Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1 Đạo hàm của hàm số hợp Định lí: Nếu hàm số có đạo hàm tại là và hàm số có đạo hàm tại là thì hàm hợp có đạo hàm tại là [3]
2.1.2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm Định lí: Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng a) Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên khoảng b) Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên khoảng c) Nếu với mọi thì hàm số không đổi trên khoảng [1]
2.1.3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm trên các khoảng và Khi đó a) Nếu với mọi và với mọi thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm b) Nếu với mọi và với mọi thì hàm số đạt cực đại tại điểm [1] Định lí được viết gọn trong hai bảng biến thiên sau
2.1.4 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số , để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng ta có thể dựa vào bảng biến thiên của hàm số
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1 Thực trạng của vấn đề
Trong chương trình toán THPT, đạo hàm chiếm một vị trí quan trọng trong phần giải tích, với nhiều kiến thức và ứng dụng phong phú Đây là công cụ mạnh mẽ giúp giải quyết các bài toán trong giải tích, đại số và hình học, đặc biệt là các bài toán về cực trị Mối liên hệ chặt chẽ giữa hàm số và đạo hàm cho phép chúng ta rút ra các kết luận về tính đơn điệu, cực trị, cũng như giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm.
Sự điều chỉnh của Bộ Giáo dục trong năm học 2016-2017 đã chuyển đổi hình thức thi môn Toán từ tự luận sang trắc nghiệm và rút ngắn thời gian làm bài từ 180 phút xuống còn 90 phút, gây khó khăn cho học sinh Học sinh đã quen với việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, nhưng hình thức thi mới yêu cầu họ phải nắm vững lý thuyết và có kỹ năng khai thác đồ thị trong thời gian hạn chế, trung bình 1,8 phút cho mỗi câu hỏi.
Qua khảo sát thực tế, tôi nhận thấy thực trạng dạy học phần rèn luyện kỹ năng giải các bài toán khai thác đồ thị hàm số có những đặc điểm nổi bật.
Nhiều học sinh vẫn quen thuộc với việc giải các bài tập bằng cách phân tích hàm số để xác định tính đơn điệu và cực trị, nhưng chưa có thói quen quan sát đồ thị hàm để rút ra các kết luận tương tự.
- Thời gian giải quyết một bài tập dạng này còn lâu.
Học sinh có học lực trung bình và yếu thường gặp khó khăn trong việc giải các bài tập cụ thể, trong khi kỳ thi THPT Quốc gia 2017 có tới 4 câu hỏi dạng này trong mỗi đề, chiếm 0,8 điểm Để đạt điểm cao trong kỳ thi, việc rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài tập này là rất cần thiết.
Bộ sách giáo khoa hiện tại chủ yếu gồm các bài tập tự luận, với thiết kế tương tự như thi truyền thống Tuy nhiên, các bài tập khai thác đồ thị hàm số, như trong đề thi THPT quốc gia 2017 và đề minh họa 2018, lại không có trong sách giáo khoa Do đó, giáo viên dạy Toán tại các trường THPT đang áp dụng phương pháp giảng dạy khác để bổ sung phần kiến thức này.
Để xây dựng một chuyên đề về toán khai thác đồ thị hàm số, cần tham khảo tài liệu, đáp án thi thử từ các trường và trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp Việc này giúp củng cố kiến thức và nâng cao khả năng giải quyết các bài toán liên quan.
- Bám sát vào đề thi chính thức THPT quốc gia 2017 và đề minh họa 2018 của
Bộ giáo dục và đào tạo để có hướng ôn tập phù hợp.
Trong quá trình học tập, giáo viên nên tận dụng thời gian trên lớp, bao gồm cả các giờ chính khóa và giờ học thêm, để hướng dẫn học sinh kỹ năng khai thác đồ thị hàm số Đồng thời, việc xây dựng một hệ thống bài tập thực hành sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức và nâng cao khả năng phân tích đồ thị một cách hiệu quả.
Mặc dù đây là một chuyên đề mới, nhưng bài tập liên quan còn hạn chế và phân tán trong các đề thi trên toàn quốc, khiến không phải giáo viên nào cũng có đủ tài liệu giảng dạy Thêm vào đó, thời gian dành cho phần này cũng không nhiều, gây khó khăn cho giáo viên trong quá trình giảng dạy.
2.1.2 Kết quả của thực trạng
Sau khi hoàn thành chương 1 - Giải tích 12 "Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số", tôi đã tiến hành khảo sát học sinh lớp 12B2 và 12B5 Thời gian làm bài là 15 phút, nhằm kiểm tra kỹ năng giải các bài toán liên quan đến việc khai thác đồ thị hàm số.
(đề ra dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm nhưng có yêu cầu các em trình bày lời giải để tránh việc các em lụi đáp án).
Kết quả cho thấy, hầu hết các em hiểu lý thuyết nhưng gặp khó khăn khi áp dụng vào bài làm Việc trình bày còn rối rắm và thường nhầm lẫn giữa đồ thị của hàm số và đồ thị hàm số, dẫn đến việc không tìm ra kết quả chính xác hoặc kết quả bị sai.
Bảng thống kê điểm kiểm tra:
Giải quyết vấn đề
2.3.1 Khai thác đồ thị hàm số
2.3.1.1 Xác định khoảng đơn điệu
Ví dụ 1: (Câu 39 đề minh họa thi THPT QG 2018_Bộ GD-ĐT)
Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên Hàm số đồng biến trên khoảng
Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số để tìm khoảng dương, âm của
, từ đó tìm được khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Nhận xét: Dựa vào đồ thị hàm số ta dễ dàng nhận thấy:
● thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị nằm phía trên trục hoành.
● thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành.
Do đó ta có kết luận:
● x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị nằm phía trên trục hoành thì trong khoảng đó hàm số đồng biến.
● x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành thì trong khoảng đó hàm số nghịch biến.
Từ đồ thị của hàm số ta có: và
Do đó, hàm số đồng biến
Trong hình thức thi trắc nghiệm, học sinh có thể dựa vào hình dáng đồ thị hàm số để chọn ra hàm số phù hợp Phương pháp này hỗ trợ học sinh có học lực trung bình và yếu giải quyết bài toán một cách dễ dàng hơn.
Bài tập này ta còn có thể làm như sau:
Đồ thị hàm số có thể là đồ thị của một hàm đa thức bậc ba với hệ số nhất định Nó cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ cụ thể, vì vậy có thể chọn hàm số phù hợp để phân tích.
Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ bên và
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Từ đồ thị hàm số , ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta nhận thấy Đặt , ta có
Do đó hàm số nghịch biến
Ví dụ 3: (Đề thi thử trường THPT Chu
Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ bên.
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Kẻ thêm đường thẳng lên hình vẽ đã cho (dễ thấy đường thẳng này đi qua các điểm , và ).
Dựa vào đồ thị ta có:
Chú ý: Trong bài này học sinh dễ mắc sai lầm vẽ thêm đường thẳng lên đồ thị hàm số dẫn tới kết quả sai.
2.3.1.2 Xác định cực trị của hàm số
Ví dụ 1: (Trích đề thi thử trường THPT Nguyễn
Cho hàm số xác định và có đạo hàm
Đồ thị của hàm số như hình vẽ bên.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A Hàm số có ba điểm cực trị
B Hàm số đồng biến trên khoảng
C Hàm số nghịch biến trên khoảng
D Hàm số đồng biến trên khoảng
Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số để tìm khoảng dương, âm của
, từ đó tìm được khoảng đồng biến, nghịch biến của
Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên
Học sinh có thể nhầm lẫn đồ thị hàm số thành đồ thị hàm số do đọc không kĩ đề dẫn đến chọn sai đáp án
Ví dụ 2: (Trích đề thi thử Chuyên Bắc Ninh lần 2-2018)
Cho hàm số với đạo hàm có đồ thị như hình vẽ bên
Hàm số đạt cực đại tại điểm nào ?
Phương pháp giải để xác định điểm cực trị của hàm số là sử dụng đồ thị hàm số nhằm suy ra bảng biến thiên Sau khi có bảng biến thiên, chúng ta có thể rút ra kết luận về các điểm cực trị của hàm số.
Từ đồ thị hàm số ta thấy: nên là một nghiệm của là một nghiệm của là một nghiệm của Vậy phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt
Vẽ đồ thị hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ với
Trong khoảng thì đồ thị hàm số nằm phía trên đồ thị hàm số nên
Trong khoảng thì đồ thị hàm số nằm phía dưới đồ thị hàm số nên
Do đó ta có bảng biến thiên
Vậy là điểm cực đại của hàm số
2.3.1.3 Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, so sánh các giá trị của hàm số
Ví dụ 1: (Trích đề thi thử trường THPT Sơn Tây - Hà Nội)
Cho hàm số có đồ thị cắt trục tại ba điểm có hoành độ như hình vẽ bên.
Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra?
Để giải bài toán, ta cần sử dụng đồ thị của hàm số để xác định bảng biến thiên Sau khi có bảng biến thiên, ta sẽ kết hợp với diện tích hình phẳng để đưa ra kết luận chính xác về hàm số.
Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, có thể xác định rằng số bé nhất trong ba số là giá trị quan trọng Phần diện tích được giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành, nằm bên dưới trục hoành, cũng đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích hàm số.
Gọi là phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành và nằm bên trên trục hoành.
Dựa vào đồ thị , ta có
Ví dụ 2: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 2-2018)
Cho hàm số có đạo hàm trên và có đồ thị của hàm như hình vẽ bên.
Biết rằng Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của trên đoạn lần lượt là
Phương pháp giải quyết bài toán này là sử dụng đồ thị của hàm số để xác định bảng biến thiên Sau đó, từ bảng biến thiên và tính chất đơn điệu của hàm số, chúng ta có thể đưa ra kết luận chính xác về hành vi của hàm số.
Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có Loại các đáp án A, C.
Hàm số đồng biến trên khoảng (2; 5) nên ta có
Ví dụ 3: (Trích đề thi chính thức năm 2017-mã đề 101)
Cho hàm số Đồ thị của hàm số như hình bên Đặt Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Phương pháp giải quyết bài toán liên quan đến hàm số bao gồm việc sử dụng đồ thị của hàm số để xây dựng bảng biến thiên Sau khi có bảng biến thiên, ta có thể phân tích diện tích hình phẳng để đưa ra kết luận chính xác về hàm số.
Trên hình vẽ đã cho, ta kẻ thêm đường thẳng
Dựa vào hình vẽ ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra: ,
Dựa vào đồ thị ta có
2.3.2 Khai thác đồ thị hàm số
Ví dụ 1: (Trích đề thi thử trường THPT Quảng Xương 1- Lần1-2018)
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt
Phương pháp giải: Dựa vào sự tương giao của đường thẳng và đồ thị hàm số
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi
Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ
Gọi là số nghiệm thực của phương trình khẳng định nào sau đây là đúng?
Dựa vào đồ thị hàm số ta dễ thấy
Trên đồ thị hàm số, các đường thẳng cắt nhau tại 3 điểm phân biệt, dẫn đến phương trình có 3 nghiệm phân biệt Ngược lại, nếu đường thẳng chỉ cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm duy nhất, phương trình sẽ có 1 nghiệm duy nhất.
Các nghiệm này dễ thấy không trùng nhau nên phương trình có 7 nghiệm thực.
Ví dụ 3: (Trích đề thi thử trường THPT Quảng Xương 1- Lần 2-2018)
Hàm số có đạo hàm trên khoảng xác định và đồ thị của nó được minh họa trong hình vẽ Để xác định số lượng điểm cực đại và cực tiểu của hàm số, ta cần phân tích đồ thị và các đặc điểm của hàm.
A 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu B 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
C 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu D 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.
Phương pháp giải hiệu quả là sử dụng đồ thị hàm số để xác định nghiệm của các phương trình, sau đó tiến hành xét dấu Khi thực hiện việc xét dấu, cần chú ý đến việc xác định xem điểm đó là điểm cực đại hay điểm cực tiểu.
Dựa vào đồ thị hàm số ta dễ thấy
Trên đồ thị của hàm số, từ các điểm cực trị, ta có thể kẻ đường vuông góc với trục hoành để xác định hoành độ của các điểm cực trị Việc này có thể thực hiện bằng cách vẽ đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ Đặt \( x \) là hoành độ, ta có thể tìm được các giá trị tương ứng cho các điểm cực trị.
Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại , đạt cực đại tại và
Vậy hàm số có 2 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu.
2.3 3 Ngân hàng đề thi về dạng toán khai thác đồ thị hàm số
Câu 1: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 2: (Trích đề thi thử trường THPT Lương Văn Tụy-2018)
Cho hàm số liên tục trên , đồ thị của đạo hàm như hình vẽ bên Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
D cực tiểu của nhỏ hơn cực đại.
Câu 3: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Lam Sơn-Lần 1-2018)
Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình vẽ bên
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A Hàm số đồng biến trên
B Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
C Hàm số đạt cực đại tại
D Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.
Câu 4: Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên Hàm số nghịch biến trên khoảng:
Câu 5: (Trích đề thi thử trường THPT Đặng Thúc
Cho hàm số xác định, liên tục trên và có đạo hàm Biết rằng hàm số có đồ thị như hình vẽ bên
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Hàm số đồng biến trên khoảng
B Hàm số nghịch biến trên khoảng
C Hàm số đồng biến trên khoảng
D Hàm số nghịch biến trên khoảng
Câu 6: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Đại học Vinh-Lần 2-2018)
Cho hàm số bậc bốn Hàm số có đồ thị như hình vẽ bên
Số điểm cực đại của hàm số là
Câu 7: Cho hàm số liên tục trên Đồ thị của hàm số như hình bên Đặt Mệnh đề nào dưới đây đúng?
D Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của trên
Câu 8: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và đồ thị hàm số như hình vẽ bên.
Kết luận nào sau đây là đúng?
A Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc
B Phương trình có đúng một ng hiệm thuộc
C Phương trình không có nghiệm thuộc
D Phương trình có đúng ba nghiệm thuộc
Câu 9: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Thái Bình-Lần 5-2018)
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Tìm số điểm cực trị của hàm số
Câu 10: (Trích đề thi thử Sở GD & ĐT Quảng Nam-2018)
Cho hàm số có đồ thị như hình bên
Phương trình có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt nhỏ hơn 2?
Câu 11:(Trích đề thi thử trường THPT Vinh
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A Giá trị cực tiểu của hàm số bằng
B Giá trị cực đại của hàm số là 0.
C Điểm cực tiểu của hàm số là
D Điểm cực đại của hàm số là 3.
Câu 12: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Đại học Vinh-Lần 1-2018)
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
Hướng dẫn giải, đáp số và một số câu ở các đề thi thử gần đây xem ở phụ lục.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong năm học 2017-2018, tôi đã áp dụng các giải pháp giảng dạy tại lớp 12B5 (Ban cơ bản A) và 12B2 (Ban KHTN) để ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải toán khai thác đồ thị hàm số Kết quả thu được rất khả quan, cho thấy năng lực học sinh đã có sự chuyển biến tích cực qua các kỳ thi KSCL theo định hướng thi THPT Quốc gia của nhà trường Điểm thi cụ thể của các lớp tôi dạy trong các lần khảo sát cũng phản ánh sự tiến bộ này.
12B2 12B5 Điểm lần 1 6.01 4,12 Điểm lần 2 6.50 4.60 Điểm lần 3 6.95 5.35 Điểm lần 4 7.50 6.55
Qua điều tra, tất cả học sinh đều nắm vững cách giải các bài toán khai thác đồ thị hàm số Các em thể hiện sự tự tin khi thực hành làm đề tại lớp và ở nhà Những yếu tố này đã góp phần quan trọng trong việc chuẩn bị kiến thức, kỹ năng và tâm lý cho học sinh, giúp các em sẵn sàng bước vào kỳ thi THPT Quốc gia với kết quả cao nhất.
Tôi đã chia sẻ kinh nghiệm rèn luyện kỹ năng giải toán khai thác đồ thị hàm số với đồng nghiệp môn Toán cả trong và ngoài trường Các giáo viên đều đánh giá cao tính khoa học và thực tiễn của đề tài này.
