Phân tích kết cấu tấm nhiều lớp bằng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT) dùng phần tử tấm MITC3 kết hợp kỹ thuật làm trơn nút Phân tích kết cấu tấm nhiều lớp bằng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT) dùng phần tử tấm MITC3 kết hợp kỹ thuật làm trơn nút Phân tích kết cấu tấm nhiều lớp bằng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT) dùng phần tử tấm MITC3 kết hợp kỹ thuật làm trơn nút
TỔNG QUAN
Giới thiệu
Hiện nay, lĩnh vực xây dựng dân dụng chủ yếu sử dụng các vật liệu tự nhiên như gỗ, đá, cát, nhưng trong tương lai, các nguồn tài nguyên này có nguy cơ cạn kiệt Do đó, việc tìm kiếm vật liệu mới có khả năng cung cấp bền vững hơn là rất cần thiết Tấm nhiều lớp composite nổi lên như một giải pháp thay thế tiềm năng cho các vật liệu truyền thống, với khả năng khai thác và sử dụng bền vững hơn.
Tấm nhiều lớp composite, được phát triển bởi các nhà khoa học, đang được ứng dụng rộng rãi trong các ngành kỹ thuật như hàng không vũ trụ, hàng hải và cơ sở hạ tầng dân dụng Chúng nổi bật với đặc tính cơ học vượt trội, bao gồm độ cứng cao và trọng lượng nhẹ, điều này rất quan trọng cho các kết cấu chịu tải trọng lớn.
Để khai thác hiệu quả các tấm composite nhiều lớp, cần phát triển các lý thuyết phân tích phù hợp nhằm dự đoán chính xác ứng xử tĩnh học và động học của chúng dưới tác động của nhiều loại tải trọng khác nhau Tuy nhiên, việc đạt được các đặc tính cơ học đặc biệt từ vật liệu composite lại đòi hỏi sự phức tạp trong các phương pháp phân tích, mô hình và tính toán.
Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một công cụ số quan trọng, đã được áp dụng để tính toán các kết cấu thực tế trong nhiều năm Phương pháp này cung cấp kết quả chính xác và hiệu quả trong phân tích các kết cấu tấm composite Tuy nhiên, độ chính xác của kết quả còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố như mô hình toán học và loại phần tử sử dụng Do đó, việc phát triển các phương pháp tính toán hiệu quả và đáng tin cậy cho phân tích kết cấu tấm composite nhiều lớp là rất cần thiết.
Tổng quan tình hình nghiên cứu
Các nhà khoa học đã nghiên cứu và phát triển nhiều lý thuyết để giải quyết bài toán tấm composite nhiều lớp Noor đã đề xuất lý thuyết đàn hồi 3 chiều (3D) nhằm cải thiện độ chính xác của ứng suất cắt ngang, trong đó mỗi lớp được mô phỏng như một vật thể 3D, giúp nâng cao độ chính xác này Tuy nhiên, chi phí tính toán cho lý thuyết 3D khá cao, do đó, các lý thuyết lớp tương đương (ESL) như lý thuyết tấm nhiều lớp cổ điển (CLPT), lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc 1 (FSDT) và lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT) đã được giới thiệu để khắc phục những hạn chế của các lý thuyết trước đó.
Lý thuyết tấm nhiều lớp cổ điển (CLPT) dựa trên giả định Love-Kirchhoff, bỏ qua biến dạng cắt ngoài mặt phẳng Trong khi đó, lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc 1 (FSDT) có tính đến biến dạng cắt, nhưng độ chính xác của nó phụ thuộc nhiều vào các hệ số điều chỉnh lực cắt Hơn nữa, việc áp dụng lý thuyết FSDT cho tấm hỗn hợp nhiều lớp thường dẫn đến kết quả không thỏa đáng trong nhiều trường hợp.
Những hạn chế của FSDT có thể khắc phục bằng cách sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT) được phát triển bởi Reddy [5], Matsunaga
Các lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, như của Kant và Swaminathan, cũng như Liu et al, không yêu cầu các hệ số điều chỉnh lực cắt, mang lại ứng suất cắt ngang chính xác và ổn định hơn.
Các công thức phần tử hữu hạn cho lý thuyết biến dạng cắt bậc cao thường yêu cầu hàm xấp xỉ liên tục bậc cao, gây ra sự phức tạp trong việc xây dựng hàm xấp xỉ Để khắc phục những hạn chế này, Shankara và Iyengar đã đề xuất một hình thức tính toán mới cho HSDT, chỉ yêu cầu hàm xấp xỉ dạng tham số C 0 (C 0 -HSDT) Trong mô hình C 0 -HSDT, hai biến độc lập được bổ sung để biểu diễn đạo hàm của chuyển vị.
