(LUẬN văn THẠC sĩ) cơ sở grobner trong hình học nhiệt đới

Vành phân bậc

Định nghĩa 1.1.1 i) Một vành phân bậcR là một vành giao hoán, có đơn vị thỏa mãn các tính chất

R n là tổng trực tiếp các nhóm con Abel R n đối với phép cộng;

R n là vành phân bậc Một R−môđunM được gọi là môđun phân bậc nếu thỏa mãn các điều kiện sau

M n là tổng trực tiếp của các nhóm con Abel M n đối với phép cộng;

Ví dụ 1.1.2. i) Cho R là một vành Khi đó R là vành phân bậc với phân bậc tầm thường

Tương tự, cho M là R−môđun Khi đó M là R−môđun phân bậc với cấu trúc phân bậc tầm thường

Mn, M0 = M, M1 = 0 với mọi n ≥ 1 ii) Cho A = R[x 1 , , x k ] là vành đa thức k biến, có hệ số trong vành R. Khi đó A là vành phân bậc với phân bậc chuẩn tắc như sau A ∞

A n = {f(x 1 , , x k ) ∈ A | f(x) là đa thức thuần nhất bậc n}.

Đa thức thuần nhất bậc d có dạng f(x) = P kαk=d a α x α Nếu M là môđun phân bậc trên vành phân bậc R, phần tử x của R i (hoặc M i) được gọi là phần tử thuần nhất bậc i, ký hiệu deg(x) = i Iđêan I ⊂ K[x0, , xn] được coi là thuần nhất nếu tập sinh của nó là các đa thức thuần nhất.

Ví dụ 1.1.5 Cho trường K và vành đa thức R = K[x, y, z] với phân bậc chuẩn tắc Khi đó i) I 1 = hx n +y n −z n i là iđêan thuần nhất của R. ii) I 2 = hx+y 2 i không là iđêan thuần nhất của R.

Tập lồi

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về tập lồi Cụ thể, định nghĩa về siêu phẳng affine H được xác định bởi các số thực a0, a1, , an, với a = (a0, , an) khác không, trong đó H = {x ∈ R n : a 0 + a 1 x 1 + + a n x n = 0}.

R n \H có hai phần rời nhau

Các phần rời nhau này được gọi là nửa không gian affine mở xác định bởi

H, và được kí hiệu lần lượt là H ◦ + và H ◦ − tương ứng với dấu dương và âm. Nửa không gian dương (đóng) là

H + = {x ∈ R n : a 0 +a 1 x 1 + +a n x n ≥ 0} Một tập hợp P ⊆ R n được gọi là một đa diện nếu nó là giao của một số hữu hạn các nửa không gian affine đóng Tập lồi S trong R n là một tập hợp sao cho với mọi x1, x2 ∈ S và λ ∈ [0,1], ta có λx 1 + (1−λ)x 2 ∈ S.

Ví dụ 1.2.4. i) Trong R 2 , các hình đa giác, hình tròn, hình Elip là các tập lồi Trong

R 3 thì hình đa diện, hình cầu là các tập lồi. ii) Hình cầu B = {x ∈ R n : kxk ≤ 1} là tập lồi Thật vậy, với mọi x, y ∈ B và λ ∈ [0,1], ta có k(1−λ)x+λyk ≤ k(1−λ)xk+kλyk

Do đó (1−λ)x+ λy ∈ B. iii) Hình cầu B(a, r) = {x ∈ R n : kx− ak ≤ r} là một tập lồi (ở đây a ∈ R n và r ≥ 0) Thật vậy, với mọi x, y ∈ B(a, r), ∀λ ∈ [0,1] ta có kλx+ (1−λ)y −ak= kλ(x−a) + (1−λ)(y −a)k

Do đó (1−λ)x+ λy ∈ B(a, r). Định nghĩa 1.2.5 Với một tập hữu hạn X = {u 1 , ,u s } ⊆ R n , ta gọi conv(X) = { s

Bao lồi của hai điểm x₁ và x₂ là một đoạn thẳng, trong khi bao lồi của ba điểm x₁, x₂, x₃ không thẳng hàng tạo thành hình tam giác Định nghĩa một tập con khác rỗng P của Rⁿ là đa diện lồi nếu tồn tại một tập con hữu hạn X ⊂ Rⁿ sao cho conv(X) = P Bên cạnh đó, một nón đa diện trong Rⁿ được định nghĩa là bao dương của tập con hữu hạn X = {v₁, , vₛ} trong Rⁿ.

Nón đa diện còn được biểu diễn là một tập có dạng

C(X) = {x∈ R n : Ax ≤ 0}, trong đó A là ma trận có kích thước d×n Định nghĩa 1.2.9 cho biết một quạt đa diện là tập hợp hữu hạn của tất cả các nón đa diện, với điều kiện rằng giao của hai nón đa diện bất kỳ sẽ tạo thành một mặt của hai đa diện.

Hình 1.2: Không là quạt đa diện Định nghĩa 1.2.10 Cố định một đa diệnP ⊆R n Cho một véc tơw ∈ R n Đặt face w (P) ={x ∈ P | xãw ≤ yãw, với mọi y ∈ P}.

