Với mỗiα = (α1,ã ã ã , αn), ta định nghĩaxαbởi cỏc đơn thứcxα11.xα22ã ã ãxαnn. Trước tiên ta nhắc lại một vài khái niệm về Đa diện Newton.
Định nghĩa 2.1.1. Cho
f(x) := X
α∈Nn
aαxα
là một đa thức.
Đặt
supp(f) :={α∈Nn|aα 6= 0}.
Đa diện Newton tại vô hạnΓ−(f)củaf là các bao lồi trong Rn của{0} ∩supp(f). Rõ ràng, Γ−(f) là đa diện compact lồi với số chiều lớn nhất là n.
Một siêu phẳng tựa của Γ−(f) là siêu phẳng nhỏ nhất chứa các giá trị của hàm tuyến tính trên Γ−(f). Các mặt biên được giới hạn của đa diện Newton là
giao củaΓ−(f)với siêu phẳng tựa. Chúng là các đa diện lồi compact với số chiều lớn nhất là n−1. Các đỉnh là các mặt với số chiều bằng 0. Đồ thị Newton tại vô hạn của f, được định nghĩa bởi Γ−(f), được kí hiệu là Γ(f),được định nghĩa là hợp của các mặt đóng không chứa 0.
Cho σ ∈Γ−(f), đa thức:
fσ(x) := X
α∈σ
aαxα
được gọi là thành phần tựa thuần nhất của f với σ.
Định nghĩa 2.1.2. Đa thức f ∈R[x] được gọi là tiện lợi nếu với i= 1,2,ã ã ã , n bất kì tồn tại các giá trị αi ≤ 1 sao cho đơn thức xαii xuất hiện với hệ số khác 0. Chú ý rằng f là tiện lợi khi và chỉ khi lược đồ Newton tại vô hạn Γ(f) của f giao với mỗi trục tọa độ trong một điểm khác từ gốc tọa độ.
Mục đích của phần này là trình bày chứng minh của định lý sau Định lí 2.1.3. Cho đa thức f ∈R[x]. Khi đó, ta có các khẳng định sau
(i) Nếu f là một đa thức bị chặn dưới. Khi đó, tất cả các thành phần tựa thuần nhất của f là không âm.
(ii) Giả sử rằng f là tiện lợi. Nếu tất cả các thành phần tựa thuần nhất của f là dương bên ngoài các phẳng tọa độ thì f bị chặn dưới. Hơn nữa, tồn tại các hằng số c1, c2(c2>0) sao cho
f(x)≥c1+c2 X
α∈V(f)
xα
ở đó, V(f) là tập các đỉnh của Γ−(f).
Chứng minh. (i) Giả sử tồn tại γ ∈Γ(f) là mặt một chiều sao cho
fγ(x0)<0 (2.1)
với x0 = (x01, x01, ..., x01)∈Rn. Gọi
H :={α∈Rn|hm, αi:=m1α1+m2α2+ã ã ã+mnαn =ν}
là siêu phẳng tựa của Γ(f) chứa mặt γ. Vì các đỉnh của Γ−(f) có tọa độ nguyên, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng m1, m2, ..., mn và ν là các số nguyên. Bởi định nghĩa, siêu phẳng tựa có các tính chất của Γ−(f) trong nửa không gian {α∈Rn|hm, αi ≥ν}. Điều này có nghĩa là
hm, αi> ν với mọi α ∈Γ−(f)\γ.
Trong trường hợp riêng, với α= 0, ta nhận được 0> ν.
