CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG DẠNG RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT I PHƯƠNG PHÁP + Tìm điều kiện xác định cần + Rút gọn biểu thức + Biến đổi biểu thức dạng sau: Dạng Dạng M=a+ b b M=a+ f (x) + c hoạc f (x) − c , c > M = f (x) + m , f (x) > 0, m > f (x) + Đối chiếu điều kiện biến + Kết luận II VÍ DỤ x +1 x B= +   x + x + x x − x − Ví dụ Cho hai biểu thức với x ≥ 0,  x ≠ 1) Tính giá trị biểu thức A x = A C= B 2) Rút gọn biểu thức 3) Tìm giá trị x để biểu thức C đạt giá trị nhỏ A= Lời giải 1) Thay x = ( thỏa mãn điều kiện) vào A ta được: A= Vậy x = 2) Với x ≥ 0,  x ≠ , ta có: C= A= +1 = + +1 A x +1  x  = : + ÷ B x + x +1  x x −1 x −1  = x +1 : x + x +1 = x +1 x + x +1 3) Với x ≥ 0,  x ≠ , ta có: C= ( ( : x + x +1 )( x − 1) ( x + ( x + 1) ) x + 1) x −1 x + x + = x −1 x +1 x −1 = 1− ≥ −1 x +1 x +1 ( x + ≥ với x ≥ 0,  x ≠ , Dấu “=” xảy x = (thỏa mãn) ≤2 x +1 ) Vậy giá trị nhỏ C −1 x = TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG   x B=  + ÷.( x − 3) x +  x +3 x −9 với x ≥ , x ≠ A= Ví dụ Cho hai biểu thức a) Tính giá trị biểu thức A x = x +1 x +3 B= b) Chứng minh c) Cho P = A : B Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Lời giải a) Tính giá trị biểu thức A x = Thay x = (thỏa mãn) vào A ta A = 2 = = +3 2+3 Vậy A = x = B= x +1 x +3 b) Chứng minh  B = +  x +3  = ( với x ≥ x ≠   ÷.( x − 3) =   x +3 x −3 ÷   ( )( x +1 x +3 )( x −3 ) ( x −3 ) )= (  ÷ x −3 ÷  x −3 + x +3 )( ) ( x −3 ) x +1 x +3 (đpcm) c) Cho P = A : B Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Ta có: P = A : B P= x x +1 x x +3 x : = = = x + x +3 x + x +1 x +1 Với x ≥ x +1−1 = 1− x +1 x +1 x ≥0 ⇔ x +1 ≥ ⇒ 1 ≤ ⇔ 1− ≥0 x +1 x +1 ⇒P≥0 Dấu = xảy ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy P đạt giá trị nhỏ x = Cách 2: P= x ≥ ∀x ≥ x +1 Ta có: Do P đạt giá trị nhỏ x = TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Ví dụ Cho A= GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG  x +6 x +2 −1 B= − ÷: x −1  x + x −  x + x −3 với x ≥ 0, x ≠ 1) Tính biểu thức A x = 25 2) Rút gọn biểu thức B 3) Đặt P = A.B ,Tìm x nguyên để P đạt giá trị lớn Lời giải 1) Thay x = 25 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A ta A= −1 −1 −1 = = 25 − −   x +6 x +2 = B= − ÷:  x + x − x − x +3    2) (    x + − (x + x + 6) ÷  = : =  ÷  x + x −1 x +    ( 3) P = A.B = Vì )( )  x +2÷ − : x −1 ÷ x + x +3  x +6 )( x −1 ( )  ÷: x +3 ÷ x +3 =− x  −x + x )( x −1 ) −1 x − x = = 1+ x −3 x −3 x −3 ( ) x − ≥ −3 với x ⇒ ≤ −1 x −3 với x ⇒ P = A.B = + ≤0 x −3 với x ⇒ Max P = Dấu " = " xảy x = Ví dụ Cho biểu thức A=  x x  x x +2 B= + ÷: x −3 x −3 + x  x − x −6 với x > 0, x ≠ 1) Tính giá trị biểu thức 2) Rút gọn biểu thức B A x = 36 3) Với x ∈ ¢ , tìm giá trị lớn biểu thức P = AB Lời giải 1) Thay x = 36 ( thỏa mãn điều kiện ) vào A ta TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN A= 36 + + = = + 36 + PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI 2) Điều kiện: x ≥  x ≠ GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG  x x  x B= + ÷: x −3 x −3  x − x −6  =   = 3) P = AB = ( x x −3 x ( ( )( x +2 x +4 x −3 )( ) x +2 ) x +2 x +4 = 1+ x x + x + ) ( x −3 )  ÷ x − x x +2 ÷  x +2 )( x −3 x = ) x +4 x +2 x +4 = 1+ x +1 x +1 x + đạt giá trị lớn Để P đạt giá trị lớn Vì x ∈ ¢ ( x + > với x ≥ x ≠ nên x + lớn x + = ⇔ x = ( TMĐK) MaxP = ⇔ x = Vậy −3 x  x +2  B= + ÷: x − x + x + x   Ví dụ Cho với x > 0; x ≠ a) Tính giá trị biểu thức A x = A= ( )( x −1 x +3 ) b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A.B Lời giải a) Thay x = (tmđk) vào biểu thức A ta có : A= A=− ( −3 )( −1 +3 ) = −6 x = Vậy x > 0; x ≠ ta có : b) Với  B= +  x +1 x + x   : x +2  x +2 = +  x +1 ÷: x − x x +1  x −1    TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN ( ) PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI = A.B = c) ( ( x x +2 ) x +1 ( −3 x )( x −1 x +3 ) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG )( x −1 ) x +1 x +2 x −1 x = x −1 x = −3 x +3 Với x > 0; x ≠ A.B > −1 Do khơng có giá trị nhỏ biểu thức A.B Ví dụ Cho hai biểu thức: A= 2+ x x 4x + x − x −3 + − B= x−4 2− x 2+ x x −x (với x > 0; x ≠ 4; x ≠ ) 1) Tính giá trị biểu thức B x = 25 2) Đặt P = A : B , rút gọn P 3) Với x > , tìm giá trị nhỏ P Lời giải 1) Tính giá trị biểu thức B x = 25 Thay x = 25 (TM ĐKXĐ) vào B , ta có: 25 − 5−3 2 B= = = =− 15 25 − 25 2.5 − 25 −15 B=− x = 25 15 Vậy 2) Rút gọn biểu thức P 2+ x x 4x + x − A= + − ( x > 0; x ≠ ) x−4 2− x 2+ x A= 2+ x x 4x + x − + + 4−x 2− x 2+ x (2+ x) A= A= A= + ( x − x ) + 4x + x −4 4−x 2− x 2+ x + x + x + x − x + 4x + x − ( − x ) ( + x ) ( 4x + x )( 2− x 2+ x = ) ( TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN x ( x +2 ) x − x + x = − x ( x > 0; x ≠ ) )( ) PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI P = A:B = GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ( x x −3 x x −3 x 2− x x : = : = 2− x x −x 2− x x 2− x 2− x x −3 ( ) ) 4x ( x > 0; x ≠ 4; x ≠ ) x −3 P= 3) Với x > 9, tìm giá trị nhỏ P ( ) 4x 36 36 = x + 12 + = x −3 + + 24 x −3 x −3 x −3 Do x > ⇒ x − > Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có: 36 36 x −3 + ≥ x − x −3 x −3 36 x −3 + ≥ 2.12 x −3 36 x −3 + + 24 ≥ 48 x −3 P ≥ 48 Dấu “ =” xảy P= ( ) ( ) ( ) ( )  x − = −3  x =  x = ( KTM ) 36 ⇔ x −3 = ⇔  ⇔ ⇔ x −3  x = 36 ( TM )  x − =  x = Vậy P đạt GTNN 48 x = 36 ⇔4 ( ) ( x −3 = ) III BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu Cho  x +3 x −2  x −3 x +3 B= − ÷ x − x + x +   x + với x ≥ 0; x ≠ A= 1) Tính giá trị A x = 16 2) Rút gọn biểu thức B 3) Cho P= A B Tìm giá trị nhỏ P Lời giải A= 16 + 19 = 16 + 1) Thay x = 16 (thỏa ĐKXĐ) vào A ta có:  x +3 x −2  x −3 B= − ÷ x − x +   x + với x ≥ 0; x ≠ 2)   x+3 x −2 x −3  ÷ x − = −  x +3 x −3 x +3 x − ÷ x +1   ( )( ) ( TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN )( ) PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI = x + x +1 ( x +3 )( x −3 ) x −3 = x +1 ( ( )( ( x + 1) − ( = x +3 A x+3 x +1 x + P= = : = B x + x + x +1 3) = x +1+ −2 x +1 ) x +1 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x −3 x +1 = ) x + 1) + x −3 x +1 x +3 x +1 x + > 0; >0 x +1 Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số 4 P = x +1+ −2≥ x +1 −2=2 x +1 x +1 Min P = ⇔ x + = ⇔ x =1 x +1 (thỏa đkxđ) ⇔ x = Vậy GTNN P ( )  x x  2 2−x  P= + ÷:  − ÷  x − x − ÷ x x( x + 1) ÷     Câu Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P = Với x > tìm giá trị nhỏ P Lời giải  x −1 ≠  x ≠ x − ≠ ⇔  x > x ≠  Điều kiện xác định:  x ≥  x x  2 2−x  P= + ÷:  − ÷  x − x − ÷ x x( x + 1) ÷     1) = x ( = ( )( x −1 ( 2) P = ) x +1 + x ) ( x +1 x+ x )( x −1 ⇔ x x x −1 ) x +1 =4 x ( ) x +1 ) x +1 − + x ( ) x +1 x+ x = x x −1 ⇔ x − = x ⇔ x− x + = TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ⇔ ( x−2 ) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG =0 ⇔ x = ( thỏa mãn) x 1 P= ⇔ P = x +1+ = x −1+ +2 x − x − x − 3)  x −1 >  ⇒ >0  x −  Vì x > 1 x − Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương x −1+ x −1 ⇔ x −1 + ≥2 x −1 Dấu '' = '' xảy ( ) x −1 x − ta có: x −1 +2≥4 ⇔ x −1 = x −1 ⇔ ( ) x −1 = ⇔ x − = ⇔ x = ( thỏa mãn) x x −1 x x +1 x −1 + − Q= x− x x+ x x x +1 Câu Cho biểu thức a) Tính giá trị biểu thức Q x = 25 b) Rút gọn biểu thức P P= c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = P.Q − x Lời giải a) Tính giá trị biểu thức Q x = 25 Điều kiện xác định: x ≥ Khi x = 25 (thỏa mãn điều kiện) Thay vào biểu thức Q ta có: 25 − Q= = 25 + b) Rút gọn biểu thức P −1 = = +1 x >  Điều kiện xác định: x ≠ x x −1 x x +1 ( x)3 − ( x)3 + P= + − = + − x− x x+ x x x( x − 1) x( x + 1) x = ( )( x( ) +( x −1 x + x + ) x −1 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN )( )− x ( x + 1) x +1 x − x +1 x PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ( x+ = = ) + ( x− )− GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x +1 x +1 x x x x + x +1+ x − x +1− x 2x − = x d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = P.Q − Ta có: M = P.Q − = = ( x − 1) x ( x −1 ) x −1 x +1 x = − x ( x )( x −1 )( x ( x + 1) x +1 )− x −1 x x = x−4+ − x = x 2x− x + x − x = x+ x − x −4 Với x thuộc điều kiện xác định x > 0; x >0 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm x x , ta có: x+ x ⇔ x+ ≥2 x x ⇔ x+ x ≥2 2 −4≥2 −4 ⇔ M ≥ 2−4 x Dấu xảy khi: x= x ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy M đạt giá trị nhỏ 2 − x =  x+   x x−9 P= x− : −  ÷ ÷  ÷ − x x + x +     , với x ≥ 0,x ≠ 1,x ≠ Câu Cho biểu thức P= x −1 x+3 1) Chứng minh 2) Tìm giá trị nhỏ P Lời giải 1) Chứng minh: TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI x P= = ( ) x +1 − x−  x : +  x +1  x +1  x+ x − x− x +1 x−3 = : ( x −3 ( x +1 ( x +1 = GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ( ) ( x − 1) ( x :  ÷ ÷ x +1 ÷  x −9 ( )( x −1 ) x −1 + x − ) x +1 x− x + x − ) ( x + 1) x − 1) ( x + 1) = x − 3) ( + x ) = x −1 x −3 x +1 ( )( x −1 ) x +1 x− x −1 x+3 2) Tìm giá trị nhỏ nhất: P = 1− x+3 Ta có Với điều kiện x ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x + ≥ 4 ⇒ ≤ ⇒ 1− ≥− x+3 x+3 Dấu xảy x = ( TM ) Vậy giá trị nhỏ P − x=0 x +3 x −7 x + x +1 B= + + x − x − x + − x x − với x ≥ 0; x ≠ 4, x ≠ Câu Cho x= 3− a) Tính giá trị biểu thức A b) Rút gọn biểu thức B A= B c) Tìm GTNN A a) x= ( Lời giải ) 3+ = = 3+ = + = 9−5 3− Thay x= ( ( ) +1 ) ( ) +1 2 (tmđk) vào biểu thức A ta : TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 10 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ≥0 x +3 ⇔ 1− B Vậy giá trị nhỏ biểu thức A x = Câu 13 Cho hai biểu thức: x ( x + 1) x + − x + x x − x − x (với x > , x ≠ ) a) Tính giá trị biểu thức A x = A= ( ) B= x −1 b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = A.B với x > Lời giải a) Tính giá trị biểu thức A x = Điều kiện xác định: x > , x ≠ x = (thỏa mãn điều kiện) A= Thay x = vào A ta có: Vậy A = x = 4.( + 1) ( = ) −1 2.5 =5 2.1 b) Rút gọn biểu thức B B= x + − x + x x −1 x − x B= B= B= x ( ( x + ) ( x +1 ) )( x −1 x − + x x − x x ( ( )( x −1 2x − )( x −1 ( ) x +1 − x ( ) x −1 ) x +1 ) x +1 ) x +1 = ( x − 1) x ( x − 1) = x c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = A.B với x > P = A.B = x ( x + 1) ( ) x −1 x +1 = = x +1+ = x x −1 x −1 ( ) x −1 + +2 x −1  x −1 >   >0  Vì x > nên  x − Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 18 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Dấu “=” xảy ( ) x −1 x −1 +2≥2 2+2 ⇔ P≥2 2+2 x −1 ⇔ x −1 + ⇔ ( ≥2 x −1 x −1+ GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x −1 ⇔ x −1 =  x = +1  x −1 = ⇔ ⇔ x −1 =  x − = −  x = − < (loai) ) ⇔ x = + 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy MinP = 2 + ⇔ x = + 2 Câu 14 1) Cho x = 25 Hãy tính giá trị biểu thức Q= x−4 x + với x ≥ x 3− x 6x − + x −2 x + − x với x ≥ 0; x ≠ 2) Rút gọn biểu thức 3) Tìm x để biểu thức M = P.Q đạt giá trị lớn Lời giải: P= 1) Giá trị x = 25 thỏa mãn điều kiện x ≥ ⇒ x = , thay vào biểu thức Q ta được: Q= x − 25 − 21 = = = x +1 +1 Vậy x = 25 P= x 3− x 6x − + x −2 x +2 4−x P= x 3− x 6x − − x −2 x +2 x−4 2) Với x ≥ 0; x ≠ ta có: ( − x ) ( x − 2) − ( x − 2) ( x + 2) ( x − 2) ( x + 2) ( x ( x + ) − ( − x ) ( x − ) − 6x = ( x − 2) ( x + 2) = = x ( Q= x +2 ) − 5x + 10 x − x + + x − x − 6x ( x −2 )( x +2 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN ) = 19 ( 6x x −2 )( x +2 x +6 x −2 )( x +2 ) ) PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI M = P.Q = 3) Ta có: GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x +6 ( x −2 )( x +2 ) x − x + x + +1 = = = 5+ x +1 x +1 x +1 x +1 1 ≤1⇒ 5+ ≤6 x +1 x +1 x ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x +1 ≥ ⇒ hay M ≤ Dấu "=" xảy x = (thoả mãn điều kiện) Vậy max M = x = x −2 x −1 x 2−5 x B= − − x − với x ≥ ; x ≠ x + x +2 2− x Câu 15 Cho hai biểu thức 1) Tính giá trị biểu thức A x = 25 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm giá trị lớn biểu thức M = A.B x ∈ N , x < 101 A= Lời giải 1) Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện xác định) Thay x = 25 vào biểu thức