12. a) Ta c´o A1 ⊃A2 ⊃ A3 ⊃ · · ·. V`ı vˆa.y ∞∪n=1An = A1 = [−1,1). n=1An = A1 = [−1,1). Ta c´o −1 n ≤0< n1,∀n∈ Z+, t´u.c l`a {0} ⊂ ∞∩ n=1An. M˘a.t kh´ac, ∀x ∈ ∞∩ n=1An ⇒ −1 n ≤ x < n1, ∀n∈ Z+ ⇒ x = 0 (v`ı lim n→∞(−1 n) = lim n→∞ 1 n = 0), t´u.c l`a ∞∩ n=1An⊂ {0}.
Do d¯´o ∞∩ n=1An ={0}. b) V`ıA1∩A2 =∅ nˆen ∞∩ n=1An =∅. V`ı 0 < n1 < n2 ≤ 2, ∀n ∈ Z+, nˆen An ⊂ (0,2), ∀n ∈ Z+. Do d¯´o ∞∪ n=1An ⊂ (0,2). ∀x ∈(0,2): + Nˆe´u 1≤ x <2 th`ıx∈ A1, do d¯´o x∈ ∞∪ n=1An.
+ Nˆe´u 0 < x <1, go.i n l`a sˆo´ nguyˆen nho’ nhˆa´t, khˆong nho’ ho.n
1
x. Khi d¯´o, 1x ≤n < x1 + 1 (< x1 + 1x = x2), t´u.c l`a n1 ≤ x < n2 hay x ∈An, do d¯´o
x ∈ ∞∪ n=1An. T`u. 2 d¯iˆ` u trˆen, ta c´e o (0,2) ⊂ ∞∪ n=1An. Vˆa.y ∞∪ n=1An = (0,2). c) V`ı d˜ay {(1 + n1)n} l`a d˜ay t˘ang, nˆen A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ · · ·. V`ı vˆa.y ∞ ∪ n=1An = A1 = [2,3]. V`ı (1 + n1)n < e < 3, ∀n∈ Z+ nˆen [e,3]⊂ An, ∀n∈Z+ hay [e,3] ⊂ ∞∩ n=1An. M˘a.t kh´ac, ∀x ∈ ∞∩ n=1An ⇒ (1 + n1)n ≤ x ≤ 3, ∀n ∈ Z+ ⇒ e ≤ x ≤ 3 (v`ı lim n→∞(1 + n1)n = e), t´u.c l`a ∞∩ n=1An ⊂[e,3]. Do d¯´o, ∞∩ n=1An = [e,3]. d) V`ıA1∩A3 =∅ nˆen ∞∩ n=1An = ∅. R˜o r`ang An ⊂[1,+∞), ∀n∈Z+, nˆen ∞∪ n=1An ⊂[1,+∞). M˘a.t kh´ac,
∀x ∈ [1,+∞) ⇒ n≤ x < n+ 1, v´o.i n = [x] (phˆ` n nguyˆen cu’aa x) ⇒ x ∈ An ⇒ x∈ ∞∪ n=1An, t´u.c l`a [1,+∞)⊂ ∞∪ n=1An. Do d¯´o, ∞∪ n=1An = [1,+∞). 13. a) x ∈ B ∩( ∪ α∈IAα) ⇔ x ∈ B ∧ x ∈ ∪ α∈IAα ⇔ x ∈ B∧ (∃α ∈ I, x ∈ Aα) ⇔ ∃α∈ I, x∈B∧x∈Aα ⇔ x ∈ ∪ α∈I(B∩Aα). b) x ∈ B∪( ∩ α∈IAα) ⇔ x ∈ B ∨ x ∈ ∩ α∈IAα ⇔ x ∈ B∨ (∀α ∈ I, x ∈ Aα) ⇔ ∀α∈ I, x∈B∨x∈Aα ⇔ x ∈ ∩ α∈I(B∪Aα). c) x ∈ A\( ∪ α∈IAα) ⇔ x ∈ A∧x∈ ∪ α∈IAα ⇔ x ∈ A∧ ∃α∈I, x ∈Aα ⇔ x ∈A∧(∀α∈ I, x /∈Aα) ⇔ ∀α∈ I, x∈A∧x /∈Aα ⇔ ∀α∈ I, x∈A\Aα ⇔ x ∈ ∩ α∈I(A\Aα).
