GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Giới hạn của dãy số
1.2.1 Những khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.6 Số a∈Rđược gọi là giới hạn của dãy (xn)⊂R,nếu như với mọi∀ε >0tồn tại sốN =N(ε) sao cho với mọi∀n > N luôn có bất đẳng thức |x n −a|< ε.
Nếu số a ∈ R là giới hạn của dãy (x_n) ⊂ R, thì ta viết lim n→∞ x_n = a Dãy số (x_n) ⊂ R có giới hạn hữu hạn a ∈ R được gọi là dãy hội tụ đến a, ký hiệu là x_n → a Ngược lại, dãy số (x_n) ⊂ R được gọi là phân kỳ nếu mọi số a ∈ R không phải là giới hạn của dãy này, tức là không tồn tại giới hạn hoặc bằng ∞.
1.2.2 Tính chất của giới hạn hữu hạn của dãy số Định lý 1.2
Mọi dãy hội tụ(xn)⊂R đều bị chặn.
Chú ý.Điều ngược lại không đúng Ví dụ dãya n = (−1) n bị chặn nhưng phân kỳ. Định lý 1.3
Nếu dãy số(xn)⊂Rcó giới hạn hữu hạn athì giới hạn đó là duy nhất. Định lý 1.4
Nếu dãy số(xn)⊂Rvà (yn)⊂Rcó giới hạn hữu hạntương ứng là avàbthì:
4 Nếu bổ sung thêm điều kiệnb6= 0 thì ta có lim n→∞ xn y n = a b.
1.2.3 Những giới hạn cơ bản
Những giới hạn cơ bản
Chú ý.Với p, α >0, a >1,khin→ ∞thì ln p n N luôn có bất đẳng thức xn> M(xn M).
Ví dụ 1.2.2 Dãy sốxn=q n (n∈N) với q >1 có giới hạn lim n→∞q n = +∞.
Chứng minh.Vì0< 1 q 0bất kỳ và đặtε= M 1 >0,khi đó theo định nghĩa giới hạn thì đối với sốε >0 này tồn tại số N =N(ε) >0 sao cho với mọi ∀n > N luôn có bất đẳng thức| q 1 n −0|= q 1 n < ε= M 1 , có nghĩa là q n > M(∀n > N).Như vậy lim n→∞q n = +∞
Ví dụ 1.2.3 Dãy sốx n =q n (n∈N) với q 0 này tồn tại số N =N(ε)>0 sao cho với mọi∀n > N luôn có bất đẳng thức|| q 1 n| −0|= |q| 1 n < ε= M 1 ,có nghĩa là |x n |=|q n |=|q| n > M(∀n > N).Như vậy lim n→∞q n =∞ Chú ý Số +∞ và −∞ trong trường hợp này không là giới hạn của dãy xn = q n (n ∈ N) với q 0,còn với mọi số lẻn thìxn=q n x 2 > .>x n > .>z), thì nó có giới hạn hữu hạn Còn nếu như dãy số đơn điệu tăng(giảm) (x n )⊂R không bị chặn trên (dưới) thì giới hạn của nó là+∞(−∞).
Ví dụ 1.3.1 Chứng minh rằng dãy số (x n ) = (1 + n 1 ) n (n ∈N) có giới hạn hữu hạn Giới hạn này được kí hiệu là e.
Chứng minh Như ta đã biết dãy (xn) trên là dãy tăng và bị chặn trên Vì vậy theo định lý Weierstrass tồn tại giới hạn hữu hạn n→∞lim
Chú ý Số e là số siêu việt (không phải là số đại số) Nó không là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên có bậcn>1.
Số e≈2,718281828459045,số này còn được gọi là số Neper hay số Ơle.
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số
1.4.1 Dùng biến đổi đại số để tìm giới hạn của dãy số
Ví dụ 1.4.1 Tìm giới hạnI = lim n→∞ n 2 n+ 1− n 3 n 2 + 1
Ví dụ 1.4.2 Tìm giới hạnI = lim n→∞
Ví dụ 1.4.3 Tìm giới hạnI = lim n→∞
Ví dụ 1.4.4 Tìm giới hạnI = lim n→∞
Ví dụ 1.4.5 Tìm giới hạnI = lim n→∞
Ví dụ 1.4.6 Tìm giới hạnI = lim n→∞
1.4.2 Dùng định lý kẹp tìm giới hạn của dãy số
Ví dụ 1.4.7 Tìm giới hạn n→∞lim
Ví dụ 1.4.8 Tìm giới hạnI = lim n→∞
Bằng phương pháp qui nạp toán học ta có thể chứng minh được n!> n 2
Ví dụ 1.4.9 Tìm giới hạnI = lim n→∞
Theo công thức nhị thức Newton ta có n= (1 + (√ n n−1)) n = 1 +n(√ n n−1) + +n(n−1)
Với mọi ∀n >1ta có n > n(n−1) 2 (√ n n−1) 2 Do đó với mọi∀n >1,0< √ n n−1< r 2 n−1.
Mặt khác lim n→∞ r 2 n−1 = 0 nên lim n→∞
Ví dụ 1.4.10 Tìm giới hạnI = lim n→∞
Theo công thức nhị thức Newton ta có a= (1 + (√ n a−1)) n = 1 +n(√ n a−1) + +n(n−1)
Vớia >1ta có a > n(√ n a−1).Do đó 0< √ n a−1< a n.
Mặt khác lim n→∞ a n = 0 nên lim n→∞
Ví dụ 1.4.11 Tìm giới hạnI = lim n→∞q n , |q|0.Theo bất đẳng thức Bernoulli (1.1) ở trang
Ví dụ 1.4.12 Tìm giới hạnI = lim n→∞ n a n , a >1.
Theo công thức nhị thức Newton ta cóa n = (1 + (a−1)) n = 1 +n(a−1)
Với a > 1 ta có a n > n(n−1) 2 (a − 1) 2 Do đó 0 < n a n < 2
1.4.3 Sử dụng giới hạn cơ bản
Ví dụ 1.4.14 Tìm giới hạn của dãy an= 1 + 7 n+2
Chia tử số và mẫu số cho7 n ta được lim n→∞a n = lim n→∞
Ví dụ 1.4.15 Tìm giới hạn lim n→∞
2 n + 3 n Chia tử số và mẫu số cho3 n ta có an 4.2 n
Do đó lim n→∞an= lim n→∞
Ví dụ 1.4.16 Tìm giới hạn lim n→∞
5.2 n −3.5 n+1 100.2 n + 2.5 n Chia tử số và mẫu số cho5 n ta có a n 5.2 n
Ví dụ 1.4.17 Tìm giới hạn lim n→∞
5 n −(−1) n 6 n+1 Chia tử số và mẫu số cho(−6) n ta có an 1− (−6) 5.5 n n
Ví dụ 1.4.18 Tìm giới hạn lim n→∞
2 −n −3 n Chia tử số và mẫu số cho3 n ta có an 2 n
Do đó lim n→∞an= lim n→∞
Ví dụ 1.4.19 Tìm giới hạn lim n→∞
1 n 2 −(−1) n Chia tử số và mẫu số cho(−1) n ta có an= 1 + (−1) n n
Do đó lim n→∞an= lim n→∞
1.4.4 Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu
Ví dụ 1.4.20 Chứng minh rằng dãy an= 1
Dãya n là dãy đơn điệu tăng Thật vậy, vì an+1 =an+ 1
Dãyan bị chặn trên Thật vậy a n = 1
4. Như vậy, dãy a n đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
Ví dụ 1.4.21 Chứng minh rằng dãy an= 1
Dãyan là dãy đơn điệu tăng Thật vậy, vì an+1 =an+ 1
Dãyan bị chặn trên Thật vậy a n = 1
2. Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
Ví dụ 1.4.22 Chứng minh rằng dãy a n = 2 n n! hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Giải.Dãy an là dãy đơn điệu giảm Thật vậy, vì an+1 a n 2 n+1 (n+1)!
Dãy a n bị chặn dưới bởi0 vì a n >0 Như vậy, dãya n đã cho đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên nó hội tụ.
Giả sử lim n→∞a n =a Ta có a n+1 = 2 n+ 1a n Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞ ta được n→∞lim a n+1 = lim n→∞
2an.Chứng minh rằng dãy (an) hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Dãya n là dãy đơn điệu tăng vìa 1 < a 2 < a 3 <
Ta sẽ chứng minh dãya n bị chặn trên bởi2.
Giả sử đã chứng minh được rằnga n 62.Ta sẽ chứng minh a n+1 62.
2.2 = 2.Vậy theo nguyên lý qui nạp ta cóan62,∀n∈N Như vậy, dãyan đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
Giả sử lim n→∞a n =a Ta cóa n+1 =√
2a n ⇒ a 2 n+1 = 2a n Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n→ ∞ta được n→∞lim a 2 n+1 = 2 lim n→∞a n
, a >0.Chứng minh rằng dãy(xn) hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Giải.Dãyan là dãy đơn điệu tăng vì x1 < x2 < x3 < Ta sẽ chứng minh dãyxn bị chặn trên bởi √ a+ 1.
Giả sử đã chứng minh được rằngx n 6√ a+ 1.Ta sẽ chứng minh x n+1 6√ a+ 1.
Thật vậy, xn+1 =√ a+xn < p a+√ a+ 1< p a+ 2√ a+ 1 = √ a+ 1 Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có xn6√ a+ 1,∀n∈N Như vậy, dãyx n đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
Giả sử lim n→∞xn=x Ta cóxn+1=√ a+xn⇒x 2 n+1 =a+xn. Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khin→ ∞ ta được n→∞lim x 2 n+1 =a+ lim n→∞x n
1.4.5 Sử dụng giới hạn của số e
Sử dụng giới hạn của số e tính giới hạn dạng1 ∞ n→∞lim
Ví dụ 1.4.25 Tìm giới hạn lim n→∞
Ví dụ 1.4.26 Tìm giới hạn lim n→∞ n n+ 1 n
Ví dụ 1.4.27 Tìm giới hạn lim n→∞
Ví dụ 1.4.28 Tìm giới hạn lim n→∞
1.4.6 Chứng minh dãy số phân kỳ Để chứng minh dãy (x n ) phân kỳ ta làm như sau:
Cách 1 Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau.
Cách 2 Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ.
Ví dụ 1.4.29 Chứng minh rằng dãy an= (−1) n 2n+ 3
Giải.Xét 2 dãy con với chỉ số chẵn và lẻ ta có a2k = (−1) 2k 2.2k+ 3
3 khik→ ∞.Vậy tồn tại 2 dãy con có giới hạn khác nhau nên dãy đã cho phân kỳ.
1.4.7 Tóm tắt các khái niệm cơ bản của chương 1
Giới hạn của dãy số
1 Những giới hạn cơ bản
5 Dùng mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số chứng minh dãy số phân kỳ
Bài tập
Bài tập 1.5.1 Tìm giới hạn của các dãy số sau
6 + . Bài tập 1.5.2 Sử dụng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu:
1 Tìm giới hạn của dãy an được xác định như sau: 0< a1 1.
5an, k ∈N.Chứng minh rằng dãy (an) hội tụ và tìm giới hạn của nó.
3 Chứng minh rằng dãy an= n! n n hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Lời giải bài tập chương 1
Chia tử số và mẫu số cho ln n ta được I = 1
Chia tử số và mẫu số cho lg(n) ta được I = 1
1 + ln(n) + ln(1 + 1 n ) Chia tử số và mẫu số cho ln n ta được I = 2
18 I = lim n→∞ (n 2 3 n + 4 n ) 1/n = e n→∞ lim ln(n 2 3 n + 4 n ) n = e n→∞ lim ln(4 n ( n 2 4 3 n n + 1)) n = e n→∞ lim n ln(4) + ln( n 2 4 3 n n + 1) n = e ln 4 = 4.
19 I = lim n→∞ (n + (−1) n ) 1/n = e n→∞ lim ln(n + (−1) n ) n = e n→∞ lim ln(n(1 + (−1) n n )) n = e n→∞ lim ln(n) + ln( (−1) n n + 1) n = e 0 = 1.
2n 2 − 5n + 3 n 5 + 1 n = e n→∞ lim ln(2n 2 − 5n + 3) − ln(n 5 + 1) n = e n→∞ lim ln(2n 2 ) + ln(1 − 2n 5n 2 + 2n 3 2 ) − ln(n 5 ) − ln(1 + n 1 5 ) n = e 0 = 1.
= e n→∞ lim ln n 4 + 3 n n + 5 n n = e n→∞ lim ln(n 4 + 3 n ) − ln(n + 5 n ) n = e n→∞ lim ln(3 n ) + ln( n 3 n 4 + 1) − ln(5 n ) + ln( 5 n n + 1) n = e ln 3 5 = 3
Để chứng minh rằng dãy số \( a_n \) bị chặn trong khoảng \( 0 < a_n < 1 \), ta bắt đầu với \( a_1 \) thỏa mãn điều kiện này Giả sử rằng \( 0 < a_n < 1 \) đã được chứng minh, ta tiếp tục chứng minh cho \( a_{n+1} \) Cụ thể, ta có \( a_{n+1} = a_n (2 - a_n) = 1 - (1 - a_n)^2 \) Vì \( 0 < (1 - a_n)^2 < 1 \) nên suy ra \( 0 < a_{n+1} < 1 \) Như vậy, theo nguyên lý quy nạp, ta khẳng định rằng dãy số \( a_n \) luôn nằm trong khoảng \( 0 < a_n < 1 \).
Chúng ta sẽ chứng minh rằng dãy a_n là đơn điệu tăng Cụ thể, từ công thức a_{n+1} = a_n (2 - a_n), ta có a_{n+1} / a_n = 2 - a_n, dẫn đến a_{n+1} > a_n khi a_n < 2 Do đó, dãy a_n là đơn điệu tăng và bị chặn trên, điều này chứng tỏ rằng nó hội tụ Giả sử giới hạn lim n→∞ a_n = a.
Ta có a n+1 = a n (2 − a n ) Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞ ta được lim n→∞ a n+1 = n→∞ lim a n lim n→∞ (2 − a n ) Do đó a = a.(2 − a) ⇒ a = 0 W a = 1 Vì a n > a 0 > 0 và a n đơn điệu tăng nên a = 1 Vậy lim n→∞ a n = 1.
2 Dãy a n là dãy đơn điệu tăng vì a 1 < a 2 < a 3 < Ta sẽ chứng minh dãy a n bị chặn trên bởi k−1 √
5 Giả sử đã chứng minh được rằng a n 6 k−1 √
Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có a n 6 k−1 √
5, ∀n ∈ N Như vậy, dãy a n đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.
Giả sử lim n→∞ a n = a Ta có a n+1 = √ k
5a n ⇒ a k n+1 = 5a n Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞ ta được n→∞ lim a k n+1 = 5 lim n→∞ a n
3 Dãy a n là dãy đơn điệu giảm Thật vậy, vì a n+1 a n =
Dãy a n bị chặn dưới bởi 0 vì a n > 0 Dãy a n đã cho đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên nó hội tụ.
Giả sử lim n→∞ a n = a Ta có a n+1 = n n
(n + 1) n a n Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞ ta được n→∞ lim a n+1 = lim n→∞ n n (n + 1) n lim n→∞ a n
GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN
Giới hạn của hàm số
2.1 Giới hạn của hàm số
Lý thuyết tương đối của Albert Einstein
Nếu L₀ là khoảng cách từ người đứng yên đến vật đứng yên, và L là khoảng cách từ người đứng yên đến vật chuyển động với vận tốc v (m/s), thì có thể áp dụng công thức liên quan đến hai khoảng cách này.
1−v 2 c 2 , ở đâyc là vận tốc ánh sáng.Câu hỏi:Nếu vật chuyển động với vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng thì khoảng cách Lsẽ như thế nào?
Theo yêu cầu bài toán chúng ta cần tìm v→climL0. r
Kết luận: Nếu vật chuyển động với vận tốccàng gầnvới vận tốc ánh sáng, thì khoảng cách giữa người đứng yên và vật chuyển độngcàng gầnvề 0.
2.1.1 Định nghĩa điểm giới hạn
Cho X⊂R là 1 tập hợp số nào đó, còna∈R là 1 số cố định nào đó.
Hình 2.1 minh họa chuyển động của vật với vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng Định nghĩa 2.1 nêu rõ rằng nếu a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X ⊂ R, thì tồn tại một dãy số (xn) ⊂ X hội tụ về điểm này, tức là xn → a Định nghĩa 2.2 cho biết tập hợp (a−ε, a+ε) với ε > 0 là số tùy ý, được gọi là lân cận của a, ký hiệu O(a, ε).
2.1.2 Định nghĩa giới hạn của hàm số
Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, nếu với mọi dãy.
∀(x n )⊂X\ahội tụ vềa:x n →a,dãy giá trị của hàm số tương ứng hội tụ về A:f(x n )→A.
Ví dụ 2.1.1 Giới hạn của hàm sốf(x) =x+1,khix→0là1vì với∀x n →0thìf(x n ) =x n +1→1.
Ví dụ 2.1.2 Tìm giới hạnI = lim n→∞ lnn n
1 = 0(theo L’ Hopital)⇒SAI vì KHÔNG TỒN TẠI (lnn) 0 ,(n) 0 , n∈N.
Cách giải đúng lim x→∞ lnx x = lim x→∞
1 = 0(theo L’ Hopital).Do đó theo định nghĩa giới hạn của hàm số với x n =n→ ∞,ta có f(x n ) = lnn n →0.Vậy I = 0.
Chú ý.Nếu tồn tại 2 dãy (xn),(yn) cùng hội tụ vềa nhưngf(xn), f(yn) tiến tới2 giới hạn khác nhau thì KHÔNG TỒN TẠI giới hạn lim x→af(x).
Ví dụ 2.1.3 Tìm I = lim x→0sin1 x
→ 0 và yn = nπ 1 → 0 Ta có lim n→∞f(xn) = lim n→∞sin(2πn+ π 2 ) n→∞lim sin( π 2 ) = 1 và lim n→∞f(y n ) = lim n→∞sin(πn) = 0.Vậy @I.
2.1.3 Giới hạn của hàm số từ một phía
X a + = {x ∈ X | x > a} và X a − = {x ∈ X | x < a} Hàm số f(x) được xác định trên tập hợp X ⊂ R với a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X a + (X a − ) Định nghĩa 2.4: Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a từ bên phải (hoặc bên trái) nếu lim x→a, x ∈ X a + f(x) = A (lim x→a, x ∈ X a − f(x) = A).
Chúng được kí hiệu là lim x→a+0f(x), f(a+ 0) và lim x→a−0f(x), f(a−0)
Giải.Dễ dàng thấy rằng f(0 + 0) = lim x→0+0f(x) = 1 còn f(0−0) = lim x→0−0f(x) =−1.
Cho a là điểm giới hạn của tập hợp X, với X a + = {x ∈ X | x > a} và X a − = {x ∈ X | x < a} Khi đó, a cũng là điểm giới hạn của tập hợp X Định lý 2.1 phát biểu rằng đẳng thức lim x→a f(x) = A tương đương với hai đẳng thức khác.
2.1.4 Tính chất của giới hạn của hàm số Định lý 2.2
Nếu hàm số f(x) và g(x) với cùng 1 tập xác định X ⊂ R có giới hạn hữu hạn khi x → a : x→alimf(x) =A và lim x→ag(x) =B thì ta có đẳng thức x→alim[f(x)±g(x)] =A±B x→alim[f(x).g(x)] =A.B
Nếu có thêm điều kiệnB 6= 0 thì lim x→a f(x) g(x) = A
Phân loại giới hạn của hàm số
Các dạng không phải vô định a
7 dạng vô định trong giới hạn hàm số
0 ,∞ − ∞,0.∞,1 ∞ ,∞ 0 ,0 0 Tính chất của giới hạn của hàm số
1 Nếu hàm số f(x) khi x → a có giới hạn hữu hạn lim x→af(x) = A thì giới hạn đó là duy nhất.
( g(x)6f(x)6h(x),∀x∈O(a, ε) x→alimg(x) =A= lim x→ah(x).(A−hữu hạn) thì lim x→af(x) =A.
Ví dụ 2.1.5 Tính giới hạn I = lim x→0x 2 sin1 x
Giải.I = lim x→0x 2 lim x→0sin1 x SAI vì lim x→0sin1 x KHÔNG tồn tại.
Cách giải đúng:−x 2 6x 2 sin1 x 6x 2 và lim x→0(−x 2 ) = lim x→0x 2 = 0.Vậy I = 0.
2.1.5 Giới hạn của hàm hợp Định lý 2.3
Cho lim x→af(x) = b,lim y→bg(y) = c và tồn tại sốδ0 >0 sao cho với mọi ∀x∈X\a thỏa mãn bất đẳng thức|x−a|< δ0 luôn cóf(x)6=bthì giới hạn của hàm hợp là lim x→ag(f(x)) =c.
Ví dụ 2.1.6 lim x→0sin(x 2 + 2x+ 3) = sin 3vì lim x→0x 2 + 2x+ 3 = 3và lim y→3siny= sin 3
Giới hạn vô cùng bé của hàm số
Hàm số α = α(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và số a là điểm giới hạn của tập hợp X Hàm số này được gọi là hàm vô cùng bé (VCB) khi giới hạn của nó bằng 0 khi x tiến đến a, tức là lim (x→a) α(x) = 0.
2.2.2 Tính chất của hàm vô cùng bé
Cho hàm số α=α(x) vàβ =β(x) xác định trên cùng 1 tập hợp X⊂Rvà số a∈R là điểm giới hạn của tập hợpX.
( α=α(x)−V CB khi x→a β =β(x)−V CB khi x→a ⇒α±β =α(x)±β(x)−V CB khi x→a
( α=α(x) −hàm bị chặn∀x∈O(a, ε) β =β(x) −V CB khix→a ⇒α.β =α(x).β(x) =α(x).β(x)−V CB khix→a
3 o Nếuα=α(x) làVCB khi x→athì với mọi∀c∈R tíchc.α(x) cũng làVCB khix→a.
( α=α(x) −V CB khix→a β =β(x) −V CB khix→a ⇒α.β=α(x).β(x) =α(x).β(x)−V CB khi x→a
2.2.3 So sánh hàm vô cùng bé
Cho α=α(x) vàβ =β(x) là những VCB khi x→a, khi đó nếu
1 lim x→a α(x) β(x) = 0 thìα(x) là VCB có bậc cao hơn β(x).
2 lim x→a α(x) β(x) 0(c∈R) thì α(x), β(x) là VCB có cùng bậc.
3 lim x→a α(x) β(x) =∞ thìα(x)là VCB có bậc thấp hơnβ(x).
4 không tồn tại lim x→a α(x) β(x) hữu hạn hay vô cùng thì α(x), β(x) được gọi là VCB không so sánh được.
2.2.4 Vô cùng bé tương đương Định nghĩa 2.6 Những VCB α =α(x) và β = β(x) khi x → a được gọi là tương đương nếu như x→alim α(x) β(x) = 1.Kí hiệuα(x)∼β(x) khix→ahay α(x) x→a ∼ β(x).
Nguyên lý thay thế VCB tương đương:ngắt bỏ VCB cấp cao Định lý 2.4
Khi x→aVCB α(x)∼α(x) còn VCB β(x)∼β(x).Khi đó luôn có đẳng thức x→alim α(x) β(x) = lim x→a α(x) β(x) (2.1) nếu như có ít nhất 1 trong 2 giới hạn trên tồn tại. x→alim
Tổng hữu hạn các VCB Tổng hữu hạn các VCB = lim x→a
Tổng các VCB có bậc thấp nhất của tử và mẫu cần phải tồn tại, đảm bảo rằng chúng không bị triệt tiêu.
2.2.5 Những giới hạn cơ bản
2.2.6 Bảng những hàm vô cùng bé tương đương
Khi x→0 những hàm VCB sau tương đương
2 Bảng các VCB tương đương thường gặp khi x→0.
1 x,sinx,arcsinx,sinhx,tanx,arctanx, ln(1 +x), e x −1 là các VCB tương đương.
2 ,1−cosx,coshx−1 là các VCB tương đương.
3 (1 +x) α −1 vàαx là 2 VCB tương đương
Cách sử dụng VCB tương đương khi tính giới hạn Định lý 2.5
Nếu ( u(x)→0 khi x→a f(x)∼g(x)khi x→0 thì f(u(x))∼g(u(x))khi x→a. Định lý 2.6
Nếuα(x)→α 0 6= 0 và β(x)∼β(x)khi x→athìα(x).β(x)∼α 0 β(x)khi x→a
2.2.7 Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương
Ví dụ 2.2.1 Tính giới hạnI = lim x→0 sin√
1−2xln cosx−1 Giải.Khi x→0,ta có
2.2.8 Những lỗi SAI thường gặp
1 Nếuf(x), g(x) là những VCB tương đương khi x→a thìf(x) +C∼g(x) +C, C 6= 0SAI ??? vìf(x) +C, g(x) +C KHÔNG là VCB.
2 Nếu f(x), g(x) là những VCB tương đương khi x → a thì lnf(x) ∼ lng(x) SAI ??? vì lnf(x),lng(x)KHÔNG là VCB.
3 Nếu f(x), g(x) là những VCB tương đương khi x → a thì cosf(x) ∼ cosg(x) SAI ??? vì cosf(x),cosg(x) KHÔNG là VCB.
4 Nếu f(x) ∼ f(x), g(x) ∼ g(x) khi x → a thì f(x) ±g(x) ∼ f(x) ±g(x) có thể SAI ??? ví dụ sinx ∼ tanx khi x → 0 nhưng sinx −x và tanx −x KHÔNG tương đương nhau. x→0lim sinx−x tanx−x =−1/2.Nguyên nhân SAI: VCB có bậc thấp nhất ở tử và mẫu KHÔNG TỒN TẠI vì hệ số của nóbằng 0 SỬ DỤNG được quy tắc ngắt bỏ VCB có bậc cao hơn khi tổng các VCB có bậc thấp nhất phải TỒN TẠI.
Ví dụ 2.2.2 TìmI = lim x→0 e x 2 −cosx x 2
2 SAI vìe x 2 KHÔNG là VCB khi x→0.
Giới hạn vô cùng lớn của hàm số
Cho hàm sốf(x) xác định trên tập hợpX ⊂Rvà số alà điểm giới hạn của tập hợp X. Định nghĩa 2.7 Hàm sốf(x) được gọi là hàmvô cùng lớnkhi x→anếu lim x→a|f(x)|= +∞.
2.3.2 So sánh hàm vô cùng lớn
Chof(x) vàg(x) với cùng 1 tập xác địnhX⊂R là những VCL khix→a,khi đó nếu
1 lim x→a f(x) g(x) =∞ thìf(x)được gọi là VCL có bậc cao hơn g(x).
2 lim x→a f(x) g(x) 0(c∈R) thìf(x), g(x)được gọi là VCL có cùng bậc.
3 lim x→a f(x) g(x) = 0thì f(x) được gọi là VCL cóbậc thấp hơng(x).
4 không tồn tại lim x→a f(x) g(x) hữu hạn hay vô cùngthìf(x), g(x)được gọi là VCL không so sánh được.
2.3.3 Vô cùng lớn tương đương Định nghĩa 2.8 Những hàm vô cùng lớnf(x) vàg(x) khi x→ađược gọi làtương đương nếu như x→alim f(x) g(x) = 1.
Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp. x→alim
Tổng hữu hạn các VCL Tổng hữu hạn các VCL = lim x→a
Tổng các VCL có bậc cao nhấtcủa tử Tổng các VCL có bậc cao nhấtcủa mẫu
Chú ý.Tổng các VCL cóbậc cao nhất của tử và mẫu phải TỒN TẠI, có nghĩa là chúng không bị triệt tiêu.
Những giới hạn cơ bản của vô cùng lớn.