1.2.2 Công thức phần tử hữu hạn cho tấm
Do hạn chế của các phương pháp giải tích, các phương pháp số như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp phần tử biên (BEM) và phương pháp không lưới đã được phát triển Liu và cộng sự gần đây đã giới thiệu phương pháp biến dạng trơn (NS-FEM) để cải thiện hiệu quả tính toán của FEM truyền thống bằng cách xấp xỉ trường biến dạng tại các nút phần tử H Nguyen – Xuan và cộng sự đã mở rộng ứng dụng NS-FEM cho tấm bằng cách kết hợp với phần tử tấm khử khóa cắt theo kỹ thuật DSG3, nhằm phân tích tĩnh cho tấm đồng nhất đẳng hướng.
Ngoài việc sử dụng phương pháp khử khóa cắt DSG3, Bathe và Dvorkin đã phát triển kỹ thuật khử khóa cắt MITC (mixed interpolation tensorial components), dựa trên nội suy hỗn hợp các thành phần tensor biến dạng cắt Phương pháp MITC đã đạt được thành công đáng kể trong việc áp dụng cho các loại phần tử tứ giác như MITC4, MITC8, MITC9 và MITC16.
[16], dùng để phân tích kết cấu tấm/vỏ đồng nhất hoặc nhiều lớp
Kỹ thuật MITC đã được mở rộng không chỉ cho các phần tử tứ giác mà còn cho các phần tử tam giác 3 nút (MITC3) và 6 nút (MITC6) Các phần tử tam giác này có ưu điểm vượt trội trong việc rời rạc hóa hình học phức tạp của kết cấu tấm nhiều lớp so với phần tử tứ giác.
Mục đích của đề tài
Mục đích của bài viết là phân tích tĩnh tấm composite nhiều lớp sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Phân tích này được thực hiện thông qua phần tử tấm 3 nút, áp dụng kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 trên miền nút phần tử.
Nét mới của đề tài
Phát triển phần tử tấm NS-MITC3 cho bài toán tấm composite nhiều lớp sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao.
Các lý thuyết cần nghiên cứu
+ Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao;
+ Lý thuyết phần tử hữu hạn trơn NS-MITC3;
+ Phát triển phần tử NS-MITC3 cho tấm composite dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao.
Phương pháp tiếp cận và giải bài toán
Nghiên cứu lý thuyết và lập trình tính toán bằng Matlab nhằm giải các ví dụ số để đánh giá kết quả và so sánh với các phương pháp khác đã được công bố Qua đó, rút ra nhận xét về hiệu quả của phần tử NS-MITC3 khi áp dụng vào bài toán tấm composite.
Nhiệm vụ và giới hạn của đề tài
Đề tài này nhằm xây dựng cơ sở lý thuyết cho phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với kỹ thuật làm trơn nút, áp dụng cho bài toán tấm composite nhiều lớp Sau đó, tiến hành lập trình và phân tích một số bài toán tĩnh liên quan đến tấm composite Kết quả thu được sẽ được so sánh với các nghiên cứu trước đây để đánh giá hiệu quả đạt được Đề tài chỉ giới hạn trong việc nghiên cứu các vật liệu có tính đàn hồi tuyến tính và biến dạng nhỏ.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao
Hình 2.1 minh họa sự khác biệt giữa hình học ban đầu và hình học biến dạng trên một cạnh của tấm, áp dụng các lý thuyết tấm cổ điển (CLPT), biến dạng cắt bậc nhất (FSDT), và biến dạng cắt bậc 3 (TSDT).
Reddy [5] đã xây dựng trường chuyển vị của lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao như hình 2.1, dựa trên hàm xấp xỉ bậc 3 của chuyển vị như sau:
, , u v w : là các chuyển vị theo phương x, y, z
x , y : lần lượt là các góc xoay quanh trục y và trục x
và y là các hàm được xác định từ điều kiện ứng suất tiếp thẳng góc bằng 0 ở mặt trên và mặt dưới tấm
Từ quan hệ giữa ứng suất tiếp và biến dạng trượt ta có: xz G xz τ γ ;τ yz G γ yz
γ γ Điều kiện (2.2) tương đương với:
Thay x 0 vào (2.3.a) và (2.3.b) suy ra 4 2
Thực hiện tương tự với phương trình (2.3.c) và (2.3.d) ta có y 0
Thay x , y , x , y vừa tìm được vào (2.1) ta có:
Ta có trường chuyển vị (2.1) được viết lại như sau:
Trường chuyển vị (2.4) chứa 7 ẩn số độc lập
Trong bài viết, các ký hiệu u, v, w đại diện cho các chuyển vị màng và độ võng, trong khi các góc xoay θx, θy được xác định quanh trục y và trục x Các hàm độ cong βx, βy với chiều dương qui ước được mô tả trong Hình 2.2.
Hình 2.2 Các chuyển vị u v w, , và các góc xoay x , y trong tấm
Từ trường chuyển vị (2.4) các biến dạng được xác định như sau:
Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong một lớp composite của vật liệu trực hướng
Ứng suất trong mặt phẳng:
Ứng suất ngoài mặt phẳng:
Với E 1, E 2 là các mô đun đàn hồi Young theo phương dọc và phương ngang sợi
ij : là các hệ số Poisson
G ij : là các mô đun đàn hồi trượt
Hình 2.3 Tấm composite gia cường sợi một phương với hệ tọa độ tổng thể (x,y,z) và hệ tọa độ địa phương (x 1 ,x 2 ,x 3 )
Với lớp thứ k của tấm mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng có dạng:
0 0 0 k k k k k xx xx k k k yy yy k k k xy xy k k yz yz xz k k xz
4 sin cos sin cos sin 2 2 sin cos cos
Các thành phần nội lực trong tấm được xác định bằng cách lấy tích phân theo chiều dày tấm:
Lực tổng trong mặt phẳng:
/2 /2 xx xx h yy h yy xy xy
Mômen tổng ngoài mặt phẳng:
/2 d xx xx h yy h yy xy xy
/2 d xx xx h yy yy h xy xy
Lực cắt ngoài mặt phẳng:
Trong đó các thành phần A B D E F H ij , ij , ij , ij , ij , ij của ma trận
A,B, D,E,F, H được xác định như sau:
( , , , , , ) (1, , , , , ) , 1, 2,6 h ij ij ij ij ij ij ij h
Và các thành phần A B D ij s , ij s , ij s của ma trận A B D s , s , s được xác định
Rời rạc tấm bằng phần tử tam giác 3 nút MITC3
2.2.1 Phần tử tam giác 3 nút với kỹ thuật khử khóa cắt MITC3
Hình 2.4 Phần tử tam giác trong hệ tọa độ địa phương
Các đại lượng chuyển vị độc lập của phần tử được nội suy theo các chuyển vị nút tương ứng như sau:
Trong đó, N i là các hàm dạng được định nghĩa như sau:
N = - -r s; N2 = r; N3 = s Trong đó, r và s là các trục tọa độ tự nhiên của phần tử (Hình 2.4) Các chuyển vị uI và vI tương ứng với trục x và y do biến dạng màng tại nút thứ I, trong khi wI là chuyển vị theo trục z tại nút thứ I Các góc xoay θxI và θyI quanh trục y và trục x tại nút thứ I của phần tử cũng được xác định.
Thế xấp xỉ (2.19) vào công thức biến dạng (2.6 - 2.8), (2.10 – 2.11) ta được:
I u v w I I I xI yI xI yI I d là vectơ nút phần tử
Hình 2.5 Phần tử tam giác trong hệ tọa độ toàn cục
Nếu 1 phần tử có các tọa độ nút trong hệ trục oxy lần lượt là (x 1, y 1 ), ( x 2, y 2 ), ( x 3, y 3 )
Và đặt: a = x 2 – x 1 , b = y 2 – y 1 , c = y 3 – y 1 , d = x 3 – x 1 Các ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút phần tử có thể viết lại ở dạng tường minh như sau:
Từ quan hệ biến dạng và chuyển vị nút phần tử, theo công thức phần tử hữu hạn ta làm được ma trận độ cứng phần tử như sau:
Giải phương trình cân bằng: Kd = F để tìm các chuyển vị (2.29)
Việc sử dụng phương trình (2.26) chỉ phù hợp cho các tấm có bề dày lớn hoặc vừa phải, trong khi tấm mỏng sẽ gặp phải hiện tượng “khóa cắt” (Shear locking), dẫn đến kết quả không chính xác Để khắc phục vấn đề này, kỹ thuật MITC3 được áp dụng để xấp xỉ lại các yếu tố liên quan.
