PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện cho trước
Ví dụ 10: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diển các số phức z thỏa mãn z- i = (1+i z)
Bài giải
♥ Đặt z= x+ yi (x y, ẻ Ă và ) M x y( ; ) là điểm biểu diễn của z trờn mặt phẳng (Oxy) ta cú:
z- i = (1+i z) Û (x+ yi)- i = (1+i x)( +iy)
Û x+(y- 1)i = (x- y) (+ x+ y i) Û x2+(y- 1)2 = (x- y)2+ (x+ y)2
Û x2+ y2- 2y+ =1 x2- 2xy+ y2+ x2+ 2xy+ y2 Û x2+ y2+ 2y- = 1 0
♥ Tập hợp điểm M biểu diển của số phức z là đường tròn có phương trình x2+ y2+ 2y- 1= 0
B. Bài tập
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3 2 ) i z (2 i)2 4 i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn (1 2 ) i z2 z 4i 20. Tính môđun của z
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn (1i z) 2 4i 0. Tìm số phức liên hợp của z.
Bài 4: Cho số phức zthoả mãn (2 3 ) i z (4 i z) (1 3 )i 2. Tìm phần thực và phần ảo của z Bài 5: Cho số phức zthoả mãn (1i) (22 i z) 8 i (1 2 )i z. Tìm phần thực và phần ảo của z Bài 6: Cho số phức zthoả mãn z (2 3 )i z 1 9i. Tìm số phức z
Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn (2z1)(1 i) (z 1)(1 i) 2 2i. Tính môđun của z Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn z( 2i) (12 2 )i . Tìm phần ảo của z.
Bài 9: Cho số phức zthoả mãn 5 i 3 1 0
z z
. Tìm số phức z Bài 10: Cho số phức zthoả mãn z2 z2z . Tìm số phức z
Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức z (2 4i) 2. Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z Bài 12: Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức z i (1 i)z. Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z Bài 13: Cho số phức z thỏa mãn 2
(1 2 ) (3 )
1
i z i i z
i
. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong mp Oxy( ) Bài 14: Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức z 3 2i 3. Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức w, biết
w – z = 1 + 3i. hoctoancapba.com
Bài 15: Cho số phức zthoả mãn 1 z z i2iz12. Tính mô đun của 4 z 1
z
.
Bài 16: Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức iz 3 z 2 i sao cho z đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 17: Tìm số phức zthoả mãn 2z 1 z z 3 sao cho số phứcw z 8có môđun nhỏ nhất Bài 18: Cho số phức zthoả mãn (1i z)( i) 2z2i. Tính môđun của số phức z 22z 1
w z
Bài 19: Cho số phức zthoả mãn (2 ) 2(1 2 ) 7 8 1
i z i i
i
. Tính môđun của số phức w z 1 i Bài 20: Cho số phức zthoả mãn z 2 và z2 l số thuần ảo. Tìm số phức z
Bài 21: Cho số phức zthoả mãn z (2 i) 10 và .z z25. Tìm số phức z Bài 22: Cho số phức zthoả mãn 5( ) 2
1 z i z i
. Tính môđun của số phức w 1 z z2 Bài 23: Cho số phức zthoả mãn z z 1 i 5 và (2z i)( z) l số ảo. Tìm số phức z Bài 24: Cho số phức z thỏa mãn z 2z = 3 + 6i. Tính T = z z2 z3.
Bài 25: Cho số phức zthoả mãn 1 z z i2iz12. Tính môđun của 4 z 1
z
. Bài 26: Tìm số phức z thoả mãn z 1 5 và 17zz5 .z z
Bài 27: Cho số phức z thỏa mãn
(1 3 )3
1 z i
i
. Tìm môđun của số phức w z iz Bài 28: Cho số phức 1 9
1 5
z i i
i
. Tìm các căn bậc hai của z Bài 29: Giải các phương trình sau trên tập số phức
1) (3 2 ) i z (4 7 )i 2 5i 2) (7 3 ) i z (2 3 )i (5 4 )i z Bài 30: Giải các phương trình sau trên tập số phức
1) x2 4x 7 0 2) x26x250 3) 2x25x 4 0 3) 8z24z 1 0
---Hết---
Chủ đề 6: TỔ HỢP & XÁC SUẤT
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. CÁC QUY TẮC CƠ BẢN VỀ PHÉP ĐẾM:
a. QUY TẮC CỘNG:
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B . Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n+ m cách.