A ta có: A= x = 25 Vậy 2) Với x ≥ ; x ≠ ta có: B= B= B= B= Vậy ( ( x −1 x 2−5 x = − − x−4 x +2 2− x )( x + 2) ( x −1 )+ x − 2) ( x −2 x ( x +2 )( x −1 x + − x +2 x −2 x +2 x ( ( x +2 B= )( x +2 x +2 ) )( x −2 ) x −2 = ) ) x −2 x − x + + 3x + x − + x ( 25 − = 25 + A= = ( − ) ( ( 2−5 x x +2 )( 2−5 x x +2 )( x −2 4x + x x +2 )( x −2 x −2 ) ) ) x x −2 x x − với x ≥ ; x ≠ 3) Với x ≥ ; x ≠ ta có: x −2 x x M = A.B = = =4− x +2 x −2 x +2 x +2 Có x ∈ N ; ≤ x < 101 nên ≤ x ≤ 100 ⇒ x + ≤ 12 ⇒ 8 ≥ ⇒ 4− ≤ − ⇒ M ≤ 10 x +2 x +2 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 20 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 10 Vậy M có giá trị lớn x = 100 Câu 16 Cho hai biểu thức:  x −  x −1 x +1 B = −  ÷: A= x − x + x +   x − , ( x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ ) a) Tính giá trị biểu thức A x = 49 b) Rút gọn biểu thức B M =A− x +3 c) Tính giá trị nhỏ biểu thức: Lời giải 49 + 15 = = 10 49 + x = 49 a) Khi suy  x −  x −1 B= − ÷:  x + x −  x − , ( x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ ) b)  x x ữì x =  x +3 x − ÷ x −1   x −1 1 = × = x + x −1 x +3 x +1 M = A− = − x +3 x +3 x +3 c) Ta có: A= ( ( ) ( )( ) ) ( ) x +3 −6 x = = 2− x +3 x +3 x +3 Với điều kiện x ≥ : Ta có: x ≥ ⇔ M ≥ Hay M ≥ , dấu “ = ” xảy x = = Vậy giá trị nhỏ M x = Câu 17 Cho hai biểu thức: x −2 x 1 + + Q= x−4 x − với x ≥ ; x ≠ ; x ≠ x −2 x + 1) Tính giá trị biểu thức Q x = 64 P= 2) Chứng minh P= x x −2 K = Q ( P − 1) 3) Với x ∈ ¢ , tìm giá trị lớn biểu thức Lời giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 21 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 1) Tính giá trị biểu thức Q x = 64 ĐKXĐ: x ≥ ; x ≠ ; x ≠ Thay x = 64 (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức Q ta 64 − = 64 − Q= Q= Vậy x = 64 x P= x −2 2) Chứng minh Điều kiện: x ≥ ; x ≠ ; x ≠ x 1 P= + + x−4 x −2 x +2 x 1 x+ x +2+ x −2 = = + + x −2 x +2 x −2 x +2 x −2 x +2 ( = ( Vậy )( ) x+2 x x = )( x+2 = x x −2 x +2 ) x −2 )( P= x x − (điều phải chứng minh) x +2 ) ( ( ( x −2 )( ) ) K = Q ( P − 1) 3) Với x ∈ ¢ , tìm giá trị lớn biểu thức x ≥ x ≠ x ≠ ĐKXĐ: ; ; K = Q ( P − 1) Ta có  x − x −2 x −2  x x −2 x − x +2 =  − 1÷ = x − = = x −3  x −2  x −3 x −2 x −3 x −2 ( 0 ≤ x <  x≠4 +) Trường hợp 1:  +) Trường hợp 2: Ta có: x >9  ⇒ x ≥ 10 x ∈¢ x −3< ) ⇒ x −3 ⇒ 2 ≤ ⇒K≤ x −3 10 − 10 − ( 2) ⇒ K ≤ + 10 Từ ( ) ( ) ⇒ K ≤ + 10 với x ≥ ; x ≠ ; x ≠ Đẳng thức xảy x = 10 Vậy với x = 10 giá trị lớn K + 10 Câu 18 Cho hai biểu thức A= x +5 B= x − TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN x −1 x − − − x với x > 0; x ≠ x +3 22 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG a) Tính giá trị biểu thức A x = 16 b) Rút gọn biểu thức B A M= B đạt giá trị nhỏ c) Tìm giá trị x để biểu thức Lời giải x > 0; x ≠ Ta có: x = 16 (thỏa mãn ) a) Điều kiện: 16 + 21 A= = = 21 16 − x = 16 A Thay vào ta được: x = 16 Vậy giá trị A 21 x −1 x − − − x với x > 0; x ≠ x + b) Rút gọn biểu thức x −1 x −3 x −1 x − = + B= − x +3 x +3 x −3 9−x x +3 ID1-10 