SKKN sử dụng phương pháp lập bảng để giúp học sinh tính nhanh nguyên hàm từng phần trong ôn thi tốt nghiệp THPT

Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu này tập trung vào những khó khăn mà học sinh thường gặp khi giải các bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần Bên cạnh đó, tôi sẽ giới thiệu các phương pháp giúp học sinh cải thiện kỹ năng làm bài trong các đề thi Cuối cùng, thông qua việc thu thập và phân tích dữ liệu cũng như áp dụng những phương pháp này trong một số lớp học, tôi sẽ đề xuất những gợi ý hữu ích cho giáo viên Toán nhằm áp dụng hiệu quả các giải pháp đã nêu.

Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi làm nguyên hàm từng phần

- Giới thiệu phương pháp để học sinh làm nhanh nguyên hàm từng phần trong các đề thi.

- Áp dụng những phương pháp trên vào lớp 12 tại trường để tìm ra tính hiệu quả của sáng kiến.

Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.

- Phương pháp trưng cầu ý kiến bằng bảng hỏi.

- Biên soạn các bài tập và áp dụng chúng vào việc dạy học.

- Phương pháp quan sát, trao đổi với đồng nghiệp.

- Phương pháp xử lý dữ liệu: phương pháp xử lý dữ liệu định lượng và định tính.

Những đóng góp mới của đề tài

Đề tài này nhằm tìm ra các phương pháp giúp học sinh khá giỏi nhanh chóng giải quyết bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần, đồng thời giúp học sinh trung bình và yếu vượt qua sự e ngại khi gặp dạng toán này Thông qua nghiên cứu, giáo viên Toán có thể hỗ trợ học sinh rút ngắn thời gian làm bài và nâng cao điểm số Học sinh cũng có thể áp dụng đề tài để tự học và phát triển kỹ năng tư duy toán học.

Bố cục của đề tài

Đề tài được chia thành ba phần: phần mở đầu nêu lý do chọn đề tài, tính cấp thiết, mục tiêu, đối tượng, phạm vi, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu, đồng thời dự báo những đóng góp mới Phần giải quyết vấn đề trình bày cơ sở khoa học, khảo sát tình hình thực tế và đề xuất các phương pháp lý thuyết cũng như bài tập thực hành để học sinh nắm vững việc sử dụng nguyên hàm từng phần, kèm theo nhận định về tính hiệu quả thông qua số liệu liên quan Cuối cùng, phần kết luận và kiến nghị tóm tắt quy trình nghiên cứu, ý nghĩa của đề tài và các đề xuất cải tiến.

PHẦN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Cơ sở khoa học

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K Định lý 1 nêu rõ rằng nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K, thì với mỗi hằng số, hàm số F(x) sẽ có những tính chất nhất định liên quan đến nguyên hàm.

Hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K Theo Định lý 2, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, trong đó C là một hằng số.

Do đó: Nếu F x   là một nguyên hàm của hàm số f x   trên K thì F x    C , C R  là họ tất cả các nguyên hàm của f x  trên K Kí hiệu: f x dx F x ( )     C

1.1.2 Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 2:  kf x dx k f x dx ( )   ( ) ( k là hằng số khác 0)

- Tính chất 3:   f x ( )  g x dx ( )    f x dx ( )   g x dx ( )

1.1.3 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Nếu hai hàm số u u x  ( ) và v v x  ( )có đạo hàm liên tục trên K thì

Chú ý: Vì v x dx dv '( )  , u x dx du '( )  , nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng

Khi áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, việc lựa chọn u và dv là rất quan trọng Để tìm nguyên hàm hiệu quả, cần ưu tiên xác định u theo một thứ tự hợp lý.

"Trong toán học, thứ tự ưu tiên của các hàm số được xác định như sau: đầu tiên là hàm số lôgarit, tiếp theo là hàm số đa thức, sau đó là hàm số lượng giác, và cuối cùng là hàm số mũ Các phần còn lại sẽ được xem như là đơn vị đo lường (dv)."

+ Khi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần thì số lần thực hiện phụ thuộc vào bậc của hàm lôgarit và đa thức Cụ thể:

* Nếu trong biểu thức nguyên hàm có dạng ln n f x  , log n a f x  thì phải nguyên hàm từng phần n lần.

* Nếu trong biểu thức nguyên hàm có chứa đa thức bậc n (không có hàm lôgarit) thì cũng phải nguyên hàm từng phần n lần.

+ Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a, b] Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên [a, b]) của hàm số f(x), được ký hiệu là ∫[a, b] f(x) dx.

