TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Giới thiệu về bộc lọc số
Tín hiệu là biểu diễn vật lý của thông tin và được mô tả bằng hàm của một hoặc nhiều biến độc lập Chúng được chia thành hai loại chính: tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc Tín hiệu liên tục được xác định tại mọi thời điểm trong suốt thời gian tồn tại của nó, bao gồm tín hiệu tương tự và tín hiệu lượng tử hoá Ngược lại, tín hiệu rời rạc chỉ được xác định tại các thời điểm rời rạc, bao gồm tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số.
Tín hiệu số và tín hiệu tương tự đều có thể được biểu diễn dưới dạng hàm tần số, tạo thành phổ tần số của tín hiệu Phổ tần số chính là mô tả ý nghĩa của tần số trong tín hiệu.
Lọc tín hiệu là quá trình biến đổi phổ tần số của tín hiệu, nhằm phục hồi hình dạng hoặc xử lý theo các tiêu chí nhất định Trong quá trình này, các thành phần tần số có thể được khuếch đại, suy giảm, tách ra hoặc loại bỏ Mục tiêu chính của bộ lọc là chỉ cho phép tín hiệu có ích đi qua, đồng thời loại bỏ các tín hiệu nhiễu do xâm nhập hoặc phát sinh trong quá trình xử lý.
Bộ lọc số là hệ thống được thiết kế để xử lý và lọc các tín hiệu rời rạc, với nguyên lý hoạt động được thể hiện rõ trong sơ đồ hình 1.1.
Hình 1.1: Sơ đồ khối của hệ thống lọc số
Tín hiệu vào tương tự x(t) được lấy mẫu theo tần số lấy mẫu Ts, tạo ra tín hiệu rời rạc x(nTs) và được chuyển đổi qua bộ biến đổi tương tự số ADC Trong khối ADC, mỗi mẫu được lượng tử hoá và chuyển thành từ mã nhị phân, với độ dài mã càng lớn thì độ chính xác càng cao Dãy mẫu đã mã hóa tiếp tục được đưa vào bộ lọc số DF, nơi các từ mã được xử lý theo thuật toán lọc Kết quả là tín hiệu số đã được lọc y(n) xuất hiện ở đầu ra của bộ lọc số DF Số liệu này có thể được lưu trữ và xử lý trên máy tính hoặc chuyển qua bộ biến đổi số tương tự DAC, sau đó được lọc qua mạch lọc thông thấp để khôi phục tín hiệu tương tự y(t).
Tín hiệu vào chịu ảnh hưởng từ nhiều yếu tố, trong đó tín hiệu tự nhiên có bản chất là tín hiệu tương tự Như hình 1.1 đã thể hiện, tín hiệu tương tự được chuyển đổi thành tín hiệu số để tiến hành phân tích và xử lý, trước khi được tái tạo lại thành tín hiệu tương tự Do đó, mối quan hệ giữa tín hiệu số và tín hiệu tương tự trong hệ thống lọc cần được xác định một cách hài hòa và đồng nhất.
Các loại bộ lọc số
Bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn FIR (Finite Impulse Response):
Phương trình sai phân của bộ lọc số FIR:
Bộ lọc số FIR có đặc điểm là đáp ứng ra y(n) chỉ phụ thuộc vào tín hiệu kích thích tại thời điểm hiện tại và quá khứ, vì vậy nó còn được gọi là bộ lọc số không đệ quy.
Có thể biểu diễn bộ lọc FIR dưới dạng:
Bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài vô hạn IIR (Infinite Impulse Response) Phương trình sai phân của bộ lọc số IIR:
Bộ lọc số IIR, hay còn gọi là bộ lọc số đệ quy, có đặc điểm là đáp ứng ra y(n) không chỉ phụ thuộc vào tín hiệu kích thích tại thời điểm hiện tại và quá khứ, mà còn liên quan đến đáp ứng ra ở những thời điểm trước đó Điều này cho thấy tính chất phản hồi của bộ lọc, giúp cải thiện khả năng xử lý tín hiệu.
Các chỉ tiêu thiết kế của bộ lọc số
Ta đã biết các bộ lọc số lý tưởng không thể thực hiện được về mặt vật lý vì h(n) không nhân quả và có chiều dài vô hạn
Với bộ lọc số thực tế đáp ứng biên độ thỏa mãn: jω p p jω s
(1.6) Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp thực tế được thể hiện ở hình sau:
Hình 1.2: Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp
Các bộ lọc số thực tế được đặc trưng bởi các tham số kỹ thuật trong miền tần số liên tục ω có 4 tham số chính là [1]:
- δ p : độ gợn sóng ở dải thông;
- δ s : độ gợn sóng ở dải chắn;
- ω p : tần số giới hạn (biên tần) dải thông;
- ω s : tần số giới hạn (biên tần) dải chắn;
- Ngoài ra còn có tham số phụ là: Δω ω s ω p bề rộng dải quá độ
Để thiết kế bộ lọc hiệu quả, cần giảm thiểu độ gợn sóng của dải thông và dải chắn xuống mức tối thiểu (khoảng vài %), đồng thời tần số giới hạn của hai dải này nên gần nhau để bề rộng dải quá độ hẹp Tuy nhiên, trong thực tế, các tham số này thường có mối quan hệ nghịch nhau, gây khó khăn trong quá trình thiết kế Đối với bộ lọc số thông cao, các tham số kỹ thuật của dải thông và dải chắn cũng cần được xem xét cẩn thận.