x −4 x +3+7 x −3 x +3 x B= = x +3 x −3 x +3 x −3 B= ( ( B= x ( )( x +3 ) ) ( )( )( ) ) x x −3 A M= B đạt giá trị nhỏ c) Tìm giá trị x để biểu thức A x+5 x −3 x +5 M= = = = x+ B x −3 x x x với x > 0; x ≠ ( x +3 )( ) x −3 = >0 x > 0; x ≠ ⇒ x > x x > Với ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương x > x ta được: 5 x+ ≥ x ⇔ M ≥ ⇔ x= ⇔ x = 5(TM) x x x Dấu “=” xảy Vậy M = x =  1  x +1 A = + ÷: x −  ( x − 1)2 (với x > 0;x ≠ )  x− x Câu 19 Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị lớn biểu thức P = A − x Lời giải a) Rút gọn biểu thức   1  x +1 1  ( x − 1)2 A = + = + ÷ ÷: x −  ( x − 1)2  x( x − 1) x −1 ÷ x +1  x− x  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 23 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI A= x +1 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ( x − 1) x( x − 1) x −1 = x +1 x b) Tìm giá trị lớn biểu thức P = A − x P = A −9 x = Đặt −9x + x − x x = t > ⇒ 9t2 + (P − 1)t + =  ∆ ≥  t +t >0 a.c > t > Do nên phương trình có nghiệm khi:    P ≤ −5 (P − 1)2 − 36 ≥   ⇔  1− P ⇔   P ≥ ⇔ P ≤ −5 >0     P 0, x ≠ a) Rút gọn M b) Tìm giá trị x để M= c) Tìm giá trị lớn biểu thức P = M − x Lời giải a) Rút gọn M   M= + ÷: x −1  x− x M= 1+ x x ( ) x −1 ( M= x +1 ( ) x −1 ) x −1 với x > 0, x ≠ x +1 = x −1 x b) Tìm giá trị x để M= với x > 0, x ≠ x −1 = ⇒ x −3 = x ⇔ x = x ⇔ x= ⇔x= (TM) ⇔ TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 24 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Vậy để M= GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x= c) Tìm giá trị lớn biểu thức P = M − x   x −1 x − − 9x = 1−  +9 x ÷ = −9 x = P = M −9 x x x  x  ⇒ >0 ⇒ x > x x > Vì Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương x x ta có: 1 +9 x ≥ x = 2.3 = x x   ⇒ 1−  + x ÷≤ −  x  ⇔ P ≤ −5 1 ⇔ =9 x ⇔x= x ⇒ 9x = (TM) Dấu “=” xảy ⇔x= Vậy Max P = −5    x 1− x   x + P = 1 − − − 1÷ ÷:  ÷ − 9x x ≠ x + 3 x +     với x ≥ Câu 21 Cho biểu thức ( ) a) Rút gọn biểu thức P b) Tính x P = x c) Tìm giá trị nhỏ P x> Lời giải a) Với x ≥ x≠ , ta có:  x 1− x P = 1 − −  x + 1 − 9x TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN    x +4  − 1÷ ÷: ÷   3 x +  ( ) 25 ID1-10 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI  x 1− x = 1 − +  x +1 x +1 x −1  ( = = = (3 )( )( ) ) ( ( ) ( )( ) ( ) ( x + x −1 ( ) ÷ ) ÷   3 x +1 ÷:  x + − ÷  3 x +1 3 x +1   x + x −1 − x x −1 + − x (3 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ) :9 ) x + 4−9 x −3 ( ) 3 x +1 9x − − 6x + x + − x 3 x + x +1 x −1 ( (3 )( ) 3x )( ) x +1 x −1 b) Với x ≥ x≠ P= x ⇔ ( ) 3 x + = 9x x −1 , ta có: ( ) 9x = x ⇒ 9x = 3x − x ⇔ 6x + x = ⇔ x x + = x −1 x =  x =0 ⇔ ⇔  x = −1 ( Loai ) 6 x + =  Vậy x = giá trị cần tìm c) Khi x> 1 9x > 0;3 x − > −1 > ⇒ P > 9 , ta có: P= 9x ⇔ 3P x − P = 9x ⇔ 9x − 3P x + P = x −1 Đặt t = x ≥ , ta có 9t − 3Pt + P = ∆ = ( −3P ) − 4.9.P = 9P − 36P = 9P ( P − ) Để phương trình có nghiệm P > 0⇒ P−4≥ ⇔ P ≥ ∆ ≥ ⇔ 9P ( P − ) ≥ mà Vậy giá trị nhỏ P t= − ( −3P ) P 9x ⇔ x= ⇔ x= ⇔ 18x − x = 