B i toĂn iºm bĐt ởng trong khổng gian Hilbert
Mởt số tẵnh chĐt cừa khổng gian Hilbert thỹc
Mằnh ã 1.1.1 (xem [1]) Cho H l khổng gian Hilbert thỹc Khi õ, vợi mồi x, y ∈ H,
Để xác định mối quan hệ giữa hai không gian tuyến tính X và Y, chúng ta xem xét hàm số A: X → Y Hàm này có thể được mô tả bằng cách sử dụng các biến kx và ky, trong đó kx và ky đại diện cho các yếu tố của không gian X và Y Kết quả là, chúng ta có thể biểu diễn mối quan hệ này thông qua các công thức toán học, cho thấy sự tương tác giữa các thành phần trong không gian tuyến tính.
Náu Y =X, ta cụng nõi A l mởt toĂn tỷ trong X.
Theo định nghĩa chung về ánh xạ tuyến tính, ánh xạ A: X → Y là một ánh xạ tuyến tính nếu với mọi x trong không gian X, luôn có Ax_n → Ax_0 khi x_n → x_0 Tuy nhiên, trong không gian ảnh chuẩn bậc nhất, toán tử tuyến tính không nhất thiết phải liên tục Khi đó, có thể áp dụng điều kiện liên tục với ánh xạ A nếu tồn tại một hằng số K > 0 sao cho kAxk ≤ Kkxk với mọi x ∈ X.
Số K ≥ 0 nhọ nhĐt thọa mÂn iãu kiằn (1.1) ữủc gồi l chuân cừa toĂn tỷ A, kỵ hiằu l kAk Nhữ vêy:
2 Náu ∀x ∈ X, kAxk ≤ K.kxk thẳ kAk ≤K. ành nghắa 1.1.4 (xem [1]) ChoA :X −→ Y l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh liản tửc nh xÔ A ∗ : Y −→ X ữủc gồi l toĂn tỷ liản hủp cừa A náu hAx, yi hx, A ∗ yi, ∀x ∈X,∀y ∈ Y.
ToĂn tỷ liản hủp cừa mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh cõ cĂc tẵnh chĐt sau.
Mằnh ã 1.1.5 (xem [1]) Cho A : X −→ Y, B : X −→ Y l cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh, vợi A ∗ : Y −→ X, B ∗ : Y −→ X lƯn lữủt l cĂc toĂn tỷ liản hủp tữỡng ựng cừa A v B Khi õ, vợi mồi α, β ∈ R, ta cõ:
A : R 2 −→R 3 (x 1 , x 2 ) 7−→(3x 1 + 2x 2 ,−x 1 + 2x 2 ,−2x 2 ). l A l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n vợi kAk = p
17 v toĂn tỷ liản hủp cừa A l
A ∗ : R 3 −→R 2 (y 1 , y 2 , y 3 ) 7−→(3y 1 −y 2 ,2y 1 + 2y 2 −2y 3 ). ành nghắa 1.1.7 (xem [1]) Cho X l khổng gian tuyán tẵnh ành chuân.
1 Ta nõi dÂy {x n } ⊂ X hởi tử mÔnh án x ∈ X (kỵ hiằu: x n −→ x) náu kx n −xk −→ 0 khi n −→ ∞.
2 DÂy {x n } ⊂X hởi tử yáu án x ∈X (x n * x), náu:
∀f ∈ X ∗ f(x n ) −→f(x ∗ ), trong õ X ∗ l têp hủp cĂc phiám h m tuyán tẵnh liản tửc trong X.
Tứ ành nghắa, ró r ng hởi tử mÔnh suy ra hởi tử yáu iãu ngữủc lÔi nõi chung khổng úng.
1.1.2 nh xÔ khổng giÂn v b i toĂn iºm bĐt ởng
Trong không gian Hilbert, cho tập hợp {x_k} ⊂ H, ta có thể viết x_k * x với x_k hội tụ về x, trong khi x_k -→ x thể hiện sự hội tụ mạnh về x Điều này cho thấy mối quan hệ giữa các khái niệm trong lý thuyết không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.8 chỉ ra rằng hàm số T: C → C thỏa mãn bất đẳng thức ||T(x) - T(y)|| ≤ ||x - y|| cho mọi x, y ∈ C Định nghĩa 1.1.9 khẳng định rằng với mỗi x ∈ C, tồn tại một điểm cố định x̄ của hàm T khi T(x) = x.
Kỵ hiằu Fix(T) là tập hợp các điểm bất động của ánh xạ T, được định nghĩa là Fix(T) = {x ∈ C : T(x) = x} Theo định nghĩa 1.1.10, kỵ hiằu PC là phương pháp chiếu vào một tập hợp lẫn C Đối với mọi x ∈ H, PC(x) là phần tử duy nhất trong C sao cho khoảng cách kx - PC(x)k ≤ kx - yk với mọi y ∈ C Như vậy, ánh xạ PC có tính chất quan trọng trong việc tối ưu hóa và tìm kiếm điểm bất động.
Bờ ã 1.1.11 (xem [2]) Vợi x∈ H v y ∈ C cho trữợc:
(i) y =P C (x) khi v ch¿ khi hx−y, z −yi ≤ 0 vợi mồi z ∈ C.
(ii) kP C (x)−zk 2 ≤ kx−zk 2 − kx−P C (x)k 2 vợi mồi z ∈ C.
Mởt vẵ dử vã ph²p chiáu mảtric trong khổng gian hỳu hÔn chiãu ữủc cho nh÷ sau.
Vẵ dử 1.1.12 GiÊ sỷ a, b ∈ R n , a 6= 0 X²t nỷa khổng gian õng C ⊂ R n cho bði
C ={x∈ R n : ha, x−bi ≤ 0}, Khi õ toĂn tỷ chiáu lản C ữủc cho bði
x, náu ha, x−bi ≤ 0 x− ha, x−bia kak 2 , náu ha, x−bi >0.