Thứ tự vô cùng lớn khi x→+∞: ln α x 0
3 Tìm ađể hàm số sau liên tục tạix 0 = 0 f(x) ( cosx, x60 a(x−1), x >0.
4 Tìm a, bđể hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó f(x)
5 Tìm a, bđể hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó f(x) ( x, |x|61 x 2 +ax+b, |x|>1.
Lời giải bài tập chương 2
2.5.1 1 lim x→0 ln(1 + x tan x) = 0, lim x→0 x 2 + sin 3 x = 0 nên ta có thể thay chúng bằng VCB tương đương. Khi x → 0 thì ln(1 + x tan x) x→0 ∼ x tan x x→0 ∼ x 2 vì ln(1 + u(x)) ∼ u(x) khi u(x) → 0 và tan x ∼ x. Khi x → 0 thì x 2 + sin 3 x x→0 ∼ x 2
2 Ta có lim x→0 ln(cos x) = 0 và lim x→0 ln(1 + x 2 ) = 0 nên ta có thể thay chúng bằng VCB tương đương.
Khi x → 0 thì ln(cos x) = ln(1 + (cos x − 1)) x→0 ∼ cos x − 1 x→0 ∼ −x 2
3 Ta có lim x→1 sin(e x−1 − 1) = 0 và lim x→1 ln x = 0 nên ta có thể thay chúng bằng những VCB tương đương. Khi x → 1 thì sin(e x−1 − 1) x→1 ∼ e x−1 − 1 x→1 ∼ x − 1 vì sin(u(x)) x→1 ∼ u(x), e u(x) − 1 ∼ u(x) khi u(x) → 0. Khi x → 1 thì ln x = ln(1 + (x − 1)) x→1 ∼ x − 1.
4 Ta có lim x→0 (e x − 1)(cos x − 1) = 0 và lim x→0 sin 3 x + 2x 4 = 0 nên thay VCB tương đương.
Khi x → 0 thì e x −1 x→0 ∼ x, cos x−1 x→0 ∼ −x 2 2 nên (e x −1)(cos x−1) x→0 ∼ x( −x 2
5 Ta có lim x→0 sin 2x + 2 arctan 3x + 3x 2 = 0 và lim x→0 ln(1 + 3x + sin 2 x) + xe x = 0 nên thay VCB tương đương. Khi x → 0 thì sin 2x + 2 arctan 3x + 3x 2 x→0 ∼ (2x + 2.3x), ln(1 + 3x + sin 2 x) + xe x x →0 ∼ 3x + x.
2.5.2 1 Ta có lim x→0 ln(1 + a 3 x) x = a 3 , lim x→0 tan(3ax) x = 3a, lim x→0
1 − 2x x = 1 Do đó a cần tìm thỏa mãn phương trình a 3 + 3a + 1 = 0 Đặt a = u + v, ta được u 3 + v 3 + 1 + 3(u + v)(uv + 1) = 0. Chọn
( u 3 + v 3 = −1 uv + 1 = 0 ⇒ u 3 , v 3 là nghiệm của phương trình t 2 + t − 1 = 0 ⇒ Nghiệm duy nhất a = − 3 r 1 + √
√ x 2 − 2 + x = ∞ nên thay VCL tương đương Khi x → +∞ thì √ x 2 + 14 + x x→+∞ ∼ x + x, √ x 2 − 2 + x x→+∞ ∼ x + x.
Mặt khác, lim x→+∞ x ln x x = +∞ và lim x→+∞ x(2 + sin 4 x) x ln x = 0 nên x ln x là VCL có bậc cao nhất khi x → +∞.
2 x x ln x = +∞ nên 2 x là VCL có bậc cao nhất khi x → +∞.
2.5.5 1 Đặt t = −x, ta có I = lim t→+∞ −te −t− 1 t = lim t→+∞
3 I = lim x→0 1 − tan 2 x − tan2 1 x − tan2 x sin2 2x = e −1/4 = 1
= 0 Để hàm số sau liên tục tại x 0 = 0 thì a = 0.
2 lim x→0 + f (x) = lim x→0 + (ax 2 + 1) = 1 6= lim x→0 − f (x) = lim x→0 − (−x) = 0 = f (0) Đáp số Không tồn tại a.
3 lim x→0 − f (x) = lim x→0 − cos x = 1 = f (0) và lim x→0 + f (x) = lim x→0 + (a(x − 1)) = −a = f (0) Để hàm số sau liên tục tại x 0 = 0 thì −a = 1 hay a = −1.
4 lim x→0 + f (x) = lim x→0 + ax + b = b và lim x→0 − f (x) = lim x→0 − (x − 1) 3 = −1 = f (0) Để hàm số sau liên tục tại x 0 = 0 thì b = −1 lim x→1 + f (x) = lim x→1 +
√ x = 1 = f (1) và lim x→1 − f (x) = lim x→1 − ax + b = a + b Để hàm số sau liên tục tại x 0 = 1 thì a + b = 1 ⇒ a = 2 (do b = −1) Đáp số a = 2, b = −1.
5 lim x→1 + f (x) = lim x→1 + x 2 + ax + b = 1 + a + b và lim x→1 − f (x) = lim x→1 − x = 1 = f (1) Để hàm số sau liên tục tại x 0 = 1 thì a + b + 1 = 1 hay a + b = 0. lim x→(−1) + f (x) = lim x→(−1) + x = −1 = f (−1) và lim x→(−1) − f (x) = lim x→(−1) − x 2 + ax + b = 1 − a + b Để hàm số sau liên tục tại x 0 = −1 thì 1 − a + b = −1 hay −a + b = −2 Đáp số a = 1, b = −1.
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN
Khái niệm đạo hàm của hàm một biến
3.1 Khái niệm đạo hàm của hàm một biến
Bài toán máy bay rơi
Trong lĩnh vực hàng không, khi máy bay đang bay mà hết xăng, độ cao của máy bay được mô tả bởi phương trình H(t) = H0 + v0t - 16t², trong đó H0 (km) là độ cao tại thời điểm hết xăng và v0 (km/h) là vận tốc lúc đó Thời gian từ khi máy bay hết xăng cho đến khi đạt độ cao lớn nhất là 0,3 giờ Câu hỏi đặt ra là cần tìm vận tốc v0 của máy bay khi hết xăng.
Hình 3.1: Tìm vận tốc của máy bay khi hết xăng
Thời gian từ lúc hết xăng cho đến khi máy bay đạt độ cao lớn nhất là0,3h,có nghĩa là khit= 0,3 thì v(0,3) = 0.
Theo công thức, ta có v(t) = (H(t)) 0 =v 0 −32.t.
3.1.1 Định nghĩa đạo hàm của hàm một biến Định nghĩa 3.1 Cho hàm số y =f(x) xác định trong lân cận của điểmx 0 Giới hạn (nếu có) của tỉ số x→xlim0 f(x)−f(x 0 ) x−x0
, (3.1) được gọi làđạo hàm của hàm sốy=f(x) tạix0 và được ký hiệu làf 0 (x0) hay y 0 (x0). Định nghĩa 3.2 Đạo hàm tráicủay =f(x) tại x0 là giới hạn trái (nếu có) f − 0 (x0) = lim x→x − 0 f(x)−f(x 0 ) x−x0
(3.2) Đạo hàm phảicủay=f(x) tại x0 là giới hạn phải (nếu có) f + 0 (x 0 ) = lim x→x + 0 f(x)−f(x 0 ) x−x0
Hàm số y=f(x) có đạo hàm tạix0 khi và chỉ khi nó cóđạo hàm trái và đạo hàm phải tạix0 và chúng phảibằng nhau. f 0 (x 0 ) =f − 0 (x 0 ) =f + 0 (x 0 ) (3.4)
Ví dụ 3.1.1 Tìm đạo hàm của hàm sốy=f(x) =|x|( x, x>0
−x x =−1 Như vậy f + 0 (0) = 16=−1 =f − 0 (0).Do đó hàm số không có đạo hàm tại x 0 = 0.