Tập face w (P) được gọi là một mặt của P.

Bổ đề 1.2.11 Với mỗi tập hợp X = {u 1 , ,u s } ⊆ R n và w ∈ R n , đặt λ = min{w ãu i | 1≤ i ≤ s},

Khi đó face w (P) = conv(X w ), trong đó P = conv(X).

Chứng minh Đầu tiờn, ta chỉ ra λ = min{wãu | u ∈ P} Khi đú ta cú u s

Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì w ãu s

Do đúmin{wãu |u ∈ P} ≥ λ Mặt khỏc, ta cú λ = min{wãu i | 1 ≤ i ≤ s}.

Do đú tồn tại u j ∈ X sao cho λ = wãu j Do X ⊂ P nờn λ ≥ min{w ãu | u ∈ P} Vậy λ = min{w ãu | u ∈ P}.

Bằng cách thay đổi các chỉ số nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng X w {u 1 , ,u r } Cho u ∈ conv(X w ) Khi đó, u r

Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì wãu r

Mặt khác, u ∈ conv(X w ) ⊂ conv(X) nên u ∈ conv(X) = P Do đó u ∈ P và w ãu = λ = min{w ãv | v ∈ P} Vỡ vậy w ãu ≤ w ãv với mọi v ∈ P. Khi đó u ∈ face w (P) Do đó ta có conv(X w ) ⊆ face w (P).

Ngược lại, cho u ∈ face w (P) Khi đú ta cú w ãu = λ Do u ∈ P, ta cú u s

Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với véc tơ w thì λ = wãu s

Do đó r i = 0 với mọi i = r+ 1, , s Do đó ta cóu r

Nhận xét 1.2.12 Từ Bổ đề 1.2.11, face w (P) là một đa diện Ngoài ra, face w (P) là một đa diện vì nó là giao của P với siêu phẳng xãw = min{xãw | x ∈ P}.

Bổ đề 1.2.13 Cho F = face w (P) là một mặt của đa diện lồi P và cho

F 0 = facev(F) là một mặt của đa diện lồi F Khi đó F 0 là một mặt của P. Hơn nữa, với một > 0 đủ nhỏ, ta có

Chứng minh Giả sử rằng một tập hữu hạn X thỏa mãn P = conv(X) Cho λ = min{w ã u | u ∈ X}, X w = {u ∈ X | u ã w = λ}, λ 0 = min{vã u | u ∈ X w } và X w,v = {u ∈ X w | vãu = λ 0 } Cho là một số thực thỏa món điều kiện

Theo Bổ đề 1.2.11, ta có F = face w (P) = conv(X w) và F 0 = face v (F) conv(Xw,v) Hơn nữa, với mọi u ∈ Xw,v, ta có w ãu+vãu = λ+λ 0 Do đó, để chứng minh rằng với u ∈ X w,v và a ∈ X −X w,v, ta có w ãu+vãu < wãa+vãa là đủ.

Trường hợp 1 a ∈ Xw, ta có

= 0 +vã(u −a) < 0 Trường hợp 2 a - inX w và vã(u−a) ≤ 0, ta cú

Trường hợp 3 a 6∈ X w và vã(u −a) < 0, ta cú

Do đú ta cú (w+v)ã(u−a) < 0 với mọi u ∈ X w,v và a ∈ X −X w,v Do đó

Phức đa diện là tập hợp hữu hạn Σ của các đa diện, trong đó nếu một đa diện P thuộc Σ, thì mọi mặt của P cũng thuộc Σ Hơn nữa, nếu hai đa diện P và Q đều nằm trong Σ, thì giao của chúng P ∩ Q sẽ là rỗng hoặc là một mặt chung của cả hai đa diện P và Q.

Hình 1.3: Phức đa diện Định nghĩa 1.2.15 Cho Γlà một nhóm con của(R,+) Mộtđa diện Γ-hữu tỷ là

P = {x ∈ R n : Ax ≤ b} với A là ma trận kích thước d×n và b ∈ Γ d Một phức đa diện Σ được gọi là Γ-hữu tỷ nếu tất cả các đa diện trong Σ đều là Γ-hữu tỷ Ở đây, Γ = Γ val là nhóm giá trị của trường K Định nghĩa 1.2.16: Cho f = Σ u∈ Z n c u x u ∈ K[x 1 , , x n ], đa diện Newton của f được xác định là đa diện.

Cơ sở Gr¨ obner trong Hình học

Định giá

Trong bài viết này, chúng ta định nghĩa một trường K và ký hiệu K ∗ là tập hợp các phần tử khác không của K Một định giá trên K được mô tả bởi hàm val: K → R∪ {∞}, thỏa mãn ba tiên đề quan trọng: đầu tiên, val(a) = ∞ nếu và chỉ nếu a = 0; thứ hai, val(ab) = val(a) + val(b); và cuối cùng, val(a+b) ≥ min{val(a), val(b)} cho mọi a, b thuộc K ∗ Ảnh của ánh xạ hàm được ký hiệu là Γ val, và thường giả sử rằng nhóm Γ val chứa 1.

