(LUẬN văn THẠC sĩ) hệ thống hóa lý thuyết và bài tập của môn xác xuất thống kê ứng dụng vào giải những bài toán vật lý

Tổng quan tình hình nghiên cứu

2.1 Các công trình của tác giả Việt Nam

Trong vòng 10 năm qua, nhiều nghiên cứu đã được thực hiện trong nước về phương pháp dạy học Xác suất thống kê (XSTK) Nổi bật là các luận án tiến sĩ tập trung vào việc ứng dụng bộ môn này, nhằm cải thiện khả năng áp dụng toán học vào thực tiễn và nâng cao hiệu quả giảng dạy XSTK tại các trường sư phạm, kinh tế, kỹ thuật, y học và quân đội.

Phan Thị Tình (2011) trong luận án tiến sĩ đã đề xuất 6 biện pháp sư phạm nhằm tăng cường vận dụng Toán học vào thực tiễn trong dạy học môn XSTK cho sinh viên Toán đại học sư phạm Các biện pháp này bao gồm: xây dựng cầu nối giữa kiến thức môn học và toán phổ thông, tăng cường tình huống thực tiễn để củng cố kiến thức, tích hợp yếu tố lịch sử vào quá trình dạy học, sử dụng hợp lý hệ thống bài toán thực tiễn, luyện tập cho sinh viên các hoạt động trong việc vận dụng toán học, và cho sinh viên tiếp cận với các dạng câu hỏi trong đề kiểm tra PISA Những ví dụ minh hoạ trong luận án là tư liệu tham khảo quan trọng cho giảng viên và sinh viên trong việc dạy và học toán theo định hướng thực tiễn.

Ngô Tất Hoạt (2012) trong luận án tiến sĩ “Nâng cao hiệu quả dạy học XSTK ở trường Đại học sư phạm kỹ thuật” đã nghiên cứu đặc điểm kiến thức XSTK và thực trạng dạy học tại các trường này Ông đề xuất một số năng lực kiến tạo kiến thức cần thiết, bao gồm năng lực dự đoán, suy luận logic, phát hiện vấn đề, kiểm nghiệm và giải quyết vấn đề, cũng như năng lực thu thập và xử lý số liệu thống kê, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học XSTK.

Trong bài viết "Dạy học XSTK ở trường Đại học Y", Đào Hồng Nam (2014) đã nêu bật mối liên hệ giữa XSTK và y học, từ lý thuyết toán học đến ứng dụng thực tiễn Tác giả nhấn mạnh tầm quan trọng của kiểm định giả thuyết thống kê trong nghiên cứu và hoạt động nghề nghiệp của bác sĩ Luận án này cung cấp tài liệu tham khảo quý giá cho các trường trong việc xây dựng chương trình đào tạo ngành y, hỗ trợ tác giả viết giáo trình XSTK cho sinh viên y khoa và giảng viên, nhằm nâng cao chất lượng đào tạo cán bộ y tế.

Luận án của Nguyễn Thị Thu Hà (2014) đã đề xuất các biện pháp dạy học XSTK nhằm tăng cường vận dụng toán học vào thực tiễn cho sinh viên khối kinh tế, kỹ thuật Các biện pháp này bao gồm khai thác tình huống thực tiễn để kích thích động cơ học tập, sử dụng ví dụ và bài toán XSTK có liên quan đến ngành nghề, hướng dẫn sinh viên kỹ thuật giải bài toán thực tiễn, khắc phục sai lầm thường gặp khi áp dụng XSTK, và khuyến khích sinh viên nghiên cứu khoa học qua các bài tập thực hành từ đơn giản đến phức tạp Những đề xuất này phù hợp với chương trình học phần XSTK tại các trường đại học ở Việt Nam.

Phạm Thị Hồng Hạnh (2016) trong luận án tiến sĩ đã làm rõ ý nghĩa và vai trò của môn XSTK đối với nghề kế toán, đồng thời đề xuất 5 biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực nghề nghiệp cho sinh viên ngành kế toán tại các trường cao đẳng công nghiệp Các biện pháp này được trình bày chi tiết để áp dụng hiệu quả trong quá trình dạy học môn XSTK.

Luận án tiến sĩ của Lê Bình Dương (2019) với đề tài “Dạy học XSTK ở các trường đại học trong quân đội theo hướng tăng cường rèn luyện kỹ năng siêu nhận thức cho học viên” đã phân tích thực trạng dạy học XSTK tại các trường đại học quân đội, làm rõ nhu cầu phát triển kỹ năng siêu nhận thức và xác định cơ hội rèn luyện cho học viên Đề xuất một số biện pháp sư phạm, luận án nhấn mạnh việc rèn luyện khả năng dự đoán, lập kế hoạch thông qua hoạt động tìm hiểu vấn đề, chuyển đổi ngôn ngữ và huy động kiến thức đã có Ngoài ra, việc đặt câu hỏi định hướng và rèn luyện kỹ năng siêu nhận thức thông qua giải quyết nhiệm vụ học tập, thiết kế tình huống sai lầm, cũng như áp dụng hình thức dạy học theo dự án sẽ tạo cơ hội cho học viên thực hiện các hoạt động dự đoán, giám sát và đánh giá khi áp dụng XSTK vào thực tiễn.

Các nghiên cứu trong nước chủ yếu tập trung vào việc giảng dạy Xác suất thống kê (XSTK) cho sinh viên các ngành như sư phạm Toán, sư phạm kỹ thuật, y khoa, kinh tế và học viên quân đội Tuy nhiên, vẫn còn thiếu các nghiên cứu về ứng dụng của XSTK trong lĩnh vực Vật lý.

Trong lĩnh vực Xác suất thống kê, ngoài các luận án tiến sĩ đã được đề cập, còn có nhiều tài liệu tham khảo quý giá trong nước, nổi bật là tác phẩm "Xác suất thống kê" của Tô Văn Ban.

(2010) [1], “Lý thuyết xác suất và thống kê toán học” của Nguyễn Quang Báu (2009)

Các giáo trình về xác suất thống kê như "Giáo trình Xác suất thống kê" của Dương Ngọc Hảo (2011) và "Xác suất thống kê và quá trình ngẫu nhiên" của Nguyễn Chí Long (2008) được sử dụng rộng rãi tại các trường đại học Việt Nam Nội dung các giáo trình này được sắp xếp logic, giúp sinh viên hiểu rõ các khái niệm, công thức và phương pháp của xác suất và thống kê toán Đặc biệt, các giáo trình chú trọng vào ứng dụng thực tiễn, cung cấp phương pháp mẫu, ước lượng và kiểm định giả thuyết thống kê, phù hợp với nghiên cứu kinh tế và khoa học kỹ thuật Bên cạnh lý thuyết, các giáo trình còn có nhiều ví dụ minh họa và bài tập phong phú, giúp sinh viên rèn luyện kỹ năng vận dụng xác suất và thống kê Tuy nhiên, hiện chưa có giáo trình nào đề cập cụ thể đến ứng dụng của xác suất thống kê trong giải quyết các bài toán vật lý.

2.2 Các công trình của tác giả nước ngoài

XSTK đóng vai trò quan trọng trong khoa học và kỹ thuật, thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả quốc tế Nhiều giáo trình XSTK từ nước ngoài đã được biên soạn dành cho sinh viên các ngành này Trong khuôn khổ khóa luận, chúng tôi nghiên cứu hai giáo trình XSTK, trong đó có “Probability & Statistics for Engineering and the Sciences” của Jay L Devore, nhằm phục vụ cho ngành khoa học kỹ thuật ứng dụng.

The book "Probability & Statistics for Engineers & Scientists" by Ronald E Walpole, Raymond H Myers, Sharon L Myers, and Keying E Ye (2012) offers a practical approach to fundamental concepts in statistics It emphasizes definitions and theorems while minimizing theoretical complexity The text includes numerous real-world examples and exercises at the end of each chapter, primarily focusing on applications in science, engineering, and economics, with a significant portion dedicated to scientific and engineering problems.

In addition to general textbooks on probability and statistics for engineering disciplines, there are specific resources for the field of physics Notable titles include "Probability and Statistics in Particle Physics" by A G Frodesen and O Skjeggestad (1997), "Probability in Physics: An Introductory Guide" by Andy Lawrence (2019), "Probability and Statistics in Experimental Physics" by Byron P Roe (2012), and "Probability for Physicists" by Simon Širca (2016) These textbooks explore the applications of probability and statistics within various areas of physics, focusing on both theoretical and experimental physics.

Các giáo trình XSTK quốc tế thường cung cấp kiến thức về lĩnh vực Vật lý phong phú hơn so với các giáo trình trong nước Mặc dù vậy, số lượng câu hỏi và bài tập liên quan đến Vật lý vẫn còn hạn chế.

Định hướng nghiên cứu của đề tài

Từ những phân tích trên, khoá luận này tập trung vào 4 câu hỏi:

- XSTK có những ứng dụng nào trong việc học các môn chuyên ngành Vật lý và nghiên cứu những vấn đề Vật lý?

- Những nội dung trọng tâm nào của XSTK được đề cập trong các giáo trình trong và ngoài nước, theo cách tiếp cận nào?

Hệ thống các câu hỏi và bài tập đề cập đến nhiều chủ đề chính, trong đó có những câu hỏi liên quan đến lĩnh vực Vật lý Các câu hỏi này không chỉ giúp người học hiểu rõ hơn về các khái niệm vật lý cơ bản mà còn khuyến khích việc áp dụng lý thuyết vào thực tiễn Việc phân tích và giải quyết các bài tập liên quan đến Vật lý là một phần quan trọng trong quá trình học tập, giúp nâng cao khả năng tư duy và giải quyết vấn đề của người học.

- Có thể khai thác những chủ đề nào trong Vật lý được giải quyết thông qua XSTK?

Mục tiêu đề tài

Hệ thống hóa nội dung lý thuyết và xây dựng hệ thống bài tập môn XSTK ứng dụng vào trong giải những bài toán Vật lý.

Phương pháp nghiên cứu: phương pháp nghiên cứu luận

- Nghiên cứu các luận án tiến sĩ chuyên ngành XSTK

- Nghiên cứu các giáo trình XSTK của các trường đại học

- Nghiên cứu sách bài tập ứng dụng XSTK trong Vật lý.

Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm có 3 chương:

Chương 1 Những vấn đề nghiên cứu Xác suất thống kê dành cho sinh viên ngành Vật lý

Chương 2 Phân tích nội dung kiến thức trọng tâm và những chủ đề bài tập Xác suất thống kê trong các giáo trình

Chương 3 Hệ thống hóa nội dung lý thuyết và xây dựng bài tập Xác suất thống kê ứng dụng giải những bài toán Vật lý.

NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU XÁC SUẤT THỐNG KÊ DÀNH CHO SINH VIÊN NGÀNH VẬT LÝ

Mục tiêu của học phần XSTK trong chương trình đào tạo dành cho sinh viên ngành Vật lý

Theo đề cương chi tiết học phần XSTK dành cho sinh viên khoa Vật lý trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh ban hành năm 2018, các mục tiêu của học phần này bao gồm việc trang bị kiến thức cơ bản về xác suất và thống kê, phát triển kỹ năng phân tích dữ liệu và áp dụng các phương pháp thống kê trong nghiên cứu khoa học, cũng như nâng cao khả năng tư duy logic và giải quyết vấn đề trong lĩnh vực vật lý.

Sau khi học xong học phần này, sinh viên

- nắm được các khái niệm cơ bản: xác suất, phân phối xác suất, số đặc trưng và một số mô hình toán thống kê…;

- nắm được tính chất, cách tính và quan hệ giữa các khái niệm nêu trên;

Hiểu rõ ý nghĩa thực tiễn của các khái niệm toán học là rất quan trọng, đặc biệt khi áp dụng chúng để giải quyết các vấn đề thực tế Việc vận dụng các khái niệm này không chỉ giúp củng cố kiến thức mà còn phát triển khả năng tư duy logic và giải quyết vấn đề hiệu quả.

1.1.2 Về năng lực chuyên môn:

- Biết cách áp dụng các khái niệm đã học để giải quyết một số vấn đề trong thực tế cuộc sống;

- Vận dụng được các công thức thống kê để giải quyết một số bài toán thực tế.

Khái quát về nội dung XSTK sử dụng trong các học phần chuyên ngành Vật lý

Trong chương trình đào tạo cử nhân của Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư Phạm TP HCM, có nhiều lĩnh vực nghiên cứu áp dụng kiến thức Xác suất và Thống kê.

Trong học phần Cơ lượng tử, việc chuẩn hóa hàm sóng và tính xác suất cho hạt tồn tại trong một vùng không gian yêu cầu kiến thức về hàm mật độ phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên Đồng thời, các tham số đặc trưng như kỳ vọng toán, phương sai và độ lệch chuẩn cũng được áp dụng để tính giá trị trung bình, độ lệch chuẩn và độ bất định của các đại lượng vật lý.

Học phần Vật lý thống kê áp dụng kiến thức từ xác suất thống kê (XSTK), bao gồm tổ hợp, xác suất gián đoạn và liên tục, hàm mật độ xác suất, cùng các công thức tính giá trị trung bình, phương sai và độ thăng giáng Bên cạnh đó, môn học còn sử dụng một số quy luật phân phối xác suất phổ biến như phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối mũ và phân phối chuẩn.

Học phần Phương pháp thực nghiệm Vật lý trang bị cho sinh viên kiến thức và kỹ năng cần thiết để tiến hành thí nghiệm vật lý, xử lý số liệu thực nghiệm và đánh giá sai số Học phần Xử lí số liệu hạt nhân tập trung vào cấu trúc hệ đo bức xạ hiện đại, nguồn sai số trong đo hoạt độ bức xạ và phương pháp khớp hàm giữa phân bố thực nghiệm và lý thuyết Cả hai học phần đều liên quan đến các khái niệm cơ bản trong xác suất thống kê như biến cố ngẫu nhiên, xác suất, và hàm phân phối xác suất Ngoài ra, các hàm phân phối như phân phối nhị thức, Poisson, Chi bình phương và Student được áp dụng trong xử lý số liệu thực nghiệm, cùng với các phương pháp ước lượng tham số, kiểm định giả thuyết và phân tích hồi quy tuyến tính.

