CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Giáo viên giảng dạy: NGUYỄN THÀNH LONG Email: Changngoc203@gmail.com Bỉm sơn: 10 – 02 – 2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 1 Phương trình lượng giác và ứng dụng của nó là một phần rất quan trọng trong đề thi đại học và ứng dụng của nó trong đại số cũng như hình học. Và đặc biệt là giải phương trình lượng giác là một câu không thể thiếu trong đề thi đại học các năm. Vậy muốn làm tốt lượng giác trước tiên ta phải nắm được công thức lượng giác TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I. Các công thức lượng giác cần nhớ 1. Các công thức cơ bản sin tan cos a a a  với 2 a k     cos cot sin a a a  với a k   tan .cot 1 a a  2 2 2 2 2 2 sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) sin cos 1 cos 1 sin (1 sin )(1 sin ) a a a a a a a a a a                   2 2 1 1 tan cos a a   2 2 1 1 cot sin a a   2. Công thức cộng và trừ a. Với sin và cos   sin sin .cos cos .sin a b a b a b      cos cos .cos sin .sin a b a b a b      sin sin .cos cos .sin a b a b a b      cos cos .cos sin .sin a b a b a b    b. Với tan   tan tan tan 1 tan .tan a b a b a b       tan tan tan 1 tan .tan a b a b a b     3. Công thức tính tích thành tổng   1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b       1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b       1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b       1 cos .sin sin( ) sin( ) 2 a b b a a b     4. Công thức biến đổi tổng thành tích a. Công thức sin và cos cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b     cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b      sin sin 2sin cos 2 2 a b a b a b     sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b     b.Công thức tan và cot sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b    sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b    sin( ) cot cot sin .sin a b a b a b    sin( ) cot cot sin .sin b a a b a b    5. Công thức nhân đôi và nhân ba, nhân bốn 2 2 sin 2 2sin .cos (sin cos ) 1 1 (sin cos ) a a a a a a a        2 2 2 2 4 4 cos2 2cos 1 1 2sin cos sin cos sin a a a a a a a         2 2tan tan2 1 tan a a a   ; 3 2 3tan tan tan3 = 1 3tan a a a a          3 2 2 sin3 3sin 4sin sin 3 4sin sin 4cos 1 sin 2cos 1 2cos 1 a a a a a a a a a a                 3 2 2 cos3 4cos 3cos cos 4cos 3 cos 1 4sin cos 1 2sin 1 2sin a a a a a a a a a a          Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 2 4 2 sin 4 4sin 2sin a a a    4 2 cos4 8cos 8cos 1 a a a    6. Công thức hạ bậc 2 1 cos2 cos 2 a a   2 1 cos2 sin 2 a a   2 2 2 sin 1 cos2 tan 1 cos2 cos a a a a a     2 2 2 cos 1 cos2 cot 1 cos2 sin a a a a a     3 cos3 3cos cos 4 a a a   3 3sin sin3 sin 4 a a a   II. Giá tri lượng giác của các góc liên quan đặc biệt 1. Bỏ chẵn lần pi thì không thay đổi     sin 2 sin cos 2 cos x k x x k x           tan 2 tan cot 2 cot x k x x k x       2. Bỏ pi hay lẻ lần pi thì thành cộng biến thành trừ         sin sin cos cos tan tan cot cot x x x x x x x x                TQ: sin( 2 ) sin k x x      cos( 2 ) cos k x x               sin sin cos cos tan tan cot cot x x x x x x x x               TQ: sin( 2 ) sin k x x       cos( 2 ) cos k x x       3. Bỏ pi trên hai sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 x x x x x x x x                                     sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 x x x x x x x x                                        d. Đổi dấu     sin sin cos cos x x x x          tan tan cot cot x x x x       III. Công thức tính sina, cosa theo tan 2 a t  Ta có 2 2 2 2 2 2 sin 1 1 1 cos cot 2 1 2 tan 1 t a t t t a a t t t a t                    Một số công thức khác Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 3 2 cos sin cos cos 2cos .cos 2. cos 2 4 4 2 4 3 3 2.sin 2.sin 2.sin 2.sin 2 4 4 4 4 a a a a a a a a a a                                                                                   Vậy cos sin 2cos 2 sin 2 cos 4 4 4 a a a a x                             Tương tự: cos sin 2 cos 2 cos 2 sin 2sin 4 4 4 4 a a a a a a                                                 3 3 2 2 sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cos x x x x x x x x x x x x                 3 3 2 2 sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cos x x x x x x x x x x x x         4 4 2 2 2 2 1 1 1 3 1 sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos 2 cos4 2 2 2 4 4 x x x x x x x              4 4 2 2 2 2 cos sin cos sin cos sin cos2 x x x x x      6 6 4 4 2 2 2 2 3 1 3 3 5 sin cos sin cos sin cos 1 sin 2 cos 2 cos4 4 4 4 8 8 x x x x x x x x x           6 6 4 4 2 2 cos sin cos2 (sin cos sin cos ) x x x x x x x     sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x                      2 2 2 1 sin 2 sin cos 2sin cos sin cos x x x x x x x       2 2 2 1 sin 2 sin cos 2sin cos (sin cos ) x x x x x x x       2 2 sin 2 sin cos ,1 cos2 2cos ,1 cos2 2sin 2 x x x x x x x      ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc) đặc biệt (ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt) Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 4 - 3 -1 - 3 /3 (Ñieåm goác) t t' y y' x x' u u' - 3 -1 - 3 /3 1 1 -1 -1 -  /2  5/6 3/4 2  /3 -/6 -  /4 -/3 -1/2 - 2/2 - 3/2 -1/2- 2/2- 3/2 3/2 2/2 1/2 3/2 2/2 1/2 A /3  /4 /6 3 /3 3 B  /2 3 /3 1 3 O Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt Hoặc: Đường tròn lượng giác Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ   cos ;sin M   ứng với mỗi góc  ta sẽ được một điểm M cụ thể trên đường tròn 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 Góc Hslg 0 6  4  3  2  2 3  3 4  5 6   2  sin  0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 0 cos  1 3 2 2 2 1 2 0 1 2  2 2  3 2  -1 1 tan  0 3 3 1 3 kxđ 3  -1 3 3  0 0 cot  kxđ 3 1 3 3 0 3 3  -1 3  kxđ kxđ Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 5 Để giải được phương trình lượng giác chúng ta nắm được các bước giải sau Bước 1: Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa (nếu có). Điều kiện gồm, phương trình chứa mẫu, chứa cot hoặc tan, chứa căn bậc chẵn… Cụ thể: - Phương trình chứa tan x , điều kiện: cos 0 , 2 x x k k         . - Phương trình chứa cot x , điều kiện: sin 0 ,x x k k       . - Phương trình chứa cả tan x và cot x , điều kiện: , 2 x k k     . Bước 2: Sử dụng công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác. Các phương pháp giải phương trình nói chung, tìm ra nghiệm của phương trình Bước 3: Đối chiếu với điều kiện ban đầu để tìm ra nghiệm thỏa mãn và kết luận (xem mục kĩ năng 5 loại nghiệm và kết hợp nghiệm) Chú ý: Đối với phương trình 2 2 1 1 cos cos 2 2 1 1 sin sin 2 2 x x x x                    ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là: 2 2 2 2 1 cos 2cos 1 0 cos2 0 2 1 cos2 0 2sin 1 0 sin 2 x x x x x x                        . Tương tự đối với phương trình 2 2 sin 1 sin 1 cos 1 cos 1 x x x x               ta không nên hạ bậc, mà nên biến đổi dựa vào công thức 2 2 sin cos 1 x x   . Lúc đó: 2 2 2 2 sin 1 cos 0 cos 0 sin 0 cos 1 sin 0 x x x x x x                    Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 6 Đối với phương trình cos cos2 0 x x   . Chúng ta có thể chuyển về dạng   cos cos 2x x    nhưng đơn giản hơn là thay 2 cos2 2cos 1 x x   để phương trình trở thành phương trình bậc hai với cosx Tương tự với phương trình sin cos2 0 x x   Khi đặt ẩn phụ sin , cos t x t x   thì điều kiện của t là 1 t  . Khi đặt ẩn phụ 2 2 sin , cos t x t x   thì điều kiện của t là 0 1 t   . Khi đặt ẩn phụ sin cos t x x   thì điều kiện của t là 2 t  . Một số phương trình lượng giác cơ bản cần nhớ Dạng 1: 2 sin sin , 2 u v k u v k u v k                Đặc biệt: sin 0 sin 1 2 , 2 sin 1 2 2 x x k x x k k x x k                              Dạng 2: 2 cos cos , 2 u v k u v k u v k               Đặc biệt: cos 0 2 2 2 cos 1 2 , cos 1 2 x x k k x x k k x x k                                       Dạng 3: tan tan , , 2 u v u v k k u v k                 Đặc biệt: tan 0 , tan 1 4 x x k k x x k                    Dạng 4: cot cot , , u v u v k k u v k             Đặc biệt: cot 0 2 , cot 1 4 x x k k x x k                        Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 7 § 1: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP 1. Phương trình bậc nhất đối với sin ,cos x x a. Định nghĩa: Phương trình sin cos (1) a x b x c   trong đó a, b, c   và 2 2 0 a b   được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin ,cos x x b. Cách giải. Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước Bước 1: Kiểm tra - Nếu 2 2 2 a b c   phương trình vô nghiệm - Nếu 2 2 2 a b c   khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2 Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho 2 2 a b  , ta được 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b      Vì 2 2 2 2 2 2 1 a b a b a b                     nên tồn tại góc  sao cho 2 2 2 2 cos , sin a b a b a b       Khi đó phương trình (1) có dạng 2 2 2 2 sin .cos sin .cos sin( ) c c x x x a b a b           Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải Cách 2: Thực hiện theo các bước Bước 1: Với cos 0 2 , 2 x x k k         thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không? Bước 2: Với cos 0 2 , 2 x x k k         Đặt tan 2 x t  suy ra 2 2 2 2 1 sin , cos 1 1 t t x x t t      Khi đó phương trình (1) có dạng 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 0 (2) 1 1 t t a b c c b t at c b t t            Bước 3: Giải phương trình (2) theo t, sau đó giải tìm x. Dạng đặc biệt: sin cos 0 tan 1 , 4 x x x x k k              sin cos 0 tan 1 , 4 x x x x k k            .   sin cos 0 x x k k    sử dụng công thức sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x                    Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau 2 2 2 2 sin cos a b a x b x a b       từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng sin cos y a x b x   , sin cos sin cos a x b x y c x d x    và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác . THÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1: Giải phương trình: sin 2 3cos2 3 x x   Giải: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 8 Cách 1: Chia cả hai vế phương trình cho 2 2 1 3 10   ta được 1 3 3 sin 2 cos2 10 10 10 x x  Đặt 3 1 sin , cos 10 10     . Lúc đó phương trình viết được dưới dạng cos sin 2 sin cos2 sin sin(2 ) sin 2 2 , 2 2 2 x x x x x k x k k x k x k                                           Vậy phương trình có 2 nghiệm Cách 2: Ta nhận thấy cos 0 x  là nghiệm của phương trình Với cos 0 , 2 x x k k         . Đặt tan t x  , lúc đó 2 2 2 2 1 sin 2 , cos2 1 1 t t x x t t      Phương trình sẽ có dạng 2 2 2 2 2 2 1 3 3 2 3(1 ) 3(1 ) 3 1 1 t t t t t t t t             Hay tan 3 tan ,x x k k           Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng 2 sin 2 3(1 cos2 ) 2sin .cos 6cos cos 0 cos 0 (sin 3cos )cos 0 sin 3cos 0 tan 3 tan x x x x x x x x x x x x x                       , 2 x k k x k                Vậy phương trình có hai họ nghiệm Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau: Thí dụ 2: (Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội 2000) Giải phương trình sau:   2 2 sin cos cos 3 cos2 x x x x    Giải: Phương trình   2 2 sin cos cos 3 cos2 x x x x      2sin 2 1 cos2 3 2 x x     Ta có       2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 2 2 3 2 11 6 2 a b c                Ta sẽ chứng minh: 2 2 2 a b c   5 2 2 11 6 2       2 2 4 2 6 4 2 6     32 36   (đúng) Vậy phương trình vô nghiệm. Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau Thí dụ 3: Giải phương trình (1 3)sin (1 3)cos 2 x x     Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 9 Giải: Cách 1: Thực hiện phép biến đổi PT 1 3 1 3 2 1 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 x x                       Đặt 1 3 1 3 cos ; sin 2 2 2 2 x x     Phương trình được viết thành 1 sin .cos sin .cos sin( ) sin 4 2 x x x          2 2 4 4 , 3 2 2 4 4 x k x k k x k x k                                           Vậy phương trình có hai họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng (sin cos ) 3(sin cos ) 2 2 sin 6 cos 2 4 4 1 3 1 1 sin cos sin cos cos sin 2 4 2 4 4 3 4 3 2 2 2 2 312 4 sin sin 4 3 4 2 12 4 x x x x x x x x x x x k x k x x k x                                                                                                       , 5 2 6 k k             Vậy phương trình có hai họ nghiệm Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn. Bài trên cũng có thể sử dụng cách đặt tan 2 x t  và ta cũng thu được nghiệm chẵn Thí dụ 4: (ĐH – D 2007) Giải phương trình: 2 sin cos 3cos 2 2 2 x x x          Giải: Phương trình 2 2 sin 2sin cos cos 3cos 2 2 2 2 2 x x x x x      sin 3cos 1 x x    1 3 1 sin cos 2 2 2 x x    1 sin .cos cos .sin 3 3 2 x x      1 sin 3 2 x           2 2 3 6 6 , 5 2 2 3 6 2 x k x k k x k x k                                      Vậy phương trình có các nghiệm là 2 , 2 , 2 6 x k x k k            Chú ý: [...]... Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm x   và x  thoả mãn (2) 6 6 § 2: CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HỖN HỢP KĨ NĂNG 1: DỰA VÀO MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC CUNG Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản là một vấn đề rất “then chốt” trong việc giải phương. .. Vậy phương trình có hai nghiệm trên Email: Changngoc203@gmail.com Dạng 4: Dùng các phép biến đổi, các công thức lượng giác đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác Một số dạng thường gặp Dạng 1: Phương trình bậc hai theo sinx: a sin 2 x  b sin x  c  0 ( a  0; a, b, c   ) (1) Cách giải: Đặt t  sin x , điều kiện t  1 Đưa phương trình (1) về phương trình. .. nghiệm của phương trình hay không? Bước 2: Nếu cos x  0 Chia cả hai vế của phương trình trên cho cos n x ta sẽ được phương trình bậc n theo tan Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu THÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1: (ĐH – B 2008) Giải phương trình: sin 3 x  3 cos 3 x  sin x cos 2 x  3 sin 2 x cos x Giải: Nhận xét 1: Đây là phương trình đẳng cấp bậc 3 nên ta giải như sau Cách 1: ... cos x  1 thì phương trình (**) vô nghiệm nên sin x  0 Chia cả hai vế của (**) cho sin 3 x ta được phương trình 2 2 1  1  cot t  cot t 1  cot t   cot t  0 Với t   3  k  x   k , k   2 4 Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất, khoa...  Vậy phương trình có các nghiệm là x    k 2 ; x     k 2 , k   3 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 28 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Dạng 5: Tìm nghiệm phương trình thuộc miền nghiệm cho trước Khi giải phương trình lượng giác mà giả thiết yêu cầu tìm nghiệm trên một miền cụ thể nào đó ta tiến hành theo các bước sau Bước 1: Giải phương trình lượng giác bình... nghiệm của phương trình là x    k ; x   ,k  3 9 3 Vậy phương trình có ba nghiệm trên Chú ý: Cách khác xem ở Ví dụ 3 trang 23 Dạng 2: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x a Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x , cos x là phương trình a sin 2 x  b sin x.cos x  c cos 2 x  d (1) trong đó a, b, c, d   b Cách giải : Cách 1: Chia từng vế của phương trình (1)... bậc hai theo t, giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm x Dạng 2: Phương trình bậc hai theo cosx: a cos 2 x  b cos x  c  0 (a  0; a , b, c  ) (2) Cách giải: Đặt t  cos x điều kiện t  1 ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình bậc hai theo t, giải tìm trồi tìm x Dạng 3: Phương trình bậc hai theo tanx: a tan 2 x  b tan x  c  0 ( a  0; a, b, c   ) (3) Cách giải:  Điều kiện:...  2   Vậy phương trình có các nghiệm là x    k , x   k 2 , x  k 2 , k   4 2 Chú ý: Phương trình sin x  cos x  sin x cos x  1  0 Đây là phương trình đối xứng với sin và cos ngoài cách giải trên ta có nhận xét do các hệ số đều là 1 hoặc – 1 nên ta có thể nhóm về phương trình tích như sau sin x  cos x  sin x cos x  1  0  (sin x  1)  cos x(1  sin x)  0 Với phương trình thứ nhất...  t    ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo t, chú ý khi tìm được nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không Dạng 4: Phương trình bậc hai theo cotx: a cot 2 x  b cot x  c  0 ( a  0; a, b, c   ) (4) Cách giải: Điều kiện sin x  0  x  k , k   Đặt t  cot x (t  ) Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t Dạng 5: Phương trình dạng thuận... 1  (sin x  1)(1  cos x)  0    ,k   x    k 2 cos x  1  2 Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình sau về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên Bài toán 1: Giải phương trình a 2 tan x  b2 cot x  c(a sin x  b cos x), a b  0 Cách giải: a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x Phương trình có thể viết  c(a sin x  b cos x) sin x.cos x  (a sin x  b cos x)(a sin x  b cos x)  c(a sin x  . 2: Sử dụng công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác. Các phương pháp giải phương trình nói chung, tìm ra nghiệm của phương trình Bước 3: Đối. những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất, khoa học nhất. Thí dụ 4: Giải phương