B i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp
B i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn
Trong không gian Hilbert H, C là một tập con đóng, và F: C → H là một ánh xạ, thường gọi là ánh xạ gián đoạn Bài toán bắt đầu thực hiện biến phân (biến phân không đều), ký hiệu là VIP(C, F), được phát biểu như sau:
Tẳm iºm x ∗ ∈ C sao cho: hF(x ∗ ), x−x ∗ i ≥ 0 ∀x ∈C (1.4)
Sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa bĐt ¯ng thực bián phƠn (1.4) phử thuởc v o tẵnh chĐt cừa Ănh xÔ giĂ F v têp r ng buởc C Cho C l mởt têp con lỗi, õng, khĂc rộng cừa khổng gian Hilbert thỹc H Náu F : C −→ H l Ănh xÔ β-ỡn iằu mÔnh v L-liản tửc Lipschitz trản C thẳ b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn VIP(C, F) cõ nghiằm duy nh§t.
Tẵnh chĐt lỗi õng cừa têp nghiằm cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn VIP(C, F) ữủc nảu trong bờ ã dữợi Ơy.
Bờ ã 1.2.9 trình bày một tệp con lỗi trong không gian Hilbert thực H và Ω là một tệp trong H chứa C Định nghĩa G: Ω → H là một ánh xạ giới hạn C với hai điều kiện cần thiết được thỏa mãn.
(i) lim sup k→∞ hG(x k ), yi ≤ hG(x), yi vợi mồi y ∈ H v mồi dÂy {x k } ⊂ C hởi tử yáu án x.
(ii) G liản tửc Lipschitz trản C vợi hằ số Lipschitz L >0.
GiÊ sỷ têp nghiằm Sol(C, G) cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn VIP(C, G) khĂc rộng Khi õ Sol(C, G) l mởt têp lỗi õng.
Mối liản hằ giỳa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn v b i toĂn iºm bĐt ởng ữủc nảu trong bờ ã dữợi Ơy.
Bờ ã 1.2.10 (xem [4]) Cho G : C −→ H l Ănh xÔ η-ỡn iằu mÔnh ngữủc trản C v ξ > 0 l mởt hơng số thọa mÂn 0 < ξ ≤ 2η nh xÔ T : C −→ C ữủc ành nghắa nhữ sau:
Khi õ T l Ănh xÔ khổng giÂn trản C, hỡn nỳa, Fix(T) = Sol(C, G), trong õ Sol(C, G) l kỵ hiằu têp nghiằm cừa bĐt ¯ng thực bián phƠn VIP(C, G).
Chựng minh Tứ tẵnh η-ỡn iằu mÔnh ngữủc cừaG, ta cõ, vợi mồix, y ∈C, kT(x)−T(y)k 2 = kPC(x−ξG(x))−PC(y −ξG(y))k 2
Hỡn nỳa, x ∗ = T(x ∗ ) khi v ch¿ khi hx ∗ −ξG(x ∗ )−x ∗ , y −x ∗ i ≤ 0 vợi mồi y ∈ C Vẳ ξ >0 nản hG(x ∗ ), y−x ∗ i ≥ 0 ∀y ∈ C, nghắa l x ∗ ∈ Sol(C, G)
B i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn cõ nhiãu ựng dửng quan trồng, mởt trong sè â l têng qu¡t hâa b i to¡n cüc trà.
Vẵ dử 1.2.11 (Cỹc trà h m mởt bián) Cho f : R −→ R l h m khÊ vi trản [a, b] ⊂ R GiÊ sỷ x ∗ l nghiằm cừa b i toĂn min x∈[a,b]f(x), tực tỗn tÔi iºm x ∗ ∈ [a, b] sao cho: f(x ∗ ) = min x∈[a,b]f(x). a b
Khi õ xÊy ra mởt trong ba trữớng hủp sau:
Trong cÊ ba trữớng hủp, ta ãu cõ f 0 (x ∗ ).(x− x ∗ ) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] Ơy chẵnh l bĐt ¯ng thực bián phƠn dÔng (1.4).
B i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp
Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, liên quan đến việc nghiên cứu sự biến thiên của các hàm số trong không gian Hilbert Các bài toán này bao gồm việc lập quy hoạch toán học với các điều kiện ràng buộc, nhằm tìm ra các giá trị tối ưu cho hàm mục tiêu Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ kinh tế đến kỹ thuật Việc mổ xẻ các quy hoạch lỗi hai cấp và quy hoạch tuyến tính hai cấp là cần thiết để hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của bài toán.
Tẳm x ∗ ∈ Sol(C, G) sao cho hF(x ∗ ), y−x ∗ i ≥ 0 ∀y ∈ Sol(C, G), (1.5) trong õ F, G :H → H l cĂc Ănh xÔ cho trữợc.
Nhên x²t 1.2.12 Náu F : H → H l Ănh xÔ β-ỡn iằu mÔnh, L-liản tửcLipschitz trản H v náu Sol(C, G) l mởt têp con khĂc rộng, õng v lỗi cừa
H, thẳ b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp (1.5) cõ mởt nghiằm duy nhĐt(xem [9]).
Phữỡng phĂp l°p giÊi mởt v i lợp bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp trong khổng gian Hilbert
Chữỡng n y nghiản cựu mởt phữỡng phĂp l°p hiằn xĐp x¿ nghiằm cho mởt v i lợp bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp trong khổng gian Hilbert thỹc Nởi dung cừa chữỡng ữủc trẳnh b y trong hai mửc: Mửc 2.1 trình b y phữỡng phĂp l°p xĐp x¿ nghiằm b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp vợi b i toĂn cĐp dữợi l bĐt ¯ng thực bián phƠn giÊ ỡn iằu; Mửc 2.2 d nh cho b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp vợi b i toĂn cĐp dữợi l b i toĂn iºm bĐt ởng tĂch Mỗi mửc ãu nảu cĂc Ăp dửng giÊi b i toĂn cỹc trà v tẵnh toĂn vẵ dử số minh hồa Kián thực cừa chữỡng ữủc tờng hủp tứ b i bĂo [3] v [4] v cĂc t i liằu ữủc trẵch dăn trong õ Vẵ dử số do tĂc giÊ luên vôn tỹ tẳm hiºu v viát chữỡng trẳnh thỹc nghiằm bơng ngổn ngỳ MATLAB, chÔy trản mĂy tẵnh ASUS X554L vợi bở xỷ lỵ Intel(R) Core(TM) i5-5200U CPU @ 2.20 GHz, RAM 12 GB.
Phữỡng phĂp l°p giÊi mởt v i lợp bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp trong khổng gian Hilbert 14
Phữỡng phĂp l°p giÊi b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp vợi toĂn tỷ giÊ ỡn iằu
hai cĐp vợi toĂn tỷ giÊ ỡn iằu
Trong bài viết này, chúng ta nghiên cứu phương pháp lập hiền giải bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert Cụ thể, cho ánh xạ F: H → H, tồn tại x* ∈ Sol(C, G) sao cho hF(x*), y - x*i ≥ 0 với mọi y ∈ Sol(C, G) (VIPF) Bên cạnh đó, trong Sol(C, G) cũng có bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, G) với u* ∈ C sao cho hG(u*), z - u*i ≥ 0 với mọi z ∈ C, trong đó G: H → H là một ánh xạ liên tục.
Trữợc hát ta cƯn mởt số giÊ thiát °t lản hai Ănh xÔ giĂ F, G : H → H liản quan án b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp (VIPF)(VIPG).
GiÊ thiát 2.1.1 (xem [3]) GiÊ sỷ hai Ănh xÔ F, G : H → H thọa mÂn cĂc giÊ thiát sau Ơy.
(A1) F l Ănh xÔ β-ỡn iằu mÔnh v L-liản tửc Lipschitz trản H.
(A2) G l Ănh xÔ giÊ ỡn iằu v γ-liản tửc Lipschitz trản H.
≤ hG(¯x), y−yi¯ vợi mồi dÂy{x k },{y k }tữỡng ựng hởi tử yáu tợi x¯ v y¯.
BƠy giớ ta s³ mổ tÊ mởt phữỡng phĂp l°p hiằn xĐp x¿ nghiằm b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp (VIPF)-(VIPG).
Thuêt toĂn 2.1.2 (xem [3]) Chồn x 0 ∈ H tũy ỵ v cĂc tham số 0 < à < 2β L 2, dÂy {α k } ⊂(0,1), {η k } v {λ k } thọa mÂn
Vợi mội bữợc l°p k ≥ 0 ta tẵnh toĂn y k = P C x k −λ k G x k
Nhên x²t 2.1.3 Ta cõ thº chồn cĂc dÂy tham số {α k },{η k } v {λ k } thọa mÂn cĂc iãu kiằn trong Thuêt toĂn 2.1.2, ch¯ng hÔn, α k = 1 k+ 3, η k = k+ 1
Sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn 2.1.2 ữủc trẳnh b y trong ành lỵ sau Ơy GiÊ sỷ rơng cĂc giÊ thiát (A1)(A3) ữủc thọa mÂn v têp nghiằm cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn (VIPG) khĂc rộng Khi õ, dÂy {x k } ữủc xĂc ành trong Thuêt toĂn 2.1.2 hởi tử mÔnh án nghiằm duy nhĐt cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp (VIPF)(VIPG).
Chựng minh Viằc chựng minh ành lỵ ữủc chia th nh cĂc bữợc sau Ơy. Bữợc 1 Vợi mồi x ∗ ∈Sol(C, G) v vợi mồi k ∈N, ta cõ z k −x ∗
Thêt vêy, lĐy x ∗ ∈ Sol(C, G) Tứ iãu kiằn (i) cừa Bờ ã 1.1.11 v ành nghắa cõa y k , ta câ
Sỷ dửng (2.2) v ành nghắa cừa T k , ta thu ữủc C ⊂ T k
BƠy giớ, tứ x ∗ ∈ Sol(C, G) v tẵnh giÊ ỡn iằu cừa G ta nhên ữủc:
Tứ iãu kiằn (ii) cừa Bờ ã 1.1.11 v (2.3), ta thu ữủc z k −x ∗
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực CauchySchwarz v quan sĂt rơng G l Ănh xÔ γ-liản tửc Lipschitz trản H, chúng ta thu ữủc
Tứ ành nghắa cừa Tk v z k ∈ Tk, ta cõ
Tứ bĐt ¯ng thực trản, (2.4) v (2.5) ta nhên ữủc z k −x ∗
Bữợc 2 Chựng minh cĂc dÂy {x k }, F(x k ), {y k } v {z k } bà ch°n Thêt vêy, vợi mồi k ≥ 0, 1−λkγ ≥ 1−bγ > 0, nản tứ (2.1) suy ra z k −x ∗
Theo (2.6) v Bờ ã 1.2.4 suy ra x k+1 −x ∗ η k x k + (1−η k )z k −α k àF(z k )−x ∗
Vẳ vêy, bơng quy nÔp, chúng ta thu ữủc, vợi mồi k ≥ 0, rơng x k −x ∗
Để chứng minh dãy {x_k} hội tụ về x^*, ta cần sử dụng các điều kiện từ bài toán tối ưu (VIPF) Theo định lý 1.2.4 và bất đẳng thức kx - yk² ≤ kxk² - 2hy, x - yi với mọi x, y thuộc H, chúng ta có thể rút ra được mối quan hệ giữa x_k+1 và x^*.
Trữớng hủp 1 Tỗn tÔi k0 sao cho dÂy x k −x ∗ gi£m khi k ≥ k0 Trong trữớng hủp õ, tỗn tÔi giợi hÔn x k −x ∗
2 (2.9) Vẳ tỗn tÔi giợi hÔn cừa x k −x ∗
, nản lim k→∞ α k = 0 v lim k→∞ η k = η 0 vợi mồi i ∈ N, nản tứ bĐt ¯ng thực trản ta cõ hG(x k i ), x−y k i i ≥ x k i −y k i , x−y k i λ k i (2.14) p dửng bĐt ¯ng thực CauchySchwarz, v nhợ lÔi rơng λk i ≥ a > 0 vợi mồi i ∈N x k i −y k i , x−y k i λk i x k i −y k i , x−y k i λk i
Khi i tiến tới vô cực, dãy \( y_{k_i} \) phải hội tụ theo quy tắc và cần có tính chất thực Từ đó, ta có giới hạn \( \lim_{i \to \infty} (h(x_{k_i} - y_{k_i}), x - y_{k_i}) = \lambda_{k_i} = 0 \) Như vậy, dựa vào điều kiện (2.14), giả thiết (A3) và sự hội tụ của hai dãy \( x_{k_i} \) và \( y_{k_i} \), ta có thể rút ra kết luận quan trọng.
0 ≤ lim sup i→∞ hG(x k i ), x−y k i i ≤ hG(¯x), x−xi,¯ tùc l x¯ ∈ Sol(C, G).
Vẳ x ∗ l nghiằm cừa b i toĂn hai cĐp v x¯ ∈Sol(C, G) nản ta cõ thº kát luên rơng hF (x ∗ ),x¯−x ∗ i ≥ 0.
Do õ, tứ (2.13) ta cõ thº suy ra rơng lim sup k→∞
≤ 0. BĐt ¯ng thực (2.8) cõ thº ữủc viát nhữ sau x k+1 −x ∗
Tứ (2.12) ta cõ lim sup k→∞ ξ k ≤ 0 Theo Bờ ã 1.2.7, ta cõ k→∞lim x k −x ∗
Trữớng hủp 2 GiÊ sỷ tỗn tÔi dÂy con x k j cõa {x k } sao cho x k j −x ∗
Tứ Bờ ã 1.2.5, tỗn tÔi mởt dÂy khổng giÊm {τ(k)} cừa N sao cho k→∞lim τ(k) = ∞ v cĂc bĐt ¯ng thực sau Ơy thọa mÂn vợi mồi k ∈ N (ừ lợn) x τ (k) −x ∗
Vẳ vêy, tứ (2.7) v (2.16) ta cõ x τ (k) −x ∗
(2.17) Ngo i ra, tứ (2.6) v (2.17) ta cõ
Vẳ limk→∞αk = 0, limk→∞ηk = η < 1 v dÂy z k l bà ch°n, (2.18) £m b£o rơng k→∞lim x τ (k) −x ∗
Do õ, giợi hÔn cừa cĂc dÂy x k , z k v (2.19) Êm bÊo rơng k→∞lim x τ (k) −x ∗
(2.22) iãu n y cũng (2.21) vợi ngử ỵ k→∞lim x τ (k) −z τ (k)
M°t khĂc, Bờ ã 1.2.4 Êm bÊo rơng x τ (k)+1 −x τ (k) η τ (k) x τ (k) + (1−η τ (k) )z τ (k) −α τ (k) àF(z τ (k) )−x τ (k)
Khi õ, tứ bĐt ¯ng thực trản, (2.23), lim k→∞ α k = 0 v giợi hÔn cừa dÂy {F(x τ (k) )} ta câ k→∞lim x τ (k)+1 −x τ (k)
Nhữ Â chựng minh trong trữớng hủp Ưu tiản, chúng ta cõ thº kát luên rơng lim sup k−→∞ hF (x ∗ ), x ∗ −x τ (k)+1 i = lim sup k−→∞ hF (x ∗ ), x ∗ −x τ (k) i ≤ 0 (2.24)
(2.25) LĐy giợi hÔn trong (2.25) khi k −→ ∞ ta thu ữủc lim sup k→∞ x k −x ∗
Do õ, x k → x ∗ khi k → ∞ ành lỵ ữủc chựng minh
Nhên x²t 2.1.5 Tứ tẵnh liản tửc cừa G, iãu kiằn (A3) l tỹ ởng ữủc thọa mÂn trong khổng gian hỳu hÔn chiãu Trong khổng gian vổ hÔn chiãu, iãu kiằn (A3) cõ thº bà loÔi bọ náu G l Ănh xÔ ỡn iằu.
2.1.3 p dửng v vẵ dử minh hồa
Ta x²t trữớng hủp °c biằt khi F(x) =x−xˆ vợi xˆ l v²c-tỡ cho trữợc trong
H nh xÔ F n y l Ănh xÔ 1-liản tửc Lipschitz v 1-ỡn iằu mÔnh trản H. Bơng cĂch chồn à = 1 v η k = 0 vợi mồi k ∈ N, viằc giÊi b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp (VIPF)(VIPG) ữủc ữa vã b i toĂn tẳm hẳnh chiáu cừaxˆ lản têp nghiằm cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn (VIPG) Khi xˆ = 0 hẳnh chiáu n y l nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt cừa b i toĂn VIP(C, G).
Hằ quÊ 2.1.6 (xem [3]) Cho G : H −→ H l mởt Ănh xÔ giÊ ỡn iằu v
L-liản tửc Lipschitz trản H GiÊ sỷ rơng lim sup k→∞ hG(x k ), y−y k i ≤ hG(¯x), y−yi¯ vợi mồi dÂy x k , y k hởi tử yáu án x¯ v y¯ tữỡng ựng Gồi x k l dÂy ữủc t¤o bði
P∞ k=0α k =∞ Khi â, d¢y x k tÔo bði (2.26) hởi tử mÔnh tợi P Sol(C,G) x 0
Tứ nhên x²t v hằ quÊ trản ta nhên ữủc hằ quÊ sau.
Hằ quÊ 2.1.7 (xem [3]) Cho G : H −→ H l Ănh xÔ ỡn iằu v L-liản tửc Lipschitz trản H sao cho Sol(C, G) l khĂc rộng Gồi x k l d¢y sinh bði
P∞ k=0α k =∞ Khi â, d¢y x k tÔo bði (2.27) hởi tử mÔnh tợi P Sol(C,G) x 0
Vẵ dử 2.1.8 Cho H = R n vợi chuân kxk = Pn k=1x 2 k 1 2 v tẵch vổ hữợng hx, yi = Pn k=1xkyk, trong õ x = (x1, x2, , xn) > , y = (y1, y2, , yn) > thuởc
G(x) = Mx + q, trong đó M là ma trận xác định dữ liệu của hàm Khi G là hàm Lipschitz liên tục trên R^n, với mọi x, y ∈ R^n và M là ma trận xác định dữ liệu, ta có hG(x) − G(y), x − yi = hM(x − y), x − yi ≥ 0.
Để xem xét tính Lipschitz của hàm G trong không gian R^n, chúng ta nhận thấy rằng với mọi x, y ∈ R^n, ta có kG(x) − G(y)k = kM(x − y)k ≤ kMkkx − yk Ở đây, kMk biểu thị chuẩn của ma trận M, và điều kiện này cho thấy hàm G là hàm Lipschitz trong R^n khi kMk > 0.
BƠy giớ, º minh hồa Thuêt toĂn 2.1.2, ta x²t Ănh xÔ G : R 2 −→ R 2 ữủc x¡c ành bði
G(x) = M x+q, trong õ M =A > A vợi ma trên A v v²c-tỡ q ữủc cho nhữ sau:
Khi õ G l giÊ ỡn iằu v γ-liản tửc Lipschitz trản R 2 vợi γ = kMk = 4. Cho F : R 2 −→R 2 ữủc xĂc ành bði
Dạ d ng thĐy rơng F l Ănh xÔ β-ỡn iằu mÔnh vợi β = 3 v L-liản tửc Lipschitz vợi L = 8 trản R 2
BÊng 2.1, 2.2 l kát quÊ số cho Vẵ dử 2.1.8 vợi C x∈ R 2 : x1 +x2 ≤ 2 , iãu kiằn dứng dÂy l°p l kx k −x k−1 k ≤ ε, ð Ơy ε l sai số cho trữợc.
BÊng 2.1: Kát quÊ số cho Vẵ dử 2.1.8 vợi x 0 = (1, 1) > , α k = k+3 1 , η k = 2(k+3) k+1 , λ k = 0.01 , à = 0.1
BÊng 2.2: Kát quÊ số cho Vẵ dử 2.1.8 vợi x 0 = (2, 3) > , α k = k+3 1 , η k = 2(k+3) k+1 , λ k = 0.01 , à = 0.1
2.2 Phữỡng phĂp l°p giÊi bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp vợi r ng buởc iºm bĐt ởng tĂch
Cho C v Q lƯn lữủt l cĂc têp con lỗi, õng, khĂc rộng cừa hai khổng gian Hilbert thỹc H1 v H2, F : C −→ H1 l mởt toĂn tỷ ỡn iằu mÔnh,
T : C −→ C, S : Q −→ Q l cĂc Ănh xÔ khổng giÂn, A : H 1 −→ H 2 l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n X²t mởt lợp b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai c§p sau ¥y:
Tẳm x ∗ ∈ Ω sao cho hF(x ∗ ), x−x ∗ i ≥ 0 ∀x ∈ Ω, (VIP) trong õ Ω l têp nghiằm cừa b i toĂn: tẳm x ∗ ∈ C sao cho x ∗ =T x ∗ , Ax ∗ ∈ Q v Ax ∗ = S(Ax ∗ ) (SFPP)
B i toĂn (SFPP) ữủc gồi l b i toĂn iºm bĐt ởng tĂch.
Trữợc hát ta cƯn mởt số giÊ thiát sau.
GiÊ thiát 2.2.1 (xem [4]) GiÊ sỷ hai Ănh xÔ A v F thọa mÂn cĂc giÊ thiát sau ¥y.
(B1) A : H 1 −→ H 2 l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n vợi toĂn tỷ liản hủp l
(B2) F :C −→ H 1 l Ănh xÔ β-ỡn iằu mÔnh v L-liản tửc Lipschitz trản C.Phữỡng phĂp l°p giÊi b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp (VIP)(SFPP) ữủc xƠy dỹng nhữ sau (xem [4]).
Thuêt toĂn 2.2.2 Cho trữợc iºm x 0 ∈C tũy ỵ, cĂc dÂy l°p {x k }, {u k }, {y k } v {z k } ữủc sinh ra bði hằ
∀k ≥ 0, trong õ δ, à l cĂc hơng số dữỡng, {λ k } v {α k } l cĂc dÂy tham số thuởc
Sỹ hởi tử mÔnh cừa Thuêt toĂn 2.2.2 giÊi b i toĂn (VIP)(SFPP) ữủc nảu trong ành lþ sau ¥y Cho C v Q lƯn lữủt l hai têp con lỗi, õng, khĂc rộng cừa hai khổng gian Hilbert thỹc H1 v H2, A v F l cĂc Ănh xÔ thọa mÂn cĂc iãu kiằn (B1)(B2) T : C −→ C v S : Q −→ Q l cĂc Ănh xÔ khổng giÂn GiÊ sỷ têp nghiằm Ω cừa b i toĂn (SFPP) khĂc rộng Khi õ, náu δ ∈.
L 2 , cĂc dÂy tham số {λ k } v {α k } thuởc (0,1) ỗng thới thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(c) lim k−→∞α k =α ∈ (0,1), thẳ dÂy {x k }, ữủc xĂc ành trong Thuêt toĂn 2.2.2, hởi tử mÔnh án nghiằm duy nh§t x ∗ cõa b i to¡n (VIP)(SFPP).
