Phân tích kết cấu tấm bằng phân tử MITC3+ được làm trơn trên cạnh (ES MITC3+)

Phân tích kết cấu tấm bằng phân tử MITC3+ được làm trơn trên cạnh (ES MITC3+) Phân tích kết cấu tấm bằng phân tử MITC3+ được làm trơn trên cạnh (ES MITC3+) Phân tích kết cấu tấm bằng phân tử MITC3+ được làm trơn trên cạnh (ES MITC3+) Phân tích kết cấu tấm bằng phân tử MITC3+ được làm trơn trên cạnh (ES MITC3+)

TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU

T ÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC

Kết cấu tấm hiện đang là một trong những loại kết cấu phổ biến, nhờ vào đặc tính mỏng nhẹ và khả năng chịu uốn tốt, cho phép vượt nhịp lớn Chính vì vậy, tấm được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực xây dựng như sàn, tường, tôn và vách.

Tấm được ứng dụng rộng rãi trong thi công xây dựng, bao gồm việc sử dụng trong ván khuôn cho các cấu kiện công trình, làm kết cấu mái và bao che cho các công trình Ngoài ra, tấm còn có nhiều ứng dụng khác, thậm chí được sử dụng làm khung chịu lực cho các công trình khác.

Lý thuyết tấm đồng nhất đẳng hướng được chia thành hai loại: lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff và lý thuyết tấm dày Mindlin Lý thuyết Kirchhoff bỏ qua biến dạng cắt ngoài mặt phẳng, phù hợp với các tấm có tỷ số chiều dài/chiều dày lớn, trong khi lý thuyết Mindlin tính đến biến dạng cắt, thích hợp cho các tấm có tỷ số nhỏ Để phân tích và tính toán ứng xử của tấm chịu uốn, nhiều phương pháp giải tích và số đã được đề xuất, trong đó phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) được sử dụng phổ biến nhất nhờ vào độ chính xác cao và khả năng phân tích các tấm phức tạp Phương pháp này ra đời từ những năm 1940, với sự đóng góp của Hrennikoff, McHenry và Richard Courant, và phát triển mạnh mẽ vào giữa những năm 1950, đặc biệt trong phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng.

Xấp xỉ PTHH cho trường chuyển vị của tấm mỏng theo lý thuyết Kirchhoff yêu cầu hàm liên tục dạng C 1, tức là đạo hàm cấp 1 phải liên tục, trong khi tấm dày theo lý thuyết Mindlin chỉ cần hàm xấp xỉ dạng C 0 Việc xây dựng hàm xấp xỉ PTHH dạng C 0, đặc biệt cho các phần tử đẳng tham số, dễ dàng hơn nhiều so với dạng C 1 Tuy nhiên, việc sử dụng hàm xấp xỉ dạng C 0 thuần túy cho tấm mỏng có thể dẫn đến sai số trong tính toán ứng xử, vì nó không loại bỏ được biến dạng cắt ngoài mặt phẳng khi chiều dày tấm mỏng.

Hiện tượng khóa cắt xảy ra khi biến dạng cắt ngoài mặt phẳng tăng lên khi chiều dày tấm giảm, dẫn đến sự giảm chuyển vị không đúng với ứng xử thực tế của tấm Để khắc phục hiện tượng này trong các công thức PTHH tấm sử dụng xấp xỉ dạng C0, nhiều nghiên cứu đã đề xuất các phương pháp khử khóa cắt Các phương pháp phổ biến bao gồm phương pháp tích phân giảm (RI), tích phân lựa chọn (SI), giả sử biến dạng tự nhiên (ANS), giả sử biến dạng nâng cao (EAS), cải tiến biến dạng cắt tấm Mindlin (MIN3), phương pháp rời rạc chênh lệch cắt (DSG3), và các phương pháp nội suy thành phần ten-xơ hỗn hợp như MITC3, MITC3+, MITC4, MITC4+, MITC7, MITC9.

Alexander Hrennikoff và Richard Courant là những người tiên phong trong việc phát triển phương pháp Phân Tích Phần Hữu Hạn (PTHH) vào nửa sau thập niên 1950, tập trung vào phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng Những nghiên cứu của họ đã đạt được nhiều thành tựu quan trọng tại Berkeley trong những năm 1960, góp phần nâng cao hiệu quả trong ngành xây dựng.

Gần đây, Liu đã đề xuất phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên biên (ES-FEM) cho phân tích tĩnh, tự do và dao động của các tấm 2D Kết quả số cho thấy độ chính xác cao của ES-FEM, với khả năng hội tụ tốt hơn và chính xác hơn so với phương pháp FEM sử dụng phần tử 4 cạnh (FEM-Q4) với cùng số lượng nút Phương pháp này không yêu cầu kiểu năng lượng ảo, giúp tăng cường tính ổn định và hiệu quả trong phân tích động, đồng thời đơn giản hóa quy trình tính toán hơn so với FEM.

Trong những năm gần đây, phương pháp phần tử hữu hạn trơn đã được phát triển và áp dụng thành công trong phân tích nhiều bài toán kết cấu, cho thấy độ chính xác và tốc độ hội tụ tốt hơn so với phương pháp truyền thống Phương pháp này trung bình trường biến dạng trên các miền làm trơn, được xác định trên miền con của phần tử, giữa hai phần tử chung cạnh hoặc giữa các phần tử chung nút Kết quả số cho thấy phương pháp ES-FEM thường mang lại kết quả tốt hơn CS-FEM hoặc NS-FEM, mặc dù ES-FEM và NS-FEM đòi hỏi thời gian tính toán thêm để xác định miền làm trơn Đối với các kết cấu như tấm gấp hay vỏ, việc áp dụng ES-FEM hay NS-FEM gặp khó khăn hơn so với CS-FEM ở các phần tử không đồng phẳng Đặc biệt, phương pháp PTHH trơn đã kết hợp với các kỹ thuật khử khóa cắt như MIN3, DGS3, MITC3 và MITC3+ trong phân tích tấm đồng nhất đẳng hướng với phần tử tam giác 3 nút.

Nguyen-Thoi và cộng sự đã phát triển phương pháp làm trơn trên miền phần tử (CS) kết hợp với kỹ thuật khử khóa cắt MIN3, tạo ra thành phần tử CS-MIN3 Phương pháp này được áp dụng để phân tích tĩnh và tần số của tấm.

Nguyen-Xuan và cộng sự [16] đã nghiên cứu phần tử ES-DGS3, kết hợp giữa kỹ thuật làm trơn trên cạnh (ES) và phương pháp khử khóa cắt DSG3, nhằm phân tích tĩnh và dao động của tấm Reissner-Mindlin.

Nguyen-Xuan và cộng sự đã phát triển phần tử NS-DSG3 bằng cách áp dụng phương pháp làm trơn trên nút (NS) và khử khóa cắt DSG3, nhằm mục đích phân tích tĩnh và dao động của tấm Reissner-Mindlin.

Nguyen-Thoi và cộng sự [18] đã thực hiện phân tích tĩnh và dao động của tấm đồng nhất bằng cách áp dụng phần tử CS-DSG3, sử dụng phương pháp làm trơn trên miền phần tử (CS) kết hợp với kỹ thuật DSG3.

Nguyễn Duy Quang trong luận văn thạc sĩ đã nghiên cứu phương pháp làm trơn trên cạnh (ES) kết hợp với kỹ thuật khử khóa cắt MITC3, tạo ra thành phần tử ES-MITC3 để phân tích tĩnh và dao động của tấm.

Nguyễn Văn Dũng trong luận văn thạc sĩ đã phát triển phần tử NS-MITC3 bằng cách kết hợp phương pháp làm trơn trên nút (NS) với kỹ thuật MITC3 Nghiên cứu này nhằm phân tích tĩnh và dao động của tấm đồng nhất đẳng hướng cũng như tấm composite nhiều lớp.

Võ Ngọc Tuyển đã nghiên cứu sự kết hợp giữa phương pháp làm trơn trên miền phần tử (CS) và kỹ thuật khử khóa cắt MITC3, nhận thấy rằng phương pháp này tương đương với việc không làm trơn do tất cả các trường biến dạng đều là hằng số Vì vậy, tác giả đã áp dụng kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+ kết hợp với kỹ thuật làm trơn trên miền con của phần tử để phát triển phần tử CS-MITC3+ nhằm phân tích tĩnh kết cấu tấm.

T ÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI

Nghiên cứu phát triển các phần tử tấm có khả năng phân tích chính xác các kết cấu tấm với hình dáng và tải trọng đa dạng đang thu hút sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu cả trong và ngoài nước Các phần tử này không chỉ đảm bảo độ chính xác cao và tốc độ hội tụ nhanh mà còn có chi phí tính toán thấp, góp phần nâng cao hiệu quả trong lĩnh vực kỹ thuật kết cấu.

Vì vậy, việc đề xuất công thức PTHH tấm tam giác 3 nút và nghiên cứu khả năng ứng dụng của nó trong phân tích tấm là cần thiết.

M ỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI

Mục đích của đề tài là xây dựng công thức PTHH cho phần tử tấm tam giác

Nút ES-MITC3+ kết hợp kỹ thuật làm trơn trên cạnh (ES) và kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+ nhằm phân tích kết cấu tấm đồng nhất đẳng hướng Mục tiêu của việc sử dụng phần tử này là đạt được kết quả tính toán chính xác hơn và tăng tốc độ hội tụ so với các phần tử tương tự.

N HIỆM VỤ VÀ GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI

Đề tài này tập trung vào việc xây dựng cơ sở lý thuyết và lập trình tính toán nhằm khảo sát độ chính xác và tính hội tụ của công thức phần tử hữu hạn trơn ES-MITC3+ trong phân tích tuyến tính tấm đồng nhất đẳng hướng.

P HƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để giải quyết nhiệm vụ của đề tài, phương pháp nghiên cứu theo các bước sau được thực hiện:

• So sánh kết quả tính toán với các nghiên cứu khác

• Nhận xét kết quả và kết luận.

LÝ THUYẾT TẤM BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT

G IẢ THUYẾT

Lý thuyết tấm biến dạng cắt, hay còn gọi là lý thuyết tấm dày chịu uốn, được phát triển bởi Levy-Reissner-Hencky-Mindlin, dựa trên giả thiết của Reissner và Mindlin, tương tự như lý thuyết dầm Timoshenko chịu cắt Theo tỉ số h/a giữa bề dày tấm h và kích thước nhỏ nhất của mặt phẳng tấm a, tấm có thể được phân loại thành hai loại khác nhau.

• Tấm dày: h/a > h/5 hoặc tỉ lệ h/a  1/20

• Tấm mỏng: 1/20  h/a  h/5 và độ võng lớn nhất w max  h/4

Trong tấm mỏng, ứng suất màng thường rất nhỏ so với ứng suất uốn do tải trọng vuông góc gây ra khi độ võng của tấm nhỏ Tuy nhiên, khi độ võng lớn hơn hoặc bằng h/4, ứng suất uốn sẽ bị ảnh hưởng đáng kể bởi ứng suất màng Do đó, cần áp dụng lý thuyết tấm có biến dạng lớn để tính toán chính xác.

T RƯỜNG CHUYỂN VỊ

Theo giả thuyết tấm Mindlin-Reissner, khi tấm phẳng chịu tải trọng phân bố q, đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm sẽ bị biến dạng, dẫn đến chuyển vị võng xuống một đoạn w theo phương z, trong đó w là hàm phụ thuộc vào x và y Đồng thời, tấm cũng sẽ có hai chuyển vị góc xoay βx và βy, tương ứng với hai góc xoay quanh trục y và x.

Cả 3 thành phần này w, βx, βy được biểu diễn như sau: w w w

Hình 2-1: Trường chuyển vị trong tấm

Trong bài viết này, u, v, w đại diện cho các chuyển vị thẳng theo các phương x, y, z Các góc xoay βx và βy tương ứng với đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình quanh trục y và trục x, với chiều dương được quy ước như được mô tả trong Hình 2-1.

T RƯỜNG BIẾN DẠNG

Từ trường chuyển vị (2.1), ta có trường biến dạng:

Trong đó:  x ,  y ,  z là các biến dạng dài theo phương x, y, z;  xy ,  xz ,  yz lần lượt là các biến dạng trượt trong mặt phẳng Oxy, Oxz, Oyz.

T RƯỜNG ỨNG SUẤT

Hình 2-2: Các thành phần ứng suất của tấm

Dựa vào định luật Hooke, theo lý thuyết ứng suất phẳng, từ trường biến dạng (2.2) cho ra trường ứng suất;

1 0 2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) x x y y x y z xy xy xz xz yz yz

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các ứng suất pháp theo ba phương x, y, z, bao gồm x, y, z và các ứng suất tiếp như τxy, τxz, τyz trên các mặt có vectơ pháp tuyến tương ứng với các trục x, y, z Ngoài ra, E được đề cập là mô-đun đàn hồi khi kéo nén của vật liệu, trong khi ν là hệ số Poisson.

Trường ứng suất (2.3) có thể được viết lại dưới dạng ma trận như sau:

Thế quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị cho bởi (2.2) vào ứng suất (2.4) và (2.5), ta có:

N ỘI LỰC

Tách 1 đơn vị dài trên chiều dày h của tấm Khi đó, hợp lực các ứng suất phân bố trên đơn vị này theo chiều dày h được gọi là nội lực, hay còn gọi là các thành phần ứng lực của tấm w

Hình 2-3: Các thành phần nội lực của tấm

Moment trên 1 đơn vị chiều dài:

M_x và M_y là các moment uốn trên một đơn vị dài của mặt cắt khi quay quanh trục y và x, với chiều dương như thể hiện trong Hình 2-3 Đồng thời, M_xy đại diện cho moment xoắn trên một đơn vị dài của mặt cắt khi quay quanh trục x.

Thế ma trận ứng suất (2.6) vào moment (2.10), ta có:

Trong đó, M = [M x M y M xy ] T và D là độ cứng trụ của tấm với

Lực cắt trên 1 đơn vị chiều dài:

Trong đó, Q x , Q y là lực cắt trên 1 đơn vị dài lần lượt nằm trong mặt phẳng Oxz và Oyz

Thế ứng suất cắt (2.7) vào lực cắt (2.13), ta có véc-tơ lực cắt;

Mô-đun đàn hồi trượt được xác định bởi công thức G = E/[2(1+ν)], trong đó E là mô-đun đàn hồi và ν là hệ số Poisson Hệ số hiệu chỉnh cắt k = 5/6 được sử dụng để điều chỉnh giá trị lực cắt, dựa trên các ứng suất tiếp τxz và τyz, theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất.

CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN TẤM BIẾN DẠNG TRƠN ES-MITC3+

C ÔNG THỨC PTHH TẤM TAM GIÁC

Hình 3-1: Phần tử tấm tam giác 3 nút với chiều dương bậc tự do tại nút

Mặt trung bình của tấm được rời rạc hóa bằng các phần tử tam giác 3 nút, trong đó trường chuyển vị được xấp xỉ thông qua chuyển vị của các nút phần tử và nút nổi.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các yếu tố ảnh hưởng đến độ võng và góc xoay của nút i trong hệ tọa độ tự nhiên Cụ thể, độ võng w i và các góc xoay quanh trục x và trục y được ký hiệu lần lượt là  xi và  yi Chiều dương của các chuyển vị nút được minh họa trong Hình 3-1, cùng với các hàm dạng N i được định nghĩa trong hệ tọa độ tự nhiên , .