15 biến dạng cắt bằng hàm mới thông qua những “điểm buộc” (tying point) [35], như hình 2.6
Hình 2.6 e rt (1) , e (2) st , e là các điểm buộc (tying point) qt (3) của phần tử tam giác 3 nút
Do đó, ε được xấp xỉ lại theo kỹ thuật MITC3 như sau: s
Và Β s I MITC 0 3 có thể triển khai ở dạng tường minh như sau:
Ae d a A - e ac d bc c(b+c) bd a bc b c b c b (b+c) (b+c) ad a ac b ad d bd c a (a+d) - (a+d) d (a+d) + (a+d)
Và ma trận độ cứng của phần tử MITC3 cho tấm composite nhiều lớp dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao là:
2.2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn NS-FEM với phần tử MITC3
Trong phương pháp phần tử hữu hạn trơn, biến dạng được làm trơn trên các miền địa phương, khiến cho việc tính toán ma trận độ cứng không còn phụ thuộc vào phần tử mà dựa vào các miền con Các miền con này được xây dựng dựa trên các nút của các phần tử.
Chia miền bài toán thành N e phần tử tam giác Xét miền trơn k được giới hạn bởi đường ( ) k quanh nút k sao cho:
Trong miền khảo sát, N n đại diện cho tổng số nút của tất cả các phần tử Đối với phần tử tam giác 3 nút trên miền trơn k, nút thứ k được tạo ra bằng cách kết nối tuần tự từ giữa cạnh đến trọng tâm của hình tam giác, bao quanh các nút như minh họa trong hình 2.7.
Hình 2.7 Lưới tam giác 3 nút và làm trơn các phần tử; Miền trơn k
Từ việc sử dụng các miền trơn dựa trên nút phần tử, các trường biến dạng được xấp xỉ lại trên miền nút phần tử như sau:
(2.35) Để đơn giản, hàm (x) được chọn là một hàm hằng số trên miền nút phần tử:
là diện tích của miền trơn k (2.37) k
N e là số các phần tử kết nối với nút k
Diện tích của phần tử thứ i xung quanh nút k được ký hiệu là A_i Đối với phần tử tam giác 3 nút MITC3, hàm dạng là tuyến tính, dẫn đến ma trận chuyển vị biến dạng trở thành hằng số trên phần tử.
Trong đó: c là hằng số được xác định từ phương trình (2.8) m
B i ; B b i 1 ; B b i 2 ; B s i MITC 0 3 ; B i s 1 là các ma trận biến dạng của phần tử thứ i xung quanh nút k và được xác định từ (*), (**), (***), (2.30a) và (2.25)
Vì vậy ma trận độ cứng phần tử NS-MITC3
Tấm bốn lớp [0 0 90 0 90 0 0 0 ] vuông chịu tải hình sin và tải phân bố đều
Xét tấm hình vuông bốn lớp với cạnh a và chiều dày h, chịu tải phân bố và tải hình sin như hình 3.1 và 3.2 Tỉ số chiều dài trên bề dày được khảo sát với các giá trị a/h = 4, 10, 20, 100 cho trường hợp tải hình sin, và a/h = 5, 10, 20 đối với tải phân bố đều.
Hình 3.1 Tấm composite bốn lớp liên kết tựa đơn với tải trọng phân bố đều a z y x h/2 h/2
Hình 3.2 Tấm composite bốn lớp liên kết tựa đơn với tải trọng hình sin Đặt trưng vật liệu của 1 lớp composite
Tấm được mô hình hóa và rời rạc bằng NxN phần tử tam giác, với N 20 là số phần tử trên mỗi cạnh tấm
Các kết quả tính toán của chuyển vị và ứng suất được chuẩn hóa thành các đại lượng không thứ nguyên như sau:
Bảng 3.1 trình bày kết quả tính toán chuyển vị và ứng suất không thứ nguyên của tấm dưới tải trọng phân bố đều bằng phương pháp phần tử NS-MITC3 Kết quả này được so sánh với giải pháp phân tích theo lý thuyết FSDT, cũng như với một số phương pháp phần tử hữu hạn khác dựa trên lý thuyết HSDT và FSDT, phương pháp không lưới theo FSDT và HSDT, và lý thuyết đàn hồi 3D.
Bảng 3.2 trình bày sự so sánh kết quả tính toán tấm chịu tải trọng hình sin giữa phần tử NS-MITC3 và các phương pháp giải đàn hồi 3D, phần tử hữu hạn, phương pháp chuỗi FSM của Akhras và cộng sự, RBF-PS dựa trên lớp thông minh do Ferreira và cộng sự phát triển, cùng với phần tử NS-DSG3 của Chiến và cộng sự.
Bảng 3.1 Sự phân bố ứng suất dưới tải phân bố đều với a/h = 5, 10, 20 dựa trên HSDT và FSDT (trường hợp hình 3.1) a/h Phương pháp w xx yy xy xz yz
Sự phân bố của các ứng suất không thứ nguyên như xx, yy, xz, và yz theo chiều dày của tấm khi chịu tải phân bố đều được thể hiện rõ ràng trong hình 3.3.