d) x ∈ A\( ∩α∈IAα) ⇔ x ∈A ∧x∈ ∩ α∈IAα) ⇔ x ∈A ∧x∈ ∩ α∈IAα ⇔ x∈ A∧ ∀α∈ I, x∈Aα ⇔ x ∈A∧(∃α∈ I, x /∈Aα) ⇔ ∃α∈ I, x∈A∧x /∈Aα ⇔ ∃α∈ I, x∈A\Aα ⇔ x ∈ ∪ α∈I(A\Aα). 14. a) Aα ⊂ ∪ α0∈IAα0, ∀α∈I ⇒ f(Aα)⊂ f( ∪ α0∈IAα0), ∀α∈I ⇒ ∪ α∈If(Aα)⊂ f( ∪ α∈IAα). M˘a.t kh´ac, y ∈ f( ∪ α∈IAα) ⇒ ∃x ∈ ∪ α∈IAα, y = f(x) ⇒ ∃α ∈I,∃x∈ Aα, y = f(x) ⇒ ∃α∈ I, y ∈f(Aα) ⇒ y ∈ ∪ α∈If(Aα). Vˆa.y f( ∪ α∈IAα)⊂ ∪ α∈If(Aα). Do d¯´o f( ∪ α∈IAα) = ∪ α∈If(Aα). b) y ∈ f( ∩ α∈IAα) ⇒ ∃x ∈ ∩ α∈IAα, y = f(x) ⇒ ∀α ∈ I,∃x ∈ Aα, y = f(x) ⇒ ∀α∈I, y ∈f(Aα) ⇒ y ∈ ∩ α∈If(Aα). Vˆa.y f( ∩ α∈IAα)⊂ ∩ α∈If(Aα). c) x ∈ f−1( ∪ β∈JBβ) ⇔ f(x) ∈ ∪ β∈JBβ ⇔ ∃β ∈ J, f(x) ∈ Bβ ⇔ ∃β ∈ J, x ∈f−1(Bβ) ⇔ x ∈ ∪ β∈Jf−1(Bβ). d) x ∈ f−1( ∩ β∈JBβ) ⇔ f(x) ∈ ∩ β∈JBβ ⇔ ∀β ∈ J, f(x) ∈ Bβ ⇔ ∀β ∈ J, x ∈f−1(Bβ) ⇔ x ∈ ∩ β∈Jf−1(Bβ).
15. a) Sˆo´ c´ac sˆo´ tu.. nhiˆen c´o 4 ch˜u. sˆo´ trong 6 ch˜u. sˆo´ d¯˜a cho b˘a`ng:64 = 1296. 64 = 1296.
b) Sˆo´ c´ac sˆo´ tu.. nhiˆen c´o 4 ch˜u. sˆo´ kh´ac nhau lˆa´y trong 6 ch˜u. sˆo´ d¯˜a cho b˘a`ng:
A46 = 6!2! = 3.4.5.6 = 360.
c) Mˆo˜i sˆo´ tu.. nhiˆen c´o da.ng abcd, trong d¯´o a, b, c, d l`a 4 ch˜u. sˆo´ phˆan biˆe.t v`a1 ≤a, b, c, d ≤6. V`ıabcd <2003 nˆen ta pha’i c´o: 1 ≤a, b, c, d ≤6. V`ıabcd <2003 nˆen ta pha’i c´o:
a = 1, b = 2,3,4,5,6, c = 2,3,4,5,6, d= 2,3,4,5,6.