3.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm Định lý 3.2
Nếu hàm số \( u = u(x) \) có đạo hàm hữu hạn \( u'(x_0) \) tại điểm \( x_0 \), thì hàm số \( y = cu = cu(x) \) với \( c \in \mathbb{R} \) cũng có đạo hàm hữu hạn \( y'(x_0) \) tại điểm \( x_0 \) Khi đó, ta có đẳng thức \( y'(x_0) = cu'(x_0) \).
Nếu hàm số \( u = u(x) \) và \( v = v(x) \) có đạo hàm hữu hạn tại điểm \( x_0 \in X \), với \( u' = u'(x) \) và \( v' = v'(x) \), thì hàm số \( y = u \pm v = u(x) \pm v(x) \) cũng có đạo hàm hữu hạn \( y' \) tại điểm \( x_0 \) Khi đó, ta có đẳng thức \( y' = u' \pm v' = u'(x_0) \pm v'(x_0) \).
Nếu hàm số \( u = u(x) \) và \( v = v(x) \) có đạo hàm hữu hạn tại điểm \( x_0 \in X \), với \( u' = u'(x) \) và \( v' = v'(x) \), thì hàm số \( y = u \cdot v = u(x) \cdot v(x) \) cũng có đạo hàm hữu hạn \( y' \) tại điểm \( x_0 \) Đẳng thức liên quan là \( y' = u' \cdot v + u \cdot v' = u'(x_0) \cdot v(x_0) + u(x_0) \cdot v'(x_0) \).
Chú ý.Công thức (3.7) cũng có thể mở rộng cho tích của hữu hạn những hàm số.
Nếu hàm số \( u = u(x) \) và \( v = v(x) \) có đạo hàm hữu hạn tại điểm \( x_0 \in X \) với \( u'(x_0) \) và \( v'(x_0) \), đồng thời \( v(x_0) \neq 0 \), thì hàm số \( y = u v = u(x) v(x) \) cũng có đạo hàm hữu hạn \( y' \) tại điểm \( x_0 \) Khi đó, ta có công thức đạo hàm: \[y' = u' v + u v' = u'(x_0) v(x_0) - u(x_0) v'(x_0) \frac{1}{v^2(x_0)}.\]
3.1.3 Đạo hàm của hàm hợp Định lý 3.6
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm hữu hạn f'(x₀) tại điểm x₀ và hàm số z = g(y) có đạo hàm hữu hạn g'(y₀) tại điểm y₀ = f(x₀) thuộc E(f), thì hàm hợp z = h(x) = g(f(x)) cũng có đạo hàm hữu hạn tại điểm x₀ Khi đó, ta có đẳng thức h'(x₀) = g'(y₀) · f'(x₀).
Ví dụ 3.1.2 Tìm đạo hàm của hàmy= sin 5 (4x+ 3)
Giải.y 0 = 5 sin 4 (4x+ 3).cos(4x+ 3).(4x+ 3) 0 = 20 sin 4 (4x+ 3) cos(4x+ 3).
3.1.4 Đạo hàm của hàm ngược Định lý 3.7
Khi hàm số y = f(x) tăng hoặc giảm liên tục trên khoảng X ⊂ R và có đạo hàm hữu hạn f'(x₀) ≠ 0 tại điểm x₀, thì hàm ngược x = g(y) = f⁻¹(y) cũng có đạo hàm hữu hạn tại điểm y₀ = f(x₀) ∈ Y Đặc biệt, có đẳng thức g'(y₀) = 1/f'(x₀), tương đương với x₀y = 1/y x₀.
Ví dụ 3.1.3 Tìm đạo hàm của hàm ngược của hàmy=x+x 3 , x∈R.
Giải Hàm số y liên tục khắp nơi và là hàm tăng, đạo hàm y 0 = 1 + 3x 2 > 0,∀x ∈ R nên x 0 y = 1
Trong bài toán về tiếp tuyến, chúng ta đã chứng minh rằng hệ số góc k 0 của tiếp tuyến tại điểm M 0 (x 0 , f(x 0 )) của đường liên tục y = f(x) được tính bằng công thức k 0 = tanα 0 = lim.
Như vậy, ý nghĩa hình họccủa đạo hàm của hàm sốf(x) tại điểm x 0 làhệ số góc của tiếp tuyến của đườngy =f(x) tại điểm M0(x0, f(x0)).
3.1.6 Đạo hàm của những hàm sơ cấp
Những hàm hyperbolic Định nghĩa 3.3 Hàm sốsinhx= e x −e −x
2 được gọi là hàm sin hyperbolic. Định nghĩa 3.4 Hàm sốcoshx= e x +e −x
Hàm cos hyperbolic được ký hiệu là cosh x, trong khi hàm tan hyperbolic được định nghĩa là tanh x = sinh x / cosh x Ngoài ra, hàm cotan hyperbolic được biểu diễn bởi công thức coth x = cosh x / sinh x Các hàm này là những hàm sơ cấp quan trọng trong toán học và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực.
• y= cotx⇒y 0 =− 1 sin 2 x Hàm lượng giác ngược
3.1.7 Đạo hàm của hàm lũy thừa-mũ Định nghĩa 3.7 Cho hàm số u=u(x)>0 vàv=v(x)xác định trên cùng 1 tập hợpX ⊂Rkhi đó hàm số y=u v = (u(x)) v(x) được gọi là hàm lũy thừa-mũ. Định lý 3.8
Nếu hàm số \( u = u(x) > 0 \) và \( v = v(x) \) tại một điểm \( x \in X \) có đạo hàm hữu hạn \( u' = u'(x) \) và \( v' = v'(x) \), thì hàm số \( y = u \cdot v = (u(x))^{v(x)} \) tại điểm \( x \) cũng có đạo hàm hữu hạn Lúc này, có đẳng thức \( y' = u \cdot v' \cdot \ln u + v \cdot u^{v-1} \cdot u' \).
Ví dụ 3.1.4 Tìm đạo hàm của hàm sốf(x) = (x+ sinx) x
Giải. ln|f(x)|= ln|(x+ sinx) x |=xln|x+ sinx|
⇒f 0 (x) = (x+ sinx) x ln|x+ sinx|+x.1 + cosx x+ sinx
3.1.8 Đạo hàm của hàm tham số Định lý 3.9
Cho hàm số x =x(t), y =y(t) xác định trong lân cận của điểm t 0 Nếu x(t), y(t) có đạo hàm tạit0 vàx 0 (t0)6= 0 thì hàm y=f(x) có đạo hàm tại x0 =x(t0) và y 0 (x 0 ) = y 0 t (t 0 ) x 0 t (t0) (3.12)
Ví dụ 3.1.5 Cho hàm số y = f(x) được xác định bởi công thức tham số x = 2 cos 3 t, y = 3 sin 3 t, t∈
Giải.x(t), y(t) có đạo hàm∀tvà x 0 (t) =−6 cos 2 tsint6= 0,∀t∈(0, π 2 ).Do đó y 0 (x) = y t 0 x 0 t = 9 sin 2 tcost
Đạo hàm cấp cao
3.2.1 Đạo hàm cấp 2 Định nghĩa 3.8 Nếu đạo hàm f 0 (x)có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp 2 củaf(x).Vậyf 00 (x) = (f 0 (x)) 0
Ví dụ 3.2.2 Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm ngược của hàmy=x+x 5 , x∈R.
