(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa

(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa

Mởt số vĐn ã cỡ bÊn vã b i toĂn giĂ trà riảng

Cho mởt ma trên vuổngA ∈R nìn B i toĂn giĂ trà riảng l b i toĂn tẳm mởt Ôi lữủng vổ hữợng λ sao cho cõ v²c tỡ x, x 6= 0, cõ thº l cĂc Ôi lữủng phực, sao cho

(A−λI)x = 0 (1.2) cõ nghiằm khổng tƯm thữớng (khĂc khổng). ành nghắa 1.1.1 Vợi cĂc kẵ hiằu v quan hằ ð ¯ng thực (1.2),

+ λ ữủc gồi l mởt giĂ trà riảng cừa A.

+ x ữủc gồi l v²c tỡ riảng cừa A tữỡng ựng vợi λ.

TĐt cÊ cĂc v²c tỡ riảng cõ là một khái niệm quan trọng trong việc tổ chức không gian con tuyến tính của R n Điều này giúp tạo ra một không gian con riảng cõa λ, từ đó mở rộng khả năng phân tích và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

+ Têp hủp cĂc giĂ trà riảng cừa A ữủc gồi l phờ cừa A.

+ CĂc giĂ trà riảng cừa A l nghiằm cừa a thực °c trững cừa A,

Bởi cửa nghiằm cửa a thực sự gợi lên số cửa giã trà riảng tưởng tượng Hình học của trà riảng là số chiều của không gian còn gợi lên tưởng tượng với trà riảng ấy.

+ Náu T l mởt ma trên khÊ nghàch v (λ, x) l mởt c°p riảng cừa A, thẳ c°p (λ, T x) l mởt c°p riảng cừa (T AT −1 ) Ph²p bián ời A 7→ T AT −1 ữủc gồi l ph²p bián ời ỗng dÔng cừa A.

Chú ý 1.1.2 Nếu A là một ma trận trên không gian cấp n thì nó có giá trị riêng thực, và véc tơ riêng tương ứng Điều này cũng có thể được phát biểu bằng cách khác: ma trận trên không gian thực luôn có thể được chéo hóa bởi một ma trận khả nghịch Cụ thể, nếu A = A^T thì luôn tồn tại.

Trong không gian vectơ, công thức V T AV = D (1.3) mô tả mối quan hệ giữa các phần tử tỷ lệ trong ma trận, trong đó D là ma trận giá trị riêng của A Công thức này giúp phân tách giá trị riêng của A, cho phép hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của ma trận Đặt S = {v1, v2, , vm} là tập hợp các vectơ trong không gian vectơ, điều này tạo ra nền tảng cho việc phân tích và ứng dụng các giá trị riêng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Têp hủp tĐt cÊ cĂc tờ hủp tuyán tẵnh cừa S gồi l bao tuyán tẵnh cừa hằ S, kẵ hiằu l span(S) ho°c span(v 1 , v 2 , , v m ) Vát cừa mởt ma trên vuổng A cĐpn, ữủc kẵ hiằu l tr(A), l tờng cĂc phƯn tỷ trản ữớng ch²o chẵnh cừa A Cử thº, náu A = (a ij ), i, j = 1, , n thẳ tr(A) = a 11 + a 22 + + a nn n.

Trong bài viết này, chúng ta khám phá các khái niệm liên quan đến ma trận và số Reyleigh Đầu tiên, số Reyleigh của ma trận A được định nghĩa bởi công thức ρ(x) := x ∗ Ax / x ∗ x, với x khác 0 Tiếp theo, một ma trận P được gọi là ma trận chiếu nếu P^2 = P Hơn nữa, một ma trận P được coi là ma trận chiếu trực giao nếu nó thỏa mãn hai điều kiện: P^2 = P và P^T = P Cuối cùng, nếu A thuộc R^n, tồn tại một ma trận chiếu Q thuộc R^n.

Lưới tam giác tràn là một cấu trúc hình học đặc biệt, trong đó các khối chóp R được mở rộng trên một hoặc hai chiều Một khối 1 chiều chứa đựng giá trị mở rộng theo chiều dài, trong khi một khối 2 chiều chứa đựng giá trị mở rộng theo cả hai chiều, tạo ra sự phong phú trong thiết kế và ứng dụng.

Nhên x²t 1.1.9 cho phép chúng ta suy ra tính chất chéo hóa của ma trận trên không gian bậc cao và phân tách Schur của ma trận trên không gian này Do tính không gian của A, các ma trận con khối không thể tồn tại một cách trọn vẹn trong không gian chéo hóa chính xác Hơn nữa, ma trận trên không gian chỉ có giá trị riêng thực, dẫn đến các ma trận con khối không thể tồn tại một cách đầy đủ trong không gian chéo hóa chính xác.

1ì1 v do õ, chúng chẵnh l cĂc giĂ trà riảng.

Sỡ lữủc mởt số phữỡng phĂp giÊi b i toĂn giĂ trà riảng

Ph÷ìng ph¡p Arnoldi

∈R n×m ữủc gồi l ma trên Krylov Khổng gian con sinh bði cĂc cởt cừa nõ ữủc gồi l khổng gian con Krylov,

CĂc thuêt toĂn Arnoldi v Lanczos l nhỳng phữỡng phĂp º tẵnh toĂn mởt cỡ sð trỹc giao cừa khổng gian Krylov.

Mởt cỡ sð trỹc giao cho khổng gian Krylov

Không gian con Krylov K_j(x) = K_j(x, A) là không gian được tạo ra bởi các vectơ A^k x, A^(j-1)x, , Ax, với A là ma trận và x là vectơ khởi tạo Các vectơ này được tạo thành thông qua quá trình Gram-Schmidt, nhằm đảm bảo tính trực giao giữa chúng Không gian Krylov có vai trò quan trọng trong việc giải các bài toán số học, đặc biệt là trong các phương pháp lặp để tìm nghiệm của hệ phương trình.

Gi£ sû {q 1 , q 2 , , q i } l cì sð trüc giao cho K i (x), ð ¥y i ≤ j Chóng ta x¥y dỹng v²c tỡ q i+1 bơng trỹc giao hõa A i x vợi q 1 , q 2 , , q i bơng cĂch °t y i :=A i x− i

X l=1 q l q l T A i x v sau õ chuân hõa cĂc v²c tỡ kát quÊ q i+1 =y i /ky i k.

Ta có một cỡ số trục giao của K i+1 (x), gọi chung là cỡ số Arnoldi Các vectơ được gọi là vectơ Arnoldi tương ứng Trong thực tế tính toán, các vectơ q i được tính như sau.

Vẳ vêy, thay vẳ trỹc giao hõa A i q 1 vợi q 1 , q 2 , , q i , chúng ta cõ thº trỹc giao hõa

Aq i vợi q 1 , q 2 , , q i º cõ ữủc q j+1 CĂc th nh phƯn r i cừa Aq i trỹc giao vợi q 1 , q 2 , , q i ữủc cho bði r j =Aq j − i

Náu r i = 0thẳ thừ tửc dứng lÔi cõ nghắa l chúng ta  tẳm thĐy mởt khổng gian con bĐt bián, cử thº l span{q 1 , q 2 , , q i }.

Náu kr i k>0 ta cõ ữủc q i+1 bði quy tưc q i+1 = r i kr i k.

Kº tứ khi q i+1 v r i cũng phữỡng, chúng ta luổn cõ q i+1 T r i =kr i k (1.4) = q T i+1 Aq i (1.5)

CĂc phữỡng trẳnh cuối cũng cho ta q i+1 trỹc giao vợi tĐt cÊ cĂc v²c tỡ Arnoldi trữợc õ º cho h ij =q i T Aq j thẳ (1.4) - (1.5) cõ thº ữủc viát

Thuêt toĂn 1.2.2 Thuêt toĂn Arnoldi tẳm mởt cỡ sð trỹc giao cừa khổng gian Krylov

1: Cho A∈ R nìn v x∈ R n Thuêt toĂn n y tẵnh toĂn mởt cỡ sð trỹc giao cho

5: for i= 1, j do ∗ trüc giao hâa Gram-Schmidt ∗

9: if h j+1,j = 0∗ tẳm mởt khổng gian con bĐt bián ∗

Thuêt toĂn Arnoldi dứng lÔi náu h j+1,j = 0. °t Q k = [q 1 , , q k ] thẳ phữỡng trẳnh (1.6) vợi j = 1, , k ữủc viát nhữ sau

Phương trình (1.7) được gọi là liên quan đến Arnoldi, trong đó H là ma trận Hessenberg, tác động trên các phần tử nằm dưới hướng chéo chính và có giá trị bậc thấp hơn 0.

Ph÷ìng ph¡p Lanczos

Để xây dựng một không gian con Krylov, chúng ta cần phát triển một cơ sở cho không gian con này, thường được gọi là cơ sở Lanczos Cơ sở Lanczos được xây dựng tương tự như cơ sở Arnoldi, nhưng áp dụng cho ma trận Hermitian hoặc đối xứng thực Bằng cách sử dụng phương trình (1.7) với Q và T, chúng ta có thể đạt được kết quả mong muốn.

Náu A l ối xựng thẳ H k l ba ữớng ch²o, chúng ta gồi ma trên ba ữớng ch²o n y l T k Do tẵnh ối xựng phữỡng trẳnh (1.4) ữủc ỡn giÊn hõa nhữ sau r j =Aq j −q i (q T j Aq j )

Tữỡng tỹ nhữ trản, chúng ta nhƠn tứ bản trĂi (1.8) vợi q j+1 º cõ ữủc kr j k=q T j+1 r j =q T j+1 (Aq j −α j q j −β j−1 q j−1 )

Tứ Ơy suy ra β j ∈ R Do õ β j q j+1 =r j , β j =kr j k (1.9)

Aq j =β j−1 q j−1 +α i q j +β j q j+1 Thu thêp cĂc phữỡng trẳnh vợi j = 1, , k chúng ta cõ

T k ∈R kìk l ối xựng thỹc Phữỡng trẳnh (1.10) ữủc gồi l quan hằ Lanczos.

Các bước của thuật toán Lanczos được tóm tắt trong Thuật toán 1.2.3 Trong thuật toán này, các vector q, r được cập nhật theo vòng lặp Trong bước lặp thứ j (dòng 8), q được gán bằng q_j và lưu giá trị q_{j−1}, r lưu giữ ưu tiên (dòng 9).

Aq j −β j−1 q j−1 được giữ lại trong r j khi α j đạt đến ngưỡng nhất định Trong quá trình tính toán, α i được xác định từ q T j q j−1 = 0, dẫn đến α j = q j T Aq j = q T j (Aq j −β j−1 q j−1) Mỗi lần đi qua vòng j, một cơ sở được nối thêm vào ma trận Q j−1, tạo thành Q j.

Thuêt toĂn 1.2.3 Thuêt toĂn Lanczos cỡ bÊn º tẵnh toĂn mởt cỡ sð trỹc giao cho khổng gian Krylov K m (x)

1: Cho A∈ R nìn l ối xựng, x∈ R n Thuêt toĂn n y s³ tẵnh toĂn cĂc mối quan hằ Lanczos (1.10), nghắa l mởt cỡ sð trỹc giaoQ m = [q 1 , , q m ] choK m (x) trong õ m l ch¿ số nhọ nhĐt sao cho K m (x) = K m+1 (x), v (cĂc yáu tố khổng tƯm thữớng cừa) cĂc ma trên ba ữớng ch²o T m

T m s (m) i =ϑ (m) i s m i (1.11) thẳ AQ m s (m) i = Q m T m s (m) i = ϑ (m) i Q m s (m) i Vẳ vêy, giĂ trà riảng cừa T m cụng l giĂ trà riảng cừa A CĂc v²c tỡ riảng cừa A tữỡng ựng vợi giĂ trà riảng ϑ i l y i =Q m s (m) i = [q 1 , , q m ]s (m) i m

Nhưc lÔi sỡ lữủc vã b i toĂn tối ữu

iãu kiằn cƯn

ành lỵ 1.3.1 Cho f ∈ C 2 (U x ∗ ) v x ∗ l mởt cỹc tiºu àa phữỡng cừa f Khi â

Hìn núa, ta cán câ

∇ 2 f(x ∗ ) ≥0. ành nghắa 1.3.2 iãu kiằn ∇f(x ∗ ) = 0 ữủc gồi l iãu kiằn cƯn cĐp 1 x ∗ thọa mÂn iãu kiằn iãu kiằn cƯn cĐp 1 ữủc gồi l iºm dứng hay iºm tợi hÔn.

iãu kiằn ừ

ành lþ 1.3.3 Cho f ∈C 2 (U x ∗ ) Gi£ sû ∇f(x ∗ ) = 0 v ∇ 2 f(x ∗ ) >0 Khi â, x ∗ l mởt cỹc tiºu àa phữỡng cừa f.

Ph÷ìng ph¡p ÷íng dèc nh§t

Nhữ Â biát hữợng giÊm sƠu nhĐt (steepest descent) tÔi x l d = −∇f(x). Phữỡng phĂp n y cêp nhêt x c bði cổng thực x + = x c −λ∇f(x c ), (1.17) trong õ λ > 0l ở d i bữợc.

M°c dũ ta  xĂc ành ữủc hữợng giÊm sƠu nhĐt, việc xác định ữủc ở d i bữợcλ là rất quan trọng trong phương pháp này Lựa chọn tốt nhất cho λ là nâ tèi thiºu hâa h m φ(λ) = f(x c − λ∇f(x c )).

Những bài toán trong hữu hạn trường hợp cụng khổng đa dạng hơn bài toán cực trị Vì vậy, người ta tìm một cách tiếp cận mới Ta xét mô hình dạng bậc 1 của hàm f(x) tại điểm xc, được biểu diễn dưới dạng f(x) = f(xc) + ∇f(xc)(x−xc).

Qua bữợc cêp nhêt (1.17), mổ hẳnh bêc 1 s³ giÊm p red =m c (x c )−m c (x + )

=λ||∇f(x c )|| 2 v ở giÊm tữỡng ựng cừa h m mửc tiảu l a red = f(xc)−f(x+).

Điều kiện dừng trong tối ưu hóa được mô tả bởi bất đẳng thức \( f(x_c - \lambda \nabla) - f(x_c) \leq -\alpha \lambda ||\nabla f(x_c)||^2 \) Ý nghĩa của điều kiện này là giá trị của hàm mục tiêu phải lớn hơn một ngưỡng nhất định, phụ thuộc vào tham số \(\alpha\) đã được xác định Thông thường, giá trị \(\alpha\) được sử dụng là \(10^{-4}\).

GiÊi b i toĂn giĂ trà riảng thổng qua tèi ÷u hâa

Trong nghiên cứu này, chúng tôi đã áp dụng một số phương pháp tối ưu để giải quyết bài toán giá trị riêng, bao gồm việc sử dụng bậc số Rayleigh và các hàm mật ma, cũng như ứng dụng hàm chi phí Brockett Hai mục cuối cùng được đề xuất cho bài toán giá trị riêng không tiêu chuẩn Tài liệu tham khảo cho nghiên cứu này gồm các nguồn [2, 4, 5, 7, 8].

ành lþ Courant-Fischer-Weyl

ành lỵ 2.1.1 GiÊ sỷ A ∈ R nìn l mởt ma trên ối xựng v cĂc giĂ trà riảng cừa nõ ữủc sưp theo thự tỹ khổng tông λ 1 ≥ ≥ λ n Khi õ, λ k (A) = max dim(S)=k

Chựng minh Cho Q T AQ = diag(λ 1 , , λ n ) l phƠn tẵch Schur thỹc vợi λ k λ k (A) v ta biºu diạn ma trên Q bði cĂc cởt cừa nõ dữợi dÔng Q = [q 1 | |q n ].

Sk =span{q 1 , q2, , qk}, l khổng gian con bĐt bián liản kát vợi λ 1 , , λ k Dạ thĐy rơng max dim(S)=k

Không gian con k-chiều được định nghĩa trong bối cảnh không gian thực, trong đó các vector được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector cơ sở Để tạo ra không gian con này, cần có một tập hợp các vector cơ sở {q1, q2, , qk}, với k chiều Nếu y* = α1q1 + + αkqk + + αnqn là một vector trong không gian con, thì y* phải thuộc vào không gian con có số chiều n-k+1.

Do bĐt ¯ng thực thọa mÂn vợi mồi khổng gian con k-chiãu nản ta cõ max dim(S)=k min

06=y∈S y T Ay y T y ≤ λ k (A) v do õ ành lỵ ho n to n ữủc chựng minh.

Tẳm giĂ trà riảng thổng qua tối ữu hõa h m vát ma trên

Nhưc lôi rồng các giá trà riảng cừa ma trên A ối xựng cù nìn l các số thỹc λ 1 ≤ ≤λ n, và các v²c tỡ riảng liản quan v 1, , v n là thỹc v có thể ữủc chồn trức chu©n, tức là v T i v j.

Tưởng tượng về một ma trận A, có một ma trận trên trục chuẩn V (có các cột là các vectơ riêng của A) và một ma trận trên đường chéo Λ sao cho A = VΛV^T Giá trị riêng λ₁ được gọi là giá trị riêng lớn nhất của A, và cặp riêng (λ₁, v₁) được gọi là cặp riêng lớn nhất Không gian con biến đổi của cặp riêng lớn nhất p-chia là một không gian con biến đổi được liên kết với λ₁, , λₚ Tưởng tượng, một không gian con lớn hơn phải p-chia là một không gian con biến đổi được liên kết với λₙ₋ₚ₊₁, , λₙ Cuối cùng, các không gian con cực trị chung của các không gian lớn hơn và nhỏ hơn.

Cho hai ma trận A và B, chúng ta nói rằng (λ, v) là cặp riêng khi Av = λBv Cặp riêng này được biết đến qua bài toán giá trị riêng cho ma trận vuông Bài toán giá trị riêng được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khi A là ma trận vuông và B là ma trận xác định dương, với mọi x không triệt tiêu Trong trường hợp này, các giá trị riêng của cặp ma trận là các giá trị riêng của ma trận B Một không gian con Y được gọi là không gian con bất biến của cặp ma trận đối xứng xác định dương nếu B⁻¹Ay ∈ Y với mọi y ∈ Y, cụ thể là B⁻¹AY ⊆ Y hay AY ⊆ BY Đặc biệt, Y được sinh bởi một vector riêng của cặp (A, B), tức là một vector y không triệt tiêu sao cho Ay = λBy với một giá trị riêng λ Nói chung, mọi không gian riêng của một cặp đối xứng xác định dương đều được sinh bởi các vector riêng của cặp ma trận (A, B) Rõ ràng bài toán giá trị riêng được giản lược thành bài toán giá trị riêng của ma trận khi B = I.

Kát quÊ sau Ơy l cổng cử º ành dÔng b i toĂn tẵnh toĂn khổng gian riảng cỹc trà nhữ mởt b i toĂn tối ữu hõa.

Mằnh ã 2.2.1 Cho A v B l cĂc ma trên cù nìn ối xựng v B l xĂc ành dữỡng Gồi λ1 ≤ ≤ λn l cĂc giĂ trà riảng cừa c°p ma trên (A,B).

X²t th÷ìng sè Rayleigh được xác định qua công thức f(Y) = tr(Y^T A Y (Y^T B Y)^{-1}) Công thức này giúp xác định giá trị tối ưu cho các ma trận trên không gian con Cụ thể, span(Y*) là một không gian con được tạo thành từ các ma trận A và B Y* là một cực tiểu của hàm f(Y) trong không gian con này, và giá trị f(Y*) đạt được là giá trị tối ưu cho bài toán.

Chứng minh rằng trong không gian Hilbert, chúng ta có thể sắp xếp các giá trị riêng λ₁, λ₂, , λₙ sao cho λ₁ ≤ λ₂ ≤ ≤ λₙ Cho V là một ma trận trên không gian V với T BV = I và T AV = diag(λ₁, , λₙ) Điều này chứng tỏ rằng ma trận V luôn tồn tại và các giá trị riêng của nó có thể được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Theo tính chất của vectơ ngách Êo ma, ta thu được tính biến đổi của f, f(Y N) = f(Y), cho tất cả các ma trận khối N Mỗi lặp tổ hợp {Y N : N ∈ R} khớp tất cả các ma trận trên cùng với một không gian con Y, chứa các ma trận trên Y N sao cho (Y N) T B Y N = I p Đặt Y N = (Y T BY) −1/2 Do không gian có tính tường quan, chúng ta có thể giới hạn không gian tầm kiểm soát cho các ma trận trên Y sao cho Y T BY = I p Hơn nữa, chúng ta có thể đặt Y = V M với V T BV = I p, dẫn đến Y T BY = I p tương ứng với M T M = I p Khi đó, tr(Y T AY) = tr(M T diag(λ 1 , , λ n )M) n.

Vẳ số hÔng thự hai án số hÔng cuối cũng ãu khổng Ơm, nõ k²o theotr(Y T AY) ≥

Pp i=1λ i thể hiện mối quan hệ giữa các biến trong không gian con, với số hạng cuối cùng triệt tiêu Khi xảy ra hiện tượng này, số hạng (n−p) của pp phần dư của M cũng triệt tiêu, cho thấy rằng Y = V M chứa không gian con biến đổi Điều này có nghĩa là các biến trong mô hình phản ánh một cách chính xác mối quan hệ giữa các yếu tố (A, B).

Trong trường hợp p=1 và B=I, giá trị riêng của ma trận A sẽ được xác định bởi λ1 Từ đó, ta có thể suy ra giá trị cực tiểu của hàm chi phí f: R^n* → R: y ↦ f(y) = y^T Ay / y^T y Hàm chi phí (2.2) được gọi là số Rayleigh của A Việc giảm thiểu số Rayleigh có thể được xem như một bài toán tối ưu hóa cho một tập hợp.

Mởt khẵa cÔnh ẵt ữủc quan tƠm cừa vĐn ã cỹc tiºu n y l cĂc giĂ trà cỹc tiºu khổng bà cổ lêp m xuĐt hiằn dữợi dÔng liản tửc v 1 r, r ∈R ∗ Do õ, mởt v i kát quÊ hởi tử quan trồng cho phữỡng phĂp tối ữu hõa khổng ữủc Ăp dửng, v mởt v i thuêt toĂn quan trồng cõ thº bà thĐt bÔi, nhữ ữủc minh hồa bði mằnh ã sau.

Mằnh ã 2.2.2 Phữỡng phĂp Newton Ăp dửng cho t¿ số Rayleigh (2.2) cho ta sỹ l°p lÔi y 7→ 2y vợi mồi y m f(y) khổng phÊi giĂ trà riảng cừa A.

Chúng tôi sẽ lặp lại các thao tác để tìm đạo hàm gradient của hàm số f(y) = y^T Ay - f(y)y Đạo hàm Hessian được tính bằng cách áp dụng đạo hàm của gradient, cho kết quả là Hessf(y)[z] = y^T Ay (Az - f(y)z) - y^T y^T (y^T Azy + y^T zAy - 2f(y)y^T zy) Khi đó, Hessian H(y) được xác định với các điều kiện nhất định, trong đó f(y) là giá trị riêng của ma trận A Nếu f(y không phải là giá trị riêng của A, phương trình Newton sẽ được áp dụng để tìm nghiệm.

H y η = −gradf(y) thứa nhên mởt v ch¿ mởt nghiằm, v dạ d ng kiºm tra rơng nghiằm n y l η =y Kát luên, ph²p l°p Newton Ănh xÔ y th nhy+η = 2y.

Kát quÊ n y khổng d nh riảng cho thữỡng số Rayleigh, áp dụng cho bĐt ký h m thuƯn nhĐt bêc khổng, với điều kiện f(yα) = f(y) và giá trị thự cα6 không bằng 0 Biằn phĂp khưc phửc là giợi hÔn miãn và mởt têp con M n o õ cừa R n ∗, sao cho bĐt ký tia n oyR ∗ chứa ẵt nhĐt mởt và nhiều nhĐt là cĂc iºm cừa M Ăng chú ỵ, iãu n y Êm bÊo rơng cĂc iºm cỹc tiºu bà cổ lêp Mởt sỹ lỹa chồn phũ hủp cho M l hẳnh cƯu ỡn.

Hàm chi phí hoạt động tốt với các tiêu chuẩn và cổ lệp trong mô hình Rayleigh (2.2) cho phép chúng ta xác định các yếu tố quan trọng Tuy nhiên, cần lưu ý rằng cấu trúc tuyến tính của miền hàm chi phí có thể ảnh hưởng đến kết quả.

XĐp x¿ giĂ trà riảng bơng t¿ số Rayleigh

• T¿ số Rayleigh tối thiºu trản hẳnh cƯu

Trong phần này, chúng ta áp dụng các thuật toán để tìm hiểu mối quan hệ giữa toán học và số Rayleigh, cụ thể là hàm số từ S^n−1 đến R: x ↦ x^T Ax Với A là ma trận đối xứng (A = A^T), việc xác định các giá trị riêng của A là rất quan trọng Chúng ta sẽ tìm λ_1, biểu thị giá trị riêng lớn nhất của A, và một biểu thức liên quan đến nó nhằm phân tích cấu trúc của ma trận này.

• H m chi phẵ v ph²p toĂn gradient

X²t h m f : R n → R: x7→ x T Ax là một hàm số liên quan đến cấu trúc Riemann và S n−1 Trong bài viết này, chúng tôi khám phá các khía cạnh của hàm số này trong không gian m, đặc biệt là trong bối cảnh tối ưu hóa Chúng tôi cũng xem xét các tính chất của các điểm tối ưu trong tập Riemann, mà người đọc có thể tìm hiểu thêm trong tài liệu tham khảo [2] S n−1 được xem như một tập con Riemann của không gian Euclidean R n, với metric Riemann g(ξ, ζ) = ξ T ζ, trong đó ξ và ζ là các vectơ tiếp xúc của một cấu trúc Với x∈S n−1, chúng tôi tiếp tục phân tích các đặc điểm của hàm số này.

Df(x)[ζ] = ζ T Ax+x T Aζ = 2ζ T Ax, vợi mồi ζ ∈T x R n ' R n Tứ õ k²o theo l ¯ng thực

Khổng gian tiáp tuyán vợi hẳnh cƯuS n−1 ữủc xem nhữ mởt khổng gian con cừa

CĂc ph²p chiáu trỹc giao lản khổng gian tiáp tuyán v khổng gian thổng thữớng l

Ph²o chiáu cho ph²p ta xĂc ành xĂc ành mối liản quan án gradient trản mởt a tÔp con án gradient trản mởt a tÔp nhúng,

• CĂc iºm tợi hÔn cừa t¿ số Rayleigh

PhƠn tẵch mởt cỡ sð thuêt toĂn dỹa trản giĂ trà cừa t¿ số Rayleigh trản hẳnh cƯu, bữợc Ưu tiản l xĂc ành cĂc iºm tợi hÔn.

Mằnh ã 2.3.1 Cho A là một ma trận trên không gian chiều n Một vectơ tỡ cõ chuân và x ∈ R n là một vectơ riêng của A nếu v là một giá trị riêng của tần số Rayleigh.

Chựng minh Gồixl mởt iºm tợi hÔn cừa (2.3), tực l ∇f(x) = 0 vợix ∈S n−1

Từ biểu thức (2.4) của ∇f(x), ta thấy rằng x thỏa mãn Ax = (x^T Ax)x, trong đó x^T Ax là một giá trị thực Ngược lại, nếu x là một vector riêng chuẩn tắc và A, thực tế là Ax = λx với một giá trị riêng λ Khi đó, nhân bản trái với x^T cho ta λ = x^T Ax và do đó Ax = (x^T Ax)x Từ đó, ta có ∇f(x) = 0, theo (2.4).

Mằnh ã 2.3.2 trình bày về ma trận A = A^T trên không gian cấp n với các giá trị riêng λ_1 ≤ ≤ λ_n và các vectơ riêng tương ứng v_1, , v_n Cụ thể, nếu v_1 là các cực tiểu của phương trình Rayleigh (2.1), thì khi giá trị riêng λ_1 đạt được, chúng sẽ là các cực tiểu duy nhất Tương tự, nếu v_n là các giá trị cực đại của phương trình (2.3), thì khi giá trị riêng λ_n đạt được, chúng sẽ là các cực đại duy nhất Cuối cùng, các giá trị riêng nằm trong khoảng (λ_1, λ_n) sẽ là các điểm yên ngựa của phương trình (2.3).

Chứng minh rằng hàm số \( i \) suy ra từ Mành ã 2.2.1 Hàm \( i \) suy ra từ những thay đổi A và -A, cũng như những điều kiện về các biến tướng trong không gian Đối với hàm \( i \), cần cho một vùng tướng riêng với một giá trị riêng trong không gian \( q \) và xác định đường cong \( \gamma: t \mapsto \frac{(v_q + tv_1)}{k v_q + tv_1} \) Phép phân tách này cho thấy rằng đạo hàm bậc hai \( \frac{d^2}{dt^2}(f(\gamma(t)))|_{t=0} = \lambda_1 - \lambda_q < 0 \).

Cụng nhữ thá ối vợi ữớng cong γ : t7→ (v q +tv n )/kv q +tv n k, chúng ta cõ d 2 dt 2 (f(γ(t))| t=0 =λ n −λ q > 0.

Nõ suy ra v q l mởt iºm yản ngỹa cừa t¿ số Rayleigh f.

Với ma trận A có hai giá trị riêng d1 < d2, ta xem xét số Rayleigh được định nghĩa qua hàm f(x) = x^T A x với điều kiện kxk² = x₁² + x₂² = 1.

Để hạn chế tình trạng ùn tắc giao thông, cần áp dụng các biện pháp quản lý hiệu quả trên đường phố, bao gồm việc điều chỉnh hệ thống đèn giao thông và tăng cường ý thức của người tham gia giao thông Đồng thời, việc xây dựng các cơ sở hạ tầng giao thông đồng bộ và hiện đại cũng là một yếu tố quan trọng giúp cải thiện tình hình.

BƠy giớ, ta °t x=V y vợi lữu ỵ rơng ma trên trỹc giao cho ta mởt song Ănh tứ hẳnh cƯu v o chẵnh nõ Theo õ g(y) :=f(V y) =y T V T AV y =y T diag(d 1 , d 2 )y =d 1 y 1 2 +d 2 y 2 2 (2.6)

Để nghiên cứu hàm mức tiểu (2.5) trong không gian tần số, ta xem xét hàm mức tiểu (2.6) với ràng buộc y₁² + y₂² = 1 Ma trận à được xác định là VᵀAV = diag(d₁, d₂) Qua đó, hàm (2.6) chính là tỉ số Rayleigh cho ma trận à Từ đó, ta suy ra các vectơ riêng chuẩn hóa tương ứng với d₁, d₂ lần lượt là (±1; 0) và (0; ±1) Để minh họa cho kết quả đạt được, ta thực hiện bài toán tối ưu với ràng buộc min.

H m Lagrange tữỡng ựng vợi b i toĂn tối ữu cõ r ng buởc (2.7) cõ dÔng

Tứ iãu kiằn cƯn tối ữu cừa L

∂λ =y 1 2 +y 2 2 −1 = 0, ta tẳm ữủc cĂc iºm dứng cừa L P 1 (0,1,−d 2 ), P 2 (0,−1,−d 2 ), P 3 (1,0,−d 1 ), v

P 4 (−1,0,−d 1 ) Thay v o h m mửc tiảu ban Ưu, ta suy ra P 1 v P 2 l cĂc iºm cỹc Ôi vợi giĂ trà cỹc Ôi tữỡng ựng bơngd 2 , tực giĂ trà riảng lợn hỡn CĂc iºm

P 3 v P 4 l cĂc iºm cỹc tiºu, l cĂc v²c tỡ riảng ựng vợi giĂ trà riảng nhọ d 1

Sỷ dửng h m chi phẵ Brockett

H m chi phẵ v hữợng tẳm kiám

Sau Ơy l h m chi phẵ dữợi dÔng ma trên f : St(p, n) → R: X 7→tr(X T AXN), (2.8) trong õ N = diag(à 1 , , à p ), vợi 0≤à 1 ≤ ≤ à p , v St(p, n) biºu thà a tÔp trüc giao Stiefel

Chúng ta xem St(p, n) l mởt a tÔp con nhúng cừa khổng gian Euclid R nìp Khổng gian tiáp xúc cừa a tÔp tÔi X l

Chúng ta tiáp tửc coi St(p, n) l mởt a tÔp con Riemann cừa khổng gian R nìp ữủc trang bà tẵch vổ hữợng hZ 1 , Z 2 i:= tr(Z 1 T Z 2 ).

Tứ ành nghắa tẵch vổ hữợng, khổng gian chuân tưc ối vợi St(p, n) tÔi ºm X l

(T X St(p, n)) ⊥ XS : S T =S Ph²p chiáu trỹc giao P X lản T X St(p, n) ữủc cho bði

P X Z = Z−X sym(X T Z) = (I −XX T )Z+X skew(X T Z), trong đó sym(M) := 1/2 (M+M T ) và skew(M) = 1/2 (M−M T ) Định nghĩa này liên quan đến việc phân tách cấu trúc của ma trận M thành phần đối xứng và phần đối xứng lạch Hàm chi phí rỗng được định nghĩa như sau: f : R n×n → R, X 7→ tr(X T AXN).

Khi õ, gradient cừa chúng quan hằ vợi nhau bði biºu thựcf = f

Df(X) [Z] = 2 tr(Z T AXN), vẳ thá

= 2AXN −XX T AXN −XN X T AX.

Cuối cùng, chúng ta cần chú ý đến việc mở rộng không gian Việc mở rộng này cho phép liên kết mở ra và tạo ra một môi trường tương tác tốt hơn, giúp chúng ta dễ dàng tiếp cận thông tin và cải thiện trải nghiệm người dùng Hãy chú trọng đến việc tối ưu hóa không gian để đạt hiệu quả cao nhất trong việc truyền tải nội dung.

R X (ξ) được định nghĩa là qf(X+ξ), trong đó qf là hàm phụ thuộc vào ma trận Q trong phân tách QR của ma trận Đây là các nguyên liệu cần thiết cho một thuật toán dựa trên gradient của hàm mục tiêu nhằm giảm thiểu chi phí của hàm (2.8) trên tập trực giao Stiefel.

iºm tợi hÔn

Bờ giới chúng ta đang trở nên rộng lớn hơn với sự phát triển của công nghệ và các lĩnh vực liên quan Điều này không chỉ ảnh hưởng đến cách chúng ta tiếp cận thông tin mà còn tác động đến chi phí và hiệu quả trong việc áp dụng các phương pháp mới Sự thay đổi này cần được xem xét kỹ lưỡng để tối ưu hóa nguồn lực và tăng cường hiệu suất trong các hoạt động nghiên cứu và phát triển.

A và B là hai cửa giao hoán tỷ lệ của ma trận trên cửa A và B Các cơ sở cửa số hồng ưu trong biểu thức của gradient thuộc phân bố trực giao của span(X) thể hiện rằng gradient triệt tiêu và chuyển đổi.

Vẳ N ữủc giÊ sỷ l khÊ nghàch, phữỡng trẳnh (2.10) cho ta

(I −XX T )AX = 0. iãu õ cõ nghắa rơng

AX = XM, từ đó suy ra rằng X T AX cũng là ma trận trên chỗ Dựa vào (2.12) và sự liên hệ giữa các biến, ta có thể kết luận rằng nhờ vào X T, ta có thể rút ra những thông tin quan trọng từ các ma trận này.

M = X T AX nản M cụng l dÔng ữớng ch²o Cụng tứ (2.12), do M l dÔng ch²o nản cĂc cởt cừa X l cĂc v²c tỡ riảng cừa A v cĂc phƯn tỷ ch²o cừa M l cĂc giĂ trà riảng cừa A.

Trong trường hợp p = n, St(n, n) = O(n), với ý nghĩa tối ưu hóa chi phí Brockett đã mô tả trên trục giao chéo hóa A (Lưu ý rằng I − XX T = 0, và số hạng ưu tiên trong (2.9) thể hiện một cách rõ ràng) Điều này đưa ra ý tưởng về việc mở rộng các cấu trúc của X là các vector tỏa ra từ A.

Mởt số b i toĂn giĂ trà riảng khổng tiảu chuân

Trong mửc n y, chúng tôi sẽ trình bày một số bài toán giải trí nhằm giúp người đọc hiểu rõ hơn về cách tiếp cận tối ưu Nội dung của mửc này đề cập đến việc giải một số phần trong các bài báo Cụ thể, chúng tôi sẽ xem xét một số tính chất của loài cáp ma trên quan trọng nhất trong phép chào hỏi.

Trong bài viết này, chúng ta xem xét cặp ma trận (A, B) và điều kiện để chúng có thể xác định dữ liệu Một cặp ma trận được gọi là xác định dữ liệu khi tồn tại một số λ sao cho ma trận A−λB là ma trận xác định dữ liệu Số λ này giúp xác định chuyển dịch xác định Tập hợp các giá trị λ tạo thành không gian xác định, được gọi là không gian xác định Thông thường, người ta sử dụng toán học để nghiên cứu cặp ma trận (A, B) với điều kiện xác định dữ liệu cho B Chúng tôi cũng nhấn mạnh rằng toán học có vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến ma trận xác định dữ liệu.

Trong mửc n y, chúng tổi quan tƠm án mởt lợp cĂc c°p ma trên ối xựng °c biằt trong õ,B khổng nhĐt thiát phÊi xĂc ành Tuy nhiản, ta cƯn iãu kiằn

B khÊ nghàch Cử thº, ta x²t b i toĂn cỹc trà sau cho mởt c°p ối xựng tờng qu¡t (A, B): trX T AX = min, X T BX =J 1 , (2.13) trong õ B khổng suy bián, J 1 = diag(I p 1 ,−I q 1 ), v p 1 ≤ p, q 1 ≤ q, vợi (p, q) l quĂn tẵnh cừa B.

Trước tiềm năng của ngành du lịch, chúng tôi trình bày một số kết quả quan trọng cho ảnh hưởng đến mức độ phát triển này Chứng minh của các phát biểu này có thể thấy rõ trong các tài liệu tham khảo hiện có.

GiÊ sỷ chúng ữủc chia th nh

1 cĂc giĂ trà riảng cừa c°p A, J v H, J 1 tữỡng ựng Khi õ α + i ≤ θ + i ≤ α + i+n−m , i = 1, , p 1 , α − j+n−m ≤θ j − ≤α − j , j = 1, , q 1 , trong õ α k + =∞ náu k > p, α − k =−∞ náu k > q.

Mằnh ã 2.5.3 Cho A−λ0B l ma trên nỷa xĂc ành dữỡng Khi õ: i) Tỗn tÔi mởt ma trên khÊ nghàch C

Trong bài viết này, chúng ta xem xét cặp ma trận (A, B) với B có quán tẵnh (p, q) Đầu tiên, cặp (A, J) được xác định với J = diag(1, , n), i ∈ {-1, 1} Ma trận A0 không phải là giá trị riêng của cặp (A0, J0), trong khi cặp (A00, J00) có giá trị riêng λ0 Các giá trị riêng của cặp (A, B) bao gồm λ0 và được sắp xếp theo thứ tự α - q ≤ ≤ α - 1 ≤ λ0 ≤ ≤ α + p, trong đó p + q = n Tập hợp giá trị riêng λ0 của A - λ0B là khoảng xác định [α - 1, α + 1] Cặp (A, B) được xác định dữỡng nếu α - 1 < α + 1 Khi λ1 = (α - 1 + α + 1)/2 và λ ≠ λ1, số lượng giá trị riêng n(λ) trong khoảng [λ1, λ) sẽ được tính toán.

X → trX T AX (2.14) giợi hÔn trong têp X m

J 1 = diag(I p 1 ,−I q 1 ), 0≤ q 1 ≤ q, p 1 +q 1 = m bà ch°n dữợi bði t 0 p 1

Trong bài viết này, chúng ta xem xét các giá trị α từ α − q đến α + p, với α − 1 và α + 1 nằm trong khoảng này Đồng thời, giá trị sỹ tốn trên X 0 tuân theo phương trình (2.15), bao gồm các giá trị riàng từ α + 1 đến α + p và từ α − q đến α − 1 Khi dữ liệu được xác định, nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các tham số trong mô hình.

Chựng minh Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta cõ thº giÊ sỷ B Â ữủc chuân hõa. Tùc l

Trản thỹc tá, vẳ B khổng suy bián, nản tỗn tÔi G khổng suy bián sao cho

Khi õ sỹ thay thá Y = G T X dăn án mởt h m ỡn giÊn hỡn những tữỡng ÷ìng

Y → trY T AY,b Ab=G −1 AG −T bà giợi hÔn trong têp

Trữợc hát chúng ta chựng minh ành lỵ cho trữớng hủp p=p 1 , q = q 1 , tực l , ma trên X vuổng Trong trữớng hủp n y iãu kiằn (2.15) trð th nh

X T J X =J (2.19) v J 1 = J BĐt ký X n o tứ (2.19) ãu ữủc gồi l J - trỹc giao, v ró r ng l tĐt cÊ cĂc ma trên J - trỹc giao tÔo th nh mởt nhõm nhƠn.

Cho c°p (A, J) l xĂc ành dữỡng Khi õ theo Mằnh ã 2.5.3 tỗn tÔi mởt ma trên X 0 sao cho

X 0 T AX 0 =JΛ, Λ = diag(Λ + ,Λ − ), X 0 T J X 0 = J, trong â Λ + = diag(α + 1 , , α + p ),Λ − = diag(α − 1 , , α − q ). °t t0 =trX 0 T AX0 p

Do Y l J- trỹc giao nản nõ cõ sỹ phƠn tẵch

 trong õ W l ma trên pìq v U 1 , U 2 l cĂc khối trỹc giao Do õ, trX T AX = trY T JΛY = trH(W)JΛH(W)

= t 0 + 2[trW W T (Λ + −àI) + trW T W(àI−Λ − )], trong õ à l mởt dàch chuyºn xĂc ành Vẳ Λ + − àI v àI −Λ − l xĂc ành dữỡng, nản trW W T (Λ + −àI) ≥0, trW T W(àI −Λ − ) ≥0.

Để xác định điều kiện trX T AX ≥ t 0, chúng ta cần lấy >0 và xác định cặp (A + I, J) Điều này cho thấy rằng trX T ≥ t 0 có thể suy ra từ trạng thái liên tục và chuyển qua giới hạn Cần lưu ý rằng trA ≥ t 0.

Ró r ng l trX T = t 0 náu X l mởt ma trên J - trỹc giao ch²o hõa A.

BƠy giớ chúng ta chuyºn sang X T AX vợi X khổng vuổng Cho C = (X X) l mởt phƯn bũ cừa bĐt ký X ∈S n o m CJ C =J 2 Khi õ

Kẵ hiằu θ − q 1 ≤ ≤θ 1 − ≤θ + 1 ≤ ≤ θ + p 1 cĂc giĂ trà riảng cừa c°p (X T AX, J 1 ) Tứ (2.20), ta cõ trX T AX ≥ p 1

Vẳ cĂc c°p (A, J) v (A 1 , J) cõ cũng giĂ trà riảng theo ành lỵ 2.5.2 ối vợi c°p (A 1 , J) v cĂc c°p con cừa nõ (X T AX, J 1 ) nản trX T AX ≥ p 1

Ngo i ra, náu cõ mởt X 0 vợi AX 0 =J X 0 Λ, X 0 T J X 0 =J 1 , v Λ = diag(α + 1 , , α p + 1 , α − q 1 , , α − 1 ), thẳ trX 0 T AX 0 =t 0

GiÊ thiát vã sỹ tỗn tÔi ma trên v²c tỡ riảng X 0 trong ành lỵ 2.5.4 hiºn nhiản ữủc thọa mÂn náu c°p (A, B) cõ thº ch²o hoĂ ữủc Nhữ vêy, chúng ta cõ

Hằ quÊ 2.5.5 Cho c°p (A, B) xĂc ành dữỡng ho°c nỷa xĂc ành dữỡng v ch²o hõa ữủc Khi õ giĂ trà t 0 trong ành lỵ 2.5.4 l giĂ trà nhọ nhĐt thỹc tá.

Hằ quÊ 2.5.6 Cho (A, B) l mởt c°p nỷa xĂc ành dữỡng Khi õ t 0 tứ (2.16) l cên dữợi úng cừa h m (2.14) bà giợi hÔn bði (2.15).

Chựng minh Cho > 0 v coi c°p nhiạu (A+I, B), l xĂc ành dữỡng Theo Hằ quÊ 2.5.5 mintrX T (A+I)X =t 0 ().

Bối cảnh không gian theo sau biến động liền mạch của các giá trị tài sản Cho hàm (2.14) có giá trị cực tiểu tại phương nào đó, và giá trị tối đa tại phương còn lại (2.15) Khi áp dụng điều này, ta xác định được dữ liệu và giá trị nhỏ nhất là tuyệt đối Bất kỳ giá trị cực tiểu X1 với X1 T BX1 = J1 thỏa mãn phương trình.

AX 1 =BX 1 Λ vợi Λ = diag(Λ + ,Λ − ) (trong õ sỹ phƠn chia khối giống nhữ cừa J 1 trong (2.15) v Λ + ,Λ − l ối xựng) sao cho α + 1 , , α + p 1 l cĂc giĂ trà riảng cừaΛ + v α − q 1 , , α 1 − l cĂc giĂ trà riảng cừa Λ −

2.6 B i toĂn giĂ trà riảng cừa c°p ma trên ối xựng/phÊn ối xựng chẵnh tưc: giĂ trà riảng symplectic.

Mởt cách tường quát, các mức trước xác định giá trị ràng buộc trên (A, B), với A, B là các ma trận đối xứng Khi B = I, ta có bài toán giá trị ràng buộc tiêu chuẩn Khi B là ma trận đối xứng xác định dương, ta có bài toán giá trị ràng buộc đối xứng xác định dương Trường hợp còn lại là bài toán giá trị ràng buộc không xác định Ở mức 2.5, chúng ta sẽ xét trường hợp B là phân phối đối xứng, tức là B T = -B Do một ma trận phân phối đối xứng luôn có thể chữa được và ma trận Poisson.

 nhớ ph²p bián ời tữỡng ¯ng nản, khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta cõ thº giÊ sỷ

Bài toán giải tích symplectic là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết Hamilton Nghiên cứu về bài toán này đã dẫn đến nhiều kết quả thú vị, trong đó có các phát biểu của Williamson Các kết quả này cung cấp những hiểu biết sâu sắc về cấu trúc và tính chất của các hệ thống động lực học.

Gồi R^2n là không gian của các ma trận trên thực R^2n, trong đó P(2n) là tập con của R^2n bao gồm các ma trận xác định dương, và Sp(2n) là nhóm các ma trận trên không gian symplectic.

Ta cụng nõi cĂc ma trên cù2nì2k, k < n, l ma trên symplectic náuM T J 2n M J 2k v kỵ hiằu têp cĂc ma trên n y l Sp(2k,2n).

Náu A l mởt phƯn tỷ cừa P(2n), khi õ tỗn tÔi mởt ma trên symplectic M sao cho

, trong õ D l mởt ma trên ữớng ch²o vợi cĂc phƯn tỷ dữỡng d 1 (A)≤ d 2 (A) ≤ ≤d n (A).

Các số riêng (A), với i = 1, , n, được gọi là giá trị riêng symplectic của ma trận A Chúng thường được gọi là giá trị riêng Williamson Định lý minimax Courant-Fischer-Weyl trong trường hợp này là một trong những công cụ quan trọng trong việc phân tách các giá trị riêng của các ma trận Hermitian Một kết quả tóm tắt cho thấy cụng thỏa mãn cho giá trị riêng symplectic của ma trận trên không gian xác định dương Để minh họa điều này, chúng tôi phát biểu nội dung và chứng minh của nó Định lý 2.6.1 (Minimax Courant-Fischer-Weyl cho giá trị riêng symplectic) cho A ∈ P(2n) Khi đó, với 1 ≤ j ≤ n.

M⊂C 2n dim M=j x∈Mmin hx,Axi=1 hx, iJ xi,

M⊂C 2n dim M=2n−j+1 x∈Mmin hx,Axi=1 hx, iJ xi.

Chứng minh tách vỏ hình Euclid thống nhất trong không gian phức tạp là một vấn đề quan trọng trong hình học Chúng tôi sẽ tách vỏ hình Euclid trong không gian phức tạp theo biến ưu tiên Đối với A ∈ P(2n), ta định nghĩa một tách vỏ hình khác trong C^2n bằng cách sử dụng các phương pháp phù hợp.

Ta kỵ hiằu khổng gian tẵch vổ hữợng tữỡng ựng bðiH °t A # =iA −1 J Khi õ

Do õ, A # l toĂn tỷ Hermitian trản H CĂc giĂ trà riảng symplectic cừa A −1 ữủc sưp xáp theo thự tỹ giÊm dƯn l

1 d 1 (A) ≥ 1 d 2 (A) ≥ ≥ 1 d n (A). CĂc giĂ trà riảng (thổng thữớng) cừa A # l

1 d 1 (A) ≥ 1 d 2 (A) ≥ ≥ 1 d n (A) ≥ −1 d n (A) ≥ ≥ −1 d 1 (A). p dửng nguyản lỵ minimax  trẳnh b y ð Mửc 2.1 cho ma trên A # , ta cõ iãu ph£i chùng minh.

Một trong những hàm quan trọng trong lý thuyết minimax là hàm Hermitian, được sử dụng để xác định các giá trị trần và các giá trị cửa mở trên con đường chính Hàm này cũng có ứng dụng cho giá trị trần symplectic Hình ảnh 2.6.2 minh họa cho các giá trị trần symplectic.

Cho A ∈ P(2n), ma trận A được biểu diễn dưới dạng A = [A ij] với i, j = 1, 2, , l Ma trận B ∈ P(2n−2) là một ma trận con của A, ký hiệu là B = [B ij], trong đó mỗi B ij là một ma trận con (n−1) × (n−1) của A ij B được tạo ra từ A bằng cách xóa hàng và cột thứ i của A, với 1 ≤ i ≤ n Nếu d j (A) ≤ d j (B) ≤ d j+2 (A) cho 1 ≤ j ≤ n−1, thì quy tắc ràng buộc d n+1 (A) = ∞ sẽ được áp dụng.

Chúng tổi bọ qua chựng minh ành lỵ n y.

GiĂ trà riảng symplectic ữủc ành hẳnh thổng qua b i toĂn tối ữu dữợi Ơy. ành lỵ 2.6.3 Cho A∈ P(2n) Khi õ vợi tĐt cÊ 1≤k ≤ n

Trữợc khi chựng minh, ta thÊo luên thảm mởt số tẵnh chĐt cừa ma trên symplectic Ta nhên thĐy, mồi phƯn tỷM cừaSp(2n) ãu cõ mởt phƠn tẵch khối

, (2.22) trong õ A, B, C, G l cĂc ma trên cù nìn thọa mÂn iãu kiằn

AG T −BC T =I, AB T −BA T = 0, CG T −GC T = 0 (2.23) Chúng ta liản kát vợi M mởt ma trên Mf cõ cĂc phƯn tỷ ữủc cho bði me ij = 1

Ma trên n y cõ mởt số tẵnh chĐt àp ³ v cõ thº ữủc sỷ dửng tốt trong viằc nghiản cựu ma trên symplectic.

BƠy giớ chúng ta i án chựng minh ành lỵ 2.6.3.

Chựng minh Mởt ma trên A cù nìn ữủc cho l ngău nhiản k²p náu a ij ≥ 0 vợi mồi i, j, n

Mởt ma trên B có các phần tỷ khổng lồ với một ma trên A ngẫu nhiên, sao cho b ij ≥ a ij với mọi i, j Điều này cho thấy rằng Mf là một ma trận trên siêu-ngẫu nhiên k²p.

Ta kh¯ng ành rơng, vợi mồi ma trên M ∈Sp(2n) ma trên Mfcõ tẵnh chĐt n

Thêt vêy, tứ iãu kiằn AG T −BC T =I trong (2.23), chúng ta cõ