Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Không gian R n 1.1.1 Cấu trúc đại số x  x , x , , x n   R n ; y  y , y , , y n   R n ;   R Phép cộng: x  y  x  y , x  y , , x n  y n  Phép nhân: x  x , x , , x n  1.1.2 Chuẩn, cấu trúc tô pô Đặt X  R n Định nghĩa: Ánh xạ   : X  0,  thoả tính chất sau gọi chuẩn X: (i) x   x  (zero chủa X) (ii) x  ||x (x  X,   R) (iii) x  y  x  y (x, y  X) Khi cặp X,   gọi không gian định chuẩn Các định nghĩa nói khơng gian định chuẩn X,   Hai chuẩn     gọi tương đương tồn số dương ,  cho:         Quả cầu: Ba, r  x  X : x  a  r gọi cầu mở B / a, r  x  X : x  a  r gọi cầu đóng Tập mở, tập đóng, lân cận (i) Tập   X gọi tập mở X,   x   tồn số r  cho Bx, r   (ii) Tập A  X gọi tập đóng X,   A\X tập mở X,   (ii) Tập W  X gọi lân cận x  X W có chứa tập mở chứa x (tức có chứa cầu tâm x) Điểm tụ, điểm biên Cho không gian X,  , tập D  X (i) Điểm x  X gọi điểm tụ D r  ta có Bx, r\x  D   (ii) Điểm x  X gọi điểm biên D r  ta có Bx, r  D   Bx, r  X\D   Sự hội tụ, giới hạn Dãy x m  m  X gọi hội tụ tồn x  X cho lim x m  x  m Phát biểu tương đương với lim x m  x  0: m (i)   0, m cho với m  m x m  x   (ii) Mỗi lân cận V x, tồn m cho m  m  x m  V . Khi ký hiệu: lim x m  x hay x m  xhay x m  x m   (Ta chứng minh giới hạn m nhất, tính chất mở, đóng, hội tụ giới hạn dãy không thay đổi ta thay chuẩn xét chuẩn khác tương đương, để tránh nhầm lẫn ta viết xm để dãy x m ) Định lý Cho dãy xm m  R n , xm  x m, x m, , x n m x  x , x , , x n   R n Khi đó: lim xm  x khi: Với i  1, 2, , n lim x i m  x i m m Trang Các chuẩn thông dụng R n Cho x  x , x , , x n   R n n x  |x i | i1 n x   x 2i (gọi chuẩn Euclide) i1 x   max|x i | : i  1, 2, , n Việc chứng tỏ qui tắc chuẩn khơng khó khăn, ba chuẩn tương đương Trong phạm vi chương trình nói đến chuẩn   R n ta chọn ba chuẩn nói ngoại trừ muốn rõ ràng Đặc biệt n  1, Ba chuẩn giống nhau, chuẩn x  |x| Tích vô hướng R n x  x , x , , x n  , y  y , y , , y n  phần tử R n n ta định nghĩa tích vơ hướng x y là: x, y  x i y i i1 Nhận xét: x, x  x 22 |x, y|  x y 1.2 Hàm nhiều biến Định nghĩa: Hàm số nhiều biến số: Cho D  R n , ánh xạ f : D  R gọi hàm số thực với n biến số thực Hàm véc tơ: Cho D  R n , ánh xạ f : D  R p gọi hàm véc tơ Có thể biểu diễn f sau: fx  f x, f x, , f n xVới i  1, 2, , n , f i : D  R Ví dụ: (i) f : R n  R, x  x , x , , x n ; fx  fx , x , , x n   n  x 2i i1 xy (ii) f : R  R, fx, y  x  y2 (iii) f : R  R , fx, y, z  x  y, x  y (hàm véc tơ; f x, y  x  y; f x, y  x  y) 1.3 Giới hạn tính liên tục hàm nhiều biến Định nghĩa: Cho D  R n f : D  R p ; a điểm tụ D L  R p gọi giới hạn hàm f a (Ký hiệu: lim fx  L) như: xa (  0,   0, x  D\a, x  a    fx  L  ) Các mệnh đề tương đương: (i) Mọi dãy x m   D\a, x m  a  fx m   L (m  ) (ii) Mọi dãy x m   D\a, limx m  a   limfx m   L  f gọi liên tục a lim fx  fa (Hiển nhiên phải có a  D) xa Các mệnh đề tương đương: (i) Mỗi lân cận W (trong R p ) fa tồn lân cận V (trong R n ) a cho fV  D  W (ii)   0,   0, x  D, x  a    fx  fa   (ii) Mọi dãy x m   D, limx m  a   limfx m   fa  f gọi liên tục D liên tục điểm thuộc D Trang Định lý f : D  R p ; a  D điểm tụ D Giả sử f liên tục a hàm phận biến thứ i f a tức hàm : R:  R x  fa , a i1 , x, a i1 , , a n  liên tục a i (i  1, 2, , n) Lưu ý: Chiều ngược lại khơng đúng: Ví dụ: xy x, y  0, 0 x  y2 Cho hàm : fx, y  x, y  0, 0 Hàm phận thứ x  fx, 0  Hàm phận thứ hai x  f0, x  Các hàm liên tục 0, nhưng: Chọn dãy a m   m1 , 0  0, 0; b m   m1 , m1   0, 0, fa m   0, fb m   12 , nên f khơng có giới hạn 0, 0 Định lý Nếu f  f , f , , f p ; a  a , a , , a n ; L  l , l , , l p  f i : D  R (i  1, 2, , p) hàm thành phần f; đó: (i) lim fx  L lim f i x  l i (i  1, 2, , p) xa xa (ii) f liên tục a (trên D)(i  1, 2, , p hàm số f i liên tục a (trên D)) Lưu ý: Tổng, hiệu, tích, thương, hợp (nếu tồn tại) hàm liên tục hàm liên tục Bài tập Khảo sát tồn giới hạn 0, 0 hàm số hai biến số sau đây: x2y x2y (a) fx, y  (HD:   |y|  (khi x, y  0, 0)) x  y2 x2  y2 x5y3 x5y3 (b) fx, y  (HD:0   maxx , y   (khi x, y  0, 0)) x  y4 x6  y4 1xy (c) fx, y  (HD:Chọn hai dãy R sau: x  y2 a m   m1 , 0  0, 0; b m  0, m1   0, 0 có fa m   ; fb m   ) xy (d) fx, y  (HD:Chọn hai dãy R x  y8 sau:a m   m1 , 0  0, 0; b m  m12 , m1  0, 0 có fa m    0; fb m   1) x  1  y ln x  1  y (e) fx, y  (HD: lim fx, 0  lim fx, 0, nên hàm phận |x|  |y| x0  x0  không liên tục) sinx   siny  x4  y4 (HD: |fx, y|   x  y  x  y  x, y  0) (f) fx, y  x4  y4 x4  y4 sin x  1  cos y (g) fx, y  (HD:Từ chỗ sin x~x;  cos y~y /2 ta dự đốn fx, y  14 ; 4x  y Trang sin x  x  1  cos y  y ; chứng tỏ số hạng vế phải bất đẳng 4x  y 4x  y thức tiến đến x, y  0, 0) sin x  y (HD: xét hai dãy a m   m1 , 0 b m   m1 , m1 ) (h) fx, y  x  sin y cos x Cho hàm số f : x, y  xét giới hạn  2 , 0? cos x  y sin x Xét tính liên tục hàm: xy  x  y  sin xy x y  x (a) fx, y  ; (b) fx, y  y y  x xy  fx, y   1.4 Đạo hàm riêng cấp 1, cấp cao, Lớp C k Để cho dễ tiếp cận trường hợp tổng quát, trước hết ta định nghĩa đạo hàm riêng cho hàm hai biến, sau tổng quát lên hàm nhiếu biến Định nghĩa: Cho tập mở D  R , a  x , y   D, Hàm f : D  R, Ta gọi giới hạn fx  h, y   fx , y  lim , h h0 có, đạo hàm riêng theo biến x (biến thứ nhất) điểm a  x , y , ký hiệu: f f a hay x , y  hay D fa hay D fx , y  x 0 x fx  h, y   fx , y  f Tức là: x , y  lim h x 0 h0 Tương tự, fx , y  k  fx , y  f , Nếu có (và có ký hiệu D fx , y ) x , y  lim k y k0 Nhận xét: Xét x  fx, y  y  fx , y Nếu đạo hàm riêng tương ứng nói tồn thì: f f x , y    / x ; x , y    / y  x y 0 Với nhận xét việc nghiên cứu đạo hàm riêng theo biến đưa đạo hàm hàm biến thông thường Khi f có đạo hàm riêng theo biến thứ tự: f f gradfx , y  : x , y , x , y  , gọi gradient f a  x , y , x y 0 ký hiệu f thay cho gradf Ví dụ: Tính f1, 1 với fx, y  sinxy  fx, 1  sinx; f1, y  siny  f f x, 1  sin x /   cosx  1, 1   cos    x x f f 1, y  2y cosy   1, 1  2 y y f1, 1  , 2 Tổng quát Xét hàm vec tơ f : D  R n  R p (D tập mở R n ),a  D, Ký hiệu e i  0, 0, , 1, 0, , 0  R n (thành phần thứ i 1, thành phần khác Trang (i  1, 2, , n)) Định nghĩa: Giới hạn fa  h e i   fa , h h0 có, gọi đạo hàm riêng theo biến thứ i (i  1, 2, , n f điểm a, ký hiệu D i fa hay f / a (cũng có ký hiệu f x i ) x i Định lý Giả sử f  f , f , , f p , f k : D  R (k  1, 2, , p) Khi đó: f có đạo hàm riêng theo biến thứ i a k  1, 2, , p hàm f k có đạo hàm riêng theo biến thứ i a ta có: f p f f f D i fa  D i f a, D i f a, , D i f p a (hay a  a, a, , a ) x i x i x i x i Và ma trận D i f j a ji gọi ma trận Jacobi f a, ký hiệu J f a, cụ thể: lim f f f a a a x x x n f f f a a a x x x n J f a  f p f p f p a a a x x x n Ví dụTìm Jacobi hàm sau tai điểm x, y f : 0,   0, 2  R , định fx, y  x cos y, x sin y 2.: 0,   0, 2  R  R , định fx, y, z  x cos y sin z, x sin y sin z, x cos z Định nghĩa Cho D tập mở R , f : D  R p , a  D Cho i, j  1, 2 Ta nói f có đạo hàm riêng cấp hai a biến thứ i j (theo thứ tự đó) thoả hai điều kiện sau: f (i) tồn lân cận a x i f  x i (ii) a tồn x j f  2f x i Trong trường hợp a ký hiệu D ij fa, hay a, hay f //x i x j , hay f x i x j , x j x i x j gọi đạo hàm riêng cấp hai biến thứ i, j Tổng quát: cho k  N  i , i , , i k  1, 2 Ta nói f có đạo hàm riêng cấp k a biến thứ i , i , , i k (theo thứ tự đó) thoả hai điều kiện sau: f f f f f f (i) Các đạo hàm riêng , , , tồn lân x i x i x i x i k1 x i k2 x i cận a Trang f a tồn x i f f f kf Trong trường hợp a ký hiệu D i i i k fa, hay a, hay x i k x i k1 x i k x i x i f x i1 x ik Ví dụ fx, y  x y  xy Tính đạo hàm riêng bậc hai f 2f 2f fx, y, z  sinxyz Tính x, y, z x, y, z xz zx Định nghĩa: (Lớp C k ) Cho D tập mở R f hàm xác định D, ta nói f thuộc lớp C k (k  1, 2, ) D nếu: (i) f có đạo hàm riêng cấp k D (ii) Mọi đạo hàm riêng cấp k f liên tục D (Lớp C  ) Cho D tập mở R f hàm xác định D, ta nói f thuộc lớp C  D nếu: f có đạo hàm riêng cấp liên tục D Định lý (Schwarz) Cho f hàm hai biến x, y thuộc lớp C tập mở D, đó: 2f 2f  xy yx Từ định lý ta mở rộng cho f hàm n biến đưa ký hiệu tổng quát cho đạo hàm riêng cấp cao hàm n biến x , x , , x n  Cho  ,  , ,  k số nguyên dương, ta ký hiệu đạo hàm cấp ||       k , có  j lần đạo hàm theo biến thứ j (j  1, 2, , n) f 1 x x n n Ví dụ 4f Cho fx, y  x y Tính x y 1.5 Vi phân Định lý định nghĩa: Cho D tập mở R n , a  D, f : D  R p có đạo hàm riêng, đạo hàm liên tục a Khi tồn hàm  xác định lân cận (zero R n ), nhận trị R p để cho: h  h , h , , h n   R n , a  h  D ta có: (ii) f x i k f x i k1 n fa  h  fa  h i D i fa  hh với h  (zero R) h  (zero R n ) i1 n Khi ta nói f khả vi a ánh xạ h , h , , h n   D i fah i goi vi phân f a Ký i1 hiệu