Phân tích định lượng

Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.3.2. Phân tích định lượng

Bảng 3.1. Kết quả học tập của học sinh sau thực nghiệm

Điểm Lớp thực nghiệm (1) Lớp đối chứng (2) Chênh lệch (1)-(2)

Tần số Tần suất Tần số Tần suất

2 0 - 0 -

3 0 - 4 14.29

4 3 10.00 6 21.43

5 7 23.33 9 32.14

6 10 33.33 5 17.86

7 5 16.67 2 7.14

8 3 10.00 1 3.57

9 2 6.67 1 3.57

10 0 - 0 -

Tổng 30 28

Khá trở lên 10 33.33 4 14.29 19.05 Tb trở lên 27 90.00 18 64.29 25.71 Dưới Tb 3 10.00 10 35.71 - 25.71 Điểm TB 6.13 5.07 1.06 Phương sai 1.78 2.14 - 0.36 Độ lệch chuẩn 1.33 1.46 - 0.13

Trong đó:

k i i i 1

n x

x N

 

;

k

2 i i

2 i 1

x

n (x x)

S N 1





 



(xi : Điểm thứ i; ni :Tần số của xi; N: Tổng tần số; x : Giá trị trung bình; S2x : Phương sai; Sx  S2x : Độ lệch chuẩn)

Biểu đồ 3.1. Phân bố theo nhóm điểm Từ kết quả trên cho thấy

- Tỉ lệ học sinh ở lớp thực nghiệm đạt điểm từ trung bình trở lên cao hơn so với lớp đối chứng, chênh lệch là 25,71%

- Tỉ lệ học sinh ở lớp thực nghiệm đạt điểm từ khá trở lên cao hơn lớp đối chứng, chênh lệch là 19,05%

- Phương sai và độ lệch chuẩn ở lớp thực nghiệm thấp hơn so với lớp đối chứng, điều này chứng tỏ lớp đối chứng có độ phân tán cao hơn so với lớp thực nghiệm.

Kết luận: Lớp thực nghiệm có kết quả cao hơn lớp đối chứng, chứng tỏ sai lầm trong giải toán của lớp thực nghiệm ít hơn so với lớp đối chứng.

Tiểu kết chương 3

Trong Chương 3 của luận văn đã trình bày quá trình thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp đã trình bày ở Chương 2. Kết quả thực nghiệm cho thấy: Việc sử dụng các biện pháp khai thác những sai lầm của học sinh trong dạy học bất đẳng thức đã giúp học sinh hạn chế được những sai lầm trong giải toán, đã bổ sung kiến thức, kĩ năng cơ bản còn thiếu sót về bất đẳng thức, nhiều em có thể tự phát hiện sai lầm trong lời giải của mình và sửa chữa, phòng tránh được mắc sai lầm.

Như vậy, mục đích thực nghiệm đã được hoàn thành, tính khả thi và hiệu quả của các quan điểm đặt ra được khẳng định.

KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ

Việc khai thác sai lầm của học sinh trong dạy học bất đẳng thức được nghiên cứu từ góc độ lý luận, thực tiễn đến thực nghiệm vận dụng các quan điểm biện pháp của luận văn đề xuất.

Qua quá trình nghiên cứu, thực hiện, luận văn thu được kết quả sau đây:

1) Hệ thống hóa được các quan điểm của nhiều nhà khoa học về sai lầm của học sinh trong giải toán (Polya, A.Soliar, Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Anh Tuấn...)

2) Luận văn làm sáng tỏ nhận định: Các sai lầm của học sinh trong giải toán nói chung, giải toán bất đẳng thức nói riêng còn tương đối phổ biến.

3) Đã đề xuất các biện pháp khai thác sai lầm của học sinh nhằm giúp các em tự phát hiện và sửa chữa sai lầm, tự bổ sung hoàn thiện các kiến thức, kĩ năng cơ bản cần thiết, tự phòng tránh mắc sai lầm khi giải toán bất đẳng thức.

4) Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả các biện pháp đề xuất. Kết quả cho thấy học sinh lớp thực nghiệm ít mắc lỗi hơn, nắm chắc kiến thức, kĩ năng cơ bản và khả năng tự phát hiện, sửa chữa sai lầm tốt hơn lớp không được thực nghiệm. Như vậy có thể khẳng định:

Mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và Giả thuyết khoa học là chấp nhận được.

5) Phương pháp nghiên cứu của luận văn có thể áp dụng cho các nội dung dạy học chủ đề khác của môn Toán.

Qua việc thực hiện đề tài, chúng tôi đã thu nhận được nhiều kiến thức bổ ích về lý luận, từ các tài liệu, công trình nghiên cứu và thực tiễn vận dụng. Tác giả hy vọng trong thời gian tiếp theo những tư tưởng và biện pháp đề xuất được thử nghiệm.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Tiếng Việt

1. Các bài toán chọn lọc 45 năm Tạp chí toán học và tuổi trẻ, NXB giáo dục.

2. Hoàng Chúng (1997), Những vấn đề logic trong môn Toán ở trường phổ thông, trung học cơ sở, NXB Giáo dục, Hà Nội.

3. Vũ Cao Đàm (1998), Phương pháp luận nghiên cứu khoa học, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội.

4. Đỗ Ngọc Đạt (2000), Bài giảng lý luận dạy học, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội.

5. Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), (2006), Bài tập Đại số 10 (nâng cao), NXB Giáo dục.

6. Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn Vĩnh (2001), Lôgic Toán, NXB Thanh Hóa.

7. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), (2009), Giải tích 12 cơ bản, NXB Giáo dục.

8. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), (2006), Đại số 10 cơ bản, NXB Giáo dục, Hà Nội.

9. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), (2007), Đại số và Giải tích 11 cơ bản (sách giáo viên), NXB Giáo dục, Hà Nội.

10. Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc (1981), Giáo dục học môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội.

11. Nguyễn Thái Hòe (1996), Các phương pháp giải toán, NXB Giáo dục.

12. Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), (1992), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội.

13. Nguyễn Bá Kim (2002), Học tập trong hoạt đồng và bằng hoạt động, NXB Giáo dục, Hà Nội.

14. Nguyễn Bá Kim (2011), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội.

15. Bùi Văn Nghị, Vương Dương Minh, Nguyễn Anh Tuấn (2005), Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THPT chu kì III (2004-2006), Viện nghiên cứu sư phạm, Trường ĐHSP Hà Nội.

16. Lê Thống Nhất (1996), Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải toán, Luận án Phó Tiến sĩ Khoa học Sư phạm -Tâm lý.

17. Hoàng Phê (Chủ biên), (2006), Từ điển Tiếng Việt 2006 viện ngôn ngữ học, NXB Đà Nẵng.

18. Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2013) tác giả cuốn sách Những sai lầm trong giải toán phổ thông, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội.

19. Bùi Văn Quân, Nguyễn Hữu Độ (2013), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên Toán THPT chu kì I, II, III, NXB Giáo dục Việt Nam.

20. Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên), (2009), Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán 10, NXB Giáo dục Việt Nam.

21. Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên), (2009), Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán 12, NXB Giáo dục Việt Nam.

22. Nguyễn Văn Thuận (Chủ biên), (2010), Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy học Đại số-Giải tích ở trường phổ thông, NXB ĐHSP Hà Nội.

23. Lê Văn Tiến (2006), Sai lầm của học sinh nhìn từ góc độ lý thuyết học tập, Tạp chí giáo dục (137)

24. Đào Văn Trung (2001), Làm thế nào để học tốt Toán phổ thông, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội.