9x ⇔ 9x − x = 2.9 6 x −1 ( )  x =0  x = ( Loai )  ⇔ ⇔  x=2  x = (tm) ⇔3 x x −2 =0   ( ) Vậy MinP = x= TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 26 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x −3 x + 16 B= + x − − x với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x + Câu 22 Cho hai biểu thức: 1) Tính giá trị biểu thức A x = 25 A= x −3 x +2 B= 2) Chứng minh: 3) Với x số tự nhiên thỏa mãn x > , tìm giá trị lớn biểu thức P= B A Lời giải 1) Ta có: A= x −3 x +6 ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Thay x = 25 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A ta có: A= 25 − 5−3 = = 25 + 2.5 + 13 Kết luận: Với x = 25 giá trị biểu thức A 13 2) Ta có: B= B= x + 16 + x −4 2− x x + 16 ( x −2 )( ( ( x − 2) ( ( x − 2) ( B= ( x − 2) ( B= x + 16 − Kết luận: 3) Ta có: P= = B= A ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ ( B= x +2 ) − = x −2 ) = x + 16 − x + ) ( x − 2) ( x − 3) x −3 = x +2 x + 2) x +2 x +2 x −2 )( x − 10 x +2 x +2 = ) ( ) x −2 − x −5 x +6 x −2 )( x +2 ) x −3 x + với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x −3 x −3 : = x +2 x +6 x +3 ( x + 16 ) = 2( ) x +2 +2 x +2 ( x −3 x +3 x +2 x −3 = 2+ ) x +2 Với x số tự nhiên thỏa mãn x > mà x ≠ ⇒ x ≥ Với x ≥5⇒ x ≥ ⇒ 2 ≤ −4⇒ 2+ ≤ −2 x +2 x +2 hay P ≤ − Kết luận: MaxP = − ⇔ x = (thỏa mãn) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 27 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Câu 23 Cho hai biểu thức  x x  x x +2 B= + ÷: x −3 x −3 + x  x− x −6 với x > 0, x ≠ a) Tính giá trị biểu thức A x = 36 A= b) Rút gọn biểu thức B c) Với x ∈ Z , tìm giá trị lớn biểu thức P = A.B Lời giải Với x > 0, x ≠ hai biểu thức A, B xác định a) x = 36 thoả mãn x > 0, x ≠ ta thay vào A ta A= 36 + + = = + 36 + Vậy giá trị biểu thức A x = 36 b) Rút gọn biểu thức B  x x  x B= + ÷: x −3 x −3  x − x −6   x x ÷ x  = + :  x −3 x −3÷ x −3 x +2    x x +2 x = +  x −3 x +2 x −3 x +2  ( ( = = ( )( ( ) )( x 4+ x x −3 )( ) x +2 ) ( ) ( )( ) )  x ÷: ÷ x −3  x −3 x x +4 x +2 c) Với x ∈ Z , tìm giá trị lớn biểu thức P = A.B x +2 x +4 x +4 = = 1+ 1+ x x + x +1 x +1 Vì x > , x ∈ Z nên x ≥ ⇒ x + ≥ 3 ≤ ⇒ P ≤ 1+ = 2 suy x + Dấu “=” xảy x = Vậy GTLN P x = P = A.B = Câu 24 Cho biểu thức: TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 28 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 25 x + x −1 x x −6 x − + B= x − 36 6− x x + x − với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 36 a) Tính giá trị biểu thức B x = 16 A= b) Rút gọn biểu thức A c) Đặt T = A.B Tìm giá trị nhỏ biểu thức T Lời giải a) Tính giá trị biểu thức B x = 16 Thay x = 16 (thoả mãn đkxđ) vào b) Rút gọn biểu thức A A= A= A= A= B= 25 x + x −1 x − + x − 36 6− x x +6 ( ( x + 6) ( x − 6) ( 25 x + + )( x − 6) ( x −1 x −6 x 16 − 16 −8 B= = x − ta được: 16 − )+ x + 6) ( x +6 x ( x −6 )( x −6 ) x +6 ) 25 x + + x + x − + 2x − 12 x ( ( x +6 3x + 18 x x +6 )( x −6 )( = x −6 ) ( ) x ( x +6 )( x +6 ) x −6 ) = c) Đặt T = A.B Tìm giá trị nhỏ biểu thức T Với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 36 ta có: x x −6 ( ) x x −6 x x −6 x x T = A.B = = = x −6 x −1 x −6 x −1 x = 3x ⇔ ≥0⇔ x −1 x > T xác định mà T ≥ T = ⇔ x = nên TMin = Vậy TMin = ⇔ x = 3x x −1 x x − 2x − x − x+7 B= + − x −9 x + x − x Câu 25 Cho biểu thức: với x > 0; x ≠ 1) Tính giá trị biểu thức A x = 1, 44 A= 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S= +A B Lời giải a) Thay x = 1, 44 (tmđk) vào biểu thức A ta được: TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 29 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI A= 1, 44 + 8, 44 211 = = 1, 30 1, 44 A= Vậy x = 1, 44 b) ĐKXĐ: x > 0; x ≠ x B= B= 211 30 x x − 2x − x − + − x −9 x +3 x −3 B= B= GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ( ) ( ( )( x + 3) ( x − + x −1 ) x + − 2x + x + x −3 ) x − x + 2x + x − x − − 2x + x + ( x ( ( x +3 x +3 )( x +3 ) x −3 )( x −3 ) ) x x −3 B= c) ĐKXĐ: x > 0; x ≠ S= x −3 x +7 x + x +4 + = = x+ +1 x x x x +A = B x > 0; Vì ta được: x+ >0 x nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ≥2 x x x x , x ⇒ x+ ≥ 2.2 x ⇒ x+ ≥4 x ⇔ x+ +1 ≥ x x= ⇒x=4 x (thỏa mãn) Dấu "=" xảy Vậy GTNN S đạt x = TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 30 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x −2 x x −2 x +1 B= − − x + x + x −2 x−2 x x với x > 0; x ≠ Câu 26 Cho biểu thức 1) Tính giá trị biểu thức A x = A= 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm giá trị lớn biểu thức M= 6A B Lời giải 1) Khi x = ⇒ x = thỏa mãn điều kiện.Thay vào biểu thức A ta được: A= 3−2 1 = A= + + 13 Vậy x = 13 2) Với x > 0; x ≠ ta có: = x x −2 x +1 − − x −2 x−2 x x B= x x −2 x +1 − − x −2 x x x −2 ( x x = x ( x −2 ) ) x −2 − ( x x −2 ) − ( )( x +1 x ( x −2 x −2 ) ) ) ( x + 1) ( x − ) = 2x − x + − x + x ( x − 2) x ( x − 2) ( x − 2) = x − x−4 x +4 = = x x ( x − 2) x ( x − 2) = ( 2x − x − − x +2 Vậy 3) Ta có: M= B= x −2 x với x > 0; x ≠ ( ) ( ) 6A x − x −2 x −2 x x = : = = B x + x +1 x x + x +1 x − x + x +1 1 x > ⇒ x > 0; >0 x+ +1 x x Áp dụng bất đẳng thức Cô si với số dương ta được: ⇒M= x+ ≥2 x Dấu "=: xảy x 1 =2⇒ x + +1 ≥ ⇔ x x x= ≤2 x+ +1 x hay M ≤ ⇒ x =1 x ( thỏa mãn đk) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 31 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Vậy Max M = ⇔ x = TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 32 PHONE: 0983.265.289 ... Vậy 2) Rút gọn biểu thức P 2+ x x 4x + x − A= + − ( x > 0; x ≠ ) x? ?4 2− x 2+ x A= 2+ x x 4x + x − + + 4? ??x 2− x 2+ x (2+ x) A= A= A= + ( x − x ) + 4x + x ? ?4 4−x 2− x 2+ x + x + x + x − x + 4x +... YÊN PHONG – Ý YÊN 29 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI A= 1, 44 + 8, 44 211 = = 1, 30 1, 44 A= Vậy x = 1, 44 b) ĐKXĐ: x > 0; x ≠ x B= B= 211 30 x x − 2x − x − + − x −9 x +3 x −3... x = 64 ĐKXĐ: x ≥ ; x ≠ ; x ≠ Thay x = 64 (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức Q ta 64 − = 64 − Q= Q= Vậy x = 64 x P= x −2 2) Chứng minh Điều kiện: x ≥ ; x ≠ ; x ≠ x 1 P= + + x? ?4 x −2