ánh xạ dfa (Thông thường ý đến biểu thức xác định ánh xạ) Lưu ý: Sự khai triển nêu định lý viết lại dạng ma trận sau:xem phần tử R k ma trận cột, k dòng: fa  h  fa  J f a h  hh (J f a Jacobi f a , tích J f a h tích hai ma trận) Đặc biệt f ánh xạ tuyến tính (thoả fx  y  fx  fy) f ln khả vi có dfa  f (khơng phụ thuộc a nên viết df) Trang Phép chiếu x i : h , h , , h n   h i tuyến tính, dx i  dx i h  x i h  h i nên viết n cho gọn: df  D i fdx i i1 Đặc biệt, z  fx, y khả vi, ta có dz  f f dx  dy (cũng viết dz  z dx  z dy) x y x y Ví dụ: Cho fx, y  x y Xét khả vi điểm a  x , y  Giải: f D fx, y  x, y  2xy  D fa  2x y , liên tục x f D fx, y  x, y  x  D fa  x 20 , liên tục y Suy f  C vi phân f x , y  ánh xạ h , h   2x y h  x 20 h f f viết dfx , y   D fx , y dx  D fx , y dy  x , y dx  x , y dy x y f f hay df  dx  dy Sử dụng ký hiệu ta tính tốn nhanh: dfx, y  2xydx  x dy x y Cho fx, y, z  xyz Tính df f f f dfx, y  dz  yzdx  xzdy  xydz x, ydx  x, ydy  x y z Vi phân cấp hai hàm số hai biến số Định nghĩa: Cho hàm số hai biến số f khả vi, ta định nghĩa vi phân cấp hai f là: d f  ddf Lưu ý: Trong trường hợp x, y biến độc lập hàm z  fx, y có đạo hàm riêng đến cấp 2, ta có: 2f 2f 2f d2z  d2f  dx  dxdy  dy xy x y Ví dụ Cho z  2x  3xy  y Tìm vi phân tồn phần cấp cấp Cách z  4x  3y; z  3x  2y; dz  z dx  z dy  4x  3ydx  3x  2ydy x y x y  z  4;  z  3;  z  2; xy x y dz  4dx  6dxdy  2dy Cách dz  4xdx  3ydx  xdy  2ydy  4x  3ydx  3x  2ydy dz  4dx  3dydx  3dx  2dydy  4dx  6dxdy  2dy 1.6 Đạo hàm hàm số hợp Định lý dy z  fx, y khả vi, hàm f , x  t, y  t khả vi, đó: dz  z dx  z dt x dt y dt dy Nếu z  fx, y khả vi, y  x khả vi đó: dz  z  z dx x y dx Nếu z  fx, y khả vi, x  u, v; y  u, v khả vi đạo hàm riêng: y (i) dz  z x  z du x u y u Trang y (ii) dz  z x  z dv x v y v Tổng quát: f f Cho U  V  G, hàm f, g khả vi, đó: g  f khả vi (i) dg  fa  dgfa  dfa a  U (ii) J gf a  J g fa  J f a Ví dụ 2 y  a sin t Tìm dz z  e x y , x  a cos t, dt dz  z dx  z dy  e x y 2x sin t  e x y 2ya cos t dt x dt y dt x y  2ae y cos t  x sin t (Có thể tiếp tục thay x,y theo t) z  xy, x  r cos t; y  r sin t Tìm z ; z r t z  z x  z y  y cos t  x sin t; r x r y r z  z x  z y  yr sin t  xr cos t t x t y t 1.7 Đạo hàm hàm ẩn Khái niệm hàm ẩn: Cho phương trình Fx, y  x  R n , y  R Nếu tồn hàm  : U  R cho Fx, x  x  U  gọi hàm ẩn xác định U Định lý Cho D tập mở R n  R, hàm F : D  R, x, y  Fx, y thuộc lớp C , a, b  D thoả: (i) Fa, b  (ii) F a, b  y Khi đó, Tồn lân cận mở W  U  V  D a, b (U lân cận mở a, V lân cận mở b) hàm  : U  V, thuộc lớp C thoả: D Fx, x Fx, x  x  U D i x   i (i  1, 2, , n) (cách viết khác F x, x y F x, x  x ) x   i x i F x, x y Vi dụ Cho phương trình x  y  z   0; 0, 0, 1  R Đặt Fx, y, z  x  y  z  1, F x, y, z  2x; F x, y, z  2y; F x, y, z  2z y z x F0, 0, 1  F 0, 0, 1   z Theo kết định lý, tồn lân cận mở W  U  V 0, 0, 1 (trong U lân cận mở 0, 0, V lân cận mở ) hàm  : U  V thoả x  y   x, y   với x, y  U có: F x, y, x, y F x, y, x, y  y  y x x  ;  x, y   x, y   x F x, y, x, y F x, y, x, y x, y y x, y z z 1.8 Cực trị, cực trị có điều kiện Trang Định nghĩa Cho D tập mở R n , hàm f : D  R Ta nói f đạt cực đại (cực tiểu) địa phương a  D tồn lân cận mở U a (a  U  D) cho: ft  fa t  U (fa  ft t  U) Ta nói f đạt cực trị địa phương a đạt cực đại hay cực tiểu a Định lý Cho D tập mở R n , hàm f : D  R Nếu: (i) f có đạt cực trị a  D, (ii) Tồn đạo hàm riêng f a f Thì i  1, 2, , n ta có D i fa  (tức là: a  0) x i Ý nghĩa định lý: Ta gọi điểm a mà D i fa  điểm dừng (hay điểm tới hạn) f, theo định lý cho ta rằng, tập mở, hàm f đạt cực trị địa phương điểm dừng Để nhận diện điểm cực trị, ta khảo sát đạo hàm cấp hai, nhiên trường hợp hàm hai biến nhờ vào kết Định lý Cho D tập mở R , f : D  R thuộc lớp C D, a  D điểm dừng f Ta ký hiệu: 2f 2f 2f 2f s   t  r a; a a; a xy yx x y 2f 2f a a yx x a   rt  s ; 2f 2f a a xy y Khi đó: (i) a  r  (hay t  0) f đạt cực tiểu a (ii) a  r  (hay t  0) f đạt cực đại a (iii) a   f không đạt cực trị a (trường hợp ta nói điểm a điểm yên ngựa) (iv) a  0, chưa thể kết luận Ví dụ Tìm cực trị địa phương fx, y  x  y  2x  4y  Giải: D  R2 f f x, y  2x  2; x, y  2y  x y 2f 2f 2f 2f y  2; y  2; x, y  x, y  x, x, yx xy x y Tìm điểm dừng (là nghiệm hệ sau) f x, y  2x   x1 x   f 2y   y2 x, y  y Vậy có điểm