Học phần Kiểm tra và đánh giá kết quả học tập môn Vật lý áp dụng các kiến thức thống kê cơ bản, bao gồm mẫu thống kê, các tham số đặc trưng như trung bình mẫu, phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu Ngoài ra, học phần còn tập trung vào việc ước lượng và kiểm định giả thuyết về trung bình tổng thể.

Các nội dung cơ bản của Xác suất thống kê (XSTK) được áp dụng trong học tập chuyên ngành của sinh viên khoa Vật lý bao gồm: biến cố ngẫu nhiên và công thức tính xác suất, đại lượng ngẫu nhiên cùng với các tham số đặc trưng như trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn Ngoài ra, sinh viên còn học về các quy luật phân phối xác suất thông dụng, mẫu thống kê và các tham số đặc trưng của mẫu, cũng như ước lượng và kiểm định giả thuyết cho các tham số tổng thể Cuối cùng, việc phân tích mối tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên và công thức hồi quy tuyến tính cũng là những nội dung quan trọng trong chương trình học.

Cấu trúc nội dung kiến thức XSTK ứng dụng trong giải quyết các vấn đề Vật lý

Dựa trên kiến thức XSTK quan trọng cho sinh viên ngành Vật lý, chúng tôi đề xuất cấu trúc mạch kiến thức cần thiết nhằm hỗ trợ việc học các học phần chuyên ngành.

Chương 1: Đại cương về xác suất

1.1 Bổ túc về giải tích tổ hợp

1.2 Phép thử và biến cố

1.3 Các định nghĩa về xác suất của biến cố

1.4 Các công thức tính xác suất

1.6 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

2.2 Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất

2.4 Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

2.4.4 Hiệp phương sai và hệ số tương quan

Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

3.1 Các phân phối rời rạc

3.2 Các phân phối liên tục

3.2.3 Phân phối Chi-bình phương

Chương 4: Các định lý giới hạn

4.1 Định lý giới hạn Poisson

4.2 Định lý giới hạn Moirve – Laplace

4.3 Định lý giới hạn trung tâm

4.4 Bất đẳng thức Chebyshev Luật số lớn

Chương 5: Cơ sở lý thuyết mẫu

5.1 Một số khái niệm về mẫu

5.3 Tính chất của đặc trưng mẫu

Chương 6: Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên

6.2.1 Ước lượng khoảng trung bình tổng thể

6.2.2 Ước lượng khoảng tỷ lệ tổng thể

6.2.3 Ước lượng khoảng phương sai tổng thể

Chương 7: Kiểm định giả thiết thống kê

7.2 Kiểm định giả thuyết về tỉ lệ tổng thể

7.3 Kiểm định giả thuyết về trung bình của tổng thể

7.4 Kiểm định giả thuyết về phương sai của tổng thể

7.5 Kiểm định giả thuyết về phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

Chương 8: Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính

8.1 Phân tích tương quan tuyến tính

8.2 Phân tích hồi quy tuyến tính

PHÂN TÍCH NỘI DUNG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRONG CÁC GIÁO TRÌNH

Phân tích chương 1: “Đại cương về xác suất”

2.1.1 Phân tích nội dung kiến thức

Chương 1 tập trung vào các khái niệm cơ bản của xác suất, bao gồm kiến thức về giải tích tổ hợp, phép thử và biến cố, cũng như mối quan hệ và các phép tính giữa các biến cố Bên cạnh đó, chương còn trình bày khái niệm xác suất, công thức tính xác suất, xác suất có điều kiện, công thức Bernoulli, công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes.

Cả hai tài liệu GT1 và GT2 đều cung cấp đầy đủ nội dung, nhưng có sự khác biệt trong cách sắp xếp kiến thức GT1 trình bày khái niệm cùng với các quy tắc và định lý liên quan, tạo ra mạch kiến thức liên kết hơn, trong khi GT2 trình bày tất cả khái niệm trước, sau đó mới đến quy tắc và định lý.

Về cách tiếp cận lý thuyết xác suất, trong khi GT1 trình bày trực tiếp các khái niệm toán học thì GT2 có sự dẫn dắt mở đầu:

Sự khát khao vô tận của con người đối với bài bạc đã thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết xác suất Để tăng khả năng thắng cược, người chơi đã tìm đến các nhà toán học như Pascal, Leibniz, Fermat và James Bernoulli để nhận được chiến lược cho các trò chơi may rủi Kết quả của lý thuyết xác suất đã mở rộng ra ngoài các trò chơi này, ảnh hưởng đến nhiều lĩnh vực như chính trị, kinh doanh, dự báo thời tiết và nghiên cứu khoa học Để đưa ra những dự đoán và khái quát hóa chính xác, việc hiểu biết về xác suất cơ bản là rất cần thiết.

Khi chúng ta nói “John có thể chiến thắng trong trận quần vợt” hay “Tôi có cơ hội 50-50 nhận được số chẵn khi gieo xúc sắc”, chúng ta đang diễn đạt những khả năng không chắc chắn Những tuyên bố này phản ánh mức độ tin cậy dựa trên thông tin từ quá khứ hoặc hiểu biết về cấu trúc của phép thử Ví dụ, khi nói “Tôi không có khả năng thắng trong việc chơi lô tô tối nay” hay “Hầu hết lớp tốt nghiệp của chúng tôi sẽ kết hôn trong vòng 3 năm tới”, chúng ta cũng đang thể hiện sự không chắc chắn nhưng với những cơ sở nhất định.

Việc dẫn dắt này cho thấy ý nghĩa của các kiến thức trong thực tiễn và kết nối với thực tiễn

Các GT1 cung cấp ba định nghĩa xác suất: cổ điển, thống kê và hình học, với sự chi tiết hơn so với GT2 Tác giả Nguyễn Quang Báu phân tích ưu và nhược điểm của định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển, đồng thời trình bày ứng dụng của định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê và hình học.

Cách tính xác suất theo định nghĩa cổ điển rất đơn giản và trực quan, nhưng chỉ áp dụng cho các phép thử có số kết cục hữu hạn và mọi kết cục đều có khả năng xuất hiện như nhau Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê mở rộng phạm vi ứng dụng, cho phép phân tích các tình huống phức tạp hơn.

Khi áp dụng định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê, chúng ta không thể thực hiện vô hạn các phép thử và không thể tính chính xác xác suất biến cố A theo công thức Thay vào đó, giá trị tần suất xuất hiện của biến cố A trong một loạt phép thử lớn được sử dụng làm giá trị gần đúng cho xác suất P(A) Phương pháp này rất hiệu quả trong việc tìm ra quy luật phức tạp như thời tiết, tỷ lệ phế phẩm, truyền tin qua các tầng điện ly, kích thước quần áo may sẵn, và nghiên cứu công hiệu của thuốc Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê đã khắc phục hạn chế của định nghĩa cổ điển, vốn yêu cầu các kết cục của phép thử phải đồng khả năng xuất hiện Để giải quyết vấn đề này, định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học đã được đưa ra, cho phép xác suất được xác định mà không cần số kết cục cụ thể và hữu hạn.

Xét một phép thử với vô hạn các kết cục đồng khả năng, ta có thể biểu diễn tập hợp mọi kết cục này bằng một miền hình học G Những kết cục thuận lợi cho biến cố A xuất hiện được xác định bởi một miền hình học con g thuộc G Dựa trên giả thuyết này, xác suất của biến cố A được tính bằng tỉ số giữa "kích thước" miền g và "kích thước" miền G.

Ngoài ra, các GT1 đề cập đến nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật

Trong một hệ thống thiết bị gồm nhiều linh kiện, độ tin cậy của mỗi linh kiện được xác định bằng xác suất hoạt động tốt trong khoảng thời gian T (như 1 giờ, 24 giờ) Tương tự, độ tin cậy của toàn bộ hệ thống là xác suất để hệ thống hoạt động ổn định trong khoảng thời gian đã định.

Một vấn đề kỹ thuật đặt ra là: cho biết độ tin cậy của từng linh kiện, hãy tính độ tin cậy của hệ thống

Bài toán xác suất trong hệ thống yêu cầu xác định thời gian hoạt động hiệu quả dựa trên mối quan hệ giữa các linh kiện, bao gồm ghép nối tiếp, ghép song song hoặc ghép hỗn hợp, cùng với số lượng linh kiện có trong hệ thống Giáo trình [2] đã đưa ra một ví dụ cụ thể để minh họa cho dạng toán này.

Một hệ thống gồm 40 linh kiện loại A với độ tin cậy của mỗi chiếc p A =0,99;

Trong một hệ thống, có 25 linh kiện loại B với độ tin cậy mỗi chiếc là pB = 0,9 và 5 linh kiện loại C với độ tin cậy mỗi chiếc là pC = 0,75 Giá thành của mỗi linh kiện loại A, B và C lần lượt là 1, 1,5 và 5 (đơn vị tiền).

Lập một hệ thống dự phòng toàn diện bằng cách đánh giá độ tin cậy và chi phí, sau đó so sánh với hệ thống dự phòng từng cụm, trong đó không sử dụng loại A mà lắp thêm một bộ loại B và hai bộ loại C.

[2, tr.24] Để minh họa cụ thể cho tính chất độc lập của các biến cố, GT2, cụ thể giáo trình

[28] đã đưa ra một ví dụ minh họa cụ thể trong lĩnh vực cơ học lượng tử như sau:

Vòng quay trong một hệ lượng tử có thể có hai hình chiếu: 1

−2 (spin “hướng xuống”, ) Hướng của vòng được đo hai lần liên tiếp Chúng ta thực hiện phép gán các biến cố như sau: biến cố A là “spin

Trong phép đo đầu tiên, biến cố B được xác định là "spin ↑", trong khi trong phép đo thứ hai, biến cố C là "cả hai phép đo đều hiển thị cùng một phép chiếu" Không gian mẫu cho các cặp định hướng đo được là S = {↑↑, ↑↓, ↓↑, ↓↓} Ba biến cố được chọn tương ứng với các tập con là: A = {↑↑, ↑↓}, B = {↑↑, ↓↑}.

Hình 2.1 Mô tả trạng thái spin lượng tử [28]

Khi đó, ta có xác suất:

P AB =P A P B =P AC =P A P C =P BC =P B P C nên ,A B và C là các cặp biến cố độc lập Mặt khác,

P ABC =  =P A P B P C nên các biến cố không độc lập lẫn nhau

Trong chương này, GT2 sẽ giải quyết vấn đề liên quan đến các phân bố Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein và Fermi-Dirac trong lĩnh vực Vật lý thống kê.

Trong một hệ gồm n hạt, trạng thái của mỗi hạt được mô tả qua các giá trị p, như thành phần của vectơ vị trí, động lượng tuyến tính hay số lượng tử quay Mỗi trạng thái hạt có thể được biểu diễn bằng một ô lượng tử p, tạo thành một điểm trong không gian p chiều Toàn bộ trạng thái của hệ thống được xác định bởi n ô lượng tử của các điểm này.

Phân tích chương 2: “Đại lượng ngẫu nhiên Vectơ ngẫu nhiên Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên”

2.2.1 Phân tích nội dung kiến thức

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về đại lượng ngẫu nhiên và vectơ ngẫu nhiên, bao gồm định nghĩa, phân loại, phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất, và các tham số đặc trưng GT1 tiếp cận kiến thức theo hình thức diễn dịch, bắt đầu với lý thuyết và sau đó là ví dụ minh họa, trong khi GT2 áp dụng phương pháp quy nạp, dẫn dắt người học từ một vấn đề cụ thể đến nội dung lý thuyết.

Giá trị trung bình mẫu là giá trị trung bình số học của dữ liệu Khi tung 2 đồng xu 16 lần, số lần mặt ngửa (X) có thể là 0, 1 hoặc 2 Giả sử kết quả của các phép thử không có mặt ngửa, một mặt ngửa và hai mặt ngửa lần lượt là 4, 7 và 5 Từ đó, giá trị trung bình số lần xuất hiện mặt ngửa sau mỗi lần ném hai đồng xu được tính toán dựa trên các kết quả này.

Giá trị trung bình của dữ liệu không nhất thiết phản ánh kết quả có thể xảy ra trong một tập hợp cụ thể Ví dụ, thu nhập trung bình hàng tháng của một nhân viên bán hàng có thể không tương ứng với bất kỳ mức lương hàng tháng cụ thể nào của họ.

Bây giờ chúng ta sẽ viết lại biểu thức giá trị trung bình xuất hiện mặt ngửa sau mỗi lần ném của hai đồng xu như sau:

Trong nghiên cứu xác suất, 16 là các phân số biểu thị tần số tương đối của các kết quả không có mặt ngửa, một mặt ngửa và hai mặt ngửa trong tổng số lần ném Những phân số này phản ánh tần suất xuất hiện của các giá trị khác nhau trong phép thử Đặc biệt, chúng ta có thể tính giá trị trung bình của một tập hợp dữ liệu chỉ dựa vào các giá trị riêng biệt và tần số tương đối của chúng, mà không cần biết tổng số quan sát trong bộ dữ liệu.

16 lần tung kết quả không có mặt ngửa, 7

16 lần tung được 1 mặt ngửa và 5

16 lần tung được 2 mặt ngửa, số lượng trung bình xuất hiện mặt ngửa sau mỗi lần ném sẽ là 1, 06 cho dù tổng số lần ném là 16,1000 hay thậm chí 10000.

Phương pháp tần số được sử dụng để tính giá trị trung bình số mặt ngửa xuất hiện khi tung hai đồng xu Giá trị trung bình này được coi là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là μ hoặc μX Trong thống kê, giá trị này thường được gọi là kỳ vọng toán học, hay giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, và được ký hiệu là E(X).

Cách tiếp cận quy nạp như GT2 cho thấy con đường dẫn đến khái niệm, còn cách tiếp cận diễn dịch như GT1 cho thấy ứng dụng của nó

Bên cạnh đó, GT2 có đề cập đến một ứng dụng của hàm mật độ xác suất trong lĩnh vực cơ học lượng tử:

Là nhà Vật lý, chúng tôi thường tính toán giá trị kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên trong cơ học thống kê và cơ học lượng tử Giá trị kỳ vọng của toán tử  trong trạng thái nhất định của hệ cơ học lượng tử, chẳng hạn như trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro, được mô tả bởi hàm sóng .