Xét tập tất cả trường các phần tử với định giá không âm:

Khi R val là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất m val = {c ∈ K | val(c) > 0}, thì vành thương k = R val /m val sẽ tạo thành một trường, được gọi là trường thặng dư của (K,val).

Trong bài viết này, chúng ta xem xét định giá p-adic trên trường K = Q của các số hữu tỷ Giả sử p là một số nguyên tố, ánh xạ val : Q → R được xác định bởi val p (q) = k, với q = p k a/b, trong đó a, b ∈ Z và p không chia hết a và b, thì đây là một định giá hợp lệ Các giả thiết đã cho chứng minh rõ ràng tính đúng đắn của định giá này.

+ q = 0 nếu và chỉ nếu val p (q) = ∞.

+ Với mọi q 1 , q 2 ∈ Q, ta có q 1 = p k 1 a 1 /b 1 với a 1 , b 1 ∈ Z và p -a 1 hoặc p- b 1 , q 2 = p k 2 a 2 /b 2 với a 2 , b 2 ∈ Z và p - a 2 hoặc p- b 2

Với a1, a2, b1, b2 ∈ Z, nếu p - (a1a2) và p - (b1b2) thì ta có q1q2 = pk1 + k2 (a1a2)/(b1b2) Do đó, val p (q1q2) = k1 + k2 = val p (q1) + val p (q2) Hơn nữa, q1 + q2 = (pk1a1b2 + pk2a2b1)/(b1b2) và đặt = min{k1, k2}, ta có q1 + q2 = p (pk1 - a1b2 + pk2 - a2b1)/(b1b2) Với điều kiện p - (b1b2) hoặc p - (pk1 - a1b2 + pk2 - a2b1), ta có val p (q1 + q2) ≥ min{k1, k2} = min{val p (q1), val p (q2)}.

Ví dụ, val 2 (120) = val 2 (12) +val 2 (10) = 3.

Vành địa phương R val p là vành địa phương hóa của các số nguyên Z tại một số nguyên tố p, bao gồm các phần tử là các số hữu tỷ a/b với điều kiện p không chia hết cho b Iđêan tối đại m val p chứa các số hữu tỷ a/b mà trong đó p chia hết cho a nhưng không chia hết cho b Trường thặng dư k là một trường hữu hạn với p phần tử, được ký hiệu là Z/Z p.

Ví dụ 2.1.5 Cho K là trường của chuỗi Puiseux với hệ số trong trường số phức C Các phần tử trong trường này là các chuỗi lũy thừa hình thức a(t) ∞

X i=1 a i t q i, trong đó a i là các số phức khác không với mọi i, và q 1 < q 2 < q 3 < là các số hữu tỷ có mẫu số chung Kí hiệu C{{t}} được sử dụng để đại diện cho trường của chuỗi Puiseux trên C.

Trong trường hợp này, giá trị val(a) được xác định là q1 và lc(a) bằng a1 Trường C{{t}} có một định giá tự nhiên val: C{{t}} → R, được xác định thông qua việc lấy một phần tử khác không a(t) ∈ C{{t}} ∗ với số mũ thấp nhất q1 xuất hiện trong chuỗi khai triển của a(t).

+ a 1 (t) = 0 nếu và chỉ nếu val(a 1 ) = ∞.

X i=1 c i t b i trong đó c i = P k=1,∞,j=1,∞ a 1k a 2j , a 1k +a 2j = b i ∈ Q, có mẫu số chung Do đó val(a1a2) = b1 = a11 +a21 = val(a1) +val(a2) + Với mọi a1(t), a2(t) ∈ C{{t}}, ta có a 1 (t) + a 2 (t) ∞

Do đó val(a 1 + a 2 ) =b 1 = min{a 11 , a 21 } = min{val(a 1 ),val(a 2 )}.

Mệnh đề 2.1.6 Nếu val(a) 6= val(b) thì val(a+ b) = min{val(a),val(b)}.

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng val(b) > val(a) Vì 1 2 = 1 nên val(1) = 0 và vì vậy (−1) 2 = 1 suy ra val(−1) = 0.

Theo định nghĩa, val(−b) = val(b) với mọi b ∈ K Từ tiên đề thứ ba, ta suy ra rằng val(a) ≥ min{val(a+b), val(−b)} = min{val(a+b), val(b)}, do đó val(a) ≥ val(a+b) Ngược lại, val(a+b) cũng lớn hơn hoặc bằng min{val(a), val(b)} = val(a), dẫn đến kết luận rằng val(a+b) = val(a).

Cơ sở Gr¨ obner

Định nghĩa 2.2.1 Cho K là một trường với một định giá val : K ∗ → R.

Cho f = P u∈ Z n cux u ∈ K[x] = K[x1, , xn] là một đa thức Nhiệt đới hóa của đa thức f là hàm số giá trị thực trên R n sao cho

Trop(f)(w) = min u∈ Z n :c u 6=0(val(c u ) +uãw) với mọi w ∈ R n

Giả sử ánh xạ val : K ∗ → Γ val chẻ ra với φ : Γ val → K ∗, ta có φ(w) = t w Nếu val(a) ≥ 0, thì a thuộc về vành định giá R val của K, ký hiệu ¯a là ảnh của a trong trường thặng dư k Định nghĩa 2.2.2 nêu rõ rằng dạng khởi đầu in w (f) được xác định theo công thức in w (f) = t −Trop(f )(w) f(t w 1 x 1 , , t w n x n ).

Cho I là iđêan trong K[x] Khi đó in w (I) =< in w (f) | f ∈ I > được gọi là iđêan khởi đầu của I đối với w Iđêan khởi đầu của I là iđêan của k[x].

Ví dụ 2.2.3. i) Cho f = (t+t 2 )x 0 +t 2 x 1 + 2t 4 x 2 ∈ C{{t}}[x 0 , x 1 , x 2 ] Khi đó

Nếu w = (0,0,0) thì Trop(f, w) = min{1,2,4} = 1 Vì vậy in w (f) (1 +t)x 0 = x 0

Nếu w = (4,2,0) thì Trop(f, w) = min{5,4,4} = 4 Vì vậy in w (f) x 1 + 2x 2

Nếu w = (2,1,0) thì Trop(f, w) = min{3,3,4} = 3 Vì vậy in w (f) x0 +x1. ii) Cho K = Q với định giá 2-adic, vì vậy k = Z/2Z Cho f = 3x 0 + 4x 1 + 24x 2 ∈ Q[x 0 , x 1 , x 2 ] Khi đó

Trop(f, w) = min{val 2 (3) +w0,val 2 (4) +w1,val 2 (24) +w2}

Nếu w = (0,0,0)thì Trop(f, w) = min{0,2,3} = 0 Vì vậy in w (f) = ¯3x 0 x 0 ∈ Z/2Z[x 0 , x 1 , x 2 ].

Nếu w = (2,0,0) thì Trop(f, w) = min{2,2,3} = 2 Vì vậy in w (f) ¯3x 0 +x 1 = x 0 +x 1 ∈ Z/2Z[x 0 , x 1 , x 2 ].

Nếu w = (3,1,0) thì Trop(f, w) = min{3,3,3} = 3 Vì vậy in w (f) ¯3x 0 +x 1 + 24.2 −3 x 2 = x 0 +x 1 +x 2 ∈ Z/2Z[x 0 , x 1 , x 2 ].

Nếu w = (3,1,0) + α(1,1,1), thì Trop(f, w) = min{3 + α, 3 + α, 3 + α} = 3 + α Do đó, in w (f) = ¯3x0 + x1 + 24.2 - 3x2 = x0 + x1 + x2 ∈ Z/2Z[x0, x1, x2] Cho K = Q với định giá 2-adic, do đó k = Z/2Z Với f = ax0 + bx1 + cx2 ∈ Q[x0, x1, x2], Trop(f)(w) = min{val(a) + w0, val(b) + w1, val(c) + w2} Các trường hợp sau đây được xem xét.

+ in w (f) = at −val(a) x 0 khi w ∈ S 0 = {w | val(a) + w 0 < val(b) + w 1 ;val(a) +w 0 < val(c) +w 2 }.

+ in w (f) = bt −val(b) x1 khi w ∈ S1 = {w | val(b) + w1 < val(a) + w 0 ;val(b) +w 1 < val(c) +w 2 }.

+ in w (f) = ct −val(a) x 2 khi w ∈ S 2 = {w | val(c) + w 2 < val(b) + w1;val(c) +w2 < val(a) +w0}.

+ in w (f) = at −val(a) x 0 + bt −val(b) x 1 khi w ∈ S 3 = {w | val(a) + w 0 val(b) +w 1 ;val(a) +w 0 < val(c) +w 2 }.

+ in w (f) = at −val(a) x0 + ct −val(c) x2 khi w ∈ S4 = {w | val(a) + w0 < val(b) +w 1 ;val(a) +w 0 = val(c) +w 2 }.

+ in w (f) = bt −val(b) x 1 + ct −val(c) x 2 khi w ∈ S 5 = {w | val(b) +w 1 < val(a) +w0;val(b) +w1 = val(c) +w2}. Định nghĩa 2.2.4 Tập hợpG = {g 1 , , g s } ⊆ I là một cơ sở Gr¨obner của

I đối với w nếu iđêan khởi đầu in w (I) = (in w (g 1 ), ,in w (g s )).

Mệnh đề 2.2.5 Cho f = P i∈A g i ∈ K[x 0 , , x n ] sao cho {số hạng của f} S i∈A

{số hạng của g i } Khi đó

Chứng minh Ta sử dụng minA = min{minB,minC}nếuA = B∪C vàA hữu hạn (2.1)

Ta có min{Trop(g i ) | i ∈ A} = min{min(val(c u i ) + u i ãw)}.

