V M.BCD ABCD = MA
http://mathblog.org3 Tính khoảng cách từAđến mặt phẳng(S BC).
4. Cho(P)là mặt phẳng quaADvà vuông góc với mặt phẳng(S BC). Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng(P).
Tính diện tích thiết diện đó.
Bài 11.333 : Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thoi cạnha, vớiBADÔ =60◦, các cạnhS A=S B=S D=a√3. 1. Chứng minh tam giácS BCvuông ; 2. Tính khoảng cách giữaS CvàAD.
11.7.6 Hình hộp - Hình lăng trụ
Bài 11.334 : Cho hình hộp chữ nhậtABCD.A′B′C′D′vớiAB=a,BC=b,CC′=c.
1. Tính khoảng cách từ điểmAđến(A′BD).
2. Tính khoảng cách từ điểmA′tới đường thẳngC′D.
3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngBC′vàCD′.
Bài 11.335 : Cho khối lăng trụ tam giácABC.A′B′C′có đáy là tam giác đều cạnha, điểmA′cách đều ba điểmA,B,Cvà cạnh bên
AA′tạo với mặt đáy góc60◦. 1. Tính thể tích khối lăng trụ đó.
2. Chứng minh mặt bênBCC′B′là hình chữ nhật. 3. Tính diện tích xung quanh của khối lăng trụ đó.
Bài 11.336 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Trên các cạnhAA′,BC,C′D′ lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho
AM=CN=D′P=t, với0<t<a. Chứng minh rằng(MNP)∥(ACD′)và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Bài 11.337 (A03) : Cho hình lập phươngABCD.A′B′C′D′. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng(A′BC)và(A′CD).
Bài 11.338 (D08) : Cho lăng trụ đứngABC.A′B′C′có đáyABClà tam giác vuông,AB=BC =a, cạnh bênAA′=a√2. GọiM là trung điểm cạnhBC. Tính theoathể tích khối lăng trụABC.A′B′C′và khoảng cách giữa hai đường thẳngAM,B′C.
Bài 11.339 (A08) : Cho lăng trụABC.A′B′C′có độ dài cạnh bên bằng2a, đáyABClà tam giác vuông tạiA,AB=a,AC=a√
3và hình chiếu vuông góc của đỉnhA′trên mặt phẳng(ABC)là trung điểm của cạnhBC. Tính theoathể tích khối chópA′.ABCvà tính cosin của góc giữa hai đường thẳngAA′,B′C′.
Bài 11.340 (B03) : Cho hình lăng trụ đứngABCD.A′B′C′D′có đáyABCDlà một hình thoi cạnha, gócBADÔ =60◦. GọiMlà trung điểm cạnhAA′vàNlà trung điểm cạnhCC′. Chứng minh rằng bốn điểmB′,M,D,Ncùng thuộc một mặt phẳng. Tính độ dài cạnh
AA′theoađể tứ giácB′MDNlà hình vuông.
Bài 11.341 : Cho lăng trụ đứngABC.A1B1C1có tất cả các cạnh đều bằnga.Mlà trung điểm của đoạnAA1. Chứng minhBM⊥B1C
và tính khoảng cách giữa hai đường thẳngBMvàB1C.
Bài 11.342 : Cho lăng trụ đứngABC.A′B′C′có đáyABClà tam giác cân, vớiAB=AC=avà gócBACÔ =120◦, cạnh bênBB′=a.
GọiIlà trung điểmCC′. Chứng minh rằng tam giácAB′Ivuông ởA. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng(ABC)và(AB′I).
Bài 11.343 : Cho hình lập phươngABCD.A′B′C′D′. Tìm điểmM thuộc cạnhAA′sao cho mặt phẳng(BD′M)cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
Bài 11.344 : Cho hình hộp đứngABCD.A′B′C′D′có các cạnhAB=AD=a AA′= a
√
3
2 và gócBADÔ =60◦. GọiM,Nlần lượt là trung điểm các cạnhA′D′,A′B′. Chứng minh rằngAC′vuông góc với mặt phẳng(BDMN). Tính thể tích khối chópA.BDMN.
Bài 11.345 : Cho hình lăng trụABC.A′B′C′cóA′ABClà hình chóp đều, cạnh đáyAB=a, cạnh bênAA′=b. Gọiαlà góc giữa hai mặt phẳng(ABC)và(A′BC). Tínhtanαvà thể tích khối đa diệnA′BB′C′C.
Bài 11.346 : Cho hình lập phươngABCD.A′B′C′D′có cạnh bằngavà điểmKthuộc cạnhCC′sao choCK= 2a
3 . Mặt phẳng(α)đi quaA,Kvà song song vớiBD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
http://mathblog.org
Bài 11.347 : Cho hình lăng trụ đứngABC.A1B1C1cóAB=a,AC=2a,AA1=2a√
5vàBACÔ =120◦. GọiMlà trung điểm của cạnh
CC1. Chứng minhMB⊥MA1và tính khoảng cáchdtừ điểmAtới mặt phẳng(A1BM).
Bài 11.348 : Cho lăng trụ đứngABC.A1B1C1có đáyABClà tam giác vuôngAB=AC=a,AA1 =a√2. GọiM,Nlần lượt là trung điểm của đoạnAA1vàBC1. Chứng minhMNlà đường vuông góc chung của các đường thẳngAA1vàBC1. TínhVM.A1BC1.
Bài 11.349 : Cho hình lập phươngABCD.A′B′C′D′có đoạn nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau là a
√
2 2 . 1. Tính thể tích hình lập phương.
2. Lấy điểmMtrênBC. Mặt phẳng(MB′D)cắtA′D′tạiN. Chứng minh rằngMN⊥C′D.
3. Tính góc giữa hai mặt phẳng(A′BD)và mặt phẳng(ABCD).
Bài 11.350 : Cho lăng trụABC.A′B′C′có đáyABClà tam giác đều tâmOvà hình chiếu củaC′trên đáy(ABC)trùng vớiO. Biết
khoảng cách từOđếnCC′bằnga. GọiElà hình chiếu củaAlênCC′và gócAEBÔ =120◦. 1. Chứng minh mặt bênABB′A′là hình chữ nhật.
2. Tính thể tích lăng trụ.
3. Tính góc giữa mặt bênBCC′B′và mặt đáyABC.
Bài 11.351 : Cho hình hộpABCD.A′B′C′D′có các mặt đều là hình thoi cạnha. Ba cạnh xuất phát từ đỉnhAtạo với nhau các góc nhọn bằng nhau và cùng bằngα.
1. Chứng minh rằng hình chiếuHcủaA′trên(ABCD)nằm trên đường chéoAC.
2. Tính thể tích hình hộp.
3. Tính góc của đường chéoCA′và mặt đáy của hình hộp.
11.8 Bài tập tổng hợp
Bài 11.352 : Cho hình vuôngABCDvà tam giácS ABđều cạnhaở trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. GọiI,J,Klần lượt là trung điểm các cạnhAB,CD,BC.
1. Chứng minh rằngS I⊥(ABCD).
2. Tính góc giữaS A,S B,S Cvà(ABCD).
3. GọiHlà hình chiếu vuông góc củaItrênS J. Chứng minh rằngIH⊥(S CD). Từ đó suy ra góc giữaS Ivà(S CD).
4. Chứng minh rằngS ADvàS BClà các tam giác vuông. Tính khoảng cách từIđến(S KD).
5. Chứng minh(S AD),(S BC)cùng vuông góc với(S AB). Tính góc giữaS C,S Dvà(S AB).
Bài 11.353 : Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình chữ nhậtABCDtâmO, cạnh bênS Avuông góc với mặt phẳng đáy. GọiE,F,G,H
lần lượt là hình chiếu vuông góc củaAtrênS B,S C,S D,S O. Chứng minh rằng
1. Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. 2. (S BC)⊥(S AB)và(S CD)⊥(S AD).
3. NếuABCDlà hình vuông thìAH⊥(S BD)vàHlà trực tâm tam giácS BD.
4. Các điểmA,E,F,Gđồng phẳng và(S AC)⊥(AEFG).
5. Tứ giácAEFGnội tiếp và−−→S E.vecS B=−−→S F.−−→S C
=−−→S G.−→S I.
6. NếuABCDlà hình vuông thì hai đường chéo của tứ giácAEFGvuông góc với nhau.
Bài 11.354 : Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnha, tâmO, cạnh bênS Avuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữaS C