PHẦN NGUYÊN VÀ CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHẦN NGUYÊN 10600675

Mệnh đề 1

Trong dãy số tự nhiên: 1,2, … , 𝑛 (1)

𝑞] số chia hết cho số tự nhiên q

Nếu 𝑞 ≥ 𝑛 thì mệnh đề đúng

Giả sử 𝑞 < 𝑛, ta chứng minh các số của dãy (1) chia hết cho q là

𝑞] ∙ 𝑞 chia hết cho q và có mặt trong dãy (1) Mặt khác số ([ 𝑛

𝑞] + 1) ∙ 𝑞 chia hết cho q nhưng không có mặt trong dãy (1) vì [ 𝑛

𝑞] + 1) ∙ 𝑞 > 𝑛 Như vậy tất cả các số chia hết cho q trong dãy (1) là các số trong dãy (2), mà (2) có [ 𝑛

𝑞] số Đó là điều phải chứng minh.

Định lí Legendre

Trong sự phân tích số 𝑛! ra thừa số nguyên tố:

Nguyễn Thị Mai Anh Trang 10

Thì thừa số 𝛼 𝑖 của thừa số 𝑝 𝑖 nào đó sẽ là:

Nhận xét: (1) là tổng gồm hữu hạn số hạng khác 0 Vì với k đủ lớn thì 𝑛 2 khi đó [𝑥] > 0 và 𝑥 > √2 phương trình đã cho trở thành:

Vậy tập nghiệm của phương trình là 𝑆 = {−1; 0; √1 + √2}

5.2 Phương pháp đặt ẩn phụ

Bài toán 5.4 Giải phương trình a) [𝑥] 2 − [𝑥] − 2 = 0; b) [−𝑥 2 + 3𝑥] = [𝑥 2 + 1

Giải a) Đặt 𝑡 = [𝑥], ta có 𝑡 2 − 𝑡 − 2 = 0 ⇔ 𝑡 = −1 hoặc 𝑡 = 2

2 Vậy tập nghiệm của phương trình là:

Bài toán 5.5 Giải phương trình {𝑥 2 } = {𝑥} 2 (1)

Thế giá trị 𝑥 vừa tìm được ta thấy

2𝑚 (0 ≤ 𝑘 < 2𝑚, 𝑘, 𝑚 ∈ 𝒁) là nghiệm của phương trình

Bài toán 5.6 Giải các phương trình a) [ 8𝑥+19

2 vào phương trình ta được:

Bài toán 5.7 Giải phương trình

Giải Đặt [𝑥] = 𝑛, 𝑛 ≥ 0 Khi đó phương trình trở thành:

Bài toán 5.8 Giải phương trình a) [ 2𝑥+1

Kết hợp với 𝑥 2 ∈ 𝒁 ta có x = 0

Kết hợp với 𝑥 2 ∉ 𝒁 ta có −2 < 𝑥 < − 1

Bài toán 5.9 Giải phương trình sau bằng đồ thị

Từ đồ thị hai hàm số 𝑦 1 = 1−𝑥

2 Ta vẽ đồ thị hai hàm số

Nhìn vào đồ thị ta có tập nghiệm của phương trình là 𝑆 = 𝑅

Từ đồ thị hai hàm số 𝑦 1 = 2𝑥 − 1 và 𝑦 2 = 1 − 𝑥 Ta vẽ đồ thị hai hàm số

Nhìn vào đồ thị ta có tập nghiệm của phương trình là 𝑆 = [ 1

Từ đồ thị hàm số 𝑦 1 = 5+6𝑥

8 ta vẽ đồ thị hàm số 𝑦 1 ′ = [ 5+6𝑥

8 ] Giao của hai đồ thị hàm số 𝑦 1 ′ = [ 5+6𝑥

5 chính là nghiệm của phương trình đã cho

Nhìn vào đồ thị ta có tập nghiệm của phương trình là 𝑆 = { 7

Phương trình đã cho tương đương với [𝑥] = −(𝑥 + 1) 2 + 1

Từ đồ thị hàm số 𝑦 1 = 𝑥 ta vẽ đồ thị hàm số 𝑦 1 ′ = [𝑥] Giao của hai đồ thị hàm số 𝑦 1 ′ = [𝑥] và (𝑃): 𝑦 = −(𝑥 + 1) 2 + 1 chính là nghiệm của phương trình đã cho

Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình có tập nghiệm là 𝑆 = {0; −3; −√5 − 1}

Bài toán 6.1 Chứng minh rằng [(2 + √3) 𝑛 ] là số lẻ với 𝑛 ∈ 𝑵

Nguyễn Thị Mai Anh Trang 52 Đặt {𝑥 1 = 2 − √3

𝑥 1 𝑥 2 = 1 ⟹ 𝑥 1 , 𝑥 2 là nghiệm của phương trình 𝑥 2 − 4𝑥 + 1 = 0 Đặt 𝑆 𝑛 = 𝑥 1 𝑛 + 𝑥 2 𝑛 Ta có:

Ta có 𝑆 0 = 2, 𝑆 1 = 4 nên từ (3) ta suy ra 𝑆 𝑛 là số nguyên chẵn với mọi 𝑛 ∈

⟹ [(2 + √3) 𝑛 ] = 𝑆 𝑛 − 1 là số lẻ với mọi 𝑛 ∈ 𝑵

Bài toán 6.2 Tìm hai chữ số tận cùng của số: [(√29 + √21) 2000 ]

𝑥 1 , 𝑥 2 là nghiệm của phương trình 𝑥 2 − 100𝑥 + 64 = 0 Đặt 𝑆 𝑛 = 𝑥 1 𝑛 + 𝑥 2 𝑛 Ta có:

Vậy [(√29 + √21) 2000 ] có chữ số tận cùng là 51

Bài toán 6.3 Cho 𝑛 ∈ 𝑵 ∗ , chứng minh rằng 2 𝑛 không thể là ước của 𝑛!

Giả sử 𝑛! = 2 𝛼 2 ∙ 𝑞 với (2,q) = 1 Để chứng minh 2 n không thể là ước của n! ta chứng minh 𝑛 > 𝛼 2 Ta có

Bài toán 6.4 Tìm số tự nhiên k lớn nhất thỏa điều kiện:

Tìm ra số mũ lớn nhất của mỗi thừa số 3, 5, 7, 19 trong số (1994!) 1995

Số mũ 3 của phân tích 1994! ra thừa số là:

Vậy trong 1994! Có các thừa số 3 992 , 5 495 , 7 329 , 19 109 , suy ra

(1994!) 1995 = (3 992 5 495 7 329 19 109 𝑀) 1995 Trong đó M nguyên tố cùng nhau với 3, 5, 7, 19

Vậy 109.1995 là số lớn nhất cần tìm

Bài toán 6.5 Cho 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑵 ∗ , chứng minh rằng A là một số nguyên Với

Các dạng toán khác

( Vô địch Toán Quốc tế - 1972)

Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên tố p, các thừa số p chứa trong tích (2𝑚)! (2𝑛)! không nhỏ hơn các thừa số p chứa trong tích 𝑚! 𝑛! (𝑚 + 𝑛)!

Gọi 𝑆 1 , 𝑆 2 lần lượt là số thừa số p chứa trong tích (2𝑚)! (2𝑛)! và 𝑚! 𝑛! (𝑚 +

𝑝 2 ] + ⋯ Để chứng minh 𝑆 1 ≥ 𝑆 2 ta cần chứng minh với 𝑘 ∈ 𝑵, thì

Tiêu đề	Phần Nguyên Và Các Dạng Toán Về Phần Nguyên
Tác giả	Nguyễn Thị Mai Anh
Người hướng dẫn	Th.S. Nguyễn Thị Sinh
Trường học	Đại Học Đà Nẵng
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	khóa luận tốt nghiệp
Thành phố	Đà Nẵng

Định dạng
Số trang	57
Dung lượng	0,99 MB