Hình 3.3 Biểu đồ ứng suất tiếp xx theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2)
(Trường hợp tải phân bố đều)
yy (a/2;b/2) Hình 3.4 Biểu đồ ứng suất tiếp yy theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2)
(Trường hợp tải phân bố đều)
xz (0;b/2) Hình 3.5 Biểu đồ ứng suất cắt xz theo tọa độ z tại vị trí (0;b/2)
(Trường hợp tải phân bố đều)
yz (0;a/2) Hình 3.6 Biểu đồ ứng suất cắt yz theo tọa độ z tại vị trí (0;a/2)
(Trường hợp tải phân bố đều)
Bảng 3.2 Sự phân bố ứng suất dưới tải trọng hình sin với a/h = 4, 10,
20, 100 dựa trên HSDT và FSDT (trường hợp hình 3.2) a/h Phương pháp w xx yy xy xz yz
Hình 3.7, 3.8, 3.9 biểu diễn quan hệ giữa ứng suất không thái nguyên
và chiều dày tấm khi tấm chịu tải trọng hình sin
HSDT-NSMITC3 HSDT-NSDSG3 [ 20 ] HSDT-ESMITC3 [31]
xx (a/2;0) Hình 3.7 Biểu đồ ứng suất tiếp xx theo tọa độ z tại vị trí (a/2;0)
HSDT-NSMITC3 HSDT-NSDSG3 [ 20 ] HSDT-ESMITC3 [31]
xz (0;b/2) Hình 3.8 Biểu đồ ứng suất cắt xz theo tọa độ z tại vị trí (0;b/2)
HSDT-NSMITC3 HSDT-NSDSG3 [ 20 ] HSDT-ESMITC3 [31]
yz (a/2;0) Hình 3.9 Biểu đồ ứng suất cắt yz theo tọa độ z tại vị trí (a/2;0)
Các kết quả từ bảng 3.1 và bảng 3.2 cho thấy phần tử NS-MITC3 có khả năng cung cấp kết quả tốt khi giá trị a/h thay đổi, so với các phương pháp giải đàn hồi và RBF-PS-Layerwise [26], cũng như phần tử NS-DSG3 [20] và 3D-FEM Điều này chứng tỏ khả năng khử hiện tượng khóa cắt (shear locking) của NS-MITC3 đối với tấm composite nhiều lớp Hình 3.3 và 3.4 minh họa phân bố ứng suất dọc theo chiều dày tấm.
3.5, 3.6 (tải phân bố) và hình 3.7, 3.8, 3.9 (tải sin)) cho thấy kết quả của phần tử NS-MITC3 tương đương so với kết quả của các phương pháp vừa nêu ở trên.
Tấm composite 16 lớp ((45 0 /90 0 /-45 0 /0 0 ) 2 ) sym chịu tải trọng hình sin
Bài viết phân tích tấm composite trực hướng vuông cạnh a với chiều dày h, được cấu tạo từ 16 lớp ((45/90/-45/0) 2 ) sym Các thông số vật liệu được xác định như sau: E 2 = 1, E 1 = 25E 2, G 12 = G 13 = 0.5E 2, G 23 = 0.2E 2 và ν 12 = 0.25 Giả thiết rằng tất cả các lớp có chiều dày bằng nhau, tấm composite này chịu tải trọng hình sin.
Trong nghiên cứu này, phần tử NS-MITC3 được so sánh với các phần tử ES-MITC3 của Nguyễn Hòa, 3D FEM của J.R Xiao và đồng sự, cùng với ES-DSG3 của Loc V Tran và cộng sự Kết quả so sánh được trình bày qua các biểu đồ ứng suất tại hình 3.10, 3.11, 3.12 và 3.13.
xx (a/2; b/2) Hình 3.10 Biểu đồ ứng suất tiếp xx theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2)
Hình 3.11 Biểu đồ ứng suất tiếp yy theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2)
HSDT-NSMITC3 HSDT-ESMITC3 [31] HSDT-ESDSG3 [34]
xz (0; b/2) Hình 3.12 Biểu đồ ứng suất cắt xz theo tọa độ z tại vị trí (0;b/2)
Hình 3.13 Biểu đồ ứng suất cắt yz theo tọa độ z tại vị trí (a/2;0)
Các kết quả của ứng suất tiếp và ứng suất cắt hiển thị trên biểu đồ hình
3.10, 3.11, 3.12, 3.13 cho thấy phần tử NS-MITC3 cho kết quả tương tự với các phần tử ES-MITC3, phần tử ES-DSG3.
