gian vectơ U các ánh xạ:
*
ϕ : Hom(U, V) → Hom(U, W), θ ֏ϕ θo
*
ϕ : Hom(W, U) → Hom(V, U), →θ֏θ ϕo
là những đồng cấu và nếu còn cho đồng cấu :Wψ →Z thì :
* * *
(ψ ϕo ) =ψ oϕ và (ψ ϕo )*=ϕ ψ* *
31. Cho dãy đông cấu của của K - không gian vectơ ...→Vi−1→i−1Vi→iVi+1→...
ϕ ϕ
Nói dãy đó khớp tại Vi nếu Im ϕi−1= Ker ϕi và dãy đó khớp nếu nó khớp tại mọi Vi. a) Giải thích rằng dãy 0→V→W→Z →0
ϕ ψ
Khớp có nghĩa là ϕ là đơn cấu, ψ là toàn cấu và Imϕ = Ker ψ. Ở đây 0 là không gian vectơ không, các ánh xạ 0→V Z, →0 là những ánh xạ 0. Chứng minh rằng bấy giờ Z đẳng cấu với Coker ϕ (xem bài tập 25). Từ đây giả sử cho dãy khớp trên.
b) Chứng minh rằng với mọi K- không gian U, dãy
* *
0→Hom(U,V)→Hom( , )U W →Hom( , )U Z →0
ψ ϕ
nếu biết dãy này khớp, hãy chứng minh rằng có đồng cấu :j Z →W để ψoj=IdZ , rồi xây dựng đồng cấu :q W →V để q oϕ=IdV và ϕo q j o+ ψ =IdW và như thế W =ϕ( )V ⊕ j Z( ) c) Chứng minh rằng với mọi K- không gian vectơ U, dãy:
* *
0→Hom(Z,U)→Hom(W,U)→Hom(V,U)→0
ψ ϕ
khớp
Nếu biết dãy này khớp, hãy chứng minh rằng có tự đồng cấu :q W →V để q oϕ =IdV để xây dựng đồng cấu :j Z →W để ψoj=IdZ và ϕoq= joψ =IdW và như thế W =ϕ( )V ⊕ j Z( )
Tài liệu tham khảo
[1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Đại số tuyến tính và Hình học giải tích, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội.
[2] Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Bài tập Đại số tuyến tính và Hình học giải tích, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội.
[3] Nguyễn Duy Thuận (2003), Đại số tuyến tính, NXB ĐHSP, Hà Nội.
[4] Nguyễn Duy Thuận, Nông Quốc Chinh (2003), Bài tập Đại số tuyến tính, NXB ĐHSP, Hà