Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác suất
Giải tích tổ hợp
Đối tượng A có thể được chọn theo hai trường hợp: trường hợp thứ nhất có n1 cách chọn và trường hợp thứ hai có n2 cách chọn Tổng số cách chọn A được tính bằng công thức: Alà = n1 + n2.
Trong một ngày, thành phố A cung cấp 10 chuyến xe, 5 chuyến tàu và 3 chuyến bay cho hành trình di chuyển đến thành phố B, tạo ra tổng cộng 18 phương án di chuyển cho người dân.
Nếu đối tượng A có thể được chọn bằngn 1 cách, và với mỗi cách chọnA ta có n 2 cách chọn đối tượngB Khi đó số cách chọnAvàBlà:n=n 1 n 2
Ví dụ 1.1.2 Đi từ AđếnBcó thể đi theo 3 lộ trình, ứng với mỗi lộ trình đi từAđến Bsẽ có
2 cách đi từBđếnC Như vậy có tất cả3.2=6lộ trình đi từAđếnC.
Một bé có thể mang họ cha là Trần hoặc họ mẹ là Nguyễn Tên đệm có thể là Anh hoặc Minh, và tên chính có thể là Nhân, Đức, hoặc Trí Vậy có tổng cộng bao nhiêu cách đặt tên cho bé?
Bài giải Có 2 cách chọn họ, 2 cách chọn tên đệm, và 3 cách đặt tên nên có:2.2.3 cách đặt tên cho bé.
Nếu liệt kê ra, sẽ được các tên sau:
Trần Anh Nhân, Trần Anh Đức, Trần Anh Trí.
Trần Minh Nhân, Trần Minh Đức, Trần Minh Trí.
Nguyễn Anh Nhân, Nguyễn Anh Đức, Nguyễn Anh Trí.
Nguyễn Minh Nhân, Nguyễn Minh Đức, Nguyễn Minh Trí.
Mỗi bộ kphần tử có kể đến thứ tự, được lấy không lặp từ tậpnphần tử (16k6n) gọi là mộtchỉnh hợp chậpkcủanphần tửđã cho.
Kí hiệu số các chỉnh hợp chập kcủanphần tử là A k n , ta có:
Mỗi bộkphần tử (ktuỳ ý) có kể đến thứ tự, được lấy lặp từ tậpnphần tử gọi là mộtchỉnh hợp lặp chậpkcủanphần tửđã cho.
Kí hiệu số chỉnh hợp lặp chập kcủa nphần tử là F n k , ta có:
Ví dụ 1.1.4 Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên: a Có 3 chữ số. b Có 6 chữ số. c Có 3 chữ số đôi một khác nhau.
Số tự nhiên có 3 chữ số được tạo ra từ 5 chữ số cho trước chính là một chỉnh hợp lặp chập 3 của 5 phần tử Vì vậy, số lượng các số tự nhiên có ba chữ số bằng với số lượng các chỉnh hợp lặp tương ứng.
Số tự nhiên có 6 chữ số được tạo ra từ 5 chữ số cho trước (chẳng hạn như 112345) chính là một chỉnh hợp lặp chập 6 của 5 phần tử Do đó, tổng số các số tự nhiên có 6 chữ số sẽ tương đương với số lượng các chỉnh hợp lặp.
Số lượng các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau từ 5 phần tử là một chỉnh hợp (không lặp) chập 3 Do đó, F(5, 6) = 5! / (5 - 3)! = 5 × 4 × 3 = 60, cho thấy số các số này đúng bằng số các chỉnh hợp.
Chú ý 1.1.1 Trong khái niệm chỉnh hợp (không lặp) thì (16k6 n), còn trong khái niệm chỉnh hợp lặp thìklà một số tự nhiên tuỳ ý, có thể lớn hơnn.
Hoán vị củanphần tử là một cách sắp xếp có thứ tựnphần tử đó Như vậy mỗi hoán vị củanphần tử chính là một chỉnh hợp chậpncủanphần tử đó.
Kí hiệu số hoán vị củanphần tử là Pn, VìPn=A n n nên ta có:
Mỗi bộ k phần tử (16k6n) không kể đến thứ tự, được lấy bằng phép lấy không lặp từ tậpnphần tử gọi là mộttổ hợp chậpkcủa nphần tửđã cho.
Kí hiệu số các tổ hợp chậpk củanphần tử làC n k , vìk phần tử lấy ra khác nhau và không kể đến thứ tự nên:
Ví dụ 1.1.5 Có bao nhiêu cách chọn ra 4 quân bài trong đó có 2 quân K từ bộ 52 quân bài.
Bài giải: CóC 4 2 cách chọn 2 quân K từ bộ 4 quân K, cóC 48 2 cách chọn hai quân bài không là
K từ 48 quân còn lại Vậy số cách chọn 4 quân bài có 2 quân K là:
C n k a k b n−k (1.1.5) Để hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm trên, ta xét tiếp ví dụ sau đây.
Ví dụ 1.1.6 Cho tập hợp gồm ba phần tử{a,b,c}, khi đó: a Nếu chọn ra các bộ gồm 2 phần tử có thứ tự ta đượcA 2 3 =3.2=6chỉnh hợp là:
{a,b},{b,a},{a,c},{c,a},{b,c},{c,b} b Nếu chọn các bộ gồm hai phần tử có thứ tự và các phần tử có thể lấy lặp ta được
{a,b},{b,a},{a,c},{c,a},{b,c},{c,b},{a,a},{b,b},{c,c} c Số hoán vị thu được gồm3!=6hoán vị là:
{a,b,c},{a,c,b},{b,a,c},{b,c,a},{c,a,b},{c,b,a} d Nếu chọn ra các bộ hai phần tử không kể thứ tự ta đượcC 3 2 =3tổ hợp là:
Một đoàn tàu gồm 3 toa chở khách: I, II, III, với 4 hành khách đang chờ lên tàu, mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống Câu hỏi đặt ra là: a Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên đoàn tàu? b Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên tàu sao cho có 1 toa chứa 3 trong số 4 hành khách đó?
Bài giải: a Người khách thứ nhất có 3 cách chọn Tương tự người khách thứ hai, thứ ba, thứ tư cũng có 3 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân sẽ có: 3.3.3.3cách. b Cách 1: Giả sử toa I chứa 3 khách, khi đó số cách chọn 3 khách vào toa I là C 4 3 =4 cách.
Còn lại 1 người sẽ có 2 cách chọn Trong trường hợp này có:4.2=8cách.
