2 Tổng quan về phương pháp khử Gauss giải hệ phương trình
2.2.2 Hệ ma trận băng Phương pháp Thomas cải biên
Ma trận băng là ma trận có các phần tử khác không nằm trên một số đường chéo xung quanh đường chéo chính.
Ma trận băng gồm m1 đường chéo trên, m2 đường chéo dưới và đường chéo chính, 1≤ m1, m2 ≤ n, có thể viết dạng tổng quát như sau:
aij = 0 ∀i > j +m2, ∀j > i+m1.
Trong trường hợp này ta có biểu thức dạng tổng quát:
xk +c1kxk+1 +...+cm1kxm1+k = dk (k = 1, ..., n) (2.6) Các hệ số c1k, ..., cm1k, dk được xác định lần lượt từ nhỏ đến lớn bằng công thức truy hồi theo các hệ số của hệ phương trình và hệ số ở bước có chỉ số k
nhỏ hơn. Sau khi tính được hệ số trên, ứng với công thức cuối cùng (k = n)
cho ta kết quả xn, bước tiếp theo ta tìm giá trị của các ẩn từ xn−1, ..., x1
Chương 3
Sử dụng máy tính điện tử khoa học và phần mềm Maple trong đại số tuyến tính
Tính toán với ma trận nói chung, hay thực hiện một trong những phép toán đơn giản nhất là nhân hai ma trận cũng mất nhiều thời gian làm các phép toán (nhân và cộng), vì vậy dễ nhầm lẫn, chưa nói đến tính toán phức tạp hơn (tính định thức, tính ma trận ngược,...). Máy có thể thay ta thực hiện các thao tác này nhanh gọn và chính xác. Với mục đích áp dụng các kiến thức đã trình bày ở hai chương trên, đặc biệt là chương 1, vào giảng dạy đại số tuyến tính và giải hệ phương trình đại số tuyến tính trong trường phổ thông, chương này giới thiệu cách sử dụng các máy tính điện tử khoa học CASIO fx-570VN PLUS , Vinacal 570 ES Plus và phần mềm Maple trong đại số tuyến tính.
3.1 Sử dụng máy tính điện tử khoa học trong giải hệ
phương trình tuyến tính
3.1.1 Tính toán ma trận trên CASIO fx-570VN PLUS
Khai báo các ma trận. Mở máy vào chương trình tính toán với ma trận nhờ phím ON M ODE 6. Màn hình sẽ xuất hiện:
Matrix?
1: MatA 2: MatB
3:MatC
Nghĩa là, ta có thể khai báo và làm việc với ba ma trận (matrix) Muốn khai báo ma trận A thì bấm phím 1. Màn hình xuất hiện:
MatrixA (m×n) m×n?
1: 3×3 2: 3×2
3: 3×1 4: 2×3
5: 2×2 6: 2×1
Nếu bấm phím ∇ thì trên màn hình xuất hiện:
MatrixA (m×n) m×n?
1: 1×3 2: 1×2
3: 1×1
Tức là, có thể khai báo ma trậnAvới tất cả9kích cỡ từ1×1dến3×3. Cần khai báo ma trận với kích cỡ nào thì bấm số tương ứng. Thí dụ, khi bấm số
1 trong ma trận3×3, màn hình sẽ hiện các ô của ma trậnA để ta khai báo.
Để khai báo ma trận A= 1 −2 3 4 2 −1 0 5 4 ! , ta làm như sau: Mở máy: ON Vào chương trình ma trận: M ODE 6
Khai báo ma trận A: 1 Khai báo số chiều của ma trận A là 3×3: 1
Khai báo các hệ số của ma trận A:
1 = (−) 2 = 3 = 4 = 2 = (−) 1 = 0 = 5 = 4.
Sau khi khai báo ma trận A, ta bấm SHIF T 4 để tiếp tục khai báo ma trận B. Màn hình hiện:
1: Dim 2: Data
Bấm phím 2 (Data-Dữ liệu). Màn hình hiện:
Matrix?
1: MatA 2: MatB
3: MatC
Bấm phím 2 để chuẩn bị khai báo ma trận B =
1 −1 2 −3 3 −1 ! có số chiều là 3×2. Màn hình hiện: MatrixB (m×n) m×n? 1: 3×3 2: 3×2 3: 3×1 4: 2×3 5: 2×2 6: 2×1
Bấm phím 2, tức khai báo ma trận B có số chiều là 3×2.Màn hình hiện bảng ma trận. Khai báo các hệ số của ma trận B:
1 = (−) 1 = 2 (−) 3 = 3 = (−) 1 =
Bấm phím AC để đưa màn hình về chế độ tính toán ma trận. Sau đó bấm phím SHIF T 4, màn hình xuất hiện:
1: Dim 2: Data
3: MatA 4: MatB
5: MatC 6: Mat Asn
7: Det 8: Trn
Muốn tính gì ta sử dụng bảng này.
Bấm phím 3 (gọi ma trận A,) × SHIF T 4 (trở về tính toán với ma trận). Bấm phím 4 (Gọi ma trận B). Màn hình hiện: MatA×MatB 0 Ans Bấm phím = được kết quả: 22 2 5 −9 22 −19 !
Muốn làm việc khác ta phải bấm phím AC SHIF T 4 để trở về bảng tính toán ma trận và tiếp rục thực hiện tính toán.
Ví dụ Nhân ma trận B với một số (α = 5)
Bấm phím 4 (gọi ma trận B) rồi bấm phím × 5 = được kết quả:
Ans
3 −5 10 −15 15 −5
!
3.1.2 Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trên CASIO fx- 570VN PLUS
Xét hệ phương trình:
a1x +b1y = c1 (1)
a2x +b2y = c2 (2) (I)
Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn theo chương trình đã được cài sẵn trên CASIO fx-570VN PLUS
Ghi nhớ Muốn giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cài sẵn trên CASIO
fx-570VN PLUS, trước hết ta phải viết hệ đó dưới dạng chính tắc
a1x +b1y = c1 (1)
Sau đó bấm dãy phím M ODE 5 1 để vào chương trình giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Lần lượt khai báo các hệ số của phương trình như sau: khai báo hết ba hệ số của phương trình đầu thì khai báo tiếp ba hệ số của phương trình sau theo đúng thứ tự, các hệ số ngăn cách nhau bởi phím = . Các hệ số cần đưa vào máy cũng phải có dạng chính tắc đã nêu trong ghi nhớ trên; màn hình hiện lần lượt bảng các hệ số.
Nếu hệ phương trình cần giải có nghiệm duy nhất thì sau khi đưa đủ các hệ số vào máy, màn hình hiện giá trị (đúng hoặc gần đúng) của ẩnx. Sau đó bấm tiếp = , màn hình hiện giá trị của ẩn y.
Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì máy trả lời: No-solution (không có nghiệm).
Nếu hệ có vô số nghiệm thì máy trả lời: infinite Solution (vô số nghiệm). Chuyển sang hệ phương trình khác bằng cách bấm phím =.
Thoát khỏi hệ phương trình bằng cách trở về M ODE 1
Ví dụ Giải hệ phương trình:
13x +17y = −25 23x −19y = 103
Giải Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn này ta vào M ODE 5 1. Khai báo các hệ số : 13 = 17 = (−) 25 = 23 = (−) 19 = 103 = Bấm phím: = (Kết quả: x = 2) Bấm tiếp phím: = (Kết quả: Y = −3) Ví dụ Giải hệ phương trình: 83249x +16571y = 108249 16571x 83249y = 41751
Giải Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn này ta vào M ODE 5 1. Khai báo các hệ số : 83249 = 16751 = 108249 = 16751 = 83249 = 41751 = Bấm phím: = (Kết quả: x = 54) Bấm tiếp phím: = (Kết quả: Y = 14)
3.1.3 Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn trên CASIOfx-570VN PLUS
Ghi nhớ: Muốn giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn, trước hết ta phải viết hệ đó dưới dạng chính tắc:
( a1x +b1y +c1z = d1
a2x +b2y +c2z = d2 a3x +b3y +c3z = d3
Sau đó bấm phím M ODE 5 2 (vào chương trình hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn), ta đưa dần dần các hệ số của hệ phương trình vào máy tương tự như đối với hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ Giải hệ phương trình:
( x +2y +3z = 26 2x +3y +z = 24 3x +2y +z = 39
Giải.
