NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Nghị quyết Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) nhấn mạnh tầm quan trọng của việc đổi mới phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại, nhằm phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của người học Điều này bao gồm việc khuyến khích tự học, dạy cách học và cách nghĩ, từ đó giúp người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực một cách hiệu quả, khắc phục lối truyền thụ áp đặt và ghi nhớ máy móc.
Toán học là một phần thiết yếu trong cuộc sống hàng ngày của mọi người, đóng vai trò quan trọng trong tất cả các lĩnh vực xã hội Kiến thức về Toán giúp phát triển khả năng tính toán, suy nghĩ, ước lượng và tư duy logic, từ đó giải quyết các vấn đề trong học tập và cuộc sống Ở trường phổ thông, việc học Toán chủ yếu tập trung vào giải toán, yêu cầu học sinh lựa chọn và áp dụng kiến thức, kỹ năng cơ bản một cách chính xác Giải toán không chỉ liên quan đến việc khám phá con số và xây dựng mô hình, mà còn đòi hỏi tính sáng tạo và hệ thống Học Toán và giải toán giúp học sinh rèn luyện sự tự tin, kiên nhẫn và khả năng làm việc có phương pháp, đồng thời kiến thức Toán còn hỗ trợ cho việc học các môn học khác như Vật lý, Hóa học và Sinh học.
Để đáp ứng yêu cầu đổi mới trong giáo dục hiện nay, việc dạy môn Toán ở trường phổ thông cần tập trung vào việc phát triển năng lực chung và năng lực chuyên biệt của môn học Điều này bao gồm năng lực tư duy, như tư duy lôgic, tư duy phê phán, tư duy sáng tạo, cũng như khả năng suy diễn và lập luận toán học Bên cạnh đó, năng lực tính toán cũng rất quan trọng, bao gồm khả năng sử dụng các phép tính, ngôn ngữ toán học, mô hình hóa, và sử dụng công cụ hỗ trợ tính toán.
Thực trạng
Trong nhiều năm giảng dạy tại trường THPT Như Thanh, tôi nhận thấy học sinh gặp khó khăn trong việc học toán, đặc biệt là các bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị Các em thường bối rối không biết bắt đầu từ đâu và không biết áp dụng kiến thức nào, điều này đã ảnh hưởng tiêu cực đến chất lượng học tập môn Toán và làm giảm hứng thú của các em đối với môn học này.
Trước khi áp dụng các nghiên cứu trong việc dạy học giải bài tập về hàm số từ đồ thị, học sinh thường thụ động và phụ thuộc vào phương pháp giải của giáo viên, dẫn đến sự thiếu chủ động trong việc giải quyết các bài toán Kết quả khảo sát tại một số lớp chọn khối A cho thấy chỉ có 10% học sinh thực sự hứng thú với các dạng bài toán này.
Giải quyết vấn đề
Năm học 2017-2018 là năm học thứ hai môn Toán được thi dưới hình thức trắc nghiệm, thì ở mã đề 101 có bài toán sau:
Cho hai hàm số , Hai hàm số và có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Bài toán trong đề thi THPT Quốc gia 2018 là một thách thức cho học sinh, ngay cả với những em có học lực giỏi Khó khăn chính nằm ở việc xác định mối liên hệ giữa đồ thị hàm số và tính đơn điệu của hàm Dưới đây là một số phương pháp giải quyết bài toán này.
Cách 1: Đặt , Ta có Để hàm số đồng biến thì với
Cách 2: Kẻ đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ,
Do đó khi Vậy, chọn B.
Dựa vào đồ thị, , ta có , ;
Suy ra Do đó hàm số đồng biến trên Vậy, chọn B.
Bài toán trên có nhiều phương pháp giải quyết, nhưng nếu học sinh thiếu kỹ năng đọc đồ thị của hàm số đạo hàm, họ sẽ gặp khó khăn trong việc tìm ra lời giải.
Trong năm học 2016-2017 năm đầu tiên tổ chức thi dưới hình thức trắc nghiệm với môn Toán, trong đề thi chính thức mã đề 101 cũng có bài toán sau:
Cho hàm số Đồ thị của hàm số như hình bên Đặt
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
(Trích câu 49 đề chính thức thi THPT Quốc gia 2017)
+ Tính đạo hàm: Ta có:
+ Vẽ thêm đường thẳng vào đồ thị như hình bên dưới
(tại các giao điểm của đường cong và đường thẳng trên hình) x y
+ Từ bảng biến thiên ta nhận thấy lớn nhất trong 3 giá trị cực trị
+ Chỉ cần so sánh hai giá trị cực tiểu còn lại.
+ Vậy thứ tự đúng là: Vậy, chọn đáp án C.
Trong hai năm học vừa qua, các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số đã xuất hiện thường xuyên trong các đề thi chính thức và đề minh họa của Bộ GD&ĐT năm học 2018-2019 Sáng kiến kinh nghiệm này sẽ tập trung vào việc giải quyết các bài toán về hàm số khi đã biết đồ thị của hàm số đó.
Các kiến thức cơ bản:
Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm các định nghĩa và tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học.
2.3.1.1 Các định nghĩa. Định nghĩa 1: Cho hàm số f xác định trên K.
Hàm số được gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu
Hàm số được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng K nếu tồn tại số sao cho với mọi x thuộc K, hàm số đạt cực đại tại điểm x0 nếu tồn tại số M sao cho với mọi x thuộc D và M lớn hơn hoặc bằng f(x) Ngược lại, hàm số đạt cực tiểu tại x0 nếu tồn tại số m sao cho với mọi x thuộc D và m nhỏ hơn hoặc bằng f(x) Số M được xác định là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập D, trong khi số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D.
2.3.1.2 Các tính chất. Định lý 1 : Cho hàm số có đạo hàm trên
+ Nếu thì hàm số đồng biến trên
+ Nếu thì hàm số nghịch biến trên Định lý mở rộng : Cho hàm số có đạo hàm trên Nếu
Định lý 2 cho rằng hàm số có thể đồng biến hoặc nghịch biến tại một số điểm hữu hạn Định lý 3 chỉ ra rằng nếu hàm số có cực trị tại một điểm và có đạo hàm tại điểm đó, đồng thời hàm số liên tục trên khoảng và có đạo hàm trên K hoặc trên một khoảng khác, thì: a Nếu hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng, thì điểm đó là cực đại b Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng, thì điểm đó là cực tiểu.
2.3.1.3 Một số phép biến đổi đồ thị hàm số.
Đồ thị của hàm số có thể được điều chỉnh thông qua việc tịnh tiến theo phương trục hoành Khi tịnh tiến đồ thị sang phải một đơn vị, hàm số sẽ được dịch chuyển tương ứng, và khi tịnh tiến sang trái một đơn vị, đồ thị cũng sẽ thay đổi vị trí tương ứng.
Hàm số có đồ thị được điều chỉnh bằng cách tịnh tiến theo trục tung Khi tịnh tiến đồ thị xuống dưới một đơn vị, hàm số sẽ giảm giá trị, trong khi tịnh tiến lên trên một đơn vị sẽ làm tăng giá trị của hàm số.
Để tạo ra đồ thị hàm số mới từ đồ thị hàm số đã cho, bạn cần thực hiện hai bước chính Đầu tiên, giữ nguyên phần đồ thị nằm bên phải trục và loại bỏ phần nằm bên trái Tiếp theo, thực hiện phép đối xứng cho phần đồ thị bên phải trục qua trục đối xứng.
- Cho hàm số có đồ thị Đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên
+ Lấy đối xứng phần đồ thị nằm dưới qua và bỏ phần đồ thị nằm dưới trục Ox.
2.3.1.4 Một số ứng dụng của tích phân. a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục, trục hoành và hai đường thẳng được tính theo công thức cụ thể Bên cạnh đó, diện tích hình phẳng cũng có thể được xác định khi nó được giới hạn bởi hai đường cong.
Cho hai hàm số và liên tục trên đoạn Khi đó diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , và hai đường thẳng là
2.3.2 Một số dạng bài toán về hàm số khi biết đồ thị của hàm số
Dạng 1: Xét tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi biết đồ thị của hàm số
Với dạng này thì ta thường gặp dạng bài toán cơ bản sau đây:
Để giải bài toán xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số liên tục, ta cần phân tích đồ thị của đạo hàm đã cho Các bước thực hiện bao gồm: xác định các khoảng mà đạo hàm dương để tìm khoảng đồng biến, các khoảng mà đạo hàm âm để xác định khoảng nghịch biến, và tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 để xác định các cực trị của hàm số.
Bước 1: Từ đồ thị hàm số tìm nghiệm của phương trình
(hoành độ giao điểm của đồ thị hàm với trục ) Giả sử có các nghiệm là:
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình nghiệm
Bước 3: Tìm các khoảng Giả sử khi đó
Bước 4: Lập bảng biến thiên và kết luận.
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình vẽ sau
Tìm khoảng đồng biến của hàm số
(Trích đề minh hoạ năm 2018 – BGD&ĐT)
+) Dựa vào đồ thị hàm ta có:
+) Để hàm đồng biến thì:
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng và
Qua ví dụ 1, học sinh hình thành tư duy tương tự cho bài toán cơ bản về việc xét tính đơn điệu của hàm số
Để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và các cực trị của hàm số có đạo hàm liên tục, ta cần phân tích dấu của đạo hàm cấp 1 Việc này giúp tìm ra khoảng nghịch biến của hàm số dựa trên đồ thị đã cho.
+) Ta tính đạo hàm của hàm số Ta có:
, sự biến thiên của hàm số phụ thuộc vào dấu của
+) Nhận thấy và các nghiệm của phương trình là các nghiệm đơn nên ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể xác định rằng hàm số nghịch biến trên các khoảng nhất định và đồng biến trên các khoảng khác Ngoài ra, hàm số cũng đạt cực trị tại các điểm cụ thể.
Ngoài cách xét dấu như trên ta cũng có thể xét dấu như sau:
Từ đó ta cũng có bảng xét dấu như trên
Ví dụ 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị như hình vẽ bên và
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số
Từ đồ thị của ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta suy ra
Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi
Vậy, hàm số nghịch biến trên các khoảng và
Ví dụ 4: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số như hình bên Tìm khoảng nghịch biến của hàm số trên
Ta có Hàm số nghịch biến
- Giải (2): Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng
Tuy nhiên ta cũng có thể giải bằng cách khác như sau:
Dựa vào bảng biến thiên hàm số nghịch biến trên khoảng
Hàm số có đạo hàm được cho trong ví dụ 5 có đồ thị như hình vẽ Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số này, ta cần phân tích đạo hàm của nó Khi đạo hàm âm, hàm số sẽ giảm, từ đó xác định được khoảng nghịch biến.
Để giải bài toán, trước tiên cần xác định dấu của hàm số Dựa vào giả thiết, đồ thị hàm số đã trải qua một số phép biến đổi để có hình dạng như trong hình vẽ Từ đó, chúng ta có thể tiến hành giải quyết vấn đề.
Từ đồ thị hàm số tịnh tiến xuống dưới đơn vị, ta được đồ thị hàm số (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số sang trái đơn vị, ta được đồ thị hàm số (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Từ đồ thị hàm số , ta thấy khi Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng
Tuy nhiên ngoài cách giải trên ta cũng có thể giải bằng cách sau:
Dựa vào đồ thị của hàm số ta có: Đặt thì Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng
Ví dụ 6: Cho hàm số có đạo hàm trên Biết đồ thị của hàm số như hình vẽ Tìm điểm cực tiểu của hàm số
Nghiệm của (1) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng
Dựa vào đồ thị hàm số , ta thấy đồ thị hàm số và đường thẳng có ba điểm chung có hoành độ là Do đó
Trên đường thẳng tiếp xúc hoặc nằm trên đồ thị hàm số Trên đường thẳng nằm dưới đồ thị hàm số
Trên đường thẳng nằm trên đồ thị hàm số
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm
Ví dụ 7: Cho hàm số biết rằng hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Tìm tất cả các giá trị để hàm số có 3 cực trị
+ Hàm số có đạo hàm
+ Vì đồ thị tiếp xúc trục tại điểm có hoành độ nên là nghiệm bội chẵn Do đó ta chỉ cần xét số nghiệm hai phương trình:
+ Để hàm số có 3 cực trị khi hai phương trình có thêm đúng hai nghiệm đơn khác 0
TH 1: phương trình (1) vô nghiệm hoặc nghiệm kép , phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác không khi đó có 3 nghiệm đơn nên có 3 cực trị
TH 2: không có thỏa yêu cầu bài toán
Vậy, thì hàm số có 3 cực trị.
Ví dụ 8: Cho hàm số có đạo hàm trên và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
+ Ta có có 3 nghiệm thực trên khoảng trên khoảng + Bảng biến thiên:
Hàm số này có ba cực trị, trong đó hai cực trị có hoành độ dương Để biến đổi đồ thị hàm số, chúng ta sẽ loại bỏ phần đồ thị bên trái trục tung và nhân đôi phần đồ thị bên phải trục tung qua trục tung, tạo ra đồ thị mới như hình vẽ dưới đây.
+ Ta thấy đồ thị hàm số có 5 cực trị, suy ra đồ thì hàm số có 5 cực trị với mọi giá trị m
Vậy, hàm số có 5 cực trị.
Ví dụ 9: Cho hàm số có đạo hàm trên , đồ thị hàm số như trong hình vẽ bên, Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số ?
Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên như sau:
- 0 + 0 - 0 + Đề suy ra được đồ thị của hàm số ta cần phải so sánh được hai giá trị và dấu của chúng
Do đó, đồ thị hàm số nằm phía trên trục ox với mọi x đồ thị cũng chính là đồ thị Vậy, đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.
Ví dụ 10: Cho hàm số xác định trên có ; ;
Biết rằng hàm số có đồ thị như hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số
Một số bài tập trắc nghiệm vận dụng
Bài 1: Cho hàm số Đồ thị của hàm số như hình bên Đặt Mệnh đề nào dưới đây đúng?
(Trích câu 47-MĐ 104 thi THPT QG năm 2017-
Bài 2: Cho hàm số Hàm số có bảng biến thiên như sau
Bất phương trình đúng với mọi khi và chỉ khi
(Trích câu 39 đề minh hoạ 2018-2019 BGD&ĐT)
Bài 3: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
(Trích câu48 đề minh hoạ 2018-2019 BGD&ĐT).
Bài 4: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Hình bên là đồ thị của hàm số Đặt
Khẳng định nào sau đây đúng?
(Trích câu 45 trường chuyên Phan Bội Châu-Nghệa An lần 2-2019)
Bài 5: Cho hàm số f x có đồ thị hàm số y f x được cho như hình vẽ bên
Hàm số 1 2 0 y f x 2 x f có nhiều nhất bao nhiêu cực trị trong khoảng 2;3
Bài 6: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Biết hàm số có đồ thị như hình vẽ Gọi là tập hợp các giá trị nguyên để hàm số nghịch biến trên khoảng Hỏi có bao nhiêu phần tử?
Bài 7: Cho hàm số xác định và liên tục trên , đồ thị của hàm số như hình vẽ Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là
(Trích câu 48 THPT Chuyên Lê Hồng Phong lần 2-2019)
Bài 8: Cho hàm số là hàm đa thức có và đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới.
Số cực trị của hàm số là: A B C D .
(Trích câu 43 chuyên Quốc học Huế lần 1-2019)
Bài 9: Cho làhàm đa thức bậc , có đồ thị hàm số như hình vẽ Hàm số đồng biến trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?
(Trích câu 47 Sở GD&ĐT Thái Bình năm học 2018-2019)
Bài 10: Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào cho dưới đây?
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong năm học 2017-2018 và 2018-2019, tôi đã giảng dạy chuyên đề SKKN, giúp học sinh hứng thú và tự tin hơn khi giải quyết các bài toán đồ thị của hàm số Chuyên đề này không chỉ tạo niềm đam mê với môn toán mà còn mở ra cho học sinh cách nhìn nhận và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt và sáng tạo Kết quả đạt được rất khả quan, khi tất cả học sinh đều có khả năng giải quyết các câu hỏi liên quan sau khi hoàn thành chuyên đề.
- Đối với đồng nghiệp: được chia sẻ kinh nghiệm học hỏi lẫn nhau, thúc đẩy phong trào tự học, tự nghiên cứu trong nhà trường.
Đối với học sinh, việc trang bị thêm kỹ năng và phương pháp giải các bài toán đồ thị hàm số là rất quan trọng, đặc biệt trong kì thi THPT Quốc gia.