II. Tiếng nước ngoài

25. Crutexky V.A. (1973), Tâm lý năng lực toán học của học sinh. NXB Giáo dục, Hà Nội.

26. Crutexky V.A. (1981), Những cơ sở của tâm lý học sư phạm, NXB Giáo dục, Hà Nội.

27. Ecđơnhiev.P.M (1978), Dạy học Toán ở trường phổ thông, NXB Giáo dục.

28. Goocki Đ.P. (1974), Lôgic học, NXB Giáo dục, Hà Nội.

29. Polya G. (1997), Giải một bài toán như thế nào, NXB Giáo dục, Hà Nội

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC 1: GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM

TIẾT 1: SỬ DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Trong bài học này:

- Chúng tôi đã chọn đối tượng là học sinh lớp 12A2 làm lớp thực nghiệm, lớp 12A3 là lớp đối chứng.

- Xây dựng nội dung theo chương trình đảm bảo chuẩn kiến thức, kĩ năng nội dung bất đẳng thức.

- Các biện pháp ở nội dung này là: Khai thác sai lầm của học sinh trong các phép biến đổi.

I. Mục tiêu 1. Về kiến thức

* Nắm được các khái niệm, tính chất cơ bản của bất đẳng thức.

* Nắm được một số phép biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức.

2. Về kỹ năng

* Vận dụng một số phép biến đổi chứng minh bất đẳng thức.

3. Về tư duy và thái độ

* Rèn luyện tính cẩn thận, tỉ mỉ trong giải toán, biết kiểm tra lại lời giải.

II. Chuẩn bị

1. Giáo viên: Giáo án, phấn trắng, phấn màu, máy chiếu.

2. Học sinh: Các khái niệm, tính chất, công thức cơ bản về bất đẳng thức.

III. Phương pháp

Cơ bản dùng phương pháp gợi mở và vấn đáp.

IV. Tiến trình bài học 1. Ổn định tổ chức

Ngày dạy Tiết Lớp Sĩ số HS vắng

5/01/2016 1 12A2 30 0

2. Bài mới.

Hoạt động 1. Củng cố kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

* Giáo viên cung cấp các công thức cơ bản về bất đẳng thức (sử dụng máy chiếu) +) a   b a b 0 dấu “>” có thể thay bởi các dấu “  ; ; ”

+) ab, a  b a b

+) a b a c

b c

 

   



+) a    b a c b c +) a b a c b c

c d

     

 

+) c 0; a b ac bc c 0; a b ac bc

   

    



+) a b 0 ac bc c d 0

    

  



+) a b 0, nN*an bn +) a  b 0 a  b +) a b 3a  3b +)

* n n

a b 0; 2 n N  a  b +) a  0, a; a a, a0; a  a, a0;

+) a     b a b a b

- Khi vận dụng công thức biến đổi, cần lưu ý điều gì? Nêu một số định hướng chứng minh bằng các phép biến đổi này

* Học sinh quan sát, ghi nhớ và trả lời câu hỏi.

Học sinh trình bày:

- Chú ý điều kiện sử dụng mỗi phép biến đổi và đặc biệt chú ý:

+ Phép nhân hai vế + Phép khai căn

+ Phép bình phương hai vế

- Một số định hướng chứng minh:

+ Khi biến đổi tương đương, ta tìm cách làm xuất hiện các điều kiện đã cho trong giả thiết để chứng minh bất đẳng thức đã cho là đúng.

+ Chuyển vế để chứng minh vế trái của bất đẳng thức  0; 0; 0; 0 + Chuyển về một vế và biến đổi để làm xuất hiện các hằng đẳng thức quen thuộc

+ Làm xuất hiện tích các thừa số có liên quan đến giả thiết để ta dễ dàng xét dấu

+ Chia nhỏ từng vế để chứng minh sau đó lấy tổng hoặc tích

Hoạt động 2. Rèn luyện cho HS kĩ năng chứng minh bất đẳng thức.

Bài tập 1. Chứng minh rằng, nếu x y 1 thì x y y x. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh - Giáo viên giao bài tập, yêu cầu

học sinh thực hiện.

- Gọi 2 học sinh lên bảng báo cáo kết quả (1 em A học yếu, 1 em B học khá hơn)

- Giáo viên yêu cầu học sinh tập trung vào nhận xét hai lời giải trên.

- Có chắc chắn là hai lời giải trên đúng không? Hãy nhìn vào bước trung gian, chỉ ra từng phép biến đổi được sử dụng?

- Hỏi bạn A: Em nhận ra sai lầm của mình chưa? Em có biết nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong lời giải của em không?

Qua việc thực hiện lời giải trên em rút ra bài học gì?

Phân tích đặc điểm nhận dạng:

Trong bất đẳng thức cần chứng minh có x, y tương ứng cùng bậc, cùng hệ số nên có thể sử dụng biến đổi tương đương.

* Lời giải học sinh A học yếu:

Dễ thấy x  y 1 x  y nên trừ từng vế bất đẳng thức ta được

x x  y y  x y  y x

* Lời giải học sinh B học khá hơn:

2 2

VTVP( x ) ( y) ( x  y) ( x y)( x y 1) 0

     (do x  y 0; x  y  1 0)

- Lời giải của hai bạn khác nhau nhưng đều ra kết quả

- Cùng trao đổi để phân tích lời giải Bạn A: Thực hiện phép trừ từng vế trong biến đổi  Không có phép biến đổi này.

Bạn B: Sử dụng hằng đẳng thức phân tích để xuất hiện nhân tử chung. Đánh giá đúng  Lời giải đúng.

- Bạn A trả lời: Em nhầm công thức cộng từng vế được thì cũng trừ được.

Em sẽ rút kinh nghiệm, không ghi nhớ máy móc, em sẽ tra lại bảng.

Bài tập 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh rằng: a4b4 c4 2(a b2 2b c2 2c a )2 2

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh - Giáo viên giao nhóm học sinh thảo

luận cùng giải quyết.

- Giáo viên yêu cầu hai nhóm đại diện báo cáo?

- Hãy thảo luận phân tích lời giải trên đều đi đến kết quả đúng, lời giải có đúng không?

- Nếu công nhận lời giải nhóm 2 đúng thì nhóm 1 có đúng không? Hãy kiểm tra lại?

Nhóm 1: Báo cáo kết quả: a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác nên b a c

2 2 2

b c a b 2bc c a

      

2 2 2

b c a 2bc

   

2 2 2 2 2

(b c a ) (2bc)

   

4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2

b c a 2b c 2b a 2c a 4b c

      

4 4 4 2 2 2 2 2 2

a b c 2(a b b c c a )

     

Nhóm 2: Báo cáo kết quả a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác nên b a c,

a b c

b   c a b c

2 2 2

(b c) a (b c)

    

2 2 2

2bc a b c 2bc

     

2 2 2

a b c 2bc

   

2 2 2 2 2

(a b c ) (2bc)

   

4 4 4 2 2 2 2 2 2

a b c 2(a b b c c a )

     

- Học sinh nhìn vào hai lời giải, đối chiếu từng bước biến đổi và nhận xét Nhóm 1: Sử dụng giả thiết ít hơn nhóm 2.

Nhóm 2: Sử dụng biến đổi hợp lý không có sai sót.

- Học sinh nghi ngờ bước

- Thử a, b, c giá trị cụ thể thỏa mãn điều kiện tam giác và bước biến đổi đó xem

- Vậy lời giải nhóm 1 sai bắt đầu từ đâu? Hãy chỉ ra từ chính sai lầm đó?

Gợi ý: Hãy cố gắng làm cho VT dương để phù hợp với phép biến đổi đó và so sánh với 2bc?

- Xét lại lời giải nhóm 1 có

2 2 2

b  c a 2bc lại thêm

2 2

(b c) a 2bc

    thì ta có điều gì?