Tấm composite vuông 02 lớp [0 0 / 90 0 ] không đối xứng
Trong ví dụ này, phần tử NS-MITC3 được sử dụng để phân tích tĩnh tấm composite vuông [0 0 / 90 0 ] cạnh a không đối xứng
Vật liệu được cho như sau:
E 2 = 1, E 1 = 25E 2 , G 12 = G 13 = 0.5E 2 , G 23 = 0.2E 2 , ν 12 = 0.25 Điều kiện biên của tấm được cho với gối tựa đơn:
0; 0; y 0; y 0 v w tại x0; xa; Tải trọng tác dụng lên tấm là tải sin
Chuyển vị và các ứng suất tại tâm tấm được chuẩn hóa theo các giá trị:
Độ võng và các ứng suất của tấm được tính toán theo tỉ lệ chiều dài trên chiều dày với bốn giá trị a/h là 4, 10, 20 và 100 Kết quả của các phép tính này được trình bày trong bảng 3.3.
Bảng 3.3 Độ võng lệch tâm và các ứng suất của tấm composite 02 lớp với gói tựa đơn chịu tải trọng hình sin a/h Phương pháp w x y xy
Phân tích cho thấy phần tử NS-MITC3 mang lại kết quả tương đương với lời giải đàn hồi, chứng minh rằng phần tử này cho kết quả chính xác khi chiều dày của tấm composite 02 lớp giảm dần.
Hình 3.14 Phân bố ứng suất x theo chiều dày tấm của phần tử NS – MITC3
Hình 3.15 Phân bố ứng suất xy theo chiều dày tấm của phần tử NS – MITC3
Biểu đồ ứng suất tiếp và ứng suất cắt trong các hình 3.14 và 3.15 cho thấy rằng khi thay đổi chiều dày tấm (a/h), các ứng suất vẫn duy trì sự gần gũi Điều này chứng tỏ phần tử NS-MITC3 có khả năng khử hiện tượng "khóa cắt" một cách hiệu quả.
Tấm composite không đối xứng [45 0 / -45 0 ] 4 với gối tựa đơn chịu tải trọng hình sin hoặc phân bố đều
Trong nghiên cứu này, phần tử NS-MITC3 được áp dụng để phân tích tĩnh tấm composite vuông 08 lớp với cấu trúc [45 0 / -45 0 ] 4 có cạnh a không đối xứng Tấm được khảo sát dưới điều kiện biên với gối tựa đơn.
0; 0; y 0; y 0 u w tại x0; xa; Chuyển vị và các ứng suất được chuẩn hóa theo các giá trị:
2 ; 2 xz xz yz yz h h qa qa
3.4.1 Trường hợp chịu tải trọng hình sin
Sử dụng vật liệu được cho như sau:
Tải trọng tác dụng lên tấm là tải sin
Độ võng và các ứng suất được xác định dựa trên tỉ lệ chiều dài so với chiều dày của tấm, với hai giá trị a/h lần lượt là 10 và 100 Kết quả tính toán được trình bày chi tiết trong Bảng 3.4.
Bảng 3.4 Độ võng lệch tâm và các ứng suất của tấm composite 08 lớp
[45 0 /-45 0 ] 4 với gối tựa đơn chịu tải trọng hình sin a/h Phương pháp w xx yy xy xz yz
Kết quả tính toán của phương pháp NS-MITC3 với lưới NxN = 16x16 phần tử trên mỗi cạnh tấm cho thấy sự gần gũi với lời giải đàn hồi và phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết 3D.
NS-MITC3 (24x24) NS-MITC3 (16x16) HSD4 [29]
Hình 3.16 Phân bố ứng suất tiếp x dưới tải hình sin của tấm 8 lớp [45 0 / -45 0 ] 4 với tỉ lệ a/h = 10
Biểu đồ ứng suất tiếp x từ phần tử NS-MITC3 với lưới 16x16 và 24x24 cho thấy kết quả gần gũi hơn với 3D-FEM [33] và HSA4 [29] so với HSD4 [29].
NS-MITC3 (24X24) NS-MITC3 (16X16) HSD4 [29]
Hình 3.17 Phân bố ứng suất cắt xz dưới tải hình sin của tấm 8 lớp [45 0 / -45 0 ] 4 với tỉ lệ a/h 0
Biểu đồ ứng suất cắt xz ở hình 3.17 cho thấy sự khác biệt giữa phần tử HSD4 với NxN = 16 và các phần tử khác Phần tử HSA4 với NxN = 32 được phát triển nhằm cải thiện HSD4, và kết quả của HSA4 gần giống với kết quả của Kand và Pandya.
