Chuyên đề 4 hàm số bậc HAI

Xác định hàm số bậc hai

Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 2 Cho hàm số yax 2 bx c có đồ thị như hình vẽ bên Biết rằng OACB là hình vuông Tính giá trị của b

Câu 3 Cho hàm sốyax 2 bx c có đồ thị như hình vẽ

Xác định các hệ số a b c, ,

Câu 4 Cho hàm số f x  ax 2 bxc đồ thị như hình Tính giá trị biểu thức T a 2 b 2 c 2

Câu 5 Cho hàm số f x    ax 2  bx c a  ,   0  có bảng biến thiên như hình bên dưới Tính f   10

Câu 6 Cho parabol   P : y ax  2  bx c   a  0  Tìm a và c biết parabol   P có đỉnh là I  0; 4   và một trong hai giao điểm của parabol   P với trục hoành là A  2;0 

Câu 7 Cho parabol   P : y ax  2  bx c   a  0  Một đường thẳng   d song song với trục hoành cắt

  P tại A  0;3  và B  4;3  Phương trình trục đối xứng của parabol   P là:

Câu 8 Cho hàm số bậc hai y2x 2 bx c , biết đồ thị của nó đi qua điểm M  0; 5  và có trục đối xứng

Câu 9 Biết rằng parabol   P :yax 2 bx c a  0 đi qua hai điểm A 0;8, B 1;3và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt M , Nthỏa mãn MN2 Tính giá trị biểu thức a3b

Câu 10 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số

4 Tính tổng T các phần tử của S

Câu 11 Hàm số y x 2 2xm4 đạt giá trị lớn nhất trên đoạn   1; 2  bằng 3 khi m thuộc

Câu 12 Biết hàm số bậc hai yax 2 bx c có đồ thị hàm số là một đường Parabol đi qua điểm A   1;0  và có đỉnh I  1; 2  Tính a   b c

Câu 13 Cho parabol   P : y  x 2  2 x  m  1 Tìm các giá trị của m để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Câu 14 Cho hàm số yax 2 bx1(a0) có đồ thị ( )P Biết ( )P có trục đối xứng bằng 2 và giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 Tích ab là :

Câu 15 Biết rằng hàm số yax 2 bx c a  0 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x2 và có đồ thị hàm số đi qua điểm A  0; 6  Tính tích Pabc

Câu 16 Biết rằng hàm số y  ax 2  bx c a    0  đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại x2 và có đồ thị hàm số đi qua điểm A 0; 1  Tính tổng S  a b c.

Câu 17 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng 0; 2020 để đồ thị của hàm số 

3 9 8 y mx  m x m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ?

Câu 18 Parabol yax 2 bx c có giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x 2 và đi qua điểm A  0;6  có a b c  bằng:

Câu 19 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số mđể giá trị nhỏ nhất của hàm số

  4 2 8 2 3 y f x  x  x m  mtrên  bằng 3 Tính tổng Tcác phần tử củaS

Câu 20 Biết đỉnh của parabol yx 2  x m nằm trên đường thẳng 3 y4 Giá rị của m bằng

Câu 21 Cho parabol   P : y  x 2  2 x  m  1 Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 - 2(m^2 + 2m + 3)x + m \) trên đoạn \([-1; 1]\), ta ký hiệu lần lượt là \( y_1 \) và \( y_2 \) Tiếp theo, cần tính tích tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) sao cho \( y_1 - y_2 = 24 \).

Câu 23 Gọi Slà tập hợp các giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

  2 2 2 3 y f x x  mxm  mtrên đoạn   1;3 bằng 5  Tính tổng Tcác phần tử của S

Câu 24 Parabol yax 2 bx c có đỉnh I  2; 5   và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 Khi đó tích abc bằng

Câu 25 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

  2 mx m 2 4 m y f x x    trên đoạn 3;0 bằng 11 Bình phương của tổng tất cả các

Câu 26 Biết đồ thị   P :yax 2 bx c cắt trục tung tại điểm bằng có tung độ bằng 7, đi qua điểm

A và có tung độ đỉnh bằng 9 Xác định parabol   P

Câu 27 Tìm m để hàm số y2x 2 4x2m3 có giá trị lớn nhất trên đoạn  2;5  bằng 13 ?

Câu 28 Có bao nhiêu tham số m thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x( )2x 2 2mx m 2 3m trên đoạn  0; 2  bằng 4

Câu 29 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng 0; 2020 để đồ thị của hàm số 

3 9 8 y mx  m x m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ?

Câu 30 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

  4 2 4 2 2 y f x  x  mxm  m trên đoạn   2; 0  bằng 3 Tính tổng T tất cả các phần tử của S

Hàm số y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) đạt giá trị lớn nhất bằng 4 tại x = -1 và tổng bình phương các nghiệm của phương trình y = 0 bằng 10 Dựa vào các điều kiện này, ta có thể xác định dạng cụ thể của hàm số.

Tương giao

trục Ox tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía đối với trục tung?

Câu 33 Cho parabol   P : y  x 2  2 x   m 1 Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Câu 34 Xác định parabol   P : y  ax 2  bx  c , a  0 biết:   P đi qua M (4; 3) cắt Ox tại

N và P sao cho INP có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm P nhỏ hơn 3, với I là đỉnh của ( )P

Câu 35 Cho a, b, c là 3 số thực thỏa mãn 0

Gọi x 1 , x 2 lần lượt là hoành độ giao điểm của parabol   P :y2ax 2 3bx4c với trục hoành Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 36 Biết đồ thị hàm số bậc hai y  ax 2  bx c a    0  có điểm chung duy nhất với đường thẳng

5 y 2 và cắt đường thẳng y2 tại điểm có hoành độ lần lượt là 1 và 5 Giá trị của a b c  bằng:

Câu 37 Cho parabol   P : y  ax 2  bx c  , a  0 biết   P đi qua M (4;3) ,   P cắt Ox tại N 3; 0 và

Q sao cho INQ có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ hơn 3 với I là đỉnh của

Để xác định tập hợp S, ta cần tìm các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x² + 5x + 2m cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt A và B, với điều kiện OA = 4OB Từ điều kiện này, ta sẽ thiết lập phương trình và giải để tìm tổng các phần tử của S.

