Chương 2. Các định lý điểm bất động kiểu Caristi 27
2.2 Các định lý điểm bất động kiểu Caristi với khoảng cách suy réng
Phần này chúng tôi trình bày một số tính chất của các ánh xạ kiểu Caristi, một số định lý điểm bất động kiểu Caristi với khoảng cách suy rộng, các hệ quả của chúng và trình bày một số áp dụng của các định lý nói trên.
2.2.1 Định lý. ([5] Cho(X, d)là một không gian mêtric,f : X → (−∞, +∞]
là một hàm riêng và bị chặn dưới,ϕ : R → (0, +∞)một hàm không giảm, p : X ì X → [0, ∞) là một hàm và T : X → X từ ánh xạ từ X vào chính nó. Giả sử u ∈ X với f (u) < +∞. Ta đặt x1 = u và xn+1 = T xn với mỗin ∈ N. Nếu p thỏa mãn điều kiện (τ1) của τ-hàm và T là ánh xạ (p, ϕ, f )-kiểu Caristi trênX, thì
n→∞lim sup{p(xn, xm) : m > n} = 0. (2.15)
Hơn nữa, nếu ta giả thiết thêm rằngpthỏa mãn điều kiện (τ3) củaτ-hàm, thì{xn}n∈N là một dãy Cauchy trong X.
Chứng minh. Từ giả thiết ta cóx1 = u, f (x1) < +∞. VìT là (p, ϕ, f )- kiểu Caristi trênX, ta được
p(x1, x2) = p(x1, Tx1)
= ϕ(f (x1))[f (x1) − f (T x1)]
= ϕ(f (x1))[f (x1) − f (x2)].
Điều này kéo theo
f (x2) ≤ f (x1) < +∞. (2.16)
Tương tự, ta có
p(x2, x3) = p(x2, Tx2) 6 ϕ(f (x2))[f (x2) − f (x3)], f (x3) 6 f (x2) 6 f (x1) < +∞.
Do đó, nhờ phép quy nạp, ta thu được các bất đẳng thức sau
p(xn, xn+1) 6 ϕ(f (xn))[f (xn) − f (xn+1)], (2.17) f (xn+1) 6 f (xn) < +∞,với mỗin ∈ N . (2.18)
Vìf là hàm bị chặn dưới, nên tồn tại r := lim
n→∞f (xn) = inf
n∈N
f (xn). (2.19)
Nhờ(2.18), vì hàmϕlà không giảm, ta có
ϕ(f (xn)) 6 ϕ(f (x1)), với mọin ∈ N . (2.20)
Với m, n ∈ N mà m > n, nhờ các điều kiện (τ1), (2.17), (2.19), (2.20) ta
được
p(xn, xm) 6
m−1
X
j=n
p(xj, pj+1) 6 ϕ(f (x1))[f (xn) − r].
Với mỗin ∈ Nta đặt αn = ϕ(f (x1))[f (xn) − r]. Khi đó ta có sup{p(xn, xm) : m > n} 6 αn,với mỗin ∈ N .
V× lim
n→∞f (xn) = r, ta thu được lim
n→∞αn = 0, và vì thế ta nhận được
n→∞lim sup{p(xn, xm) : m > n} = 0.
Hơn nữa, nếupthỏa mãn điều kiện (τ3)củaτ-hàm, thì nhờ Định lý 1.1.33 ta suy ra ngay{xn}là dãy Cauchy.
2.2.2 Định lý. ([5] Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ, f : X → (−∞, +∞] một hàm riêng và bị chặn dưới, ϕ : R → (0, +∞) hàm không
giảm vàp : X ì X → [0, ∞) là một giả khoảng cách suy rộng trênX. Giả
sử rằng T : X → X là một ánh xạ (p, ϕ, f )-kiểu Caristi trên X và một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
(H1) T là liên tục.
(H2) T là đóng.
(H3) p(x, y) = 0 kéo theo x = y với mọi x, y ∈ X và ánh xạ g : X → [0, ∞) xác định bởig(x) = p(x, T x),x ∈ X là nửa liên tục dưới.
(H4) ánh xạ h : X → [0, ∞) xác định bởi h(x) = d(x, T x) x ∈ X là nửa liên tục dưới.
(H5) Với mỗi dãy{zn} trongX mà zn+1 = T zn, n ∈ N và n→∞lim zn = a, ta cã lim
n→∞p(zn, T a) = 0.
Khi đó, T có một điểm bất động trong X. Hơn nữa, với mọi w ∈ X mà f (w) < +∞, dãy{Tnw}n∈N hội tụ tới điểm bất động đó củaT.
Chứng minh. Với các giả thiết đã cho ta đặt S = {x ∈ X : f (x) <=
+∞}. Vìf là hàm riêng, nên ta cóS 6= φ. Lấy phần tửw ∈ S. Ta đặtx1 = w vàxn+1 = T xn = Tnw, với mỗin ∈ N. Vì p là giả khoảng cách suy rộng
trên X, nên nhờ Định lý 2.2.1, ta suy ra rằng {xn}n∈N là một dãy Cauchy trongX và
n→∞lim sup{p(xn, xm) : m > n} = 0. (2.21)
Từ(2.21) ta suy ra rằng
n→∞lim p(xn, xn+1) = 0. (2.22)
Nhờ tính chất đầy đủ củaX, tồn tại vw ∈ X sao cho xn → vw khin → ∞. Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằngvw là điểm bất động củaT.
Nếu điều kiện(H1)thỏa mãn, thì vì T là liên tục trênX,xn+1 = T xn, với mỗin ∈ Nvàxn → vw khin → ∞, ta được
vw = lim
n→∞xn = lim
n→∞xn+1 = lim
n→∞T xn = T ( lim
n→∞xn) = T vw. (2.23)
Do đóvw là điểm bất động củaT.
Nếu điều kiện (H2) thỏa mãn, thì vì T là đóng, xn+1 = T xn với mỗi n ∈ Nvàxn → vw, khin → ∞, nên ta có T vw = vw. Do đóvw là điểm bất
động củaT.
Giả sử rằng điều kiện(H3) thỏa mãn. Nhờ tính nửa liên tục dưới củag, xn → vw khin → ∞ và(2.22) ta thu được
p(vw, Tvw) = g(vw) 6 lim infn→∞ g(xn) = lim
n→∞p(xn, xn+1) = 0. (2.24)
Điều này kéo theo p(vw, T vw) = 0. Lại nhờ giả thiết trong (H3) ta suy ra
được rằngvw là điểm bất động củaT.
Giả sử rằng điều kiện (H4) thỏa mãn. Vì dãy{xn}n∈N hội tụ trong X, ta suy ra
n→∞lim d(xn, xn+1) = 0. (2.25)
Lại vì
d(vw, T vw) = h(vw) 6 lim infn→∞ d(xn, xn+1) = 0. (2.26)
Ta đượcd(vw, T vw) = 0. Do đóvw = T vw.
Cuối cùng giả sử rằng điều kiện (H5) được thỏa mãn. Khi đó, vì ta có
n→∞lim sup{p(xn, xm) : m > n} = 0 và lim
n→∞p(xn, T vw) = 0, nên tồn tại dãy {an} ⊂ {xn}sao cho lim
n→∞sup{p(an, am) : m > n} = 0 vàbn = T vw với mọi n ∈ N, sao cho n→∞lim p(an, bn) = 0. Nhờ điều kiện (τ3) của giả
khoảng cách suy rộng, ta có lim
n→∞d(an, bn) = 0. Vì an → vw khin → ∞và d(bn, vn) 6 d(bn, an) + d(an, vw), ta đượcbn → vw khin → ∞.
Do đó, ta có T vw = vw, hay vw là điểm bất động của T. Vì thế, trong mọi trường hợp ta đã chứng minh rằng vw là điểm bất động của T. Lại vì
w ∈ Slà điểm lấy tùy ý, nên dãy{Tnw}n∈Nhội tụ tới điểm bất độngvw của T.
Sau đây, ta cho ví dụ minh họa Định lý 2.2.1, ví dụ này cho câu trả lời phủ định về tính duy nhất của điểm bất động.
2.2.3 Ví dụ. Giả sửX = [0, 1]với mêtric thườngd(x, y) =| x−y |,x, y ∈ X. Khi đó(X, d) là không gian mêtric đầy đủ. Ta xác định hàmp : X ì X → [0, +∞) cho bởi
p(x, y) = max{2(x − y), 3(y − x)}, (2.27)
với mọix, y ∈ X. Khi đó,plà một giả khoảng cách suy rộng trênX.
Giả sử f : X → Rvàϕ : R → (0, +∞) là các hàm được xác định bởi
f (x) =
1
3x − 25 nÕu x ∈ [0,12),
1
2x − 3, nÕu x ∈ [12, 1].
vàϕ(t) = 10, với mọit ∈ R.
Rõ ràng ta có f (x) < +∞với mọi x ∈ X. Chú ý rằng f không là nửa liên tục dưới tạix = 12, vì thếf không nửa liên tục dưới trênX.
Vìf (x) > −25 với mọix ∈ X, nênf là hàm bị chặn dưới trênX. Giả
sửT : X → X là ánh xạ cho bởi
T x = x2, với mọix ∈ X. (2.28)
Khi đó, T liên tục trênX và tập hợp các điểm bất động của T ký hiệu là F (T ) sẽ là F (T ) = {0, 1}. Ta cũng dễ dàng thấy rằng T là ánh xạ đóng và ánh xạ x 7→ d(x, T x) là hàm nửa liên tục dưới. Do đó, các điều kiện (H1), (H2)và(H4)như trong Định lý 2.2.2 được thỏa mãn. Mặt khác ta thấy rằng với mọix ∈ X
p(x, T x) = max{2(x − T x), 3(T x − x)}
= 2(x − x2) < ϕ(f (x))[f (x) − f (T x)]. (2.29)
Vì vậy,T là ánh xạ(p, ϕ, f )-kiểu Caristi trên X. Bằng cách áp dụng Định lý 2.2.2, ta chứng minh đượcT có điểm bất động trong X và với mọi w ∈ X, dãy{Tnw}n∈N hội tụ tới một điểm bất động củaT.
Mặt khác, nếu bây giờ ta lấy điểm tùy ýw ∈ X. Nhờ tính toán trực tiếp ta cã
n→∞lim Tnw = lim
n→∞w2n =
0 nÕu w ∈ [0, 1) 1, nÕu w = 1,
nên ta thấy rằng dãy {Tnw}n∈N hội tụ và giới hạn của dãy {Tnw}n∈N sẽ thuộc vàoF (T ) = {0, 1}.
Các kết quả sau đây được suy trực tiếp từ Định lý 2.2.2.
2.2.4 Hệ quả. ([5]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, f : X → (−∞, +∞] là hàm riêng, bị chặn dưới, vàp : X ì X → [0, ∞) là một giả
khoảng cách suy rộng trên X. Giả sử rằng T : X → X là ánh xạ (p, f )- kiểu Caristi trênX và một trong các điều kiện(H1), (H2), (H3), (H4)và (H5) như trong Định lý 2.2.2 được thỏa mãn. Khi đó, T có một điểm bất
động trongX.
Hơn nữa, với mọi w ∈ X mà f (w) < +∞, dãy {Tnw}n∈N hội tụ tới một điểm bất động củaT.
2.2.5 Hệ quả. ([5]) Giả sử rằng (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, f : X → (−∞, +∞] là hàm riêng, bị chặn dưới và ϕ : R → (0, +∞) là hàm không giảm. Giả sử rằngT : X → X là ánh xạ (ϕ, f )-kiểu Caristi trên X và một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
(D1) T là liên tục.
(D2) T là đóng.
(D3) ánh xạ h : X → [0, ∞) xác định bởi h(x) = d(x, T x) với mọi x ∈ X là nửa liên tục dưới.
Khi đó, T có một điểm bất động trong X. Hơn nữa, với mọi w ∈ X mà f (w) < +∞, dãy{Tnw}n∈N hội tụ tới một điểm bất động củaT.
2.2.6 Hệ quả. ([5]) Giả sử rằng (X, d) là không gian mêtric đầy đủ vàf : X → (−∞, +∞] là hàm riêng, bị chặn dưới. Giả sử rằng T : X → X là một ánh xạ (f )-kiểu ánh xạ Caristi trên X và một trong các điều kiện (D1), (D2) và (D3) như trong Hệ quả 2.2.5 được thỏa mãn. Khi đó, T có một điểm bất động trong X. Hơn nữa, với mọi w ∈ X mà f (w) < +∞, dãy{Tnw}n∈N hội tụ tới một điểm bất động củaT.
2.2.7 Định lý. ([5]) Cho(X, d)là không gian mêtric,p : X ì X → [0, +∞) một hàm vàT : X → X là ánh xạ từX vào chính nó. Giả sử rằng tồn tại mộtQ-hàmα : [0, +∞) → [0, 1)sao cho
p(T x, T y) 6 α(p(x, y)).p(x, y), với mọi x, y ∈ X. (2.30)
Khi đó, tồn tại một hàmβ : X → [0, 1)sao cho mỗi x ∈ X ta có
β(T x) 6 β(x), α(p(Tn−1x, Tnx)) 6 β(x), với mọi n ∈ N . (2.31)
ởđây, ta kí hiệuT0 = I là ánh xạ đồng nhất.
