a. Cho là một biểu diễn bất khả quy nu chiều của nhóm G. Xét ma trận
T = — ] T D (tl)(g)X D(^ (g _1) g
với X - ma trận tùy ý, và N - cấp của G.
Ta có :
TD(g)(h) = ^ D ^ Í g J X D ^ Í g ' ^ D ^ Í h ) = g
= — ]T D (tl)(h)D (t,)(h- 1)D(tl)(g)X D(g)(g_1)D(g)(h) g
= D(g,(h)— ^ D ^ ü i ^ g i x D ^ f h ^ g ) ' 1) g
= D(M) (h) T
tức T giao hoán với mọi D(tl,(h), h £ G. Theo bổ đề Schur ta suy ra ngay
T = l ^ D ^ ( g ) X D(^ ( g _1) = ^ g
Chọn x rs = Sri ỗsm , xét
Tkj - ^ E Dkr’<SôrSD<f (g"1) =■
g g
= XSfcj
Đế’ xác định X, ta cho j = k và lấy tổng theo k : ẩ Ẹ Ẹ Dl5’< g ® ¿ ' ‘ ' - s Ị ^ 1 ■
g k 6
- i~ N 5 m l= S . Suy ra X = — Ômi
nu
Như vậy biểu diễn bất khả quy (d hl) thỏa hệ thức
g “
Tương tự, cho 2 biểu diễn bất khả quy không tương dương ty hl) (nu chiều) và (d ịv) ( nv chiều), bằng cách xét ma trận
s = l £ D ^ ( g ) X D(v)(g_1) , 11 * V g
ta sẽ đi đến :
Gộp 2 trường hợp lại ta dược hệ thức chung
X DỈ 5 ' = -|í-5„vs lms kj.
g
D
Trường hợp các biểu diễn là unita, ta có :
(v)(g-1) = ^ v>(g)]"1 = [D (v,(g)]+ ^ D ^ Ị g - ^ D g (g) và hệ thức trên thành :
Z Dớa,ôft,Dỡv™ < ớ > - f - * i .v 6iằSki
g ^
Llệ thức này có thể xem như đieu kiộn trực chuẩn cua một hệ vectơ trong không gian N chiếu. Mỗi vectơ được đAc trưng bởi 3 chỉ số (p, k, 1) và có các thành phần tương ứng là :
DÍd = t o s w . Dkl)(g 2 ),- . dỊsM
Số các vectơ ứng với (1 cho trước rõ ràng bằng n2p, vì vậy tổng số vectơ trực chuẩn sẽ bằng , ỗ đây tổng theo các biểu diễn bất khả quy không tương đương.
Các vectơ này là độc lập tuyến tính do đó không vượt quá số chiều của không gian được, tức là
¿ Ỉ < N
b. Bây giờ ta hãy suy hệ thức trực giao cho các đặc biểu. Đặt 1 = k, m = j trong hệ thức trên, rồi lấy tổng theo k và j từ 1 đến n„ ta thu được :
X x (tl)(g)x(v)(g_1) = Nômv
g
hay, trường hợp các biểu diễn unita :
Z x (ụW v)*(g> = NôMV g
Nếu gọi Xp^ 3 x(^(Kp) là đặc biểu của lớp Kp (có Np phần tử) của G, thì hệ thức trên có thể viết lại như sau :
P=1
Đây là các hệ thức trực giao loại 1.
Ta cũng có thể viết lại
diễn tả hệ vectơ trong không gian s chiều
trực chuẩn theo chỉ số (|i). Dĩ nhiên sô' các vectơ này (với (|i) khác nhau) tức số biểu diễn bất khả quy không tương đương của nhóm G, mà ta gọi là s’, phải không thể lớn hơn số chiều s của không gian, tức số lớp s của G.
Người ta cũng chứng minh được các hệ thức trực giao loại 2 như sau :
mô tả tính trực chuẩn của hệ s vectơ (p, q khác nhau) trong không gian s' chiều (các p khác nhau), từ đây suy ra s < s'.
Kết hợp với kết quả trên kia ta đi đến
Đ ịn h lý : Số biểu diễn bất khả quy s' của các nhóm hữu hạn là đúng bằng số lớp s của nhóm :
6. PH É P PHÂN TÍCH BlỂU DlỄN.
a. Như đã biết, mọi biểu diễn (.ã' hữu hạn chiều của nhóm hữu hạn G đều là tổng trực tiếp các biểu diễn bất khả quy của G :
s’ < s
s' = s
D (g)= ^ % D ^ ( g ) ,
ở đây a(1 chỉ số lần biểu diễn ổ i<M) (sai khác một sự tương đương) có mặt trong biểu diễn ỌỀ. Từ đây ta có
x(g) = a^x(tU(g).
p
Nhân 2 v ế dẳng thức này với x<v)*(g), lấy tổng theo g, ta thu được từ hệ thức trực giao loại 1 :
£ x ( g ) x (v)*(g) = Z a p Z x (M)(g)x(v)*(g)
g p g
= N y^ au5uv.
Từ đây suy ra :
av = ¿ X x ( g ) x (v)*(g) = ¿ Ề N pXpX(pV)*.
g P=1
Kết quả này cho phép ta xác định hoàn toàn cấu trúc của biểu diễn V theo các “thành phần” bất khả quy
Cùng từ dây ta có dược tiêu chuẩn bất khả quy qua định lý :
Đ ịn h lý 1 : Điều kiện cần và đủ để m ột biểu diễn có đặc biểu X là bất khả quy là
ẹ X N pW-P = 1
P=1
Thật vậy, ta có Xp - =* Xp = ]T a „ x ^ ’* . Nhân
u p
2 vế với NpXp rồi lấy tổng theo p :
¿NpXpXp = ¿NpXpXp)+
P=1 ' p P=1
- Ị - Ĩ - N
p
hay
ẹ ¿L^pXpXp = X aP
P=1 p
Dĩ nhiên diều kiện cần và đủ để (.Ể bất khả quy là một hệ số au nào đó trong khai thức phải bằng 1, còn- tất cả các hệ số khác đều = 0 , tức vế phải hệ thức trên phải bằng 1.
(đpcm )
Ví dụ : Nhóm °J' 3 như dã biết có 3 lớp (s = 3) : Kj = {e}, K-2 = {d, f}, K3 = {a, b, c}. Ngoài biểu diễn dơn vị y n) với đặc biểu x<ỉ> = 1, X 2* = 1. X ? = 1 ta còn có 2 biểu diễn khác :
^ 2' : X ? = 1, x<| > = 1, x<|> = - 1
<**' ■■ x f = 2, X ? = -1, X ? = 0
Hai biểu diễn í / 1'11, (J l2> hiển nhiên là bất khả quy vì là 1 chiều. Còn biểu diễn 2 chiều Ç/'(3> cũng bất khả quy vì nghiệm đúng dịnh lý 1 .
Ngoài ra vì s ’ = s nên 3 biểu diễn nêu trên cũng là toàn bộ các biểu diễn bất khả quy của nhóm ữ'3.
b. Đ ịn h lý 2 : Tất cả các biểu diễn bất khả quy của một nhóm đều chứa trong biểu diễn chính quy với số lần có mặt bằng số chiều biểu diễn của mình :
Theo kết quả phần trên : au = — ^ỊTNpXp^Xp^ • Sử dụng biêu thức đặc biểu của biểu diễn chính quy ta thu được
Ở đây chỉ số “1” chỉ lớp Ki = {e} với số Ni = 1, còn dặc biểu Xi° (thực) chính là bằng số chiều nụ của biểu diễn V ‘M' (dpcm)
Từ đây ta còn có thêm định lý Đ ịn h lý 3 (B u rn sỉd e ):
ÚfiĩL) _ ^ ®n C0(u)
CM : Ta có nói chung
p
Quả vậy, từ định lý 2 : X(R)(e) = X n nX(M)(e)
Vì x(R’(e) = N và x<M,(e) = n(1 ta được ngay (đpcm ).
Ví dụ : Với những nhóm cấp 2 hay 3 công thức Burnside cho nghiệm duy nhất ni = n2 = 1 hay ni = n2 = n3
= 1, tức các biểu diễn bất khả quy của những nhóm này đều 1 chiều.