Cho parabol \( P: y = f(x) = ax^2 + bx + c \) với \( a \neq 0 \) Biết rằng \( P \) đi qua điểm \( M(4;3) \) và cắt trục Ox tại điểm \( N(3;0) \) Tìm điểm \( Q \) sao cho diện tích của tam giác \( \Delta MNQ \) bằng 1 và hoành độ của điểm \( Q \) nhỏ hơn 3 Từ đó, tính giá trị của \( a + b + c \).

Để tìm tập hợp S các giá trị của tham số m trong parabol P: y = x² - 4x + m, sao cho P cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt A và B với điều kiện OA = 3OB, ta cần xác định điều kiện cho m Đầu tiên, parabol cắt trục Ox khi y = 0, tức là giải phương trình x² - 4x + m = 0 Để có hai nghiệm phân biệt, discriminant Δ = (-4)² - 4*1*m > 0, dẫn đến m < 4 Tiếp theo, với điều kiện OA = 3OB, ta thiết lập mối quan hệ giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình, từ đó tìm ra giá trị cụ thể cho m Tổng tất cả các phần tử của S sẽ là giá trị cần tính toán từ các điều kiện đã thiết lập.

Câu 41 Biết rằng parabol   P : y  ax 2  bx  c  a  0  đi qua hai điểm A  0;3  , B  2 ; 1   và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt M, N thỏa mãn MN2 Tính giá trị biểu thức a 2 b 2

Câu 42 Tất cả các giá trị của m để parabol   P : y  x 2  2 mx  2 m cắt đường thẳng d y: 2x3 tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 là

Câu 43 Cho hàm số y 2x 2 3x1 có đồ thị   P Tìm m để đồ thị hàm số ymx2m1 tiếp xúc với   P

Để tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đường thẳng d: y = mx + 3 cắt parabol P: y = x² - 4x + 3 tại hai điểm phân biệt A và B, đồng thời diện tích tam giác OAB bằng 9, ta cần xác định điều kiện cắt nhau của đường thẳng và parabol, cũng như áp dụng công thức tính diện tích tam giác Diện tích tam giác OAB được tính bằng 9 sẽ dẫn đến các phương trình liên quan đến m và các tọa độ của điểm A và B.

Câu 45 Cho parabol   P : y  x 2  4 x  3 và đường thẳng d y :  mx  3 Tìm giá trị thực của tham số m để d cắt   P tại hai điểm phân biệt A B, có hoành độ x x 1 , 2 thỏa mãn x 1 3  x 2 3  8

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên   2; 2  Khi đó tổng M m bằng:

Câu 47 Cho parabol   P : y  x 2  4x 3  và đường thẳng   d : y  m x 3  Biết rằng có hai giá trị của m là m m 1 , 2 để   d cắt   P tại hai điểm phân biệt A B, sao cho diện tích tam giác OAB bằng 9

2 Tính giá trị biểu thức Pm 1 2 m 2 2

Câu 48 Cho hàm số y x 2 4x3 có đồ thị như hình vẽ bên

Tìm m để phương trình 2x 2 8x2m 5 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm thuộc   0;1

Câu 49 Biết đường thẳng d y:   x 4 cắt parabol   P :yx 2 2x tại hai điểm phân biệt A và B Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB

Câu 50 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng :y2xm cắt   P : y  x 2  4 x  1 tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Câu 51 Có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng   10; 4   để đường thẳng

: 1 2 d y  m x m  cắt Parabol   P :y x 2  x 2 tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung ?

Câu 52 Cho đồ thị hàm số yx 2 2x1   P (hình vẽ sau) Dựa vào đồ thị   P xác định số giá trị nguyên dương của m để phương trình x 2 2x2m20 có nghiệm x   1; 2 ? 

Để tìm giá trị m sao cho đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A và B, và đồng thời OA² + OB² đạt giá trị nhỏ nhất, ta xét hàm số y = x² - 2x - 2 và đường thẳng y = x + m Việc xác định giá trị m này sẽ giúp tối ưu hóa khoảng cách từ gốc tọa độ đến hai điểm A và B, từ đó tìm ra giá trị nhỏ nhất cho OA² + OB².

Ứng dụng định lý vi-et

nghiệm x x 1 , 2 và P5(x 1 x 2 )2x x 1 2 đạt giá trị lớn nhất

Câu 55 Biết rằng hàm số y  ax 2  bx  c a   0  đạt giá trị lớn nhất bằng 1

4 tại 3 x  2 và tổng lập phương các nghiệm của phương trình y  0 bằng 9 Tính P  abc

Câu 56 Tìm m sao cho Parabol   P :yx 2 2mxm 2 1 cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x x 1 , 2 sao cho biểu thức Px 1 2 x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 57 Xác định hàm số yax 2 bxc a  0 biết hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1

4 tại 3 x2 và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm x x 1 , 2 thỏa mãn x 1 3 x 2 3 9

Bài toán thực tế

Trong đợt hội trại “Khi tôi 18” tại trường THPT X, Đoàn trường đã triển khai một dự án ảnh trưng bày trên pano hình parabol Các lớp sẽ gửi hình dự thi để dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD với kích thước cụ thể.

