Ở đây ta đề cập đến định nghĩa và một số tính chất cơ bản của các dạng vi phân.
Định nghĩa 1.6.1. (Dạng vi phân bậc 1) Giả sử U là một tập hợp mở trong không gian Rn. Ánh xạ ω : U → (Rn)∗ từ tập hợp U vào không gian đối ngẫu (Rn)∗ của Rn gọi là một dang vi phân bậc 1 trên U.
Nếu ω là một dạng vi phân bậc 1 trên U thì với mỗi M ∈ U, ω(M) là một dạng tuyến tính trên Rn.
Giả sử U là một tập hợp mở trong không gian Rn. Khi đó a) Nếu ω1 và ω2 là hai dạng vi phân bậc 1 trên U thì ánh xạ
ω1 +ω2 : U → (Rn)∗ xác định bởi (ω1 +ω2) (M) =ω1(M) +ω2(M) cũng là một dạng vi phân bậc 1 trên U.
b) Nếu ω là một dạng vi phân bậc 1 trên U và f là một hàm số thực xác định trên U thì ánh xa fω xác định bởi
(f ω)(M) =f(M)ω(M), M ∈ U cũng là một dạng vi phân bậc 1 trên U.
Đặc biệt, nếu λ là một số thực thì ánh xa λω xác định bởi (λω)(M) = λω(M),M ∈ U cũng là một dạng vi phân bậc 1 trên U.
Ví dụ 1.6.1. Ta đã biết, hàm u(z) = zn, n ∈ N∗ là hàm chỉnh hình trên C. Vậy hàm f(z) =nlog|z| là điều hòa dưới trên C.
Nếu U là một tập hợp mở trong không gian Rn và f : U →R là một hàm số khả vi trên U thì vi phân df : U → (Rn)∗, M 7→ df(M) của f là một dạng vi phân bậc 1 trên U.
Dạng tổng quát của một dạng vi phân bậc I
Giả sử U là một tập hợp mở trong không gian Rn và ω : U →(Rn)∗ là một dạng vi phân bậc 1 trên U. Khi đó, với mỗiM ∈ U, ω (M) là một dạng tuyến tính trên Rn. Do đó ω(M) được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
ω(M) = P1(M)e∗1 + P2(M)e∗2 +. . .+ Pn(M)e∗n
({e∗1, . . . , e∗n} là cơ sở đối ngẫu của cơ sở tự nhiên {e1, . . . en} của Rn ) hay ω(M) = P1(M)dx1(M) + P2(M)dx2(M) +. . .+ Pn(M)dxn(M) (1), trong đó P1(M), . . . ,Pn(M) là những số thực. Như vậy, tồn tại các hàm s ố thực P1, . . . ,Pn xác định trên U một cách duy nhất sao cho (1) được thoả mãn với mọi M ∈ U.
Theo định nghĩa 1.5.1, có thể viết (1) dưới dạng
ω = P1dx1 + P2dx2 +. . .+Pndxn Đó là dạng tổng quát của một dạng vi phân bậc 1 .
Định nghĩa 1.6.2. (Nguyên hàm của một dạng vi phân) Giả sử U là một tập hợp mở trong không gian Rn và ω : U →(Rn)∗ là một dạng vi phân bậc 1 trên U. Nếu tồn tại một hàm số f : U → R thuộc lớp C1 trên U sao cho df = ω trên U thì f gọi là một nguyên hàm của ω trên U. (Do đóω phải liên tục trên U ).
Dạng vi phân bậc một ω : U → (Rn)∗ có nguyên hàm trên U gọi là một dạng vi phân đúng trên U.
Nếu f là một nguyên hàm của ω trên U và λ là một số thực thì d(f +λ) = df = ω
tức là f +λ cũng là một nguyên hàm của ω trên U.
Nếu U là một tập hợp mở liên thông trong Rn và f là một nguyên hàm của w trên U thì{f +λ :λ ∈ R} là tập hợp tất cả các nguyên hàm của ω trên U Thật vậy, giả sử hàm số g : U → R là một nguyên hàm bất kì của w trên U. Khi đó
d(g −f) =dg −df = ω −ω = 0 trên U suy ra g - f là không đổi trên U.
Nếu n = 1,U là một khoảng mở của R và ω là một dạng vi phân bậc 1 liên tục trên U thì ω có dạng ω = gdx, trong đó g là một hàm số thực liên tục trên U. Khi đó hàm số f : U →R là một nguyên hàm của trên U nếu và chỉ nếu f thuộc lớp C1 trên U và
df = f′dx = gdx trên U ⇔ f′ = g trên U tức là f là một nguyên hàm của hàm số g trên U.
Định nghĩa 1.6.3. Giả sử U là một tập hợp mở trong không gian Rn,n ≥2 và ω = P1dx1 + . . .+ Pndxn là một dạng vi phân bậc 1 trên U. Ta gọi ω là một dạng vi phân đóng nếu nó thuộc lớp C1 trên U và
∂Pi
∂xj = ∂Pj
∂xi trên U với mọi i,j = 1, . . . ,n.
Định nghĩa 1.6.4. Giả sử U là một tập hợp mở trong không gian Rn và p là một số nguyên dương. Ánh xạ ω từ U vào tập hợp các dạng p- tuyến tính thay phiên trênRn gọi là một dang vi phân bậc ptrên U. Với p = 1, ta nhận được định nghĩa của dạng vi phân bậc 1 đã biết.
Hiển nhiên nếup > n thì mọi dạng vi phân bậc p trên U đều là dạng không.
Một hàm số xác định trên U gọi là một dang vi phân bậc 0 trên U.
Định nghĩa 1.6.5. (Dạng tổng quát của dạng vi phân bậc p) Giả sử U là một tập hợp mở trong không gian Rn và w là một dạng vi phân bậc p trên U. Khi đó, với mỗiM ∈ U, ω(M) là một dạng p - tuyến tính thay phiên trên Rn. Do đó ω(M) được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
ω(M) = X
1≤i1<...<ip≤n
Pi1i2...ip(M)e∗i1 ∧e∗i2 ∧. . .∧e∗ip
({e∗1, . . . , e∗n} là cơ sở đối ngẫu của cơ sở tự nhiên {e1, . . . , en} của không gian Rn ) hay
ω(M) = X
1≤i1<...<ip≤n
Pi1i2...ip(M)dxi1(M)∧dxi2(M)∧. . .∧dxi (1) trong đó Pi1i2...ip(M) là những số thực. Như vậy, tồn tại các hàm số thực . Pi1i2...ip xác định trên tập hợp U một cách duy nhất sao cho (1) được thoả mãn với mọi M ∈ U.
Chương 2
Một số ứng dụng của
phép tính tích phân hàm vectơ
Chương này trình bày các định nghĩa, định lý và các ứng dụng trong vật lý và kĩ thuật liên quan đến tích phân đường của hàm vectơ, tích phân mặt của hàm vectơ, tích phân của dạng vi phân. Giới thiệu một số ứng dụng trong hình học vi phân. Nội dung của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [6].