Tính trên máy: Vào chương trình hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn:
M ODE 5 2
Khai báo các hệ số và giải:
1 = 2 = 3 = 26 = 2 = 3 = 1 = 24 = 3 = 2 = 1 = 39 = =
Ví dụ Giải hệ phương trình: ( 2x +y = 1 3y +z = 1 x +4z = 1 Giải. ( 2x +y = 1 3y +z = 1 x +4z = 1 ⇔ ( 2x +y +0.z = 1 0.x +3y +z = 1 x +0.y +4z = 1
Vào chương trình, khai báo các hệ số và giải:
M ODE 5 2
2 = 1 = 0 = 1 = 0 = 3 = 1 = 1 = 1 = 0 = 4 = 1 = =
(Kết quả: X = 259 ) = (Kết quả Y = 257 ) = (Kết quả: Z = 254 )
Ví dụ Giải hệ phương trình: 2x +5y = 13z +1000 3x +3z = 9y 6y +8x = 5x −600 Giải. ( 2x +5y = 13z +1000 3x +3z = 9y 6y +8x = 5x −600 ⇔ ( 2x +y −13z = 1000 3x −9y +3z = 0 5x −6y −8z = 600 ⇔ ( 2x +y −13z = 1000 x −3y +z = 0 5x −6y −8z = 600
Vào chương trình hệ ba phương trình bậc nhất; M ODE 5 2
Khai báo các hệ số và giải:
2 = 5 = (−) 13 = 1000 = 3 = (−) 9 = 3 = 0 = 5 = (−) 6 = (−) 8 = 600 = =
(Kết quả: x = 1200) = (Kết quả y = 500) = (Kết quả: z = 300)
3.1.4 Hệ bốn phương trình bậc nhất bốn ẩn trên CASIO fx- 570VN PLUS
CASIO fx-570VN PLUS không được cài đặt chương trình giải hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn. Vì vậy ta phải đưa về phương trình ba ẩn và giải như trong mục (3.1.2) đã nêu ở trên.
3.1.5 Tính toán trên ma trận trên Vinacal 570 ES Plus
Ngoài các chương trình tính toán với ma trận như các máy tính khoa học khác (Vinacal 500 MS, Vinacal 570 MS, Casio 570VN PLUS,...), Vinacal 570 ES Plus được cài đặt chương trình tính toán với ma trận cấp bốn. Đây là một trong những tính năng vượt trội của Vinacal 570 ES Plus
Khai báo các ma trận Mở máy và vào chương trình tính toán với ma trận nhờ bấm phím ON M ODE 6. Màn hình hiện:
Matrix?
1: MatA 2: MatB
3: MatC
Nghĩa là, ta có thể khai báo và làm việc với ba ma trận (matrix). Muốn khai báo ma trận A thì bấm phím 1 . Màn hình xuất hiện:
MatrixA (m×n) m×n?
1: 4×4 2: 4×3
3: 4×2 4: 4×1
Nếu bấm phím ∇ thì trên màn hình xuất hiện:
MatrixA (m×n) m×n?
1: 3×4 2: 3×3
3: 3×2 4: 3×1
Lại bấm phím ∇ thì trên màn hình xuất hiện:
MatrixA (m×n) m×n?
1: 2×4 2: 2×3
3: 2×2 4: 1×1
MatrixA (m×n) m×n?
1: 1×4 2: 1×3
3: 1×2 4: 1×1
Tức là, có thể khai báo ma trận A với 16 kích cỡ từ 1×1 đến 4×4. Cần khai báo ma trận với kích thước nào, ta bấm vào số tương ứng. Thí dụ, khi bấm 1 trong ma trận 4×4, màn hình sẽ hiện các ô của ma trận A để ta khai báo. Thí dụ, để khai báo ma trận A =
1 −2 3 4 2 −1 0 5 4 3 2 1
!