Nguyên tắc thiết kế bộ lọc số dựa trên hàm đáp ứng tần số, yêu cầu về độ gọn sóng, độ rộng dải quá độ và độ suy giảm trong dải chắn Phương pháp thiết kế được sử dụng để tính toán các hệ số h(n).
Khi thiết kế các bộ lọc số cần đáp ứng các yêu cầu chính sau đây:
1 Tính các hệ số đáp ứng xung h(n): Các mẫu đáp ứng tần số của bộ lọc sao cho đường đặc tuyến tần số nhận được gần với đường đặc tuyến lý tưởng, nghĩa là tối ưu hoá các hệ số
2 Xây dựng cấu trúc hàm truyền đạt H(z) sao cho thời gian là nhanh nhất mà không bị méo pha, méo biên độ, nghĩa là đảm bảo tính tái xây dựng hoàn chỉnh.
Tổng hợp bộ lọc số IIR
Phương pháp chuyển đổi từ bộ lọc tương tự sang bộ lọc số thông qua các phép ánh xạ sẽ được trình bày Để tổng hợp bộ lọc số IIR, trước tiên cần xác định hàm truyền đạt H a (s) trong miền tương tự, sau đó thực hiện quá trình chuyển đổi sang miền số.
Ta có thể mô tả bộ lọc tương tự bằng hàm hệ thống của nó như sau:
(1.7) Ở đây {α k } và {β k } là các hệ số lọc, hoặc bằng đáp ứng xung liên quan với
H a (s) thông qua biến đổi Laplace: st
Bộ lọc tương tự có hàm hệ thống hữu tỷ H a (s) cũng có thể được mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng: k r
Ở đây x(t) là tín hiệu vào và y(t) tín hiệu ra của bộ lọc
Một trong ba đặc trưng của bộ lọc tương tự là khả năng chuyển đổi sang miền số, điều này sẽ được phân tích dưới đây Hệ thống tuyến tính bất biến tương tự với hàm hệ thống Ha(s) được coi là ổn định khi tất cả các điểm cực nằm bên trái mặt phẳng s (với s là biến số phức, s=σ +jΩ) Nếu phép biến đổi thành công, nó sẽ thể hiện những đặc tính nhất định.
1 Trục jΩ trong mặt phẳng s sẽ ánh xạ lên đường tròn đơn vị trong mặt phẳng z Như vậy sẽ có quan hệ trực tiếp giữa hai biến tần số trong hai miền
2 Nửa trái của mặt phẳng s sẽ ánh xạ vào phía trong đường tròn đơn vị thuộc mặt phẳng z Như vậy một bộ lọc tương tự ổn định sẽ được biến đổi thành bộ lọc số ổn định
Cần lưu ý rằng bộ lọc IIR ổn định không thể có pha tuyến tính, vì hàm hệ thống của bộ lọc pha tuyến tính phải đáp ứng một điều kiện nhất định.
H(z) = ±z^(-N) - H(z^(-1)) thể hiện rằng độ trễ N đơn vị thời gian của bộ lọc IIR sẽ dẫn đến việc các điểm cực ánh xạ gương ngoài đường tròn đơn vị, gây ra sự không ổn định Do đó, một bộ lọc IIR nhân quả và ổn định không thể có pha tuyến tính Đặc điểm nổi bật của bộ lọc IIR là chiều dài đáp ứng xung L[h(n)] = ∞.
Có 4 phương pháp để chuyển từ bộ lọc tương tự sang bộ lọc số tương đương là [2]:
- Phương pháp bất biến xung;
- Phương pháp biển đổi song tuyến;
- Phương pháp tương đương vi phân;
- Phương pháp biến đổi z tương ứng
Với điều kiện đã tổng hợp được H a (s) Để tìm được hàm truyền đạt tương tự
H a (s), người ta có 3 phương pháp tổng hợp là [2]:
1.4.2 Phương pháp bất biến xung
Phương pháp bất biến xung nhằm tổng hợp bộ lọc IIR với đáp ứng xung đơn vị h(n) là phiên bản lấy mẫu của đáp ứng xung bộ lọc tương tự Cụ thể, h(n) được xác định bằng h(nT), với n = 0, 1, 2, và T là khoảng lấy mẫu Điều này cho phép bộ lọc số có đáp ứng tần số tương ứng với đáp ứng tần số H a (F) của bộ lọc tương tự, trong đó đáp ứng xung đơn vị h(n) tương đương với h a (nT).