dừng 1, 2 Trang r  2; s  0; t  2; 1, 2   r  f đạt cực đại 1, 2 Tổng quát cho hàm nhiều biến: Cho hàm fx , x , , x n , giả sử tất đạo hàm riêng cấp hai hàm f liên tục điểm dừng a  a , a , , a n  f x//1 x f x//1 x f x//1 x n H f x//2 x f x//2 x f x//2 x n ; f x//n x f x//n x f x//n x n H  f x//1 x H2  f x//1 x f x//1 x f x//2 x f x//2 x Hn  H Khi đó: Nếu |H i |  với i số số lẻ |H j |  với j số chẳn, f đạt cực đại địa phương a Nếu |H j |  với j  1, 2, , n, f đạt cực tiểu địa phương a Nếu |H|  không thoả hai điều kiện f khơng đạt cực trị a Ví dụ Tìm cực trị địa phương hàm fx , x , x   x 21  x 32  32 x 23  3x x  2x  40 Giải (vắn tắt) Bước (Tìm điểm dừng) P  1, 0, 0; T  1, 1, 1 Bước Tìm ma trận H P H 2 0 0 3 3 ; H  2; H  2 0 ; H3  H Kiểm tra thấy rơi vào trường hợp 3, nên điểm dừng P khơng phải điểm cực trị Tìm ma trận H T H 2 0 6 3 3 H  2; H  2 0 6 ; H3  H Kiểm tra thấy rơi vào trương hợp 1, nên T điểm cực đại Cực trị có điều kiện: Định nghĩa Cực trị (cực đại hay cực tiểu) hàm số nhiều biến fx , x , , x n  cực trị hàm với điều kiện biến x , x , , x n  thoả ràng buộc x , x , , x n   Cách tìm cực trị có điều kiện hàm hai biến: Bước : Xác định hàm Lagrange: Lx, y,   fx, y  x, y Trang 10 đổi biến: x  a  r cos  y  b  r sin   R2 R 2 I z  4c (0  r  R;    2) d  R  r rdr  4c 2  R2 R  u du  4c  t dt  8R c Hốn vị vịng quanh (x-y-z-x tương ứng a-b-c-a) ta có: 3 I x  8R a; I y  8R b suy I  8R a  b  c 3 Công thức Stokes Định lý: Cho P, Q, R  C mặt trơn định hướng (S) giới hạn chu tuyến (L), Khi đó: Q Q  dydz  P  R dzdx   P dxdy  L Pdx  Qdy  Rdz   S R x y z z x y tích phân đường (L) lấy theo chiều dương (khi từ điểm véc tơ pháp tuyến mặt (S) nhìn xuống) Để dễ nhớ ta viết theo hình thức: cos  cos  cos   L Pdx  Qdy  Rdz   S x y z dS P Q R (với ý: cos dS  dydz; cos dS  dzdx; cos dS  dxdy) Ví dụ: I   ydx  z dy  x dz L giao tuyến mặt:x  y  z  z  (Qui ước đứng L dọc theo Oz nhìn xuống thi L theo chiều dương) Giải: Mặt z  cắt mặt cầu theo đường tròn tâm 0, 0, , bán kính Gọi (S) hình trịn với biên đường trịn nói P  y; Q  z ; R  x I   2z cos   2x cos   cos dS S Pháp véc tơ mặt (S) (theo hướng trục Oz) n  0, 0, 1 nj ni nk cos    0; cos    0; cos    1; n i n j n k Suy I    dS   ( diện tích S) S I   L ydx  zdy  xdz, L đường tròn x  y  z  a , x  y  z  Giải: Mặt x  y  z  mặt phẳng qua tâm hình cầu :x  y  z  a Nên L đường tròn tâm gốc tọa độ, bán kính a Gọi (S) hình trịn giới hạn biên (L), pháp véc tơ mặt (S) luông n  1, 1, 1; nj ni nk cos    ; cos    ; cos    ; 3 n i n j n k Trang 35 P  y; Q  z; R  x R  Q  1; P  R  1; Q  P  1; y z z x x y Suy ra: I    cos   cos   cos dS    dS   a  S I  S  L y  zdx  z  xdy  x  ydz, L đường x  y  1, x  z  Giải: (L) đường Elip: x2  y2  xz  ; Chọn (S) hình Elip nằm mặt phẳng x  z  1, giới hạn có biên (L) pháp véc tơ mặt (S) n  1, 0, 1; P  y  z; Q  z  x; R  xy R  Q  1   2; ; P  R  1   2; Q  P  1   2; y z z x x y nj ni nk cos    ; cos    0; cos    ; 2 n i n j n k I  2  cos   cos   cos dS  2 S với S diện tích hình elip (S) S Tính S Chiếu (S) xuống mặt phẳng (Oxy) hình trịn :x  y  1; z  0; Hình trịn có diện tích   2 , suy diện tích (S) cos  suy I  4 Công thức Gauss-Ostrogradski Định lý: P, Q, R  C miền đơn (V) giới hạn mặt kín trơn mảnh (S) thì: Q   R dxdydz  S Pdydz  Qdzdx  Rdzdy   V P x y z tích phân mặt tính mặt ngồi (S) Ví dụ Áp dụng cơng thức Gauss-Otrogradski tính: I   x dydz  y dzdx  z dxdy, S phần mặt cầu: x  a  y  b  z  c  R S Giải: (V) hình cầu giới hạn mặt (S), P  x2; Q  y2; R  z2 P  2x; Q  2y; R  2z, x y z I   2x  y  zdxdydz; V Xét I x   V 2xdxdydz Trang 36 x  a  r sin  cos  y  b  r sin  sin  ;   r, ,  :    2;    ;  r  R Đổi sang tọa độ : z  c  r cos  2  Ix  d  R 0  d  a  r sin  cos r sin dr  Tính I   4x dydz  4y dxdz  6z dxdy (S) mặt mặt toàn phần hình S trụ:x  y  a ; z  0; z  h Giải: P  4x ; Q  4y ; R  6z (V) hình giới hạn mặt (S),I   V 12x  12y  24z dxdydz  12  x  y  2z dxdydz  12  r  2z rdrddz (Chuyển sang tọa độ trụ) V  Với   r, , z :    2;  r  a;  z  h 2 I   d a h  dr  r a  2z rdz  12 2  r h  rh dr  6a ha  h  Tính I   x dydz  y dxdz  z dxdy Với (S) phía ngồi mặt cầu x  y  z  a S Giải: Goi (V) hình cầu:x  y  z  a I   x  y  z dxdydz  2 V  2 3  d  a  sin d  r dr  2 d  a 0  d  r r sin dr (đổi sang tọa độ cầu) 12 a 5 Trang 37 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 