Panô có chiều cao tối đa so với mặt đất khi cạnh CD tiếp xúc với mặt đất và được trang trí hoa văn phù hợp Để xác định vị trí cao nhất của panô, cần tính toán chiều cao từ điểm tiếp xúc của cạnh CD đến đỉnh panô, với điều kiện AB = m và AD = m.

Câu 59 Một chiếc cổng hình parabol có dạng y 4x 2 và có chiều cao h16 m Chiều rộng của chiếc cổng bằng:

Cổng Arch tại St Louis, Mỹ, có hình dạng parabol với khoảng cách giữa hai chân cổng là 162m Tại điểm cao 43m trên cổng, một sợi dây được thả xuống đất, và vị trí chạm đất của sợi dây cách chân cổng A 10m Các số liệu này được coi là chính xác.

Gọi h là chiều cao của cổng Hãy tính chiều cao của cổng

Cổng hình Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng BC là 10m Từ điểm M trên thân cổng, khoảng cách tới mặt đất là MK = 18m và khoảng cách tới chân cổng gần nhất BK = 1m Chiều cao AH của cổng cần được xác định.

Độ cao của quả bóng golf khi được đánh ra theo thời gian được mô tả bằng một hàm số bậc hai, cụ thể là h(t) = -7t² + 42t, trong đó h là độ cao tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây Độ cao lớn nhất mà quả bóng golf có thể đạt được là một điểm quan trọng trong việc phân tích chuyển động của bóng.

Một kỹ sư thiết kế một cây cầu treo bắc qua dòng sông với hai cột trụ đỡ AA' và BB' cao 30m Trên hai cột trụ, một dây truyền hình parabol (ACB) được gắn chặt tại hai điểm A và B để hỗ trợ nền cầu Để đảm bảo chịu lực cho cầu và phương tiện giao thông, cần thêm các dây cáp treo thẳng đứng nối nền cầu với dây truyền Khoảng cách giữa các dây cáp treo và hai cột trụ là bằng nhau, với dây cáp ngắn nhất có chiều dài OC = 5m và khoảng cách giữa A và B' là 200m Chiều dài của các cáp treo còn lại cần được xác định.

Khi một quả bóng được đá lên, nó di chuyển theo quỹ đạo parabol trong mặt phẳng tọa độ Oth, với t là thời gian tính bằng giây và h là độ cao tính bằng mét Bắt đầu từ độ cao 1,1m, sau 1 giây quả bóng đạt 8,6m và sau 2 giây đạt 6m Câu hỏi đặt ra là độ cao lớn nhất mà quả bóng có thể đạt được gần với giá trị nào.

Cổng hình Parabol có chiều rộng giữa hai chân cổng BC là 10m Từ điểm M trên cổng, khoảng cách đến mặt đất là 18m và khoảng cách đến chân cổng gần nhất BK là 1m Do đó, chiều cao AH của cổng được xác định.

Câu 66 Một chiếc cổng như hình vẽ, trong đó CD6 ,m AD4m, phía trên cổng có dạng hình parabol

Để thiết kế cổng cho phép xe container có bề ngang 4m và chiều cao 5,2m đi qua, cần xác định độ cao tối thiểu của đỉnh parabol tính từ mặt đất Đỉnh của parabol, theo mép dưới của cổng, phải đảm bảo khoảng cách tối thiểu để xe container hình hộp chữ nhật không bị va chạm khi di chuyển qua cổng.

Ông A dự định xây dựng một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc trên một miếng đất, với một cạnh được xây tường Để rào ba cạnh còn lại, ông A sử dụng 100m dây rào Câu hỏi đặt ra là diện tích lớn nhất của mảnh vườn này là bao nhiêu.

Để tối ưu hóa diện tích mặt ngang S của một máng dẫn nước được tạo ra từ một miếng nhôm có bề ngang 32 cm, cần chia tấm nhôm thành 3 phần và gấp 2 bên lại theo góc vuông Câu hỏi đặt ra là giá trị của x là bao nhiêu để đạt được diện tích lớn nhất cho máng dẫn nước.

Sức mạnh tối đa của động cơ Canô được tính bằng công thức P(r) = -0,0000147r² + 0,18r - 251, trong đó P là sức mạnh tính bằng mã lực và r là tốc độ quay tính bằng vòng/phút Để xác định sức mạnh lớn nhất, cần tìm giá trị cực đại của hàm số này.

Trung tâm kỹ năng sống đang tổ chức khóa học với mức phí 400.000 đồng/người, dự kiến thu hút 1000 học viên Để tối đa hóa doanh thu, trung tâm nhận thấy rằng mỗi lần giảm giá 5.000 đồng sẽ thu hút thêm 20 học viên Câu hỏi đặt ra là mức giá tối ưu cho khóa học để đạt được doanh thu cao nhất là bao nhiêu.

Cổng hình parabol có phương trình y = ax² + bx + c, với chiều rộng OA = 10m, có một điểm M nằm trên cổng cách mặt đất 27m.

MH  5 m và khoảng cách từ H đến O bằng 1 m Hỏi chiều cao của cổng là bao nhiêu

Một người nông dân có 15.000.000 VNĐ để xây dựng hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông nhằm tạo ra hai khu đất hình chữ nhật trồng rau Chi phí nguyên vật liệu cho hàng rào song song với bờ sông là 60.000 VNĐ/m, trong khi chi phí cho ba mặt hàng rào còn lại là 50.000 VNĐ/m Mục tiêu là tìm diện tích lớn nhất của khu đất được rào.

Câu 73 Tại một khu hội chợ người ta thiết kế cổng chào có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới

Hàm ẩn

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để ax 2 b x  c m1 có bốn nghiệm phân biệt?