Giải.Hàm y liên tục khắp nơi và đơn điệu tăng,y 0 = 1 + 5x 4 >0,∀x∈Rnên x 0 (y) = 1 y 0 (x) = 1
1 + 5x 4 Tiếp tục lấy đạo hàm theoy ta được x 00 (y) 1
Ví dụ 3.2.3 Cho hàm sốy=f(x)xác định theo tham sốx=t−sint, y= 1−cost, t∈(0,2π).Tìm y 00 (x)
Tiếp tục lấy đạo hàm theo biến x ta có y 00 (x) cot t 2
3.2.2 Đạo hàm cấp n Định nghĩa 3.9 Đạo hàm cấp ncủa hàm số f(x) được tính theo công thức f (n) (x) = (f (n−1) (x)) 0 , n∈N (3.13) Định lý 3.10
Nếuf(x) vàg(x) có đạo hàm cấpnthì c1f(x) +c2g(x), c1, c2 ∈R cũng có đạo hàm cấpnvà
(c1f(x) +c2g(x)) (n) =c1f (n) (x) +c2g (n) (x) (3.14) Định lý 3.11: Công thức Leibnitz.
Nếuf(x) vàg(x)có đạo hàm cấp nthìf(x).g(x) cũng có đạo hàm cấpnvà
3.2.3 Một số công thức cơ bản
Một số công thức cơ bản
Ví dụ 3.2.4 Tìm đạo hàm cấp ncủaf(x) = 1 x 2 −4
Ví dụ 3.2.5 Tìm đạo hàm cấp ncủaf(x) =x 2 cos 2x.
Giải.Theo công thức Leibnitz, ta có
Ví dụ 3.2.6 Tìmf (n) (0)với f(x) = arctanx.
1 +x 2 ⇒(1 +x 2 )f 0 (x) = 1.Lấy đạo hàm cấp(n−1)2 vế ta được
Do đó khi n= 2kthì f (2k) (0) = 0,vì f (2) (0) = 0.
Vi phân của hàm một biến
3.3.1 Vi phân cấp 1 Định nghĩa 3.10 Vi phân cấp 1 của hàm sốy=f(x) tại điểmx 0 là df(x 0 ) =f 0 (x 0 )dx (3.16)
Giải.f 0 (x) = e x x 2 −e x 2x x 4 = e x (x−2) x 3 ⇒f 0 (1) =−e.Vậy df(1) =f 0 (1)dx=−edx.
3.3.2 Vi phân cấp 2 Định nghĩa 3.11 Vi phân cấp 2 của hàm sốy=f(x) tại điểmx 0 là d 2 f(x0) =f 00 (x0)dx 2 (3.17)
3.3.3 Vi phân cấp n Định nghĩa 3.12 Vi phân cấpncủa hàm số y=f(x) tại điểm x0 là d n f(x 0 ) =f (n) (x 0 )dx n (3.18)
Tìm giới hạn dạng vô định theo qui tắc L’ Hopital
7 dạng vô định trong giới hạn hàm số: 0
3.4.1 Tìm giới hạn dạng vô định cơ bản 0
Giới hạn lim x→a f(x) g(x) được coi là dạng vô định 0/0 khi cả hai giới hạn lim x→a f(x) và lim x→a g(x) đều bằng 0 Đây là một khái niệm quan trọng trong phân tích giới hạn, theo định lý 3.12.
Cho thỏa mãn những điều kiện sau:
1 Hàm sốf(x) vàg(x) xác định trên nửa khoảng(a, b](a < b)
2 Luôn có lim x→af(x) = 0, lim x→ag(x) = 0
3 Trên nửa khoảng(a, b]tồn tại những đạo hàm hữu hạn f 0 (x) vàg 0 (x) vớig 0 (x)6= 0
4 Tồn tại giới hạnhữu hạn hay vô cùng lim x→a f 0 (x) g 0 (x) =K Khi đó luôn có đẳng thức x→alim f(x) g(x) = lim x→a f 0 (x) g 0 (x) =K (3.19)
Ví dụ 3.4.1 TínhI = lim x→0 tanx−x x−sinx
Cho thỏa mãn những điều kiện sau:
1 Hàm sốf(x) vàg(x) xác định trên nửa khoảng[c,+∞)
3 Trên nửa khoảng[c,+∞) tồn tại đạo hàm hữu hạnf 0 (x) vàg 0 (x) vớig 0 (x)6= 0
4 Tồn tại giới hạnhữu hạn hay vô cùng lim x→+∞ f 0 (x) g 0 (x) =K Khi đó luôn có đẳng thức x→+∞lim f(x) g(x) = lim x→+∞ f 0 (x) g 0 (x) =K (3.20)
3.4.2 Tìm giới hạn dạng vô định cơ bản ∞
∞ Định nghĩa 3.14 Giả sử yêu cầu tính giới hạn lim x→a f(x) g(x).Nếu như lim x→af(x) = +∞và lim x→ag(x) = +∞ thì đó là dạng vô định ∞ ∞ Định lý 3.14
Cho thỏa mãn những điều kiện sau:
1 Hàm số f(x) vàg(x) xác định trên nửa khoảng(a, b](a < b)
2 Luôn có đẳng thức lim x→af(x) = lim x→ag(x) = +∞
3 Trên nửa khoảng(a, b]tồn tại đạo hàm hữu hạnf 0 (x), g 0 (x) vớig 0 (x)6= 0
4 Tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô cùng lim x→a f 0 (x) g 0 (x) =K Khi đó luôn có đẳng thức x→alim f(x) g(x) = lim x→a f 0 (x) g 0 (x) =K (3.21)
Ví dụ 3.4.3 TínhI = lim x→0 lnx
Cho thỏa mãn những điều kiện sau:
1 Hàm số f(x) vàg(x) xác định trên nửa khoảng[c,+∞)
3 Trên nửa khoảng[c,+∞) tồn tại đạo hàm hữu hạn f 0 (x) vàg 0 (x) vớig 0 (x)6= 0
4 Tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô cùng lim x→+∞ f 0 (x) g 0 (x) =K Khi đó luôn có đẳng thức x→+∞lim f(x) g(x) = lim x→+∞ f 0 (x) g 0 (x) =K (3.22)
Ví dụ 3.4.4 Tính giới hạn khin∈N, a>1
I = lim x→+∞ nx n−1 a x lna = .= lim x→+∞ n! a x (lna) n = 0
3.4.3 Những dạng vô xác định khác
1 Tìm giới hạn dạng vô định 0.∞ Định nghĩa 3.15 Giả sử yêu cầu tính giới hạn lim x→af(x).g(x).Nếu như lim x→af(x) = 0và lim x→ag(x) =∞ thì đó là dạng vô định 0.∞.
