ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 Thời gian : 180 phút Bài 1: (2điểm) : Tìm điểm cực trị hàm số : y = excosx (Trích chuyên đề Hàm số Lê Hồng Đức) Bài (4 điểm) : Cho phương trình : cos3x - cos2x + m cosx - = a- (2 điểm) : Giải phương trình với m =  b- (2 điểm) : Tìm m để phương trình có bảy nghiệm  (; 2) (Trích đề thi ĐH Y thành phố Hồ Chí Minh - 1999) Bài (2 điểm) : Giải bất phương trình : x  x  - x + > (Trích 150 đề thi Đại học) Bài (2 điểm) : Chứng minh : ABC nhọn ta có : (SinA + SinB + SinC) + (tgA + tgB + tgC) >  3 (Trích đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Hải Phòng - 1998) Bài (2 điểm)  x3  x  x2  Tìm A = lim F(x) với F(x) = x1 (Trích đề thi ĐH QGHN năm 1993) Bài (2 điểm) : Tính : I= x xdx  x2  (Trích đề ĐH TCKT năm 2000) Bài (2 điểm) : Tìm giá trị nhỏ hàm số : y = x3 + với x > DeThiMau.vn x2 (Trích PP giải tốn hàm số tác giả Lê Hồng Đức) sin x  sin x   (3 sin x  10).3 Bài (2 điểm) : Giải phương trình : +3Sinx = (Trích đề thi học sinh giỏi Tốn 12- tỉnh Đồng Nai - 1996) Bài (2 điểm) : Cho ABC biết A (2; -1) hai đường phân giác góc B C có phương trình : dB : x - 2y + = dC : x + y + = Hãy lập phương trình đường thẳng BC./ (Trích đề thi ĐH Thương mại năm 1999) CHẤM THI MƠN TỐN HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 12 Thời gian : 180 phút Nội dung Bài TXĐ : D= R Ta có : y' = excosx - exsinx Điểm 0,25 Cho y' =  ex (cosx - sinx) =  sinx = cosx x=  + k ( kz) 0,25 y" = excosx - exsinx - (exsinx + excosx) = - 2exsinx Với x =  0,5 + k TH1 : Nếu k = 2l (lz) x =  + l2 Thay vào y" : y"(  y=  + l2) = - 2e   l 2 Sin (  + l2) < + l2 (lz) điểm cực đại hàm số DeThiMau.vn 0,5 5 + l2 TH2 : Nếu k = 2l + (lz) x = Thay vào y" ta có : 5 + l2) = -2 e y"( x= 5  l 2 Sin ( 5 + l2) > 5 + l2 điểm cực tiểu hàm số (lz) 0,5 4.00 2a 2.00 Biến đổi phương trình dạng : 4cos3x - 3cosx - 2cos2x + + mcosx - =  4cos3x - 2cos2x + (m - 3) cosx = Đặt t = cosx, xR t [-1; 1] (1) 0,5 (*) Với m = thay vào (1) ta : t (4t2 - 2t - 2) =  t = 0; t = cosx =  cosx = - x=   x=  cosx = 1 ;t=1 thoả mãn (*) 1.00 + k2 2 + k2 (kz) 0,5 x = k2 2b 2.00 Từ phương trình (1) ta có : cosx = (2) 4cos2x - 2cosx + m - = Giải (2) ta có : cosx =  x =  (3)  + k (kz) Vì x (- ; 2) nên phương trình (2) nhận : Đặt t = cosx (3)  4t2 - 2t + m - = DeThiMau.vn (4) x=  3 x= nghiệm 0,5 0,5  Để phương trình (1) có nghiệm  (- ; 2) phương trình (4) phải có nghiệm thoả mãn điều kiện sau : -1 < t1 < < t2 < Trong f(t) = 4t2 - 2t + m - af(0) <  0,5 af(-1) > af(1) > m-3 x - 2x2 - 6x +   0,5 x-2 (x - 2)2 x-2 x x  3 0.5 x x2 - 4x + x2 x  3 3 0,5 x2 - 2x - > x2 x  3 x < -1 x>3  x 3 x>3 DeThiMau.vn x2 0,5 KL : Vậy bất phương trình cho có nghiệm : T = (-  ; 3 ]  (3; + ) 2.00 Chứng minh : Xét hàm số : f(x) = Với x  (0 ; Ta có : f'(x) = f'(x) =  2 sinx + tgx - x 3 0.5 ) cosx + -1 3 cos x 1 (cosx + cosx + )-1 3-1 cos x  f'(x)   Hàm số y = f(x) hàm số ĐB (0 ; 0,5  )  f(x) > f(0) 0,5  sinx + tgx - x >  x  (0 ; ) 3  Vì ABC nhọn nên ta có : Vậy ( sinA +  2 tgA - A) + ( sinB + tgB - B) + ( sinC + tgC - C) > 3 3 (sinA + sinB + sinC) + (tgA + tgB + tgC) > A + B + C 3 0,  (sinA + sinB + sinC) + (tgA + tgB + tgC) >  (฀) 3 2.00 Viết F(x) dạng : (  x  2)  (3 x   2) F(x) = x 1 DeThiMau.vn 1.00  x3  ) - lim x2  Vậy : A = lim ( x1 x1 x2   x2   x3  5 x 2 = lim = ) x2  ( x  1)(  x  Ta có : lim ( x1 x1 0,5  ( x  x  1) = lim =3 ( x  1)(  x  x1 Ta có : lim x2   x2  = lim x2  ( x  1)[(3 x  )  23 x   4] x1 x1 = lim ( x  7)  x   2 = 12 x1  A= = 0,5 11 =8 12 24 2.00 Đặt t = x2  dt = 2xdx x=0t=0 Khi x =  t = ta có : 1 dt dt =  I=  2 t  t 1 (t  )  Đặt t + 3 du = tgu  dt = = (1 + tg2u) du 2 2 cos u Khi t=0  u= t=1 u=  I=   0,5  0,5   (1  tg 2u ) du du  3  tg u  4 DeThiMau.vn 0,5   u   I= 0,5 2.00 Ta có : y = 3 1 x + x + + + ( x >0) 2 x x x 0,5 Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho số : 3 1 1 1 1 x ; x ; ; ; ta có : y  5 x x 2 x x x x x x  y  55  Min y =  y 0,5 5 0,5 (0; + ) Dấu "=" sảy  x = x3 = x2 = x2 = x2 2  x5 =  x = 0,5 2.00 32sinx - + (3sinx - 10) 3sinx - + - sinx = (5) Đặt t = 3sinx - với t > Khi phương trình tương đương với : 3t2 + (3sinx - 10)t + - sinx = (6)  = (3sinx - 10)2 - 4.3(3 - sinx) = (3sinx - 8)2 Phương trình (6) có nghiệm : t= 0,5 t = - sinx + Với t = 1 ta : 3sinx - =  sinx - = -1  sinx = 3 x=  + k2 + Với t = - sinx ta có : 3sinx - = - sinx (kz ) 0,5 (7) Nhận thấy sinx = nghiệm phương trình (7) 30 = - (đúng) Chứng minh sinx = nghiệm phương trình (7) : DeThiMau.vn 0,5 Vế trái y = 3sinx - hàm số đồng biến Vế phải y = - sinx hàm số nghịch biến 0,5 Mặt khác, sinx = (loại) >  KL : Vậy phương trình cho có nghiệm : x = + k2 (kz ) 2.00 Gọi A1; A2 theo thứ tự điểm đối xứng A qua (dB) (dC) A(2; -1) dB dC A1; A2  BC E F  Phương trình đường thẳng A1A2 phương trình đường thẳng B B A1 A2 C + Xác định A1 : Gọi (d1) đường thẳng thoã mãn : (d1) qua A (d1)  (dB)  (d1) qua A ( 2; -1) nhận véc tơ pháp tuyến n1 = (2; 1)  (d1) : 2x + y - = Gọi E = (d1)  (dB)  Toạ độ điểm E nghiệm hệ : 2x + y - =  E (1;1) E trung điểm AA1  A1(0;3) 0,5 x - 2y + = + Xác định A2 : Gọi (d2) đường thẳng thoã mãn : (d2) qua A (d2)  (dC)  (d2) qua A ( 2; -1) nhận véc tơ pháp tuyến n2 = (1; -1)  (d2) : x - y - = Gọi F = (d2)  (dC) Toạ độ điểm F nghiệm hệ : DeThiMau.vn 0,5 x-y-3=0  F (0; -3) Vì F trung điểm AA2  A2(-2; -5) x+y+3=0 Vậy phương trình BC xác định : BC qua A1  BC : 4x - y + = 0,5 qua A2 *Ghi : Nếu học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa đáp án Minh DeThiMau.vn Người lập Lê Thị ... = dC : x + y + = Hãy lập phương trình đường thẳng BC./ (Trích đề thi ĐH Thương mại năm 1999) CHẤM THI MƠN TỐN HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 Thời gian : 180 phút Nội dung Bài TXĐ : D=... (2 điểm) : Giải phương trình : +3Sinx = (Trích đề thi học sinh giỏi Tốn 12- tỉnh Đồng Nai - 1996) Bài (2 điểm) : Cho ABC biết A (2; -1) hai đường phân giác góc B C có phương trình : dB : x - 2y... < -1 x>3  x 3 x>3 DeThiMau.vn x2 0,5 KL : Vậy bất phương trình cho có nghiệm : T = (-  ; 3 ]  (3; + ) 2.00 Chứng minh : Xét hàm số : f(x) = Với x  (0 ; Ta có : f'(x) = f'(x) =  2 sinx