BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Thân Văn Đính ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG HÌNH NĨN VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin kính gửi đến Thầy PGS TS Lê Hồn Hóa lời cảm ơn sâu sắc chân thành tận tình giúp đỡ bảo Thầy dành cho suốt thời gian làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Q Thầy Cơ trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy hướng dẫn tơi suốt khóa học Tơi xin chân thành cảm ơn Q Thầy Cơ Phịng Khoa học-Công nghệ Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin kính gửi đến Sở Giáo Dục Đào Tạo Bình Phước, Ban Giám Hiệu trường THPT Chu Văn An lời cảm ơn chân thành giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để học tập nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn Q Thầy Cô trường THPT Chu Văn An đặc biệt Thầy Tổ Toán; bạn học viên cao học lớp Giải tích K19 ln động viên, khuyến khích giúp đỡ tơi thời gian học tập làm luận văn Sau tơi xin kính gửi đến gia đình tơi người thân tơi tất tình cảm u thương lịng tri ân sâu sắc nhất, nơi tạo cho niềm tin, nghị lực chỗ dựa vững giúp tơi hồn thành khóa học với luận văn Vì kiến thức thân cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận xét bảo Quí Thầy Cơ góp ý chân thành bạn đồng nghiệp LỜI CAM ĐOAN Mặc dù q trình làm luận văn này, tơi nghiên cứu, tìm hiểu tham khảo sách vở, báo toán học tác giả luận văn khóa trước, tơi có sử dụng kết chứng minh để hoàn thành luận văn tơi xin cam đoan khơng chép luận văn có tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm với lời cam đoan MỤC LỤC MỤC LỤC T T MỞ ĐẦU T T 1.Lí chọn đề tài T T 2.Mục đích đề tài T T 3.Phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu phạm vi đề tài T T MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN T T Chương NÓN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NĨN 10 T T 1.1 Nón chuẩn (Normal cones) 10 T T 1.2 Nón quy (Regular cones) nón quy đủ (Fully Regular Cones) 11 T T 1.3 Hàm tuyến tính dương 13 T T Chương : MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG NĨN 15 T T 2.1 Điểm bất động ánh xạ đơn điệu 15 T T 2.2 Điểm bất động ánh xạ mở rộng nón (cone expansion) ánh xạ thu hẹp nón T ( cone compression) 23 T 2.3 Định lí điểm bất động bội (Multiple Fixed point theorems) 37 T T Chương : ỨNG DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN T PHI TUYẾN 40 T 3.1 Phương trình tích phân dạng đa thức 40 T T 3.2 Giá trị riêng vectơ riêng 54 T T 3.3 Phương trình tích phân phi tuyến dạng lan truyền