Chùng minh L§y x ∗ ∈ Sol(Ω, F) Khi â, x ∗ ∈ Ω tùc l x ∗ ∈ C, Ax ∗ ∈ Q,
Tứ tẵnh khổng giÂn cừa ph²p chiáu PQ, ta thu ữủc ku k −Ax ∗ k 2 = kP Q (Ax k )−P Q (Ax ∗ )k 2
P Q (Ax k )−P Q (Ax ∗ ), Ax k −Ax ∗ u k −Ax ∗ , Ax k −Ax ∗
= 1 2 ku k −Ax ∗ k 2 +kAx k −Ax ∗ k 2 − ku k −Ax k k 2
Tứ õ suy ra ku k −Ax ∗ k 2 ≤ kAx k −Ax ∗ k 2 − ku k −Ax k k 2 (2.28) Nhớ tẵnh khổng giÂn cừa S, S(Ax ∗ ) =Ax ∗ v (2.28), ta cõ thº viát kSu k −Ax ∗ k 2 =kSu k −S(Ax ∗ )k 2
Do â, kSu k −Ax ∗ k 2 − kAx k −Ax ∗ k 2 ≤ −ku k −Ax k k 2 (2.29)
A(x k −x ∗ ) +Su k −Ax k −(Su k −Ax k ), Su k −Ax k
= 1 2 kSu k −Ax ∗ k 2 +kSu k −Ax k k 2 − kAx k −Ax ∗ k 2
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực trản v tẵnh khổng giÂn cừa ph²p chiáu PC, ta thu ữủc: ky k −x ∗ k 2
=kx k −x ∗ k 2 +kδA ∗ (Su k −Ax k )k 2 + 2δ x k −x ∗ , A ∗ (Su k −Ax k )
≤ kx k −x ∗ k 2 +δ 2 kAk 2 kSu k −Ax k k 2 −δku k −Ax k k 2 −δkSu k −Ax k k 2
=kx k −x ∗ k 2 −δ(1−δkAk 2 )kSu k −Ax k k 2 −δku k −Ax k k 2 (2.30) Khi õ, vợi δ ∈
Tứ Bờ ã 1.2.4 v tẵnh khổng giÂn cừa ph²p chiáu P C , ta cõ: kz k −x ∗ k = kP C (y k −λkàF(y k ))−PC(x ∗ )k
≤ (1−λ k τ)ky k −x ∗ k+λ k àkF(x ∗ )k (2.32) Kát hủp T(x ∗ ) =x ∗ , tẵnh khổng giÂn cừa T, (2.32) v (2.31), ta thu ữủc kx k+1 −x ∗ k = kαk(x k −x ∗ ) + (1−αk)(T(z k )−x ∗ )k
Do â, kx k+1 −x ∗ k ≤max kx k −x ∗ k,àkF(x ∗ )k τ
, v bơng phữỡng phĂp quy nÔp toĂn hồc, ta thu ữủc kx k −x ∗ k ≤max kx 0 −x ∗ k,àkF(x ∗ )k τ
Do õ, dÂy {x k } bà ch°n, tứ õ suy ra cĂc dÂy {y k } v {F(y k )} bà ch°n.
Dỹa v o tẵnh khổng giÂn cừa P C , ta cõ ky k+1 −y k k 2
= kP C (x k+1 +δA ∗ (Su k+1 −Ax k+1 ))−P C (x k +δA ∗ (Su k −Ax k ))k 2
≤ kx k+1 +δA ∗ (Su k+1 −Ax k+1 )−x k −δA ∗ (Su k −Ax k )k 2
= kx k+1 −x k k 2 +δ 2 kA ∗ (Su k+1 −Su k +Ax k −Ax k+1 )k 2
Chú ỵ rơng: δ 2 kA ∗ (Su k+1 −Su k +Ax k −Ax k+1 )k 2
≤ δ 2 kA ∗ k 2 kSu k+1 −Su k +Ax k −Ax k+1 k 2
= δ 2 kAk 2 kSu k+1 −Su k +Ax k −Ax k+1 k 2 (2.34)
Kỵ hiằuΘ k := 2δ x k+1 −x k , A ∗ (Su k+1 −Su k +Ax k −Ax k+1 ) v sỷ dửng tẵnh khổng giÂn cừa S v PQ, ta ữủc Θk = 2δ
= δ kSu k+1 −Su k k 2 − kAx k+1 −Ax k −(Su k+1 −Su k )k 2
≤ δ ku k+1 −u k k 2 − kAx k+1 −Ax k −(Su k+1 −Su k )k 2
=δ kPQ(Ax k+1 )−PQ(Ax k )k 2 − kAx k+1 −Ax k −(Su k+1 −Su k )k 2
≤ −δkAx k+1 −Ax k −(Su k+1 −Su k )k 2 (2.35) p dửng (2.34) v (2.35) v o (2.33), kát hủp vợi 0 < δ < 1 kAk 2 + 1, ta câ ky k+1 −y k k 2
≤ kx k+1 −x k k 2 −δ(1−δkAk 2 )kSu k+1 −Su k +Ax k −Ax k+1 k 2
Do â ky k+1 −y k k ≤ kx k+1 −x k k ∀k ≥ 0 (2.36) º ỡn giÊn trong viằc kỵ hiằu, °t t k = T(z k ) Tứ tẵnh khổng giÂn cừa cĂc Ănh xÔ T v PC, (2.36), v Bờ ã 1.2.4, ta cõ kt k+1 −t k k
BĐt ¯ng thực cuối dăn tợi kt k+1 −t k k − kx k+1 −x k k ≤ −λkτkx k+1 −x k k +à|λk−λk+1| kF(y k+1 )k.
Vẳ {x k }, {F(y k )} bà ch°n v lim k−→∞λk = 0, nản ta cõ lim sup k−→∞
Do vêy, tứ Bờ ã 1.2.5, ta thu ữủc k−→∞lim kt k −x k k = 0.