Toán tử  ảnh hưởng đến phần bên phải của tích phân , sau đó kết quả được nhân từ bên trái bởi liên hợp phức  * và được tính trên toàn bộ miền không gian Nếu  ( ) r = z, chúng ta có thể tính giá trị kỳ vọng theo cách sau:

= đây là tích phân của hai hàm vô hướng, hàm thứ hai,  ( ) r , là hàm mật độ xác suất

Ví dụ: Một electron chuyển động trong điện trường của hạt nhân chì được mô tả bởi hàm:

Hạt nhân có bán kính khoảng 7.10 -15 m và được xem như một quả cầu tích điện dương với bán kính r B ≈ 6,46.10 -13 m Để xác định xác suất tồn tại của electron trong hạt nhân, ta cần tính giá trị kỳ vọng của toán tử θ(r) = 1, qua đó xác định thời gian mà electron có thể ở trong quả cầu bán kính R.

Do tính chất đối xứng góc, phần tử thể tích chỉ đơn giản là dV =4r dr 2 , do đó:

Kết quả gần như giống hệt nhau được thu được khi giả định thực tế  không thay đổi trong khoảng   0, R , điều này là hợp lý vì R lớn hơn r B Trong trường hợp này, chúng ta tính được P = ( ) 1  r B − 3 ( 4  R 3 3 ) = ( )( 4 3 R r B ) 3  1, 69.10 − 6.

2.2.2 Phân tích phần bài tập

Cả GT1 và GT2 đều cung cấp đầy đủ các câu hỏi trọng tâm như lập bảng phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất, và mối quan hệ giữa chúng, cũng như tính toán các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên như kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, hiệp phương sai và hệ số tương quan Tuy nhiên, phần lớn các câu hỏi tập trung vào các lĩnh vực kinh tế và đời sống, với rất ít bài tập liên quan đến Vật lý Chúng tôi đã tìm thấy hai bài toán liên quan đến lĩnh vực này.

Bài 1 Một yếu tố quan trọng trong nhiên liệu của tên lửa rắn là sự phân bố kích thước của các hạt Một số vấn đề sẽ xảy ra nếu kích thước của hạt quá lớn Từ dữ liệu sản xuất trong quá khứ, người ta đã xác định rằng phân bố kích thước hạt (tính bằng micromet) được xác định bởi:

Để chứng minh rằng đây là hàm mật độ xác suất, trước tiên cần xác định các điều kiện cần thiết Tiếp theo, ta sẽ tìm hàm phân phối F(x) để có cái nhìn tổng quát hơn về phân phối xác suất Cuối cùng, chúng ta sẽ tính xác suất mà một hạt ngẫu nhiên được chế tạo từ nhiên liệu có kích thước vượt quá 4 micromet.

Bài 2 Các phép đo của các hệ thống khoa học luôn có sai số, nhiều hơn các hệ thống khác Có nhiều cấu trúc cho lỗi đo lường và các nhà thống kê dành rất nhiều thời gian để mô hình hóa các lỗi này Giả sử sai số đo của một đại lượng vật lý X nhất định được quyết định bởi hàm mật độ

Để xác định giá trị k cho hàm f(x) trở thành hàm mật độ xác suất, chúng ta cần đảm bảo rằng tổng diện tích dưới đường cong là 1 Tiếp theo, để tính xác suất cho một lỗi ngẫu nhiên trong phép đo nhỏ hơn 0,5, chúng ta sẽ tích phân hàm mật độ từ 0 đến 0,5 Cuối cùng, để tìm xác suất xảy ra sai số x vượt quá 0,8 trong một phép đo cụ thể không mong muốn, chúng ta cần tính tích phân từ 0,8 đến vô cùng.

Phân tích chương 3: “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng”

2.3.1 Phân tích nội dung kiến thức

Các quy luật phân phối xác suất được chia thành hai nhóm chính: biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục Biến ngẫu nhiên rời rạc bao gồm các phân phối như phân phối nhị thức và phân phối Poisson Trong khi đó, biến ngẫu nhiên liên tục bao gồm các phân phối đều, phân phối chuẩn, phân phối mũ, phân phối Chi-bình phương và phân phối Student Cả GT1 và GT2 đều tương đồng về nội dung kiến thức các quy luật phân phối, nhưng GT1 không đề cập đến các ứng dụng trong lĩnh vực Vật lý, trong khi GT2 cung cấp những ví dụ minh họa và ứng dụng cụ thể cho từng quy luật phân phối.

Giáo trình [28] cung cấp các ví dụ minh họa về các lĩnh vực Vật lý liên quan đến quy luật phân phối xác suất, trong đó có quy luật phân phối Poisson Một bài toán ví dụ được nêu ra để giải thích rõ hơn về ứng dụng của quy luật này.

Trung bình mỗi ngày, bề mặt Trái đất tiếp nhận khoảng 25 thiên thạch va chạm Để tính xác suất trong 10 năm có ít nhất một trong số N = 7 x 10^9 cư dân trên Trái đất bị thiên thạch đâm vào, cần biết rằng diện tích bề mặt trung bình của mỗi người là 0,2 m².

2.3.2 Phân tích phần bài tập

Các câu hỏi và bài tập về quy luật phân phối xác suất trong lĩnh vực Vật lý vẫn chưa được khai thác nhiều trong tài liệu hiện có Chúng tôi chỉ ghi nhận được ba câu hỏi liên quan đến chủ đề này.

Khi đặt một máy đếm gần nguồn phóng xạ, xác suất ghi nhận một hạt phát ra từ nguồn này là 10^(-4) Trong khoảng thời gian quan sát, có tổng cộng 40.000 hạt được phát ra từ nguồn phóng xạ.

(a) Tìm xác suất sao cho máy đếm ghi được trên sáu hạt

(b) Tìm xác suất sao cho máy đếm không ghi được hạt nào cả

(c) Tính số hạt ít nhất mà nguồn phóng xạ cần phát ra sao cho với xác suất lớn hơn 0,945 máy đếm ghi được không ít hơn bốn hạt

Sự nhiễu tín hiệu trong các mạch điện thường tuân theo phân phối chuẩn, với biến ngẫu nhiên X có giá trị trung bình X = 0V và phương sai σ_X² = 8V².

(1) Tính xác suất tín hiệu nhiễu vượt quá giá trị 10 − 4 V và xác suất giá trị của nó nằm trong khoảng giữa −2.10 − 4 V và 10 − 4 V

(2) Xác suất mà giá trị nhiễu vượt quá 10 − 4 V là bao nhiêu, biết rằng nó dương?

(3) Tính giá trị kỳ vọng của X

Trong một thí nghiệm, các hạt tích điện được đếm bởi một máy dò có hiệu suất không lý tưởng, với xác suất phát hiện hạt là p < 1 Giả sử X là số hạt đi qua máy dò trong khoảng thời gian cố định t, với phân phối Poisson có giá trị trung bình là λ Để tính xác suất phát hiện r hạt trong khoảng thời gian t, ta cần áp dụng công thức xác suất của phân phối Poisson, trong đó xác suất phát hiện r hạt sẽ phụ thuộc vào giá trị λ và p.

Phân tích chương 4: “Các định lý giới hạn”

2.4.1 Phân tích nội dung kiến thức

Các định lý giới hạn bao gồm định lý giới hạn Poisson, định lý giới hạn Moivre – Laplace, định lý giới hạn trung tâm và định lý Chebyshev Định lý Chebyshev chỉ ra rằng mặc dù từng đại lượng ngẫu nhiên độc lập có thể có giá trị khác xa so với kỳ vọng toán, nhưng trung bình số học của một tập hợp lớn các đại lượng ngẫu nhiên sẽ gần với trung bình số học của các kỳ vọng toán với xác suất cao Định lý này được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, trong đó có vật lý, nơi nó đóng vai trò quan trọng trong việc đo lường.

Định lý Chebyshev đóng vai trò quan trọng trong các phép đo vật lý, nơi người ta thực hiện nhiều lần đo lường và lấy giá trị trung bình làm đại diện cho giá trị thực của đại lượng cần đo Ngoài ra, định lý này cũng là nền tảng cho các phương pháp trong thống kê.

Trong các bài toán thực nghiệm, việc xác định khả năng xuất hiện của một biến cố qua nhiều phép thử thường sử dụng phân phối nhị thức để tính xác suất Tuy nhiên, phân phối này chỉ thích hợp khi số lượng phép thử tương đối nhỏ Đối với trường hợp số lượng phép thử lớn và xác suất nhỏ, phân phối Poisson được áp dụng thông qua định lý giới hạn Poisson Để tính xấp xỉ các xác suất, định lý giới hạn trung tâm sử dụng quy luật phân phối chuẩn.

Giả sử X X 1 , 2 , ,X n , là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối xác suất E X ( ) i =, Var X ( ) i = 2 ,i Khi đó:

Tức là: với n khá lớn thì tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối xác suất sẽ có phân phối chuẩn với E X ( ) = n  và Var X ( ) = n  2

Trong thực hành thống kê, giá trị n thường được chọn là n≥30, vì các định lý giới hạn trung tâm đóng vai trò quan trọng trong việc áp dụng thống kê toán học vào thực tế.

Sai số trong phép đo vật lý thường xuất phát từ sự kết hợp của nhiều đại lượng ngẫu nhiên Mặc dù mỗi đại lượng ngẫu nhiên có ảnh hưởng không đáng kể, nhưng tổng thể các sai số này dẫn đến việc sai số trong phép đo có phân phối xấp xỉ chuẩn.

Cả GT1 và GT2 đều cung cấp nội dung chi tiết về các định lý giới hạn trong xác suất Tuy nhiên, GT1 tách riêng các định lý này thành một chương hoặc một phần riêng trong chương, trong khi GT2 lại tích hợp chúng vào các quy luật phân phối.

2.4.2 Phân tích phần bài tập

Các định lý giới hạn trong xác suất có ứng dụng rộng rãi trong kinh tế và khoa học kỹ thuật Những câu hỏi và bài tập liên quan đến chủ đề này thường tương tự như các câu hỏi về quy luật phân phối xác suất ở chương 3 Để giải quyết các bài toán về quy luật phân phối xác suất, chúng ta áp dụng các định lý giới hạn như định lý giới hạn Poisson hoặc định lý giới hạn trung tâm, nhằm chuyển đổi các phân phối về dạng phân phối Poisson hoặc phân phối chuẩn Đối với các bài toán yêu cầu ước lượng hoặc đánh giá xác suất theo một điều kiện nhất định, bất đẳng thức Chebyshev sẽ được sử dụng để tìm ra giải pháp.

Mặc dù định lý Chebyshev và định lý giới hạn trung tâm rất quan trọng trong các phép đo vật lý, nhưng các giáo trình hiện tại thường bỏ qua việc thảo luận về các ứng dụng thực tiễn của những định lý này trong lĩnh vực đo lường.

Phân tích chương 5: “Lý thuyết mẫu”

2.5.1 Phân tích nội dung kiến thức

Chương "Lý thuyết mẫu" đánh dấu sự chuyển tiếp sang phần thống kê toán trong môn học, bao gồm các nội dung quan trọng như tổng thể và mẫu, phương pháp chọn mẫu, cùng với các tham số đặc trưng của mẫu Cả hai giáo trình GT1 và GT2 đều cung cấp kiến thức đầy đủ và minh họa bằng các ví dụ cụ thể để làm rõ các công thức liên quan.

2.5.2 Phân tích phần bài tập

Chương này tập trung vào các bài tập tính toán các tham số đặc trưng của mẫu, bao gồm trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn Nội dung của các câu hỏi và bài tập trong GT1 và GT2 chủ yếu liên quan đến các lĩnh vực kinh tế và khoa học kỹ thuật Tuy nhiên, các bài toán mẫu nghiên cứu trong lĩnh vực Vật lý không được đề cập trong các giáo trình.

Phân tích chương 6: “Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên”

2.6.1 Phân tích nội dung kiến thức

Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản liên quan đến bài toán ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên, trong đó tập trung vào hai phương pháp ước lượng: ước lượng điểm và ước lượng khoảng tin cậy Phương pháp ước lượng điểm nghiên cứu các tiêu chuẩn không chệch, hiệu quả và vững để xác định hàm ước lượng tốt nhất Nội dung chính của chương là phương pháp ước lượng khoảng với độ tin cậy cho các tham số cơ bản như trung bình tổng thể (μ), tỷ lệ tổng thể (p) và phương sai tổng thể (s²) Phương pháp ước lượng khoảng có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như kinh tế, y học, sinh học và vật lý học Mặc dù GT1 và GT2 chủ yếu đề cập đến các lĩnh vực kinh tế và y học, nhưng chỉ GT2 đưa ra một ví dụ liên quan đến lĩnh vực vật lý.

Phép đo khối lượng của một hạt nhỏ trong 11 lần đo mang lại giá trị trung bình là m=4,180GeV c 2 và ước lượng không chệch cho độ lệch chuẩn

0, 060 2. s m = GeV c Xác định khoảng tin cậy cho khối lượng thực của hạt với độ tin cậy 1− = 0,90 [28, tr.190]

2.6.2 Phân tích phần bài tập

Hệ thống câu hỏi và bài tập về ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên trong GT1 và GT2 rất phong phú, bao gồm nhiều lĩnh vực khoa học Tuy nhiên, các câu hỏi và bài tập ước lượng trong lĩnh vực nghiên cứu Vật lý vẫn chưa được đề cập trong các giáo trình hiện có.