[33] Phần tử NS-MITC3 với NxN = 16 và NxN = 24 vẫn cho kết quả gần với kết quả hiển thị của Kant and Pandya [33] và HSA4
3.4.2 Trường hợp chịu tải trọng phân bố
Sử dụng vật liệu được cho như sau:
Tải trọng tác dụng lên tấm là tải phân bố
Độ võng của tấm được tính toán dựa trên tỉ lệ chiều dài so với chiều dày, với các giá trị a/h lần lượt là 4, 10, 20 và 100 Kết quả tính toán được thể hiện trong Bảng 3.5.
Bảng 3.5 Độ võng lệch tâm của tấm composite 08 lớp [45 0 / -45 0 ] 4 với gối tựa đơn chịu tải phân bố a/h HSA4
Hình 3.18 Phân bố ứng suất tiếp x chịu tải phân bố theo chiều dày tấm của phần tử NS-MITC3 (NxN = 16x16)
Hình 3.19 Phân bố ứng suất cắt xz chịu tải phân bố theo chiều dày tấm của phần tử NS-MITC3 (NxN = 16x16)
Hình 3.20 Phân bố ứng suất tiếp x chịu tải phân bố theo chiều dày tấm của phần tử NS-MITC3 (NxN = 24x24)
Hình 3.21 Phân bố ứng suất cắt xz chịu tải phân bố theo chiều dày tấm của phần tử NS-MITC3 (NxN = 24x24)
Khi chiều dày tấm giảm theo tỷ lệ, giá trị độ võng của a/h = 10, a/h = 20 và a/h = 100 trở nên gần nhau Trên biểu đồ, tấm mỏng sẽ hiển thị các đường phân bố ứng suất tương đương nhau.
Luận văn giới thiệu công thức phần tử hữu hạn NS-MITC3, áp dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao để phân tích tấm composite nhiều lớp Kết quả số liệu cho thấy phần tử NS-MITC3 hiệu quả trong việc khử hiện tượng khóa cắt, đồng thời cho kết quả tính toán độ võng và ứng suất tương đương với các loại phần tử khác.
Kết hợp phần tử NS-MITC3 với lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao HSDT, cụ thể là hàm bậc 3 của Reddy, đã cho kết quả chính xác hơn về độ võng, ứng suất tiếp và ứng suất cắt của tấm composite nhiều lớp, cả đối xứng lẫn không đối xứng Các kết quả cho thấy ứng suất theo chiều dày tấm được mô tả bằng các đường cong, chứng minh rằng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao HSDT phản ánh thực tế về ứng suất cắt tốt hơn so với lý thuyết tấm nhiều lớp cổ điển (CLPT) và lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất FSDT.
Kết quả từ phần tử NS-MITC3 kết hợp với lý thuyết biến dạng cắt bậc cao cho thấy độ võng và ứng suất đạt được tốt, nhưng có sự chênh lệch giữa các đường hiển thị so với giải pháp 3D Vì vậy, cần cải thiện phần tử NS-MITC3 để đạt được kết quả gần hơn với giải pháp 3D.
[1] A.A Khdeir, L Librescu, Analysis of symmetric cross-ply laminated elastic plates using a higher-order theory, Compos Struct 9 (1988) 189–213
[2] N.J Pagano, Exact solutions for rectangular bidirectional composites and sandwich plates, J Compos Mater 4 (1970) 20–34
[3] A.K Noor, Free vibration of multilayered composite plates, AIAA J.11 (1973)1038–1039
[4] A.K Noor, Stability of multilayered composite plates, Fibre Sci Technol 8
[5] J.N Reddy, Mechanics of Laminated Composite Plates – Theory and Analysis, CRC Press, New York, 1997
[6] H Matsunaga, Vibration and stability of cross-ply laminated composite plates according to a global higher-order plate theory, Compos Struct 48 (2000) 231–244
[7] T Kant, K Swaminathan, Analytical solutions for free vibration of laminated composite and sandwich plates based on a higher order refined theory, Compos Struct 53 (2001)73–85
[8] L Liu, L.P Chua, D.N Ghista, Mesh-free radial basis function method for static, free vibration and buckling analysis of shear deformable compositelaminates, Compos Struct 78 (2007) 58–69
[9] C.A Shankara, N.G.R Iyengar, AC 0 element for the free vibration analysis of laminated composite plates, J Sound Vib 191 (1996) 721–738
[10] G.R Liu, T Nguyen-Thoi, H Nguyen-Xuan, K.Y Lam, A node-based smoothed finite element method (NS-FEM) for upper bound solutions to solid mechanics problems, Comput Struct 87 (2009) 14–26
[11] H Nguyen-Xuan, T Rabczuk, N Nguyen-Thanh, T Nguyen-Thoi, S Bordas, A node-based smoothed finite element method with stabilized discrete shear gap technique for analysis of Reissner–Mindlin plates, Comput Mech 46 (2010) 679–
[12] K.U Bletzinger, M Bischoff, E Ramm, A unified approach for shear-locking free triangular and rectangular shell finite elements, Comput Struct 75 (2000) 321–
[13] Bathe KJ, Dvorkin EN A formulation of general shell elements – the use of mixed interpolation of tensorial components Int J Numer Meth Eng 1986; 22: 697–
[14] Dvorkin EN, Bathe KJ A continuum mechanics based four-node shell element for general nonlinear analysis Eng Comput 1984;1: 77–88
[15] Bathe et al Towards improving the MITC9 shell element Comput Struct 2003;81:477–89
[16] Bucalem ML and Bathe KJ Higher-order MITC general shell elements Int J Numer Meth Eng 1993;36:3729–54
[17] J.N Reddy, Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis, second ed., CRC Press, London, 2004.