Hỏi nhóm 1: Các em nhận ra lỗi sai của nhóm chưa? Sai lầm bắt nguồn từ đâu?

Giáo viên lưu ý cho học sinh: Các sai lầm ẩn chứa bên trong cho nên các em phải kiểm tra lại từng bước giải của mình. Không nên chủ quan dẫn đến sai lầm.

2 2 2

b  c a 2bc

2 2 2 2 2

(b c a ) (2bc)

    chưa chính

xác.

Học sinh: a 4, b2, c3

 b2  c2 a2 0. Vậy nên lời giải nhóm 1 sai quy tắc bình phương hai vế.

Học sinh: (b2 c )2 a2 0

Học sinh: Để so sánh với 2bc ta xét từ a<b+ca2 (bc)2

2 2

(b c) a 2bc

    

Học sinh: a2b2 c2 2bc, có thể bình phương được.

Nhóm 1: Chúng em đã nhận ra sai lầm, do chúng em chủ quan cứ tưởng

2 2 2

b  c a >0 nên bình phương, qua phân tích em nhận ra là chưa khai thác hết yếu tố giả thiết bài toán.

* Củng cố:

+ Các em ghi nhớ công thức phải chính xác, đặc biệt là điều kiện áp dụng + Các em phải tự rèn cho mình thói quen kiểm tra lại lời giải, từng bước giải. Không nên áp dụng ngay nếu như chưa khẳng định được cách làm đó là đúng.

Bài tập về nhà:

1. x, y, z . Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

(x y )(y z )(z x )8x y z 2. Cho a, b, c thỏa mãn a2 b2c2 27.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: K   a b c ab bc ca  3. Nghiên cứu lại bất đẳng thức Cosi

TIẾT 2-3: ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.

Trong bài học này:

- Chúng tôi đã chọn đối tượng là học sinh lớp 12A2 làm lớp thực nghiệm, lớp 12A3 là lớp đối chứng.

- Xây dựng nội dung theo chương trình đảm bảo chuẩn kiến thức, kĩ năng nội dung bất đẳng thức.

- Các biện pháp ở nội dung này là: Khai thác sai lầm của học sinh khi áp dụng bất đẳng thức Cosi.

I. Mục tiêu 1. Về kiến thức

* Nắm được bất đẳng thức Cosi.

* Nắm được một số bất đẳng thức phụ của bất đẳng thức Cosi.

2. Về kỹ năng

* Vận dụng bất đẳng thức Cosi trong chứng minh bất đẳng thức.

3. Về tư duy và thái độ

* Rèn luyện tính cẩn thận, tỉ mỉ trong giải toán, biết kiểm tra lại lời giải.

II. Chuẩn bị

1. Giáo viên: Giáo án, phấn trắng, phấn màu, máy chiếu.

2. Học sinh: Các khái niệm, tính chất, công thức bất đẳng thức Cosi.

III. Phương pháp

Cơ bản dùng phương pháp gợi mở và vấn đáp.

IV. Tiến trình bài học 1. Ổn định tổ chức

Ngày dạy Tiết Lớp Sĩ số HS vắng

9/01/2016 2 12A2 30 0

10/01/2016 3 12A2 30 0

2. Bài mới.

TIẾT 2

Hoạt động 1. Củng cố kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Cosi.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh - Giáo viên cung cấp công thức bất

đẳng thức Cosi (sử dụng máy chiếu)

* Học sinh quan sát, ghi nhớ và trả lời câu hỏi.

n = 2:

 x, y 0 khi đó :

n = 3:

 x, y, z  0 khi đó : x y

2 xy

  x y z 3

3 xyz

  

x y 2 xy x  y z 3 xyz3 x y 2

2 xy

 

 

 

  x y z 3

3 xyz

 

 

 

  

x y 2 4xy x y z3 27xyz

1 1 4

x  y x y

 1 1 1 9

x   y z x y z

 

 2

1 4

xy x y

  3

1 27

xyz  x y z

 

Dấu “=” xảy ra  x y Dấu “=” xảy ra   x y z

* Tổng quát: Nếu a , a ..a1 2 n là n 1 các số thực không âm thì a1 a2 .. an na a ..a1 2 n

n

    . Dấu “=” xảy ra a1a2  .. an

* Áp dụng bất đẳng thức Cosi vào bài toán nào?