Chứng minh. Lấy bất kỳx ∈ X. Từ các giả thiết đã cho ta có p(Tnx, Tn+1x) 6 α(p(Tn−1x, Tnx)).p(Tn−1x, Tnx)
< p(Tn−1x, Tnx),
với mỗin ∈ N. Vì vậy, dãy{p(Txn−1, Txn)}n∈Nlà dãy giảm ngặt trong[0, ∞). Vìα là Q-hàm, nhờ điều kiện (e) trong Định lý 1.1.24 ta thu được
0 6 sup
n∈N
α(p(Tn−1x, Tnx)) < 1. (2.32)
Vìx ∈ X lấy tùy ý, ta có thể xác định một hàm mớiβ : X → [0, 1)cho bởi β(x) := sup
n∈N
α(p(Tn−1x, Tnx)), với mọix ∈ X. (2.33)
Khi đó dễ thấy rằng với mỗix ∈ X ta có β(T x) ≤ β(x)
α(p(Txn−1, Txn)) ≤ β(x), với mọin ∈ N . (2.34)
2.2.8 Định lý. ([5] Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, p : X ì X → [0, +∞) là một giả khoảng cách suy rộng trênX thỏa mãnp(x, y) = 0kéo theox = y với mọix, y ∈ X vàT : X → X ánh xạ từX vào chính nó. Giả
sử rằng
(a) Tồn tại một Q-hàmα : [0, +∞) → [0, 1)sao cho
p(T x, T y) 6 α(p(x, y)).p(x, y), với mọi x, y ∈ X. (2.35)
(b) Một trong các điều kiện (H1), (H2), (H3), (H4) và (H5) như trong
Định lý 2.2.2 được thỏa mãn.
Khi đó,T có duy nhất một điểm bất động trongX. Hơn nữa, với mọix ∈ X, dãy{Tnx}n∈N hội tụ tới điểm bất động duy nhất của T.
Chứng minh. Ký hiệu T0 = I là ánh xạ đồng nhất. áp dụng Định lý 2.2.7 ta suy ra tồn tại hàmβ : X → [0, 1)sao cho với mỗi x ∈ X ta có
β(T x) ≤ β(x)
α(p(Txn−1, Txn)) ≤ β(x), với mọin ∈ N . (2.36)
Với mỗix ∈ X, nhờ điều kiện(2.35)ta thu được
p(x, T x) − α(p(x, T x)).p(x, T x) 6 p(x, T x) − p(T x, T2x). (2.37)
Bằng cách áp dụng các bất đẳng thức(2.36)và(2.37), ta được p(x, T x) ≤ 1−α(p(x,T x))1 p(x, T x) − 1−α(p(x,T x))1 p(T x, T2x)
≤ 1−β(x)1 p(x, T x) − 1−β(T x)1 p(T x, T2x). (2.38)
Giả sử ϕ : R → (0, +∞) và f : X → Rlà các hàm được xác định bởi các công thức tương ứng
ϕ(t) = 0, với mọit ∈ R
f (x) = 1−β(x)1 p(x, T x), với mọix ∈ X. (2.39)
Khi đó ta có ϕ là hàm không giảm và f là hàm bị chặn dưới. Dễ thấy rằng f (x) < +∞với mọix ∈ X. Nhờ công thức(2.38)ta được
p(x, T x) 6 ϕ(f (x))[f (x) − f (T x)], với mọix ∈ X. (2.40)
Điều này chứng tỏ rằngT : X → X là ánh xạ(p, ϕ, f )-kiểu Caristi trên X.
áp dụng Định lý 2.2.2, ta suy ra tập các điểm bất động củaT là F (T ) 6= φ. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng F (T ) là tập một điểm. Giả sử u, v ∈ F (T ). Khi đó ta cóT u = uvàT v = v. Nhờ điều kiện(2.35) ta có
p(u, v) = p(T u, T v) 6 α(p(u, v)).p(u, v). (2.41)
Điều này suy ra
[1 − α(p(u, v))]p(u, v) 6 0. (2.42)
Vì α(p(u, v)) ∈ [0, 1), nên ta cóp(u, v) = 0. Nhờ giả thiết, ta có đượcu = v và định lý được chứng minh.
Nhờ tính duy nhất của điểm bất động củaT và áp dụng lại Định lý 2.2.2 một lần nữa ta suy ra dãy {Tnx}n∈N hội tụ tới điểm bất động duy nhất của T với mọix ∈ X.
Như là một hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2.8, ta thu được kết quả sau
®©y.