Phân tích chương 7: “Kiểm định giả thuyết thống kê”

2.7.1 Phân tích nội dung kiến thức

Trong chương này, cả GT1 và GT2 đều xây dựng nội dung một số phép kiểm định thống kê như sau:

- Kiểm định giả thuyết trung bình của tổng thể

- Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của hai tổng thể

- Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ tổng thể

- Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của hai tỷ lệ

- Kiểm định giả thuyết về phương sai của tổng thể

- Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của hai phương sai

- Kiểm định giả thuyết về phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

- Kiểm định giả thuyết về tính độc lập

Trong nghiên cứu này, chúng tôi tập trung vào việc kiểm định các tham số cơ bản của phân phối chuẩn, bao gồm trung bình (μ), phương sai (σ²) và tỷ lệ tổng thể (p) Chúng tôi sẽ sử dụng các mẫu đã được cung cấp thông tin để thực hiện các phép kiểm định liên quan đến phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên.

Qua việc phân tích các giáo trình về phép kiểm định tham số thống kê và phân phối xác suất, chúng tôi nhận thấy GT1 và GT2 có nhiều điểm tương đồng trong nghiên cứu các phép kiểm định giả thuyết thống kê, từ việc xem xét bài toán kiểm định đến việc nêu rõ các quy tắc kiểm định cho từng tham số Mỗi phép kiểm định đều kèm theo các ví dụ cụ thể, giúp người học hiểu cách áp dụng vào các bài toán thực tiễn Tuy nhiên, cả hai nhóm tài liệu vẫn thiếu các bài toán kiểm định liên quan đến lĩnh vực Vật lý, ngoại trừ tài liệu [28] đã cung cấp ví dụ về kiểm định trung bình và phương sai tổng thể trong lĩnh vực này.

Bằng cách sử dụng 12 nhiệt kế hoàn toàn giống nhau để đo nhiệt độ, chúng tôi thu được số liệu như sau:

Với mức ý nghĩa =0, 05, chúng tôi có thể khẳng định rằng nhiệt độ thực trong quá trình đo cao hơn  0 2,8 0 C không?

Để thiết kế máy dò, cần nhiều dây điện cực với chiều dài cụ thể, với dung sai độ dài tối đa là 0 2 = 100 (m) 2 Việc đo chiều dài một cách chính xác yêu cầu rất khắt khe, do đó chỉ có thể chọn một mẫu nhỏ 10 n = điện cực, với phương sai phép đo s 2 x = 142 (m) 2 Với mức ý nghĩa thống kê 5%, cần kiểm tra xem chiều dài dây điện cực trong tổng thể có dao động quá mức hay không.

2.7.2 Phân tích phần bài tập

Các bài tập kiểm định giả thuyết thống kê trong GT1 và GT2 thường tập trung vào nhiều lĩnh vực như kinh tế, giáo dục, y học, sinh học và khoa học kỹ thuật Tuy nhiên, các bài toán kiểm định liên quan đến lĩnh vực Vật lý học vẫn chưa được đề cập trong các giáo trình hiện có.

Phân tích chương 8: “Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính”

2.8.1 Phân tích nội dung kiến thức

Trong nhiều bài toán thực tế, chúng ta thường gặp hai đại lượng ngẫu nhiên có mối quan hệ với nhau, trong đó một đại lượng dễ khảo sát và đại lượng còn lại khó khảo sát hơn Để dự đoán đại lượng khó khảo sát, cần tìm hiểu mối liên hệ giữa hai đại lượng này Chương này tập trung nghiên cứu mối quan hệ giữa hai đại lượng ngẫu nhiên thông qua hai phương pháp: phân tích tương quan với hệ số tương quan Pearson và phương trình hồi quy tuyến tính Hai giáo trình GT1 và GT2 đều trình bày đầy đủ nội dung này nhưng có sự khác biệt trong tiến trình xây dựng kiến thức; GT1 nhắc lại khái niệm hệ số tương quan từ chương trước trước khi giới thiệu hệ số tương quan mẫu, trong khi GT2 xây dựng khái niệm hệ số tương quan mẫu trước và sau đó liên hệ với khái niệm đã học.

2.8.2 Phân tích phần bài tập

Cả GT1 và GT2 đều cung cấp nhiều bài toán về tương quan và phương trình hồi quy tuyến tính trong khoa học kỹ thuật và kinh tế Trong lĩnh vực Vật lý, phương pháp hồi quy tuyến tính được ứng dụng để nghiên cứu sự thay đổi của một đại lượng theo đại lượng khác Tuy nhiên, các chủ đề bài tập trong GT1 và GT2 chưa đề cập đến các bài toán hồi quy trong khoa học Vật lý.

HỆ THỐNG HÓA NỘI DUNG LÝ THUYẾT VÀ XÂY DỰNG BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ỨNG DỤNG GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN VẬT LÝ

Chương 1: “Đại cương về xác suất”

- Nhắc lại kiến thức về giải tích tổ hợp: quy tắc cộng, quy tắc nhân, chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp;

- Các khái niệm cơ bản như: phép thử, kết cục, biến cố và xác suất;

- Công thức tính xác suất theo định nghĩa cổ điển: định nghĩa, phương pháp liệt kê, phương pháp sử dụng đại số tổ hợp;

- Công thức tính xác suất theo định nghĩa thống kê;

- Mối quan hệ giữa các biến cố: tổng, tích, độc lập, xung khắc, nhóm đầy đủ, đối lập;

- Các công thức tính xác suất: công thức nhân xác suất, công thức cộng xác suất, công thức xác suất đầy đủ, công thức Bernoulli và công thức Bayes

3.1.2 Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Đại cương về xác suất” Để so sánh hoặc đánh giá một hoặc nhiều biến cố về khả năng xuất hiện trong một phép thử tương ứng, người ta gán cho mỗi biến cố một con số không âm sao cho với hai biến cố bất kỳ, biến cố nào có khả năng xuất hiện nhiều hơn thì gán cho số lớn hơn, các biến cố có cùng khả năng xuất hiện thì gán cho cùng một con số Con số được gán cho các biến cố được gọi là xác suất của biến cố Ta xét bài toán tính xác suất của biến cố sau:

Trong một mạch điện mắc nối tiếp gồm hai bộ phận, khả năng hoạt động của bộ phận thứ nhất và thứ hai lần lượt là 0,95 và 0,98 Khi mạch điện ngừng hoạt động, cần tính xác suất hỏng hóc do bộ phận thứ hai Bài toán này không thể giải quyết bằng các công cụ tính xác suất cơ bản đã học trong chương trình phổ thông Kiến thức trong chương này sẽ cung cấp cách giải quyết tường minh cho bài toán xác suất trên.

3.1.3 Xây dựng bài tập chương “Đại cương về xác suất”

Trong lĩnh vực Vật lý thống kê, ba phân bố quan trọng là Maxwell – Boltzmann, Fermi – Dirac và Bose – Einstein Để xác định xác suất của các hạt trong các phân bố này, người ta áp dụng công thức giải tích tổ hợp cùng với công thức tính xác suất cổ điển.

Bài 1.1 Xét mô hình một khối khí gồm n hạt (phân tử), thể tích của hệ được chia thành q hộp ( q  n ) Chúng ta đặt ngẫu nhiên n hạt vào q hộp Tìm xác suất p để các hạt được tìm thấy ở n hộp chọn trước (mỗi hạt chỉ ở trong một hộp) Xét các trường hợp sau: a) M – B (Maxwell – Boltzmann) – các hạt coi là khác nhau, tất cả các khả năng đều có thể được; b) F – D (Fermi – Dirac) – không thể phân biệt được các hạt, một hộp chứa nhiều nhất một hạt; c) B – E (Bose – Einstein) – không thể phân biệt được các hạt, tất cả các khả năng đều có thể được;

Hướng dẫn giải a) Phân bố Maxwell – Boltzmann (các hạt coi là khác nhau, tất cả các khả năng đều có thể được)

Hình 3.1 Mô tả phân bố Maxwell – Boltzmann

Tổng số cách đặt n hạt vào q hộp là: q n

Số hoán vị n hạt trong n hộp đã chọn là: !n n hạt q hộp

Vậy xác suất để các hạt được tìm thấy ở n hộp chọn trước là: !. n p n

= q b) Phân bố Fermi – Dirac (không thể phân biệt được các hạt, một hộp chứa nhiều nhất một hạt)

Số cách chọn n hộp trong q hộp để chứa n hạt là:

Vậy xác suất để các hạt được tìm thấy ở n hộp chọn trước là:

= = − c) Phân bố Bose – Einstein (không thể phân biệt được các hạt, tất cả các khả năng đều có thể được)

Hình 3.2 Mô tả phân bố Bose – Einstein

Mỗi hộp có thể chứa nhiều hơn 1 hạt

Số cách chọn ra n hạt từ ( n + − q 1 ) phần tử: 1 ( ( ) )

− Vậy xác suất để các hạt được tìm thấy ở n hộp chọn trước là:

+ − Xét một bài toán tính xác suất điển hình trong phân bố Bose – Einstein như sau:

Bài 1.2 Xét một hệ thống gồm hai chất rắn Einstein, A và B trao đổi năng lượng với nhau Mỗi chất rắn chứa 1 nguyên tử Giả sử hệ thống trao đổi tổng cộng 6 đơn vị năng lượng, các chất rắn được đưa đến gần và tương tác, tổng năng lượng được giữ cố định Biết rằng mô hình chất rắn Einstein tuân theo phân bố Bose – Einstein, nghĩa là số trạng thái vi mô của mỗi chất rắn được tính theo công thức

Hệ thống này có q hộp và n hạt, với (q – 1) vách ngăn, tạo ra nhiều trạng thái vi mô khác nhau Khi hệ thống ở trạng thái cân bằng nhiệt, xác suất để tìm thấy toàn bộ năng lượng trong chất rắn A cần được xác định Đồng thời, cũng cần tính xác suất để tìm thấy chính xác một nửa năng lượng trong chất rắn A.

Hướng dẫn giải a) Số trạng thái vi mô khác nhau của hệ thống:

 + Mỗi nguyên tử có 3 dao động tử điều hòa lượng tử 1 chiều nên q A =q B =3. n A A 1

Tổng số trạng thái vi mô của hệ thống là 462 trạng thái Nếu hệ thống đang ở trạng thái cân bằng nhiệt, xác suất để tìm thấy toàn bộ năng lượng trong chất rắn A sẽ được xác định dựa trên các trạng thái vi mô này.

 c) Xác suất tìm thấy chính xác một nữa năng lượng trong chất rắn A :

Trong vật lý và kỹ thuật, nhiều bài toán sử dụng các công thức tính xác suất như công thức cộng xác suất, công thức nhân xác suất, công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes Các công thức này giúp giải quyết các bài toán phức tạp và nâng cao khả năng phân tích trong các lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn.

Bài 1.3 Bản tin điện báo gồm tín hiệu chấm (.) và tín hiệu vạch (-) Qua thống kê cho thấy 2

5 tín hiệu chấm khi truyền đi bị bóp méo thành tín hiệu vạch và 1

Khi tín hiệu vạch được truyền đi nhưng bị bóp méo thành tín hiệu chấm, tỷ lệ giữa tín hiệu chấm và vạch là 5:3 Để xác định xác suất nhận đúng tín hiệu, ta cần phân tích hai trường hợp: a) Khi nhận được tín hiệu chấm (.), xác suất tín hiệu truyền đi được nhận đúng sẽ được tính toán dựa trên tỷ lệ này; b) Khi nhận được tín hiệu vạch (-), xác suất nhận đúng cũng sẽ được xác định tương tự.

Gọi T 1 là biến cố truyền đi tín hiệu chấm (.);

T 2 là biến cố truyền đi tín hiệu vạch (-);

 = a) Xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu đi nếu đã nhận được tín hiệu (.)

Gọi A là biến cố nhận được tín hiệu chấm (.)

= P A = b) Xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu đi nếu đã nhận được tín hiệu (-)

Gọi B là biến cố nhận được tín hiệu vạch (-)

Một nhóm các nhà khoa học đang nghiên cứu nguy cơ sự cố tại nhà máy điện nguyên tử có thể dẫn đến rò rỉ phóng xạ Họ xác định rằng các sự cố chỉ có thể xảy ra do hỏa hoạn, gãy đỗ vật liệu hoặc sai lầm của con người, và lưu ý rằng hai hoặc nhiều sự cố không bao giờ xảy ra đồng thời.

Theo nghiên cứu, xác suất xảy ra rò rỉ phóng xạ trong các tình huống khác nhau là khác nhau: khi có hỏa hoạn, tỷ lệ rò rỉ là 20%; khi vật liệu gãy đổ, tỷ lệ này tăng lên 50%; và khi có sai lầm của con người, tỷ lệ rò rỉ là 10% Ngoài ra, xác suất xảy ra đồng thời hỏa hoạn và rò rỉ phóng xạ là 0,0010, trong khi xác suất gãy đổ vật liệu và rò rỉ phóng xạ cùng xảy ra là 0,0015, và sai lầm của con người cùng với rò rỉ phóng xạ có xác suất 0,0012.

Xác suất xảy ra hỏa hoạn, gãy đổ vật liệu và sai lầm của con người cần được đánh giá cẩn thận Đồng thời, việc xác định khả năng rò rỉ phóng xạ cũng rất quan trọng Đặc biệt, cần chú ý đến xác suất rò rỉ phóng xạ do sai lầm của con người gây ra, vì đây là yếu tố có thể dẫn đến hậu quả nghiêm trọng.

Hướng dẫn tính xác suất xảy ra hỏa hoạn, gãy đổ vật liệu và sai lầm của con người Gọi A là biến cố "xảy ra hỏa hoạn" Để tính xác suất, cần phân tích các yếu tố liên quan và xác định các biến cố có thể xảy ra Việc áp dụng công thức xác suất sẽ giúp đánh giá mức độ rủi ro và đưa ra các biện pháp phòng ngừa hiệu quả.

