Quá trình Poisson(Nt)t≥0 được định nghĩa ở trên như quá trình đếm: nếuT1,T2, ...
là dãy các thời điểm nhảy củaN thìNt đơn giản là số các bước nhảy giữa0vàt: Nt =]{i≥1;Ti∈[0,t]}. (3.13) Tương tự, nếut >s thì
Nt−Ns =]{i≥1,Ti∈[s,t]}.
Các thời điểm nhảy T1,T2, ... có dạng như các điểm ở trên [0,∞) và quá trình Poisson Nt đếm các điểm trên khoảng [0,t]. Cách đếm này xác định độ đo M trên
[0,∞), với mỗi tập đo được A⊂R+ đặt:
M(ω,A) =]{i≥1,Ti(ω)∈A}
thìM(ω,) là độ đo dương, giá trị nguyên vàM(A) bị chặn với xác suất 1 với mọi tập bị chặn A. Tham sốλ của quá trình Poisson xác định giá trị trung bình của độ đo ngẫu nhiênM: E[M(A)] =λ |A|, ở đây |A|là độ đo Lebesgue của A.
M được gọi là độ đo bước nhảy ngẫu nhiên đối với quá trình Poisson N. Với các khoảng rời nhaut ,t0, ...,[t ,t0], ta có:
1) M(tk,tk0) là số các bước nhảy của quá trình Poisson trongtk,tk0, nó là biến ngẫu nhiên Poisson với tham số λ(tk0−tk).
2) Với hai khoảng rời nhau j6=k,M(
h
tj,t0j
i
)vàM(tk,tk0)là các biến ngẫu nhiên độc lập.
3) Tổng quát hơn với mỗi tập A đo được, M(A) có phân phối Poisson với tham sốλ |A|, ở đây |A|=R
A
dx là độ đo Lebesgue của A. Tương tự như quá trình Poisson đối trọng, ta có:
e M(ω,A) =M(ω,A)− Z A λdt =M(ω,A)−λ |A|, (3.14) cũng là một martingale. Do đóE h e M(A) i =0 và Var h e M(A) i =λ |A|.