Câu 76 Cho hàm số bậc hai y  f x   có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây

Gọi S là tập các giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

  có 6 nghiệm phân biệt Số phần tử của tập Slà

Để giải bài toán, ta có hàm số y = f(x) = ax² + bx + c với đồ thị đã cho Cần tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = f(x) + m trên đoạn [0; 4] bằng 9.

Câu 78 Cho hàm số y  f x   có đồ thị là một parabol như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình f x  2  x   1 là

Câu 79 Cho hàm số yax 2 bx c có đồ thị như hình vẽ, tập tất cả giá trị của tham số mđể phương trình ax 2 b x m2 có 4 nghiệm phân biệt là

Câu 80 Cho hàm số f x    ax 2  bx  c đồ thị như hình Hỏi với những giá trị nào của tham số thực m thì phương trình f x     1 m có đúng 3 nghiệm phân biệt

Câu 81 Cho hàm số thỏa mãn và có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Số nghiệm của phương trình là

Câu 82 Hàm số y  f x   có đồ thị trên      ;  trong hình vẽ sau Hãy tìm số nghiệm phương trình

Câu 83 Hàm số yx 2 4x1có bảng biến thiên như hình Có bao nhiêu giá trị nguyên của mđể phương trình |x 2 4x 1| mcó 4 nghiệm phân biệt x y

Câu 84 Tổng các giá trị của m để giá trị lớn nhất của hàm số y x 2 2x m trên đoạn   3; 2  bằng 10 là

Câu 85 Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f x    m có 8 nghiệm phân biệt?

Câu 86 Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ

Tìm số nghiệm của phương trình f 3   x  f x    2 3 f x    0

Để giải bài toán với hàm số y = x² - 2x, ta cần xác định tập S, gồm các giá trị nguyên của m để phương trình x² - 2x + m = 1 có hai nghiệm phân biệt Tính tổng các phần tử trong tập S là bước tiếp theo cần thực hiện.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol f(x) = ax² + bx + c với đồ thị như hình vẽ Cần xác định số lượng số nguyên dương m sao cho đường thẳng y = m + 1 cắt đồ thị y = f(x) - 3 tại 4 điểm phân biệt.

Câu 89 Cho hàm số có đồ thị (như hình vẽ):

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm phân biệt?

Câu 90 Cho hàm số thỏa mãn và có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Số nghiệm của phương trình là

 có đồ thị như hình vẽ sau:

Tìm m để phương trình f x    m có 6 nghiệm thực phân biệt

LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng 1 Xác định hàm số bậc hai Câu 1 Cho hàm số f x  ax 2  bx c a  0 có đồ thị như hình vẽ

Khẳng định nào sau đây đúng?

Từ đồ thị hàm số suy ra parabol có tọa độ đỉnh I 1; 1 , đi qua hai điểm O  0;0 và B  2;0

Ta có hệ phương trình

Câu 2 Cho hàm số yax 2 bx c có đồ thị như hình vẽ bên Biết rằng OACB là hình vuông Tính giá trị của b

Ta có: A  0; c   C c c  ;  Suy ra, đỉnh của parabol là ; 0

  với c0,b0, vì parabol cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương và tiếp xúc với trục Ox tại điểm có hoàng độ dương

4 ac bc c c ac b c c ac b b b a b c b b b ac ac b

Câu 3 Cho hàm sốyax 2 bx c có đồ thị như hình vẽ

Xác định các hệ số a b c, ,

Vì đồ thị hàm số cắt trục Oxtại điểm có tung độ là 2 nên c 2

Mặt khác đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 1) làm đỉnh nên

Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm đỉnh và có hệ số a0nên ta chọn hàm sốy x 2 2x1

Câu 4 Cho hàm số f x  ax 2 bxc đồ thị như hình Tính giá trị biểu thức Ta 2 b 2 c 2

Do đồ thị hàm số có đỉnh là I  2; 1  

Do đồ thị hàm số đi qua điểm  0;3   f   0    3 c 3   2

Câu 5 Cho hàm số f x    ax 2  bx c a  ,   0  có bảng biến thiên như hình bên dưới Tính f   10

Dựa vào bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số bậc hai f x  ax 2 bx c a , 0 đi qua ba điểm

Vì đồ thị hàm số đi qua ba điểm 3; 0; 0; 3 ; 1; 0 nên ta có hệ sau

Câu 6 Cho parabol   P : y ax  2  bx c   a  0  Tìm a và c biết parabol   P có đỉnh là I  0; 4   và một trong hai giao điểm của parabol   P với trục hoành là A  2;0 

Theo bài ra, parabol   P có đỉnh là I  0; 4   và một trong hai giao điểm của parabol   P với trục hoành là A  2;0 nên ta có hệ phương trình:

Câu 7 Cho parabol   P : y ax  2  bx c   a  0  Một đường thẳng   d song song với trục hoành cắt   P tại A  0;3  và B  4;3  Phương trình trục đối xứng của parabol   P là:

Vì đường thẳng   d song song với trục hoành nên vuông góc với trục đối xứng của   P

Khi đường thẳng d cắt đường cong P tại hai điểm A và B, hai điểm này sẽ đối xứng qua trục đối xứng của P Trung điểm C của đoạn AB phải nằm trên trục đối xứng của P, với hoành độ của điểm C là 2.

Vậy phương trình trục đối xứng của   P là x  2

Câu 8 Cho hàm số bậc hai y2x 2 bx c , biết đồ thị của nó đi qua điểm M  0; 5  và có trục đối xứng

Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số y2x 2 bx c đi qua điểm M  0; 5 và có trục đối xứng x 1 nên ta có hệ: 5

Câu 9 Biết rằng parabol   P :yax 2 bx c a  0 đi qua hai điểm A 0;8, B 1;3và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt M , Nthỏa mãn MN 2 Tính giá trị biểu thức a3b

Parabol   P : yax 2 bx c a  0 đi qua hai điểm A 0;8và

Câu 10 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số

4 Tính tổng T các phần tử của S

Bảng biến thiên của hàm số y x 2 mxm 2 2m:

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số y x 2 mxm 2 2m là

Theo bài max 13 y  4 nên ta có

  Tổng các phần tử của S bằng 1 13 8

Câu 11 Hàm số y x 2 2xm4 đạt giá trị lớn nhất trên đoạn   1; 2  bằng 3 khi m thuộc

Từ bảng biến thiên ta có hàm số y  x 2 2xm4 đạt giá trị lớn nhất trên đoạn   1; 2  bằng 3 khi và chỉ khi: m 3 3m6 Vậy m5;7

Câu 12 Biết hàm số bậc hai yax 2 bx c có đồ thị hàm số là một đường Parabol đi qua điểm A   1;0  và có đỉnh I  1; 2  Tính a   b c

Vì Parabol yax 2 bx c đi qua điểm A 1;0   a b c 0 1 

Vì Parabol yax 2 bx c có đỉnh I  1; 2   

Câu 13 Cho parabol   P : y  x 2  2 x  m  1 Tìm các giá trị của m để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Hoành độ giao điểm của parabol và Ox là nghiệm của phương trình:

Parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x 1 0;x 2 0

Câu 14 Cho hàm số yax 2 bx1(a0) có đồ thị ( )P Biết ( )P có trục đối xứng bằng 2 và giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 Tích ab là :

( )P có trục đối xứng bằng 2 và giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 suy ra tọa độ đỉnh (2;3)

Câu 15 Biết rằng hàm số y  ax 2  bx c a    0  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x2 và có đồ thị hàm số đi qua điểm A 0; 6 Tính tích Pabc

+) Vì hàm số yax 2 bx c a  0đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x2nên ta có:

+) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A  0; 6  nên ta có:

.Ta có hệ phương trình:

Câu 16 Biết rằng hàm số y  ax 2  bx c a    0  đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại x2 và có đồ thị hàm số đi qua điểm A  0; 1  Tính tổng S  a b c.

Từ giả thiết ta có hệ 2 2

Câu 17 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng 0; 2020 để đồ thị của hàm số 

3 9 8 y mx  m x m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ?

+) m0 y9x8 Đồ thị hàm số không tồn tại 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ Vậy m0

Gọi M x( 0 ;y 0 ) thuộc đồ thị hàm số, M' đối xứng với M qua gốc tọa độ O M'x 0;y 0 

Vì M và M' đều thuộc đồ thị hàm số nên ta có  

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: 6mx 0 2 16 2 m 2 0

    Để đồ thị của hàm số y  3 mx 2   m  9  x   8 m 2 có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ thì phương trình    phải có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình    phải có 2 nghiệm phân biệt 8

Vậy có 2017 giá trị nguyên của m thuộc khoảng 0; 2020 

Câu 18 Parabol yax 2 bx c có giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x 2 và đi qua điểm A  0;6  có a b c  bằng:

Vì parabol yax 2 bx c có giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x 2 và đi qua điểm A  0;6  nên ta có hệ phương trình:   2  

Câu 19 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số mđể giá trị nhỏ nhất của hàm số

  4 2 8 2 3 y f x  x  x m  mtrên  bằng 3 Tính tổng Tcác phần tử củaS

Hàm số y  f x    4 x 2  8 x m  2  3 m là một Parabol có tọa độ đỉnh là I  1; m 2  3 m  4 

Dựa vào BBT ta thấy GTNN của hàm số trên  là: min 2 3 4 x y m m

Theo giả thiết ta có: m 2 3m43m 2 3m 7 0 * 

Phương trình   * có 2 nghiệm và tổng hai nghiệm 1 2 b 3

Câu 20 Biết đỉnh của parabol yx 2  x m nằm trên đường thẳng 3 y 4 Giá rị của m bằng

Lời giải Chọn D Đồ thị hàm số yx 2  x m có đỉnh 1 1

Vì đỉnh I thuộc đường thẳng 3 y4 nên 1 3

Câu 21 Cho parabol   P : y  x 2  2 x  m  1 Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và Ox là x 2  2 x  m   1 0   *

Parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi phương trình   * có hai nghiệm x x 1 , 2 dương phân biệt

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 - 2(m^2 + 2m + 3)x + m \) trên đoạn \([-1; 1]\), gọi lần lượt là \( y_1 \) và \( y_2 \) Cần tính tích tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) thỏa mãn điều kiện \( y_1 - y_2 = 24 \).

 Hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số là:

 Từ bảng biến thiên ta có: y 1 y( 1) 2m 2 5m7; y 2 y(1) 2m 2 3m5

          Vậy tích các giá trị thực của m là 1.( 3)  3

Câu 23 Gọi Slà tập hợp các giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

  2 2 2 3 y f x x  mxm  mtrên đoạn   1;3 bằng 5  Tính tổng Tcác phần tử của S

Câu 24 Parabol yax 2 bx c có đỉnh I 2; 5  và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 Khi đó tích abc bằng

 Parabol yax 2 bx c có đỉnh I  2; 5   nên ta có 2

 Parabol yax 2 bx c cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 a.0 2 b.0  c 3

Từ hệ phương trình (1) và (2) ta có hệ phương trình

Câu 25 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

  2 mx m 2 4 m y f x x    trên đoạn 3; 0 bằng 11 Bình phương của tổng tất cả các phần tử của S bằng

Nhận xét: Parabol có bề lõm hướng lên Hoành độ đỉnh 

2 m m thì x I   3 0 Suy ra f x   đồng biến trên đoạn 3; 0

   2   min3;0 f x f 3 m m 9 Theo yêu cầu bài toán:            

Suy ra f x   đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh Do đó     

Theo yêu cầu bài toán

2 m m thì x I   0 3 Suy ra f x   nghịch biến trên đoạn 3;0

Theo yêu cầu bài toán:  

Câu 26 Biết đồ thị   P :yax 2 bx c cắt trục tung tại điểm bằng có tung độ bằng 7, đi qua điểm

A và có tung độ đỉnh bằng 9 Xác định parabol   P

Ta có   P cắt trục tung tại điểm bằng 7 nên c7

Thay (1) vào phương trình trên ta được: 3b 2   8b 16 0

Câu 27 Tìm m để hàm số y2x 2 4x2m3 có giá trị lớn nhất trên đoạn  2;5  bằng 13 ?

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Câu 28 Có bao nhiêu tham số m thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x( )2x 2 2mx m 2 3m trên đoạn  0; 2  bằng 4

Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số y f x   là parabol có hệ số bậc hai là 2 0 nên bề lõm hướng lên trên Hoành độ đỉnh

2 m m thì x I 0 Suy ra f x   đồng biến trên đoạn  0; 2 

Theo yêu cầu bài toán:  

     thì x I  0; 2  Suy ra f x   đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh

Theo yêu cầu bài toán

2 m m thì x I 2 Suy ra f x   nghịch biến trên đoạn  0; 2 

Theo yêu cầu bài toán:

Câu 29 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng  0; 2020  để đồ thị của hàm số

3 9 8 y mx  m x m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ?

+) m0 y9x8 Đồ thị hàm số không tồn tại 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ Vậy m0

Gọi M x y( 0 ; 0 ) thuộc đồ thị hàm số, M' đối xứng với M qua gốc tọa độ O M'x 0;y 0 

Vì M và M' đều thuộc đồ thị hàm số nên ta có  

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: 6mx 0 2 16 2 m 2 0

    Để đồ thị của hàm số y  3 mx 2   m  9  x   8 m 2 có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ thì phương trình    phải có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình    phải có 2 nghiệm phân biệt 8

Vậy có 2017 giá trị nguyên của m thuộc khoảng 0; 2020 

Câu 30 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

  4 2 4 2 2 y f x  x  mxm  m trên đoạn   2; 0  bằng 3 Tính tổng T tất cả các phần tử của S

Xét hàm số y  f x    4 x 2  4 mx  m 2  2 m có tập xác định D

Vì a40 nên ta có bảng biến thiên:

Hàm số y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) đạt giá trị lớn nhất bằng 4 tại x = -1 và tổng bình phương các nghiệm của phương trình y = 0 là 10 Dựa vào các điều kiện này, chúng ta cần xác định hàm số cụ thể.

Từ giả thiết rằng hàm số đạt giá trị lớn nhất là 4 tại x = -1, ta xác định tọa độ đỉnh của parabol là I(-1; 4) Đồng thời, tổng bình phương các nghiệm của phương trình y = 0 là 10.

1 2 1 2 2 1 2 10 x x  x x  x x  Vậy ta có hệ phương trình:

Do hàm số đạt giá trị lớn nhất trên  nên loại đáp án#A

Dạng 2 Tương giao Câu 32 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m    10;10  để parabol   P : y  x 2  2  m  1  x  m  2 cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía đối với trục tung?

Phương trình hoành độ giao điểm của   P với Ox là:

  P cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía đối với trục tung khi và chỉ khi phương trình   1 có hai nghiệm trái dấu m 2 0m2

Vì m nguyên thuộc đoạn   10;10  nên m  10; 9; ; 0;1 

Suy ra có 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn đáp án C

Câu 33 Cho parabol   P : y  x 2  2 x   m 1 Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Phương trình hoành độ giao điểm của   P và trục Ox là

2 2 1 0. x  x    m   1 Để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi   1 có hai nghiệm dương

Câu 34 Xác định parabol   P : y  ax 2  bx  c , a  0 biết:   P đi qua M (4; 3) cắt Ox tại

N và P sao cho INP có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm P nhỏ hơn 3, với I là đỉnh của ( )P

Mặt khác   P cắt Ox tại N (3; 0) suy ra 0  9 a  3 b  c (2),

Theo định lý Viét ta có

S  IBC  IH NP với H là hình chiếu của ;

Từ (1) và (2) ta có 7a     b 3 b 3 7a suy ra 3 7 1 4

Suy ra a      1 b 4 c 3.Vậy   P cần tìm là y x 2 4x 3

Câu 35 Cho a, b, c là 3 số thực thỏa mãn 0

Gọi x 1 , x 2 lần lượt là hoành độ giao điểm của parabol   P : y2 ax 2 3 bx4 c với trục hoành Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 Phương trình hoành độ giao điểm của   P với trục hoành là 2ax 2 3bx4c0 (1)

   P cắt trục hoành tại hai điểm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm, tức là ta có

 Khi đó hoành độ giao điểm x 1 , x 2 của   P với trục hoành là nghiệm của (1), suy ra

 Theo bài ra ta có 1 9

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 3

 Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 1

Câu 36 Biết đồ thị hàm số bậc hai yax 2 bx c a  0 có điểm chung duy nhất với đường thẳng

5 y 2 và cắt đường thẳng y2 tại điểm có hoành độ lần lượt là 1 và 5 Giá trị của a b c  bằng:

Ta có   P đi qua 1; 2 ; 5; 2   nên ta có 2 4

  P có điểm chung duy nhất với đường thẳng 5 y 2

Câu 37 Cho parabol   P : y  ax 2  bx c  , a  0 biết   P đi qua M (4;3) ,   P cắt Ox tại N  3;0  và

Q sao cho INQ có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ hơn 3 với I là đỉnh của

Mặt khác   P cắt Ox tại N  3; 0  suy ra 09a3bc (2),

Theo định lý Viét ta có

S  INQ  IH NQ với H là hình chiếu của ;

Từ (1) và (2) ta có 7ab3b 3 7a suy ra 3 7 1 4

Để xác định tập hợp S chứa tất cả các giá trị của tham số m, ta cần tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = x² + 5x + 2m cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt A và B, với điều kiện OA = 4OB Tổng các phần tử của S sẽ được tính từ các giá trị thỏa mãn điều kiện này.