Vˆa.y c´ac sˆo´ tu. nhiˆ. en pha’i t`ım b˘a`ng: A3
5 = 5!2! = 3.4.5 = 60.
d) Sˆo´ tu.. nhiˆen theo yˆeu cˆ` u c´a o da.ng abcd, trong d¯´o c´ac ch˜u. sˆo´ a, b, c, d l`aphˆan biˆe.t, 1 ≤a, b, c, d ≤6 v`a abcd˙: 2. V`ıabcd˙: 2 nˆen d = 2,4,6. Vˆa.y sˆo´ c´ac sˆo´ phˆan biˆe.t, 1 ≤a, b, c, d ≤6 v`a abcd˙: 2. V`ıabcd˙: 2 nˆen d = 2,4,6. Vˆa.y sˆo´ c´ac sˆo´ tu.. nhiˆen pha’i t`ım b˘a`ng: 3×A35 = 180.
e) Sˆo´ tu.. nhiˆen theo yˆeu cˆ` u c´a o da.ng abcd, trong d¯´o c´ac ch˜u. sˆo´a, b, c, d l`aphˆan biˆe.t, 1 ≤a, b, c, d ≤ 6 v`a abcd ˙: 5. V`ıabcd ˙: 5 nˆen d = 5. Vˆa.y sˆo´ c´ac sˆo´ tu.. phˆan biˆe.t, 1 ≤a, b, c, d ≤ 6 v`a abcd ˙: 5. V`ıabcd ˙: 5 nˆen d = 5. Vˆa.y sˆo´ c´ac sˆo´ tu.. nhiˆen pha’i t`ım b˘a`ng: A35 = 60.
16. a) Xem cˆo dˆau v`a ch´u rˆe’ nhu. l`a mˆo.t th`ı mˆo.t c´ach xˆe´p h`ang m`a cˆo dˆau d¯´u.ngca.nh ch´u rˆe’ (khˆong kˆe’ bˆen tr´ai hay bˆen pha’i) l`a mˆo.t ho´an vi. cu’a 5 phˆa` n tu.’ . Do ca.nh ch´u rˆe’ (khˆong kˆe’ bˆen tr´ai hay bˆen pha’i) l`a mˆo.t ho´an vi. cu’a 5 phˆa` n tu.’ . Do d¯´o sˆo´ cˆ` n t`ım l`a a:
b) Sˆo´ tˆa´t ca’ c´ac c´ach xˆe´p h`ang l`a 6!. Vˆa.y sˆo´ c´ac c´ach xˆe´p h`ang m`a cˆo dˆaukhˆong d¯´u.ng ca.nh ch´u rˆe’ l`a khˆong d¯´u.ng ca.nh ch´u rˆe’ l`a
6! − 240 = 480.
c) Sˆo´ c´ac c´ach xˆe´p h`ang m`a cˆo dˆau d¯´u.ng bˆen tr´ai ngay ca.nh ch´u rˆe’ l`a 5!.Sˆo´ c´ac xˆe´p h`ang m`a cˆo dˆau d¯´u.ng bˆen tr´ai khˆong d¯´u.ng ca.nh ch´u rˆe’ l`a 4802 . Do Sˆo´ c´ac xˆe´p h`ang m`a cˆo dˆau d¯´u.ng bˆen tr´ai khˆong d¯´u.ng ca.nh ch´u rˆe’ l`a 4802 . Do d¯´o sˆo´ cˆ` n t`ım l`a a:
5! + 480
2 = 120 + 240 = 360.
17. a) Mˆo.t c´ach cho.n mˆo.t hˆo.i d¯ˆo`ng gˆ`m 5 th`o anh viˆen cu’a tˆo’ l`a mˆo.t tˆo’ ho. p chˆ. a.p5 cu’a 16 phˆ` n tu.a ’ . Vˆa.y sˆo´ cˆa` n t`ım l`a C165 = 5!11!16! = 4368. 5 cu’a 16 phˆ` n tu.a ’ . Vˆa.y sˆo´ cˆa` n t`ım l`a C165 = 5!11!16! = 4368.
b) Mˆo.t c´ach cho.n mˆo.t hˆo.i d¯ˆo`ng gˆ`m 5 th`o anh viˆen cu’a tˆo’ sao cho mˆo˜i th`anhviˆen d¯u.o.. c phˆan cˆong o.’ mˆo.t vi. tr´ı d¯˜a d¯i.nh l`a mˆo.t chı’nh ho. p chˆ. a.p 5 cu’a 16 phˆa` n viˆen d¯u.o.. c phˆan cˆong o.’ mˆo.t vi. tr´ı d¯˜a d¯i.nh l`a mˆo.t chı’nh ho. p chˆ. a.p 5 cu’a 16 phˆa` n tu.’ . Vˆa.y sˆo´ cˆa` n t`ım l`a A516 = 16.15.14.13.12 = 524160.