3.1 Phương trình vi phân cấp 3.1.1 Khái niệm chung, toán Cauchy, định lý tồn nghiệm Dạng: Fx, y, y /   (1) dạng y /  fx, y (2) Trong y  yx hàm số chưa dy biết (do y /  nên (2) cịn viết dạng: Px, ydx  Qx, ydy  0) dx Nghiệm: Hàm khả vi y  x (x  D) thỏa (1) gọi nghiệm xác định D phương trình vi phân Nghiệm tổng qt, tích phân tổng quát: Hàm y  x, C gọi nghiệm tổng qt phương trình thỏa tính chất sau: (i) Với số C nghiệm phương trình nêu (1), (ii) Với điều kiện ban đầu yx   y (3) cho có giá trị C  C để y  x, C  nghiệm thỏa điều kiện đầu (3) Tích phân tổng quát phương trình phương trình dạng Gx, y, C  (cịn gọi đường cong tích phân tổng qt) y  yx, C nghiệm tổng quát phương trình Nghiệm riêng: Là nghiệm y  x, C  có từ nghiệm tổng quát, cách cho giá trị cụ thể C  C Nghiệm kỳ dị: Là nghiệm nghiệm riêng Bài toán Cauchy: Là toán tìm nghiệm riêng phương trình y /  fx, y thỏa điều kiện ban đầu yx   y Định lý f Nếu hàm fx, y liên tục lân cận Px , y  tồn nghiệm y toán Cauchy xác định lân cận x 3.1.2 Phương trính tách biến Dạng: Pxdx  Qydy  (1) P xQ ydx  P xQ ydy  (1 / ) Lưu ý: Dạng (1 / ) đưa (1) cách chia hai vế cho Q y P x Cách giải: Tích phân bất định hai vế (1) cho ta tích phân tổng quát:  Pxdx   Qydy  C Ví dụ: Tìm tích phân tổng qt phương trình : y /  tgx tgy dy Giải: Nếu y không hàm 0, thay y /  đưa phương phương trình về: dx cot gydy  tgxdx, Tích phân bất định hai vế cho: cot gydy   tgxdx Tích phân tổng quát: ln|sin y|   ln|cos x|  C (ta viết gọn lại sin y cos x  C) Tìm tích phân tổng qt phương trình: lncos ydx  xtgydy Giải: với cos y  1, x  tgydy Phương trình tương đương: dx x dx  lncos y  tgydy dy     ln|lncos y|  C  lncos u ln u y Trang 38 Suy ln|x|  ln|ln cos y|  C hay Cx  lncos y Giải PT xyy /   x PT: y / tgx  y yy / Tìm tích phân : x  e y  0; thỏa y0  2x Tìm tích phân : e 1x tgydx  e dy  thỏa y1  /2 x1 1  e 2x y dy  e x dx; thỏa: y0  y /  xy thỏa y3  5 y / ln y thỏa: y2  y 10 y /  e xy  e xy thỏa y0  11 1  e x yy /  e x thỏa y0  12 xy  xdx  x y  ydy  thỏa yo  13 y / sin x  y ln y thỏa y/2  3.1.3 Phương trình đẳng cấp y dy y Dang: y /   x 1 (hoặc  x ) dx y Cách giải:Đặt u  x  y  ux  y /  u  xu / thay vào (1) ta u  xu /  u  xu /  u  u Trường hợp u  u  0: đưa tách biến Trường hợp u  u  u thử trực tiếp cho ta y  u x nghiệm Ví du: Tìm nghiệm tích phân phương trình: y y x sin x y /  x  y sin x xy  y  2x  xyy / xyy /  y  2x y y xy / ln x  y ln x  x y y y /  x  cos x x  y dx  xydy  xy y /  x  y x  yydx  x dy  x  3y dx  2xydy  thỏa y2  y 10 xy /  y  xtg x thỏa y1  /2 y 11 xy /  xe x  y thỏa y1  3.1.4 Phương trình tồn phần Q Dang: Px, ydx  Qx, ydy  P  y x Cách giải: Q Với điều kiện P  vế trái vi phân tồn phần hàm u y x Tim u  ux, y thỏa: Trang 39 u  P x u  Q y Từ (a) suy u  (a) (b)  Px, ydx  Cy (c) Lấy đạo hàm hai vế (c) theo y thay vào (b) ta tìm C / y, từ suy Cy thay vào (c) ta có u Và tích phân tổng quát ux, y  C Ví du: Tìm nghiệm tích phân tổng qt phương trình sau: y  e x dx  xdy  Hướng dẫn: P  y  e x ; Q  x; Tim u  ux, y thỏa: u  y  e x (a) x u  x (b) y Từ (a) suy u  y  e x dx  Cy  xy  e x  Cy Từ (b) kết suy C /y y  x  x  Cy  C Suy u  x  e x  xy Vậy tích phân tổng quát: xy  e x  C e y  1dx  xe y  1dy  Hướng dẫn: P  e y  1; Q  xe y  1; Tim u  ux, y thỏa: u  e y  (a) x u  xe y  (b) y Từ (a) suy u  e y  1dx  Cy  xe y  x  Cy  u  xe y  C / y thay vào (b) suy ra: C / y   Cy  y y Vậy u  xe y  x  y tích phân tổng quát:xe y  x  y  C 1  cos ydx  1  x sin ydy  Hướng dẫn: P   cos y; Q  1  x sin y u  1  cos ydx  Cy  1  cos yx  Cy  u  x sin y  C / y thay vào (b) suy ra: C / y  1  Cy  y y Suy u  1  cos yx  y tích phân tổng quát:1  cos yx  y  C 3.1.5 Phương trình tuyến tính cấp phương trình Becnoulli (i) Phương trình tuyến tính dạng: y /  pxy  qx (1) Cách giải: Trang 40 Nghiệm tổng quát dạng y  Ux Vx, C   pxdx (lưu ý  pxdx nguyên hàm px) qx Vx, C   dx  C Ux Ví dụ: Tìm nghiệm tích phân phương trình sau: xy /  y  x cos x 2 y /  2xy  xe x y / cos x  y   sin x y / 1  x   y  arctgx dy y  x x dx xy /  2y  x y dx  2xy  3dy  ny y /  x  an thỏa y1  x y y /   x ln x thỏa y2  e 2 x ln x  / 10 y sin x  y cos x  thỏa y 0 / x 11 xy  y  e thỏa ya  b thỏa y0  12 y /  ytgx  cos x (ii) Phương trình Becnoulli: y /  pxy  qxy  (2) Lưu ý: Ta xem   hay   khơng phương trình đưa dạng tuyến tính Ux  e xét Nếu   y  nghiệm phương trình, cịn   y  khơng nghiệm y/ Cách giải: Chia hai vế phương trình cho y  có:   pxy 1  qx (2 / ) y y/ 1 / / Đặt z  y  z  1    thay vào (2 ) đưa đến phương trình tuyến tính hàm z : y / z  1  pxz  1  qx Ví dụ: Tìm nghiệm tích phân phương trình: xy /  y  x y 2 2xyy /  y  x  3.2 Phương trình vi phân cấp 3.2.1 Khái niệm chung, toán Cauchy, định lý tồn nghiệm Dạng: Fx, y, y / , y //   (1) có dạng : y //  fx, y, y /  (2) Nghiệm: Hàm khả vi y  x (x  D) thỏa (1) gọi nghiệm xác định D phương trình vi phân Nghiệm tổng quát, tích phân tổng quát: Hàm y  x, C , C  gọi nghiệm tổng quát phương trình thỏa tính chất sau: Trang 41 (i) Với số C , C nghiệm phương trình (1) (ii) Với điều kiện ban đầu yx   y ; y / x   y /0 (3) cho có giá trị C  C 01 ;C  C 02 để y  x, C 01 , C 02  nghiệm thỏa điều kiện đầu (3) Tích phân tổng quát phương trình phương trình dạng Gx, y, C , C   (còn gọi đường cong tích phân tổng qt) y  yx, C , C  nghiệm tổng quát phương trình Nghiệm riêng: Là nghiệm y  x, C 01 , C 02  có từ nghiệm tổng quát, cách cho giá trị cụ thể C  C 01 ;C  C 02 Nghiệm kỳ dị: Là nghiệm nghiệm riêng Bài toán Cauchy: Là toán tìm nghiệm riêng phương trình y //  fx, y, y /  thỏa điều kiện ban đầu yx   y ; y / x   y /0 Định lý f Nếu hàm f liên tục lân cận P x , y , y /0 tồn nghiệm y toán Cauchy xác định lân cận x 3.2.2 Phương trình giảm cấp (i) Dạng khuyết y; y / : Fx, y //   Cách giải: Đặt y /  p, đưa dạng cấp theo p : Fx, p /   (ii) Dạng khuyết y : Fx, y / , y //   Cách giải: Đặt y /  p, đưa dạng cấp theo p : Fx, p, p /   (iii) Dạng khuyết x : Fy, y / , y //   dp dy dp Cách giải: Đặt y /  p, y //  p ; Xem p hàm chưa biết theo biến y Đưa đến dy dx dy dp phương trình cấp theo p hàm theo y dạng: F y, p, p 0 dy 3.2.3 Khái niệm phương trình tuyến tính Dạng: y //  pxy /  qxy  fx (1) Dạng nhất: y //  pxy /  qxy  (2) Định lý: Giả sử nghiệm tổng quát phương trình (2) là: y  C y x  C y x nghiệm riêng phương trình (1) y  gx Khi đó: Nghiệm tổng qt phương trình (1) dạng: y  C y x  C y x  gx Định lý: (Chồng nghiệm) Giả sử y x nghiệm riêng phương trình: y //  pxy /  qxy  f x y x nghiệm riêng phương trình: y //  pxy /  qxy  f x Khi đó: y  y x  y x nghiệm riêng phương trình: y //  pxy /  qxy  f x  f x 3.2.4 Phương trình tuyến tính với hệ số hằng: vế phải đặc biệt Dạng nhất:y //  py /  qy  (Trong p, q số) Cách giải: Trang 42 Phương trình đặc trưng:   p  q  Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng có nghiệm thực phân biệt  ,  (  p  4q  0) Nghiệm tổng quát: y  C e  x  C e  x p Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng có nghiệm kép      (  p  4q  0) p  x Nghiệm tổng quát: y  C  C xe Trường hợp 3: Phương trình đặc trưng có nghiệm phức liên hợp  ,     i p  (  p  4q  0;    ;   ) 2 Nghiệm tổng quát: y  e x C cos x  C sin x Ví dụ: Giải phương trình: y //  3y /  4y  Giải: Phương trình đặc trưng   3   có hai nghiệm   1,   4 Nghiệm tổng quát PT nhất:y  C e x  C e 4x y //  5y /  6y  y //  6y /  y //  6y  y //  y  y //  2y /  y  y //  2y /  2y  y //  4y /  2y  y/  y 3 y // 10 y //  5y /  4y  thỏa (y0  5; y / 0  8) Giải: Phương trình đặc trưng   5   có hai nghiệm   1,   Nghiệm tổng quát PT nhất:y  C e x  C e 4x y /  C e x  4C e 4x C1  C2  (y0  5; y / 0  8)  C  4; C  1 C  4C  Vậy: 11 12 13 14 y  4e x  e 4x y //  3y /  2y  thỏa (y0  1; y / 0  1) y //  4y  thỏa (y0  0; y / 0  2) / / y  2y  thỏa (y0  1; y / 0  0) y //   y  thỏa (y0  0; y / 1  0) Dạng không với vế phải đặc biệt: Dạng: y //  py /  qy  fx (f hàm đặc biệt trình bày bên dưới) Cách giải: Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát phương trình tương ứng: y //  py /  qy  Bước 2: Tìm nghiệm riêng phương trình Bước 2: Biểu diễn nghiệm tổng quát: tổng nghiệm tổng quát tìm bước nghiệm riêng tìm bước Trang 43 Phương pháp tìm nghiệm riêng phương trình: Dạng 1: y //  py /  qy  P m xe x (P m đa thức bậc m) Trường hợp (i):  không nghiệm phương trình đặc trưng, ta tìm nghiệm riêng dạng y  Q m xe x Trường hợp (ii):  nghiệm bội cấp r phương trình đặc trưng ta tìm nghiệm riêng dạng y  x r Q m xe x Trong Q m x đa thức bậc tối đa m, xác định bằngcách thay trực tiếp vào phương trình dùng phương pháp đại số thơng thường: Ví dụ: Giải phương trình: y //  4y /  4y  x Giải: Bước 1: PTĐT:  4   có nghiệm