, ta làm như sau. Mở máy, ON Vào chương trình ma trận: M ODE 6
Bấm phím 1 (Khai báo số chiều của ma trận A là (3×4)) Khai báo các hệ số của ma trận A:
1 = (−) 2 = 3 = 4 = 2 = (−) 1 = 0 = 5 = 4 = 3 = 2 = 1
=.
Sau khi khai báo ma trận A, ta bấm phím SHIF T 4 để tiếp tục khai báo ma trận B. Bấm SHIF T 4, màn hình hiện:
1: Dim 2: Data
Bấm phím 2 (Data-Dữ liệu). Màn hình hiện:
Matrix?
1: MatA 2: MatB
3:MatC
Bấm phím 2 để chuẩn bị khai báo ma trận B =
1 −1 2 −3 3 −1 4 −2 có số chiều là 4×2. Màn hình hiện: MatrixB (m×n) m×n? 1: 4×4 2: 4×3 3: 4×2 4: 4×1
Bấm phím 3 (tức khai báo ma trận B có số chiều là 4×2). Màn hình hiện bảng ma trận. Khai báo các hệ số của ma trận B:
1 = (−) 1 = 2 = (−) 3 = 3 = (−) 1 = 4 = (−) 2 = .
Bấm phím AC để đưa màn hình về chế độ tính toán ma trận. Sau đó bấm phím SHIF T 4, màn hình hiện:
1: Dim 2: Data
3: MatA 4: MatB
5: MatC 6: Mat Asn
7: Det 8: Trn
Muốn tính gì, ta sử dụng bảng này.
Ví dụ Tính tích AB của hai ma trận A và B. Bấm phím 3 (gọi ma trận
A) × SHIF T 4 (trở về tính toán với ma trận). Bấm phím 4 (gọi ma trận B). Màn hình hiện
MatA×MatB
0
Bấm phím = được kết quả (AnS:
1 −1 2 −3 3 −1 4 −2 .
Muốn làm việc khác ta phải bấm phím AC SHIF T 4 đẻ trở về bảng tính toán ma trận và tiếp tục thực hiên tính toán.
Ví dụ Nhân ma trận B với một số (ví dụ α = 5)), ta phải:
Bấm phím 4 (gọi ma trận B) rồi bấm phím × 5 = được ma trận kết quả:
(Ans: 5 −5 10 −15 15 −5 20 −10 ). Ví dụ Muốn tính định thức ma trận C = 1 −2 3 4 2 −1 0 5 4 3 2 1 1 2 3 4
Ta bấm phím AC để trở về màn hình tính toán ma trận. Bấm phím
SHIF T 4 2 (vào Data-Dữ liệu) 3 (ma trận C). Khai báo các phần tử của C:
1 = (−2) 2 = 3 = 4 = 2 = (−) 1 = 0 = 5 = 4 = 3 = 2 = 1
= 1 = 2 = 3 = 4 = .
Bấm phím AC (trở về màn hình), bấm phím SHIF T 4 trở về tính toán ma trận. Bấm phím 7 (tính định thức), bấm phím SHIF T 4 trở về tính toán ma trận, bấm phím 3 (gọi ma trận C), màn hình hiện;
Det(MatC)
Bấm phím = (240), tức là detC = 240.
Nhận xét: Với Vinacal 570 ES Plus, ta có thể làm việc với ma trận cấp
m×n trong đó m,n = 1,2,3,4. Các máy khác chỉ cho phép tính toán ma trận không quá cấp 3×3.
3.1.6 Giải hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn trên Vinacal 570 ES Plus
Vinacal 570 ES Plus đã được cài đặt chương trình giải hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn. Đây cũng là một trong những tính năng vượt trội của
Vinacal 570 ES Plus.
Để giải hệ phương trình tuyến tính hai, ba hoặc bốn ẩn trên Vinacal 570 ES Plus, ta phải mở máy bằng phím ON , vào M ODE 5 (giải phương trình và hệ phương trình). Màn hình hiện:
∇
1: 2: unknown EQN
2: 3: unknown EQN
3: 4: unknown EQN
Dấu ∇ trên đầu bên phải màn hình cần lưu ý: Nếu dùng phím ∇ trên
1: aX2 +bX +c = 0
2: aX3 +bX2 +cX +d = 0
Có nghĩa là, chương trình giải phương trình bậc hai và bậc ba đã được cài đặt trên Vinacal 570 ES Plus.
Như vây, cho phép giải phương trình bậc hai và bậc ba, các hệ số phương trình bậc nhất hai, ba hoặc bốn ẩn.
Dưới đây hướng dẫn sử dụng giải hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn trên
Vinacal 570 ES Plus. Ví dụ Giải hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn 2x +2y −z +t = 2, 4x +3y −z +2t = 3, 8x +5y −3z +4t = 6, 3x +3y −2z +2t = 3.
GiảiMở máy: ON , vào M ODE 5 (giải phương trình và hệ phương trình). Bấm phím 3 (giải hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn). Lần lượt khai báo các hệ số: 2 = 2 = (−) 1 = 1 = 2 = 4 = 3 = (−) 1 = 2 = 3 = 8 = 5 = (−) 3 = 4 = 6 = 3 = 3 = (−) 2 = 2 = 3 = (X= 12) = (Y = 1 2) = (Z = −12) = (T = −12) Đáp số: x= 12, y = 12, z = −12, t = −12. Ví dụ Giải hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn 3x −2y −5z +t = 3, 4x −3y +z +5t = −3, x +2y −4t = −3, x −y −4z +9t = 22.
Giải Vì M ODE 5 3 (giải hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn), nên chỉ cần trở về màn hình và khai báo các hệ số của phương trình mới:
= 1 = 2 = 0 = (−) 4 = (−) 3 = 1 = (−) 1 (−) 4 = 9 = 22
= (X= (−1)) = (Y = 3) = (Z = −2) = (T = 2)
Đáp số: x= −1, y = 3, z = −2, t = 2.
Chú ý:
- Khi khai báo hệ số bằng 0 (hệ số của ẩn z trong phương trình thứ ba), ta vẫn phải khai báo hệ số đó là 0 =, nếu không khai báo, máy sẽ báo lỗi.
- Khi số phương trình nhiều hơn bốn (biến đổi về hệ phương trình bậc bốn) và máy để giải.
3.2 Sử dụng phần mềm Maple trong giải hệ phương
trình tuyến tính
Maple là một trong nhiều thư viện chuyên biệt dành cho các lĩnh vực trong toán học, có rất nhiều ứng dụng. Ở đây chỉ nêu một số ứng dụng trong đại số tuyến tính, cụ thể hơn là trong giải hệ phương trình tuyến tính.
Khi chạy chương trình bằng cách click chuột vào biểu tượng Maple thì giao diện hiện lên mục làm việc chọn và tạo trang mới (worksheet). Mở một trang (worksheet) mới bằng cách chọn File|New. Ta thấy một trang trắng với dấu [> ở đầu trang:
[>
Gọi dấu trên là prompt. Sau dấu prompt, có thể bắt đầu gõ các phép tính và yêu cầuMaple thực hiện chúng. Chú ý rằng, kết thúc mỗi dòng lệnh bằng dấu hai chấm (:) hoặc dấu chấm phẩy (;) sau đó gõ Enter, nếu không phần mềm sẽ báo lỗi .
Để làm việc với thư viện các tính toán trong đại số tuyến tính, ta sử dung lệnh:
[> with(LinearAlgebra)
Ví dụ Tính ma trận nghịch đảo của ma trận A = 1 2 3 −2 1 −2 −3 2 1 ! Giải Khai báo ma trận A:
> A= hh1,2,3i|h−2,1,−2i|h−3,2,1ii ;
A = " 1 2 3 −2 1 −2 −3 2 1 # Tính ma trận nghịch đảo, dùng lệnh: > inverse(A) 5 18 2 9 −7 18 4 9