Có đến 3 trường hợp như vậy nên số cách xếp 4 hành khách lên tàu mà một toa có 3 khách là:3.8$(cách).
Khách lên tàu được chia thành hai nhóm: một nhóm gồm 3 người và một nhóm gồm 1 người, với 4 cách lựa chọn cho việc chia nhóm Sau đó, hai nhóm này được xếp vào 3 toa tàu, tạo ra tổng số cách xếp là 6.
Trong bài toán này, chúng ta xem xét việc xếp ngẫu nhiên 10 người thành một hàng ngang, với các yêu cầu cụ thể về vị trí của hai người A và B Đầu tiên, để A và B đứng cạnh nhau, chúng ta có thể coi họ như một đơn vị, từ đó tính số cách xếp còn lại Tiếp theo, để A và B không đứng cạnh nhau, chúng ta sẽ lấy tổng số cách xếp và trừ đi số cách mà A và B đứng cạnh nhau Đối với trường hợp A và B đứng cách nhau 1 người, chúng ta cần xác định vị trí của người đứng giữa Cuối cùng, để A và B đứng cách nhau 5 người, chúng ta sẽ xem xét các vị trí có thể của A và B trong hàng.
Khi A và B đứng cạnh nhau, chúng ta có thể coi A và B như một vị trí, dẫn đến tổng số cách sắp xếp 9 vị trí là 9! Tuy nhiên, do A và B có thể hoán đổi vị trí cho nhau, tổng số cách sắp xếp sẽ là 2 x 9! = 5760 cách Ngược lại, để tính số cách xếp 10 người sao cho A và B không đứng cạnh nhau, ta lấy tổng số cách xếp ngẫu nhiên 10 người là 10! trừ đi số cách xếp A và B đứng cạnh nhau.
Số cách để xếp 1 người vào giữa A và B là 8, với A, B và người ở giữa được xem như một vị trí, dẫn đến số cách sắp xếp 8 vị trí là P(8) = 8! Vì A và B có thể hoán đổi vị trí, tổng số cách là 2 * 8 * 8! = 5120 cách Đối với việc chọn 5 từ 8 người để xếp vào giữa A và B, ta có A(5, 8).
A, B và 5 người được xếp vào giữa A và B như là một vị trí Bài toán trở thành sắp xếp 4 vị trí vào 4 chổ sẽ là:P 4 =4! Vậy có tất cả:2.A 5 8 4!22560cách.
(Hoặc có thể lý luận: Số cách để xếp 5 người vào giữa A và B làC 8 5 Lúc này ta xem A, B và
5 người được xếp vào giữa A và B như là một vị trí Lúc này số cách xếp 4 vị trí sẽ là:P 4 =4!.
Số cách xếp 5 người vào giữa A và B là P(5) = 5! cách Đồng thời, A và B có thể hoán đổi vị trí, do đó có 2 cách Theo quy tắc nhân, tổng số cách sắp xếp là 2 * C(8, 5) * 5! * 4! = 22,560 cách.
Trong một hộp thuốc có 8 viên vitamin A, 5 viên vitamin B và 3 viên vitamin C, có thể chọn 4 viên vitamin theo nhiều cách khác nhau Để chọn 4 viên vitamin với đúng 2 viên vitamin A, ta cần tính toán số cách chọn các viên vitamin còn lại Nếu yêu cầu là chọn 2 viên vitamin A, 1 viên vitamin B và 1 viên vitamin C, ta cũng sẽ có một công thức tính cụ thể Cuối cùng, nếu số viên vitamin A bằng số viên vitamin B, ta sẽ tìm ra số cách chọn sao cho số lượng hai loại vitamin này bằng nhau.
Bài giải: a Chọn 2 viên vitamin trong 8 viên vitamin là tổ hợp chập hai của 8, nên cóC 8 2 cách.
Có tổng cộng 8 viên vitamin B và C, và chúng ta có thể chọn 2 viên từ số vitamin này theo cách: C(8, 2) Theo quy tắc nhân, số cách chọn sẽ là C(8, 2) x C(8, 2) x 4 cách Bên cạnh đó, số cách chọn 4 viên vitamin bao gồm 2 viên vitamin A, 1 viên vitamin B và 1 viên vitamin C là một yếu tố quan trọng trong bài toán này.
C 8 2 C 5 1 C 3 1 B0 (cách) c CóC 8 2 C 5 2 cách chọn 2 viên vitaminA và 2 viên vitaminB.
CóC 8 1 C 5 1 C 3 2 cách chọn 1 viên vitaminA, 1 viên vitaminB, và 2 viên vitaminC.
Biển số xe gắn máy tại một thành phố được cấu thành từ hai chữ cái và bốn chữ số Các chữ cái được chọn từ 26 chữ cái A-Z, trong khi các chữ số được chọn từ 0-9 Để tính số lượng biển số có ít nhất một chữ cái khác chữ cái A và các chữ số đôi một khác nhau, ta cần xem xét các lựa chọn cho chữ cái và chữ số Đối với số lượng biển số có hai chữ cái khác nhau và đúng hai chữ số lẻ giống nhau, ta cũng cần phân tích các trường hợp phù hợp với yêu cầu.
Bài giải: a Chọn chữ cái thứ nhất có 26 cách.
Chọn chữ cái thứ hai có 26 cách (Vì hai chữ cái có thể giống nhau).
Số cách chọn 1 cặp chữ cái bất kỳ là:26.26g6.
Do đó số cách chọn hai chữ cái có ít nhất 1 chữ cái khác A là:676−1g5cách.
Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên
1.2.1 Khái niệm phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiên là một khái niệm cơ bản trong thống kê, không có định nghĩa chính xác Nó được mô tả là việc thực hiện một nhóm điều kiện xác định, có thể lặp lại nhiều lần, như trong thí nghiệm hoặc quan sát hiện tượng Kết quả của phép thử này không thể đoán định trước, và thường được ký hiệu bằng chữ T, gọi tắt là phép thử.
1 Ghi sản lượng hàng ngày của một nhà máy chế tạo.
2 Ghi tỷ giá hối đoái giữa đô la Mỹ và đồng bảng Anh.
3 Phỏng vấn một người tiêu dùng để xác định sự ưa thích sản phẩm trong số một nhóm gồm mười loại xe hơi.
4 Kiểm tra một bóng đèn để xác định xem liệu nó là một sản phẩm có khuyết tật hay chấp nhận được.
5 Tung một đồng xu và quan sát mặt xuất hiện
Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả khả thi của một phép thử, được ký hiệu là Ω.