Bộ lọc số với đáp ứng tần số H(e jω) sẽ có đặc tuyến đáp ứng tần số tương ứng với bộ lọc tương tự nếu khoảng lấy mẫu được chọn đủ nhỏ để tránh hiện tượng alias Tuy nhiên, phương pháp bất biến xung không phù hợp cho bộ lọc thông cao do sự lẫn phổ trong quá trình xử lý lấy mẫu.
Để hiểu sự ánh xạ giữa mặt phẳng z và mặt phẳng s qua quá trình lấy mẫu, ta sử dụng công thức tổng quát hóa (1.13) để thiết lập mối liên hệ giữa biến đổi z của h(n) và biến đổi Laplace của h a (t) Mối quan hệ này được thể hiện qua công thức: st a z e k.
Khi thay thế s = jΩ, phương trình (1.14) trở thành (1.13), trong đó thừa số j trong H a (ω) đã được loại bỏ Đặc tính của ánh xạ z = e^(sT) có thể được xác định bằng cách thay s = σ + jΩ và biểu diễn biến phức z theo tọa độ cực z = re^(jω) Với sự thay thế này, phương trình (1.16) trở thành r = e^(σT) * e^(jΩT).
Rõ ràng, ta có: re T và T (1.18)
Khi σ < 0, điều này cho thấy 0 < r < 1, trong khi σ > 0 chỉ ra rằng r > 1 Khi σ = 0, ta có r = 1 Do đó, nửa trái của mặt phẳng s được ánh xạ vào trong đường tròn đơn vị thuộc z, còn nửa phải của mặt phẳng s được ánh xạ thành các điểm nằm ngoài đường tròn đơn vị thuộc z Đây là một trong những đặc điểm nổi bật của ánh xạ này.
Như đã chỉ ở trên, trục jΩ cũng được ánh xạ lên đường tròn đơn vị trong z
Sự ánh xạ giữa tần số tương tự Ω và biến tần số ω không phải là một - một, bởi vì ω chỉ duy nhất trên khoảng (−π, π) Điều này có nghĩa là khoảng −π/T ≤ Ω ≤ π/T sẽ ánh xạ vào các giá trị tương ứng của −π ≤ ω ≤ π Ngoài ra, khoảng tần số π/T ≤ Ω ≤ 3π/T cũng ánh xạ vào khoảng −π ≤ ω ≤ π Nói chung, khoảng (2k −1)π/T ≤ Ω ≤ (2k +1)π/T cũng có sự ánh xạ tương tự, với k là số nguyên Do đó, việc ánh xạ từ tần số tương tự Ω sang biến tần số ω trong miền tần số là nhiều lên một, phản ánh ảnh hưởng của sự chồng phổ khi lấy mẫu Hình 1.3 minh họa sự ánh xạ này từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z.
Để tìm hiểu ảnh hưởng của phương pháp bất invariant xung đến đặc tuyến bộ lọc, chúng ta cần biểu diễn hàm hệ thống của bộ lọc tương tự dưới dạng phân thức tối giản Giả sử các cực của bộ lọc tương tự là phân biệt, chúng ta có thể viết hàm này một cách chính xác.
(1.19) Ở đây {spk} là các cực của bộ lọc tương tự và {Ak} là các hệ số của khai triển phân thức Bởi vậy: pk
Nếu lấy mẫu h a (t) một cách tuần hoàn tại t = nT , ta có: pk
Thay (1.21) vào, hàm hệ thống bộ lọc số IIR sẽ là:
Tổng phía trong của (1.22) là hội tụ, vì spk 0 sao cho với
BB F t T T và cho ts < thì s s
Từ T, K là hằng số không đổi, ta chứng minh được định đề 2.3.1
2.3.2 Thành phần chính của e At B,
Các thành phần véc tơ tương ứng với các thành phần chính khác không của e At B bề rộng là không gian con điều khiển được Xc Để đơn giản, chúng ta sẽ giả định không có những thành phần tương ứng với điểm không Những kết quả lý luận trước đó sẽ hỗ trợ cho phần này Hình elipxoit với nửa trục c1c1, , cncn là vùng bề mặt trong không gian trạng thái, tương ứng với những điểm có nguồn gốc là các véc tơ đầu vào thỏa mãn.
( Trong một số trường hợp cụ thể, tỷ số c = c1/cn đóng vai trò như là một điều kiện số liên quan đến từng điểm trạng thái điều khiển
Thành phần véc tơ tương ứng với thành phần chính khác của e A T C T bề rộng là Xo Chúng ta sẽ loại bỏ trường hợp bình thường với các thành phần tương ứng điểm không Từ đó, hình dung một hình elipxoit trong R n với nửa trục giảm dần theo độ dài: on 1 on , on 1 1 on 1 , , o 1 1 o 1 Những nửa trục này tương ứng với tập hợp tất cả các điều kiện ban đầu thỏa mãn.