Lời giải Chọn A Để đồ thị hàm số yx 2 5x2m cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

2 5 2 0 x  x m có hai nghiệm phân biệt, tức 25

       Gọi A x  1, 0, B x  2, 0 Theo yêu cầu đề bài ta có:

Cho parabol P: y = f(x) = ax² + bx + c (với a ≠ 0), biết P đi qua điểm M(4;3) và cắt trục Ox tại N(3;0) Điểm Q được xác định sao cho diện tích của tam giác MNQ bằng 1 và hoành độ của Q nhỏ hơn 3 Tìm giá trị của a + b + c.

Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox.Ta có

Cho parabol \( P: y = x^2 - 4x + m \) với tham số \( m \) Tập hợp \( S \) chứa tất cả các giá trị của \( m \) sao cho \( P \) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt \( A \) và \( B \), với điều kiện \( OA = 3OB \) Tổng tất cả các phần tử của \( S \) cần được xác định.

Hoành độ giao điểm của parabol   P và trục Ox là nghiệm của phương trình

Parabol \( P \) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình \( 2x^2 - x + m = 0 \) có hai nghiệm phân biệt Điều này xảy ra khi discriminant \( \Delta' = 4 - m \) lớn hơn 0, tức là \( m < 4 \) Khi \( m < 4 \), các điểm A và B có tọa độ lần lượt là \( A(x_1, 0) \) và \( B(x_2, 0) \), trong đó \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm của phương trình (1) Theo định lý Viète, ta có mối quan hệ giữa các nghiệm và hệ số của phương trình.

Với x 1 3x 2 kết hợp với (3) ta có hệ phương trình 1 2 2

Với x 1  3x 2 kết hợp với (3) ta có hệ phương trình 1 2 2

Thay vào (4) ta được m 12 (thỏa mãn)

Vậy tổng các phần tử của S bằng 9

Câu 41 Biết rằng parabol   P : y  ax 2  bx  c  a  0  đi qua hai điểm A  0;3  , B  2 ; 1   và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt M, N thỏa mãn MN2 Tính giá trị biểu thức a 2 b 2

Parabol   P : y  ax 2  bx  c  a  0  đi qua hai điểm A  0;3  và B  2 ; 1  

Phương trình hoành độ giao điểm của   P và trục hoành là ax 2 bx c 0

Do đó,   P cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt M, N thỏa mãn MN 2

 phương trình ax 2 bx c 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 x 2 2

Thay (1) vào (2) ta được:    2 2 a  2  4 .3 a  4 a 2  4 4  a  0  a  1 (thỏa mãn)b 4 Vậy a 2  b 2  1 2    4  2  17

Câu 42 Tất cả các giá trị của m để parabol   P : y  x 2  2 mx  2 m cắt đường thẳng d y: 2x3 tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 là

Phương trình hoành độ giao điểm của d với   P là:

  P cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2

Câu 43 Cho hàm số y 2x 2 3x1 có đồ thị   P Tìm m để đồ thị hàm số ymx2m1 tiếp xúc với   P

Đồ thị hàm số y = -2x² + 3x + 1 sẽ tiếp xúc với đường thẳng P khi và chỉ khi phương trình giao điểm -2x² + 3x + 1 = mx - 2m + 1 có nghiệm kép Điều này tương đương với việc phương trình 2x² + (m - 3)x - 2m = 0 có nghiệm kép, khi và chỉ khi điều kiện nhất định được thỏa mãn.

Để tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đường thẳng d: y = mx + 3 cắt parabol P: y = x² - 4x + 3 tại hai điểm phân biệt A và B, đồng thời diện tích tam giác OAB bằng 9, ta cần xác định điều kiện cắt nhau của hai đồ thị và tính diện tích tam giác Diện tích tam giác OAB được tính bằng công thức 1/2 * đáy * chiều cao, trong đó đáy là khoảng cách giữa hai điểm A và B trên trục hoành và chiều cao là giá trị y tại điểm O Từ đó, ta có thể thiết lập phương trình và giải để tìm các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu.

Phương trình hoành độ giao điểm của   P và d là x 2  4 x  3  mx  3

Để d cắt   P tại hai điểm phân biệt A B, khi và chỉ khi 4m 0 m 4

Gọi H là hình chiếu của B lên OA Suy ra BH  x B  4m

Theo giả thiết bài toán, ta có 9 1 9 1 9

Câu 45 Cho parabol   P : y  x 2  4 x  3 và đường thẳng d y :  mx  3 Tìm giá trị thực của tham số m để d cắt   P tại hai điểm phân biệt A B, có hoành độ x x , thỏa mãn x 3  x 3  8

Phương trình hoành độ giao điểm của   P và d là x 2 4x 3 mx3

           Để d cắt   P tại hai điểm phân biệt A B, thì 4  m   0 m   4

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên   2; 2  Khi đó tổng Mm bằng:

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên   2;1  là -3 khi và chỉ khi x 1