Thế (3.1) vào (2.8) và (2.9), ta được;

0 i i yi i i i b xi xi i i i i i yi i i i i yi xi

Trong đó, d i = [w i  xi  yi ] T với i = 1 3 và d 4 = [0  x4 y4] T và

Theo nguyên lý công ảo, năng lượng biến dạng đàn hồi của tấm chịu uốn liên quan đến ngoại lực q phân bố tác dụng vuông góc với mặt trung bình của tấm.

Dựa vào mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng cho bởi công thức (2.6) và (2.7), nguyên lý công ảo (3.7) có thể viết lại:

Thế (3.1), (3.3) và (3.4) vào (3.8), ta có phương trình cân bằng rời rạc theo phương pháp phần tử hữu hạn;

Trong đó, k e = k b e + k s e với k b e , k s e lần lượt là ma trận độ cứng uốn và cắt của phần tử e có;

=  A k B D B (3.13) f e là véc-tơ lực của phần tử có;

Và d e = [d 1 T d 2 T d 3 T 0  x4 y4] T là véc-tơ chuyển vị của phần tử.

C ÔNG THỨC PTHH TẤM TAM GIÁC MITC3+

Do các thành phần chuyển vị nút được xấp xỉ bằng các hàm bậc thấp, nên đạo hàm bậc 1 của xấp xỉ chuyển vị trở thành hằng số Điều này dẫn đến việc biến dạng cắt ngoài mặt phẳng γ không thể bằng 0, nghĩa là khi tấm mỏng bị biến dạng, biến dạng cắt ngoài mặt phẳng vẫn tồn tại Hiện tượng này không phù hợp với ứng xử thực tế của tấm mỏng và cho thấy rằng tấm càng mỏng thì độ võng càng lớn Đây là hiện tượng khóa cắt xảy ra với các phần tử sử dụng hàm xấp xỉ chuyển vị bậc thấp.

Hiện tượng khóa cắt đã thu hút sự chú ý của nhiều tác giả với các phương pháp giải quyết khác nhau Luận văn này áp dụng phương pháp nội suy các thành phần ten-xơ hỗn hợp MITC3+ để khắc phục hiện tượng khóa cắt trong phần tử tấm tam giác 3 nút có thêm 1 nút nổi ở trọng tâm Phương pháp MITC3+ tập trung vào việc xấp xỉ biến dạng cắt ngoài mặt phẳng thông qua các giá trị biến dạng được tính tại các điểm buộc, như được mô tả trong Hình 3-2 và Bảng 3-1.

B B C C xz xz yz xz yz

A A C C yz xz yz xz yz c c

Với c ˆ=( xz F − xz D )−( yz F + yz E ) Trong đó,  xz I ,  yz I là giá trị biến dạng cắt ngoài mặt phẳng tại các điểm buộc I = A, B, C, D, E, F

Các giá trị biến dạng cắt ngoài mặt phẳng tại các điểm buộc được tính dựa trên chuyển vị nút phần tử \( d_i \) Sử dụng công thức (3.4) để xấp xỉ biến dạng cắt ngoài mặt phẳng trong công thức (3.15), chúng ta có thể xác định mối quan hệ giữa biến dạng cắt ngoài mặt phẳng xấp xỉ theo kỹ thuật MITC3+ và chuyển vị nút phần tử \( d_i \).

Hình 3-2: Vị trí điểm buộc của phương pháp MITC3+ [10]

Bảng 3-1: Tọa độ các điểm buộc của phương pháp khử khóa cắt MITC3+ với d = 1/10000 [10] Điểm buộc  

Do đó, ma trận độ cứng cắt tính theo phương pháp MITC3+ có dạng; ˆ , ˆ T ˆ d e s s s s e ij i j

Và ma trận độ cứng phần tử MITC3+ được tính bởi;

C ÔNG THỨC PHẦN TỬ TẤM TAM GIÁC ES-MITC3+

Trong bài viết này, chúng tôi thiết lập công thức phần tử tấm tam giác ES-MITC3+ bằng cách làm trơn trường biến dạng uốn trên miền làm trơn  (k) Phương pháp này kết nối trọng tâm của hai phần tử chung cạnh với hai nút của cạnh này, như được minh họa trong Hình 3-3, đồng thời giữ nguyên trường biến dạng cắt ngoài mặt phẳng theo phương pháp MITC3+.

Theo phương pháp làm trơn trên cạnh (ES) [14], trường biến dạng uốn xấp xỉ như sau:

Trong đó, A (k) là diện tích miền làm trơn Ω (k)

Hình 3-3: Phân chia miền làm trơn trên cạnh phần tử

Trong bài viết này, chúng ta xem xét số lượng nút trong miền làm trơn Ω (k), với N n (k) = 3 cho miền làm trơn có cạnh nằm trên biên và N n (k) = 4 cho các miền làm trơn khác Để phân tích sâu hơn, chúng ta áp dụng định lý Green.

Với n x , n y lần lượt là hình chiếu theo phương x và y của véc-tơ n pháp tuyến với biên

Miền  (k) được thể hiện qua hàm  (k) như trong Hình 3-4 Đối với các hàm bậc thấp, tích phân (3.21) có thể được tính chính xác bằng cách áp dụng phương pháp 2 điểm Gauss trên mỗi cạnh của biên miền làm trơn  (k).