B là biến cố “xảy ra gãy đổ”;

C là biến cố “xảy ra sai lầm của con người”;

D là biến cố “có sự rò rỉ phóng xạ”;

Ta có A B C, , là các biến cố xung khắc từng đôi một và P D A ( ) = 0, 2;

Ngoài ra, P DA ( ) = 0, 001; P DB ( ) = 0, 0015; P DC ( ) = 0, 0012

Theo công thức xác suất có điều kiện ta có:

Xác suất có hỏa hoạn là: ( ) ( )

= = Xác suất có gãy đổ vật liệu là: ( ) ( )

= = Xác suất sai lầm của con người: ( ) ( )

= = b) Tính xác suất để có sự rò rỉ phóng xạ:

P D =P DA +P DB +P DC = + + c) Tính xác suất để có sự rò rỉ phóng xạ được gây ra bởi sự sai lầm của con người:

Trong bài toán này, chúng ta có hai bóng đèn điện với xác suất hỏng lần lượt là 0,1 và 0,2, và việc hỏng của chúng là độc lập Để tính xác suất mạch không có điện do bóng hỏng, ta cần xem xét hai trường hợp: a) khi các bóng đèn được mắc nối tiếp, xác suất không có điện sẽ là tích xác suất hỏng của cả hai bóng; b) khi các bóng đèn được mắc song song, xác suất không có điện sẽ được tính bằng 1 trừ đi xác suất cả hai bóng đều không hỏng.

Gọi xác suất để 2 bóng đèn hỏng lần lượt là P 1 và P 2

Ta có P 1 =0,1 và P 2 =0, 2 và 2 biến cố đèn hỏng là 2 biến cố độc lập a) Mạch nối tiếp: mạch không có dòng điện khi 1 trong 2 bóng đèn hỏng

Xác suất đèn 1 không hỏng là P 1 = − = −1 P 1 1 0,1 0,9Xác suất đèn 2 không hỏng là P 2 = −1 P 2 = −1 0, 2=0,8

Xác suất để mạch có dòng điện tức là cả 2 đèn đều không hỏng là

Xác suất để mạch không có dòng điện được tính là P = -1 0,72 = 0,28 Đối với mạch song song, mạch sẽ không có điện khi cả hai đèn đều hỏng, do đó xác suất để mạch không có điện là P = P P 1 2 = 0,1 x 0,2 = 0,02.

Bài 1.6 Cho sơ đồ mạch điện được mắc như hình 3.3

Hình 3.3 Sơ đồ mạch điện gồm 4 bóng đèn ghép với nhau

Mạch điện gồm các bóng đèn Đ1, Đ2, Đ3, Đ4 hoạt động độc lập với xác suất hỏng tương ứng là 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 Tính xác suất để: a) mạch BC bị hỏng; b) mạch AC bị hỏng

Gọi A i là biến cố đèn Đi bị hỏng ( i = 1, 4 ) ;

D là biến cố mạch BC bị hỏng;

D j là biến cố mạch thứ j của BC bị hỏng ( j = 1, 2 ) ;

E là biến cố mạch AC bị hỏng

Theo đề ta có: P A ( ) 1 =0,1;P A ( ) 2 =0, 2;P A ( ) 3 =0,3;P A ( ) 4 =0, 4 a) Xác suất để mạch BC bị hỏng

Mạch BC hỏng khi 2 nhánh mắc song song bị hỏng

Xác suất nhánh chứa đèn Đ1 hỏng: P D ( ) 1 =P A ( ) 4 =0, 4;

Xác suất nhánh chứa đèn Đ2 và Đ3 không bị hỏng: P D ( ) ( 2 = P A A 2 3 )

Do A A 2 , 3 là các biến cố độc lập nên: P D ( ) ( ) ( ) 2 = P A 2 P A 3 = 0,8.0, 7 = 0,56.

Xác suất nhánh chứa đèn Đ2 và Đ3 bị hỏng: P D ( ) 2 = − 1 P D ( ) 2 = − 1 0,56 = 0, 44.

Xác suất để mạch BC bị hỏng là:

P D =P D D =P D P D = b) Xác suất để mạch AC bị hỏng

Xác suất mạch AC không bị hỏng:

P E =P A D =P A P D = Xác suất để mạch AC bị hỏng là:

Chương 2: “Đại lượng ngẫu nhiên Vectơ ngẫu nhiên Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên”

- Định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên;

Quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên bao gồm hai loại chính: rời rạc và liên tục Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, bảng phân phối xác suất và hàm phân phối xác suất được sử dụng để mô tả xác suất của các giá trị cụ thể Trong khi đó, đại lượng ngẫu nhiên liên tục sử dụng hàm mật độ xác suất để thể hiện xác suất trong các khoảng giá trị Việc hiểu rõ các khái niệm này là rất quan trọng trong thống kê và xác suất.

- Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên: kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn;

- Khái niệm, phân phối xác suất và các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều

3.2.2 Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Đại lượng ngẫu nhiên Vectơ ngẫu nhiên Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên”

Trong các phép thử ngẫu nhiên, kết quả thường là các đặc trưng định tính, hay còn gọi là biến cố ngẫu nhiên Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, mỗi kết quả của phép thử lại được gán với một giá trị định lượng tương ứng.

Ta xét một bài toán liên quan đến lĩnh vực Vật lý như sau:

Một nhà vật lý hạt sử dụng ba máy đo để đếm số lần phân rã alpha từ ba nguồn phóng xạ Radon 222 (86 Rn) trong khoảng thời gian T Các máy đếm hoạt động độc lập và có xác suất hỏng lần lượt là 0,1, 0,2 và 0,3 trong khoảng thời gian T.

Bài toán yêu cầu lập bảng phân phối xác suất cho số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T Ngoài ra, cần tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian này.

Với kiến thức từ chương 1, chúng ta có thể lập bảng phân phối xác suất cho số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T Tuy nhiên, để tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số máy này, kiến thức trong chương 1 là chưa đủ Chương 2 sẽ cung cấp những kiến thức cần thiết để giải quyết vấn đề này.

Tính ngẫu nhiên của các đại lượng ngẫu nhiên một chiều và nhiều chiều được thể hiện qua quy luật phân phối xác suất, với các công cụ như bảng phân phối xác suất, hàm phân phối và hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng như trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn cung cấp cái nhìn tổng quát và ngắn gọn về đại lượng ngẫu nhiên, chứa đựng thông tin quan trọng nhất Những tham số này thường được sử dụng để đánh giá và so sánh trong phân tích các vấn đề định lượng và định tính trong thực tế.

3.2.3 Xây dựng bài tập chương “Đại lượng ngẫu nhiên Vectơ ngẫu nhiên Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên” Đầu tiên, ta xét bài toán về đại lượng ngẫu nhiên rời rạc như sau:

Bài 2.1 Một nhà vật lý hạt sử dụng 3 máy đo để đếm số phân rã alpha phát ra từ nguồn 3 nguồn phóng xạ Radon 222 86 Rn trong khoảng thời gian T Biết rằng 3 máy đếm này hoạt động độc lập với nhau, xác suất mỗi máy đếm bị hỏng trong khoảng thời gian T lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,3 a) Lập bảng phân phối xác suất cho số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T; b) Trung bình, trong khoảng thời gian T, có bao nhiêu máy hoạt động tốt? Tính độ lệch chuẩn của số máy hoạt động tốt trong khoảng thời gian T

Hướng dẫn giải a) Lập bảng phân phối xác suất cho số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T:

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian

Gọi A i là biến cố máy đếm thứ i hoạt động tốt trong khoảng thời gian T

P X = =P A A A =P A P A P A = Bảng phân phối xác suất của X:

P X 0,006 0,092 0,398 0,504 b) Trung bình, trong khoảng thời gian T, có bao nhiêu máy hoạt động tốt? Tính độ lệch chuẩn của số máy hoạt động tốt trong khoảng thời gian T

Trung bình số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T là:

E X = x p = + + + Độ lệch chuẩn của số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T:

Trong cơ học lượng tử, trạng thái của một hạt được mô tả qua hàm sóng, trong đó bình phương mô-đun của hàm sóng thể hiện mật độ xác suất để tìm thấy hạt trong một vùng không gian nhất định Bài viết sẽ xem xét các vấn đề liên quan đến hàm mật độ xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

Bài 2.2 Hàm sóng của hạt bị nhốt trong một giếng thế vô hạn và ở trạng thái năng lượng thấp nhất được cho bởi hàm sóng:

Sử dụng điều kiện chuẩn hoá hàm sóng, chứng minh rằng: A 2,

Bình phương mô đun của hàm sóng ψ(x)² đại diện cho hàm mật độ xác suất để xác định vị trí của hạt trong không gian Để đảm bảo tính chính xác, điều kiện chuẩn hóa hàm sóng yêu cầu xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ miền không gian phải bằng một.

Do  ( ) x 2 là hàm mật độ xác suất nên ta có điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:

Bài 2.3 Một hạt bị nhốt giữa hai bức tường rắn cách nhau một khoảng L Biết rằng hạt ở trong trạng thái có năng lượng thấp nhất và có hàm sóng:

Bình phương của mô-đun hàm sóng ψ(x)² đại diện cho hàm mật độ xác suất xác định khả năng tìm thấy hạt trong một vùng không gian nhất định Để tính xác suất tìm thấy hạt giữa các điểm, ví dụ như từ x=0 đến một giá trị cụ thể, ta cần sử dụng hàm sóng này.

Hướng dẫn giải a) Xác suất để tìm thấy hạt giữa các điểm x=0 và

= b) Xác suất để tìm thấy hạt giữa các điểm

= c) Xác suất để tìm thấy hạt giữa các điểm 2

Bài 2.4 Trạng thái của hạt được mô tả bởi hàm sóng có dạng:

Bình phương mô-đun của hàm sóng ψ(x)² biểu thị hàm mật độ xác suất tìm thấy hạt trong không gian Để chuẩn hóa hàm sóng, cần đảm bảo xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ miền không gian bằng một Tiếp theo, xác định vị trí mà mật độ xác suất tìm thấy hạt đạt giá trị lớn nhất Cuối cùng, tính xác suất để hạt nằm trong khoảng (-a, a).

Hướng dẫn giải a) Tìm hệ số chuẩn hóa A của hàm sóng

Do  ( ) x 2 là hàm mật độ xác suất nên ta có điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:

Sử dụng tích phân Gauss, ta thu được:

 =  =  b) Tìm vị trí mà xác suất tìm thấy hạt là lớn nhất

Hàm mật độ xác suất: ( ) ( ) 2 2 exp x 2 2 f x x A

  Điều kiện để hàm mật độ xác suất cực đại là:

Vậy x=0 là vị trí có xác suất tìm thấy hạt lớn nhất c) Xác suất để hạt nằm trong khoảng ( − a a ; ) :

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một số bài toán kỹ thuật liên quan đến các tính chất của hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục Những khái niệm này đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và giải quyết các vấn đề trong thống kê và xác suất.

Bài 2.5 Một yếu tố quan trọng trong nhiên liệu của tên lửa rắn là sự phân bố kích thước của các hạt Một số vấn đề sẽ xảy ra nếu kích thước của hạt quá lớn Từ dữ liệu sản xuất trong quá khứ, người ta đã xác định rằng phân bố kích thước hạt (tính bằng micromet) được xác định bởi:

Để chứng minh rằng đây là hàm mật độ xác suất, chúng ta cần xác định các điều kiện cần thiết Tiếp theo, ta tìm hàm phân phối F(x) để có cái nhìn tổng quát về phân bố xác suất Cuối cùng, cần tính xác suất mà một hạt ngẫu nhiên chế tạo từ nhiên liệu có kích thước vượt quá 4 micromet.

Hướng dẫn giải a) Chứng tỏ rằng f x ( ) là hàm mật độ xác suất Để chứng minh f x ( ) là hàm mật độ xác suất hợp lệ, ta sẽ xét tích phân sau:

 = nên f x ( ) là hàm mật độ xác suất b) Tìm hàm phân phối F x ( )

Hàm phân phối xác suất F x ( ) P X ( x ) x f t dt ( )

 c) Xác suất mà một hạt ngẫu nhiên được chế tạo từ nhiên liệu vượt quá 4 micromet:

Chương 3: “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng”

- Các phân phối xác suất rời rạc (phân phối nhị thức, phân phối Poisson): khái niệm, công thức tính xác suất, các tham số đặc trưng;

Các phân phối xác suất liên tục bao gồm phân phối chuẩn, phân phối mũ, phân phối chi-bình phương và phân phối Student Mỗi loại phân phối này có những khái niệm riêng biệt, công thức tính xác suất đặc trưng và các tham số quan trọng như trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn Việc hiểu rõ các phân phối này giúp ứng dụng hiệu quả trong thống kê và phân tích dữ liệu.

3.3.2 Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng”

Trong lĩnh vực Vật lý và các ngành khoa học kỹ thuật, việc đo đạc các đại lượng luôn gặp phải sai số do thăng giáng thống kê Những sai số ngẫu nhiên này tuân theo quy luật phân phối xác suất, với các hàm phân phối cơ bản như phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối chuẩn, phân phối mũ, phân phối Chi bình phương và phân phối Student được ứng dụng trong xử lý số liệu thực nghiệm.

Phân phối nhị thức có ứng dụng trong lĩnh vực Vật lý khi đo hiệu suất của máy đếm các hạt trong kính viễn vọng

Phân phối Poisson là một công cụ thống kê quan trọng, thường được áp dụng trong các tình huống mà xác suất xảy ra sự kiện là nhỏ và ổn định Một ví dụ điển hình của phân phối này là hiện tượng phân rã phóng xạ Khi đo lường số lượng phân rã beta hoặc alpha từ một nguồn phóng xạ trong khoảng thời gian nhất định, số hạt ghi nhận được sẽ tuân theo phân phối Poisson.

Phân phối chuẩn là một khái niệm quan trọng trong Vật lý, với nhiều ứng dụng thực tiễn Ví dụ, phân bố vận tốc của các phân tử trong khí lý tưởng và vận tốc chuyển động của nguyên tử, phân tử trong các hệ cân bằng nhiệt đều tuân theo phân phối chuẩn Hơn nữa, sai số ngẫu nhiên trong các thí nghiệm vật lý cũng thường được mô tả bằng phân phối chuẩn.

Các quy luật phân phối xác suất đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực Vật lý, với nhiều ứng dụng thực tiễn Những quy luật và tham số đặc trưng của chúng hỗ trợ giải quyết hiệu quả nhiều bài toán trong vật lý học thực nghiệm.