bệnh dịch 62 T T 3.4 Một phương trình tích phân phi tuyến xuất vật lí hạt nhân 72 T T KẾT LUẬN 76 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 T T MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Phương trình tích phân phi tuyến nhiều nhà tốn học lớn giới quan tâm nghiên cứu, phải kể đến Dajun Guo, V.Lakshmikantham, Shaefer, Stuart, William, Legget Nhận thấy phạm vi ứng dụng rộng lớn phương trình ngành tốn nói chung ngành giải tích nói riêng, đặc biệt có ứng dụng vào ngành khoa học khác : Phương trình tích phân phi tuyến dạng lan truyền bệnh dịch mô tả lây lan bệnh dịch; Phương trình tích phân phi tuyến xuất vật lí hạt nhân; Phương trình tích phân phi tuyến mô tả vận chuyển Notron, Từ kiến thức thu nhận qua giảng khóa học cao học dựa kết nhà tốn học nêu trên, tơi muốn mở rộng kiến thức để tìm hiểu chun đề phương trình tích phân phi tuyến Chính mà tơi định chọn đề tài 2.Mục đích đề tài Đề tài trình bày tồn nghiệm liên tục, không âm số loại phương trình tích phân phi tuyến dựa lí thuyết điểm bất động nghiên cứu hình nón 3.Phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu phạm vi đề tài a Phương pháp nghiên cứu : Tham khảo sách, báo liên quan dựa hướng dẫn giảng viên b Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu đề tài Phương trình tích phân phi tuyến mảng rộng hạn chế nhiều mặt phạm vi cho phép đề tài nên luận văn trình bày số kết sau Chương : Trình bày định nghĩa tính chất nón Chương : Trình bày số định lí điểm bất động hình nón, bao gồm:  Định lí điểm bất động ánh xạ tăng, ánh xạ giảm  Định lí điểm bất động ánh xạ đọng  Định lí điểm bất động ánh xạ mở rộng thu hẹp nón Chương : Là nội dung trọng tâm luận văn, trình bày ứng dụng trực tiếp định lí trình bày chương vào xét tồn nghiệm không âm, liên tục phương trình tích phân phi tuyến sau : (1) u ( x) = ∫ k ( x, y ) f ( y, u ( y ))dy G k ( x, y ) f [u ( y )]dy ∫= (2) λ.u ( x) = Au ( x) G t (3) x(t ) = ∫τ f (s, x(s)ds t− 1 (4) = ψ ( x) + ψ ( x) ∫ R ( x, y ) ψ ( y )dy,0 ≤ x ≤ x2 − y2 MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN • E : khơng gian Banach thực • E* : khơng gian hàm tuyến tính liên tục từ E vào E ( đối ngẫu E) P P • P : nón E • P* = { f ∈ E* : f(x) ≥ 0, x ∈ P} P P P P • Pu0 = {x∈ E : ∃λ > , x > λu } R R R R • γ(S) : độ đo tập khơng compact S • Mes(G) : độ đo tập G  n n  • co(A) : bao lồi A, co(A) = ∑ λi yi : ∑ λi =1, λi ≥ 0, yi ∈ A  i i = 1=  • i(A, U, X) : số điểm bất động A U ứng với X • deg(A, U, p) : bậc topo, bậc Leray – Schauder A U điểm p • C(G) : không