Trong một số trường hợp cụ thể, tỷ số o = o1/on là điều kiện số liên quan đến trạng thái không có đầu vào, dẫn đến việc xem xét các phần rất nhỏ của e At B hoặc e A T C T để xác định điểm không, như xấp xỉ Xc và Xō bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất Tuy nhiên, đây không phải là trường hợp chung phù hợp Giả thiết có mô hình sau:
Rất dễ dàng thấy rằng cả e At B, e A T C T có một thành phần chính rất nhỏ với
oc10 12 Trong trường hợp này hình elipxoit bị méo cao nhất phản ánh đầy đủ một sự mất cân bằng tỷ lệ nội bộ Thay đổi tỷ lệ x 1 (t)10 6 x 1 (t);x 2 (t)10 12 x 2 (t) cho ta
Ví dụ minh họa cho thấy rằng e At B và Ce At phụ thuộc vào tọa độ nội của hệ thống Một phép chuyển đổi hệ tọa độ x(t) = P x(t) giúp chuyển mô hình về dạng mới.
Theo phép biến đổi nội đó, có một số lưu ý ta chấp nhận như sau: dt e B B e P dt e BB e P P W
Trường hợp đặt P=I (hệ số toạ độ gốc), chúng ta sẽ đơn giản cách biểu diễn
Hệ thống phụ thuộc vào tọa độ nội, cho thấy rằng các thành phần nhỏ của e A T t C T có thể được bù đắp bởi các thành phần lớn của e At B Để đơn giản hóa vấn đề, ta có thể chuyển sang một hệ tọa độ mà tại đó tất cả các thành phần của e At B có cùng một đơn vị độ lớn, tức là chọn P sao cho Wc 2(P)=I.
Từ Wc 2=VccVc T, ta có thể chọn P=Vcc Một biến đổi toán học nhỏ cho ta
Chú ý rằng giá trị suy biến của H là thành phần độ lớn của e A T t C T
Mặc dù ma trận H phụ thuộc tọa độ gốc của hệ thống, chúng ta có thể dễ dàng kiểm tra lại rằng
H có phải là những giá trị suy biến hay không? Những giá trị này phản ánh tính chất vào – ra của hệ thống và đóng vai trò trung tâm trong lý luận tiếp theo Theo định nghĩa 2.3.2, các giá trị suy biến của H sẽ được biểu diễn bởi
và sẽ được nhắc đến như các dạng bậc 2 của hệ thống
Phương pháp cắt giảm cân bằng
Sau khi nghiên cứu phương pháp cắt giảm cân bằng của More và cải tiến của Sinha, tác giả tóm tắt thuật toán giảm bậc theo phương pháp cân bằng nội qua các bước cụ thể Để giảm bậc mô hình cho hệ thống được mô tả bởi phương trình trong (2.1), chúng tôi thực hiện theo thuật toán đã đề ra.
Bước 1: Kiểm tra tính ổn định tiệm cận và khả năng điều khiển được và quan sát được của mô hình (2.1)
Nếu ma trận A ổn định với tất cả các giá trị riêng có phần thực âm, hệ thống mô tả bởi phương trình (2.1) sẽ có khả năng điều khiển và quan sát hoàn toàn Gramian đặc trưng cho khả năng điều khiển và quan sát của hệ thống có dạng: dt e BB e.
Bước 2: Giải hệ phương trình Lyapunov:
Ta tìm được WcWo là các ma trận đối xứng, xác định thực dương
Bước 3: Xác định Vc và c
Vì ma trận Wc là ma trận đối xứng, xác định và thực dương, nên luôn tồn tại một ma trận trực giao Vc cùng với một ma trận đường chéo c = diag (1, 2, , n), trong đó điều kiện (1 2) được đảm bảo.
Từ Vc và c ta được xây dựng một ma trận đối xứng, xác định thực dương
Ma trận đó có thể được chéo hóa bởi P T WP = trong đó, P là ma trận trực giao và:
Bước 5: Xác định ma trận T không suy biến
(2.16) trong đó, (Wc)* và (Wo)* là các gramian đặc trưng cho tính đồng thời điều khiển, quan sát của hệ gốc trong hệ tọa độ biến đổi:
Với A * = T -1 AT; B * = T -1 B; C * = CT; D * = D Hệ mô tả trong trường hợp này được gọi là hệ trong tọa độ cân bằng nội hay thường gọi là hệ cân bằng nội
Nếu trong (2.14) có r >> r+1, thì phương trình trong (2.17) cho thấy có một phân hệ cân bằng nội bậc r Từ phương trình này, ta có thể xây dựng một mô hình bậc r hay mô hình giảm bậc, mà vẫn thỏa mãn điều kiện cân bằng nội Mô hình này được mô tả bởi các phương trình trong (2.17), với Ar là ma trận khối kích thước (r x r) ở phía trên bên trái của A*, Br chứa các hàng từ 1 đến r của B*, và Cr là các cột từ 1 đến r của C* Do A là một ma trận ổn định, nên Ar cũng sẽ là ma trận ổn định.