3.3.3 Xây dựng bài tập chương “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng”

Mở đầu là bài toán về ứng dụng của phân phối nhị thức trong Vật lý:

Bài 3.1 Một nhà vật lý hạt tiến hành làm thí nghiệm tán xạ K-meson và nucleon, sau đó đo xác xuất tán xạ ngược bằng thùng Hydrogen lỏng Tiến hành đo 1000 va chạm, thu được kết quả có 472 tán xạ xuyên qua, và 528 tán xạ ngược Hỏi độ sai số bằng bao nhiêu?

Gọi X là số tán xạ xuyên qua sau va chạm thì X B n p ( ; ) với n = 1000;

0, 472. p Độ sai số (độ lệch chuẩn):  = npq = 1000.0, 472.0,52816 hạt

Kết quả tán xạ cho thấy số hạt tán xạ xuyên qua đạt 472 ± 16 hạt, trong khi số hạt tán xạ ngược là 528 ± 16 hạt Phân phối Poisson được ứng dụng trong Vật lý qua nhiều bài toán khác nhau.

Bài 3.2 Một nhà vật lý thấy rằng mẫu phóng xạ Thori phân rã hạt alpha với tốc độ trung bình 1,5 hạt/ phút a) Nếu ông ta đếm số hạt trong khoảng thời gian 10 phút, giá trị trung bình nhận giá trị bao nhiêu? b) Tính xác suất để trong khoảng thời gian 2 phút, quan sát được 0, 1, 2, 3, 4 hạt và nhiều hơn 5 hạt

Mẫu phóng xạ Thori phân rã hạt alpha với tốc độ trung bình là 1,5 hạt mỗi phút Trong 10 phút, mẫu này sẽ phân rã tổng cộng 15 hạt alpha Ngoài ra, trong khoảng thời gian 2 phút, mẫu phóng xạ sẽ phân rã với tốc độ trung bình là 3 hạt.

Gọi X là số hạt thu được trong khoảng thời gian 2 phút thì X P ( )  với  = 3.

Bài 3.3 Khi đo hoạt độ của một nguồn phóng xạ, detector cho số đếm trung bình là 6 xung/ phút a) Tính xác suất để có tốc độ đếm xung nhỏ hơn 9 xung/ phút b) Tính xác suất để tốc độ đếm có giá trị nằm trong khoảng từ 9 đến 11 xung/ phút c) Tính xác suất để có tốc độ đếm xung lớn hơn 11 xung/ phút

Gọi X là số xung đếm được trong khoảng thời gian 1 phút thì X P ( )  với

=6. a) Xác suất để có tốc độ đếm xung nhỏ hơn 9 xung/ phút:

 = = + = + + = = = = b) Xác suất để tốc độ đếm có giá trị nằm trong khoảng từ 9 đến 11 xung/ phút:

  = = + = + = = = c) Xác suất để có tốc độ đếm xung lớn hơn 11 xung/ phút:

Bài 3.4 Một mẫu chất phóng xạ chứa 5.10 19 nguyên tử, mỗi nguyên tử có xác suất phân rã p=3.10 − 20 trong bất kỳ khoảng thời gian 5 giây nào đó a) Số trung bình dự kiến  của số lần phân rã từ mẫu trong 5 giây là bao nhiêu? b) Tính xác suất P  ( ) quan sát được  phân rã trong bất kỳ khoảng thời gian

5 giây nào, với  =0,1, 2,3. c) Xác suất quan sát được từ 4 phân rã trở lên trong khoảng thời gian 5 giây là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải a) Số trung bình dự kiến  của số lần phân rã từ mẫu trong 5 giây

=np= − = phân rã/ 5 giây b) Xác suất P  ( ) quan sát được  phân rã trong bất kỳ khoảng thời gian 5 giây nào, với  =0,1, 2,3.

Xác suất trong phân bố Poisson: ( )

P  = 2! e − = P l ( )3 = 1,5 3! 3 e -1.5 = 0,1255. c) Xác suất quan sát được từ 4 phân rã trở lên trong khoảng thời gian 5 giây:

Phân phối chuẩn được ứng dụng trong các bài toán sau:

Bài 3.5 Một dây chuyền sản xuất điện trở 1000 được phép xê dịch 10% Ký hiệu X là trị số của điện trở Giả sử X có phân phối chuẩn với trung bình 1000 và phương sai 2500 Tìm xác suất một chiếc điện trở chọn ngẫu nhiên bị loại bỏ

Theo đề bài ta có: X ~ N (   ; 2 ) với  = 1000;  = 50

Trị số của điện trở được phép xê dịch 10% = R 1000 100  ( ) 

Vậy xác suất để một chiếc điện trở chọn ngẫu nhiên bị loại bỏ là:

Bài 3.6 Giả sử cường độ dòng điện chạy trong một dây dẫn được tuân theo quy luật phân phối chuẩn với giá trị trung bình là 10 mili-ampe ( ) mA và phương sai là 4

Để đo cường độ dòng điện trong dây dẫn, người ta sử dụng một đồng hồ đo thích hợp Câu hỏi đặt ra là: a) Tính xác suất để giá trị đo được của cường độ dòng điện vượt quá 13 ( ) mA; b) Tính xác suất để giá trị đo được của cường độ dòng điện nằm trong khoảng từ 9 đến 11 ( ) mA.

Gọi X là giá trị cường độ dòng điện chạy trong một dây dẫn Theo đề bài ta có:

X N   với ; =2 a) Xác suất để giá trị đo được của cường độ dòng điện trong dây dẫn vượt quá

=  + −  = − b) Xác suất để giá trị đo được của cường độ dòng điện trong dẫn nằm trong khoảng từ 9 đến 11 ( ) mA

Bài 3.7 Gọi X là lượng điện (tính bằng kwh) mà mỗi hộ tiêu thụ hàng tháng

Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn với lượng điện tiêu thụ trung bình là 60 kWh và độ lệch chuẩn là 40 kWh Giá tiền điện là 1000 đồng/kWh cho mức tiêu thụ dưới 70 kWh, và 3000 đồng/kWh cho mức tiêu thụ trên 70 kWh Gọi Y là số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân (nghìn đồng) Cần tính toán các khả năng: a) Số tiền điện phải trả hàng tháng từ 100 đến 130 nghìn đồng; b) Số tiền điện phải trả hàng tháng trên 70 nghìn đồng; c) Số tiền điện phải trả hàng tháng từ 40 đến 130 nghìn đồng; d) Ước tính số hộ dân trong thành phố 300.000 hộ sẽ sử dụng điện vượt quá quy định.

Theo đề bài ta có: X ~ N (   ; 2 ) với  = 60;  = 40

Khi đó, số tiền điện phải trả là y= x.1 x-70

( ) 3 + 70.1 khi khi x x £ > 70; 70. ì ớù ợù a) Khả năng số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân từ 100 đến 130 nghìn đồng là:

=0,2734-0,1915=0,0819. b) Khả năng số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân trên 70 nghìn đồng là:

= − = c) Khả năng số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân từ 40 đến 130 nghìn đồng là:

=   −  − = + = d) Số hộ dân dùng điện vượt quá quy định là:

Như vậy, nếu thành phố có 300.000 hộ thì ước tính sẽ có 120 390 hộ dùng điện quá quy định.

Chương 4: “Các định lý giới hạn”

- Định lý giới hạn Poisson;

- Định lý giới hạn Moirve – Laplace;

- Định lý giới hạn trung tâm;

- Bất đẳng thức Chebyshev Luật số lớn

3.4.2 Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Các định lý giới hạn”

Trong các bài toán thực hành, việc xác định khả năng xuất hiện k lần biến cố A trong n phép thử với xác suất p là điều thường gặp Để tính toán, ta có thể sử dụng công thức phân phối nhị thức, nhưng công thức này chỉ phù hợp khi số lượng phép thử tương đối nhỏ Khi số lượng phép thử lớn và xác suất xảy ra biến cố rất nhỏ, như trong trường hợp ghi nhận hạt phát ra từ nguồn phóng xạ, định lý Poisson sẽ được áp dụng để tính gần đúng xác suất.

Định lý giới hạn Poisson cho phép tính xấp xỉ xác suất của phân phối nhị thức với số lượng phép thử lớn thông qua phân phối Poisson Trong khi đó, các định lý giới hạn trung tâm cung cấp công cụ để xấp xỉ xác suất thông qua phân phối chuẩn Ví dụ, sai số trong phép đo vật lý thường là kết quả của nhiều đại lượng ngẫu nhiên, mỗi đại lượng ảnh hưởng không đáng kể, dẫn đến sai số có phân phối xấp xỉ chuẩn Hơn nữa, các định lý giới hạn trung tâm còn đóng vai trò quan trọng trong việc thực hiện các phép kiểm định thống kê.

3.4.3 Xây dựng bài tập chương “Các định lý giới hạn”

Dưới đây là một dạng bài tập áp dụng định lý giới hạn Poisson để tính xác suất

Bài 4.1 Một máy đếm để gần một nguồn phóng xạ sao cho xác suất để một hạt phát ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trong máy đếm là 10 − 4 Giả sử rằng trong thời gian quan sát có 40000 hạt được phóng ra từ nguồn phóng xạ a) Tìm xác suất sao cho máy đếm ghi được trên sáu hạt b) Tìm xác suất sao cho máy đếm không ghi được hạt nào cả c) Tính số hạt ít nhất mà nguồn phóng xạ cần phát ra sao cho với xác suất lớn hơn 0,945 máy đếm ghi được không ít hơn bốn hạt

Khi xem xét việc quan sát một hạt phóng ra từ nguồn phóng xạ ghi lại trong máy đếm như một phép thử, ta giả định có 40.000 hạt được phóng ra trong thời gian quan sát, tương ứng với 40.000 phép thử độc lập Trong mỗi phép thử, xác suất ghi nhận hạt phóng ra từ nguồn phóng xạ trên máy đếm là p = 0,0001.

Nếu gọi X là số hạt phóng ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trên máy đếm trong thời gian quan sát thì X B (40000; 0, 0001 )

Vì n@000 rất lớn, p=0, 0001 rất nhỏ và tích =np@000.0, 0001=4 không đổi nên ta có thể coi X  ( ) 2 a) Xác suất sao cho máy đếm ghi được trên sáu hạt

P X  = −P X  = − b) Xác suất sao cho máy đếm không ghi được hạt nào cả

P X = = 0!e − c) Số hạt ít nhất mà nguồn phóng xạ cần phát ra sao cho với xác suất lớn hơn 0,945 máy đếm ghi được không ít hơn bốn hạt

Vậy nguồn phóng xạ cần phát ra ít nhất 76100 hạt thì với xác suất lớn hơn 0,945 máy đếm ghi được không ít hơn bốn hạt

Bài 4.2 Trong một thí nghiệm, người ta bắn vào một lá vàng mỏng (xem như chỉ gồm một lớp nguyên tử) bằng một chùm tia alpha chứa một số lượng rất lớn các hạt Thống kê cho thấy, trung bình có hai hạt alpha va chạm trực diện với hạt nhân vàng trong một lần bắn a) Hãy tính xác suất để lần bắn tiếp theo không xảy ra va chạm trực diện nào; b) Hãy tính xác suất để lần bắn tiếp theo xảy ra hai va chạm trực diện

Phép thử bắn trúng hạt nhân vàng là một phép thử độc lập, trong đó xác suất bắn trúng hạt nhân vàng tuân theo phân phối nhị thức Khi số hạt rất lớn và xác suất bắn trúng rất nhỏ, phân phối nhị thức chuyển thành phân phối Poisson Do đó, xác suất để hạt alpha va chạm trực diện với hạt nhân trong một lần bắn theo quy luật phân phối Poisson.

Gọi X là số hạt alpha va chạm vào hạt nhân vàng Theo đề bài, trung bình hai hạt alpha va chạm trực diện với hạt nhân vàng trong một lần bắn nên ta có

 =  = = − a) Xác suất để lần bắn tiếp theo không xảy ra va chạm trực diện nào:

P X = = 0!e − =e −  b) Xác suất để lần bắn tiếp theo xảy ra hai va chạm trực diện:

Chương 5: “Lý thuyết mẫu”

- Các tham số của tổng thể;

- Khái niệm mẫu ngẫu nhiên, mẫu cụ thể;

- Thống kê đặc trưng mẫu: trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn, tỉ lệ

3.5.2 Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Lý thuyết mẫu”

Trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật, việc nghiên cứu các tính chất của một tập hợp vật thể thường gặp khó khăn do không thể mang tất cả vật thể ra để nghiên cứu Việc này không chỉ tốn thời gian mà còn có thể làm hư hại đến các vật thể Do đó, các nhà nghiên cứu thường chọn ra một mẫu đại diện từ tổng thể để tiến hành thí nghiệm, từ đó rút ra kết luận về các tính chất của toàn bộ tập hợp vật thể ban đầu.

Trong nghiên cứu sự rơi tự do của quả cầu bằng thép, thời gian rơi của quả cầu từ độ cao 3 mét được ghi nhận tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s² Sau 30 lần quan sát, các số liệu thu thập được đã được tổng hợp trong bảng để phân tích.

Bảng 3.1 Dữ liệu thời gian rơi tự do từ độ cao 3 mét so với mặt đất

Để xác định thời gian rơi tự do của quả cầu thép từ độ cao 3 mét, cần tiến hành quan sát một mẫu ngẫu nhiên và tính toán các tham số đặc trưng Kết quả từ mẫu sẽ được suy rộng để áp dụng cho toàn bộ tổng thể.