TỔNG QUÁT
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án A A1, 2,...,Ak. Có n1 cách thực hiện phương án A1, n1 cách thực hiện phương án A2,...và nk cách thực hiện phương án Ak. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n1+ n2+ ...+ nk cách.
b. QUY TẮC NHÂN:
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo .n m cách.
TỔNG QUÁT
Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A A1, 2,...,Ak. Công đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách,..., công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n n1. ...2 nk cách.
2. HOÁN VỊ:
a.Định nghĩa :
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1).
Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó
Tập A
b.Định lý :
Ký hiện số hoán vị của n phần tử là Pn , ta có công thức:
Pn n! (2) n phần tử
Hoán vị
Nhóm có thứ tự
Đủ mặt n phần tử của A
3.CHỈNH HỢP:
a.Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi bộ gồm k (1k n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
Tập A
b.Định lý:
Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là A , ta có công thức: kn
kn n!
A (n k)!
(3) 4. TỔ HỢP:
a.Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con của gồm k phần tử (1 k n) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Tập A
b. Định lý :
Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là C , ta có công thức: kn
kn n!
C k!(n k)!
(4) n phần tử
Chỉnh hợp
Nhóm có thứ tự
Gồm k phần tử được lấy từ n phần tử của A
n phần tử
Tổ hợp
Nhóm không có thứ tự
Gồm k phần tử được lấy từ n phần tử của A
c. Hai tính chất cơ bản của số Cnk
a) Tính chất 1: Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0£ k£ n . Khi đó Cnk = Cnn k-
b) Tính chất 2: Cho các số nguyên n và k với 1£ k£ n. Khi đó Cnk+1= Cnk+ Cnk-1
LƯU Ý QUAN TRỌNG:
Các bài toán về giải tích tổ hợp thường là những bài toán về những hành động như : lập các số từ các số đã cho, sắp xếp một số người hay đồ vật vào những vị trí nhất định , lập các nhóm người hay đồ vật thỏa mãn một số điều kiện đã cho v.v...
1. Nếu những hành động này gồm nhiều giai đoạn thì cần tìm số cách chọn cho mỗi giai đọan rồi áp dụng quy tắc nhân.
2. Những bài toán mà kết quả thay đổi nếu ta thay đổi vị trí của các phần tử , thì đây là những bài toán liên quan đến hoán vị và chỉnh hợp.
3. Đối với những bài toán mà kết quả được giữ nguyên khi ta thay đổi vị trí của các phần tử thì đây là những bài toán về tổ hợp.
5. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN Định lý:
( ) 0 0 1 1 1 0
0
... ...
n n n k n k k n n
n n n n
n
k n k k n k
a b C a b C a b C a b C a b
C a b
- -
-
=
+ = + + + + +
= ồ
6. XÁC SUẤT a) Định nghĩa
Giả sử phép thử T có không gian mẫu W là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và W là tập các kết quả thuận lợi cho A A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P( )A , được xác định bởi công thức
P( )A WA
= W
Như vậy, việc tính xác suất của biến cố A trong trường hợp nầy được quy về việc đếm số kết quả có thể của phép thử T và số kết quả thuận lợi của A
b) Định lý
Cho biến cố A . Xác suất của biến cố đối A là
P( )A = -1 P( )A
c) Các quy tắc tính xác suất i) Quy tắc cộng xác suất
Định lý: Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là P A( ÈB)= P A( )+ P B( )
ii) Quy tắc nhân xác suất
Định lý: Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P AB( )= P A P B( ) ( ).