Hình 3-4: Véc-tơ pháp tuyến với biên của miền làm trơn

Dùng (3.21) và công thức B i b cho bởi (3.5), ta có thể viết

Thế (3.22) vào (3.20), ta có quan hệ giữa biến dạng uốn trơn và chuyển vị nút phần tử

Vậy, ma trận độ cứng uốn sau khi được làm trơn trên miền chung cạnh của 2 phần tử có dạng

= A k B D B (3.24) Để cải thiện độ chính xác, ma trận D s được hiệu chỉnh bằng cách đưa vào hệ số ổn định  như sau [26]

Trong đó, l e là chiều dài lớn nhất của cạnh phần tử

Và ma trận độ cứng phần tử ES-MITC3+ được tính bởi

Hiện tại, độ cứng của phần tử ES-MITC3+ được xác định bởi ma trận k e liên quan đến các bậc tự do của phần tử d e [d 1 T d 2 T d 3 T 0  x4  y4] T Để loại bỏ bậc tự do w 4 = 0, chúng ta cần loại bỏ hàng và cột thứ 10 trong ma trận k e Các chuyển vị  x4 và  y4 được tính toán dựa trên các chuyển vị nút d 1, d 2, d 3 thông qua phương pháp nén tĩnh.

Và thế vào (*), ta có;

Ma trận độ cứng k e bao gồm các thành phần k 11 e, k e 22, k 12 e và k 21 e, tương ứng với các bậc tự do tại các nút đỉnh phần tử, nút nổi và sự tương tác giữa các bậc tự do này Các bậc tự do tại nút đỉnh của phần tử được biểu diễn bởi vector d e =   w 1   x 1 y 1 w 2   x 2 y 2 w 3   x 3 y 3   T.

Ma trận độ cứng phần tử ES-MITC3+ có kích thước 9x9 và liên quan đến các bậc tự do tại nút đỉnh của phần tử Kết quả là ma trận độ cứng này được ghép vào ma trận độ cứng kết cấu thông qua các bậc tự do tại nút đỉnh phần tử.

VÍ DỤ SỐ

B ÀI TOÁN PATCH TEST

Để kiểm tra khả năng xấp xỉ trường biến dạng và ứng suất của phần tử ES-MITC3+, một tấm chữ nhật dày h = 0.01 được xét với tọa độ nút và lưới phần tử như trong Hình 4-1 Tấm này được làm từ vật liệu có mô-đun đàn hồi E = 10^5 và hệ số Poisson  = 0.25 Tấm chịu độ võng cưỡng bức được mô tả bởi công thức w = (1 + x + 2y + x^2 + xy + y^2) / 2.

Hình 4-1: Tọa độ nút phần tử của bài toán patch test

Theo lý thuyết tấm mỏng, khi bỏ qua biến dạng cắt ngoài mặt phẳng, từ độ võng w có thể tính được góc xoay quanh trục x và y là  x =  w y và  y =  w x, cùng với các thành phần biến dạng, ứng suất và mô-men Kết quả tính toán chuyển vị và nội lực tại nút 5 với tọa độ x = 0.3 và y = 0.6 được trình bày trong Bảng 4-1, bao gồm lời giải từ lý thuyết tấm mỏng và phương pháp phần tử ES-MITC3+.

Phần tử ES-MITC3+ đã chứng minh khả năng vượt qua điều kiện patch test nhờ vào việc biểu diễn chính xác trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất và nội lực, với kết quả chuyển vị và mô-men hoàn toàn tương đồng với lời giải lý thuyết.

Bảng 4-1 : Kết quả chuyển vị và mô-men tại nút 5 của bài toán patch test

T ẤM HÌNH VUÔNG NGÀM 4 CẠNH CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU

Cho tấm vuông cạnh a, dày h, với ngàm 4 cạnh biên (w = θx = θy = 0 tại biên) và chịu tải trọng đều q = 1 Vật liệu tấm là đồng nhất, đẳng hướng, có E = 1092000 và  = 0.3 Độ võng w c và mô-men M c tại tâm tấm được xác định cho hai trường hợp: tấm mỏng với tỉ số h/a = 0.001 và tấm dày với tỉ số h/a = 0.1 Để so sánh với kết quả tham khảo, độ võng và mô-men tại tâm tấm được chuẩn hóa.

Hình 4-2: Tấm vuông ngàm 4 cạnh chịu tải phân bố đều

Tấm được chia thành lưới 2NN với các phần tử tam giác 3 nút đều, trong đó N có thể nhận các giá trị 4, 8, 10, 12 và 16, tương ứng với số phần tử trên mỗi cạnh của tấm Kết quả tính toán độ võng và mô-men chuẩn hóa bằng phần tử ES-MITC3+ cho các loại lưới khác nhau được trình bày cho bài toán tấm mỏng với h/a = 0.001 và tấm dày với h/a = 0.1 trong Bảng 4-2 Độ hội tụ của độ võng và mô-men chuẩn hóa tại tâm tấm được thể hiện trong biểu đồ Hình 4-4 và Hình 4-5.