[18] J Belinha, L.M.J.S Dinis, Analysis of plates and laminates using the element-free Galerkin method, Compos Struct 84 (2006) 1547–1559
[19] J.R Xiao, D.F Gilhooley, R.C Batra, J.W Gillespie, M.A McCarthy, Analysis of thick composite laminates using a higher-order shear and norm al deformable plate theory (HOSNDPT) and a meshless method, Composites: Part
The study conducted by Chien H Thai and colleagues in 2012 focuses on the analysis of laminated composite plates utilizing higher-order shear deformation plate theory combined with the node-based smoothed discrete shear gap method This research, based in Vietnam, offers significant insights into the mechanical behavior of composite materials, enhancing the understanding of their structural performance.
[21] J.N Reddy, A simple higher-order theory for laminated composite plates, J Appl Mech 51 (1984) 745–752
[22] G Akhras, M.S Cheung, W Li, Static and vibrations analysis of anisotropic laminated plates by finite strip method, Int J Solids Struct 30 (22 ) (1993) 3129–
[23] G Akhras, M.S Cheung, W Li, Finite strip analysis for anisotropic laminated composite plates using higher-order deformation theory, Comput Struct 52 (3)
[24] Ferreira AJM Analysis of composite plates using a layerwise theory and multiquadrics discretization Mech Adv Mater Struct 2005;12:99–112
[25] Neeraj Grover, D.K Maiti, B.N Singh A new inverse hyperbolic shear deformation theory for static and buckling analysis of laminated composite and sandwich plates Composite Structures 95 (2013) 667–675
[26] A.J.M Ferreira, G.E Fasshauer, R.C Batra, J.D Rodrigues, Static deformations and vibration analysis of composite and sandwich plates using a layerwise theory and RBF-PS discretizations with optimal shape parameter, Compos Struct 86 (2008) 328–343
[27] A cell-based smoothed three-node Mindlin plate element (CS-FEM-MIN3) based on the C0-type higher-order shear deformationfor geometrically nonlinear analysis of laminated composite plates
[28] Kant T, Swaminathan K Estimation of transverse/interlaminar stresses in laminated composites- a selective review and survey of current developments Compos Struct 2000; 49: 65- 75 343
[29] Sang Jin Lee* and Ha Ryong Kim, ADOPT Research Group, Department of Architectural Engineering, Gyeongsang N a-tional University , Republic of Korea Received 01 Mar 2012 In revised form 05 Aug 2012
[30] Latheswary S, Valasrajan KV, Rao YVKS Behavior of laminated composite plates using higher order shear deformation theory IE(I) J- AS 2004;85:10- 17
[31] Nguyễn Hòa Kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES-MITC3, sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT)
[32] Liu, G.R., Dai, K.Y., Nguyen-Thoi T., A smoothed finite element method for mechanics problems, Computational Mechanics 39(6) (2007) 859–877
[33] Kant T, Pandya BN A simple finite element formulation of a higher order theory of unsymmetrically lami-nated composite plates Compos Struct 1988 ; 9 : 215
The Edge-based smoothed discrete shear gap method (ES-DSG) utilizes C0-type Higher-order shear deformation theory for the analysis of laminated composite plates This innovative approach, developed by Loc V Tran, T Nguyen-Thoi, Chien H Thai, and H Nguyen-Xuan, is detailed in the journal Mechanics of Advanced Materials and Structures.
[35] Phill-Seung Lee, Klaus-Jurgen Bathe Development of MITC isotropic triangular shell finite elements Computers and Structures 82 (2004) 945–962
[36] Reissner, E (1945), “The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates”, J Appl Mech., 12, pp 69–76
[37] Mindlin, R.D (1951), “Influence of rotatory inertia and shear in flexural motions of isotropic elastic plates”, J Appl Mech., 18, pp 31–38.