Chú ý: - Ta quy ước: ( ) 0 a a f x dx

1.2.1 Nội dung “đề cương” trong đề thi môn Toán

Thực tế kiến thức phần Nguyên hàm – Tích phân luôn có trong nội dung ôn thi.

Phương pháp từng phần là một trong những phương pháp quan trọng thường được nhắc đến Đặc biệt, với hình thức thi trắc nghiệm 50 câu trong chỉ 90 phút, việc tìm ra đáp án chính xác và nhanh chóng là mục tiêu mà chúng ta cần hướng tới.

1.2.2 Những khó khăn học sinh gặp phải khi làm phần nguyên hàm từng phần

Qua thăm dò ý kiến của 82 học sinh bằng bằng phiếu hỏi (Phụ lục – trang 28), bảng thống kê như sau: Đánh giá mức độ

Rất dễ Dễ Trung bình Khó Rất khó

Theo phiếu thăm dò, để giải bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần ở mức độ hiểu biết của học sinh, thời gian thực hiện đã được ghi nhận.

Một số khó khăn chủ yếu mà học sinh đã nêu trong phiếu thăm dò:

+ Khó khăn trong việc chọn đặt u và dv.

+ Việc làm theo nguyên hàm từng phần nhiều hơn một lần làm các em “rối” và muốn bỏ qua.

+ Đặt u, dv nhiều lần cũng làm mất rất nhiều thời gian.

+ Sự “quay vòng” dẫn đến khó hiểu ở dạng nguyên hàm từng phần của hàm mũ kết hợp với hàm lượng giác.

Học sinh thường gặp khó khăn và tốn nhiều thời gian khi giải quyết bài toán nguyên hàm từng phần, điều này ảnh hưởng đến kết quả kiểm tra và thi cử Do đó, việc hướng dẫn phương pháp làm nguyên hàm một cách nhanh chóng và hiệu quả là rất cần thiết.

2 Phương pháp làm nguyên hàm từng phần

Bước 1: Đọc kỹ đề bài và nhận dạng toán sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần (Các dạng toán cụ thể sẽ được đề cập trong đề tài).

Bước 2: Chọn loại bảng để sử dụng cho bài toán.

Bước 3: Dựa vào bảng để tìm ra kết quả cho nguyên hàm.

Bước 4: Tìm ra phương án đúng và kiểm tra lại để chắc chắn câu trả lời của mình.

Để làm bài nguyên hàm từng phần hiệu quả, học sinh cần nắm vững các tính chất và công thức tính nguyên hàm của những hàm số phổ biến Việc luyện tập thường xuyên dạng bài này sẽ giúp đạt kết quả tốt nhất.

2.2 Hệ thống hóa các dạng sử dụng bảng trong nguyên hàm từng phần

2.2.1 Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức và hàm số mũ hoặc hàm số đa thức và hàm số lượng giác

Dạng:  f x e   ax b  dx ; hoặc  f x   sin( ax b dx  ) ; hoặc  f x co ax b dx   s(  ) trong đó f x   là đa thức

Phương pháp tự luận thông thường bao gồm việc đặt \( u = f(x) \) và \( dv = e^{ax}b + dx \) hoặc \( dv = \sin(ax + b)dx \) hoặc \( dv = \cos(ax + b)dx \) Cụ thể, khi áp dụng nguyên hàm từng phần, ta cần thực hiện các bước rõ ràng để đạt được kết quả mong muốn.

  Khi đó: I  udv uv   vdu uv   v u dx 1 1

Và nếu I 1 v u dx 1 1 tiếp tục sử dụng nguyên hàm từng phần ta có:

I uv  I uv  u v   u v dx uv  u v  u v dx

Phương pháp lập bảng (Tự luận rút gọn)

Dựa vào công thức tính nguyên hàm, chúng ta có thể xây dựng bảng tính nguyên hàm từng phần một cách đơn giản, giúp học sinh có năng lực trung bình – yếu dễ dàng thực hiện.

Theo công thức tính nguyên hàm, đối với các cặp theo mũi tên kẻ xiết, dấu sẽ đan xen bắt đầu từ “+”, sau đó là “-”, và tiếp tục với “+” Khi đặt hàm đa thức f(x) bằng u, ta thực hiện đạo hàm của đa thức cho đến khi kết quả bằng 0 thì dừng lại Phương pháp này cũng cho ra kết quả chính xác.

Ví dụ 1: (BT4b – SGK giải tích 12 – trang 101)

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: I    x 2  2 x  1  e dx x

Cách 1: Sử dụng phương pháp tự luận thông thường Đặt 2 2 1  2 2  x x du x dx u x x dv e dx v e

Do đó: I   x 2  2 x  1  e x   e x  2 x  2  dx   x 2  2 x  1  e x  I 1 (1) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I 1  e x 2x2 dx Đặt 1 1

Thay (2) vào (1) ta được: I  x 2 2x1 e x  2xe x C 1   x 2 1 e x C.

Dựa vào bảng ta có kết quả I   x 2  2 x  1  e x   2 x  2  e x  2 e x  C   x 2  1  e x  C

Phương pháp sử dụng bảng trong thi trắc nghiệm rõ ràng mang lại lợi thế, đặc biệt cho học sinh có học lực trung bình và yếu, giúp các em dễ tiếp thu kiến thức hơn.

Ví dụ 2: Cho bài toán: “Gọi F x   là một nguyên hàm của hàm số f x    x e 2 ax với

  Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Hãy xét xem các hướng làm sau đúng hay sai? Chỉ ra chỗ sai (nếu có)? Hãy cho kết quả đúng?

1 ax ax du xdx u x v e dv e dx a

     (1) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho 1 2 e x

2 x ax u x du dx e e dv dx v a a

Thay (2) vào (1) ta được: I x 2 e ax 2 2 x e ax 1 3 e ax C a a a

Dựa vào bảng ta có I x 2 e ax 2 2 x e ax 4 3 e ax C a a a

Theo "Hướng 1", việc phát hiện lỗi sai (khoanh đỏ) trong bài giải là khá khó khăn khi phải lần theo từng bước, đồng thời việc chỉnh sửa và làm lại sẽ tốn nhiều thời gian.

Trong khi đó nếu theo dõi bảng của “Hướng 2” thì ta dễ dàng tìm ra lỗi sai (khoanh đỏ) và hoàn toàn có thể sửa ngay trên bảng

Từ đó có kết quả I x 2 e ax 2 x 2 e ax 2 3 e ax C a a a

Việc sử dụng bảng trong quá trình tính nguyên hàm từng phần giúp phát hiện và sửa lỗi nhanh chóng và hiệu quả hơn Điều này cho thấy lợi thế lớn của phương pháp lập bảng, đặc biệt trong bước kiểm tra lại bài làm, một khâu cực kỳ quan trọng trong quá trình làm bài.

Ví dụ 3: Tính nguyên hàm I   x 5 cos xdx

5 5 4 cos sin u x du x dx dv xdx v x

  Do đó: I x 5 sinx 5 x 4 sinxdx x 5 sinx 5I 1 (1) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I 1  x 4 sinxdx Đặt

4 sin cos u x du x dx dv xdx v x

I  x x  x xdxx x I (2) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I 2  x 3 cosxdx Đặt

3 cos sin u x du x dx dv xdx v x

I x x  x xdx x x I (3) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I 3  x 2 sinxdx Đặt

2 sin cos du xdx u x v x dv xdx

I x x  x xdxx x I (4) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho I 4  xcosxdx Đặt 4 4

4 cos 4 sin u x du dx dv xdx v x

5 4 3 2 sin 5 cos 4 sin 12 cos 2 sin cos 4

 I x 5 sinx5 cosx 4 x 20 sinx 3 x 60 cosx 2 x120sinx120cosx C

Dựa vào bảng ta có kết quả

5sin 5 cos4 20 sin3 60 cos2 120sin 120cos

Đánh giá tính hiệu quả của đề tài

Trong lớp thực nghiệm 12A2, tôi hướng dẫn học sinh từng bước cụ thể để làm bài, bao gồm cách lập bảng và hệ thống hóa các loại bảng thường dùng trong tính nguyên hàm từng phần Học sinh trong hai lớp sẽ thực hiện bài kiểm tra gồm 20 câu trong thời gian 45 phút (Phụ lục – trang).

Kết quả kiểm tra cho thấy lớp 12A2 đạt điểm cao hơn lớp đối chứng 12A1 là 1.25 điểm Đặc biệt, đối với học sinh lớp 12A8 có học lực trung bình – yếu, khi tôi cung cấp những ví dụ và bài tập đơn giản (chủ yếu là dạng 1 và 2, sử dụng nguyên hàm từng phần không quá 2 lần), hầu hết các em đều hoàn thành tốt và thể hiện sự hứng thú trong việc học Điểm trung bình kiểm tra phần nguyên hàm từng phần của lớp 12A2 (thực nghiệm) so với lớp 12A5 (đối chứng) cũng cho thấy sự khác biệt tích cực.

Lớp Điểm kiểm tra trung bình

PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Tóm tắt quá trình nghiên cứu

Dựa trên đề thi THPT quốc gia môn Toán và kết quả kiểm tra của học sinh, tôi đã nghiên cứu phương pháp giúp học sinh cải thiện khả năng làm bài toán tính nguyên hàm từng phần Các tài liệu liên quan được tập hợp và phân tích để xây dựng cơ sở khoa học cho nghiên cứu Thông tin về những khó khăn mà học sinh gặp phải trong quá trình giải quyết loại nguyên hàm này đã được thu thập thông qua bảng hỏi và trao đổi với đồng nghiệp Các dạng bài được phân loại theo nhóm, kèm theo bài tập thực hành để học sinh dễ dàng ghi nhớ Hiệu quả của phương pháp được đánh giá qua việc quan sát sự tiến bộ của học sinh và so sánh kết quả học tập với lớp đối chứng.

2 Ý nghĩa của đề tài Đề tài mang lại những lợi ích cho các giáo viên Toán và cho các em học sinh.

2.1 Đối với giáo viên Toán Đề tài đã giúp giáo viên nhìn nhận được những khó khăn học sinh gặp phải khi làm bài tập nguyên hàm từng phần Bên cạnh đó, giáo viên có thể sử dụng đề tài như một tư liệu trong quá trình ôn thi THPT quốc gia môn Toán cho học sinh

Học sinh chia sẻ những khó khăn khi làm bài và nắm vững các bước giải bài nguyên hàm từng phần Bằng cách ghi nhớ hệ thống các dạng toán và loại bảng, cùng với việc luyện tập các bài trắc nghiệm đúng định dạng đề thi THPT quốc gia, học sinh có thể cải thiện kỹ năng làm bài Qua việc củng cố kiến thức một cách có hệ thống, các em sẽ tự tin hơn và nâng cao điểm số của mình.

3 Những hạn chế của đề tài

- Hệ thống bài tập chưa thật sự phong phú.

Giáo viên cần cung cấp cho học sinh cả hai phương pháp giải nguyên hàm từng phần để đảm bảo học sinh hiểu biết toàn diện về kiến thức này Trong đó, phương pháp bảng nên được ưu tiên cho những bài toán nguyên hàm từng phần hai lần trở lên.

- Phiếu khảo sát cho các em về nhà làm nên chưa đánh giá thực sự đúng khách quan về trình bày và thời gian thực hiện.

- “Bài kiểm tra” được thực hiện thông qua “lớp học Shub Classroom” nên kết quả đánh giá cũng đang còn hạn chế về tính xác thực.

4 Những nội dung cần được tiếp tục nghiên cứu Đề tài nên được mở rộng phạm vi với nhiều giáo viên tham gia, tăng số lượng các lớp đối chứng và thực nghiệm nhằm nâng cao tính xác thực Cần có thêm những bài luyện tập tổng hợp khác để học sinh luyện tập Có thể bổ sung phần hướng dẫn giải chi tiết để học sinh có thể tự học.

Những hạn chế của đề tài

- Hệ thống bài tập chưa thật sự phong phú.

Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về nguyên hàm từng phần, giáo viên cần áp dụng cả hai phương pháp: phương pháp bảng và công thức nguyên hàm từng phần Việc chỉ dạy phương pháp bảng sẽ không đủ để học sinh hiểu sâu sắc Do đó, tôi kiến nghị nên ưu tiên phương pháp bảng cho những bài toán nguyên hàm từng phần hai lần trở lên, trong khi vẫn giải thích rõ ràng công thức nguyên hàm từng phần cho các bài toán đơn giản hơn.

- Phiếu khảo sát cho các em về nhà làm nên chưa đánh giá thực sự đúng khách quan về trình bày và thời gian thực hiện.

- “Bài kiểm tra” được thực hiện thông qua “lớp học Shub Classroom” nên kết quả đánh giá cũng đang còn hạn chế về tính xác thực.

Những nội dung cần được tiếp tục nghiên cứu

Đề tài cần được mở rộng với sự tham gia của nhiều giáo viên, tăng cường số lượng các lớp đối chứng và thực nghiệm để nâng cao độ tin cậy Ngoài ra, cần bổ sung thêm các bài luyện tập tổng hợp để học sinh có cơ hội thực hành nhiều hơn Việc cung cấp hướng dẫn giải chi tiết cũng rất quan trọng, giúp học sinh có thể tự học hiệu quả.