Chương MA TRẬN - ĐỊNH THỨC Huỳnh Văn Kha Đại Học Tơn Đức Thắng Tốn A2 - MS: C01002 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 / 31 Nội dung Định nghĩa, phân loại ma trận Các phép toán ma trận Chuyển vị ma trận, ma trận đối xứng Phép biến đổi sơ cấp dòng (cột), đưa ma trận dạng bậc thang Định thức ma trận vng Ma trận nghịch đảo Giải phương trình ma trận Hạng ma trận Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 / 31 Định nghĩa ma trận Định nghĩa Một ma trận cấp m × n m hàng n cột:  a11 a12  a21 a22 A=  ··· ··· am1 am2 bảng hình chữ nhật gồm  · · · a1n · · · a2n   ··· ···  · · · amn Ký hiệu: A = (aij ) Phần tử dòng i, cột j ma trận A viết là: [A]ij Tập ma trận cấp m × n ký hiệu: Mm×n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 / 31 Ví dụ   −2 A =  −3 10  [A]23 = 10, A ∈ M3×4 Thì: Ma trận Hai ma trận gọi kích thước phần tử tương ứng Ví dụ: Tìm a, b, c để A = B, biết:     a A =  −3  B =  b −3  c Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 / 31 Phân loại ma trận Ma trận không ma trận mà phần tử Ký hiệu: 0m×n , hoặc: Ma trận vng cấp n ma trận có số dịng số cột n Tập ma trận vuông cấp n ký hiệu là: Mn Các phần tử [A]11 , [A]22 , · · · , [A]nn gọi nằm đường chéo ma trận vng A   −2 0 ,A=0 5 Ví dụ: 02×3 = 0 −5 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 / 31 Ma trận đường chéo cấp n ma trận vuông cấp n mà phần tử bên ngồi đường chéo Ma trận đơn vị cấp n ma trận đường chéo cấp n mà phần tử đường chéo Ký hiệu: In   0 Ví dụ: A =  −2  0   0 I2 = , I3 =   0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 / 31 Ma trận tam giác (dưới) ma trận vuông mà phần tử (trên) đường chéo  b11 b12  b22   0   b1n c11   b2n   c21 c22 ,   bnn cn1 cn2     cnn Ma trận có dịng gọi ma trận dịng, ma trận có cột gọi ma trận cột Các ma trận dòng (cột) gọi vector dịng (cột) Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 / 31 Cộng ma trận, nhân số với ma trận Cho A, B ∈ Mm×n h ∈ R Tổng hai ma trận A B ma trận cấp m × n có ký hiệu A + B, xác định bởi: [A + B]ij = [A]ij + [B]ij Tích ma trận A với số h ma trận cấp m × n có ký hiệu hA, xác định [hA]ij = h[A]ij Ngoài ra, ta định nghĩa: A − B = A + (−1)B Ví dụ: cho A = ,B = −1 Tính: A + B, 2B, A − B, 2A − 3B Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 / 31 Tính chất Với ma trận A, B, C ∈ Mm×n h, k ∈ R, ta có: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) A + B = B + A (tính giao hốn) (A + B) + C = A + (B + C ) (tính kết hợp) A + = A (0: ma trận khơng cấp m × n) A + (−A) = h(kA) = (hk)A h(A + B) = hA + hB (h + k)A = hA + kA 1.A = A Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 / 31 Nhân hai ma trận Cho A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p Ta có định nghĩa sau Tích ma trận A với B ma trận cấp m × p, ký hiệu AB, xác định bởi: n [A]ij [B]jk = [A]i1 [B]1k + · · · + [A]in [B]nk [AB]ik = j=1 với i = 1, m, k = 1, p Ví dụ:  Tính AB,AC , CA,  biết:    −2 1 2 −3 A = 1 , B = , C =  −1 0 −1 −4 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 / 31 Ví dụ: Dùng phép biến đổi dòng để đưa ma trận sau dạng bậc thang   −9 a) A =  −1  −6 −1 25    1    0 −1 b) B =     −2 −6 −2 −9 −2  10 Chú ý: Nếu ta biến đổi thêm để phần tử xoay phần tử bên phần tử xoay 0, ma trận thu gọi dạng bậc thang rút gọn Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 17 / 31 Định thức Xét A = (aij ) ma trận vuông cấp n, ma trận vuông cấp n − có cách bỏ hàng thứ i cột thứ j A được ký hiệu là:Aij   ∈ M3 Tìm A11 , A23 , A32 Ví dụ: A = Định thức A, ký hiệu det(A) |A|, số xác định sau: Nếu n = thì: det(A) = a11 n Nếu n ≥ thì: det(A) = (−1)1+j a1j det A1j j=1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 18 / 31 Với ma trận cấp 2: a b = ad − bc c d Với ma trận cấp 3: Ví dụ: Tính , −2 −3 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) 3 −1 −2 Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 19 / 31 Định lý Cho A = (aij ) ma trận vuông cấp n, ta có: n (−1)i0 + j ai0 j det Ai0 j det A = j=1 n (−1)i+j0 aij0 det Ai j0 det A = i=1   Ví dụ: Tính định thức A =   −1 −2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức  1  −1  Toán A2 - MS: C01002 20 / 31 Ký hiệu: Ai1 ,i2 , ,ik ;j1 ,j2 , ,jk ma trận lấy dòng i1 , i2 , , ik cột j1 , j2 , , jk A Ký hiệu: Ai1 ,i2 , ,ik ;j1 ,j2 , ,jk ma trận có cách bỏ dòng i1 , i2 , , ik cột j1 , j2 , , jk A Định lý (Laplace) Cho A ma trận vuông cấp n Chọn dòng i1 < i2 < · · · < ik , ta có: (−1)(i1 +i2 + +ik )+(j1 +j2 + +jk ) × det A = j1