gian hàm liên tục G • L(G): khơng gian hàm khả tích G Chương NĨN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NĨN 1.1 Nón chuẩn (Normal cones) Định nghĩa 1.1.1 Cho E kông gian Banach thực Một tập lồi đóng P ⊂ E gọi nón thỏa mãn hai điều kiện sau : (i) x ∈ P, λ ≥ λx ∈ P (ii) x ∈ P, -x ∈ P x = θ, θ phần tử khơng E • Một nón P gọi thể nón ( solid cone) có chứa điểm trong, o tức P ≠ ∅ • Một nón gọi nón sinh (generating) E = P – P, tức phần tử x ∈ E biểu diễn dạng x = u – v, u , v ∈ P • Mỗi nón P E xác định thứ tự riêng phần E cho x ≤ y y – x ∈ P (1.1.1) • Nếu x ≤ y x ≠ y, ta viết x < y ; P thể nón(solid) y – x ∈ P ta viết x cho f (t , x) ≤ R R (H ) R R lim + x →0 R τ với ≤ t ≤ ω ≤ x ≤ R f (t , x) = a(t ) , x (3.3 2) với t ∈ ( -∞, +∞), với < k < tồn ε k > cho R R f(t,x) ≥ ka(t)x, -∞ < t < +∞, ≤ x ≤ ε k, R R (3.3.3) (H ) lim x→0+ f (t , x) = a (t ) đều, ứng với t ∈ [0, ω] sup a (t ) < x τ 0≤t ≤ω (H ) lim x→+∞ f (t , x) = a∞ (t ) đều, ứng với t ∈ [0, ω] sup a∞ (t ) < x τ 0≤t ≤ω R R R R Định lí 3.3.1 Giả sử điều kiện (H ) – (H ) thỏa N số nguyên dương cho R R R R ω ω  ω τ < Đặt I j =  j −1 , j  , ( j = 0,1,2,3, , N) Nếu N  N N N ∏ ∫ a(s)ds > , (3.3.4) j =1 I j Khi đó, phương trình (3.3.1) có nghiệm liên tục, khơng âm, khơng tầm thường, có chu kì ω Chứng minh Chú ý rằng, theo điều kiện (H ) – (H ) a(t) hàm đo được, không R R R R âm, bị chặn với chu kỳ ω, tích phân (3.3.4) tồn Cho E không gian Banach tất hàm x(t) chu kỳ ω liên tục R1 với chuẩn x = P P = max x(t ) , đặt sup x(t ) −∞ , (3.3.6) Thật vậy, tồn x0 ∈ P ∩ ∂TR ε > cho Ax ≥ (1 + ε)x , tức R R R R R R Ax0 (t ) ≥ (1 + ε ) x0 (t ) với t ∈ R1, đó, theo (H ) ta có P P R R t t R (1 + ε ) x0 (t ) ≤ ∫ f ( s, x0 ( s ))ds ≤ ∫ ds = R, ∀t ∈ R1 , t −τ t −τ τ Vì vậy, (1 + ε ) x0 ≤ R , tức (1+ ε )R ≤ R, điều vô lí Do (3.3.6) R R chứng minh Pu0 Mặt khác, đặt u (t) ≡ 1, ta thấy = {x(t ) ∈ E : x(t ) > 0, −∞ < t < +∞} Từ R R (3.3.4) ta chọn < k < cho N k N ∏ ∫ a ( s )ds > , (3.3.7) j =1 I j Và chọn < r < R cho f(t,x) ≥ ka(t)x, ∀ t ∈ (-∞, +∞) , ≤ x ≤ r (3.3.8) { Đặt Tr = x(t ) ∈ E : x < r} , ta chứng minh Ax ≤ x, ∀x ∈ Pu0 ∩ ∂Tr (3.3.9) Thật vậy, tồn x1 ∈ Pu0 ∩ ∂Tr cho Ax ≤ x , tức Ax (t) ≤ x (t) với R t∈R1, đó, từ P P R R R R R R R ω τ < với t ∈ I j dẫn đến I j-1 ⊂ [t - τ, t], từ (3.3.8) ta N R R R R t ∫ a(t ) x1 (t )dt ≥ ∫ a(t ) Ax1 (t )dt =, x1 (s))ds ≥ ∫ a(t )dt ∫ a(t )dt ∫ f (s Ij Ij t −τ Ij Ij ∫ f ( s, x1 ( s ))ds I j −1     ∫ a (t )dt   ∫ a ( s ) x1 ( s )ds  , j = 1,2, , N, ≥k I  I   j   j −1   N   a (t ).x1 (t )dt ≥ k N  ∏ ∫ a (t )dt   ∫ a (t ).x1 (t )dt  ∫   j =1 I  I IN j   0  N   = k  ∏ ∫ a(t )dt   ∫ a(t ).x1 (t )dt    j =1 I  I j   N N Nếu (3.3.10) ∫ a(t ).x (t )dt = , a(t) ≥ x1 (t) > 0, ta a(t) = hầu khắp nơi.