Trên   1; 2  ta có y  2 x  1 Hàm số đồng biến trên  nên ta có

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn   1; 2 là y   2  3  M  3

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên   1; 2 là y   1  1

Câu 47 Cho parabol   P : y  x 2  4x 3  và đường thẳng   d : y  m x 3  Biết rằng có hai giá trị của m là m m 1 , 2 để   d cắt   P tại hai điểm phân biệt A B, sao cho diện tích tam giác OAB bằng 9

2 Tính giá trị biểu thức Pm 1 2 m 2 2

Phương trình hoành độ giao điểm của   d và   P :

Để   P cắt   d tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt m  4 0 m 4

Suy ra tọa độ hai giao điểm ,A B lần lượt là: A 0;3 và B m   4; m 2  4 m  4 

Chiều cao kẻ từ Bcủa OABbằng khoảng cách từ Bđến Oy: d B Oy  ;  x B  m4

Khi đó diện tích OABlà: 1  ;  9 1 3 4

Câu 48 Cho hàm số yx 2 4x3 có đồ thị như hình vẽ bên

Tìm m để phương trình 2x 2 8x2m 5 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm thuộc   0;1

Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của:

Dựa vào đồ thị, ycbt ta có: 1 1 5

Câu 49 Biết đường thẳng d y:   x 4 cắt parabol   P : y  x 2  2 x tại hai điểm phân biệt A và B Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và   P : x 2 2x  x 4 x 2   x 4 0 * 

  * có hai nghiệm phân biệtx x 1 ; 2 thỏa mãn:x 1 x 2 1 Khi đó giao điểm của d và   P lần lượt là A x  1;x 14 , B x  2;x 24

Tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB là 1 2 1 2 8

Câu 50 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng :y2xm cắt   P : y  x 2  4 x  1 tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Phương trình hoành độ giao điểm của   P và  là: x 2 4x 1 2x m x 2 6x 1 m0 *  Đường thẳng  cắt   P tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương    * có hai nghiệm dương phân biệt

Câu 51 Có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng   10; 4   để đường thẳng

: 1 2 d y  m x m  cắt Parabol   P :yx 2  x 2 tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung ?

Phương trình hoành độ giao điểm của d và   P là

2 1 2 2 4 0 x    x m x m  x  m x m   (1) Đường thẳng d cắt Parabol   P tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung

 có hai nghiệm phân biệt x x 1 ; 2 cùng dấu

Câu 52 Cho đồ thị hàm số yx 2 2x1   P (hình vẽ sau) Dựa vào đồ thị   P xác định số giá trị nguyên dương của m để phương trình x 2 2x2m20 có nghiệm x   1; 2 ? 

Khi đó, nghiệm của phương trình  1 là số giao điểm của đồ thị   P và đường thẳng y 1 2 m Dựa vào đồ thị   P , để phương trình x 2 2x2m20 có nghiệm x    1; 2  thì

Vậy có 2 giá trị nguyên dương là m0,m1.

Để tìm giá trị m sao cho đường thẳng d có phương trình y = x + m cắt parabol P với hàm số y = x² - 2x - 2 tại hai điểm phân biệt A và B, và đồng thời OA² + OB² đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần phân tích điều kiện giao điểm giữa đường thẳng và parabol Việc này sẽ giúp xác định m với các điểm A và B sao cho tổng bình phương khoảng cách từ gốc tọa độ đến các điểm này là tối thiểu.

Phương trình hoành độ giao điểm của   d và   P là x 2  2 x  2  x  m  x 2  3 x  m  2  0 1   Đường thẳng   d cắt parabol   P tại 2 điểm phân biệt khi 17

Gọi x x 1 , 2 là nghiệm của phương trình   1 , theo Vi-et ta có 1 2

Khi đó tọa độ giao điểm của   d và   P là A x x  1; 1m ,B x x  2; 2m 

Dấu “=” xảy ra khi 5 m 2 ( thỏa mãn).

Vậy OA 2 OB 2 đạt giá trị nhỏ nhất là 27

Dạng 3 Ứng dụng định lý vi-et Câu 54 Cho phương trình x 2  2  m  3  x m  2   3 0 , m là tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x 1 , 2 và P5(x 1 x 2 )2x x 1 2 đạt giá trị lớn nhất

Theo định lý Viét ta có 1 2  

    khi và chỉ khi m 2 Vậy m 2 là giá trị cần tìm

Câu 55 Biết rằng hàm số y  ax 2  bx  c a   0  đạt giá trị lớn nhất bằng 1

4 tại 3 x  2 và tổng lập phương các nghiệm của phương trình y  0 bằng 9 Tính P  abc

Hàm số y  ax 2  bx  c a   0  đạt giá trị lớn nhất bằng 1

Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình y  0 Theo giả thiết: x 1 3  x 3 2  9

                            Từ đó ta có hệ:

Câu 56 Tìm m sao cho Parabol   P : y  x 2  2 mx  m 2  1 cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x x 1 , 2 sao cho biểu thức Px 1 2 x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Phương trình hoành độ giao điểm của   P với trục Ox là

        nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2

Theo định lý Vi-et, ta có 1 2 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 khi m0.

Câu 57 Xác định hàm số yax 2 bxc a  0 biết hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1

4 tại 3 x2 và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm x x 1 , 2 thỏa mãn x 1 3 x 2 3 9

Hàm số yax 2 bxc a  0 đạt giá trị lớn nhất bằng 1

Từ đó ta có hệ:

Trong đợt hội trại “Khi tôi 18” tại trường THPT X, Đoàn trường đã thực hiện một dự án trưng bày ảnh trên pano hình parabol Các lớp sẽ gửi hình dự thi để dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD với kích thước cụ thể.