Hình 4-3: Mô phỏng tấm vuông ngàm 4 cạnh bằng

Bảng 4-2 : Độ hội tụ của độ võng chuẩn hóa wc/(qL 4 /100D) và moment chuẩn hóa

M c /(qL 2 /10) tại tâm tấm vuông ngàm 4 cạnh chịu tải phân bố đều q = 1 h/a Phương Pháp Cách chia lưới Độ lệch

4 x 4 8 x 8 10 x 10 12 x 12 16 x16 [1] Độ võng được chuẩn hóa wc/(qL 4 /100D)

Moment được chuẩn hóa Mc/(qL2/10)

Hình 4-4: Độ hội tụ của độ võng chuẩn hóa tại tâm tấm khi

Hình 4-5: Độ hội tụ của mô-men chuẩn hóa tại tâm tấm khi

Theo Bảng 4-2 và Hình 4-4, phần tử ES-MITC3+ cho giá trị độ võng hội tụ đến lời giải phân tích cho cả tấm mỏng và tấm dày khi lưới thay đổi từ thô đến mịn, mặc dù chưa đạt được kết quả tốt như các phần tử ES-MITC3, MITC4, MITC3, và ES-DSG3 Tuy nhiên, Bảng 4-2 và Hình 4-5 cho thấy giá trị mô-men tại tâm tấm của phần tử ES-MITC3+ vượt trội hơn so với các phần tử ES-MITC3, MITC4, MITC3, và ES-DSG3 khi so sánh với lời giải phân tích.

T ẤM HÌNH VUÔNG TỰA ĐƠN 4 CẠNH CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU

Cho tấm vuông có cạnh a và dày h, tựa đơn 4 cạnh biên với điều kiện w = θx = θy = 0 tại biên và chịu tải trọng phân bố đều q = 1 Vật liệu của tấm là đồng nhất và đẳng hướng với E = 1092000 và  = 0.3 Độ võng w c và mô-men M c tại tâm tấm được xác định cho hai trường hợp: tấm mỏng với tỉ số h/a = 0.001 và tấm dày với tỉ số h/a = 0.1 Để so sánh với kết quả tham khảo, độ võng và mô-men tại tâm tấm được chuẩn hóa.

Hình 4-6: Mô hình tấm vuông tựa đơn 4 cạnh

Tấm được chia lưới 2NN phần tử tam giác 3 nút như Hình 4-7 Trong đó,

Số lượng phần tử trên mỗi cạnh của tấm được xác định là N = 4, 8, 10, 12 và 16 Kết quả tính toán độ võng và mô-men chuẩn hóa bằng phương pháp phần tử ES-MITC3+ tương ứng với các loại lưới khác nhau cho bài toán tấm mỏng với tỷ lệ h/a = 0.001 và tấm dày với tỷ lệ h/a = 0.1 được trình bày chi tiết trong Bảng 4-3.

Hội tụ của độ võng và mô-men chuẩn hóa tại tâm tấm được biểu diễn trong Hình 4-8 và Hình 4-9

Hình 4-7: Mô phỏng tấm vuông tựa đơn 4 cạnh bằng

Bảng 4-3: Độ hội tụ của độ võng chuẩn hóa wc/(qL 4 /100D) và moment chuẩn hóa

Mc/(qL 2 /10) tại tâm tấm vuông tựa đơn 4 cạnh chịu tải phân bố đều q = 1 h/a Phương Pháp

Cách chia lưới Độ lệch

4 x 4 8 x 8 10 x 10 12 x 12 16 x 16 Độ võng được chuẩn hóa wc/(qL4/100D)

Moment được chuẩn hóa Mc/(qL2/10)

Hình 4-8: Độ hội tụ của độ võng chuẩn hóa tại tâm tấm khi

Hình 4-9: Độ hội tụ của mô-men chuẩn hóa tại tâm tấm khi

Theo Bảng 4-3 và Hình 4-8, phần tử ES-MITC3+ cho kết quả độ võng tại tâm tấm tốt hơn so với các phần tử ES-MITC3, MITC3, MITC3+, và ES-DSG3 cho cả tấm mỏng và tấm dày Tuy nhiên, độ võng của phần tử ES-MITC3+ vẫn không đạt bằng phần tử tứ giác 4 nút MITC4 Về mô-men tại tâm tấm vuông tựa đơn 4 cạnh, Bảng 4-3 và Hình 4-9 cho thấy phần tử ES-MITC3+ có kết quả tốt nhất trong trường hợp tấm mỏng, nhưng đối với tấm dày, nó không tốt bằng phần tử ES-MITC3, mặc dù vẫn vượt trội hơn các phần tử khác.

T ẤM HÌNH THOI TỰA ĐƠN Ở CẠNH TRÊN VÀ CẠNH DƯỚI , 2 CẠNH BÊN TỰ DO VÀ CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU ( TẤM R AZZAQUE )

Tấm hình thoi Razzaque có cạnh trên và dưới tựa đơn, cùng với hai cạnh bên tự do nghiêng một góc 60º, chịu tải trọng phân bố đều q = 1 Với tỷ lệ chiều dày h/a = 0.001, tấm được làm từ vật liệu đồng nhất và đẳng hướng, có mô đun đàn hồi E.