Một phép thử có thể có nhiều hơn một không gian mẫu, tùy theo người quan sát quan tâm đến dạng kết quả nào của phép thử đó.
•Biến cố ngẫu nhiên: Một kết quả của phép thử được gọi là mộtbiến cố ngẫu nhiên (về sau gọi tắt là biến cố).
Như vậy một biến cố là một tập con của không gian mẫu Biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử.
Ta thường dùng các chữ cái:A,B,C, để ký hiệu biến cố.
Biến cố sơ cấp trong phép thử là những kết quả có thể xảy ra, bao gồm cả kết quả đơn giản và phức hợp Ví dụ, khi quay xổ số và chỉ chú ý đến hai số cuối, các số từ 00 đến 99 sẽ là những kết quả đơn giản nhất Ngược lại, các kết quả phức hợp như số chẵn, số lẻ, đầu 6, hay đuôi 8 lại bao gồm nhiều kết quả đơn giản khác nhau.
Kết quả đơn giản nhất được gọi làbiến cố sơ cấp(hay còn gọi là biến cố đơn).
Ta thường ký hiệu các biến cố sơ cấp là:ω1,ω2,
Không gian các biến cố sơ cấp của một phép thử là tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp, được ký hiệu là Ω = {ω1; ω2; }.
Một biến cố sơ cấp được định nghĩa là một phần tử trong không gian mẫu (ω ∈ Ω), trong khi một biến cố ngẫu nhiên là một tập hợp con của không gian mẫu (A ⊂ Ω) Biến cố ngẫu nhiên hoạt động như một tập hợp chứa các biến cố sơ cấp Nếu biến cố A chỉ có một phần tử, nó sẽ được coi là một biến cố sơ cấp Do đó, các biến cố sơ cấp có thể được ký hiệu bằng các chữ cái như A, B, C.
Trong một không gian mẫu được hình dung như một mặt phẳng, mỗi đường thẳng đại diện cho một biến cố ngẫu nhiên, trong khi mỗi điểm trên mặt phẳng đó biểu thị cho một biến cố sơ cấp.
Khi gieo một con xúc xắc, chúng ta thực hiện một phép thử để xác định kết quả của mặt chấm xuất hiện Trong trường hợp này, không gian mẫu được xác định là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, với các mặt chấm từ 1 đến 6.
Biến cố sơ cấp bao gồm các kết quả như 5, 6 chấm Tập hợp A = {2, 4, 6} biểu thị biến cố "xuất hiện mặt chẵn", xảy ra khi xuất hiện một trong các mặt 2, 4 hoặc 6 Tương tự, tập hợp B = {1, 3, 5} đại diện cho biến cố "xuất hiện mặt lẻ" Biến cố C, với C = ∅, thể hiện tình huống "số chấm xuất hiện nhiều hơn 7" và không xảy ra trong bất kỳ lần gieo nào Ngược lại, biến cố D, với D = Ω, là "số chấm xuất hiện nhỏ hơn 7" và luôn xảy ra trong mọi lần thực hiện phép thử.
•Biến cố tất yếu:là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử Như vậy, không gian mẫuΩ là biến cố tất yếu.
•Biến cố bất khả:là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử Như vậy, tập /0là biến cố bất khả.
Khảo sát ngẫu nhiên một sinh viên Khoa QTKD để thu thập thông tin được coi là một phép thử Kết quả quan tâm là tỉnh của sinh viên, do đó không gian mẫu được xác định là Ω={Quảng}.
Nam, Đà Nẵng, Quảng Bình, }, mỗi tỉnh là một biến cố sơ cấp Nếu kết quả ta quan tâm là
Trong lĩnh vực thống kê, khi xét một sinh viên (SV) học ngành nào, không gian mẫu được xác định là Ω={QTH, QTM, QNH, }, với mỗi ngành học tương ứng là một biến cố sơ cấp Tuy nhiên, nếu chúng ta quan tâm đến việc SV đó học lớp nào, các kết quả như QTKD, QTMKT, NH, không còn là biến cố sơ cấp mà là các biến cố tổng quát hơn Tương tự, sự biến động giá cả trên thị trường có thể được xem như một phép thử, trong khi sự kiện xảy ra lạm phát lại là một biến cố Diễn biến của một cơn bão ngoài Biển Đông cũng là một phép thử, nhưng sự kiện cơn bão vào Việt Nam lại được coi là một biến cố quan trọng.
Không phải tất cả các phép thử đều được thực hiện một cách chủ động Một số biến cố có thể được phát hiện thông qua việc thực hiện phép thử, trong khi những biến cố khác chỉ có thể được quan sát từ các hiện tượng tự nhiên hoặc xã hội.
1.2.2 Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố
Khi giải quyết các bài toán trong lý thuyết xác suất, việc diễn tả một biến cố phức tạp thông qua các biến cố đơn giản hơn là rất cần thiết Để thực hiện điều này, chúng ta cần nghiên cứu mối quan hệ giữa các biến cố thông qua các phép toán giữa chúng.
• Phép nhân: Tích của hai biến cốAvàBlà một biến cố xảy ra khi và chỉ khi đồng thời xảy ra cảAvàB, kí hiệuA.B(hoặcA∩B) Có nghĩa:
Công ty địa ốc Phú Hưng đã đầu tư vào hai lĩnh vực có rủi ro cao: nhà chung cư cho người thu nhập thấp và căn hộ cao cấp Biến cố A đại diện cho dự án nhà chung cư thu hồi vốn trong 3 năm, trong khi biến cố B đại diện cho dự án căn hộ cao cấp Khi cả hai dự án thu hồi vốn sau 3 năm, chúng ta gọi đó là biến cố A.B.
• Phép trừ: Hiệu của hai biến cố AvàBlà một biến cố xảy ra khi và chỉ khiAxảy ra nhưng
Bkhông xảy ra, kí hiệu làA\B Có nghĩa:
Trong ví dụ 1.2.5, biến cố A\B đề cập đến việc dự án nhà chung cư dành cho người có thu nhập thấp có khả năng thu hồi vốn sau 3 năm, trong khi các căn hộ cao cấp không đạt được mục tiêu thu hồi vốn trong cùng khoảng thời gian này.
Anh/chị hãy cho biếtB\Alà biến cố gì?
Phép cộng trong lý thuyết xác suất được định nghĩa là tổng của hai biến cố A và B, xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra Ký hiệu cho phép cộng này là A + B (hoặc A ∪ B).