Với nhóm @3 : = 6,
n
nghiệm duy nhất là ni = n2 = 1, n3 = 2 , như đã biết
Ngữời ta thường trình bày các biểu diễn bất khả quy của một nhóm qua bảng đặc biểu như sau :
Lớp
Biểu d i ễ n ^ . Ki = {e} N 2K 2 N s K s
đơn vị <JP> x í = 1 Y(1) ,
ĩ. 2 x (s1 } = 1
(lịm X?ằ ù*ợ to to
v ( 2 ) A. s
<ÿ(s) xĩ> v ( s )* 2 ■ y(s) X s Chẳng hạn đối với nhóm £$3 :
K i 2K 2 3K a
(jịị 1) 1 1 1
(¿ỊẬ2)
1 1 - 1
ry>(3)
2 - 1 0
CHƯƠNG r a
TÍCH BIỂU DIỄN
1. TÍCH T R ựC T IẾ P 2 BIÊU DIÊN
a. Cho nhóm G và 2 biểu diễn bất khả quy của nó và ( / (v\ tương ứng tác dụng trong 2 không gian En vói cơ sở
|vt/'iM),i = 1, 2 ,...,n (1| và Evvới cơ sở |<|>lkv),k = 1, 2 ,...,n u|:
Tg V ™ = Vịf’iM) = D f ( g ) x ụ ^ ; Tg<t>(kv) s <|>l(kv> = D ^ígttí'"
Nhân 2 biểu thức trên với nhau ta dược : v r f V" = D'r,(g)Díí>(g)y'M,<i>i'’ =
với Dj£jk’(g) là tích trực tiùp của 2 ma trận D'"'(g) và D'v,(g). Ta dễ dàng thấy rằng
D'M‘v,(hg) = Dw (hg)<g>D'v,(hg) = D(|U(h)D<M)(g) ® Dtv,(h)Dlv>(g)
= ịDit"(h)<2>Dtv’(h)Ị|D(M,(g)® D (v,(g)Ị = D(M><v,(h).D(MXV,(g) tức các ma trận D,M*V) lập thành một biểu diễn nào đó của nhóm G, với cơ sở Ị'ị/ỊM,<|>kvlỊ •
Theo định nghĩa, không gian tuyến tính E căng bởi các vectơ Ó ' ; ’ được gọi là không gian tích tenxơ (tích Kronecker) của các không gian E(1 và Ev :
E = EM ® Ev , dim E = dim EM. dimEv, còn biểu diễn
- tích tenxơ của các biểu diễn và D(v 1
_ (JW 0 < y < v ) _ < y < v ) 0 (Êằ)
Dễ dàng thấy rằng
X,M>V* (g) = x'ụ,(g) r (g)
b. Biểu diễn tích nói chung là khả quy. Nếu nhóm G có tính chất hoàn toàn khả quy (tức mọi biếu diễn của nhóm là hoàn toàn khả quy) thì ta có thể khai triển
<y(M'V) thành tổng các biểu diễn bất khả quy : c/““ ® í / lv) = ỵ © (p, v; X) (.J°-
(p, v; X) = (v, p; X) là số lần có mặt của (J Ú" trong tích g, ry.i-
Biểu thức trên dây được gọi là khai thức Clebsch - Gordan của nhóm G. Các hệ số khai triển (p, v; X) ta tính dược dễ dàng tương tự như ở chương trước :
(n, v; X) = ± Ê x ‘- W " < g * - ô g > .
g
2. CÁC HỆ SỐ CLEBSCH - GORDAN.
a. Một vấn đề quan trọng đạt ra là tìm các vectơ cơ sở cua biểu diễn (/'*' chứa trong tích Kronecker của 2 biểu diễn <Jm t <J"VÌ
Chúng ta có nM vectơ cơ sở vỊ/jIK' ứng với biểu diễn nv vectơ ộ'1v) ứng với ÿpv>; và phải tìm nx vectơ
cp'âM(s = 1.2___n x ) dưới dạng tổ hợp tuyến tính của cắc tích
M/ ^ .ộỊvằ sao cho cỏc vectơ này tạo nờn hệ cơ sở của biểu diễn ® (X). Dĩ nhiên hệ Ị(p(sX)| sẽ tồn tại nếu như QỉfX) có mặt trong khai thức của tích S'*11* ® s*(v), tức khi (p, v; X.) * 0.