(p.p) R R IN ∫ a(t )dt = , điều trái với (3.3.4) I N, R R IN Do đó,  N  a (t ).x1 (t )dt > Từ đó, theo (3.3.10) ta có : k N  ∏ ∫ a (t )dt  ≤ , điều ∫  j =1 I  IN j   trái với (3.3.7) Vậy (3.3.9) thỏa Cuối cùng, áp dụng định lí 2.2.6 ta suy A có điểm bất động P ∩ (T R \ Tr ) định lí chứng minh Định lí 3.3.2 Giả sử (H ), (H ), (H ) (H ) thỏa Nếu tồn a > hàm liên tục R R R R R R R R không âm b(t) với chu kỳ ω ( tức b(t + ω) = b(t) với -∞ < t < +∞) cho f(t, x) ≥ b(t), t ∈ [ 0, ω ], x ≥ a (3.3.11) t ∫ b( s )ds > a 0≤t ≤τ t −τ (3.3.12) Khi đó, phương trình (3.3.1) có hai nghiệm liên tục, không âm, không tầm thường x (t) x (t) với chu kỳ ω R R R R inf x (t ) > a −∞ a cho ≤ f (t , x) < − ∞ < t < +∞, < x ≤ r x ≥ l µ x, x + β, (3.3.14) Do ≤ f (t , x) < µ − ∞ < t < +∞, x≥0 (3.3.15) Trong đó, β = max f (t , x) 0≤t ≤ω ,0≤ x≤l Chọn R > a cho : ≤ f (t , x) < r µ R µ +β ≤ R Khi đó, từ (3.3.14) (3.3.15) ta τ − ∞ < t < +∞, 0≤ x≤r (3.3.16) − ∞ < t < +∞, , 0≤ x≤R (3.3.17) ≤ f (t , x) < R τ , { } x∈ Đặt U1 = P : x < r} , U = P : x < R, x(t ) > a {x ∈ 0≤t ≤ω U =∈ P : x ≤ R} x { Ta có U1 ⊂ U3 , U2 ⊂ U3 , U1 ∩ U2 = ∅ R R R R R R R R R R R (3.3.18) R { } U = P : x ≤ r} , U = P : x ≤ R, x(t ) ≥ a x∈ x∈ { 0≤t ≤ω U =∈ P : x ≤ R} {x Với x ∈ U , từ (3.3.16) ta có : t r rτ < r, Ax < max ∫ ds = 0≤t ≤ω t −τ µ µ A(U ) ⊂ U1 (3.3.19) Bằng cách tương tự, với x ∈ U , từ (3.3.17) ta có : t R Ax < max ∫ ds = R, 0≤t ≤ω t −τ τ A(U ) ⊂ U Khi x ∈ U , ta có x ≤ R, (3.3.20) inf x(t ) = x(t ) ≥ a theo (3.3.20) −∞ a , tức (3.3.13) thỏa inf x (t ) −∞ t −τ Định lí 3.3.3 Giả sử điều kiện (H ) – (H ) thỏa Nếu tồn < a < R hàm liên R R R R tục, không âm b(t) với chu kỳ ω cho : f(t,x) ≥ b(t), ∀ t ∈ [0, ω], a ≤ x ≤ R, (3.3.23) t ∫ b( s )ds ≥ a 0≤t ≤ω t −τ (3.3.24) Khi đó, phương trình (3.3.1) có nghiệm dương x(t) liên tục tuần hoàn, chu kỳ ω, đồng thời a≤ inf x(t ) ≤ sup x(t ) ≤ R −∞≤t ≤+∞ −∞≤t ≤+∞ (3.3.25) Chứng minh Đặt A, E, P U tương tự chứng minh định lí 3.3.2 Ta có R U 2= R { x ∈ P : a ≤ x(t ) ≤ R, ∀t ∈ [0, ω ]} U tập lồi đóng, bị chặn khác rỗng E Với x ∈ U , theo (H ), (3.3.23) (3.3.24) R R t R = Ax(t ) ≤ ∫ ds R, ∀t ∈ [0, ω ] t −τ τ t Ax(t ) ≥ ∫ b( s )ds ≥ a, ∀t ∈ [0, ω ] , 0≤t ≤ω 0≤t ≤ω t −τ Do Ax ∈ U , A ánh xạ hồn tịan liên tục từ U 2 vào U Theo định lí điểm bất động Schauder A có điểm bất động U Nhận xét Có