Theo phương pháp cân bằng nội, mô hình giảm bậc được hình thành bằng cách loại bỏ các trạng thái ít khả năng điều khiển và quan sát từ phương trình (2.17) Kết quả là các biến trạng thái của mô hình giảm bậc gần giống với r biến trạng thái đầu tiên của phương trình (2.16) Lastman và các tác giả khác đã so sánh phương pháp cân bằng ma trận với phương pháp ghép hợp qua các ví dụ tính toán, cho thấy rằng mô hình giảm bậc từ phương pháp ghép hợp có thể đạt mức độ tiện lợi tương đương với phương pháp cân bằng nội, với điều kiện các trị riêng của mô hình gốc bậc cao có tính trội Phân tích sai số trong trường hợp xấu của phương pháp cân bằng nội cho thấy, khi mô hình gốc được cân bằng nội toàn bậc, việc tính toán các giá trị giới hạn của sai số trở nên đơn giản hơn.
Năm 1989, Prakash và Rao đã đề xuất một phiên bản điều chỉnh phương pháp cân bằng nội của Moore, trong đó mô hình giảm bậc được tìm ra bằng cách gần đúng trạng thái của các phân hệ yếu quanh trục tần số bằng 0 Phương pháp này giúp giảm sai số mô phỏng ở tần số thấp, cải thiện độ chính xác của các kết quả phân tích.
Một vài ví dụ về giảm bậc theo phương pháp cân bằng nội
Mục đích chính của bài viết là minh họa cụ thể các bước tính toán theo phương pháp cân bằng nội đồng, đồng thời đánh giá sai số của mô hình giảm bậc trong miền tần số.
Ví dụ 1: Cho một mô hình hệ động học tuyến tính bậc 5 được mô tả trong không gian trạng thái: x C y u B x A x
(2.18) có các tham số như sau:
Chuyển sang cấu trúc dạng hàm truyền ta có:
Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống gốc bậc 5 Định thức của A5 là det(A5) = -1.024
Các giá trị riêng của A5 là: -2.8302;
Như vậy A5 là ma trận ổn định, hệ (2.18) điều khiển được và quan sát được
Hệ thống gốc trong hệ cân bằng nội là:
Bảng 2.1: Tham số của các hệ giảm bậc trong mô hình không gian trạng thái và mô hình hàm truyền của các hệ giảm bậc
Tham số hệ giảm bậc trong mô hình không gian trạng thái
Mô hình hàm truyền của hệ giảm bậc
Hình 2.1: Sơ đồ mô phỏng hệ gốc và các hệ giảm bậc trong Simulink
Hình 2.2: Đáp ứng bước nhảy hệ gốc và các hệ giảm bậc
Hình 2.3: Đặc tính tần số hệ gốc và hệ giảm bậc
Từ kết quả mô phỏng của các ví dụ cho ta các nhận xét như sau:
Phương pháp cân bằng nội là một kỹ thuật đơn giản, và do ma trận hệ gốc A5 ổn định, tất cả các ma trận Ar cũng sẽ ổn định Điều này dẫn đến việc các hệ giảm bậc đều giữ được tính ổn định.
Hệ giảm bậc có đặc tính bước nhảy tương tự như hệ gốc, với bậc thấp hơn một bậc, trừ trường hợp hệ gốc bậc 5 thì hệ giảm bậc sẽ thấp hơn 2 bậc Điều này cho phép sử dụng hệ giảm bậc như một sự thay thế cho hệ gốc trong thiết kế hệ thống điều khiển.
Đặc tính bước nhảy của các hệ giảm bậc thấp hơn hệ gốc từ 2 bậc trở lên (trong trường hợp hệ gốc bậc 5, hệ giảm bậc thấp hơn sẽ là 3 bậc) có sự sai lệch đáng kể so với đặc tính của hệ gốc Do đó, không nên thay thế các hệ này cho hệ gốc khi thiết kế hệ thống điều khiển.
- Phân tích và so sánh đặc tính hệ gốc và các hệ giảm bậc trong miền tần số thấy rằng:
Trong miền tần số thấp, đặc tính biên tần của các hệ giảm bậc trùng khít với hệ gốc, và khi bậc của hệ giảm bậc giảm, miền tần số mà đặc tính này trùng nhau cũng giảm theo Ngược lại, trong miền tần số cao, đặc tính của hệ giảm bậc bắt đầu xuất hiện sai lệch so với hệ gốc, với mức độ sai lệch tăng lên khi tần số tăng, đặc biệt là với các hệ giảm bậc có bậc nhỏ Do đó, có thể sử dụng các hệ giảm bậc thấp hơn 1 bậc so với hệ gốc (trừ hệ bậc 5 có thể giảm 2 bậc) trong miền tần số thấp Tuy nhiên, để áp dụng các hệ giảm bậc trong miền tần số cao, cần thực hiện thêm nghiên cứu để hiệu chỉnh phương pháp nhằm giảm thiểu sai lệch giữa các hệ giảm bậc và hệ gốc.
