(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên

(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên

Những không gian thường dùng

Không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 3

Trong phần này, chúng ta xây dựng một không gian với cấu trúc được gọi là cấu trúc tô pô Từ cấu trúc này, các khái niệm như giới hạn, lân cận, tập đóng và tập mở được hình thành Định nghĩa 1.1.1: Cho tập hợp X bất kỳ, một họ G các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu:

(i) Hai tập ∅, X đều thuộc họ G;

(ii) G kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn tập thuộc họ G thì cũng thuộc họ G;

(iii) G kín đối với phép hợp bất kì, tức là hợp của một số hữu hạn hay vô hạn tập thuộc họ G thì cũng thuộc họ G.

1) Tập X cùng với tôpô G trên X, gọi là không gian tôpô (X,G) (hay không gian tôpô X).

2) Các tập thuộc họ G gọi là tập mở.

3) Khi có hai tôpô G,G ′ trên X, nếu G ⊆ G ′ , ta nói tôpô G yếu hơn (thô hơn) tôpô G ′ hay tôpô G ′ mạnh hơn (mịn hơn) tôpô G Trường hợp không có quan hệ đó, ta nói hai tôpô không so sánh được. Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian tôpô (X,G), A ⊆X.

Tập con U của không gian X gọi là lân cận của A nếu U bao hàm một tập mở chứa A;

Lân cận của phần tử x ∈ X là lân cận của tập con {x}; Họ tất cả các lân cận của một điểm gọi là hệ lân cận của điểm đó.

Cho X, Y là hai không gian tôpô, Định nghĩa 1.1.3.

(i) Một ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của f(x) trong Y, đều tồn tại lân cận V của x trong X thỏa mãn f(V) ⊆ U.

(ii) Ánh xạ f gọi là liên tục trên không gian tôpô X nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc X.

Ta đưa ra định nghĩa về cơ sở của một tôpô như sau: Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian tôpô (X,G),

Cho x ∈ X, họ V x là tập hợp các lân cận của điểm x, được gọi là cơ sở địa phương của tôpô G tại điểm x Cơ sở lân cận tại x đảm bảo rằng với bất kỳ lân cận U nào của điểm x, luôn tồn tại một tập V ∈ V x sao cho x ∈ V ⊆ U.

(ii) Họ con các V các phần tử củaG được gọi là một cơ sở của tôpô G trên

X nếu mọi phần tử của G đều là hợp nào đó các phần tử thuộc V.

Một tiền cơ sở của tôpô G trên không gian X là tập hợp các phần tử M của G, trong đó các giao hữu hạn của các tập con thuộc M có thể tạo thành một cơ sở của tôpô G Không gian tôpô (X,G) được gọi là không gian Hausdorff nếu với bất kỳ hai điểm khác nhau x và y trong X, luôn tồn tại các lân cận U của x và V của y sao cho U và V không giao nhau (U ∩ V = ∅).

Một không gian có thể được trang bị đồng thời cấu trúc tôpô và cấu trúc đại số, và hai cấu trúc này liên quan đến nhau thông qua các phép tính đại số, tạo ra một cấu trúc mới Sự kết hợp này rất hữu ích trong việc nghiên cứu các bài toán.

Không gian X là một cấu trúc đại số, hay còn gọi là không gian véc tơ Một tôpô τ trên X được coi là tương thích với cấu trúc đại số của X nếu các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện nhất định liên quan đến cấu trúc này.

(ii) Một không gian véctơ tô pô trên trường K là một cặp (X, τ), trong đó

X là một không gian véctơ trên trường K, còn τ là một tôpô tương thích với cấu trúc đại số của X.

(iii) Mọi lân cận của gốc 0∈ X gọi là 0−lân cận hay vắn tắt là lân cận.

V là 0−lân cận thì ∀α ̸= 0, αV là một 0−lân cận.

Trong lĩnh vực không gian véctơ tôpô, không gian véctơ tôpô lồi địa phương đóng vai trò quan trọng Định nghĩa 1.1.7 nêu rõ rằng một không gian véctơ tôpô X được gọi là không gian véctơ tôpô lồi địa phương nếu tồn tại một cơ sở lân cận (của gốc) trong X, bao gồm toàn bộ các tập lồi.

Nón và ánh xạ đa trị

Nón

Định nghĩa 1.2.1 Cho Y là không gian tuyến tính và C ⊆ Y Ta nói rằng

C là một nón có đỉnh tại gốc (hay, gọi tắt là nón) trong Y nếu tc∈ C,∀c ∈

Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính, C là nón trong Y ta kí hiệu clC,intC,convC lần lượt là bao đóng, phần trong, bao lồi của nón C.

Ta thường quan tâm đến các loại nón sau đây: i) Nón C là nón lồi ( nón đóng) nếu tập C là tập lồi (tập đóng);

Ta kí hiệu l(C) =C ∩(−C) là phần trong tuyến tính của nón C, ii) Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0};

Với nón C đã cho, ta có thể xác định quan hệ thứ tự trong tập Y như sau: Đối với mọi x, y thuộc Y, x được xem là lớn hơn hoặc bằng y (ký hiệu x ⪰ y) nếu hiệu x - y thuộc C Nếu x - y thuộc C \ l(C), thì x được ký hiệu là lớn hơn y (x ≻ y) Cuối cùng, nếu x - y thuộc phần trong của C, thì x được ký hiệu là lớn hơn lớn hơn y (x ≫ y).

Nếu C là nón lồi, thì quan hệ thứ tự là tuyến tính và thể hiện quan hệ thứ tự từng phần trên Y Ngược lại, nếu C là nón nhọn, quan hệ này có tính phản đối xứng, tức là nếu x ⪰ y và y ⪰ x thì x phải bằng y Định nghĩa 1.2.2 nêu rõ rằng cho Y là không gian tuyến tính, Y ∗ là không gian tô pô đối ngẫu của Y, và < ξ, y > là giá trị của ξ ∈ Y ′ tại y ∈ Y.

C ′ ,nón đối ngẫu chặt C ′+ và nón đối ngẫu yếu C ′− của C được định nghĩa là

C ′− = {ξ ∈ Y ∗ :< ξ, c >>0, với mọi c ∈ intC}. Định nghĩa 1.2.3 i) Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y Tập con B ⊆ Y được gọi là tập sinh của nón C, (kí hiệu B = coneC) nếu

Tập C được định nghĩa là {tb|b ∈ B, t ≥0} Nếu tập B không chứa gốc và với mọi c ∈ C, c ̸= 0 đều tồn tại duy nhất b ∈ B sao cho c = tb, thì B được gọi là cơ sở của nón C Hơn nữa, nếu B là hữu hạn, nón C sẽ được xác định là nón lồi đa diện, ký hiệu là C = cone(convC).

Từ quan hệ thứ tự sinh bởi nón C trong không gian tôpô tuyến tính Y, ta có thể xác định một số loại điểm hữu hiệu cho tập con A của Y.

(i) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón

Tập điểm hữu hiệu lý tưởng củaAđối với nónC kí hiệu là IM in(A|C);

(ii) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của tập A đối với nón C nếu không tồn tại y ∈ A nào để x−y ∈ C\l(C).

Tập điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C kí hiệu là P M in(A|C) hoặc M in(A|C);

Điểm x ∈ A được xác định là điểm hữu hiệu yếu của tập A đối với nón C khi intC không rỗng và C không bằng Y, nếu x thuộc M in(A\ {0}|intC) Điều này có nghĩa là x là điểm hữu hiệu Pareto của tập A\ {0} liên quan đến nón intC.

Tập điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C kí hiệu là W M in(A|C) hay W M in(A);

(iv) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của tập A đối với nón

C nếu tồn tại nón lồi C˜ khác toàn không gian và chứa C \l(C) trong phần trong của nó sao cho x ∈ P M in(A|C˜).

Tập điểm hữu hiệu thực sự củaAđối với nónC kí hiệu làP rM in(A|C).

Từ định nghĩa trên ta có IM in(A|C) ⊆ P rM in(A|C) ⊆ M in(A|C) ⊆

Ánh xạ đa trị

Trong toán học, cho hai tập hợp tùy ý X và Y, ký hiệu 2Y là tập hợp các tập con của Y Định nghĩa ánh xạ đa trị F: X → 2Y là quá trình biến mỗi phần tử x ∈ X thành một tập con F(x) của Y.

Ánh xạ đơn trị F : X → Y được định nghĩa khi với mỗi x ∈ X, F(x) chỉ gồm một phần tử Đối với ánh xạ G : D → 2^Y, miền xác định, miền ảnh và đồ thị của G lần lượt được gọi là các tập hợp domG = {x ∈ D | G(x) ≠ ∅}.

Ta nhắc lại các khái niệm sau:

(i) Ánh xạ G được gọi là ánh xạ đóng (tương ứng, mở) nếu đồ thị Gr(G) của nó là tập con đóng (mở) trong không gian X ×Y;

(ii) Ánh xạ G được gọi là ánh xạ compắc nếu bao đóng clG(D) của G(D) là một tập compắc trong không gian Y ;

(iii) Ánh xạ G gọi là có nghịch ảnh mở nếu với mọi y ∈ Y, tập G −1 (y) {x ∈ D | y ∈ G(x)} là mở.

Nếu G(x) là tập đóng (compắc) với mọi x ∈ D thì ta nói ánh xạ G có giá trị đóng (tương ứng, compắc).

Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Ánh xạ đơn trị f từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y được coi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với mọi tập mở V chứa f(x) tồn tại tập mở U sao cho f(x′) ∈ V với mọi x′ ∈ U Đối với ánh xạ đa trị F : X → 2Y, f(x) ∈ V tương ứng với hai khả năng: F(x) ⊆ V hoặc F(x) ∩ V = ∅ Từ đó, khái niệm liên tục có thể được mở rộng từ ánh xạ đơn trị sang ánh xạ đa trị theo hai cách khác nhau, dẫn đến hai khái niệm hoàn toàn khác biệt: ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới Hai khái niệm này được giới thiệu lần đầu vào năm 1932 bởi B Bouligand và K Kuratowski, và sau đó được khảo sát kỹ lưỡng bởi Berge vào năm 1959.

F được gọi là nửa liên tục trên (dưới) tại điểm ¯x ∈ D nếu với mỗi tập mở V chứa F(¯x), tồn tại một lân cận mở U của ¯x sao cho F(x) nằm trong V (hoặc F(x) giao V không rỗng) với mọi x ∈ U Định nghĩa 1.2.8 nêu rõ rằng F được xem là usc (lsc) trên D nếu nó thỏa mãn tính chất usc (hoặc lsc) tại mọi điểm x ∈ D.

Các mệnh đề sau nêu lên các điều kiện cần, đủ để một ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới.

Bổ đề 1.2.9 Cho X và Y là các không tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X, F : D →2 Y là ánh xạ đa trị với giá trị compắc Khi đó

F là nửa liên tục dưới tại x ∈ D nếu và chỉ nếu với mọi y ∈ F(x) và với mọi dãy {x α } trong D hội tụ tới x, tồn tại dãy {y α }, y α ∈ F(x α ) với mọi α mà yα → y.

Bổ đề 1.2.10 Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở thì ánh xạ đó nửa liên tục dưới.

Bổ đề 1.2.11 Cho X và Y là các không gian véctơ tôpô Hausdorff , D ⊆

X, K ⊆ Y, F : D → 2 K là ánh xạ đa trị Nếu F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị đóng thì F là ánh xạ đóng Ngược lại nếu F là ánh xạ đóng và K là tập compắc, thì F là ánh xạ nửa liên tục trên.

Cho X và Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, các tập con khác rỗng D ⊆X, K ⊆ Y. Định nghĩa 1.2.12 Cho G : D → 2 Y là ánh xạ đa trị và C là nón trong

G được gọi là C-liên tục trên (dưới) tại x¯ ∈ dom G nếu với mọi lân cận V của gốc trong Y tồn tại lân cận U của x¯ sao cho

(G(¯x) ⊂ G(x) +V −C,tương ứng) với mọi x ∈ U ∩ domG. Định nghĩa 1.2.13 Cho F : K ×D ×D → 2 Y là một ánh xạ đa trị và

C : K ×D → 2 Y là ánh xạ nón đa trị (với mỗi (y, x) ∈ K ×D,C(y, x) là một nón trong Y).

(i) F được gọi là C-liên tục trên (dưới) tại điểm (¯y,x,¯ ¯t) ∈ dom F nếu với mọi lân cận V của gốc trong Y, tồn tại lân cận U của điểm (¯y,x,¯ ¯t) sao cho:

F(y, x, t) ⊆ F(¯y,x,¯ ¯t) + V +C(¯y,x)¯ (tương ứng, F(¯y,x,¯ ¯t) ⊆F(y, x, t) + V − C(¯y,x))¯ với mọi (y, x, t) ∈ U ∩ domF;

(ii) Nếu F đồng thời C–liên tục trên và C–liên tục dưới tại (¯y,x,¯ ¯t), ta nói F là C–liên tục tại (¯y,x,¯ ¯t);

(iii) Nếu F là C–liên tục trên, dưới, tại mọi điểm thuộc domF, ta nói F là C–liên tục trên, dưới, trên D;

Trong trường hợp ánh xạ nón C = {0} trong Y, F được gọi là liên tục trên, dưới thay vì {0}-liên tục trên, dưới F được coi là liên tục khi nó đồng thời liên tục trên và dưới.

Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị, khái niệmC–liên tục trên vàC–liên tục dưới là một và ta nói F là C–liên tục.

Kết quả của mệnh đề này được áp dụng trực tiếp để chứng minh sự tồn tại nghiệm cho bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp, như đã trình bày trong chương 3.

Bổ đề 1.2.14 Cho X, D và Y như trên, C ⊆ Y là nón và ξ ∈ C ′ , F :

Nếu F là ánh xạ đa trị C-liên tục với giá trị compact yếu khác rỗng, thì hàm f : D → R được định nghĩa bởi f(x) = max z∈F(x) < ξ, z > sẽ là nửa liên tục dưới tại điểm x0 ∈ domF.

Nếu F là ánh xạ đa trị C-liên tục trên một miền với giá trị compact yếu khác rỗng, thì hàm g : D → R được xác định bởi g(x) = min z∈F(x) < ξ, z > sẽ là nửa liên tục dưới (hoặc trên) tại điểm x₀ thuộc domF.

Bổ đề 1.2.15 khẳng định rằng, với các tập hợp X, D, C, F và Y cùng với ξ thuộc C', nếu F là ánh xạ đa trị C-lồi với giá trị compắc yếu khác rỗng, thì hàm f (tương ứng, g) được định nghĩa như trên sẽ là hàm lồi.

Khái niệm C-hemi liên tục được giới thiệu bởi Bianchi và Pini, sau đó được Hadjisavvas mở rộng cho các ánh xạ đơn trị Định nghĩa 1.2.16 nêu rõ rằng F và C là các ánh xạ đa trị từ D đến 2Y.

C-hemi liên tục mạnh trên (dưới) nếu với mọi x, t ∈ D, ta có:

Từ F(αx + (1 − α)t) ∩ C(αx + (1 − α)t) ̸= ∅,với mọi α ∈ (0,1) suy ra được rằng F(t) ∩ C(t) ̸= ∅ (tương ứng, F(αx+ (1 − α)t) ⊆

C(αx+ (1−α)t),với mọi α ∈ (0,1) suy ra được rằng F(t) ⊆C(t);

(ii) Cho F, C : D −→ 2 Y là các ánh xạ đa trị F là C-hemi liên tục yếu trên (dưới) nếu với mọi x, t ∈ D, ta có:

TừF(αx+(1−α)t) ̸⊆ −intC(αx+(1−α)t),với mọi α ∈ (0,1) suy ra được rằng,F(t) ̸⊆ −intC(t)(tương ứng,F(αx+(1−α)t)∩−intC(αx+

(1−α)t) =∅,với mọi α ∈ (0,1) suy ra được rằngF(t)∩ −intC(t) ∅ );

(iii) F được gọi là hemi liên tục trên (dưới) nếu với mọi x, t ∈ D, ánh xạ f : [0,1] −→ 2 Y định nghĩa bởi f(α) = F(αx+ (1 −α)t) là nửa liên tục trên (tương ứng, dưới).

Cho các ánh xạ F, C là hemi liên tục, mệnh đề sau đưa ra điều kiện đủ để F là C-hemi liên tục.

Bổ đề 1.2.17 khẳng định rằng nếu F và C là các hàm hemi liên tục với giá trị đóng, khác rỗng, và với mỗi x thuộc D, ít nhất một trong hai hàm F(x) hoặc C(x) là tập compact, thì ánh xạ F được coi là C-hemi liên tục mạnh.

Chứng minh rằng với mỗi x, t ∈ D cố định, các ánh xạ f và c từ [0,1] đến 2^Y, được định nghĩa bởi f(α) = F(αx + (1−α)t) và c(α) = C(αx + (1−α)t) với α ∈ [0,1], là nửa liên tục tại 0 Do đó, cho mọi lân cận V của gốc trong không gian Y, tồn tại một lân cận U của 0 trong [0,1] sao cho điều kiện cần thiết được thỏa mãn.

Nếu \( F(αx+(1−α)t)∩C(αx+(1−α)t) ̸= ∅ \) với mọi \( α ∈ (0,1) \), thì \( (F(t)+V)∩(C(t)+V) ̸= ∅ \) với mọi lân cận \( V \) của gốc trong \( Y \) Điều này dẫn đến \( F(t)∩(C(t)+2V) ̸= ∅ \) Từ \( F(t) \) (hoặc \( C(t) \)) là tập compact, suy ra \( F(t)∩C(t) ̸= ∅ \) Giả sử với mọi \( Vβ \), có \( aβ ∈ F(t)∩(C(t)+2Vβ) \), với \( aβ = bβ + vβ \) trong đó \( bβ ∈ C(t) \) và \( vβ ∈ Vβ \) Chọn \( Vβ \) sao cho \( ∩ β Vβ = {0} \), ta giả định rằng \( vβ \) tiến tới 0 khi \( β \) tiến tới 0 Từ \( aβ ∈ F(t) \) và \( F(t) \) compact, ta có thể giả định \( aβ \) tiến tới \( a ∈ F(t) \) khi \( β \) tiến tới 0, do đó \( bβ \) cũng tiến tới \( a \) và suy ra \( a ∈ F(t)∪C(t) \) Điều này hoàn thành chứng minh.

Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới 16

Đặt bài toán

Tất cả các bài toán trong trong lý thuyết tối ưu véc tơ đều qui được về bài toán tựa điểm bất động có dạng sau:

Cho X, Y, Z là các không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff,

D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con không rỗng Cho các ánh xạ đa trị P :

D × K → 2 D , Q : D × K → 2 K , F : K × D → 2 Y Bài toán: Tìm (x, y ∈ D ×K) sao cho

Bài toán tựa điểm bất động liên quan đến các ánh xạ ràng buộc P, Q và các ánh xạ mục tiêu G, H Khi lựa chọn các ánh xạ mục tiêu G, H một cách thích hợp, bài toán này trở thành sự mở rộng và tổng quát của nhiều bài toán tối ưu khác nhau, bao gồm bài toán tối ưu vô hướng, bài toán cân bằng vô hướng và bài toán cân bằng véc tơ.

Sự tồn tại điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới

đa trị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ phân tích các điều kiện cần thiết để đảm bảo sự tồn tại nghiệm cho bài toán tựa điểm bất động liên quan đến ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới yếu vô hướng G : D×K →2 X và H : D×K →2 X Mục tiêu của bài toán là tìm kiếm cặp (x, y) thuộc D × K thỏa mãn các điều kiện đã nêu.

Ta có định lý: Định lý 2.2.1 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:

1 D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;

2 P : D ×K → 2 D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; và Q : D ×K → 2 K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;

3 G là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng;

4 H là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;

5 Với mỗi (x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y), H(x, y) là tập khác rỗng, lồi, đóng và ∅ ̸= G(x, y) + (H(x, y)∩T P(x,y) (x)) ⊂T P(x,y) (x).

Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D ×K sao cho:

Xây dựng ánh xạ T : D ×K →2 D×K , xác định bởi

Dễ thấy T là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, compact Theo định lý điểm bất động Ky Fan, tồn tại (x, y) ∈ D ×K sao cho:

Do đó, B là tập khác rỗng Hơn nữa, vì T là u.s.c và có giá trị đóng nên B là tập đóng và cũng là tập compact.

Giả sử với mỗi (x, y) ∈ B,0 ∈/ G(x, y) +H ∗ (x, y) Lấy v ∈ G(x, y) Do

H(x, y) là tập khác rỗng, lồi, đóng nên H(x, y)−v¯ cũng là tập khác rỗng, lồi, đóng và 0 ∈/ (H ∗ (x, y)) Theo định lý Hahn - Banach, tồn tại p ∈ X ∗ sao cho: p(v) + sup w∈H ∗ (x,y) p(w) < 0.

Suy ra v∈co(G(x,y))inf p(v) + sup w∈H ∗ (x,y) p(w) < 0.

Khi đó, ta xác định các ánh xạ c 1 p (., ) : D ×K → R, c 2 p (., ) : D ×K → R bởi c 1 p (x ′ , y ′ ) = inf v∈co(G(x ′ ,y ′ ))p(v); c 2 p (x ′ , y ′ ) = sup w∈H ∗ (x ′ ,y ′ ) p(w).

Khi đó, c 1 p , c 2 p đều là các ánh xạ u.s.c trên D ×K, do đó tập

U p (x, y) ={(x ′ , y ′ ) ∈ D ×K|c 1 p (x ′ , y ′ ) +c 2 p (x ′ , y ′ ) < 0} là tập mở Vì (x, y) ∈ U p (x, y) nên U p là một lân cận mở khác rỗng của (x, y) Do đó, với mỗi (x, y) ∈ B, tồn tại p ∈ X ∗ sao cho:

U p (x, y) ={(x ′ , y ′ ) ∈ D ×K|c 1 p (x ′ , y ′ ) +c 2 p (x ′ , y ′ ) < 0} là tập mở khác rỗng Suy ra {U p } p∈X ∗ là họ các phủ mở của tập B.

Mặt khác, vì B là tập compact nên tồn tại hữu hạn các ánh xạp 1 , , p s ∈

Hơn nữa, B là tập đóng trong D ×K, U p 0 = D ×K\B là tập mở trong

D ×K nên {U p 0 , U p 1 , , U p s } là họ phủ mở của tập compact D ×K. Theo định lý phân hoạch đơn vị, tồn tại các hàm ψ i :D ×K → R,(i 0,1, , s) sao cho:

3 Với mỗi i ∈ {0,1, , s}, tồn tại j(i) ∈ {0,1, , s} sao cho suppψi ⊂

Mặt khác, ta định nghĩa ánh xạ ϕ : K ×D ×D →R bởi ϕ(y, x, t) s

Khi đó, ϕ là hàm liên tục trên K × D × D Ngoài ra, với mỗi điểm (x, y) ∈ D × K cố định, ϕ(y, x, ) : D → R là một hàm tuyến tính và ϕ(y, x, x) = 0 với mọi (x, y) ∈ D ×K.

Vì D, K, P, Q và ánh xạ ϕ thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.1 nên dễ dàng chỉ ra tồn tại (x, y) ∈ D×K sao cho (x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y) và ϕ(y, x, t) ≥ 0 với mọi t ∈ P(x, y) Suy ra s

Từ giả thiết (5) có ∅ ̸= G(x, y) + (H(x, y) ∩ T P(x,y) (x)) ⊂ T P (x,y) (x), nên p ∗ (v) +p ∗ (w) ≥ 0, với mọi v ∈ coG(x, y), w ∈ H(x, y)∩ T P (x,y) (x).

Suy ra inf v+w∈coG(x,y)+(H (x,y)∩T P(x,y) (x))p ∗ (v +w) ≥ 0 (2.3.2) Mặt khác, đặt I(x, y) ={i ∈ {0,1, , s}|ψ i (x, y) > 0}

P i=1 ψ i (x, y) = 1 nên I(x, y) ̸= ∅ Do đó, với mỗi i ∈

I(x, y), (x, y) ∈ suppψ i ⊂ U p j(i) ta có c 1 p j(i) (x, y) + c 2 p j(i) (x, y) < 0 (2.3.3) Với mỗi v ∈ coG(x, y), w ∈ H(x, y), ta có p ∗ (v +w) s

Đặt \( C = co\{p_j(1), \ldots, p_j(s)\} \) và \( E = co(G(x, y)) + H(x, y) \) Với hàm \( f(p, u) = p(v) + p(w) \) và \( u = v + w \), sử dụng tô pô yếu trên \( X^* \), chúng ta thấy rằng nó thỏa mãn các điều kiện trong định lý minimax của Sion Do đó, ta có thể viết lại biểu thức là: \[\inf_{u \in coG(x,y) + (H(x,y) \cap T P(x,y)(x))} \max_{i \in I(x,y)} p_j(i)(u).\]

Từ (2.3.4) và (2.3.5) suy ra u∈coG(x,y)+(H(x,y)∩Tinf P (x,y) (x))p ∗ (u) < 0 (2.3.6)

Ta thấy (2.3.2) mâu thuẫn với (2.3.6) Vậy định lý được chứng minh.

Theo Định lý 2.2.1, có một hệ quả quan trọng về điểm bất động của ánh xạ đa trị, liên quan đến tổng của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng Hệ quả này mở rộng định lý Ky Fan và định lý Brouwer - Ky Fan, góp phần làm phong phú thêm lý thuyết về điểm bất động trong không gian toán học.

Hệ quả 2.2.2 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:

1 D là tập con khác rỗng, lồi, compact của X;

2 G 0 , H 0 : D →2 D là các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng; G 0 là l.s.c và H 0 là u.s.c với giá trị lồi, đóng;

Khi đó, tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ G 0 (x) + H 0 (x)

Chứng minh Hệ quả này được suy ra trực tiếp bằng cách đặt P(x, y) Q(x, y) = D, G(x, y) =G 0 (x), H(x, y) =H 0 (x) với mọi (x, y) ∈ D ×K.

Hệ quả 2.2 là sự tổng quát hóa của định lý Ky Fan và định lý Brouwer -

Một số ứng dụng

Trong các phần trước, chúng tôi đã trình bày các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại nghiệm của các bài toán tối ưu và các bất đẳng thức liên quan Ở phần này, chúng tôi sẽ xem xét các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán không điểm, liên quan đến ánh xạ đa trị F = G + H, trong đó G là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và H là ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng Định lý 2.3.1 sẽ được nêu ra dựa trên các điều kiện được thỏa mãn.

1 D, K là các tập lồi, compact, khác rỗng;

2 P : D ×K → 2 D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng;

3 Q :D ×K → 2 K là ánh xạ u.s.c với giá trị lồi, đóng, khác rỗng;

5 H là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;

Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ G ∗ :D ×K → 2 X xác định bởi

Khi đó, với mọi (x, y) ∈ D ×K, G ∗ là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng Khi đó, ta có điều phải chứng minh.

2 P : D ×K → 2 D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;

3 Q :D ×K → 2 K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;

5 H là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị lồi, đóng;

Chứng minh Ta giả sử rằng G(x, y) + H(x, y) ̸= ∅, với mọi (x, y) ∈

P(x, y)×Q(x, y) Suy ra, với mọi(x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y), hoặcG(x, y) ̸∅ hoặc H(x, y) ̸= ∅ Do đó, (G(x, y) − x) + (H(x, y) ∩ T P (x,y) (x)) ⊂

Ta thấy điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh.

2 P : D ×K → 2 D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi,đóng;

4 G :D ×K → 2 X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng;

Chứng minh Giả sử với mọi G(¯x,y)¯ ̸= ∅,∀(x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y), ta xác định ánh xạ G˜ : D ×K →2 X ,H˜ :D ×K → 2 Z :

Khi đó,G(x, y)˜ ̸= ∅∀(x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y)vàG(x, y)˜ ∈ T P (x,y) (x),H˜(x, y)− y = 0 ∈ T Q(x,y) (y) Chúng ta kết luận được G(x, y)˜ là ánh xạ đa trị l.s.c và G(x, y)˜ ̸= ∅∀(x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y) Hơn nữa, với (¯x, by)¯ ∈ D ×K, sao cho:

3 x ∈ G(x, y). Điều đó là mâu thuẫn, vậy ta có điều phải chứng minh.

2 P : D ×K → 2 D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;

4 H : D ×K →2 Z là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng;

Chứng minh Giả sử với mọi H(x, y) ̸= ∅,∀(x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y), ta xác định ánh xạ G˜ : D ×K →2 X ,H˜ :D ×K → 2 Z :

Khi đó,H˜(x, y) ̸= ∅,∀(x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y)vàH˜(x, y) ⊂ T Q(x,y) (y) ̸= ∅. Chúng ta kết luận đượcH˜(x, y)là ánh xạ đa trị u.s.c vàH˜(x, y) ̸= ∅∀(x, y) ∈

P(x, y)×Q(x, y) Hơn nữa, với (¯x, by)¯ ∈ D ×K, sao cho:

3 x ∈ H(x, y). Điều đó là mâu thuẫn, vậy ta có điều phải chứng minh.

2.3.1 Bài toán cân bằng tổng quát và sự tồn tại nghiệm của bài toán

Cho X, Z và Y là các không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Haus- dorff,D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập con khác rỗng Cho các ánh xạS :D×K →

F 1 : K×D×D×D →2 Y , F : K ×D×D → 2 Y , ta xét các bài toán sau:A/ Tìm (¯x,y)¯ ∈ D×K sao cho

3/ 0 ∈ F 1 (¯y,x,¯ x, z),¯ với mọi z ∈ S(¯x,y).¯ bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I.

Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II.

Trong bài toán trên, ta gọi các ánh xạ S, T, P 1 , P 2 và Q là các ràng buộc,

F 1 và F là các ánh xạ mục tiêu, bao gồm đẳng thức, bất đẳng thức, và các quan hệ trong không gian tích Nghiên cứu về bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I đã được thực hiện trong luận văn của tiến sĩ Trương Thị Thùy Dương Chương này tập trung vào việc khảo sát sự tồn tại nghiệm cho bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II, đưa ra một số điều kiện đủ để đảm bảo sự tồn tại nghiệm Từ các kết quả đạt được, chúng tôi cũng có thể rút ra những kết quả cho các bài toán liên quan khác Định lý 2.3.5 chỉ ra rằng các điều kiện nêu dưới đây là đủ để bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II có nghiệm.

(i) D là tập con lồi, compắc, khác rỗng;

(ii) Ánh xạ đa trị P 1 : D → 2 D có tập điểm bất động D 0 = {x ∈ D| x ∈

(iii) Ánh xạ đa trị P 2 : D →2 D có P 2 −1 (x) mở và bao lồi coP 2 (x) của P 2 (x) chứa trong P 1 (x) với mọi x ∈ D;

(iv) Với mỗi t∈ D cố định, tập

B = {x ∈ D| 0 ∈/ F(y, x, t), với một vài y ∈ Q(x, t) nào đó } mở trong D;

(v) F : K ×D ×D → 2 Y là ánh xạ đa trị Q−KKM.

Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : D → 2 D xác định bởi

Ta thấy rằng nếu có x¯∈ D,x¯ ∈ P 1 (¯x), mà M(¯x)∩P 2 (¯x) = ∅, thì

Để chứng minh định lý, ta cần chỉ ra rằng tồn tại một điểm x¯ thỏa mãn điều kiện 0∈ F(y,x,t) với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t) Giả sử ngược lại, tức là với mọi x ∈ P1(x), ta có M(x)∩ P2(x) ̸= ∅ Từ đó, ta định nghĩa ánh xạ đa trị H : D → 2D.

P 2 (x), trong các trường hợp còn lại

Giả sử H(x) ̸= ∅, với mọi x ∈ D, ta có D = S x∈D H −1 (x).

H −1 (x) được định nghĩa là (coM) −1 (x)∩(coP 2 ) −1 (x)∪(P 2 −1 (x)\D 0 ), trong đó D 0 = {x ∈ D : x ∈ P 1 (x)} là một tập con đóng trong D Do đó, H −1 (x) là tập mở trong D với mọi x ∈ D Hơn nữa, nếu tồn tại một điểm x¯ ∈ D sao cho x¯∈ H(¯x) = coM(¯x)∩coP2(¯x), thì có thể xác định các điểm t1, , tn ∈ M(¯x) để x¯ n.

1 α i = 1 Từ định nghĩa của M, ta có

0∈/ F(y, x, t i ), với một vài y ∈ Q(x, t i ) với mọi i = 1, , n.

Mặt khác, từ giả thiết F là ánh xạ Q−KKM, tồn tại chỉ sốj ∈ {1, , n}sao cho

Trong bài viết này, chúng ta xem xét mâu thuẫn khi 0∈ F(y, x, tj) với mọi y ∈ Q(x, tj) Điều này dẫn đến kết luận rằng với mỗi x ∈ D, x không thuộc H(x) Từ đó, suy ra tồn tại x¯∈ D sao cho H(¯x) = ∅ Nếu x không thuộc P 1 (¯x), thì H(¯x) và P 2 (¯x) đều bằng không, điều này không xảy ra Do đó, chúng ta có x¯∈ P 1 (¯x) và H(¯x) = coM(¯x)∩coP 2 (¯x) = ∅.

Từ mâu thuẫn này, định lý được chứng minh.

Giảm nhẹ điều kiện cho ánh xạ P 2 , bài toán trên vẫn có nghiệm Ta có định lý sau, Định lý 2.3.6 Nếu các điều kiện sau xảy ra:

(i) D là tập con lồi, compắc, khác rỗng;

(ii) P 1 : D → 2 D có tập điểm bất động D 0 = {x ∈ X| x ∈ P 1 (x)} in D khác rỗng và đóng;

(iii) P 2 nửa liên tục dưới với giá trị khác rỗng và với mỗi x ∈ D, P 1 (x) chứa bao lồi coP2(x) của P2(x);

(iv) Với mỗi t∈ D cố định, tập hợp

B = {x ∈ D| 0∈/ F(y, x, t), với vài y ∈ Q(x, t) nào đó mở trong D;

(v) F : K ×D ×D → 2 Y là ánh xạ Q−KKM, thì bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II có nghiệm.

Chứng minh Cho U là cơ sở lân cận lồi đóng của gốc trong không gian X. Với mọi U ∈ U, ta định nghĩa ánh xạ đa trị P 1U , P 2U : D → 2 D xác định bởi

Ta dễ dàng chứng minh được rằng P 2U −1 (t) là tập mở trong D với mọi t∈ D và bao lồi coP 2U (x) của P 2U (x) được bao hàm trong P 1U (x) với mọi x ∈ D.

Vì vậy, P 1U , P 2U , Q và F thỏa mãn tất cả các điều kiện, cho nên tồn tại ¯ x U ∈ D để ¯ xU ∈ P1(¯xU) và

Bởi tính compắc của D, không giảm tính tổng quát, ta giả sử rằng x¯U hội tụ tới x¯khi U giảm Tính đóng của P1 suy ra x¯ ∈ P1(¯x) Cho t∈ P2(¯x) tùy ý Tập hợp

B = {x ∈ D| 0∈/ F(y, x, t), với một vài y ∈ Q(x, t) nào đó} mở trong D và do vậy tập

A= {x ∈ D| 0 ∈ F(y, x, t), với mọi y ∈ Q(x, t)} là tập đóng trong D Từ x¯ U ∈ A và x¯ U hội tụ tới x¯, ta có x¯ ∈ A Như vậy

Hệ quả 2.3.7 được thiết lập dưới các điều kiện sau: i) D và K là các tập hợp lồi, compact và khác rỗng; ii) P là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng và khác rỗng; iii) Đối với mỗi t ∈ D cố định, tập

B = {x ∈ D| 0 ∈/ F(y, x, t), với một vài y ∈ Q(x, t) nào đó} mở trong D; iv) F :K ×D ×D →2 Y là ánh xạ đa trị Q−KKM.

Khi đó, bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II có nghiệm.

Trong luận văn này, tôi nghiên cứu bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên, đồng thời xem xét sự tồn tại của nghiệm cho bài toán này Các kết quả chính được trình bày trong nghiên cứu.

1) Trình bày về khôg gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdoff, nón, ánh xạ đa trị.

2) Giới thiệu về bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên, chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán qua định lí 2.2.1.

3) Giới thiệu một số ứng dụng trong các bài toán liên quan.

Định dạng
Số trang	37
Dung lượng	293,86 KB