1 f(x) nên dạng vô định0.∞ có thể chuyển về dạng vô định 0
Vớ dụ 3.4.5 Tớnh giới hạn khi à >0
2 Tìm giới hạn dạng vô định ∞ − ∞ Định nghĩa 3.16 Giả sử yêu cầu tính giới hạn lim x→a(f(x)−g(x)).Nếu như lim x→af(x) = lim x→ag(x) =∞ thì đó là dạng vô định ∞ − ∞
Dạng vô định này được chuyển về dạng vô định 0 0 như sau: f(x)−g(x) = 1
Chú ý.Trên thực tế dạng vô định này chuyển về dạng vô định 0 0 bằng cách khác.
Ví dụ 3.4.6 TínhI = lim x→0(cot 2 x− x 1 2 ) Giải.
I = lim x→0 x 2 cos 2 x−sin 2 x x 2 sin 2 x = lim x→0
= 2.lim x→0 xcosx−sinx x 3 = 2.lim x→0 cosx+x(−sinx)−cosx
3 Tìm giới hạn dạng vô định 1 ∞ ,0 0
Những dạng vô định này đối với hàm sốf(x) g(x) khix→asẽ được chuyển về dạng vô định quen thuộc 0.∞ bằng cách logarit hóa.
Cho hàm sốy=f(x) g(x) khi đóln|y|=g(x) ln|f(x)|.Kết quả thu được sẽ chuyển từ dạng vô định
1 ∞ ,0 0 về dạng vô định0.∞.Như vậy nếu lim x→aln|y|=K,+∞,−∞ thì lim x→af(x) g(x) =e K ,+∞,0.
Hình 3.2: Khai triển Maclaurin của hàm sốy =e x −1
Khai triển Taylor - Maclaurin
Xét đồ thị hàm sốy=e x −1 và các hàm đa thức:
• Hàm sốy=e x −1 xấp xỉ với các hàm đa thức trong lận cận điểm O(0; 0).
• Bậc đa thức càng lớn thì xấp xỉ càng tốt.
• Ứng dụng:để xấp xỉ hàm sốkhông là đa thức bởi hàm đa thức tại 1 điểm nào đó
• Câu hỏi:Vấn đề đặt ra là làm sao để tìm hàm đa thức xấp xỉ với một hàm số cho trước?
3.5.1 Công thức Taylor- Maclaurin Định lý 3.16: Công thức Taylor
Cho hàm sốf(x)xác định trong lân cận của x0,có trong lân cận này đạo hàm đến cấp n−1, và cho tồn tại f (n) (x0).Khi đó f(x) =f(x0) +f 0 (x0)
1! (x−x0) + .+ f (n) (x0) n! (x−x0) n +o((x−x0) n ), (3.23) trong đó lim x→x 0 o((x−x 0 ) n )(x−x 0 ) n = 0. Định lý 3.17
Hàm sốf(x),có tại điểm x0 đạo hàm đến cấp n, được biểu diễn duy nhất dưới dạng f(x) n
X k=0 a k (x−x 0 ) k +o((x−x 0 ) n ), trong đó a k = f (k) (x0) k! , k= 0,1, , n.⇒f (k) (x0) =k!a k (3.24) Định lý 3.18: Công thức Maclaurin
Khi chox 0 = 0 trong công thức Taylor, ta được công thức Maclaurin f(x) n
1 Nếuf(x) làhàm chẵn, thì f(x) Pn k=0 f (2k) (0) (2k)! x 2k +o(x 2n+1 ).Vìf(x) =f(−x) nên 2f(x) =f(x)+f(−x) n
3.5.2 Một số công thức Maclaurin cơ bản
Ví dụ 3.5.1 Tìm khai triển Maclaurin củaf(x) = sin
Ví dụ 3.5.2 Tìm khai triển Maclaurin củaf(x) =e x/2+2 đến cấp n
Ví dụ 3.5.3 Tìm khai triển Maclaurin củaf(x) = 1
Ví dụ 3.5.4 Khai triển Maclaurin củaf(x) =e x ln(1 +x) đến cấp 4
Ví dụ 3.5.5 Tìm khai triển Maclaurin củaf(x) = x 2
Ví dụ 3.5.6 Tìm y (100) (1)với y(x) = lnx.
Giải.Đặtu=xư1⇒x=u+ 1.Khi đóy(x) =f(u) = ln(1 +u) =uưu 2
3.5.3 Tính giới hạn bằng khai triển Maclaurin
Tính giới hạn bằng khai triển Maclaurin
Tìm giới hạn bằng khai triển Maclaurin đối với dạng 0
0 khithay VCB tương đương bị triệt tiêu.
1 Xác địnhbậc thấp nhấtcủa VCB ở mẫu.
2 Khai triển Maclaurin những hàm không phải là đa thức đến bậc thấp nhất của VCB ở mẫu
3 Tổng hợp lại rồi tính giới hạn.
Một số công thức khai triển Maclaurin cơ bản đến cấp 3
Ví dụ 3.5.7 Tính giới hạn I = lim x→0 cosx−1 + x 2 2 x 4 Giải.VCB ở mẫu có bậc bằng4 nên ta sẽ khai triển Maclaurin của tử đến bậc 4 cosx= 1−x 2
Ví dụ 3.5.8 Tính giới hạn I = lim x→0 arctanx−arcsinx tanx−sinx Giải.
• Khai triển Maclaurin ở mẫu số trước để xác định bậc VCB của mẫu số tanx=x+x 3
Ví dụ 3.5.9 Tính giới hạnI = lim x→0 tanx−ln(x+√
Khai triển Maclaurin ở mẫu số trước để xác định bậc VCB của mẫu số sinx=x−x 3
Khai triển biểu thức tử số đến cấp 3, ta có
Ví dụ 3.5.10 Tính giới hạn I = lim x→0 e cos x −e.√ 3
3 +o(x 2 ) Khai triển tử số đến cấp 2
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Các bước khảo sát cực trị hàm số
3 Tìm các điểmxi(i= 1,2, ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại
• Nếu đạo hàm đổi dấu từ+sang- khi quax i thì hàm số đạtcực đại tạix i
• Nếu đạo hàm đổi dấu từ- sang+khi quaxi thì hàm số đạtcực tiểu tại xi
1 Nếu lim x→x 0 f(x) =∞ thì x=x 0 làtiệm cận đứng.
2 Nếu lim x→∞f(x) =y0 thì y=y0 làtiệm cận ngang.
3 Nếu lim x→∞(f(x)−(ax+b)) = 0 thì y =ax+b là tiệm cận xiên Tìm a, b theo công thức a= lim x→∞ f(x) x , b= lim x→∞(f(x)−ax)
Trong một số trường hợp, cần phân chia các trường hợp như x→x + 0, x→x − 0, x→+∞ và x→−∞ Nếu hàm số có tiệm cận ngang ở một phía nào đó, thì sẽ không tồn tại tiệm cận xiên và ngược lại.
3.6.3 Tính lồi, lõm, điểm uốn
Khảo sát tính lồi-lõm-điểm uốn
3 Tìm các điểmxi(i= 1,2, ) mà tại đó f 00 (x) bằng 0 hoặc không tồn tại
• Nếuf 00 (x)>0 trong khoảng(a, b) nào đó thì đồ thị hàm số lõm trong khoảng này.
• Nếuf 00 (x)