3.5.3 Xây dựng bài tập chương “Lý thuyết mẫu”

Bài 5.1 Thí nghiệm Franck – Hertz liên quan đến sự khác biệt giữa một loạt các điện áp cách đều nhau gây ra dòng điện cực đại qua một ống hơi thủy ngân Một học sinh tiến hành thí nghiệm đo 10 điểm khác biệt như vậy và thu được kết quả như sau: 0,48; 0,45; 0,49; 0,46; 0,44; 0,57; 0,45; 0,47; 0,51; 0,50 ( ) V Tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của các kết quả thu được

=  = + + + + Độ lệch chuẩn: s= s 2 = 1 n-1 x i 2 i=1 ồ n - n x ( ) 2 é ởờ ự ûú = 1

Bài 5.2 Một thí nghiệm được thực hiện để đo thời gian rơi của một quả bóng bằng kim kim loại ở độ cao 2 mét so với mặt đất Thí nghiệm được lặp lại 50 lần và thu được kết quả ở bảng sau:

Bảng 3.2 Dữ liệu đo thời gian rơi của quả bóng ở độ cao 2 mét

Thời gian rơi (s) Tần số quan sát

Tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của các kết quả đo

Ta thay mỗi khoảng thời gian rơi bằng giá trị trung tâm của khoảng, từ đó ta có bảng sau: x i 0,595 0,605 0,615 0,625 0,635 0,645 0,655 0,665 0,675 0,685 n i 2 2 11 6 12 8 4 3 1 1

Trung bình của các kết quả đo:

=  = + + + + = Độ lệch chuẩn của các kết quả đo: s= s 2 = 1 n-1 n i x i 2 i= 1 ồ k - n x ( ) 2 é ởờ ự ûú = 1

Bài 5.3 Khảo sát điểm kiểm tra 15 phút môn Vật lý của 43 học sinh lớp 11A5 của trường Trung học phổ thông Tân Thông Hội, ta thu được bảng số liệu sau:

Bảng 3.3 Dữ liệu điểm kiểm tra 15 phút môn Vật lý lớp 11A5 Điểm Số lượng học sinh Điểm Số lượng học sinh

Tính trung bình mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu

Ta thay mỗi khoảng bằng giá trị trung tâm của khoảng, từ đó ta có bảng sau: x i 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 n i 0 1 1 2 7 6 9 4 7 6

=  = + + + + Độ lệch chuẩn của mẫu:

Chương 6: “Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên”

- Ước lượng điểm và tính chất, ước lượng một tham số của tổng thể;

- Lý thuyết ước lượng khoảng;

- Ước lượng khoảng cho trung bình, phương sai, tỷ lệ tổng thể và ứng dụng

3.6.2 Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên”

Trong nghiên cứu khoa học, dấu hiệu nghiên cứu có thể được coi là một biến ngẫu nhiên, và nếu xác định được dạng phân phối xác suất của nó, việc tìm các tham số đặc trưng của tổng thể sẽ trở thành bài toán ước lượng các tham số của quy luật phân phối Ví dụ, nếu dấu hiệu nghiên cứu có phân phối theo quy luật chuẩn, nhiệm vụ sẽ là ước lượng các tham số như kỳ vọng toán và phương sai của tổng thể cần nghiên cứu.

Trong một thí nghiệm vật lý hạt, năm phép đo khối lượng của hạt Yotta đã được thực hiện với các giá trị lần lượt là 83,6; 92,9; 77,3; 88,4 và 89,5 GeV/c² Từ những kết quả này, chúng ta có thể ước lượng giá trị trung bình mẫu và phương sai của mẫu với độ tin cậy 95%.

3.6.3 Xây dựng bài tập chương “Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên”

Mở đầu là một bài toán về áp dụng phương pháp ước lượng điểm trong vật lý như sau:

Bài 6.1 Dữ liệu về lực kéo (pounds) của bộ truyền trong động cơ ô tô như sau:

Để ước lượng điểm của lực kéo trung bình của tất cả các bộ liên kết trong tổng thể, ta sử dụng ước lượng trung bình mẫu, được tính bằng cách cộng tất cả các giá trị và chia cho số lượng giá trị Kết quả ước lượng trung bình là 75,2 Để tính ước lượng điểm của phương sai tổng thể, ta sử dụng công thức phương sai mẫu, trong đó phương sai được tính bằng cách lấy tổng bình phương độ lệch của từng giá trị so với trung bình, chia cho số lượng giá trị trừ đi một Phương sai ước lượng là 2,14, và độ lệch chuẩn được tính bằng căn bậc hai của phương sai, cho kết quả khoảng 1,46.

Hướng dẫn giải a) Ước lượng điểm của lực kéo trung bình của tất cả các bộ liên kết trong tổng thể

=  = + + + + = pounds Ước lượng điểm của lực kéo trung bình của tất cả các bộ liên kết trong tổng thể là giá trị lực kéo trung bình của mẫu:

Trung bình tổng thể ( )   Trung bình mẫu ( ) x = 75, 62 pounds

Chúng ta có thể áp dụng công thức ước lượng điểm, vì giá trị trung bình của mẫu ngẫu nhiên là ước lượng không chệch cho trung bình tổng thể, tức là E(X) = μ Bên cạnh đó, việc ước lượng điểm cũng áp dụng cho phương sai và độ lệch chuẩn của tổng thể, trong đó phương sai của mẫu đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các thông số này.

= −  − = −  − + − = Độ lệch chuẩn của mẫu: s= s 2 =1, 65 Ước lượng điểm của phương sai tổng thể và độ lệch chuẩn của tổng thể:

Phương sai tổng thể ( )  2  Phương sai mẫu ( ) s 2 = 2, 74 pounds 2 Độ lệch chuẩn tổng thể ( )   Độ lệch chuẩn mẫu ( ) s = 1, 65 pounds

Phương pháp ước lượng khoảng có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực Vật lý và kỹ thuật Xét các bài toán ước lượng khoảng cụ thể sau:

Bài 6.2 Tiêu chuẩn ASTM E23 xác định các phương pháp thử nghiệm tiêu chuẩn để kiểm tra tác động của thanh kim loại Kỹ thuật CVN đo năng lượng nén và thường được dùng để xác định một vật liệu có thay đổi từ trạng thái dẻo sang trạng thái dòn hay không khi nhiệt độ giảm dần Phép đo năng lượng nén ( )J trên những mẫu thép A238 đem cắt ở 60 0 C như sau:

Giả sử rằng, năng lượng chịu nén có phân phối chuẩn với  =1 J Hãy ước lượng năng lượng chịu nén trung bình với độ tin cậy 95%

Khoảng ước lượng năng lượng chịu nén trung bình với độ tin cậy 95%

Bài 6.3 Nguồn điện thế V được đo 6 lần và thu được các kết quả đo như sau:

Giả sử rằng phép đo không có sai số hệ thống và được mô hình hóa bởi biến ngẫu nhiên X = +V , với  có phân phối chuẩn N(0; ²) Để tìm khoảng tin cậy 95% cho ², chúng ta xem xét hai trường hợp: a) khi V = 220, tức là V đã biết; b) khi V chưa biết.

Hướng dẫn giải a) V = 220 ( ) V đã biết

Ta có n=6; độ tin cậy 1− = 0,95;

Bài toán đã biết E X ( ) = =  220 ( ) V nên khoảng tin cậy của  2 là:

Tra bảng  2 với bậc tự do n=6 ta được:

− = Vậy khoảng tin cậy của  2 là: ( 0, 547   2  6, 395 ) với độ tin cậy 95% b) V chưa biết

Bài toán chưa biết E X ( ) nên khoảng tin cậy của  2 là:

Tra bảng  2 với bậc tự do n− =1 5 ta được:

Vậy khoảng tin cậy của  2 là: ( 0, 548   2  8, 457 ) với độ tin cậy 95%

Bài 6.4 Để xác định độ sâu của đáy biển, một tàu neo cố định trên mặt nước phát ra sóng siêu âm và thu lại âm phản xạ Các xác định độ sâu này có sai số ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 20 mét a) Cần phải tiến hành bao nhiêu lần đo để xác định được độ sâu của biển với sai số cho phép không quá 15 mét ở độ tin cậy 90%; b) Hãy ước lượng độ sâu trung bình của đáy biển với độ tin cậy 95% Biết rằng khi tiến hành đo ở một địa điểm xác định 25 lần người ta tính được độ sâu trung bình của mẫu là 100 mét

Hướng dẫn giải a) Gọi n là số lần đo cần thiết

Vậy cần đo ít nhất 5 lần b) Khoảng ước lượng độ sâu trung bình của đáy biển với độ tin cậy 95%

Bài 6.5 Tia tử ngoại là một loại bức xạ điện từ có nhiều ứng dụng trong y học và trong các ngành công nghiệp Trong lĩnh vực công nghiệp cơ khí, tia tử ngoại được sử dụng để tìm vết nứt trên bề mặt các vật bằng kim loại bằng cách xoa một lớp dung dịch phát quang lên trên bề mặt vật, cho chất đó ngấm vào kẽ nứt, khi chiếu tia tử ngoại vào những chỗ ấy sẽ sáng lên Người ta muốn ước lượng tỉ lệ một sản phẩm bằng kim loại có vết nứt trên bề mặt trong một lô sản phẩm của nhà máy a) Nếu muốn sai số cho phép không quá 1% ở độ tin cậy 95% thì phải dùng tia tử ngoại kiểm tra ít nhất bao nhiêu sản phẩm? b) Sử dụng tia tử ngoại kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm, người ta thấy có 20 sản phẩm có vết nứt trên bề mặt Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ tổng thể Nếu muốn sai số cho phép không quá 1% ở độ tin cậy 95% thì phải dùng tia tử ngoại kiểm tra ít nhất bao nhiêu sản phẩm?

Hướng dẫn giải a) Số sản phẩm ít nhất phải dùng tia tử ngoại kiểm tra nếu muốn sai số cho phép không quá 1% ở độ tin cậy 95%

Gọi n là số sản phẩm ít nhất cần phải kiểm tra

Do pq cực đại khi p= =q 0,5 nên:

Vậy cần kiểm tra ít nhất 9604 sản phẩm b) Gọi p là tỉ lệ sản phẩm có vết nứt trên bề mặt Ta cần ước lượng p với độ tin cậy 95%

Theo giả thuyết của bài toán ta có:

Tỉ lệ sản phẩm có vết nứt trên bề mặt trong mẫu cụ thể là: 20 0,1 f = 200 2 2

Vậy khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ sản phẩm có vết nứt trên bề mặt là:

Nếu sai số không quá 1% ở độ tin cậy 95% thì số sản phẩm cần kiểm tra là: Gọi n là số sản phẩm ít nhất cần phải kiểm tra

Vậy cần kiểm tra ít nhất 3458 sản phẩm.

Chương 7: “Kiểm định giả thuyết thống kê”

- Lý thuyết cơ bản về kiểm định;

- Thủ tục thực hiện bài toán kiểm định;

- Kiểm định giả thuyết về trung bình của tổng thể;

- Kiểm định giả thuyết về phương sai của tổng thể;

- Kiểm định giả thuyết về tỉ lệ tổng thể;

- Kiểm định giả thuyết về phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

3.7.2 Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Kiểm định giả thuyết thống kê”

Trong thực tế, nhiều bài toán yêu cầu kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề hoặc tình huống giả định khi thiếu thông tin chính xác Các mệnh đề này có thể đúng hoặc sai, do đó cần phải tiến hành kiểm định để đưa ra kết luận về việc thừa nhận hay không thừa nhận chúng Để thực hiện kiểm tra này, cần sử dụng thông tin từ mẫu và áp dụng các phương pháp thống kê cụ thể Dưới đây là một số bài toán kiểm định đáng chú ý.

Mạng điện quốc gia cung cấp điện áp đầu vào trung bình 220 V đến nơi tiêu thụ Tuy nhiên, sau một thời gian sử dụng, nhiều thiết bị điện gặp hư hỏng, dẫn đến nghi ngờ về sự thay đổi điện áp đầu vào Để kiểm tra giả thuyết này, người dùng sẽ sử dụng đồng hồ đo điện áp để đo đạc và lấy mẫu điện áp.

Trong kiểm tra chất lượng giáo dục, hiệu trưởng thường công bố tỉ lệ học sinh khá giỏi của trường mình, như trường hợp hiệu trưởng trường trung học phổ thông X cho biết tỉ lệ này là trên 70% trong năm học hiện tại Tuy nhiên, có những người nghi ngờ và muốn xác minh thông tin này Để kiểm chứng, họ sẽ tiến hành lấy mẫu học sinh từ trường và thực hiện bài toán kiểm định giả thuyết nhằm xác định tính chính xác của tuyên bố.

Trong Vật lý thực nghiệm, khi tiến hành một chuỗi phép đo, dữ liệu thu thập được thường tuân theo một quy luật phân phối nhất định Điều quan trọng là xác định xem dữ liệu từ các phép đo có thực sự phù hợp với quy luật phân phối đó hay không.

Thực hiện kiểm định giả thuyết giúp chúng ta đưa ra kết luận về việc chấp nhận hoặc bác bỏ giả thuyết đã đề xuất Kiến thức trong chương này sẽ hỗ trợ chúng ta trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến kiểm định giả thuyết.

3.7.3 Xây dựng bài tập chương “Kiểm định giả thuyết thống kê”

Mở đầu là bài toán kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình trong lĩnh vực Vật lý

Bài 7.1 Điện thế của mạng điện sử dụng trong gia đình là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với điện thế trung bình là 220 ( ) V Để kiểm tra điện thế của mạng điện, người ta sử dụng một đồng hồ để đo điện thế Nguồn điện thế V được đo 6 lần và thu được các kết quả đo như sau:

Ta muốn kiểm định giả thuyết với mức ý nghĩa 5% rằng điện thế trung bình là

220 ( ) V khi: a) Biết phương sai của các sai số đo là 1; b) Chưa biết phương sai

Gọi  là giá trị điện thế trung bình Ta cần kiểm định giả thuyết:

H = V H 1: 220( ) V a) Với n30, phương sai  2 đã biết

  không bác bỏ H 0 , coi điện thế trung bình bằng

220 V một cách có ý nghĩa b) Với n30, phương sai  2 chưa biết

2, 571 : n n t  − =t =  t t  − không bác bỏ H 0 , coi điện thế trung bình bằng 220 ( ) V một cách có ý nghĩa

Bài 7.2 Khi tiến hành đo độ phóng xạ của một nhóm chất phóng xạ gồm 20 mẫu, người ta thu được kết quả như sau: x =140 nCi và s nCi Với độ tin cậy là 95%, hỏi độ phóng xạ của nhóm 20 mẫu có thực sự khác với độ phóng xạ trung bình mẫu chuẩn 120 nCi hay không? Biết rằng độ phóng xạ có phân phối chuẩn

Gọi  là giá trị của độ phóng xạ trung bình Ta cần kiểm định giả thuyết:

Với giá trị 2,093, ta có thể bác bỏ giả thuyết H0, cho thấy độ phóng xạ của nhóm 20 mẫu khác biệt so với độ phóng xạ trung bình của mẫu chuẩn với độ tin cậy 95% Ngoài việc kiểm định giả thuyết về trung bình tổng thể, phương pháp kiểm định giả thuyết về phương sai tổng thể cũng được áp dụng trong các lĩnh vực Vật lý kỹ thuật.