2.2.9 Hệ quả. ([5]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ, p : X ì X → [0, +∞) là một giả khoảng cách suy rộng trên X thỏa mãn p(x, y) = 0kéo theo x = y với mọi x, y ∈ X và T : X → X ánh xạ từX vào chính nó. Giả sử rằng
(a) Tồn tạiγ ∈ [0, 1)sao cho
p(T x, T y) 6 γ.p(x, y), với mọi x, y ∈ X, (2.43)
(b) Một trong các điều kiện (H1), (H2), (H3), (H4) và (H5) như trong
Định lý 2.2.2 được thỏa mãn.
Khi đó,T có duy nhất một điểm bất động trongX. Hơn nữa, với mọix ∈ X, dãy{Txn}n∈N hội tụ tới một điểm bất động duy nhất củaT.
áp dụng Định lý 2.2.8, ta thu được một mở rộng của Nguyên lí ánh xạ co Banach.
2.2.10 Hệ quả. ([5]) Giả sử(X, d) là một không gian mêtric đầy đủ vàT : X → X là ánh xạ từ X vào chính nó. Giả sử rằng tồn tại một Q-hàm α : [0, ∞) → [0, 1)sao cho
d(T x, T y) 6 α(d(x, y)).d(x, y), với mọi x, y ∈ X. (2.44)
KhiT có duy nhất một điểm bất động trong X. Hơn nữa, với mọi x ∈ X, dãy{Txn}n∈N hội tụ tới một điểm bất động duy nhất củaT.
Chứng minh. Nhờ điều kiện co (2.44), ta suy ra rằng T là ánh xạ liên tục trênX. Do đó, kết luận của định lý được suy trực tiếp từ Định lý 2.2.8.
KÕt luËn
Sau thời gian nghiên cứu và tham khảo nhiều tài liệu khác nhau, dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS. Trần Văn Ân, chúng tôi đã thu
được một số kết quả sau
1. Hệ thống các khái niệm, các tính chất cơ bản và các ví dụ minh họa về không gian mêtric, không gian mêtric đầy đủ, điều kiện co,τ-khoảng cách,w- khoảng cách, giả khoảng cách suy rộng,τ-hàm,τ-hàm yếu,P-khoảng cách, Q-hàm, hàm nửa liên tục dưới, tựa thứ tự 4, không gian4-đầy đủ, tựa thứ tự4 chính quy, điểm bất động, ánh xạ co, ánh xạ kiểu Caristi, định lý điểm bất động Caristi, các mở rộng của định lý điểm bất động Caristi, ... và trình bày một số ví dụ minh hoạ về các ánh xạ đó.
2. Chứng minh chi tiết một số tính chất của các ánh xạ kiểu Caristi, một số mệnh đề, định lý mở rộng định lý Caristi với các điều kiện co suy rộng, một số định lý điểm bất động kiểu Caristi trong không gian mêtric đầy đủ và các hệ quả của chúng, một số định lý điểm bất động kiểu Caristi với khoảng cách suy rộng và các hệ quả của chúng.
3. Giới thiệu chi tiết Ví dụ 1.1.19 về τ-hàm, Ví dụ 1.1.21 về τ-hàm yếu và Ví dụ 1.1.22 về giả khoảng cách suy rộng, Ví dụ 1.1.29 về các ánh xạ kiểu Caristi và Ví dụ 2.2.3 minh họa cho Định lý 2.2.1.
tài liệu tham khảo
[1] Đỗ Văn Lưu (1998), Tôpô đại cương, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuËt.
[2] J. Caristi (1976), Fixed point theorems for mappings satisfying in- wardness conditions, Trans. Amer. Math. Soc., 215, 241-251.
[3] D. Downing, W. A. Kirk (1977), A generalization of Caristi's theorem with applications to nonlinear mapping theory, Pacific J. Math., 69 (2), 339-345.
[4] W-S. Du (2010), Critical point theorems for nonlinear dynamical sys- tems and their applications, Fixed Point Theory Appl., 2010, Article ID 246382, 16 pages.
[5] W-S. Du (2013), On Caristi type maps and generalized distances with applications, Abst. Appl. Anal., 2010, Article ID 407219, 8 pages, doi:
10.1155/2013/407219.
[6] I. Ekeland (1974), On the variational principle, J. Math. Anal. Appl., 47, 324-353.
[7] A. Hamel (2005), Variational Principles on metric and uniform Spaces, Habilitation Thesis, Halle.
[8] P. Q. Khanh, D. N. Quy (2010), A generalized distance and enhanced Ekeland's variationalnprinciple for vector functions, Nonlinear Anal., 73 (7), 2245-2259.
[9] L J. Lin, W S. Du (2006), Ekeland's variational principle, minimax theorems and existence of equilibria on complete metric spaces, J.
Math. Anal. Appl., 32 (1), 360-370.