Đặc tính pha tần của các hệ giảm bậc lệch pha 360 độ so với hệ gốc Ở miền tần thấp, đặc tính của hệ giảm bậc gần như song song với hệ gốc Tuy nhiên, khi tăng tần số lên miền tần cao, đặc tính pha tần giữa các hệ giảm bậc và hệ gốc không còn song song nữa, mà xuất hiện sai lệch Điều này cho thấy rằng sai lệch tăng lên theo tần số.
Như vậy: Trong miền tần số thì các hệ giảm bậc có bậc thấp hơn hệ gốc 1 bậc
Hệ gốc bậc 5 đến 2 bậc có khả năng thay thế hệ gốc trong miền tần thấp Tuy nhiên, để áp dụng trong miền tần cao, cần tiến hành thêm nghiên cứu nhằm giảm thiểu sai lệch giữa các hệ giảm bậc và hệ gốc.
Ví dụ 2: Cho một mô hình hệ động học tuyến tính bậc bốn được mô tả trong không gian trạng thái: x C y u B x A x
Ta có các tham số như sau:
Chuyển sang cấu trúc dạng hàm truyền ta có hàm truyền hệ bậc bốn có dạng sau:
Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống gốc bậc 4
Ta có định thức A4 là det(A4) = 150
Các giá trị riêng của A4 là: -1;
Như vậy A4 là ma trận ổn định, hệ (2.20) điều khiển được và quan sát được
Hệ thống gốc trong hệ cân bằng nội là:
Kết quả giảm bậc được cho trong bảng sau:
Bảng 2.2: Tham số của các hệ giảm bậc trong mô hình không gian trạng thái và mô hình hàm truyền của các hệ giảm bậc
Bậc của hệ giảm bậc
Tham số hệ giảm bậc trong mô hình không gian trạng thái
Mô hình hàm truyền của hệ giảm bậc
Hình 2.4: Sơ đồ mô phỏng hệ gốc và các hệ giảm bậc trong Simulink
Hình 2.5: Đáp ứng bước nhảy hệ gốc và các hệ giảm bậc
Hình 2.6: Đặc tính tần số hệ gốc và các hệ giảm bậc
Ví dụ 3: Giả thiết là đối tượng của hệ thống được mô hình hóa với các thông số được mô tả bằng mô hình toán học như sau:
Chuyển mô hình đối tượng sang dạng không gian trạng thái
có các tham số như sau:
Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống gốc bậc 3 Định thức của A3 là det(A3) = -740.5568
Các giá trị riêng của A3 là: -33.3318 + 0.3847i;
Như vậy A3 là ma trận ổn định, hệ điều khiển được và quan sát được
Hệ thống gốc trong hệ cân bằng nội là:
Kết quả giảm bậc được cho trong bảng sau:
Bảng 2.3: Mô hình không gian trạng thái và mô hình hàm truyền của các hệ giảm bậc
Bậc của hệ giảm bậc
Tham số hệ giảm bậc trong mô hình không gian trạng thái
Mô hình hàm truyền của hệ giảm bậc
Hình 2.7: Sơ đồ mô phỏng hệ gốc và các hệ giảm bậc trong Simulink Đánh giá chất lượng quá độ của hệ giảm bậc
Sau khi tìm ra mô hình giảm bậc, để đánh giá chất lượng quá độ, ta sử dụng MATLAB/SIMULINK và vẽ các đáp ứng h(t) như hình 2.8
Hình 2.8: Đáp ứng h(t) hệ gốc và các hệ giảm bậc
Kết quả mô phỏng cho thấy đáp ứng h(t) của hệ giảm bậc 2 trùng khít với hệ gốc, trong khi hệ giảm bậc 1 có sự sai khác so với hệ gốc Để đánh giá chất lượng của hệ giảm bậc trong miền tần số, cần khảo sát đặc tính biên tần của hệ gốc và các hệ đã giảm bậc, như thể hiện trong hình 2.9.
Hình 2.9: Đặc tính biên tần hệ gốc và hệ giảm bậc
Kết quả cho thấy rằng trong miền tần số thấp, hàm A(ω) của hệ gốc và các hệ giảm bậc có sự khác biệt không đáng kể Tuy nhiên, sai số A(ω) sẽ gia tăng khi tần số tăng lên.