Ví dụ 1.2.6 Trong ví dụ 1.2.4,A+Blà biến cố có ít nhất một dự án thu hồi vốn trong 3 năm.
Các định nghĩa về xác suất
Xác suất (probability) là khái niệm thường gặp trong cuộc sống hàng ngày, nhưng ít ai hiểu rõ về định nghĩa và cách xác định của nó Xác suất đo lường khả năng xảy ra của một biến cố trong một phép thử, mặc dù kết quả cụ thể không thể dự đoán trước Giá trị của xác suất nằm trong khoảng từ 0 đến 1, trong đó xác suất bằng 0 biểu thị cho biến cố không bao giờ xảy ra, còn xác suất bằng 1 cho biết biến cố chắc chắn sẽ xảy ra.
Khi thực hiện một phép thử, số biến cố sơ cấp có thể là hữu hạn hoặc vô hạn, và chúng có thể xảy ra với xác suất đồng nhất hoặc không đồng nhất Từ thực tế này, ta có ba định nghĩa về xác suất.
+)Định nghĩa cổ điển về xác suấtsử dụng trong trường hợp các biến cố sơ cấp đồng khả năng và hữu hạn.
+)Định nghĩa xác suất bằng hình họcsử dụng trong trường hợp các biến cố sơ cấp đồng khả năng và vô hạn.
+)Định nghĩa xác suất bằng thống kêsử dụng trong trường hợp các biến cố sơ cấp không đồng khả năng.
1.3.1 Định nghĩa xác suất cổ điển Định nghĩa 1.3.1 Cho một phép thử có không gian mẫu Ω hữu hạn, gồm n(Ω) biến cố sơ cấp đồng khả năng xảy ra, trong đó cón(A)biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A, khi đó xác suất xuất hiệnAđược kí hiệuP(A)và được định nghĩa bằng công thức:
+)n(A)là số phần tử củaA;n(Ω)là số phần tử củaΩ.
+) Để tínhn(A),n(Ω)ta thường dùng các phép toán của giải tích tổ hợp.
Để áp dụng định nghĩa cổ điển, các biến cố sơ cấp cần phải là hữu hạn và đồng khả năng Trong các bài toán, nhằm đảm bảo tính đồng khả năng, thuật ngữ "ngẫu nhiên" thường được sử dụng.
Khi gieo một con xúc xắc lý tưởng, không gian mẫu được xác định là Ω={1,2,3,4,5,6} Các biến cố sơ cấp trong không gian này có xác suất đồng khả năng Nếu định nghĩa biến cố Alà mặt chẵn, thì A={2,4,6}.
Tương tự nếu gọiBlà biến cố xuất hiện mặt lẽ thìP(B) = 1 2 b Nếu gọiClà biến cố xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 khi đóC={3,6}nênP(C) 1
Trong một lớp học gồm 50 sinh viên, trong đó có 30 nam, khi chọn ngẫu nhiên 4 sinh viên tham gia cuộc thi "Dự án kinh tế cộng đồng", ta có thể tính xác suất cho các trường hợp sau: a) xác suất có hai nam trong số 4 sinh viên được chọn; b) xác suất có ít nhất một sinh viên nam trong nhóm 4; c) xác suất không có sinh viên nam nào trong số 4; và d) xác suất có nhiều nhất hai sinh viên nam trong số 4 sinh viên được chọn.
Bài giải: Số cách lấy 4 sinh viên bất kỳ từ 50 sinh viên đã cho là: n(Ω) =C 50 4 #0300
Vì cách chọn ngẫu nhiên, khả năng xảy ra sự kiện A, tức là có hai nam trong bốn sinh viên được chọn, là đồng khả năng Số trường hợp thuận lợi cho sự kiện này cần được xác định rõ ràng.
Xác suất có hai nam trong 4 sinh viên được chọn:
Biến cố Blà xảy ra khi có ít nhất một nam trong số 4 sinh viên được chọn Số trường hợp thuận lợi cho Blà được tính bằng n(B) = n1 + n2 + n3 + n4, trong đó n1, n2, n3, và n4 lần lượt đại diện cho số trường hợp có 1, 2, 3 và 4 nam trong nhóm 4 sinh viên.
(Có thể tính:n(B) =C 50 4 −C 20 4 "5455) c GọiC là biến cố không có sinh viên nam trong 4 sinh viên được chọn Số trường hợp thuận lợi choClà:n(C) =C 4 20 H45 Xác suất cần tìm:
230300 =0,02104. d GọiDlà biến cố có nhiều nhất 2 nam trong 4 sinh viên được chọn Số trường hợp thuận lợi choDlà: n(D) =C 20 4 +C 30 1 C 20 3 +C 30 2 C 20 2 1695
Trong một ngân hàng có 3 quầy phục vụ (I, II, III), khi 5 khách hàng cùng vào và chọn ngẫu nhiên một quầy, có thể xảy ra các khả năng sau: a) Tất cả 5 khách hàng đều vào cùng một quầy, b) Chỉ có 1 người vào quầy I, và c) Chỉ có quầy I có 1 người Tính toán xác suất cho từng trường hợp này sẽ giúp hiểu rõ hơn về hành vi lựa chọn của khách hàng trong môi trường ngân hàng.
Mỗi khách hàng có 3 cách chọn quầy, do đó tổng số cách chọn cho 5 người là n(Ω) = 3^5 Gọi A là biến cố khi cả 5 người vào cùng một quầy, số cách chọn cho biến cố A là n(A) = 3, tương ứng với việc tất cả vào quầy I, II hoặc III.
Vậy xác suất cần tìm:
Trong bài toán này, có 243 cách lựa chọn một người vào quầy I, ký hiệu là B Số cách chọn 1 người vào quầy I là 5 Sau khi một người đã vào quầy I, còn lại 4 người sẽ được phân bổ vào hai quầy II và III, với số cách lựa chọn là 2^4.
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cốB:n(B) =5.16(cách) Xác suất cần tìm:
Trong bài toán xác suất này, ta có biến cố C đại diện cho việc chỉ có quầy số I có 1 người, với 5 cách chọn 1 người vào quầy I Sau khi chọn người cho quầy I, còn lại 4 người cần được bố trí vào 2 quầy II và III, với điều kiện không quầy nào có 1 người Do đó, chỉ có 2 trường hợp khả thi cho việc phân bổ này.
Trường hợp 1: cho cả 4 người cùng vào một quầy, sẽ có 2 cách.
Trường hợp 2: mỗi quầy có 2 người, sẽ cóC 4 2 =6.