Hơn nữa nếu như (p, v; X) > 1 thì ta sẽ có vài tập hợp như vậy, độc lập đối với nhau, mà ta phân biệt bằng cách thêm vào chỉ số rx :
cp ^ '.s = 1, 2 ,...,n x ; rx = 1, 2...(p, v; X) Như vậy ta có thể viết :
) = X (w> vl|Axxs)v|^Viv) j.i
Ở đây ký hiệu (pj, vl|Xrxs) dược gọi là các hệ số Clebsch - Gordan, hoặc hệ số Wigner hay hệ sô" cộng mômen trong 'một số trường hợp cụ thể. Dĩ nhiên tổng số các hàm <ị><gẰr*) phải bằng tổng số các tích V /V i * tóc là :
v;X)nx — u Mn v
X
Vì vậy các hệ số c - G lập nên một ma trận vuông cấp nv.
Phép biến đổi ngược được diễn tả bởi các phương trình
VjMv r ‘ = X ( k r*slw>vi)(p<8Kr,)
sr; x
J 2,.., n.|¿ Ị 1 = 1, 2,..., n v
Từ đây ta có ngay các hệ thức trực giao của hệ số
c - G. ‘
r'r s> j, vl)(|ij, vl|Xrxs) = Su .ôr4rVSss.
j.i
^ (w ',v r |Ầ r xs)(Ầrxs|w,vl) = Sjj.Sn.
ÂJ} s
b. Ta hãy tìm hệ thức giữa ma trận của các biểu diễn (j/m (jjịv) qp{X)
Như thông thường, ma trận của biểu diễn rềa> được
xác định qua
s’
Ta có thể chọn ma trận D như nhau dối với mọi r^, do đó bỏ chi sô' 1\ trong D và viễí lại :
T>Lw ' = Ẹ 9 : W . ’< g ).
s ’
= z X v > vkỊX r^D ^íg)
s’ i,k
Mặt khác ta cũng có :
w r,) = tsX < ^ v,(w>v1I M =
= £ V " =
So sánh 2 biểu thức trên, chú ý là các vectơ lỊ/ị^Vk0 là độc lập trên tính, ta rút ra được :
^(|ii,vkỊ?ovs')D(3V(g) =
ằ ¿ D | j ‘ỉ(g)Dlỉ‘(g)(Hj,vl|Arxs) j.i
Ta cũng có thể biến đổi hệ thức này thành dạng khác bằng cách sử dụng tính chất trực giao của các hệ số c - G.
X (^ 'r 'v tịni, vk)D<i[ )(g)D(k'í)(g)(M.j, vlỊXr^s) = ijkl
- D “ ’(g)8u .6, . , i
D'tì"(g®w<8) = ^(M Ì.vklX r.^D X tg) X
* (* rxs|wôv1)-
Ví dụ : Tìm khai thức c - G của các tích biểu diễn sau dây của nhóm ^ 3 : . 4 \ ® > 42 , '4 ^ ® ® &
Trước tiên ta lập bảng đặc biểu các tích biểu diễn
K! 2K2 3K3
'4\ <g> *42
•42 <s> £
& <£
1 1 - 1
2 - 1 0
4 1 0
Tiếp theo ta tính lần lượt các hệ sô" c — G (p, v; Ầ) : (1, 2 ; 1), (1, 2 ; 2), (1, 2; 3) cho tích . 4 X <g> .4?, và tương tự cho 2 tích sau, ta thu được các khai thức phải tìm :
. 4\ <g> .4 2 = f 4-2, ' 4 2 <8><0 = <£, <0 ® £ = ,4\ © * 42 © &
3. TRƯỜNG H ự p (đ Ẩụ) ® S 100 :
Xét trường hợp “bình phương trực tiếp” của biểu diễn Í/^ÍG) , hai hệ vectơ cơ sở Ịvị/^Ịvà |<l>kl)Ị c° thể trùng nhau hay khác nhau. Biểu diễn tích Qftụ) <8> (.$m nói chung là khả quy, và không gian biểu diễn njỉ chiều với hệ vectơ cơ sở Ị ^ V k 1 s Tik| có thể phân tích được thành nhiều không gian con bất biến. Ta hãy xét 2 không gian con bất biến dặc biệt.