Kết luận chương
Trong chương này, tác giả trình bày cơ sở toán học cho phương pháp cắt giảm cân bằng trong hệ tuyến tính Tác giả đã phân tích chi tiết các bước của phương pháp cắt giảm cân bằng, bao gồm các thành phần và cách tính toán Qua đó, chúng ta có thể xác định các giá trị và thành phần chính trong mô hình, từ đó thiết lập mô hình giảm bậc, sẽ được xem xét cụ thể trong bài toán ở chương 3.
ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH CHO BÀI TOÁN TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR
Thiết kế bộ lọc số từ bộ lọc tương tự Butterworth
Để thiết kế bộ lọc số từ bộ lọc tương tự thông thường người ta sử dụng hai phương pháp đó là:
Phương pháp chuyển đổi từ bộ lọc tương tự sang bộ lọc số là một kỹ thuật phổ biến, trong đó yêu cầu thiết kế bộ lọc tương tự trước, sau đó áp dụng các phương pháp chuyển đổi gần đúng giữa miền tương tự và miền số để thu được bộ lọc số.
Phương pháp thứ hai để tối ưu hóa thủ tục thiết kế bộ lọc là sử dụng máy tính điện tử nhằm tìm kiếm cách giảm thiểu sai số trong việc xấp xỉ các chỉ tiêu kỹ thuật Các phương pháp này cho phép thiết kế bộ lọc gần đúng đáp ứng các tiêu chuẩn cần thiết Tuy nhiên, phương pháp này ít được áp dụng trong thực tế.
Trong chương này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp đầu tiên để thiết kế bộ lọc số dựa trên bộ lọc tương tự Butterworth Sử dụng kiến thức từ chương 1, chúng ta sẽ tiến hành thiết kế bộ lọc số cho một bài toán cụ thể.
Để thiết kế bộ lọc số thông thấp từ bộ lọc tương tự Butterworth, cần xác định các chỉ tiêu kỹ thuật như: tần số cắt ωp = 0.25π (rad), tần số dừng ωs = 0.4π (rad), độ gợn sóng trong băng thông Rp = 1 (dB) và độ suy giảm ngoài băng As = 40 (dB) Phương pháp biến đổi song tuyến sẽ được áp dụng để chuyển đổi bộ lọc tương tự thành bộ lọc số đáp ứng các yêu cầu kỹ thuật này.
Các bước thiết kế như sau:
- Bước 1: Xác định các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số
Theo đề bài ta có các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số như sau:
+ Tần số giới hạn dải thông: ωp = 0.25π (rad)
+ Tần số giới hạn dải chắn: ωs = 0.4 π (rad)
+ Độ gợn dải thông: Rp = 1 (dB)
+ Độ suy hao giải chắn: As = 40 (dB)
Bước 2: Để xác định lại các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc tương tự, cần dựa vào các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số tương ứng thông qua phương pháp biến đổi song tuyến.
Chuẩn hóa bằng tần số lấy mẫu F s ta được:
- Bước 3: Tổng hợp bộ lọc Butterworth
+ Xác định bậc của bộ lọc:
Ta có bậc của bộ lọc được tính theo công thức sau:
+ Xác định H 0 và các điểm cực của H(s):
- Bước 4: Tìm hàm truyền H(z) của bộ lọc số
Khi áp dụng phương pháp biến đổi song tuyến, các tần số của bộ lọc được chuẩn hóa bởi tần số lấy mẫu Do đó, chúng ta cũng cần chuẩn hóa s bằng tần số lấy mẫu.
Chuẩn hóa bởi F s ta được:
Thay vào H(s) ở trên ta tìm được hàm H(z):
Sau khi biến đổi ta thu được hàm H(z) như sau:
Ứng dụng thuật toán giảm bậc mô hình thiết kế bộ lọc số IIR
Xét một bộ lọc số IIR pha tuyến tính bậc thứ n được định nghĩa trong miền n:
Khi áp dụng thuật toán giảm bậc mô hình đề xuất (phương pháp cân bằng nội),
Xét bộ lọc số IIR với hàm truyền dưới dạng H(z) sau:
Thực hiện áp dụng kỹ thuật biến đổi tuyến tính (thay z = s + 1 vào hàm truyền H(z)), khi đó hàm truyền H(z) sẽ trở thành H(s):
Để giảm bậc hàm truyền H(s) theo phương pháp cân bằng nội, trước tiên cần chuyển đổi hệ thống từ dạng hàm truyền sang mô tả trong không gian trạng thái, áp dụng các kiến thức đã trình bày trong chương 2.