Do (2.1) và giả thiết { số hạng của f} = S i∈A

{ số hạng của gi} nên min{Trop(g i ) | i ∈ A} = min{val(c u ) +u ãw} = Trop(f)

Mệnh đề 2.2.6 Cho f = P i∈A gi ∈ K[x0, , xn] sao cho Trop(f) = min{Trop(g i ) | i ∈ A}, {hạng tử của g i } ∩ {hạng tử của g j }= ∅,∀i 6= j.

Khi đó in w (f) = X i:Trop(g i )(w)=Trop(f )(w) in w (g i ).

Chứng minh Ta có in w (f) = P u:val(c u )+uãw=Trop(f )(w) c u t −val(c u ) x u Đặt B {i : Trop(g i ) =Trop(f)} Do{hạng tử của g i }∩{hạng tử của g j } = ∅,∀i 6 j nên

Bổ đề 2.2.7 khẳng định rằng cho I ⊆ K[x0, , xn] là một iđêan thuần nhất và w ∈ R n cố định, thì in w (I) cũng là một iđêan thuần nhất Điều này cho phép chúng ta chọn một cơ sở Gr¨obner thuần nhất cho I Hơn nữa, nếu g thuộc in w (I) d, thì tồn tại một phần tử f trong I d sao cho g bằng in w (f).

Chứng minh Trước hết, in w (I) thuần nhất Thật vậy, xét f = P i

I ⊆ K[x 0 , , x n ] với mỗi f i thuần nhất bậc i Khi đó in w (f i ) thuần nhất.

Như vậy, {số hạng của f} = S i

Theo Mệnh đề 2.2.6, số hạng của fi trong dạng khởi đầu in w (I) là tổng các dạng khởi đầu của các fi với Trop(f)(w) và Trop(fi)(w) Mỗi thành phần fi thuần nhất tồn tại trong I, do đó, ý tưởng khởi đầu in w (I) được sinh ra từ các phần tử in w (f) với f thuần nhất Vì f là thuần nhất, nên in w (f) cũng thuần nhất, dẫn đến việc in w (I) cũng thuần nhất.

Ta thấy in w (I) được sinh bởi một số hữu hạn các in w (f), vì vậy f tương ứng tạo thành một cơ sở Gr¨obner thuần nhất đối với I.

Nếu g thuộc in w (I) d, thì g có thể biểu diễn dưới dạng in w (f) với một số f thuộc I d Cụ thể, cho g = P u a u x u in w (f u), trong đó f u thuộc I cho mọi u Đặt f u = P v c uv x v, từ đó suy ra x α f u = P v c uv x α+v cho mọi α Do đó, in w (f u) có thể được biểu diễn như sau: in w (f u) = X v:val(c uv )+vãw=Trop(f )(w) c uv t −val(c uv ) x v.

Suy ra x α in w (fu) = X v:val(c uv )+vãw=Trop(f )(w) cuvt −val(c uv ) x α+v

Ta có in w (x α f u ) = X α+v:val(c uv )+(α+v)ãw=Trop(x α f )(w) c uv t −val(c uv ) x α+v

Trop(x α f)(w) = min α+v∈ Z n ,c uv 6=0(val(c uv ) + (α +v)ãw)

= min α+v∈ Z n ,c uv 6=0(val(c uv ) +α ãw +vãw)

Mà Trop(x α f)(w) = val(cuv) + (α + v)ãw nờn val(cuv) + (α + v)ãw αãw + Trop(f)(w) Suy ra val(cuv) + vãw = Trop(f)(w) Do đó, α in w (fu) in w (x α fu) Từ g = Puau in w (fu) suy ra g = Pua in w (xu fu) Với mỗi au, chọn cu ∈ R với val(cu) = 0 và c¯u = au, đặt Wu = Trop(fu)(w) + wãu Cho f = Pu cu t − Wu xu fu Khi đó Trop(f)(w) = 0.

Trop(f)(w) = min{Trop(c u t −W u x u f u )(w) | ∀u ∈ Z n } Đặt fu = P v bvx v ,∀v ∈ Z n Ta có

(val(c u ) +val(t −W u ) +val(b v ) +uãw +vãw)

Do đó, Trop(f)(w) = 0 Theo Mệnh đề 2.2.6 thì in w (f) = X u:Trop(g u )(w)=Trop(f )(w) in w (g u ) trong đó g u = c u t −W u x u f u = P v c u t −W u x u b v x v = P v c u t −W u b v x u+v Ta có in w (g u ) = X v:val(c u t −Wu b v )+(u+v)ãw=Trop(g u )(w) c u t −W u b v t −val(c u t −W u b v ) x u+v

= X v:−W u +val(b v )+uãw+vãw=0 cut −W u bvt W u −val(b v ) x u+v

Do đó in w (f) = X u:Trop(g u )(w)=Trop(f)(w) cu x u in w (fu)

Bổ đề 2.2.8 Cố định f ∈ K[x 0 , , x n ], w ∈ Γ n+1 val và v ∈ Q n+1 Khi đó tồn tại ≥ 0 sao cho với mọi 0 ∈ Γ với 0 < 0 < , ta có in v (in w (f)) = in w+ 0 v (f).