thể hàm thỏa tất điều kiện định lí 3.3.3 Ví dụ a f (t , x) = n ∑ b (t ) xα , < α i < 1, i 0= 1, 2, , n b i (t) hàm liên tục, không i i =1 i R âm, chu kỳ ω 0≤t ≤ω t R n ∫ ∑ b (s)ds ≥ t −τ i =1 i b f (t ,= b(t ) ln(1 + x5 ) + c(t ) x sin  x + x)   có chu kỳ ω b(t) thỏa : π  t , b(t) c(t) liên tục, không âm ω   t b( s )ds ≥ (ln 2) ω ∫ τ 0≤t ≤ −1 t− 3.4 Một phương trình tích phân phi tuyến xuất vật lí hạt nhân Xét phương trình tích phân dạng 1 = ψ ( x) + ψ ( x) ∫ R ( x, y ) ψ ( y )dy, ≤ x ≤ x2 − y2 (3.4.1) Nghiệm ψ(x) phương trình (3.4.1) thỏa < ψ(x) ≤ giải thích liên kết xác suất ψ(x) với điểm x ∈ [0, 1] Định lí 3.4.1 Gỉa sử (i) R(x,y) liên tục ≤ x, y ≤ R(x,y) ≥ với x > y, R(x,y) ≤ với x < y (ii) Tồn ν > cho ν R ( x, y ) ≤ c x − y S ( x, y ), ≤ x, y ≤ 1, x ≠ y , (3.4.2) đó, c số S(x,y) hàm không âm bị chặn ≤ x, y ≤ 1, thỏa lim + x , y →0 S ( x, y ) < +∞ x+ y (3.4.3) Khi đó, phương trình (3.4.1) có nghiệm dương liên tục ψ*(x) Hơn nữa, P P < ψ*(x) ≤ với x ∈ [ 0, 1] xây dựng dãy hàm P P −1  R ( x, y )  0,1, 2, ) ψ n+1 ( x) =  ,(n = ψ n ( y )dy 1 + ∫ 2  x −y  (3.4.4) Với hàm ban đầu ψ (x) ∈ C[0, 1] thỏa < ψ (x) ≤ 1, R R R R = max ψ n ( x) −ψ * ( x) → 0, (n → ∞) ψ n −ψ * 0≤ x ≤1 (3.4.5) Chứng minh Rõ ràng định lí với R(x,y) ≡ Xét trường hợp R(x,y) ≠ Đặt φ(x) = [ ψ(x)]-1 – 1, P P (3.4.6) Phương trình (3.4.1) trở thành φ ( x) = ∫ R ( x, y ) dy 2 x − y + φ ( y) (3.4.7) Rõ ràng < ψ(x) ≤ tương đương với φ(x) ≥ Do tốn trở thành xét nghiệm dương phương trình tích phân Hammerstein (3.4.7) Theo điều kiện (ii) ta có R ( x, y ) c1 , x ≠ y,0 ≤ x, y ≤ , c số, ánh xạ ≤ 1−ν x2 − y2 x− y R R tích phân tuyến tính Bφ ( x) = ∫ R ( x, y ) φ ( y )dy x2 − y2 hoàn toàn liên tục từ C[0,1] vào C[0,1] (xem [3], page 70-91), ánh xạ tích phân phi tuyến : Aφ ( x) = ∫ R ( x, y ) dy 2 x − y + φ ( y) (3.4.8) ánh xạ từ nón chuẩn P = { φ ∈ C[0,1] : φ(x) ≥ 0} E = C[0,1] vào P hoàn toàn liên tục Rõ ràng A ánh xạ giảm, điều kiện (i) định lí 2.1.2 thỏa Từ R(x,y) ≠ 0, ta có Aθ > θ Hơn nữa, rõ ràng A2θ ≥ ε Aθ, với P = ε0 ,= M 1+ M Aθ = max ∫ 0≤ x ≤1 P R R R ( x, y ) dy x2 − y Do đó, điều kiện (ii) định lí 2.1.2 thỏa Bây giờ, cho φ > < t < 1, ta có : A[tφ ( x)] = 1 R ( x, y ) dy t ∫ x − y t −1 + φ ( y ) Từ φ liên tục t-1 + φ(y) > + φ(y) với ≤ y ≤ 1, ta thấy P P (3.4.9) t −1 + φ ( y ) = η ,η > 1+ 0≤ y ≤1 + φ ( y ) (3.4.10) Từ (3.4.9) (3.4.10) R ( x, y ) 1 A[tφ ( x)] ≤ [t (1 + η )]−1 Aφ ( x) , ∫ x − y2 + φ ( y) dy = t (1 + η ) tức điều kiện (iii) định lí 2.1.2 thỏa Vậy, theo định lí 2.1.2 A có điểm bất động dương φ* xây dựng dãy P P φn+1 = Aφn , ( n = 0,1,2, ) R R R (3.4.11) R Với hàm ban đầu φ ∈ P, ta có R R φn − φ * → 0, (n → ∞) (3.4.12) Đặt ψ*(x) = [ + φ*(x)]-1, ψ n (x) = [ + φ n (x)]-1, ( n = 0,1,2,3, .), P P P P P P R R R R P P (3.4.13) Rõ ràng ψ*(x) nghiệm liên tục (3.4.1) thỏa < ψ*(x) ≤ P P P P theo (3.4.12) (3.4.5) thỏa Cuối cùng, (3.4.4) suy trực tiếp từ (3.4.11) (3.4.13) Nhận xét : Ta tìm hàm R(x,y) thỏa tất điều kiện định lí Ví dụ : R ( x, y ) = c( x − y ) ( x + y − sin x + x y ) R ( x, y )= c( x − y ) ln(1 + x + y ) KẾT LUẬN Luận văn trình bày tính chất hình nón khơng gian Banach thực, trình bày số định lý điểm bất động hình nón ứng dụng định lý vào bốn loại phương trình tích phân phi tuyến Trọng tâm luận văn trình bày ứng dụng số định lý điểm bất động xét hình nón vào việc xét nghiệm khơng âm, liên tục bốn loại phương trình tích phân phi tuyến trình bày Phương trình tích phân phi tuyến mảng rộng, giới hạn phạm vi đề tài trình độ tác giả cịn có hạn nên chắn nội dung trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý bảo quý thầy bạn bè Tơi hy vọng, có điều kiện tiếp tục nghiên cứu thêm nội dung TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dajun Guo, V Lakshmikantham, Nonlinear problems in abstract cones, Academic Press, Inc, London 1988 [2] Dajun Guo, Nonlinear Functional Analysis, Shandong Sci Tech Publishing House, China, 1985 [3].Dajun Guo, Properties of the Nemitskii operator and its applications, Adv.Math, 1963 [4] Deimling, Nonlinear functinonal analysis, Springer – Verlag, New York, 1985 [5] Dugunji, An extension of Tietze’s Theorem, Pacific J Math., 1(1951) [6] Dunford, N., and Schwartz, J T., Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience Publishers, New York, 1958 [7] Hardy, G H., Littlewood, J.E., and Polya, G., Inequalities, Cambridge University Press, 1934 [8] Schaefer, H.H, Topological vector spaces, Springer – Verlag New York, 1971 ... đề phương trình tích phân phi tuyến Chính mà định chọn đề tài 2.Mục đích đề tài Đề tài trình bày tồn nghiệm liên tục, không âm số loại phương trình tích phân phi tuyến dựa lí thuyết điểm bất động. .. bày số định lí điểm bất động hình nón, bao gồm:  Định lí điểm bất động ánh xạ tăng, ánh xạ giảm  Định lí điểm bất động ánh xạ đọng  Định lí điểm bất động ánh xạ mở rộng thu hẹp nón Chương :... 23 T 2.3 Định lí điểm bất động bội (Multiple Fixed point theorems) 37 T T Chương : ỨNG DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN T PHI TUYẾN 40 T 3.1 Phương trình tích phân dạng đa