Xét
T ',1= Z D < - ’(g)D S'(g)Tik iũ
Hoán vị j với 1, rồi cộng và trừ 2 biểu thức với nhau, ta dược :
( T ' j . ± T ' ô ) = X ( D M ’ ± D ; r ' D ỡ “ *)Tik = ik
= Ỉ Z ( D"',DS ,± D ” Díi)('I! ^ T*.) ik
Như vậy không gian các hàm Sik = Tik + Tki (cũng như Aik = Tik - Tki) là bất biến, tuy không nhất thiết bất khả quy. Tích biểu diễn (ìỉm ® đã cảm ứng trong 2 không gian con đó những biểu diễn tương ứng gọi là bình phương đối xứng và bình phương phản xứng của (đ m :
{<iỉ*ụ) <g> <Jm \ và
Đặc biểu tương ứng ta dễ dàng tính dược :
(D '" > (g)đ D l->(g)}ikii = ỉ ( D Ị f )(g)Dôl5>(g) + D;rl(g )D i;'(g )) Cho j = i, 1 = k, rồi lây tổng theo i, k :
Ịx- ® X 'Ị(g ) = 5 (D!r,(g)Oỉt>(g) + D<ĩ’(g)DÍS'(g)) '(x " < g > f + X1' v > ]
Tương t ự :
[x“ > ® x “](g) = | [ ( x (|J,(g))2 - XM(g 2)
Cũng cần chú ý rằng khi {vj/ị} và lội} trùng nhau thì Aik = 0.
4. BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA TÍCH T R ựC T IẾ P 2 NHÓM.
Cho biểu diễn í$(1,(gi) ni chiều của nhóm Gj và ^ (2)(g2) n2 chiều của G2. Ta sẽ chứng minh là tích trực tiếp (J n Xgi) ® r# 2>(g2) lập thành biểu diễn ni. n2 chiều của tích 2 nhóm Gi ® G2.
Thật vậy theo tính chất của tích trực tiêp các ma trận ta có, với gi, g’i € Gi, g2, g’2 e G2 :
(D(1,(g l )đ D ^ ớ g ^ D ô ằ ^ )đ D<2,(g’2 )) =
= (D,I,(g 1)Da ,(g'1 )® D(2>(g2)D(2)(g'2 ))
= Da)(gig'i) ® D<2)(g2g ’2 )
Đẳng thức này hoàn toàn giống phép nhân định nghĩa cho tích trực tiêp của 2 nhóm
(gl, g2> (g'l, g ’2) = (g lg ’l, g2g'2) Đó là (đpcm ).
Ta có thể chứng minh được rằng :
- Nếu ® (1), {ề m là bất khả quy thì tích ®(1) <8> ữ f2) cũng là biểu diễn bất khả quy của nhóm tích Gi <8* G2.
- Số các biểu diễn bất khả quy không tương đương ( / (1‘ <g) <^(2) CQng đúng bằng số lớp trong Gi ® G2, tức bằng tích số lớp trong Gi và trong G2 riêng lẻ.
CHƯƠNG IV
PHƯƠNG PHÁP LÝ THUYẾT NHÓM TRONG C ơ LƯỢNG TỬ
1. XÂY DựNG CÁC BIỂU DIỄN.
a. Trong căc bài toán vật lý ta thường xuất phát từ Iĩìột nhóm biến đổi của không gian cấu hình (x|, và vấn dề là làm sao xây dựng dược các biểu diễn của nhóm đó.
Cụ thế cho nhóm G = Igh tác dụng trong không gian (x| như sau :
X —> x' = gx
ữ ng với g ta có toán tử Tg tác dụng trong không gian Hilbert E = |vị/(x)1 : V|/ ’ 3 Tgụ/ sao cho
Vị/ ’(x’) 3 TgVỊ/(x’) = Vị/(x) nếu x' = gx Rõ ràng TgVị/(x) = Vị/(g-1x)
Chẳng hạn với g là phép tịnh tiến x' = X + a, thì Iị/’(x) ta thu được từ Vị/(x) bằng cách tịnh tiến dồ thị Iị/(x) về phía trái một doạn a, tức Vị/’(x) = Vị/(x - a).
Nếu tiếp theo g ta thực hiện thêm biến dổi h : x” = hx' thì :
Thv/(x”) = Th Vị/’(hx’) = Th Tg vy(hgx)
= VJ/’(x’) = lị/(x)
hay ThTg Vị/(x”) = \ụ(x) 3 Thg Vị/ (x”)
tức ThTg — Thg.