Ta th§y kx k+1 −x k k = (1−α k )kt k −x k k ≤ kt k −x k k, v kx k −T(y k )k ≤ kx k −t k k+kt k −T(y k )k
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các giới hạn của dãy {F(y_k)} và các điều kiện liên quan đến sự hội tụ của dãy {x_k} Cụ thể, khi k tiến tới vô cùng, ta có lim k→∞ ||x_{k+1} - x_k|| = 0 và lim k→∞ ||x_k - T(y_k)|| = 0 Điều này cho thấy sự tồn tại của điểm cố định x* trong không gian X, với điều kiện ||x_{k+1} - x*||^2 = ||α_k (x_k - x*) + (1 - α_k)(T(z_k) - x*)||^2 Các yếu tố này chỉ ra rằng dãy {x_k} hội tụ về x* và các giới hạn liên quan đến λ_k cũng tiến tới 0.
Tứ cĂc bĐt ¯ng thực (2.30) v (2.32), ta thu ữủc kz k −x ∗ k 2
≤ (1−λ k τ) 2 kx k −x ∗ k 2 −δ(1−δkAk 2 )kSu k −Ax k k 2 −δku k −Ax k k 2 +λ k àkF(x ∗ )k
(1−δkAk 2 )kSu k −Ax k k 2 +ku k −Ax k k 2 +λkàkF(x ∗ )k
Thay (2.39) v o (2.38), ta câ kx k+1 −x ∗ k 2 ≤ kx k −x ∗ k 2 −δ(1−α k )(1−λ k τ) 2 ×
(1−δkAk 2 )kSu k −Ax k k 2 +ku k −Ax k k 2 + (1−α k )λ k àkF(x ∗ )k
(1−δkAk 2 )kSu k −Ax k k 2 +ku k −Ax k k 2
Khi xét giới hạn \( \lim_{k \to \infty} k \| x_{k+1} - x_k \| = 0 \), với các dãy \( \{x_k\} \) và \( \{y_k\} \) đã chọn, cùng với \( \lim_{k \to \infty} \lambda_k = 0 \) và \( \lim_{k \to \infty} \alpha_k = \alpha \in (0,1) \), ta có \( \lim_{k \to \infty} \nu_k = \delta(1-\alpha) > 0 \) và điều này dẫn đến \( \lim_{k \to \infty} \| S_u k - A x_k \| = 0 \) cũng như \( \lim_{k \to \infty} \| u_k - A x_k \| = 0 \) Nếu \( \{x_k\} \subset C \) và sử dụng tính chất liên tục của toán tử \( P_C \), ta có thể viết \( \| y_k - x_k \| = k P_C(x_k + \delta A^*(S_u k - A x_k)) - P_C(x_k) \| \).
=δkAkkSu k −Ax k k, kát hủp vợi (2.41) thu ữủc k−→∞lim ky k −x k k = 0 (2.42)
Theo b§t ¯ng thùc tam gi¡c, ta có thể chứng minh rằng \(\|T(y_k)\| \leq \|x\| - \|y_k\| + \|x\| - \|T(y_k)\| + \|u_k\| - \|Su_k\| \leq \|u_k\| - \|Ax_k\| + \|Su_k\| - \|Ax_k\|\) Kết hợp với các hệ quả từ (2.42), (2.37) và (2.41), ta có giới hạn khi \(k \to \infty\) là \(\lim_{k \to \infty} \|y_k - T(y_k)\| = 0\) và \(\lim_{k \to \infty} \|u_k - Su_k\| = 0\) Từ đó, ta có thể kết luận rằng \(\limsup_{k \to \infty}\) tồn tại.
LĐy mởt dÂy con {y k i } cừa {y k } sao cho lim sup k−→∞
Vẳ {y k i } bà ch°n, ta cõ thº giÊ sỷ rơng y k i hởi tử yáu án y Khi õ, lim sup k−→∞
Dạ thĐy rơng y ∈ C vẳ y k i ⊂ C, y k i * y v C õng yáu.
GiÊ sỷ rơng y /∈ Fix(T), nghắa l y 6=T(y) Vẳ y k i * y v T l Ănh xÔ khổng giÂn, nản tứ (2.43) v Bờ ã Opial, ta cõ: lim inf i−→∞ ky k i −yk < lim inf i−→∞ ky k i −T(y)k
MƠu thuăn n y chựng tọ giÊ sỷ phÊn chựng ban Ưu sai, tực l y ∈ Fix(T). Vẳ y k i * y v lim k−→∞ky k −x k k = 0, nản x k i * y Vẳ thá Ax k i * Ay Tứ iãu n y v (2.41) ta câ u k i * Ay (2.44)
Vẳ {u k i } ⊂Q v Q õng yáu, nản tứ (2.44) ta suy ra Ay ∈Q.
Tiáp theo, ta s³ chựng minh Ay ∈ Fix(S) Thêt vêy, náu S(Ay) 6=Ay, tứ Bờ ã Opial v (2.43), ta cõ lim inf i−→∞ ku k i −Ayk < lim inf i−→∞ ku k i −S(Ay)k
= lim inf i−→∞ ku k i −Su k i +Su k i −S(Ay)k
≤ lim inf i−→∞ (ku k i −Su k i k +kSu k i −S(Ay)k)
≤ lim inf i−→∞ ku k i −Ayk, vổ lỵ! iãu õ chựng tọ Ay ∈ Fix(S).
Vẳ y ∈ Fix(T) v Ay ∈ Fix(S), ta suy ra y ∈ Ω M x ∗ ∈ Sol(Ω, F), nản hF(x ∗ ), y−x ∗ i ≥ 0.
Do õ, tứ tẵnh bà ch°n cừa {F(y k )} v lim k−→∞λ k = 0 ta suy ra lim sup k−→∞
Cuối cùng, chúng ta chứng minh rằng x không phải là nghiệm tối ưu Từ tính chất không gian của PC, ta có bất đẳng thức kx − yk2 ≤ kxk2 − 2hy, x − yi Với mọi x, y ∈ H1, sử dụng Bờ ã 1.2.4 và (2.31), ta có thể thu được công thức kz k − x∗k2 = kPC(yk − λkàF(yk)) − PC(x∗)k2.
. Thay bĐt ¯ng thực trản v o (2.38), ta cõ kx k+1 −x ∗ k 2 ≤ α k kx k −x ∗ k 2 + (1−α k )kz k −x ∗ k 2
Chú ỵ rơng P ∞ k=0 λ k (1−α k )τ = ∞ theo iãu kiằn (b), Ăp dửng Bờ ã 1.2.7 v o (2.45), ta suy ra x k −→ x ∗ , Ơy chẵnh l iãu phÊi chựng minh
Nhên x²t 2.2.4 Ta cõ thº chồnλ k = 1 k+ 2, α k = k+ 1
2(k+ 3) thọa mÂn cĂc iãu kiằn (a)(c) trong ành lỵ 2.2.3.
Vẵ dử 2.2.5 X²t b i toĂn (VIP)(SFPP) vợiH 1 =R 2 ,H 2 =R 3 ,A : R 2 −→R 3 xĂc ành bði Ax = (x1+ 2x2,3x1−x2, x2), vợi toĂn tỷ liản hủp A ∗ : R 3 −→R 2 , x¡c ành bði A ∗ y = (y1+ 3y2,2y1−y2+y3) Cho C x∈ R 2 |2x1 +x2 ≤ 0 ,
Q là tập hợp các điểm x thuộc R³ sao cho 2x₁ + x₂ - x₃ + 1 = 0 Tập hợp này chứa các tập con không rỗng và khác rỗng trong R² và R³ Giả sử F = I, với I là toán tử đồng nhất trong H¹ (thỏa mãn điều kiện Lipschitz với một hằng số nhất định) Tập hợp T là một ánh xạ từ C đến C.
S : Q −→Q lƯn lữủt xĂc ành bði:
Khi â b i to¡n (VIP)(SFPP) trð th nh:
Tìm x ∗ ∈ Ω sao cho hx ∗ , x−x ∗ i ≥ 0 ∀x ∈ Ω (VIP1) trong không gian Ω là bài toán tối ưu với điều kiện cần tìm x ∗ ∈ C sao cho x ∗ = PC(x ∗ ), Ax ∗ ∈ Q và Ax ∗ = PQ(Ax ∗ ) (SFP1) Giải bài toán cấp dưới (SFP1) cho thấy x = T(x) với mọi x ∈ C.
⇔5x 1 + 2x 2 + 1 = 0. ỗng thới u =S(u),∀u∈ Q Do õ, têp nghiằm cừa b i toĂn (SFP1) l :
Ω =C ∩ x∈ R 2 | 5x 1 + 2x 2 + 1 = 0 x ∈ R 2 |5x 1 + 2x 2 + 1 = 0, x 1 ≥ −1 Dạ thĐy Ω khĂc rộng Tiáp theo, ta giÊi b i toĂn cĐp trản (VIP1) Ta thĐy: hx ∗ , x−x ∗ i ≥ 0 ∀x∈ Ω⇔ hx ∗ , x ∗ i ≤ hx ∗ , xi ∀x ∈Ω
⇔ kx ∗ k ≤ kxk ∀x ∈ Ω, nghắa l b i toĂn (VIP1) trð th nh b i toĂn: tẳmx ∗ ∈ Ωsao chox ∗ l phƯn tỷ cõ chuân nhọ nhĐt trongΩ Tực l nghiằm úng cừa b i toĂn l x ∗
(chẵnh l hẳnh chiáu cừa O trản Ω) Thêt vêy: LĐy x ∗ = (x ∗ 1 , x ∗ 2 ) ∈ C, ta cõ kx ∗ k q x ∗ 1 2 +x ∗ 2 2 Vẳ Ax ∗ ∈ Q nản x ∗ 2 = −1−5x ∗ 1
Sỷ dửng Thuêt toĂn 2.2.2 vợi iºm xuĐt phĂt29 x 0 = (0,0) > , cĂc tham số hơng δ = 1
2, à = 2 iãu kiằn dứng l sai số giỳa nghiằm xĐp x¿ v nghiằm úng ừ nhọ, tực l kx k −x ∗ k ≤ ε, ð Ơy chồn ε = 10 −6 Chồn cĂc λk v αk khĂc nhau º xem x²t sỹ thay ời thới gian chÔy chữỡng trẳnh.
2(k+ 3), ta thu ữủc kát quÊ trong BÊng 2.3.
2(k 0.01 + 3), ta thu ữủc kát quÊ trong BÊng 2.4.
Bữợc l°p (k) x k 1 x k 2 kx k − x k−1 k kx k − x ∗ k Thới gian (s)
BÊng 2.3: Kát quÊ chÔy chữỡng trẳnh vợi λ k = 1 k + 2 , α k = k + 1
Bữợc l°p (k) x k 1 x k 2 kx k − x k−1 k kx k − x ∗ k Thới gian (s)
BÊng 2.4: Kát quÊ chÔy chữỡng trẳnh vợi λ k = 1
Nghiằm xĐp x¿ hởi tử dƯn vã nghiằm úng: x ∗
Luên vôn  Ôt ữủc mửc tiảu ã ra
"Nghiản cựu mởt phữỡng phĂp l°p giÊi mởt lợp b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp trong khổng gian Hilbert thỹc; ữa ra v tẵnh toĂn vẵ dử minh hồa".
Kát quÊ cừa luên vôn
Luên vôn  trẳnh b y mởt số phữỡng phĂp l°p giÊi mởt lợp bĐt ¯ng thực bián phƠn hai cĐp Cử thº: