BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM _ Nguyễn Công Minh LÝ THUYẾT SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CÁC HÀM PHÂN HÌNH Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 MỞ ĐẦU Lý thuyết xác định hàm phân hình nghiên cứu điều kiện mà tồn hàm phân hình thoả mãn điều kiện Ta biết đa thức xác định khơng điểm ( sai khác nhân tử ), điề u không đ với hàm ng uyên hàm phân hình siêu vi t ối ệ Ví dụ hai hàm e z e − z nhận chung điểm ±1 , , ∞ Do việc xác định hàm phân hình đề tài hấp dẫn phức tạp Trong lĩnh vực này, lý thuyết phân b giá trị xây dựng ố Nevanlinna trở thành cơng cụ cho việc nghiên cứu Nevanlinna chứng minh hàm phân hình khác h ằng xác định điểm, nghĩa hai hàm phân hình f g nhận giá trị f ≡ g Chắc chắn số định lý Nevanlinna giảm xuống thêm vào điều kiện Trong luận văn tơi trình b ày số kết phương pháp khác để xác định hàm phân hình điều kiện khác Luận văn chủ yếu dựa vào tài liệu “Uniqueness Theory of Meromorphic Functions” Chung-Chun Yang Hong-Xun Yi, sách lý thuyết xác định hàm phân hình, tập hợp hầu hết kết lĩnh vực năm gần báo liên quan Nội dung luận văn gồm chương: ▪ Chương trình bày tóm lược số kiến thức chuẩn bị ▪ Chương trình bày định lý liên quan đ tổ hợp hàm phân hình, ước chuẩn bị cho việc ến b nghiên cứu xác định hàm phân hình chương sau ▪ Chương trình bày kết xác định hàm phân hình kh i chúng chia 5, 4, 3, 2, giá trị, xác định nghiệm phương trình vi phân ▪ Chương trình bày xác định hàm phân hình chia giá trị với đạo hàm Tơi xin chân thành cám ơn Tiến sĩ Nguyễn Văn Đơng tận tình hướng dẫn tơi hồn thành tốt luận văn Tp Hồ Chí Minh – Tháng 11 năm 2009 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA Định lý đại số nói đa thức bậc p với biến số phức nhận giá trị p lần kể bội Các nhà toán h giới có nhiều nổ lực mở rộng định lý cho hàm chỉnh hình hàm ọc phân hình Vào kỉ thứ XIX, Picard [Picard 1897] khái quát định lý đại số cách chứng minh hàm nguyên siêu việt – dạng đa thức bậc vô hạn – phải nhận tất giá trị vô hạn lần ngoại trừ giá trị phức Chẳng hạn hàm nguyên e z nhận giá trị cách vô hạn lần không nhận giá trị Do vậy, khái quát “ngây thơ” định lý đại số mà người ta tưởng tượng khơng cho hàm ngun Ngồi hàm siêu việt nhận giá trị vơ hạn lần, ta khơng thể thật nói tổng số lần mà hàm số nhận giá trị Vì hàm phân hình tồn mặt phẳng phức có q hữu hạn khơng điểm đĩa hữu hạn, nói nói thay cho số lần nhận tốc độ mà số không điểm đĩa bán kính r tăng r → ∞ Cho f hàm phân hình a ∈  , lý thuyt Nevanlinna nghiên cứu mối liên hệ ba hàm sau: ế     N  r,  , m  r,  , T ( r, f )  f −a  f −a   ◦ Hàm N  r ,  “hàm đếm” đếm, trung bình loga, số lần f nhận giá trị a đĩa trịn  f −a bán kính r   ◦ Hàm m  r ,  hàm xấp xỉ trung bình đo độ gần a giá trị hàm f đường tròn tâm O bán  f −a kính r ◦ Hàm T ( r , f ) hàm đặc trưng Hàm đặc trưng đóng vai trị định lý Nevanlinna bậc đa thức định lý đại số     Vì m  r ,  ≥ T  r ,  không phụ thuộc a nên định lý thứ nói f  f −a  f −a   nhận giá trị a cao mà N  r ,  tăng nhanh T ( r , f ) Điều tương tự phát  f −a biểu đa thức bậc p nhận giá trị a tối đa p lần     Định lý thứ cịn nói rằng: tổng N  r ,  + m  r,  độc lập với a Do ta viết  f −a  f −a     v = N  r, T ( r, f )  + m  r,  Như ậy  f −a  f −a f nhận giá trị a với tần số đủ nhỏ để     N  r,  không tăng nhanh T ( r , f ) hàm m  r ,  bổ sung theo nghĩa ảnh f gần  f −a  f −a với giá trị a với cung đủ lớn đường tròn lớn tâm O Nghĩa hàm phân hình nhận giá trị đặc biệt thường xun mong đợi bù lại cách dành nhiều lần gần giá trị Định lý thứ cho chặn ( theo thuật ngữ tăng hàm số ) mà hàm phân hình thường xun nhận giá trị Điều tương tự phát biểu đa thức bậc p nhận giá trị nhiều p lần   Định lý thứ hai cung cấp cận tổng hữu hạn hàm đếm N  r , với bán kính  f − aj     đủ lớn tùy ý Như với định lý thứ nhất, định lý thứ hai cho ta khái quát định lý đại số 1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1: Cho f ( z ) hàm phân hình khác  a số phức ▪ Các hàm đếm: ◦ n ( r , f ) hàm đếm cực điểm f đĩa trịn đóng D ( r ) ( kể bội )   ◦ n  r,  hàm đếm số không điểm f − a D ( r ) ( kể bội )  f −a   ◦ n  r,  đếm số không điểm f − a D ( r ) ( không kể bội )  f −a   ◦ nk )  r,  đếm số không điểm f − a D ( r ) mà bội không điểm không lớn k  f −a   