Lấy 0< 1, ta định nghĩa đường cong đại số ϕ: (0, ]−→Rn, t7−→ϕ(t),
ϕ(f) =
x1(t) = x01tm1, x2(t) = x02tm2, ...
xn(t) =x0ntmn. Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra được rằng
f[ϕ(t)] = fγ[ϕ(t)] +X
α /∈γ
aα[ϕ(t)]α
= tνfγ(x0) +sohangcobaccaohontrongt
' tνfγ(x0),
Ở đây, A ' B nghĩa là tỉ số của hai vế nằm giữa hai hằng số dương. Do vậy ta nhận được
t−→+0lim f[ϕ(t)] = −∞
(mâu thuẫn với giả thiết)
Vậy các thành phần tựa thuần nhất củaf là không âm. Trong trường hợp riêng, tất cả các đỉnh của đa diện Newton Γ−(f) có tọa độ chẵn.
(ii) Giả sử rằng các thành phần tựa thuần nhất của f là dương bên ngoài mặt phẳng tọa độ. Ta sẽ chứng minh rằng f bị chặn dưới. Thật vậy, nếu khẳng định cần chứng minh là không đúng thì tập nửa đại số
A:={x∈Rn|f(x)≤0}
không bị chặn.
Khi đó, tồn tại một ánh xạ phân hình thực
ϕ: (0, ]−→Rn, t7−→ϕ(t), sao cho
(c1) ϕ(t)∈A với t ∈[0, ];
(c2) kϕ(t)k−→+∞ khi t −→+0; và (c3) f[ϕ(t)]−→ −∞ khi t−→+0.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng với mỗi > 0 đủ nhỏ, tập ϕ((0, ]) được chứa trong các phẳng tọa độ {xk = 0}, k = l+ 1, l+ 2, ..., n, nhưng không đúng trong trường hợp 1≤l≤n. Do đó, ta có thể viết
ϕ(f) =
x1(t) =x01tm1 +..., x2(t) =x02tm2 +..., ...
xl(t) =x0ltml+..., .xl+1(t) =xl+2(t) =...=xn(t) = 0 ở đó x0k, k = 1,2, ..., l là những số thực khác 0.Từ (c2), ta có
min
k=1,2,...,lmk <0.
Đặt
Γ0 := Γ−(f)∩ {α ∈Nn|αl+1 =αl+2=ã ã ã=αn = 0}
Khi đó, Γ0 là đa thức lồi compact với số chiều lớn nhất l. Gọi γ(resp., ν) là một tập nghiệm(tương ứng giá trị nhở nhất) của các bài toán tuyến tính
minimize hm, αisubject to α∈Γ0,
ở đú, m:= (m1, m2,ã ã ã , ml,0,0,ã ã ã,0). Khi đú, γ là mặt của Γ0 và do (4) ta nhận được γ ∈Γ(f) bởi vì f là tiện lợi.
Theo (c3) ta có f[ϕ(t)]<0, với t >0 đủ nhỏ, với ánh xạ ϕ: (0, ]−→Rn, t7−→ϕ(t),
được định nghĩa bởi
ϕ=
x1(t) =x01tm1, x2(t) =x02tm2,
...
xn(t) = x0ntmn,
xl+1(t) =xl+2(t) = ...=xn(t) = 0 Mặt khác, với 0< t1 ta có
f[ϕ(t)]' fγ[ϕ(t)]
= tνfγ(x01, x02, ..., x0l,0,0, ...,0)
= tνfγ(x01, x02, ..., x0l,1,1, ...,1)
ở đó, đẳng thức cuối cùng kéo theo từ sự độc lập của thành phần tựa thuần nhất fγ đối với các biến số xl+1, xl+2, ..., xn.
Theo lập luận ở trên,
fγ(x01, x02, ..., x0n,1,1, ...1)<0,
Mâu thuẫn này đã chỉ ra rằng, f bị chặn dưới và vì thế có một hằng số c1 sao chof(x)> c1 với mọix∈Rn. Nên, từ giả thiết và kết quả của Gindikin, có một hằng số dương sao cho
f(x)−c1 ≥c2 X
α∈V(f)
xα
với mọi x∈Rn. Tương đương với
f(x)≥c1+c2 X
α∈V(f)
xα
Định lý được chứng minh.