= 1092000,  = 0.3 Để so sánh với kết quả tham khảo, độ võng w c và mô-men M y tại tâm tấm được chuẩn hóa như sau:

Hình 4-10: Mô hình tấm hình thoi Razzaque

Tấm được chia thành lưới 2NN với các phần tử tam giác 3 nút đều, như thể hiện trong Hình 4-11 Độ võng và mô-men chuẩn hóa được tính toán bằng phần tử ES-MITC3+ theo Bảng 4-4 Sự hội tụ của độ võng và mô-men chuẩn hóa tại tâm tấm được minh họa khi N tăng từ N = 2 đến N = 16, như thể hiện trong Hình 4-12.

Hình 4-11: Mô phỏng tấm hình thoi Razzaque tựa đơn ở cạnh trên và cạnh dưới, 2 cạnh bên tự do bằng (a) lưới N = 4 và (b) lưới N = 16

Bảng 4-4: Độ hội tụ của độ võng chuẩn hóa wc/(qL 4 /100D) và moment chuẩn hóa

Mc/(qL 2 /10) tại tâm tấm hình thoi Razzaque tựa đơn ở cạnh trên và cạnh dưới, 2 cạnh bên tự do chịu tải phân bố đều q = 1

Cách chia lưới Độ lệch

2x2 4x4 6x6 8x8 12x12 16x16 Độ võng được chuẩn hóa wc/(qL 4 /100D)

Moment được chuẩn hóa M y /(qL 2 /10)

Hình 4-12: Độ hội tụ của độ võng (a) và mô-men (b) chuẩn hóa tại tâm tấm

Razzaque tựa đơn ở cạnh trên và cạnh dưới, 2 cạnh bên tự do khi h/a = 0.001

Bảng 4-4 và Hình 4-12 cho thấy khi sử dụng tấm hình thoi với lưới không phải tam giác vuông cân, độ võng và mô-men chuẩn hóa của phần tử ES-MITC3+ hội tụ đến giải pháp từ phương pháp sai phân hữu hạn với sai số thấp hơn so với các phần tử MITC4, MITC3 và ES-MITC3 Đặc biệt, phần tử ES-MITC3+ đã cải thiện đáng kể độ chính xác của mô-men tại tâm tấm so với phần tử MITC3.

T ẤM HÌNH THOI TỰA ĐƠN 4 CẠNH CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU ( TẤM M ORLEY )

Hình 4-13: Mô hình tấm hình thoi Morley

Xét tấm hình thoi Morley cạnh a, dày h với tỷ lệ h/a = 0.01 Tấm này có bốn cạnh và chịu tải trọng phân bố đều q = 1 Vật liệu của tấm là đồng nhất, đẳng hướng với mô đun đàn hồi E = 1,092,000 và hệ số Poisson  = 0.3 Độ võng w c và mô-men chính nhỏ nhất M cMIN sẽ được xác định dựa trên các thông số trên.

Tấm được chia thành lưới 2NN với các phần tử tam giác 3 nút, trong đó N có thể là 4, 8, 10, 12 hoặc 16 Kết quả tính toán độ võng và mô-men chuẩn hóa bằng phương pháp ES-MITC3+ được trình bày trong Bảng 4-5 Độ hội tụ của độ võng và mô-men chuẩn hóa tại tâm tấm được thể hiện trong Hình 4-15.

Hình 4-14: Mô phỏng tấm hình thoi Morley tựa đơn chịu tải phân bố đều bằng

(a) lưới đều với N = 4 và (b) lưới không đều với N = 16

Bảng 4-5: Độ hội tụ chuẩn hóa độ võng w c /(qL 4 /1000D) và mô-ment chính

M cMIN /(qL 2 /100) tại tâm tấm hình thoi Morley với h/a = 0.01

Cách chia lưới Độ lệch

4 x 4 8 x 8 10 x 10 12 x 12 16 x 16 Độ võng được chuẩn hóa w c /(qL 4 /1000D)

Moment chính được chuẩn hóa M cMIN /(qL 2 /100)

Hình 4-15: Độ hội tụ của (a) độ võng và (b) mô-men chính nhỏ nhất chuẩn hóa tại tâm tấm khi h/a = 0.01

So với lời giải của Morley [29], độ chính xác của độ võng và mô-men chính nhỏ nhất chuẩn hóa tại tâm tấm được cung cấp bởi phần tử ES-MITC3+ cho thấy sự cải thiện rõ rệt hơn so với phần tử MITC3, như được thể hiện trong Bảng 4-5 và Hình 4-15.

T ẤM HÌNH THOI NGÀM 1 CẠNH CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU

Hình 4-16: Mô hình tấm hình thoi ngàm 1 cạnh, chịu tải phân bố đều

Cho tấm hình thoi ngàm 1 cạnh, chịu tải phân bố đều như Hình 4-16 Tấm dày h, cạnh a và có 2 cạnh bên nghiêng với phương thẳng đứng góc β = 20º, 40º hoặc

60º Tỉ số h/a = 0.001 Vật liệu làm tấm đồng nhất, đẳng hướng và có E = 1092000,

 = 0.3 Độ võng w tại điểm A và B của tấm (xem Hình 4-16) được chuẩn hóa bởi w/(qL 4 /Eh 3 ) để tiện so sánh với các kết quả tham khảo

Tấm được chia lưới 2NN phần tử tam giác 3 nút đều Hình 4-17 Trong đó,

Số phần tử trên mỗi cạnh của tấm được xác định là N = 2, 4, 8 và 16 Kết quả tính toán độ võng chuẩn hóa tại điểm A và điểm B sử dụng phần tử ES-MITC3+ được trình bày trong Bảng 4-6 Độ hội tụ của độ võng chuẩn hóa tại hai điểm này được thể hiện rõ ràng trong Hình 4-18, Hình 4-19 và Hình 4-20.