đếm lần; n( k +1  r ,  đếm số không điểm D ( r ) mà bội không điểm lớn k  f −a đếm lần   ◦ np  r,  đếm số không điểm f − a D ( r ) mà bội lớn p đếm p lần  f −a     ◦ N  r, = n  0,   log r + ∫  f −a  f −a r     n  t,  − n  0,   f −a  f − a  dt t             ◦ Hàm N  r ,  , nk )  r , ,  , n( k +1  r ,  , N ( k +1  r ,  , Nk )  r,  , N k )  r,  f −a  f −a  f −a  f −a  f −a  f −a     N ( k +1  r ,  định nghĩa tương ứng  , N p  r,  f −a  f −a   ▪ Hàm xấp xỉ: m  r , =  f − a  2π 2π ∫ log + ( ) f reiθ − a dθ       ▪ Hàm đặc trưng: T  r , = m  r,   + N  r,   f −a  f −a  f −a     m  r, N  r,    f − a  = − lim  f − a  δ ( a, f ) = lim r →∞ r →∞ T ( r, f ) T ( r, f ) ▪ Số khuyết:   N  r,  f −a Θ ( a, f ) = − lim  r →∞ T ( r, f ) ▪ Bậc bậc hàm phân hình: λ = lim log + T ( r , f ) r →∞ log r ; µ = lim log + T ( r , f ) r →∞ log r ▪ Kí hiệu: S ( r , f ) = o (T ( r , f ) ) ( r → ∞, r ∉ E ) , E tập có độ đo tuyến tính hữu hạn ▪ Hàm a ( z ) gọi hàm nhỏ f ( z ) T ( r , a ) = o (T ( r , f ) ) Định nghĩa 1.2: Cho f hàm phân hình m phẳng phức ặt ị a giá tr hữu hạn Nếu f ( z ) − a khơng có khơng điểm a gọi giá trị Picard f ( z ) 1.2 Một số kết chuẩn bị ♦ Định lý 1.1 ( Định lý thứ ): Cho f hàm phân hình z ≤ R ( ≤ ∞ ) , a số phức tuỳ ý Khi với < r < R ta có   T  r,  = T ( r , f ) + log cλ + ε ( a, r )  f −a cλ hệ số khác khai triển Laurent f (z) − a ε ( a, r ) ≤ log + a + log ♦ Định lý 1.2 ( Định lý thứ hai ): Cho f hàm phân hình m phẳng phức ặt ( q ≥ 3) giá trị phân biệt mặt phẳng phức mở rộng Khi q  j =1  ( q − ) T ( r , f ) < ∑ N  r ,  f − aj   − N1 ( r ) + S ( r , f )   a1 , a2 , , aq q  j =1  ( q − ) T ( r , f ) < ∑ N  r ,  f − aj     − N0  r,  + S ( r, f )   f '    N1 ( r ) = 2.N ( r , f ) − N ( r , f ') + N  r ,   f '   N  r ,  không điểm f ' mà không không điểm f − a j  f ' ( j = 1, q ) ♦ Định lý 1.3: ( Định lý thứ hai với hàm nhỏ ): Cho f ( z ) hàm phân hình siêu việt mặt phẳng phức ( z ) ( i = 1, 2, q ) hàm nhỏ phân biệt f ( z ) Khi với ε > ta có q  j =1  ( q − − ε ) T ( r , f ) < N ( r , f ) + ∑ N  r ,  Hơn thế, q ≥ tồn số nguyên dương p cho   + S ( r, f )     + S ( r, f )  j =1   ♦ Định lý 1.4: Cho f ( z ) hàm phân hình khác ( z ) ( i = 1, 2,3, 4,5 ) hàm nhỏ phân biệt q  f − aj ( q − − ε ) T ( r , f ) < ∑ N p  r ,  f − aj f ( z ) Khi   2.T ( r , f ) < ∑ N  r , + S ( r, f )  f − aj   j =1   ♦ Định lý 1.5: Cho f ( z ) , g ( z ) hai hàm phân hình m phẳng phức , λ ( f ) bậc f ( z ) ặt µ ( g ) bậc g ( z ) Nếu λ ( f ) < µ (= o (T ( r , g ) ) , ( r → ∞ ) g ) T ( r , f ) ♦ Định lý 1.6 ( Định lý Milloux ): Cho f ( z ) hàm phân hình m phẳng phức k số nguyên ặt k dương Đặt ψ ( z ) = ∑ ( z ) f ( i ) ( z ) ( z ) ( i = 1, 2, k ) hàm nhỏ f ( z ) Khi ta có: i =0  ψ m  r,  = S ( r, f )  f  T ( r ,ψ ) ≤ T ( r , f ) + k N ( r , f ) + S ( r , f ) ≤ ( k + 1) T ( r , f ) + S ( r , f )  1     T ( r, f ) < N ( r, f ) + N  r,  + N  r,  − N0  r,  + S ( r, f )  ψ −1  ψ '  f    N  r ,  hàm đếm không điểm ψ ' mà không không điểm ψ −  ψ ' ♦ Định lý 1.7: Cho f ( z ) hàm phân hình siêu việt mặt phẳ ng phức k số nguyên dương Khi đó, với ε > cố định cho trước ta có     1    1  T ( r , f ) <  +  N  r ,  +  +  N  r , ( k )  f −  − N  r , f ( k +1)  + ε T ( r , f ) + S ( r , f )     k  f   k     ♦ Định lý 1.8: Cho f ( z ) hàm phân hình khác h ằng mặt phẳng phức Nếu 0, ∞ giá trị Picard f ( z ) tồn hàm nguyên khác h ( z ) cho f ( z ) = e h( z ) ♦ Định lý 1.9: Cho h ( z ) hàm nguyên khác f ( z ) = e h( z ) Khi i) = o (T ( r , f ) ) , ( r → ∞ ) T ( r, h ) T ( r , h ') = S ( r , f ) ii) ♦ Định lý 1.10: Đặt g j ( z ) ( j = 1, 2, , n ) hàm nguyên a j ( z ) ( j = 0,1, , n ) hàm phân hình  n  thoả T ( r , a j ) = o  ∑ T r , e gk  = 1, 2, , n ) , ( r → ∞, r ∉ E )( j  k =1  ( n Nếu ∑ a ( z ) e j =1 n cho g j ( z) j ∑ c a ( z ) e j =1 j j ) ≡ a0 ( z ) tồn số c j ( j = 1, 2, , n ) , số khác hằng, g j ( z) ≡ ♦ Định lý 1.11: Cho h ( z ) hàm nguyên khác f ( z ) = e h( z ) , λ µ bậc bậc f ( z ) Ta có (i) Nếu h ( z ) đa thức bậc p λ µ p = = (ii) Nếu h ( z ) hàm ngun siêu việt λ = µ = ∞ ♦ Định lý 1.12: Mọi hàm phân hình mặt phẳng phức có nhiều hai giá trị Picard Chương 2: CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ĐẾN TỔ HỢP CÁC HÀM PHÂN HÌNH Trong chương ta s trình bày định lý tổ hợp hàm phân hình, bao gồm kết thu ẽ Nevanlinna, Borel, Niiino – Ozawa đóng vai trị quan trọng việc xác định hàm phân hình ♦ Định lý 2.1: ( Định lý Borel tổng quát ) Giả sử f1 ( z ) , , f n ( z ) hàm phân hình độc lập tuyến tính thoả n ∑f j =1 j ≡1 (2.1) Khi với ≤ j ≤ n ta có n n    1 T ( r , f j ) ≤ ∑ N  r ,  + N ( r , f j ) + N ( r , D ) − ∑ N ( r , f k ) − N  r ,  + S ( r ) (2.2)  D k 1= k  fk  D định thức Wronskian W ( f , , f n ) , = o (T ( r ) ) , ( r → ∞, r ∉ E ) E tập có độ đo tuyến tính hữu hạn (2.3) S (r ) T ( r ) = max {T ( r , f k )} (2.4) 1≤ k ≤ n Chứng minh: n (k ∑ f ( ) ≡ 0= Lấy đạo hàm hai vế (2.1) ta có j =1 k j 1, , n − 1) (2.5) Bởi f1 ( z ) , , f n ( z ) độc lập tuyến tính nên D ≡ Từ (2.1), (2.5) ta có D = D j / ( j = 1, , n ) D j định thức D thu cách bỏ hàng 1, cột j D Vì   D1   ∆ f f3 f n  = = f1   ∆ D    f1 f f n  ' 1 f ∆= f f1 ' f2 ( n −1) ( n −1) f ' n f 2' fn ( n −1) ∆1 = (2.6) f2  f 2( n −1)    f n' fn  (2.7) f n( n −1) f f2 f2 fn n f1 f2 fn Từ (2.6), theo định lý thứ ta có  1  1 m ( r , f1 ) ≤ m ( r , ∆1 ) + m  r ,  ≤ m ( r , ∆1 ) + m ( r , ∆ ) + N ( r , ∆ ) − N  r ,  + O (1) (2.8)  ∆  ∆ D Bởi ∆ = ta có f1 f f n f1  1 n   n  1 = N ( r, ∆ ) − N  r,  ∑ N  r,  − ∑ N ( r, fk ) + N ( r, D ) − N  r,   ∆ k  D = 1=  fk  k (2.9) ,  f j( k )   Vì m  r , = S ( r , f= S ( r ) ,= 1, n ,= 1, n − ( định lý Milloux ) j k j)  fj    S nên ta có m ( r , ∆1 ) + m ( r , ∆ ) = ( r ) (2.10) Từ (2.8), (2.9), (2.10) ta T ( r , f1 ) m ( r , f1 ) + N ( r , f1 ) = n n    1 ≤ ∑ N  r ,  + N ( r , f1 ) + N ( r , D ) − ∑ N ( r , f k ) − N  r ,  + S ( r ) ■  D k 1= k  fk  ♦ Định lý 2.2: Với giả thiết 2.1 n ∑ N ( r , f ) = S ( r ) k k =1 n    1 T ( r, f j ) ≤ ∑ N  r,  − N  r,  + S ( r )  D k =1  fk  Chứng minh: n Ta có N ( r , D ) N ( r , D1 ) ≤ ∑  N ( r , f k ) + ( n − 1) N ( r , f k )  =   k =2 n n Vì N ( r , f1 ) + N ( r , D ) − ∑ N ( r , f k ) = N ( r , D ) − ∑ N ( r , f k ) = 1= k k n n ≤ ( n − 1) ∑ N ( r , f k ) ≤ ( n − 1) ∑ N ( r , f k ) (2.11) k k = 2= n    1 Từ (2.11) định lý 2.1 ta T ( r , f1 ) ≤ ∑ N  r ,  − N  r ,  + S ( r )  D k =1  fk  ■ ♦ Định lý 2.3: Giả sử f1 ( z ) , , f n ( z ) ( n ≥ ) hàm phân hình thoả điều kiện: ∑ C f ( z ) ≡ C ( j = 1, n ) số n (i) j =1 j j j 1, n ) ( j =và f j (z) (ii) f j (z) ≡ / (iii)      f j    o (τ ( r ) ) ,  N ( r , f j ) + N  r ,   = τ ( r ) = T  r ,   ∑  f j  1≤ j < k ≤ n j =1   fk       n fk ( z ) khác với ≤ j < k ≤ n ( ) Khi đó= 0= 1, n Cj j Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp ả ▪ Với n = ta có C1 f1 ( z ) + C2 f ( z ) ≡ Nếu hai giá trị C1 , C2 khác 0, gi sử C1 ≠ ta có f1 ( z ) f2 ( z ) ≡− C2 ( mâu thuẫn với (ii)) Do C1 C2 nên định lý với n = = = C1 ▪ Giả sử định lý với n ≥ Ta chứng minh định lý với n + ( ) Thật vậy, hàm phân hình f j ( z ) = 1, n + thoả mãn điều kiện định lý, ta có j n +1 ∑C f (z) ≡ j =1 j j (2.12) ( ) Nếu C j = 1, n + khác Ta s chứng minh tất C j khác Thật trái lại, ẽ j khơng tính tổng quát, giả sử Cn +1 = Từ (2.12) ta có ∑ C f ( z ) ≡ , f ( z ) ( j = 1, n ) thoả mãn n j =1 j j j ( ) giả thiết định lý nên theo giả thuyết quy nạp ta có = 0= 1, n ( mâu thuẫn giả sử ) Vậy Cj j Cj ≠ 1, ( j = n + 1) Cj f j (z) − Đặt g j ( z ) = j = , 1, n Cn +1 f n +1 ( z ) ( ) (2.13) n ∑ g ( z ) ≡ Từ (2.12) ta có j =1 Nếu g j ( z ) ( j = 1, n ) phụ thuộc tuyến tính tồn số a ( j = 1, n ) ( số chúng khác ) j n n cho j ∑ a g ( z ) ≡ Do ∑ a C f ( z ) ≡ j =1 j j j =1 j j j ( j = 1, n ) Bởi a ( j = 1, n ) khác 0, giả sử a 1, n ) ) ( j = Do g ( z ) ( j = 1, n ) độc lập tuyến tính Theo giả thuyết quy nạp ta có a j C j = ta suy C1 = ( mâu thuẫn C j ≠ j ≠0 j Đặt T ( r ) = max {T ( r , g k )} , ∀j = n từ (2.13) ta có 1, 1≤ k ≤l  N ( r, g j ) + N  r,  gj        ≤ N ( r , f j ) + N  r ,  + N ( r , f n +1 ) + N  r ,    fj   f n +1       S ( r ) N ( r, g j ) + N  r,  = S ( r ) , = o (T ( r ) ) , ( r → ∞, r ∉ E ) Vì ế th  gj    n n   ∑ N ( r , g j ) = S ( r ) ∑ N  r , g  = S ( r )   j =1 j =1 j   Từ (iii) ta có h Bổ đề 3.8: Cho f hàm phân hình khácằng, g dạng biến đổi phân tuyến tính f Nếu  1  1 N  r ,  + N ( r , f ) + N  r ,  + N ( r , g ) < ( λ + o (1) ) T ( r , f )  f   g (r ∈ I ) ; λ < , ồn z0 t cho f = g ( z0 ) Khi f ≡ g f g ≡ (z ) = Chứng minh: Bởi g dạng biến đổi phân tuyến tính f Đặt g = a f + b a, b, c, d số cho c f + d ad − bc ≠ Ta xét ba trường hợp sau: ▪ Trường hợp 1: a ≠ 0, c ≠ Bởi ad − bc ≠ nên nh b d khác Khơng tính tổng qt giả sử b ≠ Khi ất     1  N  r,  = N  r,  Vì  g  f +b   a      1  1  1  N  r,  + N ( r, f ) + N  r,  ≤ N  r,  + N ( r, f ) + N  r,  + N ( r, g )  f   f   g  f +b   a  < ( λ + o (1) ) T ( r , f ) ( r ∈ I ) mâu thuẫn định lý thứ hai ▪ Trường hợp 2: c =     1 a b  Khi ad ≠ g = f + Nếu b ≠ N  r ,  = N  r ,  d d  g  f +b   a  a a Tương tự ta có điều mâu thuẫn Do f ≡ g g = f Cho z = z0 ta thu = d d f ≡ g ▪ Trường hợp 3: a =    b  Khi bc ≠ g = Nếu d ≠ N ( r , g ) = N  r ,  , c f + d  f +d   c      1  1  1  N  r,  + N ( r, f ) + N  r,  ≤ N  r,  + N ( r, f ) + N  r,  + N ( r, g )  f   f   g  f +d   c  < ( λ + o (1) ) T ( r , f ) (r ∈ I ) mâu thuẫn định lý thứ hai Vậy d = f g = b b Cho z = z0 ta thu = , f g ≡ c c ■ Bổ đề 3.9: Cho f , g hai hàm phân hình khác chia CM  f '' f '   g '' 2.g '  − − H= −   f ' f −1  g ' g −1   Nếu H ≡ N1)  r , /  ≤ N ( r, H ) + S ( r, f ) + S ( r, g )  f −1 Đặt (3.99) Chứng minh: Theo định lý 1.6 ta có m= S ( r , f ) + S ( r , g ) ( r, H ) Giả sử z0 không điểm đơn f − , lân cận z0 ta có ( ) + O (( z − z ) ) f ( z ) =+ a1 ( z − z0 ) + a2 ( z − z0 ) + O ( z − z0 ) g ( z ) =+ b1 ( z − z0 ) + b2 ( z − z0 ) 3 ; ( a1 ≠ ) ; ( b1 ≠ ) Từ (3.99) ta có H = O ( z − z0 ) nghĩa z0 không điểm H (z)    1 Vì N1)  r ,  ≤ N  r ,  ≤ T ( r , H ) + O (1) ≤ N ( r , H ) + S ( r , f ) + S ( r , g ) ■  H  f −1 Chứng minh định lý 3.23:   Từ bổ đề 3.9 ta có N1)  r ,  ≤ N ( r, H ) + S ( r, f ) + S ( r, g )  f −1 Bởi f , g chia 1, ∞ CM ta thấy H có cực điểm đơn không điểm đơn f , g cực điểm H, ta  1  1    1 N ( r , H ) ≤ N (2  r ,  + N (2  r ,  + N  r ,  + N  r ,   f   g  f '  g' Vì   1  1    1  N1)  r ,  ≤ N (2  r ,  + N (2  r ,  + N  r ,  + N  r ,  + S ( r , f ) + S ( r , g )  f −1  f   g  f '  g' Theo định lý thứ hai ta có  1     T ( r, f ) ≤ N  r,  + N  r,  + N ( r, f ) − N0  r,  + S ( r, f )  f   f −1  f '  1   1  T ( r, g ) ≤ N  r,  + N  r,  + N ( r, g ) − N0  r,  + S ( r, g )  g  g −1  g'           Ta có N  r ,  + N  r, = N  r ,  ≤ N1)  r ,  + N  r,   f −1  g −1  f −1  f −1  f −1   1  1    1  ≤ N  r,  + N (2  r ,  + N (2  r ,  + N  r ,  + N  r ,  + S ( r , f ) + S ( r , g )  f −1  f   g  f '  g' Vì ta có  1  1   T ( r , f ) + T ( r , g ) ≤ N  r ,  + N  r ,  + 2.N ( r , f ) + N  r ,  + S ( r, f ) + S ( r, g ) f  g f −1    (3.100)       Bởi N  r , = N  r,  ≤ T ( r , f ) + O (1) N  r ,   ≤ T ( r , g ) + O (1)  f −1  f −1  g −1  1  1 Vì từ (3.100) ta có (1 − o (1) ) T ( r ) ≤ N  r ,  + N  r ,  + 2.N ( r , f ) ( r ∈ I )  f   g (3.101) Từ giả thiết (3.98) ta có (1 − o (1) ) T ( r ) ≤ ( µ + o (1) ) T ( r ) ( r ∈ I ) ( mâu thuẫn ) Vì H ≡ , từ (3.99) ta có g dạng biến đổi phân tuyến tính f Từ định lý thứ hai (3.98) ta suy không th giá trị Picard ể f , tồn z0 cho f= g ( z0 ) Từ bổ đề 3.8 ta ( z0 ) = thu f ≡ g f g ≡ ■ ♦ Định lý 3.24: Cho f , g hai hàm phân hình khác chia 0, CM Nếu  1 N ( r , f ) + N ( r , g ) + 2.N  r ,  < ( µ + o (1) ) T ( r ) ( r ∈ I )  f  µ < , T ( r ) = max {T ( r , f ) , T ( r , g )} Khi f ≡ g f g ≡ (3.102) Chứng minh: Đặt F = 1 , G = Khi F, G thoả giả thiết định lý 3.23 nên F ≡ G F G ≡ Do f ≡ g g f f g ≡ ■ Chương 4: SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH CHIA GIÁ TRỊ VỚI ĐẠO HÀM CỦA NĨ Bài tốn hàm phân hình chia giá trị với đạo hàm trường hợp đặc biệt xác định hàm phân hình M đích chương chứng minh hàm phân hình khác chia hai giá t rị ục hữu hạn CM ba giá trị hữu hạn IM với f ( k ) f ≡ f ( k ) Gồm kết thu Frank, Ohlenroth, Weissenborn, Schwick, Mues-Reinder 4.1 Hàm nguyên chia giá trị với đạo hàm 4.1.1 Hàm nguyên chia hai giá trị CM với đạo hàm ♦ Định lý 4.1: ( Rubel – Yang, 1977 [11] ) Cho f hàm nguyên khác Nếu f f ' chia a, b CM f ≡ f ' Chứng minh: ▪ Nếu a, b 0, ta giả sử= 0, b ≠ Khi phải giá trị Picard f f ' Theo a định lý 1.8 tồn hàm nguyên khác α , β cho f ( z ) = eα ( z ) f ' ( z ) = e β ( z ) (4.1) Khi e β ( z ) = α ' ( z ) eα ( z ) (4.2) f −b (4.3) = eγ ( γ hàm nguyên ) f '− b 1 Từ (4.1), (4.3) ta eα + eγ − e β +γ = (4.4) b b 1 α Ta thấy hàm eα , eγ , − e β +γ hàm ngun khơng có khơng ểm e khác nên thoả b b b điều kiện định lý 2.6, suy eγ ≡ − e β +γ ≡ b γ ◦ Nếu e ≡ f ≡ f ' Vì f f ' chia b CM nên ◦ Nếu − e β +γ ≡ e β =−γ =−α T −b.e b e b ( (4.2) ta suy e 2α = b2 α' ( mâu thun ẫ ) T ( r , α ') = S r , eα ) ▪ Bây ta giả sử a ≠ 0, b ≠ Khi ta có t ồn f '− b = eβ f −b Giả sử f ≡ f ' Giải f f ' từ (4.5) ta / f '− a = eα ; f −a (4.5) b.eα − a.e β + ( a − b ) e β +α b.e β − a.eα + a − b f ' = e β − eα eα − e β + ( a − b ) e 2α + β − ( a − b ) eα + β + {( b − a )( β '− α ') − ( a + b )} eα + β f = Vì a.e β + b.e 2α hàm nguyên α , β cho (4.6) + ( a − b ) β '.e β − ( a − b ) α '.eα = (4.7) Từ (4.6) ta có T ( r , f ) < 2.T ( r , eα ) + 2.T ( r , e β ) + O (1) (4.8) Giả sử eα ≡ c ( c ≠ 0,1 hằng) , từ (4.8) ta có e β ≡ const / Từ (4.7) suy A.e β + Be β + bc = (4.9) A =a − ( a − b ) c ; B = ( a − b ) c + {( b − a ) β '− ( a + b )} c + ( a − b ) β ' Do theo định lý 1.9 ta T ( r , B ) = S ( r , e β ) Mặt khác từ (4.9) ta có T ( r , B ) 2.T ( r , e β ) + O (1) ( vô = lý ) Vậy eα ≡ const / Tương tự ta có e β , e β −α , e β − 2α , e β −α ≡ const / Chia (4.7) cho e β ta a.e β + b.e 2α − β + ( a − b ) e 2α − ( a − b ) eα + β + {( b − a )( β '− α ') − ( a + b )} eα − ( a − b ) α '.eα − β =( a − b ) β ' − (4.10) ( ) Áp dụng định lý 1.11 (4.10) tồn số không đồng thời c j j = 1, cho c1 e β + c2 e 2α − β + c3 e 2α + c4 eα + β + c5 {( b − a )( β '− α ') − ( a + b )} eα + c6 α '.eα − β = (4.11) α Chia (4.11) cho e ta −c c1 e β −α + c2 eα − β + c3 eα + c4 e β + c6 α '.e − β = {( b − a )( β '− α ') − ( a + b )} ( ) Áp dụng định lý 1.11 tồn số không đồng thời d j j = 1,5 cho d1 e Suy d1 e β −α α α +β + d e + d3 e β −α α −β + d e + d e 2β α β + d3 e + d e + d5 α '.e −β = ' −d5 α = ( ) Lại áp dụng định lý 1.11 ta t1 e β −α + t2 eα + t3 eα + β + t4 e β =j j = 1, h ằng số không (t đồng thời ) Khơng tính tổng qt giả sử t4 ≠ ta − t1 −α t2 α − β t3 α − β e − e − e = t4 t4 t4 Ta thấy e −α , eα − β , eα − β khác nên mâu thuẫn với định lý 2.6 Vậy f ≡ f ' ■ Năm 1992, Zeng – Wang cải tiến định lý 4.1 cách thay số hàm nhỏ thu kết sau phương pháp chứng minh tương tự ♦ Định lý 4.2: ( Zeng – Wang, 1992 [12] ) Cho f hàm nguyên khác h ằng, a ( z ) , b ( z ) hàm phân hình phân biệt thoả T ( r , a ) + T ( r , b ) = f ) ) o (T ( r , Nếu f=  −a f = '− a f=  −b f = '− b f ≡ f ' ▪ Nhận xét: Ta thấy điều kiện f f ' chia hai giá trị CM định lý cần thiết Thật vậy, xét z z t f '− = ee ∫ e − e − et dt Ta thấy f (z) = e z nghĩa f f ' chia CM f ≡ f ' ■ / f −1 ( ) 4.1.2 Hàm nguyên chia hai giá trị IM với đạo hàm Năm 1979, Mues – Steinmetz cải tiến định lý 4.1 chứng minh kết sau: ằng, a, b hai giá tr hữu hạn phân biệt Nếu f f ' chia ị ♦ Định lý 4.3: Cho f hàm nguyên khác h a, b IM f ≡ f ' Chứng minh: Ta xét hai trường hợp: ▪ Trường hợp 1: a.b ≠ Bởi f f ' chia a, b IM a.b ≠ nên không điểm f − a f − b khơng điểm đơn Giả sử f ( z ) ≡ f ' ( z ) Ta có: /     f '  = N  r,  ≤ T ( r , f − f ') + O (1) m  r , f 1 −   + O (1) f   f − f '   ≤ m ( r, f ) + S ( r, f ) = T ( r, f ) + S ( r, f ) Ta thấy: i) log + a + log + b ≥ log + ab 1 c ii) log + + log + ≤ log + + log + a b c ab      Do N  r ,  + N  r,  ≤ N  r,  f −a  f −b  f −f   ≤ T ( r, f ) + S ( r, f ) '          f' m  r,  = m  r,  + m  r,  ≤ m  r,  + m  r,  ( f − a )( f − b )   f −a  f −b  f '      Vì 2.T ( r , f ) ≤ T ( r , f ) + m  r ,  + S ( r , f )  f ' (4.11)   + S ( r, f ) f ' (4.12)       Mặt khác N  r ,  + N  r,  ≤ N  r,  ≤ T ( r, f ) + S ( r, f )  f '− a   f '− b   f − f '           N  r,  − N  r,  + N  r,  − N  r,  ≤ N  r,   f '− a   f '− a   f '− b   f '− b   f ''        suy (4.13) N  r,  + N  r,  ≤ T ( r, f ) + N  r,  + S ( r, f )  f '− a   f '− b   f ''  Từ i), ii) định lý 1.6 ta         m  r,  + m  r,  + m  r,  ≤ m  r,  + S ( r, f )  f '  f '− a   f '− b   f ''  Kết hợp với (4.13) ta   m  r ,  + 2.T ( r , f ) ≤ T ( r , f ) + T ( r , f '') + S ( r , f )  f ' Suy T ( r , f ') = S ( r , f )  f ''  ≤ T ( r , f ) + m ( r , f ') + m  r ,  + S ( r, f )  f '   =T ( r , f ) + T ( r , f ') + S ( r , f ) ≤ m  r ,  + T ( r , f ') + S ( r , f )  f ' Do từ (4.12) ta có T ( r , f ) ≤ T ( r , f ') + S ( r , f ) = hay T ( r , f ) = S ( r , f ) ( vô lý ) Vậy f ≡ f ' S ( r, f ) ▪ Trường hợp 2: a.b = Khơng tính tổng qt giả sử a 0, b = = Do f f ' chia 0, IM nên ta th bội không điểm f phải lớn không điểm f − f ' ( f '− f ) phải không điểm đơn Giả sử f ≡ f ' Đặt g = / (4.14) f ( f − 1) Bởi f f ' chia 0, IM nên g hàm nguyên    f ' f '  f '  f'  = m  r, T ( r, g )  − 1  ≤ m  r ,  + m  r, = S ( r, f )  + O (1)   f −1  f   f −1  f ( Hơn từ (4.14) ta có ( f ') − f f ' = g f − f ) (4.15) (4.16) ( ) Lấy đạo hàm lần ta được: f ' f ''− ( f ') − f = g ' f − f + g ( f f '− f ') (4.17) f '' ( ) ( f '') + f ' f '''− f ' f ''− f = g '' f − f + g ' ( f f '− f ') f ''' { } + g ( f ') + f f ''− f '' Gọi z1 không điểm f − Khi = f ( z1 ) (4.18) f= Từ (4.17), (4.18) ta có ' ( z1 ) f '' ( z1 ) = + g ( z1 ) f ''' ( z1 ) = g ' ( z1 ) − g ( z1 ) + g ( z1 ) + Đặt φ= ψ = (4.19) (4.20) f ''− ( g + 1) f ' f −1 ( (4.21) ) f '''− g '− g + g + f ' (4.22) f −1 Bởi f − có khơng điểm đơn kết hợp với (4.19), (4.20) ta thấy φ , ψ hàm nguyên Vì   f ''  f'  = = T ( r,φ ) m ( r,φ ) ≤ m  r,  + m  r,  + m ( r , g ) + O (1) S ( r , f )  f −1  f −1 Tương tự T ( r ,ψ ) = S ( r , f ) Từ (4.21), (4.22) ta có f ' ( g − g '+ φ ) = (f − 1) ψ − φ '− (1 + g ) φ    (4.23) ▫ Nếu g − g '+ φ ≡ Do f f ' chia 0,1 IM nên từ (4.23) ta có /     N  r, S ( r, f ) =  ≤ N  r,  f −1  g − g '+ φ   N  r,  f Theo đnh lý 1.2 ị ta có    ≤ N  r, = S ( r, f )   ψ − φ '− (1 + g ) φ       1   T ( r, f ) < N  r,  + N  r, S ( r, f )  + S ( r, f ) =  f   f −1 g − g '+ φ ≡ ( vơ lý ) Do (4.24) Gọi z0 không điểm f ( z ) , từ (4.18), (4.21) ta có f '' ( z0 ) = − g ( z0 ) f '' ( z0 ) = −φ ( z0 ) Suy φ ( z0 ) = g ( z0 ) Từ (4.24) ta 2.g ( z0 ) + g ( z0 ) − g ' ( z0 ) = ▫ Nếu 2.g + g − g ' ≡ Từ (4.15), (4.25) ta có / (4.25)  N  r,  f Do      ≤ N  r, S ( r, f ) =    2.g + g − g '         f '  f '  f '  f'  = N  r,  ≤ N  r,  ≤ T  r ,  + O (1) m  r ,  + N  r ,  + O (1)  f −1  f −1  f   f   f   f ' ( f f ' chia IM ) = N  r ,  + S ( r , f )= S ( r , f )  f  Theo định lý thứ hai ta có  1   T ( r, f ) < N  r,  + N  r, S ( r, f )  + S ( r , f ) = ( vô lý )  f   f −1 Do g ' ≡ 2.g + g (4.26) Nếu g hàm nguyên khác hằng, từ định lý 3.19 ta có T ( r , g ) = S ( r , g ) ( vô lý ) Vậy g hàm Từ 1 (4.26) ta thấy g ≡ g ≡ − Bởi f ≡ f ' nên g ≡ − Từ (4.14) ta ( f '− f ) = f / 4 h +1 Đặt= f '− f f = h ⇒ f ' = 2h.h ' Vì h ' = (4.27) h Giải (4.27) ta = A.e h(z) Chọn = 4π i − log A z* ( ) z − ( A ≠ ) suy ( ) h z * = −2 , ( ) h ' z * = − Vì ế th ( ) ( ) = h2 z* f z* = ( ) ( ) = 2h z * h ' z * ( vô lý f , f ' chia ) f ' z* = Vậy f ≡ f ' ■ 4.1.3 Hàm nguyên chia hai giá trị với đạo hàm bậc k Năm 1990, L.Z.Yang [13] cải tiến định lý 4.1 chứng minh kết sau: ♦ Định lý 4.4: Cho f hàm nguyên khác hằng, k số nguyên dương, a, b hai giá trị hữu hạn phân biệt Nếu f f ( k ) chia a, b CM f ≡ f ( k ) Chứng minh: Theo định lý 4.1 ta cần xét k ≥ Xét trường hợp sau: ▪ Trường hợp 1: a.b ≠ Do f f ( k ) chia a, b CM nên tồn hai hàm nguyên α , β cho f −a f −b = eα = eβ (k ) (k ) f −a f −b Do T ( r , eα ) + T ( r , e β ) =f ) ) O (T ( r , (r ∉ E ) Giả sử f ≡ f ( k ) , từ (4.28) ta eα ≡ , e β ≡ / / / (4.28) (4.29) ▫ Nếu eα ≡ c ( c ≠ 0,1 h ằng ), n b giá tr Picard f f ( k ) theo định lý 1.7 ta có ếu ị T ( r , f ) < ε T ( r , f ) + S ( r , f ) ( vô lý ) nên b không giá tr Picard ị cho f ( z0 ) = (k ) f= b ( z0 ) Thay z = z0 vào f −a f (k ) −a f f ( k ) Do tồn z0 (4.30) = eα ta c = ( vô lý ) Vậy eα ≡ const Tương tự ta có e β ≡ const Vì α ' ≡ , β ' ≡ / / / / Từ (4.28) ta có = α' α' f' f ( k +1) − (k ) f −a f −a = f −b (f f' − a )( f − b ) − f ( k +1) ( f ( ) − a) ( f − b) k  f' f '  f ( k )  f ( k +1) f ( k +1) = − − (k )   −  b − a  f − b f − a  f − b a  f (k ) − a f      α'  Do m  r ,  = S ( r, f )  f −b    α'    Từ (4.29) ta có m  r , S ( r, f )  ≤ m  r,  + m  r ,  ≤ T ( r , α ') + S ( r , f ) =  α '  f −b  f −b   N  r , = T ( r , f ) + S ( r , f )   f −b   Tương tự ta N  r , = T ( r , f ) + S ( r , f )   f −a (4.31) (4.32) Mặt khác f f ( k ) chia a, b CM nên       (k ) + O (1) N  r,  + N  r,  ≤ N  r,  f − f (k )  ≤ T r, f − f   f −a  f −b     f (k )   = m  r , f 1 −   + O (1) ≤ m ( r , f ) + S ( r , f )   f     = T ( r, f ) + S ( r, f ) (4.33) ( ) Từ (4.31), (4.32), (4.33) ta T ( r , f ) = S ( r , f ) ( vô lý ) Vậy f ≡ f ( k ) ▪ Trường hợp 2: a.b = Ta giả sử a ≠ , b = Do f f ( k ) chia a, CM nên tồn hàm nguyên α , β cho Ta có T ( r , eα ) + T ( r , e β ) =f ) ) O (T ( r , (r ∉ E ) f −a (k ) f −a (4.34) = eα f f (k ) = eβ (4.35) Giả sử f ≡ f ( k ) , từ (4.34) ta có eα ≡ , e β ≡ / / / ▫ Nếu e β ≡ c1 ( c1 ≠ 0,1 hằng), theo định lý 1.7 ta suy a không giá trị Picard f f ( k ) Do (k ) = tồn z1 cho f ( z1 ) f= a Thay vào (4.34) ta c1 = (vô lý) Vậy e β ≡ const ( z1 ) / ▫ Nếu giá trị Picard f f ( k ) f ( z ) = e Az + B ( A ≠ B số ) f f ( k ) chia a CM nên tồn z0 cho a= e Az0 + B = Ak e Az0 + B ⇒ Ak = hay f ≡ f ( k ) ( vơ lý ) Do không (k ) giá trị Picard f f ( k ) nên tồn z2 cho f ( z2 ) f= = ( z2 ) (4.37) ▫ Nếu eα ≡ c2 ( c2 ≠ 0,1 h ằng), từ (4.34), (4.37) ta có c2 = (vơ lý) nên eα ≡ const Vì th ế / α ' ≡ , β ' ≡ / / Từ (4.34) ta = α' f' f ( k +1) − (k ) f −a f −a α' 1 f ' f '  f ( k )  f ( k +1) f ( k +1) = − − − (k )  (k )  f a f −a f  f a  f −a f       α ' Vì m  r ,  = S ( r , f )  f   1  α '   Từ (4.35) ta có m  r ,  ≤ m  r ,  + m  r ,  ≤ T ( r , α ') + S ( r , f ) = S ( r, f )  α '  f   f   1 = N  r,  T ( r, f ) + S ( r, f )  f    Tương tự N  r , = T ( r , f ) + S ( r , f )   f −a Do  1   Mặt khác tương tự (4.33) ta có N  r ,  + N  r ,  ≤ T ( r, f ) + S ( r, f )  f   f −a Từ (4.38), (4.39), (4.40) ta T ( r , f ) = S ( r , f ) ( vô lý ) Vậy f ≡ f ( k ) (4.38) (4.39) (4.40) ■ 4.2 Hàm phân hình chia giá trị với đạo hàm ♦ Định lý 4.5: ( Gundersen, 1980 ) Cho f hàm phân hình khác h ằng, b ( ≠ ) giá trị hữu hạn Nếu f f ' chia b CM f ≡ f ' Chứng minh: Giả sử f ≡ f ' Trước tiên ta chứng minh /     N 1) ( r , f ) ≤ N (2 ( r , f ) + N  r ,  + N0  r,  + S ( r, f )  f '−   f ''    N  r ,  đếm không điểm f '' mà không không điểm f '−  f ''   f '' ( z )   Thật vậy, đặt g ( z ) =  (1 − f ') Nếu z0 cực điểm đơn f lân cận z0 ta có = f (z) − f '( z ) = a ( z − z0 ) + O= (1) a ( z − z0 ) f '' ( z ) = { { + O ( z − z0 ) 2a ( z − z0 ) { } + O ( z − z0 ) a + O (1) (trong a ≠ ) Vì z − z0 } } + O ( z − z0 ) a Do z0 khơng không điểm cực điểm g , z0 không điểm g ' Theo định lý Từ ta g ( z ) =  g  g'  g' thứ ta có N  r ,  − N  r ,  ≤ m  r ,  + O (1) =f ) S ( r,  g'  g  g  g  g'  1  1 Mặt khác, N  r ,  − N  r ,  = N ( r , g ) + N  r ,  − N ( r , g ') − N  r ,   g'  g  g'  g  1  1  1  1 = N  r,  − N  r,  − N ( r, g ) = N0  r,  − N  r,  − N ( r, g )  g'  g  g'  g  1 N  r ,  hàm đếm không điểm g ' mà không không điểm g  g'  1  1 Vì N 1) ( r , f ) ≤ N  r ,  ≤ N  r ,  + N ( r , g ) + S ( r , f )  g'  g Ta thấy cực điểm bội f không điểm f '− khơng điểm cực điểm g, không điểm f '' khơng điểm f '− Vì ta có  1     N  r ,  + N ( r , g ) ≤ N (2 ( r , f ) + N  r ,  + N0  r,   g  f '−   f ''      Vậy ta có N 1) ( r , f ) ≤ N (2 ( r , f ) + N  r ,  + N0  r,  + S ( r, f )  f '−   f ''  ị ịnh Vì f , f ' chia CM nên giá tr Picard f f ' Do f , f ' chia ∞ IM nên theo đ lý 3.14 ta có T ( r , f ) = O (T ( r , f ' ) ) , r ∉ E Từ định lý thứ hai, giá trị Picard f ' nên ta có     T ( r , f ') ≤ N  r ,  + N  r ,  + N ( r , f ') + S ( r , f ')  f '  f '− b       r,  + N ( r , f ') + S ( r , f ') ( f , f ' chia b CM ) ≤N  f ' −1  f     f '  f ' ≤ T  r ,  + N ( r , f ') + S ( r , f ') = N  r ,  + N ( r , f ') + S ( r , f ')  f   f  ≤ N.( r , f ') + S ( r , f ') ≤ T ( r , f ') + S ( r , f ') (do f , f ' chia ∞ IM) Từ suy N= T ( r , f ') + S ( r , f ') ( r , f ')   N. r , = T ( r , f ') + S ( r , f ')   f '− b  (4.41)       Mặt khác ta có T ( r , f ') ≤ N  r ,  + N  r ,  + N ( r , f ') − N  r ,  + S ( r , f ')  f '  f '− b   f ''    Nên N  r ,  = S ( r , f ')  f ''  Theo chứng minh ta có     N 1) ( r , f ) ≤ N 1) ( r , f + z ) ≤ N (2 ( r , f + z ) + N  r ,  + N  r ,  + S ( r, f + z )  f '  f ''  ≤ N (2 ( r , f ) + S ( r , f ') Từ (4.41), (4.42) ta nên (4.42) N (2 ( r , f ) = S ( r , f ) , N 1) ( r , f ) = S ( r , f ) N= N ( r , f ) S ( r , f ) ( r , f ') = Từ (4.41) suy T ( r , f ') = S ( r , f ') ( vô lý ) Vậy f ≡ f ' ♦ Định lý 4.6: ( Mues – Steinmetz and Gundersen ) Cho f hàm phân hình khác hằng, a1 , a2 , a3 ba giá trị hữu hạn phân biệt Nếu f f ' chia a1 , a2 , a3 IM f ≡ f ' Chứng minh: Giả sử f ≡ f ' Khi /     f '  N  r, (1)  ≤ T ( r , f − f ') + O= N ( r , f ') + m  r , f 1 −   + O (1) f   f − f '   ≤ N ( r, f ) + N ( r, f ) + m ( r, f ) + S ( r, f ) =T ( r, f ) + N ( r, f ) + S ( r, f ) (4.43)     Mặt khác ta có ∑ m  r , (4.44)  ≤ m  r,  + S ( r, f ) i =1  f '  f −  ◦ Giả sử a1 a2 a3 ≠ B ởi a1 , a2 , a3 giá chia IM c ểm f f ' nên không đơn f − , ( i = khơng điểm đơn Vì từ (4.43) ta có 1, 2,3)     ≤ N  r,  ≤ T ( r, f ) + N ( r, f ) + S ( r, f ) i =1  f − f ' i     Từ (4.44), (4.45) ta có 3.T ( r , f ) ≤ T ( r , f ) + N ( r , f ) + m  r ,  + S ( r , f )  f '  ∑ N  r, f − a (4.45)   hay 2.T ( r , f ) ≤ N ( r , f ) + m  r ,  + S ( r , f ) (4.46)  f ' 1, ) ◦ Nếu a1 a2 a3 = Khơng tính tổng quát ta giả sử a3 = Khi khơng m f − , ( i = ể không điểm đơn không điểm f khơng điểm bội Vì   1          N  r, = ∑ N  r,   + N  r,  + N  r,  ≤ N  r, ∑=i  + N  r,  = i  f   f '  f − f '  f '  f −   f −      Từ (4.43) ta có ∑ N  r , (4.47)  ≤ T ( r, f ) + N ( r, f ) + N  r,  + S ( r, f ) i =1  f '  f −  Kết hợp (4.44), (4.47) ta thu 2.T ( r , f ) ≤ N ( r , f ) + T ( r , f ') + S ( r , f ) Tương tự ta có T ( r , f ') ≤ N ( r , f ) + T ( r , f ') + S ( r , f ) (4.48) Mặt khác a1 , a2 , a3 ∞ giá trị chia IM f f ' nên theo định lý 3.9 ta có T = T ( r, f ) + S ( r, f ) ( r , f ') Từ (4.46), (4.48), (4.49) ta có T ( r , f ) ≤ N ( r , f ) + S ( r , f ) Vì T ( r , f ') = N ( r , f ) + N ( r , f ) + m ( r , f ' ) ≥ 2.N ( r , f ) ≥ 2.T ( r , f ) + S ( r , f ) Kết hợp (4.49) ta suy T ( r , f ) = S ( r , f ) ( vô lý ) Vậy f ≡ f ' ■ (4.49) KẾT LUẬN Lý thuyết Neva linna lý thuy tương đối đại hướng phát triển Toán ết học Trong lý thuy Nevanlinna xác định hàm phân hình mở ết hướng phát triển Luận văn tổng hợp cách có hệ thống kết thu xác định hàm phân hình chúng chia 5, 4, 3, 2, giá tr trình bày số ứng dụng phương trình vi phân Đồng ị thời đưa số nhận xét quan trọng sau định lý Tuy nhiên nhiều vấn đề quan trọng lý thuyết Nevanlinna chưa đề cập luận văn như: lý thuy tập xác định nhất, lý thuyết p -adic nh nhánh phát triển khác lý thuyết ết ững Nevanlinna Tôi hi vọng tiếp tục nghiên cứu sâu đề tài Luận văn chủ yếu dựa vào tài liệu “Uniqueness Theory of Meromorphic Functions” ChungChun Yang Hong-Xun Yi, sách lý thuyết xác định hàm phân hình, tập hợp hầu hết kết lĩnh vực năm gần báo liên quan Một lần xin chân thành cám ơn Tiến sĩ Nguyễn Văn Đơng tận tình hướng dẫn tơi hồn thành tốt luận văn Tp Hồ Chí Minh – Tháng 11 năm 2009 TÀI LIỆU THAM KHẢO Chung – Chun Yang and Hong – Xun Yi (2003), Uniqueness of Meromorphic functions, Science Press Beijing, New York W Cherry and Z Ye (2001), Nevanlinna’s Theory of Distribution, Springer W.K Hayman (1964), Meromorphic functions, The Clarendon Press,Oxford Meromorphic function that share one or two values, Complex variables K Niino and M Ozawa (1970), Deficiencies of an entire algebroidal function, Kodai Math Sem Rep., 22, 98 – 113 H X Yi (1997), Some theorems on systems of meromorphic functions II, J Shandong Univ, 32, No.2, 121 – 127 C C Yang, Further results on the Nevanlinna’s five-value theorem, to appear Q D Zhang (1999), A unicity theorem for meromorphic functions dealing with derivatives and sharing sets, J China Univ., Mining and Technology, 28, No.4, 353 – 356 G G Gundersen (1983), Meromorphic functions that share four values, Trans Amer Math Soc., 227, 545 – 567 10 G Jank and N Terglane (1990), Meromorphic functions sharing three values, Math Pannonica, 2, 37 – 46 11 L A Rubel and C C Yang (1976), Values shared by an entire function and its derivative, in “Complex analysis, Kentucky, 1976”, Lecture Notes in Math., Vol 599, Springer, 101 – 103 12 J H Zheng and S P Wang (1992), On uniqueness of meromorphic functions and their derivatives, Adv Math., 21, 334 – 341 13 L.Z Yang (1990), Entire functions that share finite values with their derivatives, Bull Austral Math Soc., 41, 337 – 342 14 G G Gundersen (1979), Meromorphic functions that share three or four values, Soc., 20, 457 – 466 J London Math ... Chương 3: SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA CÁC HÀM PHÂN HÌNH CHIA GIÁ TRỊ Nevanlinna chứng minh hàm phân hình khác xác định điểm, nghĩa hai hàm phân hình f g nhận giá trị f ≡ g Chắc chắn số định lý Nevanlinna... a g − a 3.1 Hàm phân hình chia giá trị 3.1.1 Định lý điểm Nevanlinna: Định lý điểm kết quan trọng Nevanlinna việc xác định hàm phân hình ( ) ♦ Định lý 3.1: Cho f , g hai hàm phân hình khác h... ĐẦU Lý thuyết xác định hàm phân hình nghiên cứu điều kiện mà tồn hàm phân hình thoả mãn điều kiện Ta biết đa thức xác định khơng điểm ( sai khác nhân tử ), điề u khơng đ với hàm ng un hàm phân hình