t; u0223[x1_, x2_]=(x1-x2) ^2; a223=1/√
Sử dụng các hàm thực hiện voo và vii ta nhận được kết quả như nhau cho thế vị nhiệt bề mặt: voo[a223,u0223] t
Thế vị nhiệt bề mặt trong bài toán được xác định dưới dạng v0223[x1_, x2_, t_] = 2t + (x1−x2)² Để tính toán thế vị nhiệt thể tích, chúng ta tiến hành xử lý hàm wiii wiii[x1_, x2_, s_, t_] = wiii[a223, f223].
Từ đây ta nhận được thế vị nhiệt thể tích bằng công thức: v1223[x1_, x2_, t_]=First[ints[Reset[wiii[x1,x2,s,t]]]]
Như thế nghiệm của bài toán đã cho tìm được dưới dạng: u223[x_, y_, t_]=(v0223[x1,x2,t]+v1223[x1,x2,t]) / {x1 →x, x2→ y} t
{0,0} Đồ thị nghiệm của bài toán có dạng (chọn x ∈ (−2π,2π), y ∈ (−20,20)), chọn t = 1 ):
Hình 2.8: Đồ thị hàm số u(t, x, y) = 2 t + (x − y) 2 +
Như vậy sau một thời gian tiếp cận, nghiên cứu và làm việc nghiêm túc, luận văn đã thực hiện được một số vấn đề sau đây:
1 Hệ thống lại các kiến thức liên quan đến bài toán truyền nhiệt trong
Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.
Xây dựng các hàm trong phần mềm Mathematica 4.2 giúp tính toán thế vị nhiệt thể tích và thế vị nhiệt bề mặt, từ đó xác định nghiệm cho bài toán truyền nhiệt dựa trên công thức Poisson.
Xem xét bài toán truyền nhiệt cho các trường hợp n=1 và n=2 với các ví dụ cụ thể Kết quả từ các ví dụ được thực hiện trong phần mềm Mathematica, giúp người dùng hình dung rõ ràng và chân thực về các dạng điệu của chúng.
4 Toàn luận văn được thực hiện trong phần mềm Mathematica 4.2 trên máy tính HP, hệ điều hành Window 7 Ultimate, tốc độ xử lý 2.2 Ghz, Ram 2GB.
Mặc dù tác giả đã nỗ lực hết mình trong việc thực hiện khóa luận tốt nghiệp, nhưng do hạn chế về kiến thức và trình độ cá nhân, bài luận vẫn còn nhiều thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp và động viên từ thầy cô và bạn bè để hoàn thiện hơn nữa Đặc biệt, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo hướng dẫn - TS Lê Hải Trung, người đã có những gợi ý và đóng góp quý báu cho đề tài.
[1] Lê Ngọc Bích Tự học Mathematica bằng hình ảnh NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh 2011
[2] Nguyễn Minh Chương Phương trình đạo hàm riêng NXB Giáo dục. 2001.
Vũ Đình Hòa và Nguyễn Hữu Điển đã giới thiệu về phần mềm Mathematica cùng với một số khả năng mở rộng của nó trong tuyển tập báo cáo hội thảo Hội thảo này tập trung vào việc phát triển các công cụ tin học hỗ trợ cho giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng toán học, diễn ra tại Hà Nội vào năm 1999.
[4] Nguyễn Thừa Hợp Giáo trình phương trình đạo hàm riêng Hà Nội. Đại học Quốc gia, 2001.
[5] Nguyễn Mạnh Hùng Phương trình đạo hàm riêng Nhà xuất bản Đại học Sư phạm 2009.
[6] Lê Hải Trung, Lê Văn Dũng, Huỳnh Thị Thúy Phượng Về bài toán truyền nhiệt trong Mathematica Tạp chí khoa học công nghệ - ĐH Đà Nẵng Số 6(47), Quyển 1 2011.
Lê Hải Trung, Nguyễn Văn Hiệu và Huỳnh Thị Thúy Phượng đã nghiên cứu ứng dụng phần mềm Mathematica để giải quyết bài toán truyền nhiệt trong không gian hai chiều Nghiên cứu này được công bố trong Tạp chí khoa học công nghệ của Đại học Đà Nẵng, số 6(47), quyển 2, năm 2011.
[8] Đề tài cấp ĐHĐN: Ứng dụng phần mềm Mathematica cho bài toán truyền nhiệt.Chủ nhiệm: TS Lê Hải Trung Thành viên: ThS Lê VănDũng Mã số: Đ2011-03-07 Năm: 2011.