Bài 7.3 Theo sổ tay dùng cho các phòng thí nghiệm luyện kim, sai số bình phương trung bình của phép xác định Crom bằng phương pháp đo điện thế là

 = đối với hàm lượng Crom là 3% Với nghiên cứu hiện tại, người ta dùng

7 mẫu và thu được s=0, 022%, hơi cao hơn so với mức chuẩn Với mức ý nghĩa

=0,1, hãy xác định xem có sự gia tăng sai số ngẫu nhiên hay không?

Gọi  2 là phương sai của các phép đo trong điều kiện hiện tại Ta cần kiểm định giả thuyết:

Tra bảng ta được:   2 ( n− =1) 0,1 2 ( )6 , 64 2   2 ( n−1 :) không bác bỏ H 0 , nghĩa là coi độ lệch chuẩn các sai số chưa tăng với mức ý nghĩa  =0,1.

Sau khi thực hiện thí nghiệm, các nhà Vật lý cần kiểm tra xem dữ liệu thu được có tuân theo quy luật phân phối xác suất nào không Để làm điều này, họ áp dụng phương pháp kiểm định giả thuyết về quy luật phân phối xác suất Các bài toán kiểm định phân phối sẽ được xem xét trong quá trình này.

Bài 7.4 Một người làm thí nghiệm đo bụi neutrino trong một ngày tại một vùng trên Trái Đất Kết quả quan sát số hạt neutrino trong một ngày được cho trong bảng bên dưới:

Bảng 3.4 Kết quả đo số hạt neutrino trong một ngày

Giả thuyết rằng dữ liệu trên tuân theo phân bố Poisson Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định giả thuyết trên

Để giải quyết bài toán này, trước tiên chúng ta cần sắp xếp các số liệu thô đang có và tính toán các chỉ số tương ứng.

Khi đó chúng ta có bảng tần số như sau:

H dữ liệu có phân phối Poisson;

Dữ liệu không tuân theo phân phối Poisson, dẫn đến việc kiểm định quy luật phân phối Poisson với tham số chưa biết λ Trong trường hợp này, tham số λ được thay thế bằng x để thực hiện phân tích.

Từ bảng dữ liệu, ta tính được:

Với tham số = =x 4,36 ta tính các xác suất:

10 10 1 0 1 9 0, 0341. p =P X  = −P X = −P X = − −P X = Các kết quả tính toán được trình bày dưới dạng bảng sau:

Số hạt ( ) x i Tần số ( ) n i p i np i ( i i ) 2 i n np np

Với mức ý nghĩa 5%, tra bảng  2 với bậc tự do k− − =r 1 10 1 1 8,− − = ta được:

Ta thấy:  2    2 ( k − − r 1 ) nên ta không bác bỏ giả thuyết: coi dữ liệu số hạt neutrino trong một ngày tuân theo phân bố Poisson

Bài 7.5 Một sinh viên làm thí nghiệm tung một quả bóng lên cao và ghi lại thời gian kể từ khi ném quả bóng cho đến khi nó đạt độ cao 2 mét Số liệu thu được trong bảng 3.5

Bảng 3.5 Dữ liệu thời gian thời gian ném quả bóng đến độ cao 2 mét

Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm tra xem số liệu sinh viên thu được có tuân theo phân phối chuẩn hay không?

Gọi X là thời gian ném quả bóng cho đến khi đạt độ cao 2 mét Đặt giả thuyết:

H X không có phân phối chuẩn

Từ số liệu đã cho ở bảng trên, ta tính được:

Ta chia các giá trị đo thành các miền giá trị:

STT Miền giá trị Số giá trị quan sát

Tính xác suất trên các khoảng như sau:

Các kết quả tính toán được trình bày dưới dạng bảng sau:

Miền giá trị n i p i np i ( i i ) 2 i n np np

Với mức ý nghĩa 5%, tra bảng  2 với bậc tự do k− − = − − =r 1 4 2 1 1, ta được:

Ta thấy:  2  2 ( k − − r 1 ) nên ta không bác bỏ giả thuyết: coi số liệu sinh viên đo được có phân phối chuẩn.

Chương 8: “Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính”

- Phân tích tương quan tuyến tính: định nghĩa, tính chất, hệ số tương quan mẫu;

- Phân tích hồi quy tuyến tính: mô hình hồi quy tuyến tính, ước lượng bình phương cực tiểu

3.8.2 Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính”

Trong nhiều tình huống thực tế, chúng ta thường gặp hai đại lượng ngẫu nhiên có mối quan hệ với nhau, trong đó một đại lượng dễ khảo sát hơn đại lượng còn lại Để dự đoán đại lượng khó khảo sát, việc phân tích tương quan giữa hai đại lượng là cần thiết Hệ số tương quan gần bằng 1 cho thấy mối quan hệ tuyến tính chặt chẽ, cho phép chúng ta sử dụng phương trình hồi quy tuyến tính để biểu diễn đại lượng khó khảo sát dựa trên đại lượng dễ khảo sát.

Trong các phép đo thực nghiệm, việc nhận biết quy luật biến đổi của một đại lượng vật lý khi có sự thay đổi của yếu tố khác là rất quan trọng Sự biến đổi này giúp điều chỉnh các yếu tố ảnh hưởng để thu được kết quả mong muốn Về mặt toán học, quy luật này thể hiện qua mối quan hệ hàm số y = f(x, z, ), trong đó y là đại lượng cần đo và x, z là các yếu tố ảnh hưởng Do hạn chế về thời gian và chi phí, không thể đo tất cả giá trị mong muốn, vì vậy việc biết hàm mô tả quy luật biến đổi giúp nội suy tại các giá trị quan tâm Trong khuôn khổ chương trình, chúng ta tập trung nghiên cứu phương trình hồi quy tuyến tính y = Ax + B, với A và B là các hệ số xác định bằng phương pháp bình phương tối thiểu.

3.8.3 Xây dựng bài tập chương “Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính”

Dưới đây là một số bài toán điển hình về phương trình hồi quy tuyến tính

Bài 8.1 Một sinh viên thực hiện thí nghiệm sử dụng một lò xo có chiều dài tự nhiên 0 Một đầu của lò xo này được gắn vào một điểm cố định Đầu còn lại gắn với các quả nặng có khối lượng m khác nhau Sinh viên tiến hành đo chiều dài của lò xo tương ứng với các quả nặng có khối lượng khác nhau Dữ liệu đo của sinh viên được trình bày trong bảng 3.6

Bảng 3.6 Chiều dài của lò xo theo khối lượng quả nặng

Chiều dài lò xo phụ thuộc vào khối lượng m của vật nặng theo mối quan hệ tuyến tính được mô tả bởi phương trình: L = A + Bm, trong đó A = 0 Để xác định các giá trị A và B, cần lưu ý rằng sai số trong phép đo chiều dài là đồng nhất, trong khi sai số từ việc đo khối lượng vật nặng được bỏ qua.

Dựa vào bảng số liệu của đề, ta xác định được:

Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu tìm các hệ số A và B của phương trình hồi quy:

Vậy ta có phương trình: =6,32 0,189m cm+ ( )

Bài 8.2 Phương pháp hồi quy đã được sử dụng để phân tích dữ liệu từ một nghiên cứu điều tra mối quan hệ giữa nhiệt độ ( ) 0 F bề mặt đường ( )x và độ biến dạng bề mặt ( ).y Các số liệu được tóm tắt như sau: y i i=1 ồ n = 12,75; y i 2 i=1 ồ n = 8,86; x i i= 1 ồ n = 1478; x i 2 i= 1 ồ n = 143215,8; x i y i i= 1 ồ n = 1083,67; n = 20. a) Lập phương trình hồi quy của y theo x. b) Sử dụng phương trình hồi quy vừa tìm được để dự báo độ biến dạng mặt đường sẽ quan sát được nếu nhiệt độ bề mặt là 85 0 F c) Độ biến dạng bề mặt trung bình là bao nhiêu khi nhiệt độ bề mặt là 90 0 F

Hướng dẫn giải a) Lập phương trình hồi quy của y theo x.

Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu tìm các hệ số a và b của phương trình hồi quy:

Vậy phương trình hồi quy của y theo x là: y=ax b+ =0, 0042x+0,3271. b) Dự báo độ biến dạng mặt đường sẽ quan sát được nếu nhiệt độ bề mặt là

Thay giá trị của x vào phương trình hồi quy ta được:

0, 0042 0,3271 0, 0042.85 0,3271 0, 6841 y= x+ = + = c) Độ biến dạng bề mặt trung bình khi nhiệt độ bề mặt là 90 0 F

Thay giá trị của x vào phương trình hồi quy ta được:

Bài 8.3 Động cơ tên lửa được sản xuất bằng cách nạp đồng thời hai loại chất nổ: kích nổ và duy trì Lực làm phá hủy liên kết của chất nổ ( )y xem như là hàm tuyến tính của tuổi ( )x của chất nổ cho đến khi động cơ được phóng 20 quan sát được chỉ ra ở bảng 3.7 a) Lập phương trình hồi quy của y theo x. b) Ước lượng lực phá hủy liên kết trung bình của động cơ khi chất nổ có 20 tuần tuổi

Bảng 3.7 Dữ liệu lực phá hủy chất nổ theo tuổi chất nổ

Tuổi ( )x (tuần) STT Lực phá hủy ( )y

= + +  a) Lập phương trình hồi quy của y theo x.

Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu tìm các hệ số a và b của phương trình hồi quy:

Vậy phương trình hồi quy của y theo x là: y=ax b+ = −37,15x+2627, 77. b) Lực phá hủy liên kết trung bình của động cơ khi chất nổ có 20 tuần tuổi

Thay giá trị của x vào phương trình hồi quy ta được:

Bài 8.4 Thủy tinh đóng vai trò then chốt trong những vụ án vì các hoạt động của tội phạm thường làm cho cửa sổ và các vật dụng thủy tinh khác bị phá hủy Vì các mảnh thủy tinh thường lưu lại trên quần áo của tên tội phạm, khả năng nhận ra những mảnh đó bắt nguồn từ hiện trường hay không có tầm quan trọng lớn Hai tính chất vật lý của thủy tinh có ích cho mục tiêu nhận dạng là chỉ số khúc xạ (khá dễ để đo) và mật độ của nó (khó đo hơn) Tuy nhiên, phép đo mật độ chính xác được hỗ trợ rất nhiều nếu người ta có ước tính tốt về giá trị này trước khi thiết lập thí nghiệm trong phòng thí nghiệm cần thiết để xác định chính xác Do đó, sẽ khá hữu ích nếu người ta có thể sử dụng chỉ số khúc xạ của các mảnh thủy tinh để ước tính mật độ của nó Dữ liệu sau nêu lên mối quan hệ giữa chỉ số khúc xạ với mật độ của 18 mẫu:

Bảng 3.8 Dữ liệu mối quan hệ giữa chỉ số khúc xạ và mật độ thủy tinh Chỉ số khúc xạ Mật độ Chỉ số khúc xạ Mật độ

Hãy dự báo mật độ của thủy tinh ứng với chỉ số khúc xạ 1,52

Gọi x là chỉ số khúc xạ của thủy tinh, y là mật độ của thủy tinh

Ta lập phương trình hồi quy của y theo x

Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu tìm các hệ số a và b của phương trình hồi quy:

Phương trình hồi quy của y theo x là: y=ax b+ =3,32x−2,55

Thay giá trị của x=1,52 vào phương trình hồi quy ta được:

Vậy mật độ của thủy tinh là 2,4964 ứng với chỉ số khúc xạ là 1,52

Bài 8.5 Một sinh viên tiến hành thí nghiệm khảo sát chuyển động thẳng nhanh dần đều của một vật có khối lượng m và thu được bảng số liệu mối quan hệ vận tốc – thời gian như sau:

Bảng 3.9 Dữ liệu mối quan hệ giữa thời điểm và vận tốc chuyển động

Mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian trong chuyển động thẳng nhanh dần đều được mô tả bằng phương trình tuyến tính y = ax + b, trong đó a là gia tốc (đơn vị m/s²) và b là vận tốc ban đầu (đơn vị m/s) Để xác định vận tốc chuyển động của vật, cần lập phương trình hồi quy Sau khi có phương trình hồi quy, có thể sử dụng nó để tính toán vận tốc của vật tại thời điểm x (s).

= + + + +  a) Lập phương trình hồi quy xác định vận tốc chuyển động của vật

Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu tìm các hệ số a và b của phương trình hồi quy:

Phương trình hồi quy để xác định vận tốc chuyển động của vật được biểu diễn như sau: y = ax + b, với a = 2,15 và b = 5,75 Sử dụng phương trình này, bạn có thể tính toán vận tốc của vật tại thời điểm x (s).

Thay giá trị của x vào phương trình hồi quy ta được:

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài đã giúp chúng tôi giải quyết được các vấn đề lý luận và thực tiễn như sau:

- Tổng quan được vai trò và ứng dụng của học phần XSTK trong việc học các môn chuyên ngành Vật lý và trong nghiên cứu Vật lý

Phân tích các nội dung kiến thức trọng tâm và chủ đề bài tập XSTK từ các giáo trình trong và ngoài nước giúp hiểu rõ cách tiếp cận lý thuyết và các bài tập liên quan đến Vật lý.

Chúng tôi đã hệ thống hóa kiến thức và đề xuất cách tiếp cận cho từng chương trong lĩnh vực Vật lý, đồng thời xây dựng 42 bài tập XSTK ứng dụng phù hợp với sinh viên khoa Vật lý tại Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh.

Trong khuôn khổ khóa luận, chúng tôi chưa hoàn thiện hệ thống kiến thức và các chủ đề bài tập XSTK trong lĩnh vực Vật lý Chúng tôi dự định tiếp tục nghiên cứu và phát triển một giáo trình XSTK dành riêng cho sinh viên khoa Vật lý tại Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh.