PHẦN MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Toán học là một ngành khoa học tự nhiên có mối liên hệ chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khác Nó không chỉ đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu khoa học mà còn được ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống hàng ngày của mỗi người.
- Mục tiêu của dạy học toán học trong cuộc sống là:
+ Trang bị cho học sinh những kiến thức về toán học.
+ Rèn luyện kỹ năng toán học
+ Phát triển tư duy toán học cho học sinh đồng thời hình thành và phát triển nhân cách cho học sinh.
Là một giáo viên dạy toán tại trường THCS, tôi nhận thấy rằng việc phát triển tư duy toán học cho học sinh, đặc biệt là những em khá giỏi, rất quan trọng Để hình thành kỹ năng giải bài tập toán, giáo viên cần giúp học sinh khai thác và mở rộng kết quả từ các bài tập cơ bản Việc xâu chuỗi các bài toán sẽ giúp học sinh khắc sâu kiến thức, tạo lối mòn tư duy và khuyến khích tìm tòi những kết quả mới từ các bài toán ban đầu.
Trong thực tế, việc khai thác các bài toán liên quan vẫn chưa được thực hiện thường xuyên trong giảng dạy Nhiều giáo viên chưa hình thành thói quen sử dụng một chuỗi bài toán có đặc điểm tương tự, dẫn đến việc học sinh khó nhận ra mối liên hệ giữa các kiến thức đã học Khi chỉ tập trung vào việc tìm ra kết quả, học sinh không phát triển được tư duy đặt câu hỏi về các bài toán tương tự mà họ đã gặp Điều này khiến cho việc bắt đầu giải một bài toán mới trở nên khó khăn, vì học sinh không biết cần vận dụng kiến thức nào và không xác định được các bài toán liên quan có thể áp dụng.
Trong quá trình dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi, việc mở rộng các bài toán quen thuộc thành bài toán mới và tìm kiếm các phương pháp giải khác nhau là rất hiệu quả Bắt đầu từ những bài toán đơn giản đến phức tạp giúp học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích và trình bày lời giải, đồng thời nâng cao năng lực tư duy của các em.
Để giúp học sinh lớp 8 trường THCS An Bình huyện Phú Giáo vượt qua khó khăn trong việc giải toán hình học, tôi đã tổng hợp một số kinh nghiệm và đề xuất các giải pháp nhằm phát triển kỹ năng giải toán hình học cho các em.
Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
2.1 Mục tiêu của đề tài
Để giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ giữa các bài toán hình học từ đơn giản đến phức tạp, bài viết giới thiệu các bài toán lạ được chuyển đổi từ bài toán gốc dễ giải Điều này cho phép học sinh tự làm và trình bày những bài giải khó và thú vị, từ đó phát triển kỹ năng giải toán Qua đó, học sinh sẽ rèn luyện khả năng phân tích, dự đoán và liên kết kiến thức, khuyến khích sự tìm tòi trong cách giải, giúp phát huy tư duy linh hoạt và nhạy bén khi giải quyết bài toán Mục tiêu cuối cùng là tạo ra niềm đam mê và hứng thú trong việc giải toán hình học.
2.2 Nhiệm vụ của đề tài
Giáo viên đã hướng dẫn học sinh từ một bài toán sách giáo khoa toán lớp 8, giúp các em hình thành phương pháp giải tổng quát Phương pháp này cho phép học sinh áp dụng để giải quyết các bài tập khó và thú vị khác, dựa trên kết quả của bài toán gốc cũng như những bài toán đã học trước đó.
Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh hai lớp 8A1 và 8A2 trường THCS An Bình – huyện Phú Giáo – tỉnhBình Dương.
Giới hạn phạm vi nghiên cứu
- Đề tài được nghiên cứu và áp dụng trong chương trình hình học lớp 8.
Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu tình hình học tập của học sinh.
- Cách hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua các tiết luyện tập
- Học hỏi kinh nghiệm thông qua dự giờ, rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp.
- Phương pháp đọc sách và tài liệu
- Nói chuyện cởi mở với học sinh, tìm hiểu suy nghĩ của các em về chứng minh và trình bày bài toán chứng minh hình học
Triển khai nội dung đề tài và tiến hành kiểm tra, đối chiếu kết quả học tập của học sinh từ đầu năm học đến cuối năm học, so sánh với các năm học trước để đánh giá sự tiến bộ và hiệu quả trong quá trình giảng dạy.
PHẦN NỘI DUNG
Cơ sở lí luận
Chương trình sách giáo khoa đã trải qua nhiều thay đổi đáng kể, đặc biệt trong những năm gần đây Việc giảm tải và điều chỉnh khung phân phối chương trình không chỉ ảnh hưởng đến nội dung học tập mà còn làm thay đổi cách nhìn, phương pháp học và dạy của cả giáo viên lẫn học sinh.
Trong bối cảnh hiện nay, môn toán cũng chịu ảnh hưởng từ xu hướng chung Để dạy và học hiệu quả phân môn hình học, đặc biệt là hình học lớp 8, cả giáo viên và học sinh cần nỗ lực nghiên cứu và tìm hiểu tài liệu một cách sâu sắc, do nội dung kiến thức khá phong phú và phức tạp.
Việc áp dụng kiến thức hình học cho học sinh thường gặp khó khăn, do đó giáo viên cần xây dựng các bài tập phát triển từ một bài toán gốc Điều này giúp học sinh dần dần làm quen với các dạng bài tập phức tạp hơn Một số chủ đề trong chương trình toán lớp 8 như tứ giác, diện tích đa giác, diện tích các đa giác đặc biệt, bất đẳng thức và bất đẳng thức cosi có thể được sử dụng để thiết kế các bài tập từ dễ đến khó, nhằm hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập.
Thực trạng
Trường THCS An Bình, tọa lạc trên đường ĐT 741 thuộc xã An Bình, huyện Phú Giáo, tỉnh Bình Dương, được thành lập vào năm 1992 và đã trải qua nhiều giai đoạn phát triển Từ năm 1997, trường trực thuộc Phòng GD&ĐT huyện Tân Uyên và đến năm 1999 chuyển về Phòng GD&ĐT huyện Phú Giáo Trường có 3 dãy phòng học với đầy đủ cơ sở vật chất và phòng chức năng Sự quan tâm của lãnh đạo, niềm tin của phụ huynh cùng với đội ngũ giáo viên nhiệt huyết đã tạo nên một địa chỉ giáo dục uy tín tại xã An Bình Đặc biệt, trường luôn nhạy bén với sự phát triển của công nghệ thông tin, góp phần vào thành công chung.
Học sinh trường chủ yếu là dân tộc Kinh, có trình độ học vấn cao và khả năng tư duy độc lập tốt, nên việc triển khai các chuyên đề nâng cao cho các em diễn ra thuận lợi Các em nhanh chóng tiếp thu kiến thức mới một cách hiệu quả.
- Đa số phụ huynh học sinh rất quan tâm đến vấn đề học tập của học sinh
Xã An Bình, nằm giáp ranh với xã Tân Lập thuộc huyện Đồng Phú, tỉnh Bình Phước, gặp khó khăn trong việc tổ chức các buổi học thêm cho học sinh do khoảng cách xa trường và điều kiện di chuyển khó khăn Điều này đã ảnh hưởng đến việc triển khai các chuyên đề và chương trình nâng cao cho học sinh trong khu vực.
Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc học hình học vì không thể ghi nhớ và kết nối các kiến thức với nhau Việc không chú trọng học định nghĩa, khái niệm, tính chất và dấu hiệu nhận biết trong các tiết lý thuyết là nguyên nhân chính dẫn đến tình trạng này Đây là những kiến thức quan trọng mà học sinh cần nắm vững trước khi thực hành làm bài tập.
Khối lớp 8 của trường THCS An Bình có nhiều học sinh khá giỏi, tạo điều kiện thuận lợi cho việc triển khai chuyên đề Sự tiếp thu kiến thức mới và kiến thức khó của các em diễn ra hiệu quả, giúp các em nhanh chóng nắm bắt nội dung học tập.
Chuyên đề được triển khai cho toàn bộ học sinh khối 8, tuy nhiên, một số em vẫn chưa chú trọng đầu tư và nghiên cứu, dẫn đến việc chưa nắm vững nội dung và phương pháp mà giáo viên đã truyền đạt.
Chuyên đề áp dụng bài toán cơ bản trong sách giáo khoa lớp 8 giúp học sinh khá giỏi tiếp thu nhanh và vận dụng hiệu quả vào các bài tập nâng cao Nhờ đó, khả năng phát triển tư duy logic của học sinh được cải thiện rõ rệt.
Học sinh trung bình và yếu gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết các bài toán nâng cao, dẫn đến chất lượng đại trà chưa được cải thiện đáng kể.
2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động
Trong quá trình học toán, học sinh thường gặp khó khăn trong việc hiểu rõ lý thuyết, dẫn đến sự mơ hồ về các định nghĩa, khái niệm, định lý và công thức Điều này khiến cho việc áp dụng kiến thức vào giải bài tập trở nên khó khăn.
Trong hình học, việc giải quyết các bài tập chứng minh và tính toán đòi hỏi sự chú ý và cẩn trọng từ học sinh Nếu không tập trung hoặc xem nhẹ, học sinh có thể dễ dàng mắc sai lầm hoặc rơi vào tình trạng bế tắc.
Học sinh tại trường chủ yếu là con em từ các gia đình nông thôn, điều này dẫn đến việc các em không có nhiều thời gian cho việc học tập, từ đó ảnh hưởng đến chất lượng học tập của các em.
2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trang mà đề tài đã đặt ra
Khối lớp 8 hiện có số lượng học sinh khá giỏi còn hạn chế so với các khối lớp khác, dẫn đến sự không đồng đều về nhận thức và học lực Điều này tạo ra khó khăn cho giáo viên trong việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp Bên cạnh đó, nhiều học sinh gặp khó khăn về mặt vật chất lẫn tinh thần, khiến cho việc đầu tư thời gian và sách vở cho học tập bị hạn chế, ảnh hưởng đáng kể đến sự phát triển và nhận thức của các em.
- Sau khi nhận lớp và dạy một thời gian tôi đã tiến hành điều tra cơ bản thì thấy:
Trong lớp 8A1, có khoảng 71.8% học sinh gặp khó khăn trong việc giải quyết và trình bày các bài toán hình học, trong khi chỉ có khoảng 25% học sinh nắm vững kiến thức và biết áp dụng vào bài tập Đáng chú ý, chỉ có 3.2% học sinh có khả năng kết hợp các kiến thức và kỹ năng để giải các bài toán phức tạp được biến đổi từ những bài toán quen thuộc.
Trong lớp 8A2, khoảng 65% học sinh gặp khó khăn trong việc giải bài tập và trình bày giải hoặc chứng minh hình học Chỉ có khoảng 35% học sinh nắm vững kiến thức và có khả năng áp dụng vào bài tập Đặc biệt, chỉ khoảng 6,5% học sinh có khả năng phối hợp các kiến thức và kỹ năng để giải quyết các bài toán phức tạp được biến đổi từ bài toán quen thuộc.
- Số học sinh trung bình và yếu, kém tập trung ở cả hai lớp nên gây khó khăn trong quá trình giảng dạy.
Giải pháp thực hiện
3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp
Để hình thành kỹ năng giải và trình bày bài toán hình học cho học sinh, cần bắt đầu từ những bài toán đơn giản Việc tăng dần lượng kiến thức sẽ giúp học sinh chuyển từ những bài toán đã quen thuộc sang những bài toán phức tạp hơn, từ đó nâng cao khả năng tư duy và giải quyết vấn đề của các em.
Để giúp học sinh cảm thấy thoải mái trong việc giải và trình bày bài tập hình học, giáo viên cần tạo ra một môi trường học tập thân thiện và khuyến khích Sau khi giảng giải, giáo viên nên khuyến khích học sinh tự giải và tự trình bày bài tập của mình, từ đó phát triển khả năng tư duy và tự tin trong môn học này.
- Giáo viên đóng vai trò là người hướng dẫn, dẫn dắt học sinh tìm ra lời giải bài toán, học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức.
Giáo viên cần xây dựng một môi trường thân thiện và gần gũi với học sinh, tránh sự xa cách và áp đặt Điều này giúp học sinh cảm thấy thoải mái và không sợ hãi khi học Việc dạy và học cần phải thực tế, khuyến khích sự chân thật ngay từ đầu mà không áp đặt những quan điểm chủ quan.
3.2 Nội dung và cách thực hiện
Xuất phát từ bài 18 trang 121 Sgk toán 8 tập 1:
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Chứng minh rằng: S AMB = S AMC
Bài toán trên ta dễ chứng minh được.
Chúng ta sẽ dễ dàng giải được bài toán sau:
Bài toán 1: ABC vuông tại A, AM là trung tuyến Gọi P, Q là hình chiếu của M trên AC, AB Chứng minh rằng: SAQMP 1
Dễ thấy P, Q lần lượt là trung điểm của AC,
AB Áp dụng bài toán trên ta có:
Ta thấy nếu điểm M di chuyển trên BC thì S AQMP cũng sẽ thay đổi và thay đổi như thế nào Ta có bài toán sau:
Bài toán 2: Trong tam giác ABC vuông tại A, M là điểm di chuyển trên cạnh BC P và Q là các hình chiếu của điểm M trên các cạnh AC và AB Câu hỏi đặt ra là: Tại vị trí nào của điểm M trên BC thì diện tích SAQMP đạt giá trị lớn nhất?
Phân tích bài toán: Ta thấy S ABC không đổi Vậy S AQMP lớn nhất khi và chỉ khi
S ABC lớn nhất Từ đó ta có cách giải:
Ta có SAQMP = AQ MQ; SABC 1
Dấu “=” xảy ra x = y M là trung điểm của BC.
Vậy SAQMP đạt giá trị lớn nhất bằng
2SABC khi M là trung điểm của BC.
Mặt khác: S APMQ = S ABC – ( S BQM + S CPM ) Vậy diện tích tứ giác APMQ lớn nhất khi và chỉ khi S BQM + S CPM nhỏ nhất tỉ số
nhỏ nhất Từ đó ta có cách giải khác:
Ký hiệu SABC = S; SBQM = S1; SMPC = S2.
Do đó SAQMP lớn nhất S1 + S2 nhỏ nhất
Ta có: QM // AC => BQM BAC ∽ =>
. Dấu “=” xảy ra x = y M là trung điểm của BC.
Và ta dễ thấy: CPM ∽ MQB
CP QB AP.AQ = (PM.MQ) 2 ( Vì AP = MQ; AQ =PM)
Nên ta có cách giải khác:
Cách 3: Dễ thấy AQMP là hình chữ nhật
Ta có: AC = AP + PC 2 AP PC ( BĐT côsi)
AB = AQ + QB 2 AQ QB (BĐT côsi)
AC AB 4 AP PC AQ QB
Ta lại có: CPM ∽ MQB (g.g)
CP QB AP.AQ = (PM MQ) 2 ( Vì AP = MQ; AQ =PM)
Suy ra: AC AB 4 PM MQ
S khi PC = CA và QA = QB hay M là trung điểm của BC.
Để xác định vị trí điểm M nhằm tối đa hóa diện tích APMQ trong bài toán 2, cần phân tích mối liên hệ giữa diện tích APMQ và diện tích tam giác ABC.
Nếu điểm E đối xứng với điểm M qua AB và điểm F đối xứng với điểm M qua AC, thì ba điểm E, A, F sẽ thẳng hàng Ngoài ra, diện tích tam giác MEF gấp hai lần diện tích tứ giác AQMP Từ đó, ta có thể phát biểu một bài toán mới dựa trên những mối quan hệ này.
Trong bài toán 2.1, cho tam giác ABC vuông tại A, với M di chuyển trên cạnh BC Điểm E và F được xác định là điểm đối xứng của M qua các cạnh AB và AC Mục tiêu là xác định vị trí của điểm M sao cho diện tích của tam giác MEF đạt giá trị lớn nhất.
Dễ dàng chứng minh được EAQ = MAQ
Và MAP = FAP nên ta có: EAF 180 0
Và SAEQ = SMAQ ; SAMP = SFAP
Suy ra SFEM = 2SAQMP Đến đây ta giải giống bài toán 2.
Bằng phương pháp tổng quát hóa, chúng ta có thể thay thế tam giác vuông ABC tại A bằng bất kỳ tam giác ABC nào Trong trường hợp này, các điểm P và Q sẽ là giao điểm của các đường thẳng đi qua M và song song với AB và AC Thay vì tìm vị trí của điểm M để tối đa hóa diện tích tứ giác APMQ, chúng ta sẽ chứng minh rằng diện tích S APMQ luôn nhỏ hơn hoặc bằng một giá trị nhất định.
Bài toán 2.2 yêu cầu chứng minh một mệnh đề liên quan đến tam giác ABC Cụ thể, cho tam giác ABC và điểm M bất kỳ trên cạnh BC Đường thẳng đi qua M và song song với AB sẽ cắt AC tại điểm P, trong khi đường thẳng đi qua M và song song với AC sẽ cắt AB tại điểm Q Nhiệm vụ là chứng minh mối liên hệ giữa các điểm M, P và Q trong tam giác này.
Bài toán 2.2 là một phiên bản tổng quát của bài toán 2, do đó cả hai phương pháp giải ở bài toán 2 đều có thể được áp dụng cho bài toán này.
S ta kẻ đường cao từ B hoặc C của tam giác ABC Khi đó:
KH AP KH AP KH QM
BH AC BH AC BH AC
Cách 2: Hoàn toàn tương tự cách 2 của bài toán 2.
Không mất tính tổng quát: Giả sử MB MC Trên đoạn MB lấy điểm I sao cho
MI = MC Qua I kẻ đường thẳng song song với QM cắt AB tại K, cắt PM tại G.
Ta có: MPC = MGI (g.c.cg)
SMPC = SMGI và MP = MG
( Vì AQMP và KQMG là hình bình hành) Lại có SABC SAQMP + SKQMI + SMPC
Sau khi hoàn thành các bài toán, chúng ta đã rút ra được phương pháp giải tổng quát cho các bài toán diện tích thông qua việc tạo hình bình hành nội tiếp tam giác Kết quả và cách giải của bài toán 2.1 sẽ được áp dụng để giải quyết các bài tập tiếp theo.
Nhận xét 3: Từ bài toán 2.2 ta thấy S AQMP đạt giá trị lớn nhất bằng 2
S khi M là trung điểm của BC với S = S ABC Khi đó tổng diện tích hai tam giác QMB và PMC đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong bài toán 2.2, khi điểm M nằm trong tam giác ABC, ta kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác, cắt các cạnh AB, BC, CA tại các điểm Q, H, N, K, G, P Áp dụng kết quả từ bài toán 2.2, ta chứng minh rằng S1 + S2 + S3 ≥ S/3, trong đó S là diện tích của tam giác ABC Điều này dẫn đến việc phát triển bài toán 2.3.
Trong bài toán 2.3, cho tam giác ABC với điểm M nằm trong tam giác Từ điểm M, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác, cắt các cạnh AB, BC, CA tại các điểm Q, H, N, K, G, P Đặt S1 = SQHM, S2 = SNMK, S3 = SPMG và S = SABC Cần chứng minh rằng S1 + S2 + S3 ≥ 3.
S b) Tìm vị trí của điểm M để S1 + S2 + S3 nhỏ nhất.
M a) Xét tam giác AHG có :
Hình bình hành AQMP nội tiếp trong tam giác. Áp dụng kết quả cách 2 của bài toán 2.2, ta có :
Với tam giác BQK ta có : S1 + S2
Với tam giác CPN ta có : S2 + S3
. b) Từ nhận xét bài toán 2.2 ta có S1 + S2 +S3 nhỏ nhất khi và chỉ khi M đồng thời là trung điểm của HG, QK và NP.
M là trung điểm của HG AM đi qua trung điểm của BC
M là trung điểm của QK BM đi qua trung điểm của AC
M là trung điểm của NP CM đi qua trung điểm của BA
Khi đó M là trọng tâm của tam giác ABC.
Từ bài toán 2.2 với tam giác ABC có hai góc B và C nhọn, ta xây dựng hình chữ nhật MNPQ với M nằm trên cạnh AB, N trên cạnh AC, và hai điểm P, Q nằm trên cạnh BC Trong trường hợp này, không cần chứng minh rằng diện tích S của hình chữ nhật MNPQ nhỏ hơn hoặc bằng một giá trị nào đó.
2 S ABC nữa mà yêu cầu tìm vị trí của M sao cho diện tích MNPQ là lớn nhất
Từ đó ta có bài toán 2.6 :
Bài toán 2.4 yêu cầu tìm vị trí điểm M trên cạnh AB của tam giác ABC, với hai góc B và C nhọn, để diện tích hình chữ nhật MNPQ, có điểm N trên cạnh AC và hai điểm P, Q trên cạnh BC, đạt giá trị lớn nhất.
Kết quả thu được qua khảo nghiệm thực tế
Học sinh đã thể hiện thái độ học tập tích cực và hứng thú hơn trong các tiết học hình học, chủ động nêu ra thắc mắc và khó khăn khi gặp bài tập mới với giáo viên Các em tham gia rất nhiệt tình và đã hoàn thành các bài tập hình học được giao về nhà một cách nghiêm túc và tự giác Tuy nhiên, vẫn còn một số em mắc sai lầm trong cách trình bày bài làm của mình.
- Phần lớn chất lượng các tiết học hình học, các bài kiểm tra đã được nâng lên,các em đã xác định đúng hướng đi bài toán.
Chất lượng môn toán trong các trường học đã được cải thiện rõ rệt, với số lượng học sinh lớp 8 đạt danh hiệu học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh trong môn giải toán qua mạng ngày càng tăng lên mỗi năm.
