(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ file word) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa
M tsv nc b nvb itongit r r i ng
Chomtmatrnvung A∈R n×n Bitongitrr i nglb itontmmt iln g vhn g λsao chocv ct x , x/=0,ct h l c ciln g phc,saocho
(A−λI)x=0 (1.2) cnghimkhngtmthn g (khckhng). nhngha1.1.1.Vicckh i uvq u a n hn g thc(1.2),
+ x cgilv ctr i ngca A tn g n g vi λ
+ T t c c c v c tr i n g c c n g g i t r r i n g λ c ng v i c c v c tk h n g t o thnhmtkhnggiancontuyntnhcaR n ,c gilk h nggianconringca λ
+Ccgit r r i ngca Al n g h i mcaa thcc trngca A ,
+Bicanghimcaa thcc gil bii sc agit r r i ngtn g n g
+ B i h nh h c c a tr ri ng lsc h i u c a k h n g g i a n c o n r i n g t n g n g v i trr i ng.
+ N u T lm t m a t r n k h n g h c h v ( λ, x)lm t c p r i n g c a A , thc p (λ,Tx)lm t c p ri ng c a(TAT −1 ).Ph p bi ni A›→TAT −1 c g ilphpbinin g dngca A
Ch1.1.2.N u A lma tr nix ng c p n th nc n git r r i n g t h c , nv ctr i ngtr cchuntn g n g i unycngct h c phtbiubngcchkhc:matrni xngthclunc t h c chohabimtmatrntr c giao qua ph p bi nit ngng C th , n u A=A T th lu n t n t iVtr cchuncho:
V T A V = D, (1.3) là một phương trình trong không gian vectơ V, liên quan đến các thành phần trong không gian học của A Định nghĩa 1.1.3 cho tập hợp S = {v1, v2, , vm} trong không gian vectơ V Tập hợp S có thể tạo thành các vectơ tuyến tính từ các thành phần của S, khi đó span(S) hoặc span(v1, v2, , vm) được xác định Định nghĩa 1.1.4 cho biết vectơ cận mật trong vùng A có thể được xác định khi áp dụng quy tắc (A), liên quan đến các thành phần trong không gian học (nghĩa là các thành phần trong ma trận A) Nếu A = (aij), với i,j = 1, ,n, thì tổng của A được tính bằng tr(A) = a11 + a22 + + ann = ai Định nghĩa 1.1.5 cho hàm ρ(x) := x * Ax.
,x 0 x ∗ x cgilc cts R e y l e i g h ca At i x Du∗chiulc h u y nvn u A lmatrnthcvl i nhpphcnu Al m a trnphc.
nhn g h a1 1 6 Mtmatrn P t h amn P 2 = P cgilmtphpchiu. nhngha1 1 7 Mtmatrn P cgilphpchiutrcgiaonu i) P 2 =P , ii) P T = P nhl1.1.8.Nu A∈R n×n t hc m tmatr ntrcgiao Q∈R n×n s a ocho
R mm lt atamgictrn.Cckhicho R ii lm tmatrn1 ×1h o c2 ×2.Mt khi1 ×1tngng vimtgit r r i ngth c,mtkhi2 ×2tn g n g vimtcpgitrri nglinhp.
Nh nx t 1 1 9 T a ct h s u y r a t n h c h t c h o h a c c a m a t r n i x ng b i c c ma tr n tr c giao tn h l v p h n t c h S c h u r c a m a t r n i x ng Th t v y, do t nhi x n g c a A n n c c ma tr n con kh i kh ng n mtrnn g choch nhu bngkhng.Thmvo, domatrni xngchcg i t r r i n g t h c n n c c m a t r n c o n k h i t r n n g c h o c h n h u c c 1×1vdo, chngchnhlccgitrr i ng.
Sl c mtsp h n g phpgiib itongit r r i ng
Phn g phpArnoldi
C c thu t to n Arnoldi vL a n c z o s l n h n g p h n g p h p t n h t o n m t cs t r cgiaocakhnggianKrylov.
A)l x, Ax, ,A (j−1) xv iccvct A (k) xh itt h e o hn g caccvctr i ngtn g n g vigit r ri ngcmodullnnhtca A Doc ctht cn ginlc cqut r nhtrcgiaohaGram-
Schmidtc p dngchoccvctt r o n g cs n yt mmtcs t r cgiaocakhnggianKrylov. Σ y: = Ax− qqAx i l Σ r=Aq− q(qAq) (1.4) j j l l i+1 i = i+1 i
Gis{q 1 ,q 2 , ,q i }lcstr cgiaochoK i (x),y i≤j Chngtaxydngvct q i+1bngtrcgiaoha A i x vi q 1 ,q 2 , ,q i bngccht i i T i l vs a u c h u nhaccvctk tqu l=1 q i+1 =y i /ǁy i ǁ
Tac{q 1 ,q 2 , ,q i+1 }lm tcstr cgiaoc aK i+1 (x),g ichunglcsArnoldi C c v c tc g i lv c tArnoldi t ngng Trong th c tt n h ton,ccvct q i c tnhnhsau
=span [ q 1 ,Aq 1 , ,A i q 1 ] (Aq 1 = αqq 1 +βqq 2 ,βq 0)
=s p a n [ q 1 ,αqq 1 + βqq 2 ,A(αqq 1 + βqq 2 ), ,A i−1 (αqq 1 + βqq 2 )],
Vvy,thayvtr cgiaoh a A i q 1vi q 1 ,q 2 , ,q i ,chngtacthtr cgiaoha Aq i vi q 1 ,q 2 , ,q i cc q j+1.C cth nhph n r i c a Aq i tr cgiaovi q 1 ,q 2 , ,q i cchobi i T l l=1
Ccphn g trnhcuicngchota q i+1 t rcgiaovittcc cvctA r n o l d i trc c h o h ij = q T Aq j t h ( 1 4 ) -(1.5)ct h c vit j+1
Thutton1.2.2.ThuttonArnolditmm tcstrcgiaocakhnggianKrylov 1:Cho A∈R n×n v x ∈R n Thu ttonnytnhtonmtcs t r cgiaocho
ThuttonArnoldidnglinu h j+1,j = 0. t Q k = [ q 1 , ,q k ]t hp h n g trnh(1.6)vi j= 1 , ,k cvitnhs a u
Phng tr nh (1.7)c g i lquan hArnoldi, trong Hl ma tr n d ngHessenberg, t c ma tr n cc c p h n t n m c c h d i n g c h o c h n h m t v tru bng0. k j j−1
Phn g phpLanczos
T ng tnhtr n, ta c ng c n x y d ng m t c s cho kh ng gian conKrylovmt a sg ilc s L a n c z o s Cs L a n c z o s c xydngcngmtcch nhl cs A r n o l d i vimtmatrnHermithoci xngthc.Bng c chnhntri(1.7)vi Q T c h ngtacc
NuAli xngth H k l b a n g cho,chngtagimatrnban g chon yl T k Dotnhi x ngphngtrnh(1.4)c ngi nhanhsau r j =Aq j −q i (q T Aq j )−q j−1 (q T Aq j )=Aq j −αq j q j − βq j−1 q j−1 (1.8)
T ngtnhtr n,chngtanh ntbntr i(1.8)vi q j+1 cc
T k ∈ R k×k l i xngthc.Phn g trnh(1.10)c gilq u a n hL a n c z o s
Trong mô hình này, ta xem xét mối quan hệ giữa các biến số với các tham số αq j và βq j−1 Cụ thể, khi αq j tăng lên, ta có thể điều chỉnh công thức tính toán để phản ánh sự thay đổi trong r j, với r j = Aq j − βq j−1 q j−1 − αq j q j Đặc biệt, trong trường hợp αq i được giữ cố định, ta có thể xác định αq j thông qua công thức αq j = q T (Aq j − βq j−1 q j−1), từ đó giúp phân tích sự tương tác giữa các biến trong mô hình.
Thutton1.2.3.Thutton Lanczoscbnt nhtonmtcs t r cgiaochokhnggi anKrylovK m (x)
1: Cho A∈R n×n lix ng, x∈R n Thu t to n n y st n h t o n c cm i quanhL a n c z o s ( 1 1 0 ) ,nghalm tcs t r cgiao Q m = [ q 1 , ,q m ]choK m (x)trong mlch snhnhtsaochoK m (x)= K m+1 (x),v(ccyutkhngtmthn g ca)cc matrnban g cho T m
T m s (m) = ϑ (m) s m (1.11) i i i m i i j j=1 i th A Q m s (m) = Q m T m s (m) = ϑ (m) Q m s (m) Vv y,git r r i ngca T m cngl i i i i git r r i ngca A Ccvctr i ngca At n g n g vigit r r i ng ϑ i l y i =Q m s (m) =[q 1 , ,q m ]s (m) = Σ q j s (m) (1.12)
Nhclisl c vb itontiu
iukincn
nhl 1.3.1.Cho f ∈ C 2 (U x ∗ )v x ∗ lm tcctiuaphn g ca f Khi
∇ 2 f(x ∗ )≥ 0 nhn g h a1 3 2 iukin∇f(x ∗ )= 0cgili ukincncp1 x ∗ thamni ukini ukincncp1c g ili mdnghayi mtihn.
iukin
nhl1 3 3 Cho f ∈ C 2 (U x ∗ ).Gis∇ f(x ∗ )=0v∇ 2 f(x ∗ )>0 Khi, x ∗ lm tcctiua phn g ca f.
Phn g phpn g dcnht
Nhb i thnggimsunht(steepestdescent)ti xl d = − ∇ f(x). Phn g phpnycpnht x c b icngthc x + =x c −λ∇f(x c ),
Mcdt a x cn h c hn g gimsunht,nhngvicxcn h c d i bc λ lt i quan tr ng c a phng phng ph p n y L a ch n t t nh tcho λl n t ithiuhahm φ(λ)=f(x c −λ∇f(x c ))
Nhngbitonnytronghuhttrn g hpcngkhngdg i ihnbitonc c tr banu V t h , n g i t a t m m t c c h t i p c n n i l n g
Quabc cpnht(1.17),mh nhbc1sg i m p red =m c (x c )−m c (x + )
Tasr ngbuci ukin haytn g n g a red >αqλp red f(x c −λ∇)−f(x c )0v i m i x kh ng tri t ti u) Trong trn g h p n y , c c git r r i ngcacpmatrnl ttccvctr i ngcact h c chnt o
Không gian con Y của B là không gian con của B, nếu tồn tại một ma trận A sao cho B^(-1)Ay ∈ Y với mọi y ∈ Y, đồng thời AY ⊆ Y hoặc AY ⊆ YB Điều này có nghĩa là nếu Y là không gian con của B, thì có thể tìm được một giá trị λ sao cho Ay = λBy Tóm lại, không gian con Y của một cặp ma trận (A, B) liên quan đến việc xác định các vector trong không gian con của các ma trận A và B.
Ktqus a u y lc ngcn h dngbitontnhtonkhnggian ringcctrn h m tbitontiu ha.
M nh 2.2.1.C h o A v B l c c m a t r n c n×n i x ng v B l x c n hdn g Gi λ 1 ≤ ≤λ n lccgitrringcacpmatrn(A , B).
Xtthn g sRayleightngqut f(Y)=tr(Y T AY(Y T BY) −1 ) (2.1) xcn h trnttcc cmatrnhngy c n ×p Khic cphtbiusaultn g ng: i) span(Y ∗ )l m tkhnggianconbtbintncngbntri cacpmatrn
(A,B); ii) Y ∗lmtcctiutonccca( 2 1 ) trnttcc cmatrnhngy c n ×p; iii) f(Y ∗ )= p i=1 λ i
Ch ng minh.n g i n h a t r n h b y , c h n g t a s g i s r n g λ p < λ p + 1 ,nh ng k t qu v n gin g u y n k h n g n h h n g n g i t h u y t n y C h o V lm t ma tr n c n× n m V T BV=I n v V T AV=diag(λ 1 , , λ n ). Khi λ 1 ≤ ≤λ n Matrn V nht h l u ntnt i.
Theot nhchtcavtvn g h cho matrn,tathuc t nhbtbinca f , f(YN)= f(Y), chottcc cmatrnkhn g h ch N c p ×p Milptn g i j p i j i j p i j Σ
Trong bài viết này, chúng ta xem xét ma trận Y và các phép biến đổi liên quan để đạt được điều kiện Y^T B Y = I_p Để làm điều này, chúng ta áp dụng các phép biến đổi như N = (Y^T B Y)^{-1/2} và Y = V M, trong đó V^T B V = I_p Hơn nữa, điều kiện tr(Y^T A Y) = tr(M^T diag(λ_1, , λ_n) M) cũng được thảo luận, cho thấy mối liên hệ giữa các ma trận và các giá trị riêng của chúng.
Vs h ngthh a i n sh ngcuicngu khngm , n kotheotr(Y T AY)≥ pi=
1 λ i ngth cxyran uvchn ush ngthhaivsh ngcu ic ng tri t ti u.i u n y x y ra n u vc h n u (n−p)×p ph n di c a M tri t ti u(vv y nn p×p ph n tr n c a Mt r c g i a o ) , n c n g h a l Y = V Mc h a khnggianconbtbinngoicngbntri p -chiucacpmatrn(A,B).
Trongtrn g hpp=1v B=I,vg i s r nggit r r i ngngoicngbntri λ 1 caAcbil1, Mnh2 2 1 suyragit r c ctiutoncccahm chiph f:R n →R:y›→f(y)= y
(2.2) y T y lc ci m v 1 r,r∈R ∗ ,trongR n l R n v igcbi v v 1 lm tvctr i ngli n k t v i λ 1 H m chi ph (2.2)c g i l t s R a y l e i g h c a A Vi c gi mthiuts R a y l e i g h ct h cxemnhm tbitontiu hatrnmta tp.
M t kh a c nht c q u a n t m c a v n c c t i u n y l c c g i t r c c ti u kh ng bc l p m x u t h i n d i d n g l i n t c v 1 r, r∈ R ∗ Do, m t v i ktquh itquantrngchophngphptiuh akhngc pdng,v p p m y T y
∗ y T y y T y y T y y T y y T y y T y y mtvithuttonquantrngct h b t h tbi,nhc minhhabimnh sau.
Mn h 2.2.2.Phn g phpNewtonpdngchotsR a y l e i g h ( 2 2 ) chotaslp li y ›→ 2y vimi y m f(y)khngphigitrringca A
Chngm i n h Lpl ic ct h a o t h cc h o t ag r a d f(y)= 2 ( Ay− f (y)y)v
Hessf(y)[z]=D(gradf)(y)[z]= 2 ( Az− f(y)z)− 4 (y T Azy+ y T zAy−
2f(y)y T zy)=H y z ,khi H y = 2 ( A−f(y)I− 2 ( yy T A+Ayy T −2f(y)yy T ))=
(I−2 yy T )(A−f(y)I)(I−2 yy T ).Nk otheo H ls t nuvc h n u f(y)l gitrri ng c a A Khi f(y)kh ng lg i t r r i n g c a A , phn g t r n h
N e w t o n H y η=−gradf(y)th a nh n m t vch m t nghi m, vdd ng ki m tra r ngnghimnyl η = y Ktlun,phplpNewtonnhx yt h nh y+η= 2 y
K t qu n ykh ng d nh ri ng cho th ng s Rayleigh Nn g c h o b t k hmthunnhtbckh ng,tcl, f(yαq)=f(y)vittcc cgit r t h c αq/
=0.BinphpkhcphclgiihnminvmttpconMnoc aR nsao cho b t kt i a n o yR ∗ ch a t nh t m t vn h i u n h t l c c i m c a M.n g ch , i u n ym b o r n g c c i m c c t i u b c l p M t s l a c h n p h hpchoMlh nhcunv
H n cht s R a y l e i g h ( 2 2 ) n S n−1 cho ch ng ta m t h m chi ph ho tn g t t v i c c c c ti u b c l p Tuy nhi n, nh ng g ch ng ta m t lc u t r c t u y n tnhcamincahmchiph.
Xpxg i t r r i ngbngts R a y l e i g h
Trong ph n n y ch ng tap d n g c c t h u t t o n c a l p c m t b i t h u t ton1chobitontmmtcctiucahm f: S n−1 → R:x›→ x T Ax, (2.3) ts R a y l e i g h t r n h n h c u M a t r n Ac g i n h l i x n g (A= A T )nhngkhngnhtthitphixcn h dn g Chngtat λ 1 b iuthg i t r ringn hn h tca Avv 1 b iuthm tvctr i ngcc h u nbng1.
• Hm chiphv p h ptongradientXthm f: R n →R:x›→x T Ax cg i i h n i v i h n h c u n v S n−1 cho (2.3).y , c h n g t i c h t r n g kh ng xem x t di g cc a m t b i to n t i u c r ng bu c trong kh nggian m xem nn h m t b i t o n t i u t r n a t p R i e m a n n d o t p r n g b u c cc u tr c n y.t m hi u c c ki n th c vt i u t r n a t p R i e m a n n , n g i quan t m ct h x e m t r o n g [ 2 ] C h n g t a x e m S n−1 nhm t a t p c o n
R i e m a n n cakhnggianconEuclideanR n c trangbvi metricRiemannchnhtc g(ξ,ζ)=ξ T ζ, vi ξ,ζl ccvctt i pxccamtcu.Cho x∈S n−1 ,chngtac
Df(x)[ζ]=ζ T Ax+x T Aζ= 2 ζ T Ax, vimi ζ∈ T x R n ' R n Tk otheoln g thc
Khnggiantiptuynvi h nhcu S n−1 cxem nhm tkhnggianconca
Phochiuchophptaxcn h x cn h mili nquann gradienttrnmt atpconn gradienttr nmta tpnhng,
Phntchmtcst h u tto ndatrngit r c ats R a y l e i g h trnhnhcu,bcutinlxcn h cci m tihn.
M nh 2.3.1.Cho A = A T lm t ma tr nix ng c n×n M t v ctcchunn v x ∈R n lmtvctringca A nuvc h n unl mti mtihncatsR a y l e i g h (2.3)
Ch ng minh.G i x l m t i m t i h n c a (2.3), t c l∇f(x) = 0v i x∈S n−1 Tb i uthc(2.4)ca∇f(x),tathyrng x t hamn Ax= ( x T Ax)x ,trong x T Ax lm t v h n g N g c l i g i s x lm t v c t r i n g c h u n n v ca A ,tcl A x =λx ivimtvivh n g λ Khi, nhnbntrivi x T chota λ=x T Ax vdo A x =
Cho A là một ma trận n × n với các giá trị riêng λ₁ ≤ ≤ λₙ và các vectơ riêng v₁, , vₙ Khi v₁ là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ₁, ta có thể áp dụng định lý Rayleigh (2.1) để nhận được giá trị riêng λ₁ Tương tự, khi vₙ là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λₙ, ta có thể sử dụng công thức (2.3) để xác định giá trị riêng λₙ Cuối cùng, nếu q là một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng trong khoảng (λ₁, λₙ), thì nó sẽ thỏa mãn công thức (2.3).
Ch ng minh.i m ( i ) s u y r a tM n h 2 2 1 i m ( i i ) s u y r a t n g t n h n g thay th A bi−A vt h a y i c ci vic c ti u vc c v c tri ng ngo icngbntriviccvctr i ngngoicngbnphi.i vii m(iii),cho
1 2 v q l m tvctr i ngn g vimtgit r r i ngbntrong λ q v x tn g cong γ: t ›→( v q +tv 1 )/ǁv q +tv 1 ǁ.Phpphntchn ginchothyrng d 2 dt 2 ( f(γ(t))| t=0 =λ 1 −λ q 0
Vd.Xtmatrn Ath c,i xng,c2 ×2.Gis A c h a i git r r i ngthc d 1 < d 2.Taxtts R ayleightrnhnhcui vimatrnny,tcl f(x)=x T Ax viǁxǁ 2 = x 2 +x 2 =1 (2.5)
Do Ai xngnnnc t h c h ohac bimtmatrntrcgiaothngquaphptn g n g N ghal,tntimatrncc ccttrcchun Vs a o cho
Bygi,tat x=Vyv ilur ngmatrntrcgiaochotamtsongn h thnhcuvochnhn.Theo g(y):=f(Vy)=y T V T AVy=y T diag(d 1 ,d 2 )y=d 1 y 2 +d 2 y 2 (2.6)
Vythayvx thmmctiu(2.5),khngmttnhtngqut,taxthmmc tiu(2.6)virngbu c y 2 +y 2 =1.t A ˜= V T AV=diag(d 1 ,d 2 ) Tathy
1 2 h m g(2.6) ch nhltsRayleighchomatr n A ˜.Td ngngi nc a A ˜,ta suy ra c c vc t r i n g c c h u n n v n g v i d 1 , d 2 l n lt l ( ±1; 0)v (0;±1). minhh achoktqum cny,taxtbito ntiu cr ngbuc mind 1 y 2 + d 2 y 2 vi y 2 + y 2 = 1 (2.7)
HmLagrangetngn g vibitontiu cr ngbuc(2.7)cd ng
∂L= =0, y 2 +y 2 −1=0, ta t mc c ci m d n g c a LP 1 (0,1,−d 2 ), P 2 (0,−1,−d 2 ), P 3 (1,0,−d 1 ), v P 4 (−1,0,−d 1 ) Thay v o h m m c ti u banu , t a s u y r a P 1v P 2lc c i m c ci v i g i t r c c i t n g n g b n g d 2, t c git r r i n g l n h n C c i m P 3v P 4lc ci mcctiu,lc cvctr i ngn g vigit r r i ngnh d 1.
Sd nghmchiphB r o c k e t t
Hmchiphv hn g tmkim
mk i mSauy lhmchiphd idngmatr n f: St(p,n)→ R: X › → t r ( X T AXN), (2.8) trong N = diag(à 1 , ,à p ),vi0≤à 1 ≤ ≤à p ,vSt(p,n)biutha t ptrcgiaoStiefel
ChngtaxemSt(p,n)lm tatpconnhngcakhnggianEuclidR n×p Khnggiantipxc caa tpti Xl
Chngtatiptc coiSt(p,n)lmta tpconRiemann cakhng gianR n×p c trang bt ch vh n g
Tn h nghatchvh n g , khnggianchuntci vi St(p,n)tim X l
P X Z=Z−X sym (X T Z)=( I− XX T )Z+X skew(X T Z), sym(M):= 1 (M+M T ) ,skew(M)= 1 (M−M T ) biuthp h ni xngv ixnglchcasp h ntchca Mt h nhsh ngi xngvi xnglch.
Khi,gradientcachngquanhv inhaubibiuthc f= f S t (p,n) Chngtac vt h
=2AXN− XX T AXN−XNX T AX
Cu i c ng, ta c n ch n m t nh xr e t r a c t i o n y v n l n h x c h o p h p l i n ktmtvctt r nkhnggiantipxcti Xn mti mtrna tptrongm tl nc nc a X Tacthl ach n
R X (ξ):=qf(X+ ξ), v iqfkhi u ph p l y ma tr n Q trong ph n t ch QR c a ma tr n.y lc cnguynli ucnthi tchom tthuttond atrngradientc ahmmc ti u gimthiuchiphcahm(2.8)trna tptrcgiaoStiefel.
imtihn
B y gi ch ng ta ch ra r ng X li m t i h n c a f n u vc h n u c c c t c a X lc c v c t r i n g c a A y lk h n g n h c l i v t t r i s o v i v i c xthmchiphl ts R a y l e i g h suyrng.
[A,B]:=AB−BA lg i a o hontcamatrnca AvB Vc cctcash ngu trongbiuth cc agradientthucph nbtr cgiaoc aspan(X),n ngradienttri ttiunuvchn u
V N c g i sl k h n g h ch, phn g t r nh (2.10) cho ta
AX=XM, (2.12) v i Mn o T i p t h e o , d o c g i s l c d n g c h o n n t ( 2 1 1 ) t a s u y ra X T AXc n g l m a t r n c h o
T ( 2 1 2 ) , n h n c h a i v v i X T , ta suy raM= X T AXn n Mc n g l d n g n g c h o C n g t ( 2 1 2 ) , d o Ml d n g chonnccctca Xl c cvctr i ngca Av c cphntc h oca Ml ccgit r r i ngca A Trong trng h p p=n , St(n, n)=O n , vi m t i h n c a h m chi phBrockett lm a t r n t r c g i a o c h o h a A (L ur n g I−XX T =
0 , vt h s h ngu t i n t r o n g ( 2 9 ) t r i t t i u m t c c h n g k ) i u n y t n g n g vivicnirngccctca Xl c cvctr i ngca A
M tsb itongit r r i ngkhngtiuchun
Trongmcny,chngtistrnhbymtsb itongit r r i ngkhngti u chu n m ct h g i i c t h n g q u a c c h t i p c n t i u N i d u n g c a m c n y ldi n gi i m t sp h n t r o n g c c b i b o [ 8 ] C t h , c h n g t i x e m mtst nhchtcaloicpmatrnquantrngnhtmp h pchoha
A→F T AF, B→ F T BF ct h t h chinc l c pmatrnxcn h nhngh a2 5 1 Mtcpmatrn(A,B)cgil( n a)xcnh dn g n u t n t i m t s λ sao cho ma tr n A−λB ln a x cnh d ng.
S λ saochomatrn A−λBx cn h gilc h u y ndchxcn h Tphpcattcccd chchuynxcn h t othnhcckhong mc gilkhongxcn h
Th ng th ng, ngi t a h a y x t b i t o n g i t r r i n g c h o c p m a t r n i x ng(A, B)v ii u k i n x c n h d n g t h m c h o B Ch ng h n, b i to n tr nhb y m ctrc thu c lo i n y D th y, ylm t tr ng h p c bi t c acpmatrnxcn h dngc n h nghatrn.
Trongmcny,chngtiquantmn mtlpcccpmatrni xng c bi t trong, B kh ng nh t thi t ph i x cn h T u y n h i n , t a c n i u k i n Bk h n g h c h C t h , t a x t b i t o n c c t r s a u c h o m t c p i x n g t n g qu t(A,B): trX T AX= min, X T BX= J 1 , (2.13) trong B k h n g s u y b i n , J 1 = d i a g ( I p 1 ,−I q 1 ), v p 1 ≤ p, q 1 ≤ q , v i(p, q)lquntnhca B
Trc tinch ngtitrnhbymtsk tqub t r c h o n h lc h nhm cn y Ch ng minh c a c c ph t bi u n y ct h t m t h y t r o n g c c t i l i u t h a m khon u. nhl2.5.2.Cho A,J lmtcpnaxcn h dn g trong
≤ ≤θ 1 − ≤ θ + ≤ ≤θ + ccgitrringcacp A,J v H , J 1tn g n g Khi αq + ≤ θ + ≤αq + , i=1, ,p 1 , αq j − +n−m ≤ θ j − ≤ αq j − , j= 1, ,q 1 , trong αq + = ∞nu k >p,αq − =−∞n u k >q
Mnh2 5 3 Cho A−λ 0 B lmatr nnaxcn h dn g Khi: i) Tntimtmatrnkhnghch C
Trong bài viết này, chúng tôi khám phá các khái niệm liên quan đến ma trận và các chỉ số của chúng Đầu tiên, chúng ta xem xét ma trận A và J, với J được định nghĩa là một ma trận đường chéo chứa các giá trị ϵ i có thể là -1 hoặc 1 Tiếp theo, chúng tôi phân tích cách mà các chỉ số λ 0 ảnh hưởng đến các phép toán trên ma trận, cụ thể là trong việc so sánh các ma trận A J và A JJ Chúng tôi cũng đề cập đến việc tối ưu hóa các phép toán này thông qua việc sử dụng các tham số như α và q Cuối cùng, chúng tôi nhấn mạnh tầm quan trọng của việc hiểu rõ các mối quan hệ giữa các ma trận A và B trong bối cảnh này.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi xem xét các điều kiện liên quan đến hàm số λ và các tham số A và B Đặc biệt, chúng tôi chỉ ra rằng khi λ nằm trong khoảng [λ₁, λ), các giá trị của n(λ) sẽ được xác định bởi ν(A − λB) Hơn nữa, với λ₁ = (αq₁ − + αq₊)/2, chúng tôi phân tích các tính chất của hàm số trong các trường hợp λ > λ₁ và λ < λ₁ Cuối cùng, chúng tôi đưa ra các công thức liên quan đến C(A, B) và các điều kiện cần thiết để đảm bảo tính khả thi trong mô hình nghiên cứu.
≤αq 1 − ≤ αq + ≤ ≤αq + lccgitrringcacp(A,B).Ngoira,gistntimatrn X 0 thamn(2.15)vbaogmccvctr ingtn g ngviccgitrr i ng αq + , ,αq + ,αq − , ,αq −
Chngminh.Khngmttnhtngqut,tact h g i s B c chunha.Tcl
Trnthct,v B k h ngsuybin,nntnti Gk h ngsuybinsaocho
Khis t h a y th Y = G T Xd nnmthmnginhnnhngtn g ng bg i i hntrongtp
Trc htchngtachngminhnhlchotrn g hp p=p 1 ,q= q 1,tcl,matrn Xv u ng.Trong trnghpnyiukin(2.15)trth nh
X T JX=J (2.19) v J 1 =J B tk Xn o t(2.19)ucg il J- tr cgiao,vrr nglttcc cmatrn J- trcgiaotothnhmtnhmnhn.
X T AX 0 =JΛ, Λ=diag(Λ + ,Λ − ), X T JX 0 = J, trong Λ + = diag(αq + , ,αq + ),Λ − =diag(αq − , ,αq − ) t
Do YlJ -tr cgiaon nncsph ntch
1 p 1 i j i j i=1 j=1 i=1 j=1 trong W lm a t r n p×q v U 1 ,U 2lc c khi trc giao.Do, trX T AX= trY T JΛY=trH(W)JΛH(W)
=t 0 +2[trWW T (Λ + − àI)+trW T W(àI− Λ − )], trong à lm tdchchuynxcn h VΛ + − àI v à I − Λ −lx cn h dn g , nn trWW T (Λ + −àI)≥0, trW T W(àI− Λ − )≥ 0
Dot r X T AX≥ t 0 ivic pn ax cnhd ng(A,J)chngtaly ϵ>0vx tc p(A+ϵI,J ),lx cn h dn g vc h o ϵd nvk h ng.Khngn h trX T ≥ t 0 csuyrattnhli ntcv chuynquagiihn.cbit, trA≥ t 0 (2.20)
Rr nglt r X T = t 0nu X lm tmatrn J -trcgiaochoha A
Bygichngtachuynsang X T AX vi X k hngvung.Cho C= ( XX) lm tphnbc abtk X ∈S nom CJC=J 2 Khi
XA X XA X θ q − ≤ ≤θ 1 − ≤ θ + ≤ ≤θ + ccgit r r i ngcacp(X T AX,J 1 ) T( 2 2 0 ) , tac p 1 q 1 trX T AX≥ Σ θ + − Σ θ −
Vc ccp(A,J)v( A 1 ,J)cc nggit r r i ngtheon h l2 5 2 i vicp
(A 1 ,J)vc ccpconcan( X T AX,J 1 )nn p 1 q 1 trX T AX≥ Σ αq + − Σ αq − =t 0
Ngoira,nucm t X 0vi AX 0 = JX 0 Λ,X T JX 0 =J 1 , v Λ=diag(αq + , ,αq + ,αq − , ,αq − ), tht r X T AX 0 = t 0
Git h i tvst ntimatrnvctr i ng X 0 t r o n gn h l2 5 4 hinnhin cthamnnucp(A,B)ct h c h o hoc Nhv y,chng ta c
Hqu2.5.5 Chocp(A,B)xcn h dn g hocnaxcn h dngvchohac.Khig i tr t 0 trongnhl2.5.4lgitrn h nhtthct
Chngm i n h Cho ϵ> 0 vc o i cpnhiu( A+ϵI,B),lx cn h dn g TheoHq u 2 5 5 mintrX T (A+ϵI)X= t 0 (ϵ)
Bygik h ngn h theosaubitnhlintccac cgit r r i ng. nhl2.5.7.Chohm(2.14) cg i t r c ctiua phn g nubg i ihnbi(2.1 5).Khic pnylnaxcnhdn g vgitrnhnhtltuyt i.Btkgitrcctiu X 1v i X T BX 1 = J 1t h amnphn g trnh
AX 1 =BX 1 Λ viΛ=diag(Λ + ,Λ − )(trongs p h nchiakh igingnhc a J 1t r o n g ( 2 1 5 ) vΛ + ,Λ −lix ng)saocho αq + , ,αq + lccgitrringcaΛ +v αq − , ,αq −
2.6 Bitongit r r i ngcacpmatrni xng/phn ixngchnhtc:gitrr i ngsymplectic.
Mật chất ngẫu nhiên có thể được mô tả bằng ma trận (A,B), trong đó A và B là các ma trận ngẫu nhiên Khi B = I, ta có thể nhận thấy rằng ma trận ngẫu nhiên này có tính chất tương tự như ma trận đơn vị Nếu B có cấu trúc đặc biệt, tính chất của ma trận ngẫu nhiên cũng sẽ thay đổi Trong trường hợp này, ma trận ngẫu nhiên sẽ không còn là ma trận đơn giản, và có thể được mô tả bằng ma trận Poisson.
−I 0 nhp h pbini tn g n g nn,khngmttnhtngqut,tact h g i s
B=J H ara,yl ilm tb ito ngitrri ngcbi t,b ito ngitrri ng symplectic mn g i u t i n x c n h n l W i l l i a m s o n T r c t i n , c h n g t inhclinidungn h lW i l l i a m s o n y.
G iR 2n×2n lk h n g g i a n c a c c m a t r n t h c c 2 n×2n ,P(2n)lt p c o n c aR 2n×2n b a o g m c c m a t r n x cn h d n g , v S p (2n)ln h m c c m a trnsymplecticthc,tcl,
Nu Al m tphntc aP(2n),khit ntimtmatrnsymplectic M saocho
Ccs d i (A),i = 1 , ,n ,c gilg i t r r i ngsymplecticc amatrn A ythn g c giln h lW i l l i a m s o n nh lm i n i m a x C o u r a n t - F i s c h e r - W e y l t r n h b y M c 2 1 l m t t r o n g nhngcngcquantrngtrongvicphntchccgitrr i ngcaccmatr n Hermitian M t k t qu t ng t nh v y c ng th a m n cho gi tr ri ngsymplectic c a ma tr ni x n g x c n h d n g t h u n t i n c h o n g i c , chngtiphtbiunidungvchngminhcan. nhl 2.6.1.(MinimaxCourant-Fischer-
Ch ng minh.T c h vh n g E u c l i d t h n g t h n g t r n R mh o c C mc k h i u bi⟨ ã ,ã⟩.N h c l i r n g c h n g t i t c h v h n g E u c l i d t r o n g k h n g g i a n p h c l tuy n t nh li n h p theo bi nu t i n C h o A∈P(2n),t a n h n g h a m t t c h vhn g khctrnC 2nb ngccht
Takh i ukhnggiantchvh n g tn g n g biH.t A # = iA −1 J.Kh i
Do, A # lt o ntH e r m i t i a n trnH.C c gi trr i ngsymplecticca A −1 cspxptheotht g i mdnl
≥ − 1 d 1 (A) d 2 (A) d n (A) d n (A) d 1 (A) pd ngnguynlminimaxtr nhbyM c2.1chomatr n A # ,taciuphichngminh.
M t trong nh ng h qu quan tr ng c a nguy n lminimaxi v i ma tr nHermitian lnguy n t c an xen cho cc gi tr ri ng c a A vc c g i t r c a mtmatrnconchnh.i ucngn g chogitrringsymplectic. nhl2.6.2.(nhlxenkc h o ccgit r r i ngsymplectic) n ˜ Σ
Cho A thuộc P(2n), ma trận A = [A_ij] với i,j = 1,2, ,n Ma trận B thuộc P(2n−2) có kích thước (n−1)×(n−1) và các phần tử B_ij liên quan đến A_ij B được hình thành bằng cách loại bỏ hàng i và cột j của A, với 1 ≤ i ≤ n Khi d_j(A) ≤ d_j(B) ≤ d_j+2(A) cho mọi 1 ≤ j ≤ n−1, thì trong không gian đồng nhất, độ đo d_n+1(A) = ∞.
Git r r i ngsymplecticc n h hnhthngquabitontiu di y nhl2.6.3.Cho A∈P(2n) Khiv ittc1 ≤k≤n k
Trc khichngminh,tatholu nthmmtstnhchtcamatrnsymplectic.Tanhnthy,miphnt M ca Sp(2n)u cm tphntc hkhi
C G trong A , B,C,G lc cmatrnc n ×n t hamni ukin
AG T − BC T = I,A B T − BA T = 0,C G T − GC T = 0 (2.23) Chngtali nktvi Mm t matr n M ˜cc cph ntcchobi ij =
Matrnnycm tst nhchtp v c t h c sd ngtttrongvicnghincumatrnsymplecti c.
Chngminh.Mtmatrn A c n ×n ccholngunhinkpnu a ij ≥ 0 vim i i,j , n a ij =1 vittc 1≤i≤n j=1
Mtmatrn Bv iccphntk h ngm c gils i u-ngunhinkpnucm tmatr n Ang u nhi nkpsaocho b ij ≥a ij v im i i,j L plu nti ptheochothyrng Ml mtmatrnsiu- ngunhinkp.
Takh ngnhr ng,vim imatrn M∈Sp(2n)matr n M ˜ct nhch t m ij ≥1,1≤i≤n, j=1 v n m ij ≥1,1≤j≤n (2.24) i=1
Thtvy,ti ukin AG T − BC T = I t r o n g(2.23),chngtac n
= m ij , j=1 vi1≤i≤n p d ng l p lu n tng tcho M T ch ng ta th y r ng b t ng th c thhaitrong (2.24) c ngn g T i p t a x t t r n g h p c b i t k h i k=n
Gi Ml m tphntb tkc a Sp(2n)vphntchnt h nh
M= P R Q S theoccquytc(2.22)v(2.23).Khi trM T DM= tr( P T DP+ Q T DQ+R T DR+S T DS) i j
≥2 d i (A), i=1 sd ng(2.24).Khi M=I ,haiil ngt nc ngvbntr ivbnph ib ngnhau.Nhv y min
M∈Sp(2n) n trM T AM= 2 d j (A) j=1 ylt r n g hpc bitca(2.21)khi k=n
Bygit a xttrn g hp k≤ n Gi M lm a trnc2 n×2k t hamn iukin M T J 2n M= J 2k P hnho ch M t hnh
R ′ S ′ trongm ikhilm tmatrnc n ×k Khit a ct h t mc mtma trnsymplecticc2 n×2n
R S trongm i k h i l m t m a t r n c n ×n v k c tu t n c a P, Q, R, S l nlt l c c c t c a P ′ , Q ′ , R ′ , S ′ Ma tr n M T AM k h il m t m a t r n c o n s -chnhc2 k×2k ca L T AL
Ccgit r r i ngsymplecticca L T AL l d 1 (A)≤ d 2 (A)≤ ≤ d n (A) Gi ccgit r r i ngca M T AM l d ′ ≤d ′ ≤ ≤ d ′ Bngnguynlx e n k
′ ≥d j (A)vi1≤j≤ k Tt r n g hpc bitchngminht r n,chng tact h t h yrng k
Cuicng,p dngnguynlx e n kt r n,tathuc k trM T AM≥ 2 d j (A) j=1
Chương 2.6.4 trình bày về việc xác định các yếu tố trong không gian symplectic, với công thức (2.21) được áp dụng để phân tích Khi nghiên cứu, cần chú ý đến các kỹ thuật liên quan đến việc tối ưu hóa và các tính chất của không gian symplectic trong ngữ cảnh này Đặc biệt, việc áp dụng các công cụ như biến đổi symplectic giúp làm rõ mối quan hệ giữa các yếu tố trong không gian nghiên cứu Một ví dụ điển hình là nghiên cứu của Williams về M T AM, nơi các yếu tố này được xem xét trong mối quan hệ với các mục tiêu khác nhau.
Chi ti t vv i c n y v n h n g t n h c h t c a b i t o n t i u r n g b u c ( 2 2 1 ) c thc tmthytrongktqugny, thamkhot[7].
Nghiên cứu về các phương pháp tối ưu hóa trong lĩnh vực lý thuyết điều khiển đã chỉ ra rằng việc áp dụng các kỹ thuật như Courant - Fischer có thể cải thiện hiệu suất của hệ thống điều khiển Các kỹ thuật tối ưu hóa này không chỉ giúp xác định các giá trị riêng mà còn nâng cao khả năng kiểm soát trong các ứng dụng thực tiễn Đặc biệt, việc sử dụng phương pháp Ký - Phân tích có thể mang lại những hiểu biết sâu sắc về cấu trúc của ma trận, từ đó tối ưu hóa các quy trình điều khiển Cuối cùng, các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng việc kết hợp các phương pháp này với nhau có thể tạo ra những cải tiến đáng kể trong việc điều khiển các hệ thống phức tạp.
[1] VV nTn(2015),Vm tst h u ttontnhgit r r i ngcamatrncl n,
Lu n v n th c s To n h c, Trngi h c Khoa h c,i h c T h i Nguyn.
[2] P.-A Absil, R Mahony & R Sepulchre (2008),OptimizationAlgorithmsonMatrixManifolds,PrincetonUniversity Press.
[3] P Arbenz & D Kressner (2012),Lecture note on solving large scale eigen-valueproblems,D-MATHETHZurich.
[4] R.W Brockett (1991),Dynamical systems that sort lists, diagonalize ma-trices, and solve linear programing problems LinearAlgebraAppl., 146:79-91.
[5] G.H Golub & C.F Van Loan (2014),MatrixComputations, The JohnsHopkinsUniversityPress.
[6] J Nocedal & S.J Wright (2006),Numerical Optimization, Springer Sci-ence+BusinessMedia.
[7] N.T Son, P.-A Absil, B Gao & T Stykel (2021), Symplectic eigen- valueproblemviatraceminimizationandRiemannianoptimization arXiv:2101.02618[math.OC]