* Áp dụng bất đẳng thức Cosi phải chú ý điều gì?

Học sinh: Đánh giá hạ bậc, khử căn, đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại

Học sinh: Chú ý điều kiện các sô không âm, điều kiện dấu "=" xảy ra của bất đẳng thức.

Hoạt động 2. Rèn cho học sinh kĩ năng áp dụng bất đẳng thức Cosi.

Bài tập 1. Cho a2.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=a 1

a

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh - Giáo viên giao bài tập, yêu cầu học

sinh thảo luận nhóm thực hiện.

- Gọi 2 nhóm đại diện báo cáo kết quả

- Giáo viên yêu cầu học sinh tập trung thảo luận, nhận xét hai lời giải trên.

- Hãy kiểm tra lời giải trên? Bằng cách nào để nhận xác định kết quả đúng?

* Nhóm 1: Báo cáo kết quả

Vì a 2 1 0

  a , áp dụng bất đẳng thức Cosi A=a 1 2 a.1 2

a a

  

MinA 2

 

* Nhóm 2: Báo cáo kết quả Áp dụng bất đẳng thức Cosi

1 a 1 3a

A a ( )

a 4 a 4

    

2 a 1 3a 1 3a

4 a 4 4

   

1 3.2 5

4 2

   .

Dấu "=" xảy ra khi a2 MinA 5 / 2

 

Đưa ra nhận xét: Hai nhóm đều sử dụng bất đẳng thức Cosi. Nhưng kết quả giá trị nhỏ nhất của A khác nhau.

- Học sinh kiểm tra lại cả hai lời giải bằng cách cho a giá trị cụ thể:

a 2 3 4 ...

5 10 17

A ...

2 3 4

Giáo viên yêu cầu thảo luận chỉ ra lỗi sai của nhóm 1.

- Nhận xét lời giải nhóm 2 từng bước biến đổi

Nhận thấy a tăng, A cũng tăng theo.

Xuất phát từ a2 ta có A5 / 2 là nhỏ nhất. Vậy nên lời giải nhóm 2 là chấp nhận được, lời giải nhóm 1 là sai

Học sinh: Nhóm 1 kết quả sai vì không thể xảy ra dấu "=", nên không thể kết luận được giá trị nhỏ nhất.

Học sinh: Áp dụng bất đẳng thức Cosi, dấu"=" xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán, các bước suy luận đúng.

- Như vậy, nhóm 2 lựa chọn cách phân tích hợp lý để xảy ra điều kiện dấu

"=" thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tại a2 xảy ra dấu "=" người ta gọi là "điểm rơi" trong bất đẳng thức Cosi.

- Cách phân tích theo điểm rơi được thực hiện như sau:

Dự đoán a2 là điểm rơi, MinA5 / 2 nên chọn 2 số: a 1,

 a thỏa mãn điều kiện áp dụng bất đẳng thức Cosi. Ta có:

a 1 2 1 4

a 2

     

 

nên ta có thể phân tích A a 1 (a 1) 3a

a 4 a 4

     rồi áp dụng như trên.

Giáo viên hỏi nhóm 2: Các em đã nhận ra lỗi sai của mình chưa?

Bài học các em rút ra được là gì?

Học sinh: Chúng em đã nhận ra lỗi sai của mình là không chú ý đến điều kiện dấu "=" xảy ra. Chưa biết cách phân tích theo điểm rơi.

Học sinh: Chú ý điều kiện áp dụng bất đẳng thức, điều kiện của bài toán.