Số kết quả thuận lợi cho biến cốC:n(C) =5.(2+6) H Vậy:
Trong bài toán xác suất này, chúng ta xem xét việc xếp ngẫu nhiên 8 người vào 10 toa xe lửa Có một số trường hợp cần tính xác suất: Thứ nhất, xác suất để 8 người ở cùng một toa; thứ hai, xác suất để 8 người ở 8 toa khác nhau; thứ ba, xác suất khi A và B ở cùng toa đầu; thứ tư, xác suất khi A và B ở cùng một toa; và cuối cùng, xác suất khi A và B ở cùng một toa mà không có ai khác.
Bài giải: Số kết quả đồng khả năng:n 8 a Xác suất cần tìm là:P= 10
10 7 b Xác suất cần tìm là
10 8 =0,018144 c A và B ở cùng một toa đầu nên A và B có 1 cách chọn để ở toa đầu Còn lại 6 người và
10 toa nên sẽ có10 6 cách chọn Vậy xác suất cần tìm là:
10 8 =0,01 d A và B ở cùng một toa bất kỳ nên A và B có 10 cách chọn Còn lại 6 người và 10 toa nên sẽ có10 6 cách chọn Vậy xác suất cần tìm là:
Có 10 cách chọn 2 người A và B ngồi cùng một toa Vì không có ai khác cùng toa với A và B, nên còn lại 6 người phải phân bổ vào 9 toa Số cách chọn cho 6 người này là 9^6 Do đó, xác suất mà chúng ta cần tìm được tính toán dựa trên các yếu tố này.
Trong một hộp chứa 10 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm đã quá hạn sử dụng, ta tiến hành rút ngẫu nhiên 2 sản phẩm để kiểm tra Để tính xác suất cho các trường hợp: a) xác suất có đúng một sản phẩm quá hạn sử dụng; b) xác suất có ít nhất một sản phẩm còn sử dụng được; c) xác suất sản phẩm thứ hai là sản phẩm còn dùng được.
Các công thức tính xác suất
1.4.1 Công thức cộng xác suất
1) Với hai biến cốA,Bbất kỳ thì:P(A+B) =P(A) +P(B)−P(AB)
3) Mở rộng chonbiến cố bất kỳA 1 ,A 2 , ,A n :
4) Nếu A 1 ,A 2 , ,An xung khắc từng đôi thì:
Trong một công ty liên doanh với nước ngoài có 40 nhân viên, 25 người nói Tiếng Anh, 15 người nói Tiếng Nhật, và 10 người biết cả hai ngoại ngữ Để tính xác suất cho các trường hợp khác nhau: a) xác suất nhân viên chỉ nói được Tiếng Anh là 15/40; b) xác suất nhân viên chỉ nói được một ngoại ngữ là 25/40; c) xác suất nhân viên biết ngoại ngữ là 35/40; và d) xác suất nhân viên không biết ngoại ngữ là 5/40.
Xác suất để nhân viên đó chỉ nói được mỗi Tiếng Anh được ký hiệu là A, trong khi B đại diện cho khả năng nói Tiếng Nhật Việc phân tích các biến cố này giúp hiểu rõ hơn về khả năng ngôn ngữ của nhân viên.
40 = 15 40 b Xác suất để nhân viên đó chỉ nói được mỗi Tiếng Nhật:
Suy ra xác suất để nhân viên này chỉ nói được một ngoại ngữ là:
40 = 1 2 c Nhân viên đó nói được tiếng nước ngoài Có nghĩa là nhân viên đó nói được Tiếng Anh hoặc Tiếng Nhật Do đó xác suất cần tìm:
40 = 3 4 d Xác suất để nhân viên này không biết ngoại ngữ:
Một công ty chuyên nhận đặt và giao hàng may mặc trực tuyến cung cấp hai dòng sản phẩm: cao cấp và bình dân Qua một cuộc điều tra về các đơn đặt hàng, tỷ lệ đơn hàng được phân chia theo dòng sản phẩm và giới tính của khách hàng đã được xác định.
Trong bài toán này, A đại diện cho biến cố khách hàng là nữ và B là biến cố đơn đặt hàng từ dòng sản phẩm cao cấp Nhân dịp kỷ niệm 10 năm thành lập, công ty quyết định tri ân khách hàng bằng cách chọn ngẫu nhiên một khách hàng đã đặt hàng để tặng quà Để giải quyết bài toán, chúng ta cần tìm xác suất để khách hàng được chọn là nữ (P(A)), xác suất để đơn đặt hàng là từ dòng sản phẩm 1 (P(B)), xác suất để đơn đặt hàng là từ dòng sản phẩm 1 và khách hàng là nữ (P(A ∩ B)), xác suất để khách hàng này là nữ và đơn đặt hàng là từ dòng sản phẩm 1 hoặc cả hai (P(A + B)), và cuối cùng là xác suất P(B|A).
Xác suất để khách hàng này là nữ là P(A) = 0,7, trong khi xác suất để đơn đặt hàng này đến từ dòng sản phẩm 1 là P(B) = 0,6 Đồng thời, xác suất để đơn đặt hàng này là từ dòng sản phẩm 1 và khách hàng này là nữ được tính là P(AB) = 0,4 Cuối cùng, xác suất để khách hàng này là nữ và đơn đặt hàng này đến từ dòng sản phẩm 1, hoặc cả hai, cần được xác định.
Trong một hộp chứa 50 sản phẩm loại I và 15 sản phẩm loại II, khi lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra, ta cần tính xác suất có ít nhất 1 sản phẩm loại II trong số 10 sản phẩm được chọn.
Bài giải cho thấy rằng Alà biến cố xảy ra khi có ít nhất một sản phẩm loại II trong số 10 sản phẩm được kiểm tra Ngược lại, Alà biến cố không xảy ra nếu không có sản phẩm loại II nào trong nhóm 10 sản phẩm này.
1.4.2 Công thức nhân xác suất a Xác suất có điều kiện
Khi phân tích sự xuất hiện của biến cố A, chúng ta chỉ cần xem xét điều kiện của phép thử mà không cần thêm điều kiện nào khác Tuy nhiên, trong thực tế, việc đánh giá sự xuất hiện của biến cố A thường phải được thực hiện dưới điều kiện rằng biến cố B đã xảy ra.