c) Sˆo´ c´ach cho.n hˆo.i d¯ˆo`ng gˆ`m 5 th`o anh viˆen to`an n˜u. l`a C75 = 21. Sˆo´ c´achcho.n hˆo.i d¯ˆo`ng gˆ`m 5 th`o anh viˆen to`an nam l`a C5 cho.n hˆo.i d¯ˆo`ng gˆ`m 5 th`o anh viˆen to`an nam l`a C5
9 = 126. Vˆa.y sˆo´ c´ach cho.n hˆo.i d¯ˆ`ng c´o o ´ıt nhˆa´t mˆo.t n˜u. v`a ´ıt nhˆa´t mˆo.t nam l`a 4368−(21 + 126) = 4221.
18. a) Go.i A l`a tˆa.p ho. p c´. ac xˆau nhi. phˆan c´o d¯ˆo. d`ai b˘a`ng 10 v`a c´o 5 sˆo´ 0 liˆe` nnhau v`a B l`a tˆa.p ho. p c´. ac xˆau nhi. phˆan c´o d¯ˆo. d`ai b˘a`ng 10 v`a c´o 5 sˆo´ 1 liˆe` n nhau. nhau v`a B l`a tˆa.p ho. p c´. ac xˆau nhi. phˆan c´o d¯ˆo. d`ai b˘a`ng 10 v`a c´o 5 sˆo´ 1 liˆe` n nhau.
Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a A da.ng 0 0 0 0 0X X X X X l`a 25. Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a A da.ng 1 0 0 0 0 0X X X X l`a 24. Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a A da.ng X 1 0 0 0 0 0X X X l`a 24. Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a A da.ng X X 1 0 0 0 0 0X X l`a 24. Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a A da.ng X X X 1 0 0 0 0 0X l`a 24. Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a A da.ng X X X X 1 0 0 0 0 0 l`a 24. Vˆa.y sˆo´ phˆa` n tu.’ cu’a A l`a 25+ 5.24 = 112.
Tu.o.ng tu.. sˆo´ phˆ` n tu.a ’ cu’a B l`a 112. C´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a A∩B l`a
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1, 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0.
Vˆa.y sˆo´ cˆa` n t`ım l`a
|A∪B| = |A|+|B| − |A∩B| = 112 + 112−2 = 222.
b) Go.i A l`a tˆa.p ho. p c´. ac xˆau nhi. phˆan c´o d¯ˆo. d`ai b˘a`ng 8 v`a c´o 3 sˆo´ 0 liˆe` nnhau v`a B l`a tˆa.p ho. p c´. ac xˆau nhi. phˆan c´o d¯ˆo. d`ai b˘a`ng 8 v`a c´o 4 sˆo´ 1 liˆe` n nhau. nhau v`a B l`a tˆa.p ho. p c´. ac xˆau nhi. phˆan c´o d¯ˆo. d`ai b˘a`ng 8 v`a c´o 4 sˆo´ 1 liˆe` n nhau.
Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a A da.ng 0 0 0X X X X X l`a 25 = 32. Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a A da.ng 1 0 0 0X X X X l`a 24 = 16. Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a A da.ng X 1 0 0 0X X X l`a 24 = 16.
Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a A da.ng X X 1 0 0 0X X l`a 24 = 16. Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a A da.ng X X X 1 0 0 0X l`a 24−2 = 14. Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a A da.ng X X X X 1 0 0 0 l`a 24−3 = 13. Vˆa.y sˆo´ phˆa` n tu.’ cu’a A l`a 32 + 16 + 16 + 16 + 14 + 13 = 107. Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a B da.ng 1 1 1 1X X X X l`a 24 = 16. Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a B da.ng 0 1 1 1 1X X X l`a 23 = 8. Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a B da.ng X 0 1 1 1 1X X l`a 23 = 8. Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a B da.ng X X 0 1 1 1 1X l`a 23 = 8. Sˆo´ c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a B da.ng X X X 0 1 1 1 1 l`a 23 = 8. Vˆa.y sˆo´ phˆa` n tu.’ cu’a A l`a 16 + 8 + 8 + 8 + 8 = 48.
C´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a A∩B l`a
0 0 0 1 1 1 1 1, 0 0 0 1 1 1 1 0, 0 0 0 0 1 1 1 1, 1 0 0 0 1 1 1 1,
1 1 1 1 0 0 0 0, 1 1 1 1 0 0 0 1, 0 1 1 1 1 0 0 0, 1 1 1 1 1 0 0 0.
Vˆa.y sˆo´ cˆa` n t`ım l`a
|A∪B| = |A|+|B| − |A∩B| = 107 + 48−8 = 147.
19. Mˆo˜i d¯u.`o.ng d¯i t`u. n´ut (0,0) d¯ˆe´n n´ut (n, k) d¯i qua n+k ca.nh ˆo vuˆong, trongd¯´o c´o n ca.nh sang pha’i v`a k ca.nh lˆen trˆen. Nˆe´u ta xem d¯i trˆen ca.nh ˆo vuˆong d¯´o c´o n ca.nh sang pha’i v`a k ca.nh lˆen trˆen. Nˆe´u ta xem d¯i trˆen ca.nh ˆo vuˆong sang pha’i ´u.ng v´o.i 1 v`a lˆen trˆen ´u.ng v´o.i 0 th`ı mˆo˜i d¯u.`o.ng d¯i nhu. thˆe´ ch´ınh l`a mˆo.t xˆau nhi. phˆan d¯ˆo. d`ai n+k c´o n sˆo´ 1 v`a k sˆo´ 0, t´u.c l`a mˆo.t tˆa.p con n phˆ` na tu.’ cu’a tˆa.p n+k phˆ` n tu.a ’ . Vˆa.y sˆo´ cˆa` n t`ım l`a Cnn+k.
20. Nˆe´u m= n th`ı khˆong v˜e d¯u.o.. c tam gi´ac n`ao.Nˆe´u m < n th`ı ta c´o c´ac tru.`o.ng ho.. p sau: Nˆe´u m < n th`ı ta c´o c´ac tru.`o.ng ho.. p sau: a) n= 2: khˆong v˜e d¯u.o.. c tam gi´ac n`ao. b) n≥ 3 v`a m = 2: v˜e d¯u.o.. c C3
n tam gi´ac. c) m≥ 3: v˜e d¯u.o.. c Cn3 −Cm3 tam gi´ac.
21. a) Lˆa´y ra k phˆ` n tu.a ’ , c`on la.i n−k phˆ` n tu.a ’ . n−k phˆ` n tu.a ’ n`ay lˆa.p th`anh
n−k+ 1 khoa’ng (kˆe’ ca’ hai khoa’ng vˆo ha.n o’ hai d¯ˆ. ` u) m`a a trong d¯´o phˆ` n tu.a ’ d¯u.o.. c lˆa´y ra (khˆong kˆ` nhau) tu.o.ng ´e u.ng v´o.i khoa’ng d¯u.o.. c cho.n trong sˆo´ c´ac khoa’ng n`ay. Vˆa.y sˆo´ cˆa` n t`ım l`a Cnk−k+1.
b) Cˆo´ d¯i.nh phˆa` n tu.’ x trong sˆo´n phˆ` n tu.a ’ trˆen d¯u.`o.ng tr`on. C´o hai tru.`o.ng ho.. p:
+ Nˆe´u x d¯u.o.. c cho.n th`ı hai phˆ` n tu.a ’ hai bˆen n´o khˆong c`on d¯u.o.. c cho.n v`a b`ai to´an tro.’ vˆe` Cˆau a) v´o.i n v`a k thay b˘`nga n−3 v`a k−1. Do d¯´o sˆo´ cˆ` n t`ım tronga tru.`o.ng ho.. p n`ay l`a C(kn−−13)−(k−1)+1 =Cnk−−1k−1.
+ Nˆe´u xkhˆong d¯u.o.. c cho.n th`ı b`ai to´an tro.’ vˆe` Cˆau a) v´o.in thay b˘a`ng n−1. Do d¯´o sˆo´ cˆ` n t`ım trong tru.`a o.ng ho.. p n`ay l`a Cnk−1−k+1= Cnk−k.
Vˆa.y sˆo´ cˆa` n t`ım l`a Cnk−−k1−1+Ck n−k.