Ngoài ra biến đổi nghịch đảo g-1 tương ứng Tg-1 = (Tg)“1. Tập '£TG) = {Tgig € G} được gọi là biểu diễn toán tử của nhóm G trong không gian Hilbert E. Nếu trong E có xác định hệ vectơ cơ sở {v|/ị} thì ta có biểu diễn ma trận, xác định qua
Tg Vi=
j
b. Để minh họa ta xét cụ thể nhóm G = (e, P1 , với p - phép phản chiếu không gian (3 chiều) :
x’ = Px = - X , X € R3 Trưóc tiên chọn Vị/(x) e E; ta có
|T evt/(ex) = Tevj/(x) = V|/(x), Tcn>(-ex) = i|/(-x) ỊTpV|/(Px) = TpHí(-x) = Vị/(x), Tpiị/(-Px) = V|/(-x)
tức Tevị/(±x), TpVị/(±x) đều là tổ hợp tuyến tính của VỊ/(x) 35 f1( \ự(- x) 3 Ỉ2, hai vectơ này là hệ vectơ cơ sở của E.
Ta viết lại:
Ị T ^ = f\ + 0 f2 ÍTpf1 = 0 f1 + f2 t e = 0fi + f 2 t e = f i + o f 2 hay, viết chung lại :
V i = Ẻ D ằ (e ) f i > i = 1 * 2
j=i
với D(e) =
Ta thấy ngay : p 2 = e, [D(P)]2 = D(e), tức đây là biểu diễn 2 chiều của G.
* Bây giờ nếu chọn V|/(x) là hàm chẵn : VỊ/(-x) = V|/(x), thì ta sẽ chỉ còn 2 hệ thức
TeVị/ = VỊ/ , TpV = Vị/
tức chì có 1 vectơ cơ sô : ta dược biểu diễn 1 chiều : Da,(e) = 1 , D(1,(P) = 1
Nếu chọn Vị/ là hàm lẻ Vị/(~x) = — VỊ/(x) thì : Tevị/ = Vịằ , TpVịằ = - VỊ/
và ta dược biểu diễn 1 chiều khác :
D(2ì(e) = 1 , D(2) (P) = - 1
* Bây giờ giả thiết ta chọn 2 hàm fi chẵn và f2 lẻ. Khi đó
ị T Pf i = f i
lT .fa = fa [Tpf2 = - f 2 và ta đi đến một biểu diễn 2 chiều
thực chất là gộp chung 2 trường hợp (độc lập) trên kia lại.
D (e) = ớ “ '“ 1*ằ “ 1 , D ằ ( P ) . 0 Dl2)(e)J
Dn,(P) 0 . 0 d(2,(P).
Trường hợp nếu ta chọn 2 hàm độc lập tuyến tính, không chẵn không lẻ \Ị/(x) và <|>(x) thì ta sẽ được hệ vectơ cơ sồ gồm 4 hàm fi = Vị/(x), f2 = vị/(— x), f3 = <ị>(x), f4 = <t>(- x) và từ đây thu dược biểu diễn 4 chiều :
D' (e) =ÍD(e) 0 '
l 0 D(e), , D' (p) = ' D ( p ) 0 ) V 0 D ( p ) J
với D(e), D(p) là ma trận 2 x 2 trên kia.
Hai trường hợp sau cùng dược gọi là phép tổng trực tiếp các biểu diễn :
D(3> _ D(l> 0 D<2) D’ = D © D
Trường hợp tổng quát cũng được suy ra một cách dễ dàng.
2. CÁC NHÓM ĐỐI XỨNG VẬT LÝ.
o. Xét hệ vật lý đặc trưng bởi Hamiltoninn H(q) q = ( r , t ) . Nhóm G dược gọi là nhóm đối xứng (Symmetry group) của hệ vật lý nếu như
H(gq) = H(q) Ưg e G Gọi H(q) VỊ/ (q) = <p(q). và xét :
Tgíp(q) <p(g_1q) = H (g_1q) M/Cg^q) = H íg'^ ) Tgv(q) 3 TgH(q) Vị/(q).
Với G - nhóm đối xứng : H(g_1q) = H(q) ta được ngay
[Tg, H(q)] = 0 V g e G
Mặt khác, biến thiên của mọi toán tử A theo thời gian trong biểu diễn Schrõdinger có dạng
dA
dt = ị [ H , A ] . n
Vậy toán tử Tg không đổi theo thời gian : đó là những đại lượng bảo toàn.
Điều khẳng định ngược lại cũng đúng : nếu Tg là lượng bảo toàn Vg e G thì G là nhóm đối xứng của hệ vật lý.
b. Các nhóm đối xứng cơ bản :
+ Nhóm tịnh tiến trong không gian Minkowski 4 chiều, liên quan tính đồng nhất của không - thời gian.
+ Nhóm SO(3) : tính đẳng hướng của không gian 3 chiều.
+ Nhóm P|, p - nghịch đảo không gian, liên quan tính đối xứng phải - trái.
+ Các nhóm điểm : tính dối xứng của các phân tử.
+ Các nhóm không gian : Tính dối xứng của các tinh thể.
+ Các nhóm SU(n) : tính đối xứng trong th ế giới các hạt cơ bản.
+ Nhóm Galileo / Lorentz : tính dối xứng giữa các hệ quy chiếu trong lý thuyết phi tương đối tính / tương đối tính.
Nói chung ta không có phương pháp tổng quát để tìm được nhóm mọi biến đổi đối xứng của một hệ vật lý cho trước, mà thông thường ta chỉ tìm được một nhóm con củạ nó.
3. P H Â N L O Ạ I CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG.
a. Xét bài toán trị riêng của Hamiltonian , i = l,2 ,...,n „
nM là bậc suy biến của mức năng lượng Er Với G = {gl là nhóm đối xứng của hệ vật lý, ta có :
= TBHV|/^ = TgE MM/^ = E ^ ^ v ị/^ )
tức Tg\y[M) cũng là vectơ riêng của H ứng với mức năng lượng Eh. Điều đó có nghĩa Tgv|/ịM> phải là tổ hợp tuyến tính cíía các Vị/ỊM):
, Vg e G j
Dễ dàng thấy rằng các ma trận Djj(g) lập thành một biểu diễn của nhóm G, không gian biểu diễn chính là tập
n,, chiều. Vậy :
Đ ịn h lý 1 : Nếu H là bất biến đối với các phép biến đổi đối xứng của nhóm G, thì các hàm riêng cùng tương ứng với 1 mức năng lượng sẽ tạo nên hệ cơ sở của một biểu diễn nào đó của G.
Do đó ta có thể mô tả mức năng lượng và những hàm riêng tương ứng bằng cách nêu tên biểu diễn liên quan với
chúng. D ĩ n h iê n b ằ n g cá ch n à y ta k h ô n g t h ể có đủ các chông tin đ ịn h lượng được, như n g cũng đủ đ ể x é t các đặc trưng định tín h của h ệ .
Biểu diễn nói trên có thể là khả quy hay bất khả quy, điều này định lý không nói dược. Nhưng một điều chắc chắn là
Hệ quả : Nếu H là bất biến đối với các phép biến đổi của nhóm G thì những hàm riêng của H, biến đổi theo một trong các biểu diễn bất khả quy của G, sẽ thuộc về cùng một mức năng lượng.
b) Vấn đề tiếp theo là những hàm riêng thuộc nhiềù không gian vectơ bất khả quy khác nhau có nhất thiết ứng với những mức năng lượng khác nhau không ?
Câu trả lời là không.
Tuy nhiên nếu ta tìm thấy một cách hệ thống là với mỗi mức năng lượng ta luôn luôn có vài không gian vectơ bất khả quy, thì diều này có nghĩa là phải có một tính chất đối xứng nào dó đã gây ra sự suy biến nói trên. Vì vậy nếu giả thiết là ta có thể bao gồm mọi biến đổi đối xứng vào nhóm G, thì ta có thể chờ đợi là các không gian vectơ bất khả quy (của hàm riêng) khác nhau sẽ ứng với những mức năng lượng khác nhau.
Tuy vậy vẫn có thể còn một vài sự suy biến ngẫu
V . nhiên, chẳng hạn 2 mức năng lượng (ứng với 2 không gian
bất khả quy khác nhau) có thể trùng nhau trong từ trường khi từ trường đạt đến một cường dộ nào đó. Vì vậy ta có thể phát biểu
Định lỷ 2 : Nếu nhóm G bao gồm trong nó mọi phép