Chứng minh rằng cho đa thức f = P u∈Z n c u x u ∈ K[x], ta có in w (f) = X u:val(c u ) + uãw = W c u ãt − val(c u ) ãx u ∈ k[x] Trong đó, W = Trop(f)(w) và W 0 = Trop(in w (f))(v) = min{u ãv : u : val(c u ) + uãw = W} Do đó, ta có in v (in w (f)) = X u:val(c u ) + uãw = W và uãv = W 0 c u ãt − val(c u ) ãx u ∈ k[x].

Cho X = {(val(c u ),u) | x u là một hạng tử của f}, P = conv(X), F face (1,w) (P) và F 0 = face (0,v) (F) Từ Bổ đề 1.2.13, với mọi > 0 đủ nhỏ, ta có

Mặt khác, với mọi > 0 đủ nhỏ, ta có

Trop(f)(w+v) = min{val(cu) +uãw+ uãv : cu 6= 0} = W +W 0

{u : val(c u )+uãw = W,uãv = W 0 }= {u : val(c u )+uã(w+v) = W+W 0 }. Khi đó in v (in w (f)) = X u:val(c u )+uãw=W và uãv=W 0 c u ãt −val(c u ) ãx u

= X u:val(c u )+uã(w+v)=Trop(f )(w+v) cuãt −val(c u ) ãx u

Bổ đề 2.2.9 Cho I là iđêan thuần nhất trong K[x 0 , , x n ] và cố định w ∈ Γ n+1 val Khi đó với mọi v ∈ Q n+1 , tồn tại > 0 sao cho với mọi 0 < ta có in v (in w (I)) ⊆ in w+ 0 v (I).

Chứng minh rằng cho in v (in w (I)) =< g i | i = 1, , s >, theo Bổ đề 2.2.7, tồn tại f i 0 ∈ in v (I) sao cho g i = in v (f i 0 ) Tiếp tục áp dụng Bổ đề 2.2.7, có f i ∈ I sao cho f i 0 = in w (f i ) Do đó, ta có g i = in v (in w (f i )) Từ Bổ đề 2.2.8, tồn tại i sao cho g i = in v (in w (f i )) = in w+v (f i ) với mọi < i Chọn = min{ i | i = 0, , n} Lấy x ∈ in v (in w (I)), khi đó x s.

Do đó x ∈ in w+ 0 v (I) Khi đó ta có in v (in w (I)) ⊆ in w+ 0 v (I) với mọi 0 Theo Bổ đề 2.2.7, tồn tại f i ∈ I sao cho x u i = in w (f i ) Do đó, in v (x u i ) = in v (in w (f i )) Dựa vào Bổ đề 2.2.8, có ít nhất một i sao cho in v (x u i ) = in v (in w (f i )) = in w+v (f i) với mọi i Khi chọn i nhỏ nhất trong tập { i | i = 1, , n}, ta có in w (I) ⊆ in w+v (I).

Kí hiệu M là iđêan sinh bởi các đơn thức trong in w+v (I) Khi đó với mọi d, ta có in w (I) d ⊆ M d và vì vậy dim k in w (I) d ≤ dim k M d ≤dim k I d theo

Bổ đề 2.2.10 Từ Bổ đề 2.2.11 ta có M d = in w (I) d , với mọi d.

Bổ đề 2.2.13 Cho w ∈ Q n+1 sao cho in w (I) là một iđêan sinh bởi tất cả các đơn thức Giả sử rằng v ∈ Q n+1 Khi đó với mọi đủ nhỏ, ta có in w (I) = in w+v (I).

Chứng minh Từ Bổ đề 2.2.12, với mọi đủ nhỏ, ta có inw(I) = M , trong đó M là iđêan sinh bởi các đơn thức trong in w+v (I).

Phức Gr¨ obner

Định nghĩa 2.3.1 Cho I là iđêan của K[x] Khi đó

C w (I) := C I [w] = {w 0 | in w 0 (I) =in w (I)} được gọi là một nón Gr¨obner của I.

Ví dụ 2.3.2 Chof = 3x+8y+6z ∈ Q[x, y, z]trong đóQcó định giá3-adic và cho I = hfi Cố định w = (1,1,1) Khi đó Trop(f)(w) = min(2,1,2) 1, vì vậy in w (f) = 1/3(9x+ 24y+ 18z) = 2y ∈ Z/3Z[x, y, z] Khi đó

Miền C I [w] được định nghĩa là tập hợp các điểm w 0 ∈ R 3 thỏa mãn điều kiện w 1 0 + 1 ≥ w 0 2 và w 0 3 + 1 ≥ w 0 2 Nếu w 0 thuộc C I [w], thì mọi điểm w 0 + λ(1,1,1) với λ ∈ R cũng thuộc miền này Hình 2.1 bên trái minh họa miền C I [w] với các lớp trong R 3/R(1,1,1) có hệ số không cuối cùng Bên phải của Hình 2.1 thể hiện các ý tưởng khởi đầu của I và các miền tương ứng C I [w].

