Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Nguyên hàm và tính chất
1)Bổ sung thông tin thích hợp vào các ô trống dưới đây:
2)Tìm hàm sốf(x) biết rằng a f ′ (x) = 3x 2 b f ′ (x) =x 2
1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
Cho hàm sốf(x) xác định trênK.
Hàm sốF(x) được gọi lànguyên hàmcủa hàm sốf(x) trênKnếu .với mọix ∈K.
✓ Hàm sốF(x) = là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 3x 2
✓ Hàm sốF(x) = là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = cosx.
Ví dụ 2 Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm sốy = 1 cos 2 x?
NếuF(x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) trênKthì với mỗihằng số C, hàm sốG(x) = .cũng là một nguyên hàm củaf(x) trênK. Định lí 2 − é
NếuF(x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) trênKthì mọi nguyên hàm củaf(x) trênKđều có dạng , vớiClà một
✓ F(x) +C là tất cả các nguyên hàm củaf(x)
Ví dụ 3 Tìm các nguyên hàm sau: §1 Nguyên hàm TOÁN 12 a)
Z e x dx 2 Tính chất của nguyên hàm
Cho hàm sốy =f(x) có đạo hàm trênK.
Ví dụ 4 Tìm nguyên hàm của hàm sốf(x) = 3 sinx+ 2 x trên khoảng (0; +∞).
Vớ dụ 5 Cho hàm số f(x) xỏc định trờn khoảng (0; +∞) thỏa món f ′ (x)ã√ x = 1
3 Sự tồn tại của nguyên hàm
Mọi hàm số .trênKđều có nguyên hàm trênK.
Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
Ví dụ 6 Tìm các nguyên hàm sau: a)
Phương pháp tìm nguyên hàm
1 Phương pháp đổi biến số
Z f(u) dx =F(u) +C vàu=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u=u(x) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biếnxban đầu bằng cách thayubởiu(x).
Hệ quả.Vớiu=ax+b(a ̸= 0) thì
Ví dụ 10 Xét nguyên hàmI Z x√ x+ 2 dx Nếu đặtt=√ x+ 2 thì ta được
2 Phương pháp nguyên hàm từng phần Định lí 4 − é
Nếu hai hàm sốu=u(x) vàv=v(x) có đạo hàm liên tục trênKthì
Ví dụ 11 Tìm các nguyên hàm sau: a)
Thứ tự ưu tiên đặtu(x) là
Thực hành
Câu 1 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
Câu 2 Chof(x), g(x) là các hàm số xác định và liên tục trênR Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?
Câu 3 Cặp số nào sau đây có tính chất "Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại"?
A tanx 2 và 1 cos 2 x 2 B sin 2x và sin 2 x.
Câu 4 Khẳng định nào sau đây là khẳng địnhsai?
Câu 5 Họ tất cả các nguyên hàm của hàm sốf(x) = cosx+ 6x là
C f(x) =−1 x 2 + e x D f(x) = lnx+ e x Câu 7 Hàm sốF(x) = 2 sinx −3 cosx là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?A f(x) =−2 cosx −3 sinx B f(x) =−2 cosx+ 3 sinx.
Câu 8 Tìmmđể hàm sốF(x) =mx 3 + (3m+ 2)x 2 −4x+ 3 là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 3x 2 + 10x −4.
A m= 3 B m= 1 C m= 2 D m= 0. Câu 9 Họ nguyên hàm của hàm sốf(x) = 2x 1 + 3x 3 là
Câu 10 Tìm họ nguyên hàm của hàm sốf(x) = 2x 2 +x −1 x 2 A.
Câu 11 Hàm số nào sau đâykhông phảilà một nguyên hàm của hàm sốf(x) (2x −3) 3 ?
Câu 12 Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm sốf(x) = 1
Câu 13 Cho hàm sốf(x) =x 3 − x 2 + 2x −1 GọiF(x) là một nguyên hàm của f(x) Biết rằng F(1) = 4 TìmF(x).
Câu 14 BiếtF(x) là nguyên hàm của hàm sốf(x) = 1 x −1 vàF(2) = 1 Khi đó
Câu 15 Họ tất cả các nguyên hàm của hàm sốf(x) = x+ 2 x −1 trên khoảng (1; +∞) là A x+ 3 ln (x −1) +C B x −3 ln (x −1) +C.
Câu 16 Tìm nguyên hàm của hàm sốf(x) = x 3 x 4 + 1. A.
Câu 17 Tìm nguyên hàm của hàm sốf(x) =√
Câu 18 Tìm nguyên hàm của hàm sốf(x) =xe x A.
Z (x+ 3)ãe −3x+1 dx =−1 me −3x+1 (3x+n) +C vớim, n là các số nguyên Tính tổngS=m+n.