kép (bội 2)   Nghiệm tổng quát PT nhất:y  C  C xe 2x Bước 2: (fx  x  x e x với   khơng nghiệm PTĐT) Ta tìm nghiệm riêng PT cho dạng y  Ax  Bx  C y /  2Ax  B; y //  2A, thay vào PT cho được: 4Ax  8A  4Bx  2A  4B  4C  x A 4A  B ;  Đẳng thức x khi: 8A  4B  2A  4B  4C  C 1 Vậy nghiệm riêng PT: y  x  x  Bước 3: Nghiệm tổng quát PT: y  C  C xe 2x  x  x  Giải phương trình: y //  y /  y  x  Giải: 1i Bước 1: PTĐT      có nghiệm phức liên hợp: 1,2  1x 3 Nghiệm tổng quát PT nhất: y  e C cos x  C sin x 2 Bước 2: (fx  x  6e x với   không nghiệm PTĐT) Ta tìm nghiệm riêng PT cho dạng y  Ax  Bx  C y /  2Ax  B; y //  2A, thay vào PT cho được: Ax  2A  Bx  2A  B  C  x  Đồng hệ số cho ta:A  1; B  2; C  Một nghiệm riêng PT: y  x  2x  3 Bước 3: Nghiệm tổng quát PT: y  e x C cos x  C sin x  x  2x  2 Giải PT; y //  y  e x Giải: Bước 1: PTĐT    có nghiệm phân biệt   1;   1; Nghiệm tổng quát PT nhất: y  C e x  C e x Bước 2: (fx  Pe x P1,   nghiệm bội cấp (nghiệm đơn) phương trình đặc trưng) Ta tìm nghiệm riêng PT dạng y  Axe x ; y /  A1  xe x ; y //  A2  xe x ; thay vào Trang 44 PT có: 2Ae x  e x  A  Nghiệm riêng PT: y  xe x Bước 3: Nghiệm tổng quát PT: y  C e x  C e x  xe x Giải PT: y //  y /  6y  xe 2x Giải: Bước 1: PTĐT      có nghiệm phân biệt   2;   3 Nghiệm tổng quát PT nhất: y  C e 2x  C e 3x Bước 2: (fx  xe 2x ,   nghiệm bội cấp PTĐT ); ta tìm nghiệm riêng PT dạng: y  xAx  Be 2x y /  2Ax  Be 2x  2y; y //  2Ae 2x  22Ax  Be 2x  2y / ; thay vào PT được: 2A  5Be 2x  10Axe 2x  xe 2x Đồng hệ số cho: A  ; B   ; Một nghiệm riêng PT: y  x x  e 2x 10 25 10 25 1 2x 3x 2x Bước 3: Nghiệm tổng quát PT: y  C e  C e  x x e 10 25 // / 3x Giải phương trình: y  6y  9y  xe Giải: PTĐT   6   có nghiệm bội cấp   Nghiệm tổng quát PT nhất: y  C x  C e 3x (fx  xe 3x ;   nghiệm bội cấp r2 phương trình đặc trưng) Ta tìm nghiệm riêng PT dạng: y  x Ax  Be 3x  e 3x Ax  Bx  y /  3e 3x Ax  Bx   e 3x 3Ax  2Bx  3Ax e 3x  3A  3Bx e 3x  2Bxe 3x  3Ax  3A  3Bx  2Bxe 3x y //  9Ax e 3x  9Ax e 3x  6A  Bxe 3x  9A  Bx e 3x  2Be 3x  6Bxe 3x  9Ax  18A  9Bx  6A  12Bx  2Be 3x y //  6y /  9y  6Ax  2Be 3x Thay vào phương trình cho: 6Ax  2Be 3x  xe 3x Suy ra: A  ; B  Một nghiệm riêng PT y  x e 3x 6 3x 3x Nghiệm tổng quát PT: y  C x  C e  x e Dạng 2:y //  py /  qy  P m x cos x  P n x sin x (P m đa thức bậc m, P n đa thức bậc n) Trường hợp (i): i không nghiệm phương trình đặc trưng, ta tìm nghiệm riêng dạng: y  Q l x cos x  R l x sin x với l  maxm, n Trường hợp (ii): i nghiệm phương trình đặc trưng, ta tìm nghiệm riêng dạng: y  xQ l x cos x  R l x sin x với l  maxm, n Trong dạng nói trên,Trong Q l x, R l x đa thức bậc tối đa l xác định bằngcách thay trực tiếp vào phương trình dùng phương pháp đại số thơng thường: Lưu ý: Dạng: y //  py /  qy  e ax P m x cos x  P n x sin x cách đặt y  ze ax đưa dạng Ví dụ: Giải PT y //  y /  cos x Giải: Bước 1:Phương trình đặc trưng     có hai nghiệm thực phân biệt   1;   Nghiệm tổng quát PT nhất: y  C e x  C Trang 45 Bước 2: (fx  cos x  P cos x  R sin x với ; P  1; R  0;    i không nghiệm phương trình đặc trưng) Tìm nghiệm riêng phương trình dạng y  A cos x  B sin x y /  A sin x  B cos x; y //  A cos x  B sin x; thay vào phương trình cho: A  B cos x  A  B sin x  cos x Đồng hệ số A  B   A   ; B  Một nghiệm riêng 2 A  B  PT:y   cos x  sin x 2 Bước 3: Nghiệm tổng quát PT: y  C e x  C  cos x  sin x 2 Giải pT: y //  y  x sin x Giải: Bước 1: Phương trình đặc trưng    có hai nghiệm phức   i Nghiệm tổng quát phương trình nhất: y  C cos x  C sin x Bước 2: (vế phải fx  x sin x     i  i nghiệm PT đặc trưng) ta tim nghiệm riêng PT dạng: y  xax  b cos x  cx  d sin x y  ax  bx cos x  cx  dx sin x y /  2ax  b cos x  ax  bx sin x  2cx  d sin x  cx  dx cos x  cx  2a  dx  b cos x  ax  b  2cx  d sin x y //  2cx  2a  d cos x  cx  2a  dx  b sin x  2ax  b  2c sin x  ax  b  2cx  d cos x  ax  b  4cx  2a  2d cos x  cx  4a  dx  2b  2c sin x y //  y  4cx  2a  2d cos x  4ax  2b  2c sin x Thay vào phương trình cho: 4cx  2a  2d cos x  4ax  2b  2c sin x  x sin x a   14 4c  Đồng hệ số cho: 2a  2d  4a  2b  2c   c0 b0 d ; Vậy nghiệm riêng PT: y   14 x cos x  14 x sin x Bước 3: Nghiệm tổng quát PT:y  C cos x  C sin x  14 x cos x  14 x sin x, Giải phương trình y //  2y /  5y  e x cos 2x (1) Giải: Đặt y  ze x ; y /  z /  ze x ; y //  z //  2z /  ze x ; thay vào phương trình cho dẫn đến phương trình: z //  4z  cos 2x (2) Bước 1: Phương trình đặc trưng (2):    có nghiệm phức phân biệt:  1,2  2i Nghiệm tổng quát PT tương ứng (2) là: z  C cos 2x  C sin 2x Bước 2: Do fx  cos 2x;   2; i nghiệm bội cấp PT đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng PT (2) dạng: z  xA cos 2x  B sin 2x z /  2Bx  A cos 2x  2Ax  B sin 2x; z //  4Ax  B cos 2x  4Bx  4A sin 2x; thay vào phương trình (2) cho ta: Trang 46 4B cos 2x  4A sin 2x  cos 2x, x (A  0; B  14 ) Một nghiệm riêng (2): z  14 x sin 2x Bước 3: Nghiệm tổng quát (2): z  C cos 2x  C sin 2x  14 x sin 2x Suy nghiệm tổng quát (1): y  C cos 2x  C sin 2x  14 x sin 2xe x Giải phương trình y //  y /  cos x Giải: Viết lại phương trình: y //  y /  cos 2x  1 Bước 1: Nghiệm tổng quát phương trình nhất: y  C e x  C (phương trình đặc trưng     có hai nghiệm thực   1;   0) Bước 2: Ta tìm nghiệm riêng phương trình cho cách sử dụng định lý chồng nghiệm: Xét Hai phương trình : y //  y /  cos 2x (2) y //  y /  (3) (i) Tìm nghiệm riêng PT (2): dạng y  A cos 2x  B sin 2x (chọn dạng vế phải cos 2x;   2; i không nghiệm PT đặc trưng) Tính y / ; y // thay vào PT (2), đồng hệ số ta A   15 ; B   101 : nghiệm riêng (2) y   15 cos 2x  10 sin 2x (ii) Tìm nghiệm riêng PT (3) dạng: y  Ax (vì vế phải  e x với   nghiệm bội cấp PTĐT) Tính y / ; y // thay vào PT (3) tìm A  1; nghiệm riêng (3) là: y  x; (iii) Theo định lý chồng nghiệm, nghiệm riêng PT (1) là: y  x  15 cos 2x  101 sin 2x Bước 3: Nghiệm tổng quát PT cho: y  C e x  C  x  15 cos 2x  101 sin 2x 3.2.5 Phương pháp biến thiên số Lagrange Phương trình tuyến tính dạng: y //  pxy /  qxy  fx (1) // / Phương trình tương ứng:y  pxy  qxy  (2) Giả sử biết nghiệm tổng quát phương trình là: y  C y  C y (3), C , C số tùy ý Bây xem C , C hai hàm số, ta tìm C , C để (3) nghiệm phương trình (1) Với C , C nghiệm hệ: C /1 y  C /2 y  C /1 y /1  C /2 y /2  fx Vi dụ: Giải phương trình: y //  y  cos x Giải: Phương trình đặc trưng    có nghiệm phức  1,2  i Nghiệm tổng quát phương trình là: y  C cos x  C sin x Ta tìm C , C thỏa: C /1 cos x  C /2 sin x  C /1  sin x  C /2 cos x  cos x C /1   sin x cos x 2 C /2  cos x   cos 2x   cos 2x  cos 2x  1  cos 2x  4 cos 4x   cos 2x  2 Trang 47  cos 4x Suy ra: C  cos x  K1; C  x  sin 2x  sin 4x  K 32 Vậy Nghiệm tổng quát phương trình:y  C cos x  C sin x  x  cos x  sin 2x  sin 4x 4 32 Trang 48 Bài tập Tích phân mặt loại Tính: I   dxdy, S mặt định hướng: x  2y  2z  4, véc tơ pháp tuyến n  1, 2, 2 x  y  S HD: k n  góc n trục Oz góc nhọn, nên I   Dxy dxdy Dxy hình chiếu vng góc S lên mặt Oxy, hình trịn x  y  Suy I diện tích hình trịn này4 I   dxdy S mặt mặt x  y  9, z  2 S x y I    HD: 2 Dxy dxdy   x  y2  d  dr  6; y2 I   dxdy, S mặt mặt x   1, z  S y2  I    dxdy  6 HD: Dxy elip: x  Dxy I   xdydz  zdzdx  5dxdy, S phía mặt phẳng 2x  3y  z  6, thuộc góc phần S thứ HD: I   x dydz  z dxdy, S phần mặt nón: x  y  z ,  z  S HD: I   z  R dxdy, S phía ngồi nửa mặt cầu: x  y  z  R  R , R  z  2R S HD: I   yzdydz  xzdxdz  xydxdy, S phía tam giác tạo mặt phẳng tọa độ mặt S phẳng: x  y  z  a (a0) I   x dydz  y dxdz  z dxdy, S phía ngồi phần mặt cầu x  y  z  a thuộc góc S phần tám thứ I   z dxdy, S phía mặt x  y  2z  S  S z  1dxdy S phía ngồi phần mặt cầu x  y  z  R 11 I   x dydz  y dxdz  z dxdy, S phía ngồi mặt cầu x  a  y  b  z  c  R S 2 y2 12 I   x dydz  y dxdz  z dxdy, S phía ngồi mặt nón x   z ,  z  b a a b S 13 I   e x dx  zx  y  dy  yz dz L giao tuyến mặt: z  x  y , x  0, y  0, y  L 14 I   ydx  z dy  x dz L giao tuyến mặt:x  y  z  z  L 15 I   y  zdx  z  xdy  x  ydz, L đường tròn x  y  z  a , x  y  z  L 16 I   y  zdx  z  xdy  x  ydz, L đường x  y  1, x  z  L 10 I  Trang 49 ... 0, 1  R Đặt Fx, y, z  x  y  z  1, F x, y, z  2x; F x, y, z  2y; F x, y, z  2z y z x F 0, 0, 1  F  0, 0, 1   z Theo kết định l? ?, tồn lân cận mở W  U  V  0, 0,. .. hướng mặt (Trong ? ?, ? ?,  góc tạo véc tơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz với n ) Hàm véc tơ Fx, y, z  Px, y, z? ?, Qx, y, z? ?, Rx, y, z Phân hoạch mặt S mảnh S i (i 1 ,2 , m) có diện tích s i đường... 0, chưa thể kết luận Ví dụ Tìm cực trị địa phương fx, y  x  y  2x  4y  Giải: D  R2 f f x, y  2x  2; x, y  2y  x y 2f 2f 2f 2f y  ? ?2; y  ? ?2; x, y  x, y  x,