Với các tham số A10, B10, C10 và D như sau:
Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống gốc bậc 10 Định thức của A10 là det(A10) = 0.0172
Các giá trị riêng của A10 là: -0.2792 + 0.6278i;
Như vậy A10 là ma trận ổn định, hệ điều khiển được và quan sát được Để thực hiện giảm bậc với H(s) chúng ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tính toán các Gramian điều khiển được Wc, Gramian quan sát được
Wo từ 2 phương trình Lyapunov:
A T Wo + WoA = -C T C Thực hiện tính toán ta thu được được kết quả sau:
- Bước 2: Xác định ma trận trực giao Vc và ma trận đường chéo c sao cho:
(Vc) T WcVc = (c) 2 Thực hiện tính toán ta có kết quả sau:
- Bước 3: Xác định ma trận trực giao P và ma trận đường chéo với:
P T WP = Thực hiện tính toán ta có kết quả sau:
- Bước 4: Xác định ma trận T không suy biến thỏa mãn: c c
Thực hiện tính toán ta có kết quả sau:
- Bước 5: Xác định các ma trận A*, B*, C* và D* sao cho:
Thực hiện tính toán ta có kết quả sau:
D* e Sau khi tiến hành giảm bậc hàm H(s) ta thu được kết quả như bảng sau:
Bảng 3.1: Kết quả giảm bậc hàm truyền H(s) theo thuật toán cân bằng nội
s Đánh giá sai số giảm bậc theo chuẩn H ∞ ta được kết quả như bảng sau:
Bảng 3.2: Sai số giữa hàm truyền gốc với các hàm giảm bậc
Bậc Sai số hệ gốc và hệ giảm bậc
1 0.5171 Để đánh giá kết quả giảm bậc, ta tiến hành mô phỏng đặc tính pha, biên tần của hệ gốc và các hệ giảm bậc như hình 3.1
Hình 3.1: Đặc tính biên tần, pha của hệ gốc và hệ giảm bậc
Kết quả mô phỏng cho thấy đặc tính biên tần và pha của hệ giảm bậc 7 và 6 rất gần gũi với hệ gốc, trong khi các hệ giảm bậc khác có sự sai khác đáng kể Vì vậy, hàm truyền của hệ giảm bậc 7 và 6 có thể được sử dụng để thay thế cho hàm truyền của hệ gốc.
Sai số của hệ gốc và hệ giảm bậc 7, 6 lần lượt là: 1.4303e-006, 2.9136e-005 Đáp ứng đối với yêu cầu của chuẩn H ∞
Kết luận chương
Trong chương này, tác giả trình bày quy trình tính toán và thiết kế bộ lọc số dựa trên bộ lọc tương tự Butterworth Phương pháp cân bằng nội được áp dụng để giảm bậc mô hình, giúp tối ưu hóa quá trình tính toán Tác giả cũng thực hiện so sánh giữa đặc tuyến tần số và pha của hệ thống gốc với hệ thống đã giảm bậc Kết quả từ các phép tính và mô phỏng được phân tích để đưa ra những nhận định chính xác.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Luận văn đã nghiên cứu được một số vấn đề sau:
Nghiên cứu các lý thuyết cơ bản về bộ lọc số và các yêu cầu kỹ thuật trong thiết kế bộ lọc số là rất quan trọng Bài viết trình bày các phương pháp tổng hợp bộ lọc IIR từ bộ lọc tương tự, giúp hiểu rõ hơn về quy trình này Tác giả cũng đã đưa ra các bước cụ thể để tính toán và thiết kế bộ lọc số IIR từ bộ lọc tương tự, nhằm tối ưu hóa hiệu suất và đáp ứng các yêu cầu kỹ thuật.
Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về thuật toán giảm bậc mô hình theo phương pháp cân bằng nội, với việc áp dụng phương pháp cân bằng nội của Moore, giúp tối ưu hóa các mô hình phức tạp Bài viết sẽ trình bày rõ ràng các bước tính toán cần thiết, kèm theo ví dụ minh họa để người đọc có thể dễ dàng hiểu và áp dụng phương pháp này trong thực tiễn.
Ứng dụng phương pháp cân bằng nội của Moore trong giảm bậc mô hình cho thiết kế bộ lọc số IIR đã được đề xuất, và các kết quả mô phỏng đã được đánh giá thông qua một bài toán cụ thể.
Qua quá trình đánh giá kết quả mô phỏng, phương pháp giảm bậc mô hình cho thiết kế bộ lọc số cho thấy hiệu quả rõ rệt Ví dụ cho thấy hệ bậc thấp có thể thay thế hệ bậc cao mà vẫn giữ được các đặc tính cần thiết của hệ gốc Mặc dù chất lượng của hệ giảm bậc có phần giảm so với hệ gốc, nhưng sai số giới hạn cho phép vẫn nằm trong mức chấp nhận được Điều này không chỉ hữu ích trong thiết kế hệ thống mà còn nâng cao hiệu quả tính toán, đảm bảo thời gian thực trong xử lý tín hiệu.
- Cần nghiên cứu thêm một số phương pháp giảm bậc mô hình khác để so sánh với phương pháp cân bằng nội
- Xây dựng mô hình bộ lọc IIR thực tế đánh giá các kết quả thực tế và mô phỏng.