Ví dụ 1.4.4 Cơ cấu nhân sự của một công ty được phân bố theo bảng sau:
Số lượng Nữ Nam Đại học 5 8
Nhân ngày thành lập, công ty chọn ngẫu nhiên một người và phần thưởng cho người được chọn là một chuyến du lịch, kí hiệu các biến cố :
A:chọn được người có trình độ đại học,
Nếu ngày thành lập công ty trùng với ngày 8-3 và công ty muốn trao phần thưởng cho nữ giới, số lượng nữ nhân viên sẽ là 17 Trong trường hợp này, xác suất để chọn một nhân viên nữ có trình độ đại học được tính là 17/5 Đây là xác suất có điều kiện, với điều kiện đã biết là chọn đối tượng nữ (biết B đã xảy ra) Ký hiệu xác suất có điều kiện của biến cố A khi B đã xảy ra là P(A/B), tương đương với P(A/B) = 17/5.
Xác suất có điều kiện P(A|B) được tính dựa trên xác suất không điều kiện Theo định nghĩa 1.4.1, xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết rằng biến cố B đã xảy ra được xác định như sau.
P(B) ,vớiP(B)>0 (1.4.10) và xác suất có điều kiện của biến cố Btrên cơ sở biến cốAđã xảy ra là
1) Vì xác suất có điều kiệnP(A/B)được tính qua xác suất không điều kiện P(AB) P(B) nên nó cũng có các tính chất của xác suất bình thường, chẳng hạn như:
2) Sự khác nhau giữa xác suất có điều kiệnP(A/B)và xác suất thông thườngP(AB):
P(AB) = Số phần tử củaAB
Trong Ví dụ 1.4.5, dựa trên số liệu từ Ví dụ 1.4.2 a, hãy xác định xác suất khách hàng nam mua sản phẩm cao cấp Tiếp theo, tính các xác suất P(B/A), P(A/B), P(B/A) và P(A/B) Cuối cùng, áp dụng công thức nhân xác suất để giải quyết bài toán.
1) Từ công thức xác suất có điều kiện chúng ta có:
2) Mở rộng cho tíchnbiến cố ta có:
P(A 1 A 2 A n ) =P(A 1 ).P(A 2 /A 1 ) P(A n /A 1 A 2 A n−1 ) (1.4.14) Dùng phương pháp quy nạp ta sẽ chứng minh được công thức này.
Các công ty quảng cáo luôn quan tâm đến việc người tiêu dùng có tin tưởng vào các mẫu quảng cáo của họ, đặc biệt là những mẫu có sự ủng hộ của người nổi tiếng Dữ liệu từ cuộc điều tra của Tổ chức Roper cho thấy tỷ lệ khách hàng cảm thấy các quảng cáo được hỗ trợ bởi người nổi tiếng là đáng tin cậy, được phân loại theo trình độ giáo dục của khách hàng.
Giả sử một khách hàng được chọn ngẫu nhiên từ những người tham gia phỏng vấn trong cuộc điều tra Nếu tỷ lệ người tốt nghiệp đại học trong nhóm là 0,3, xác suất để khách hàng được chọn là một người tốt nghiệp đại học và không tin vào mẫu quảng cáo này là một yếu tố cần xem xét Trong trường hợp khách hàng đã học xong một số năm đại học, xác suất để người đó không tin vào mẫu quảng cáo cũng cần được tính toán Cuối cùng, nếu tỷ lệ khách hàng trong nhóm chưa bao giờ vào đại học là 0,4, xác suất để khách hàng được chọn là người chưa vào đại học và tin vào mẫu quảng cáo này cũng là một thông tin quan trọng trong cuộc điều tra.
Một cuộc điều tra gần đây cho thấy 30% doanh nghiệp tại Hoa Kỳ có chương trình nghỉ phép sinh đẻ cho cả cha và mẹ Trong số đó, một phần ba doanh nghiệp duy trì việc trả lương trong thời gian nghỉ phép, trong khi ba phần tư vẫn cung cấp trợ cấp chăm sóc y tế Để xác định xác suất cho một doanh nghiệp được chọn ngẫu nhiên có chương trình nghỉ phép sinh đẻ kèm theo trả lương, ta tính xác suất là 10% (1/3 của 30%) Ngược lại, xác suất cho một doanh nghiệp có chương trình nghỉ phép sinh đẻ mà không cung cấp trợ cấp chăm sóc y tế là 7.5% (25% của 30%) Các biến cố này được coi là độc lập theo Định nghĩa 1.4.2.
Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
1.5.1 Công thức xác suất đầy đủ
Giả sử A1, A2, , An là một hệ thống đầy đủ các biến cố của một phép thử Gọi B là một biến cố bất kỳ trong phép thử đó Các biến cố này có thể được trình bày một cách trực quan qua hình ảnh minh họa.
Cho biếtP(Ai)vàP(B/Ai),i=1,n Hãy xác định xác suấtP(B).
Biến cố Bxảy ra khi:
Các biến cốA i xung khắc đôi một nên các biến cố A i Bcũng xung khắc đôi một, áp dụng công thức cộng xác suất:
Theo công thức nhân xác suất:
Công thức này được gọi làcông thức xác suất đầy đủ.
Một nhà máy gồm ba phân xưởng sản xuất cùng loại sản phẩm, với phân xưởng I chiếm 36% sản lượng, phân xưởng II chiếm 34%, và phân xưởng III chiếm 30% Tỷ lệ phế phẩm của các phân xưởng lần lượt là 12%, 10% và 8% Cần tính toán tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy dựa trên các thông số này.
Trong bài giải, chúng ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho của nhà máy, gọi sự kiện sản phẩm được lấy ra là phế phẩm là B, với P(B) là tỷ lệ phế phẩm chung của nhà máy Các sự kiện A1, A2, A3 lần lượt đại diện cho sản phẩm được lấy ra từ phân xưởng I, II và III.
VìA 1 ,A 2 ,A 3 lập thành một hệ đầy đủ nên:
Vậy tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy là:10,12%.
Trong ví dụ 1.5.2, với các giả thiết đã nêu, ta thêm một điều kiện mới là lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho và giả sử sản phẩm đó là phế phẩm Câu hỏi đặt ra là xác suất để sản phẩm phế phẩm này thuộc phân xưởng II là bao nhiêu, và phân xưởng nào có khả năng sản phẩm phế phẩm đó thuộc về nhiều nhất Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng công thức Bayes.
Mệnh đề 1.5.1 Giả sử A 1 ,A 2 , ,A n là các biến cố lập thành hệ đầy đủ Khi đó với bất kỳ biến cốB, ta có:
Trở lại ví dụ trên, theo công thức Bayes, xác suất để phế phẩm lấy ra thuộc phân xưởng
Muốn biết khả năng phế phẩm thuộc phân xưởng nào nhiều nhất ta phải so sánh các xác suất:P(A 1 /B),P(A 2 /B),P(A 3 /B).
0,101 =0,24 Vậy phẩm phế phẩm đó có khả năng thuộc phân xưởng I nhiều nhất.
Nhận xét 1.5.1 Nếu hệ các biến cố{A 1 ,A 2 , An}xung khắc đôi một và n
P(Ai) =1thì hệ này đầy đủ.
Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường, một cuộc khảo sát ngẫu nhiên đã được thực hiện với 200 khách hàng, trong đó 34 người cho biết "sẽ mua", 97 người "có thể sẽ mua", và 69 người "không mua" Theo kinh nghiệm, tỷ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm tương ứng với các câu trả lời này lần lượt là 70%, 30% và 1% Để đánh giá thị trường tiềm năng, ta có thể tính toán số lượng khách hàng dự kiến sẽ mua sản phẩm Trong số khách hàng thực sự mua, tỷ lệ phần trăm những người đã trả lời "sẽ mua" là 70% của 34 người, tương đương với 23.8 người.
Bài giải sẽ xem xét biến cố B, đại diện cho khả năng "người được phỏng vấn sẽ mua sản phẩm" Đồng thời, chúng ta định nghĩa ba biến cố A1, A2, A3, tương ứng với ba cách trả lời khác nhau của khách hàng trong quá trình phỏng vấn.
A 1 - người đó trả lời “sẽ mua”
A 2 - người đó trả lời “có thể mua”
A 3 - người đó trả lời “không mua”
Khi đóA 1 ,A 2 ,A 3 là một hệ đầy đủ, các biến cố có xác suất tương ứng: 200 34 , 200 97 , 200 69 Các xác suất điều kiện P(B/A 1 ) =0,7;P(B/A 2 ) =0,3;P(B/A 3 ) =0,01. a Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
Vậy thị trường tiềm năng của sản phẩm đó là26,8%. b Theo công thức Bayes ta có:
Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có 44,4%trả lời “sẽ mua”.
Một công ty nhận thấy rằng 80% người tham gia chương trình thực tập đã hoàn tất khóa học, trong đó 70% trở thành những người bán hàng hiệu quả, so với chỉ 15% trong số những người không hoàn tất chương trình Xác suất để một người tham gia chương trình thực tập trở thành người bán hàng hiệu quả là 0.7 Nếu một người bán hàng đã tham gia chương trình thực tập được coi là hiệu quả, xác suất để người này hoàn tất chương trình thực tập là 0.8.
Trong một tình huống có 3 sinh viên nhưng chỉ có 2 vé đi xem ca nhạc, họ quyết định làm 3 lá thăm, trong đó có 2 lá thăm được đánh dấu Mỗi sinh viên sẽ lần lượt rút một lá thăm, và ai rút được lá thăm có đánh dấu sẽ nhận được vé Nếu bạn là một trong 3 sinh viên đó, bạn sẽ rút thăm ở lượt thứ mấy để có cơ hội nhận vé?
Trong bài giải, chúng ta định nghĩa các biến cố A1, A2, A3 tương ứng với việc sinh viên thứ nhất, thứ hai và thứ ba rút thăm có đánh dấu Giả sử sinh viên thứ nhất thực hiện việc bốc thăm đầu tiên, xác suất P(A1) được tính là 2/3.
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
Ta thấyP(A 1 ) =P(A 2 ) =P(A 3 ) Tức khả năng rút được thăm có dấu của 3 người là như nhau.
Câu trả lời nên rút thăm lần thứ mấy xin dành cho bạn đọc.
Công thức Bernoulli
Dãy n phép thử G 1 ,G 2 , ,G n được gọi là dãy n phép thử Bernuolli khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện sau:
+) Dãynphép thử đó độc lập với nhau.
+) Trong mỗi phép thửGita chỉ để ý đến biến cốAhayAxuất hiện, có nghĩaΩi={A,A}.+) Xác suất của biến cốAxảy ra trong mỗi phép thử đều bằng một số p=P(A).
Jacob Bernoulli (27 tháng 12 năm 1654 - 16 tháng 8 năm 1705) là một nhà toán học Thụy Sĩ nổi bật, đóng góp quan trọng cho hình học giải tích, lý thuyết xác suất và phép tính biến phân Cuốn sách về lý thuyết xác suất của ông chỉ được xuất bản vào năm 1713, sau khi ông qua đời 8 năm Ông có một người em trai, Johann Bernoulli, kém 12 tuổi, cũng là một nhà toán học nổi tiếng Gia đình Bernoulli đã sản sinh ra nhiều nhà toán học tài năng khác trong lịch sử.
Bài toán đặt ra là xác định xác suất để biến cố A xuất hiện m lần trong dãy n phép thử Bernoulli, với xác suất xuất hiện của biến cố A trong mỗi phép thử là p Để giải quyết vấn đề này, ta có thể sử dụng công thức xác suất nhị thức, trong đó xác suất A xuất hiện m lần sẽ được tính dựa trên số phép thử n và xác suất p.
Bài toán Bernoulli, được nghiên cứu bởi nhà bác học Thụy Sĩ Bernoulli vào thế kỷ XVII, liên quan đến xác suất xảy ra của biến cố A trong một phép thử Xác suất này được ký hiệu là mlần.
P n (m)và xác định bởi công thức:
Pn(m) =C n m p m (1−p) n−m (1.6.18) Công thức này được gọi làcông thức Bernoulli.
Hệ quả 1.6.1 GọiPn(k 1 ,k 2 )là xác suất biến cóAxuất hiện từk 1 đếnk 2 lần, khi đó:
Một nhân viên Marketing giới thiệu sản phẩm tại 10 đại lý mỗi ngày, với xác suất bán hàng là 0,2 tại mỗi địa điểm Để tính xác suất, ta có các trường hợp sau: a Xác suất bán được hàng ở 2 nơi là một phần quan trọng cần xác định b Xác suất bán hàng từ 2 đến 4 nơi cũng cần được tính toán c Xác suất tổng thể để người đó bán được hàng ở ít nhất một nơi là một yếu tố quan trọng d Để biết xác suất bán hàng nhiều nhất ở 8 nơi, cần phân tích thêm e Cuối cùng, xác suất không bán được hàng ở 3 nơi cũng là một chỉ số cần xem xét.