Nếu I là iđêan thuần nhất trong K[x₀, , xₙ], thì in w+λ₁(I) = in w(I) với λ ∈ R bất kỳ Tập hợp C_I[w] là một đa diện Γ-hữu tỷ, và không gian tuyến tính của nó chứa đường thẳng R¹ Nếu in w(I) không phải là iđêan đơn thức, thì tồn tại w₀ ∈ Γⁿ⁺¹ sao cho in w₀(I) là một iđêan đơn thức, đồng thời C_I[w] là một mặt của đa diện C_I[w₀].

Theo Định lý 2.2.14, tồn tại một số v ∈ Q n sao cho in v (in w (I)) là một iđêan đơn thức và in w+v (I) = in v (in w (I)) với > 0 đủ nhỏ Giả sử w 0 = w + v Khi đó, in w 0 (I) = (x u 1 , ,x u s ) là một đơn thức Dựa vào Bổ đề 2.2.11, các đơn thức x a không nằm trong in w 0 (I) sẽ tạo thành một tập hợp.

K-cơ sở của S K /I Do đó, x u i = P x a 6∈in w 0 (I) c ia x a + g i với một số g i ∈ I.

Do vậy, gi = x u i − P x a 6∈in w 0 (I) ciax a Khi in w 0 (gi) ∈ in w 0 (I) và in w 0 (I) là đơn thức, mọi hạng tử của in w 0 (g i) nằm trong in w 0 (I) Bằng cách xây dựng gi, ta có in w 0 (gi) = x u i Tương tự, in v (in w (gi)) = x u i Do đó, tập hợp {g 1, g 2, , g s} tạo thành cơ sở Gr¨obner đối với I theo w 0 Để chứng minh Định lý 2.3.4, cần thiết phải có các Bổ đề sau.

C I (w 0 ) = {z |zãu i ≤val(c ia )+zãa và x a là một hạng tử của g i , i= 1, , s}

Giả sử w 0 ∈ C I (w 0 ) nhưng không thỏa mãn bất đẳng thức zãu i ≤ val(c ia ) +zãa Khi đó, ta có w 0 ãu i > val(c ia ) +w 0 ãa, dẫn đến in w 0 (gi) 6= x u i Với in w 0 (gi) ∈ in w 0 (I) và in w 0 (I) là đơn thức, mỗi số hạng của in w 0 (g i ) nằm trong in w 0 (I), điều này mâu thuẫn với việc xây dựng của g i Do đó, ta kết luận rằng C I (w 0 ) ⊆ {z | zãu i ≤ val(c ia ) +zãa và x a là một số hạng của gi, i = 1, , s}.

Giả sử w 0 ãu i < val(c ia ) + w 0 ãa với mọi i, ta có in w 0 (g i ) = x u i với mọi i, dẫn đến in w 0 (g i ) = in w 0 (g i ) ∈ in w 0 (I) cho mọi i Do đó, in w 0 (I) ⊆ in w 0 (I) Theo Hệ quả 2.2.15, hai iđêan có cùng hàm Hilbert, nên chúng bằng nhau, từ đó kết luận rằng w 0 ∈ C I [w 0 ].

Chú ý rằng các đa thức {in w (g 1 ),in w (g 2 ), ,in w (g s )} tạo thành cơ sở Gr¨obner của in w (I) đối với v Khi đó ta có Bổ đề sau

Bổ đề 2.3.6 Nếu w0 ∈ CI[w] thì ta có in w 0 (g i ) = in w (g i ), với mọi i = 1, , s.

Chứng minh rằng nếu w0 ∈ CI[w], thì in w0(I) = in w(I) Nếu in w0(gi) < in w(gi), thì in w0(gi) - in w(gi) ∈ in w(I), dẫn đến in v(in w0(gi) - in w(gi)) ∈ in v(in w(I)) Bởi vì in v(in w(I)) = in w0(I) là đơn thức, mọi hạng tử in v(in w0(gi) - in w(gi)) nằm trong in w0(I) Qua việc xây dựng gi, ta có in v(in w0(gi) - in w(gi)) = xu i Do đó, xu i không phải là số hạng của in w0(gi) hoặc in w(gi) Từ in v(in w)(gi) = xu i, ta suy ra xu i là số hạng của in w(gi), nên xu i không phải là số hạng của in w0(gi) Như vậy, mọi số hạng của in w0(gi) không nằm trong in w0(I) Do in w0(I) là đơn thức và in w0(gi) ∈ in w0(I), điều này dẫn đến mâu thuẫn vì mọi hạng tử in w0(gi) ∈ in w0(I) = in w0(I) (vô lý) Kết luận, in w0(gi) = in w(gi) với mọi i = 1, , s.

Bổ đề 2.3.7 Nếu in w 0 (g i ) = in w (g i ) với mọi i = 1, , s thì w 0 ∈ C I [w].

Chứng minh rằng từ các đa thức {in w (g 1 ), in w (g 2 ), , in w (g s )} tạo thành cơ sở Gr¨obner của in w (I) đối với v Điều này dẫn đến in w (I) = (in w (g i ), in w (g 2 ), , in w (g s )) với I là thuần nhất Do đó, in w (I) ⊆ in w 0 (I) Theo Hệ quả 2.2.15, hai iđêan có cùng hàm Hilbert, từ đó suy ra chúng bằng nhau, và ta kết luận rằng w0 ∈ CI[w].

Bổ đề 2.3.8 C I [w] là một mặt của C I [w 0 ].

Chứng minh rằng tập F gồm các điểm z thỏa mãn điều kiện zãu i = val(c ia) + zãa với mọi i và các số hạng x a của in w (gi), đồng thời z ãui < val(cia) + z ãa với mọi i và các số hạng x a của g i, nhưng không thuộc số hạng của in w (g i) Do đó, F sẽ trở thành một mặt của C I [w 0].

Từ Bổ đề 2.3.6, Bổ đề 2.3.7 và cách xây dựng gi thì CI[w] = F.

Cuối cùng, với bất kỳ đa thức thuần nhất f ∈ K[x 0 , , x n ], ta có in w (f) = in w+λ1 (f) với mọi λ ∈ Γ val Từ các ý tưởng khởi đầu của I sinh bởi các đa thức thuần nhất và theo Bổ đề 2.2.7, suy ra in w (I) = in w+λ1 (I) với mọi λ ∈ Γ val Do đó, không gian tuyến tính của các đa diện C I [w] chứa đường thẳng R1.

Mọi đa diện trong R n+1 có thể được biểu diễn dưới dạng P = {x ∈ R n+1 : Ax ≤ b}, với A là ma trận d×(n+1) và b ∈ R d P được gọi là Γ val-hữu tỷ nếu các phần tử của A là hữu tỷ và b thuộc Γ d val, điều này đảm bảo rằng tất cả các mặt pháp tuyến của P là các véc tơ trong Q n+1, và mọi đỉnh của P là các phần tử của Γ n+1 Một phức đa diện Σ được coi là Γ val-hữu tỷ nếu tất cả các đa diện trong Σ đều thỏa mãn tính chất này Theo Định lý 2.3.9, với một lý thuyết thuần nhất I ⊆ K[x 0 , , x n ], tập hợp {C I [w] : w ∈ Γ n+1 val} tạo thành một phức đa diện hữu hạn Γ val-hữu tỷ trong không gian n chiều R n+1 /R1.

Chứng minh Từ Định lý 2.3.4, ta suy ra điều phải chứng minh.

Phức Gr¨obner, được xác định bởi Định lý 2.3.9, là một phức đa diện phức tạp Trong trường hợp này, trường thặng dư k là trường con của K, và I được định nghĩa trên k, với I ⊆ C[x₀, , xₙ] và K = C{{t}} Phức Gr¨obner được biểu diễn dưới dạng quạt đa diện hữu tỷ, còn được gọi là quạt Gr¨obner Các nghiên cứu liên quan đến chủ đề này có thể được tìm thấy trong tài liệu về Gr¨obner thông thường; xem [15], [6], [3, Chương 2] hoặc [10, Chương 2].

Không gian tuyến tính của phức đa diện Σ được xác định là không gian con L lớn nhất, trong đó nếu u thuộc σ (với σ thuộc Σ bất kỳ) và l thuộc L, thì tổng u+l cũng thuộc σ Dựa vào Chú ý 2.3.3, ta có thể kết luận rằng R1 chính là không gian tuyến tính của phức Gr¨obner.

Ví dụ 2.3.10 Cho I = hy 2 z −x 3 − x 2 z −p 4 z 3 i ⊆ Q[x, y, z], trong đó Q có định giá p-adic với số nguyên tố p Với f = y 2 z−x 3 −x 2 z−p 4 z 3 , ta có Trop(f) = min(2y + z,3x,2x + z,3z + 4) Phức Gr¨obner được minh họa trong Hình 2.2.

Việc xây dựng phức Gr¨obner và quỹ tích tuyến tính của một hàm nhiệt đới cho thấy rằng phức đa diện là phân chia chính quy Khái niệm này được phát triển từ những nghiên cứu của Gelfand, Kapranov và Zelevinsky.

7], ở đây, phân chia chặt; xem thêm [12, Chương 5].

Bổ đề 2.3.12 Cho I là iđêan thuần nhất trong S = K[x 0 , , x n ] Có hữu hạn các iđêan đơn thức khởi đầu khác nhau inw(I) như w chạy trên Γ n+1 val

Giả sử I có vô hạn các iđêan đơn thức khởi đầu, ta định nghĩa Σ0 là tập hợp tất cả các iđêan này Vì Σ0 là vô hạn, I không thể là iđêan không, do đó có thể chọn một phần tử f1 thuộc I Phần tử f1 chỉ có hữu hạn số hạng, và mỗi iđêan đơn thức khởi đầu M trong Σ0 đều chứa một số hạng của f1, dẫn đến việc tồn tại một số hạng m1 của f1 nằm trong vô hạn các iđêan thuộc Σ0 Tiếp theo, ta định nghĩa Σ1 = {M ∈ Σ0 | m1 ∈ M} và J1 = (m1) Do có vô hạn các iđêan đơn thức khởi đầu chứa J1, nên tồn tại một số iđêan khởi đầu thực sự chứa J1.