Hình 4-17: Mô phỏng tấm hình thoi ngàm 1 cạnh, chịu tải phân bố đều bằng (a) lưới N = 4 và (b) lưới N = 16

Bảng 4-6: Độ võng chuẩn hóa w c /(qL 4 /Eh 3 ) tại điểm A và B của tấm hình thoi ngàm

1 cạnh, chịu tải phân bố đều với h/a = 0.001

Cách chia lưới Độ lệch (%)

2x2 4x4 8x8 16x16 Độ võng được chuẩn hóa tại A, với  = 20°

ES-MITC3+ 1.1205 1.0682 1.0499 1.0429 3.15% Độ võng được chuẩn hóa tại A, với  = 40°

ES-MITC3+ 0.5788 0.5587 0.55 0.5458 3.96% Độ võng được chuẩn hóa tại A, với  = 60°

ES-MITC3+ 0.1696 0.1599 0.1574 0.1565 12.78% Độ võng được chuẩn hóa tại B, với  = 20°

ES-MITC3+ 1.7532 1.5138 1.4506 1.4321 0.04% Độ võng được chuẩn hóa tại B, với  = 40°

ES-MITC3+ 1.5429 1.2702 1.2042 1.1865 16.61% Độ võng được chuẩn hóa tại B, với  = 60°

Hình 4-18: Độ hội tụ của độ võng chuẩn hóa tại (a) điểm A và (b) tại điểm B với  = 20° khi h/a = 0.001

Hình 4-19: Độ hội tụ của độ võng chuẩn hóa tại (a) điểm A và (b) tại điểm B với  = 40° khi h/a = 0.001

Hình 4-20: Độ hội tụ của độ võng chuẩn hóa tại (a) điểm A và (b) tại điểm B với  = 60° khi h/a = 0.001

Dựa trên Bảng 4-6 và các biểu đồ Hình 4-18, Hình 4-19 và Hình 4-20, độ võng chuẩn hóa tại điểm A và B do phần tử ES-MITC3+ cung cấp tương tự như các phần tử THS, QHS, MITC3 và ES-MITC3 Tuy nhiên, kết quả cho thấy sai số tương đối lớn so với giải pháp của Reissner và Stein [29], đặc biệt là tại điểm B với  = 60 o.

T ẤM HÌNH TRÒN NGÀM CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU

Tấm tròn có bán kính R = 5 và độ dày h với tỷ lệ h/R = 0.02 hoặc 0.2, được gắn cố định theo chu vi và chịu tải trọng phân bố đều q = 1 Vật liệu cấu tạo tấm là đồng, có tính chất đồng nhất và đẳng hướng với mô đun đàn hồi E = 1,092,000 và hệ số Poisson  = 0.3.

Hình 4-21: Mô hình tấm tròn với điều kiện biên ngàm

Sử dụng tính chất đối xứng, tấm 1/4 được chia thành lưới tam giác với các số lượng phần tử khác nhau như 6, 24, 54 và 96 Kết quả tính toán độ võng và mô-men tại tâm tấm bằng phần tử ES-MITC3+ cho các loại lưới này được trình bày trong Bảng 4-7 Độ hội tụ của độ võng và mô-men tại tâm tấm được thể hiện qua Hình 4-23 và Hình 4-24.

Hình 4-22: Mô hình chia lưới 1/4 tấm tròn sử dụng

(a) 6, (b) 24, (c) 54 và (d) 96 phần tử tam giác

Bảng 4-7: Độ võng wc và moment Mc tại tâm tấm tròn biên ngàm chịu tải phân bố đều q = 1 h /R Phương Pháp Cách chia lưới Độ lệch

Lời giải giải tích 6T3 24 T3 54 T3 96 T3 [1] Độ võng wc

Hình 4-23: Độ hội tụ của độ võng chuẩn hóa tại tâm tấm tròn ngàm khi

Hình 4-24: Độ hội tụ của mô-men chuẩn hóa tại tâm tấm tròn ngàm khi

Bảng 4-7 và biểu đồ Hình 4-23, Hình 4-24 cho thấy rằng, so với lời giải giải tích [1], cả hai trường hợp tấm mỏng (h/R = 0.02) và tấm dày (h/R = 0.2) từ lưới thô đến lưới mịn của phần tử ES-MITC3+ cho kết quả về độ võng và mô-men rất khả quan Đặc biệt, kết quả độ võng và mô-men tại tâm tấm của phần tử ES-MITC3+ vượt trội hơn so với các phần tử tam giác 3 nút như ES-DSG3, MITC3 và ES-MITC3, ngoại trừ trường hợp mô-men tại tâm tấm khi h/R = 0.2 được giải bằng phần tử ES-MITC3.