Bài giải: a Theo công thức Bernoulli, xác suất bán được hàng ở 2 nơi:
P 10 (2) =C 10 2 (0,2) 2 (0,8) 8 =0,302 b Theo công thức Bernoulli, xác suất bán được hàng từ 2 đến 4 nơi:
P 10 (2; 4) =C 10 2 (0,2) 2 (0,8) 8 +C 10 3 (0,2) 3 (0,8) 7 +C 10 4 (0,2) 4 (0,8) 6 =0,5914 c Theo công thức Bernoulli, xác suất bán được hàng: p=1−P 10 (0) =1−C 10 0 (0,2) 0 (0,8) 10 =0,8926 d Xác suất cần tìm: p=P 10 (0; 8) =1−P 10 (9)−P 10 (10) =1−C 10 9 (0,2) 9 (0,8)−(0,2) 10 =0,999996 e Xác suất để không bán được hàng ở 3 nơi: p=C 10 3 (0,8) 3 (0,2) 7 =0,000786
Để xác định số lượng vé số cần mua nhằm đảm bảo khả năng trúng giải ít nhất 1 vé đạt 95%, ta cần tính toán xác suất trúng giải của từng vé là 1% Sử dụng công thức xác suất, ta có thể tìm ra số vé tối thiểu cần thiết để đạt được mục tiêu này.
Mua một tờ vé số có thể được coi là một phép thử Bernoulli với xác suất trúng là p=0,01 Gọi n là số vé cần mua, xác suất không có vé nào trúng giải là C(n, 0) * p^0 * q^n = q^n Do đó, xác suất để có ít nhất một vé trúng giải là 1 - q^n.
Theo đầu bài ta có:
Vậy cần mua tối thiểu 299 vé.
Câu hỏi ôn tập chương 1
Các câu hỏi sau đây đúng hay sai, vì sao?
1 Ta có thể có hai không gian mẫuΩcho cùng một phép thử.
2 Hai biến cố xung khắc là hai biến cố đối lập.
3 Nếu AvàBlà hai biến cố độc lập thì AvàBcũng độc lập.
4 ChoAlà một biến cố của một phép thử nào đó Kết luận:Alà biến cố chắc chắn.
5 ChoAlà một biến cố của một phép thử nào đó Kết luận:Alà biến cố chắc chắn.
6 Cho A vàB là hai biến cố của một phép thử nào đó Kết luận: A và B là hai biến cố xung khắc.
7 Cho Avà B là hai biến cố của một phép thử nào đó Kết luận: Avà B là biến cố độc lập.
8 Nếu A và B là hai biến cố đối lập thì A, B lập thành một hệ đầy đủ.
9 Nếu hai biến cố A và B xung khắc thìP(A+B) =P(A) +P(B).
10 Hai biến cố A và B là độc lập thìP(A.B) =P(A).P(B).
11 Nếu hai biến cố A và B độc lập thìP(A+B) =P(A) +P(B).
12 Nếu hai biến cố A và B đối lập thìP(A+B) =P(A) +P(B).
13 Hai biến cố A và B là xung khắc thìP(A.B) =P(A).P(B).
14 ChoAvà Blà hai biến cố xung khắc của một phép thử nào đó Kết luận: AvàB độc lập.
15 Hai biến cốAvàA+Bxung khắc.
16 Hai kiện tướng bóng bàn ngang sức thi đấu với nhau Khả năng thắng 2 trong 4 ván sẽ lớn hơn khả năng thắng 3 trong 6 ván.
1 a Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 6 tặng phẩm cho 3 người. b Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 6 tặng phẩm cho 3 người sao cho người thứ hai có đúng 1 tặng phẩm. c Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 6 tặng phẩm cho 3 người sao cho mỗi người có
2 Một sinh viên thi cuối kỳ phải thi 3 môn trong một tuần (7 ngày), biết mỗi ngày thi một môn Hỏi phòng đào tạo có mấy cách lập lịch thi. ĐS: Có 210 cách lập lịch thi.
3 Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. a Có mấy cách lấy nhẫu nhiên ra 4 sản phẩm để kiểm tra từ lô hàng đó. b Có mấy cách lấy nhẫu nhiên ra 4 sản phẩm để kiểm tra từ lô hàng đó, trong đó số chính phẩm và phế phẩm bằng nhau. c Có mấy cách lấy nhẫu nhiên ra 4 sản phẩm để kiểm tra từ lô hàng đó, trong đó số chính phẩm nhiều hơn số phế phẩm. ĐS: a 210; b 63; c 140.
Theo thống kê từ Sở Văn hóa, Thể thao và Du lịch thành phố Đà Nẵng, lượng khách tham quan và du lịch tại đây trong thời gian diễn ra Cuộc thi trình diễn pháo hoa quốc tế đã đạt con số ấn tượng.
2015 (DIFC 2015), dịp lễ 30/4 và 1/5 đạt 450.000 lượt, tăng13,9%so với dịp DIFC
Vào hai đêm pháo hoa 28 và 29/4 năm 2013, công suất buồng phòng của các khách sạn đạt khoảng 90-95% Đặc biệt, các khách sạn nằm ở trung tâm và khu vực ven biển như đường Phạm Văn Đồng, Bạch Đằng, Trần Hưng Đạo đã đạt mức công suất 100%.
Tại Đà Nẵng, Khách sạn A có 20 tầng, với 10 khách chọn ngẫu nhiên một tầng từ tầng 2 đến tầng 20 Để tính xác suất cho các trường hợp cụ thể, ta có thể xem xét: a xác suất để tất cả khách cùng ra một tầng; b xác suất chỉ có một người ra tầng 5; c xác suất mỗi người ra một tầng khác nhau; d xác suất có 3 người ra tầng 8; e nếu 4 người này là 2 cặp vợ chồng đi cùng nhau, cần xác định số cách để họ di chuyển.
Có 2 cặp vợ chồng đang sống ở 2 tầng khác nhau Giả sử từ tầng 2 đến tầng 6 đang trong quá trình sửa chữa và không thể ra ngoài Vậy có bao nhiêu cách để mỗi cặp vợ chồng ra một tầng khác nhau?
5 Một khách sạn có 6 phòng đơn Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 người Tính xác suất để: a Cả 6 người đều là nam. b Có 4 nam và 2 nữ. c Có ít nhất hai nữ. ĐS: a p=1/210; b p=3/7; c p7/42.
6 Một nam sinh viên gọi điện thoại cho một cô gái mới quen nhưng lại quên mất 3 chữ số cuối và chỉ nhớ rằng chúng khác nhau và có chữ số 0 Hỏi anh này có mấy cách để bấm máy. ĐS: 216 cách bấm máy.