Đầu tiên, ta có một ví dụ rất đơn giản cho định lí 2.5. Ta lấy X = R,Φ(x) = x2 và F(x) = −x3. Thực tế, nếu r > 0 thì sự thu hẹp
của hàm số x → x2 −x3 trên [−r, r] có duy nhất một cực tiểu toàn cục khi r = 1.
Bây giờ, ta nghiên cứu một ứng dụng của định lí 2.3 với phiếm hàm tích phân. Chúng ta kí hiệu Ω là một tập mở bị chặn, với biên trơn nằm trong Rn và p > n. W1,p(Ω) là không gian Sobolev với chuẩn
kuk = Z
Ω
| 5u(x)|pdx+ Z
Ω
|u(x)|pdx 1p
,
được nhúng chặt trong C0( ¯Ω) với hằng số c = sup
u∈W1,p(Ω)\{0}
supx∈Ω|u(x)|
kuk (2.10)
hữu hạn.
Nhớ lại rằng, một hàm f : Ω × Rm → (−∞,+∞] được gọi là hàm khả tích chuẩn tắc ([9]) nếu nó thuộc L(Ω)⊗ B(Rm), đo được và f(x,ã) là hàm nửa liờn tục dưới hầu khắp nơi với x ∈ Ω. Ở đõy, L(Ω) và B(Rm) lần lượt là kí hiệu của không gian các hàm khả tích Lebesgue trên Ω và σ - đại số Borel những tập con của Rm.
Nhớ lại rằng nếu f là hàm khả tích chuẩn tắc thì với mỗi hàm đo được u : Ω →Rm ta suy ra hàm hợp x →f(x, u(x)) là đo được ([9]).
Nếu ξ ∈ R thì ta tiếp tục kí hiệu ξ là hàm số không đổi trên Ω với giá trị ξ.
Định lý 2.6. Cho f : Ω × R → (−∞,+∞] và ϕ : Ω × R ×Rn → (−∞,+∞] là hai hàm khả tích chuẩn tắc, thỏa mãn các điều kiện sau:
Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà
i. Tồn tại ν > 0 và γ ∈ L1(Ω) sao cho
ν(|ξ|p+|η|p) +γ(x) ≤ ϕ(x, ξ, η)
với mọi (x, ξ, η) ∈ Ω× R×Rn và với mỗi (x, ξ) ∈ Ω ×R, hàm ϕ(x, ξ,ã) là lồi trong Rn;
ii. Với mỗi > 0, tồn tại γ ∈ L1(Ω) sao cho
−|ξ|p+γ(x) ≤ f(x, ξ)
với mọi (x, ξ) ∈ Ω×R;
iii. Tồn tại ξ1, ρ ∈ R sao cho Z
Ω
ϕ(x, ξ1,0)dx < ρ, Z
Ω
f(x, ξ1)dx < +∞
và
f(x, ξ1) = inf
|ξ|≤δf(x, ξ)
với mọi x ∈ Ω, ở đó
δ = c
ρ−R
Ωγ(x)dx ν
1 p
và c được cho trong (2.10).
Khi đó, mọi tập đóng yếu theo dãy V ⊆ W1,p(Ω) chứa hằng số ξ1 và
ω để cho
Z
Ω
ϕ(x, ω(x),5ω(x))dx < +∞
và
Z
Ω
f(x, ω(x))dx <
Z
Ω
f(x, ξ1)dx,
và tồn tại λ∗ > 0 sao cho sự thu hẹp trên V của hàm số u 7→
Z
Ω
f(x, ω(x))dx+λ∗ Z
Ω
ϕ(x, u(x),5u(x))dx
có ít nhất hai cực tiểu toàn cục.
Chứng minh. Với mỗi u ∈ W1,p(Ω), tập J˜(u) =
Z
Ω
f(x, u(x))dx
và
Φ(u) =˜ Z
Ω
ϕ(x, u(x),5u(x))dx.
Theo kết quả của định lí 4.6.8 trong ([6]), với mỗi λ > 0, hàm J˜+λΦ˜ là hàm nửa liên tục dưới yếu theo dãy. Mặt khác, cho ∈ (0, λν), từ điều kiện ii, ta có
J˜(u) +λΦ(u)˜ ≥ (λν −)kuk+ Z
Ω
γ(x)dx.
Do đó, theo định lí phản xạ Eberlein - Smulyan, tập mức dưới của J˜+λΦ˜ là compact yếu. Bây giờ, ta lấy V ⊆W1,p(Ω) giống trong phần
Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà
kết luận của định lí 2.6. Tập X =
n
u ∈ V : sup
nJ˜(u),Φ(u)˜ o
< +∞o .
Nhận thấy rằng ξ1, ω ∈ X và n
u ∈ X : ˜J(u) +λΦ(u)˜ ≤r o
= n
u ∈ V : ˜J(u) +λΦ(u)˜ ≤ r o
(2.11) với mọi λ > 0, r ∈ R. Kí hiệu J và Φ lần lượt là sự thu hẹp của J˜và Φ˜ trên X. Ta sẽ áp dụng định lí 2.3 với tôpô tương đối yếu trong X. Rõ ràng, trong (2.10) thì điều kiện a1 của định lí 2.3 là thỏa mãn. Xét điều kiện b1, nhận thấy rằng với mỗi u ∈ Φ−1(−∞, ρ], từ điều kiện i, ta có
ν kukp+ Z
Ω
γ(x)dx ≤ρ,
vì vậy
sup
Ω
|u| ≤ c
ρ−R
Ωγ(x)dx ν
1 p
,
bất đẳng thức ở trên là nghiêm ngặt nếu Φ(u) < ρ. Kết hợp với điều kiện iii, ta suy ra
J(ξ1) = inf
Φ−1(]−∞,ρ])J
và
Φ(ξ1) < ρ
là đúng. Do đó, b1 thỏa mãn điều kiện với u1 = ξ1 và u2 = ω. Vì vậy,
kết luận của định lí 2.6 được suy ra trực tiếp từ định lí 2.3.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Việt Hà
KẾT LUẬN
Khóa luận được hoàn thành chủ yếu dựa theo [7] và một số tài liệu khác. Trong khóa luận này, tôi đã trình bày và làm rõ một số nội dung liên quan đến tính bội của cực tiểu toàn cục hàm tham số. Cụ thể khóa luận đã:
1. Hệ thống lại các kiến thức cơ bản cũng như các khái niệm liên quan đến tập lồi, hàm lồi, hàm nửa liên tục dưới, tập compact...
2. Trình bày về điều kiện để hàm số có ít nhất hai cực tiểu toàn cục. Trường hợp một, hàm Ψ là hàm nửa liên tục dưới và inf-compact trong X, tựa lõm và liên tục trong Λ và thỏa mãn: supΛinfX Ψ <
infX supΛΨ. Trường hợp thứ hai, hàm Ψ là afin đối với biến λ và Λ = (0,+∞).
3. Trình bày về hai ứng dụng với phiếm hàm tích phân.
Đề tài tính bội của cực tiểu toàn cục của hàm tham số là đề tài có tính thời sự và được nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây. Tôi hy vọng trong tương lai sẽ có thể có những đóng góp có ý nghĩa cho hướng nghiên cứu này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2017 Sinh viên
Lê Việt Hà
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Huỳnh Thế Phùng (2009), Cơ sở giải tích lồi, Đại học Khoa học Huế.
[2] Nguyễn Xuân Liêm (1995), Tô pô đại cương, độ đo và tích phân, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[4] J. Appell, E. De Pascale, and A. Vignoli (2004),Nonlinear spectral theory, Walter de Gruyter.
[5] G. Cordaro (2001), On a minimax problem of Ricceri, J. Inequal.
Appl., 6, 261-285.
[6] Z. Denkowski, S. Migórski, and N. S. Papageorgiou (2003), An introduction to nonlinear analysis: applications, Kluwer Academic Publishers.