Câu 20 Một vật chuyển động với gia tốc a(t) = 3 t+ 1 (m/s 2 ) Biết rằng vận tốc ban đầu của vật đó là 6 (m/s), hãy tính vận tốc của vật đó tại giây thứ 10.
Câu 1 (SGK GT12) Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại? a) e −x và−e −x b) sin 2x và sin 2 x c)
Câu 2 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) f(x) = e 3−2x b) f(x) = tan 2 x c) f(x) = sin 5x ãcos 3x d) f(x) = 1
(1 +x)(1−2x) Câu 3 Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: a)
Câu 4 Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: a)
In calculus, key concepts include derivatives, antiderivatives, and differential methods The change of variable technique is essential for solving integrals, while the method of integration by parts is a fundamental approach for finding antiderivatives This article focuses on the integral calculus covered in the 12th-grade mathematics curriculum, emphasizing the importance of these methods in understanding and solving complex mathematical problems.
Tích phân giúp chúng ta tính toán độ dài đường cong, diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, cũng như giải quyết các bài toán liên quan đến quãng đường và vận tốc.
Khái niệm tích phân
1 Diện tích hình thang cong
Cho hàm sốy =f(x) liên tục, không trên đoạn [a;b].
Hình giởi hạn bởi đồ thị của hàm số y =f(x), trục và hai đường thẳng x=a, x=b được gọi làhình thang cong.
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) Người ta chứng mình được rằng hình thang cong nêu trên có diện tích là
Cho hàm sốy =f(x) liên tục trên đoạn [a;b] Giả sửF(x) là một nguyên hàm củaf(x) trên đoạn [a;b].
Tích phân từađến bcủa hàm sốf(x) là hiệuF(b)− F(a).
Ta gọia là cận dưới,blà cận trên.
Ví dụ 1 Tính các tích phân sau: a)
Tính chất của tích phân
Phương pháp tính tích phân
1 Phương pháp đổi biến số
Ví dụ 3 Để tính tích phân
(2x −1) 3 dx, ba bạn Trường, Mỹ và Thuận đưa ra cách giải như sau:
Mỹ Đặtu= 2x −1ẹdu= 2dx. Đổi cận:
Hãy so sánh ba lời giải trên.
2 Phương pháp tính tích phân từng phần Định lí − é
Nếu hai hàm sốu=u(x) vàv=v(x) có đạo hàm liên tục trênKthì
Ví dụ 5 Tìm các nguyên hàm sau: a)
Thực hành
Câu 1 ChoF(x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) Khi đó hiệu sốF(0)− F(1) bằng A.
Câu 2 Cho hàm sốf(x), g(x) liên tục trên [a;b] Khẳng định nào sau đâysai? A.
Câu 3 BiếtF(x) là một nguyên hàm củaf(x) trên đoạn [−2; 3],
Câu 5 Giả sử các biểu thức trong dấu nguyên hàm, tích phân đều có nghĩa, trong các khẳng định sau, khẳng định nào làsai?
Câu 6 Cho hàm sốf(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 4],f(1) = 15, f(4) = 8.
Câu 8 Cho các hàm sốf(x),g(x) liên tục trênRthỏa mãn
Câu 10 Cho hàm sốf(x) thỏa mãn
0 sinxdx Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A 27 ln 9 B 9 ln 9 C 4 ln 3 D 12 ln 3. Câu 16 Tích phân
(1−lnx) 2 x dx được kết quả là
Z7 2 xdx x 2 + 1 = aln 2− bln 5 với a, b ∈ Q Giá trị của 2a+b bằng
(x+ 1)e x dx = aln 5 +bln 2, với a, b là các số nguyên Tính
Câu 20 Giá trị của tích phân π 4
2 Câu 21 Tìm giá trị củabđể
Z3 1 x+ 2 x dx = a+blnc với a, b, c ∈ Z, c < 9 Tính tổng S a+b+c.
2x+ 1 dx có giá trị là
2ln 3 C 5 ln 3 D −2 ln 3. Câu 24 Cho
Z1 0 dx x 2 + 3x+ 2 =aln 2 +bln 3 vớia,blà các số nguyên Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 25 Tính tích phânI Z1 0 dx x 2 −9.
5x+ 12 x 2 + 5x+ 6dx=aln 2+bln 5+cln 6 TínhS= 3a+2b+c.
√a − b với a, b là các số nguyên dương.
2 +cvớia,b,clà các số hữu tỷ Tính
3. Câu 29 Cho hàm sốy =f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +∞) và thỏa mãnf(1) = 1,f(x) =f ′ (x)√
3x+ 1, với mọix >0 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A 4< f(5)
